Exámenes de Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales. David Castro Esteban

Transcripción

1 Exámenes de Teorí de Autómts y Lengujes Formles Dvid Cstro Esten

2 Teorí de Autómts y Lengujes Formles Ingenierí Técnic en Informátic de Sistems Ferero 24 Prolem (2 ptos.) Otener expresiones regulres pr los siguientes lengujes: El conjunto de ls cdens de ceros y unos que no tienen dos unos consecutivos y tienen lo más dos ceros consecutivos. El conjunto de ls cdens de ceros y unos que no terminn en. Prolem 2 (2 ptos.) Minimizr el utómt finito A B C D E F H G Prolem 3 (2 ptos.) Convertir en un utómt finito determinist el siguiente utómt con trnsiciones vcís.

3 ε A, B ε C, D Prolem 4 (2 ptos.) Ddo un lfeto finito culquier, demostrr que el conjunto de ls cdens sore dicho lfeto cuy longitud es un nmero primo, no es un lenguje regulr. Prolem 5 (2 ptos.) Construir un utómt pil que cepte el lenguje de ls cdens de l form n m, donde n, m N con n < m. Dr un grmátic independiente del contexto que genere dicho lenguje. 3

4 Teorí de Autómts y Lengujes Formles Ingenierí Técnic en Informátic de Sistems Ferero 24 Prolem (2 ptos.) Otener expresiones regulres pr los siguientes lengujes: El conjunto de ls cdens de ceros y unos que no contienen l cden. El conjunto de ls cdens de ceros y unos que no tienen dos ceros consecutivos. Prolem 2 (2 ptos.) Construir un utómt determinist mínimo que cepte el lenguje de ls cdens de ceros y unos definido por l expresión regulr (() ) +. Prolem 3 (2 ptos.) Convertir en un utómt finito determinist el siguiente utómt con trnsiciones vcís. ε, A ε, B ε C, D Prolem 4 (2 ptos.) Ddo un lfeto finito culquier, demostrr que el conjunto de ls cdens sore dicho lfeto cuy longitud es un cudrdo perfecto no es un lenguje regulr. Prolem 5 (2 ptos.) Construir un utómt pil que cepte el lenguje de ls cdens de ceros y unos tles que el nmero de ceros se distinto del de unos.

5 Teorí de Autómts y Lengujes Formles Ingenierí Técnic en Informátic de Sistems Ferero 25 Oservciones. Los lumnos que hyn entregdo un trjo, deerán responder exclusivmente dos ejercicios y un prolem (todos ellos de lire elección). 2. Los lumnos que no hyn entregdo trjo lguno, deerán responder todos los ejercicios y prolems. 3. El exmen finlizrá ls 9:2 pm. Ejercicio (2 ptos.) Decidir si los siguientes utómts finitos determinists son equivlentes, i.e. deciden el mismo lenguje. A B E F C D G Ejercicio 2 (2 ptos.) Convertir en un utómt finito determinist el siguiente utómt finito no determinist. q q q 2 q 3

6 Ejercicio 3 (2 ptos.) Se A el conjunto de los ároles inrios cuyos nodos están etiquetdos con el número de hijos que tienen. Un ejemplo sencillo de tles ároles viene ddo por: 2 2 Cd árol de A puede codificrse medinte un secuenci de crcteres, sore {,, 2}, construid de l siguiente mner: el primer crácter (por l izquierd) es el que figur en l ríz, los siguientes crcteres son los socidos l codificción del suárol de l izquierd y, por último, los socidos con l codificción del suárol de l derech (si existen tles suároles). El árol del ejemplo estrí codificdo medinte l cden 22. Dr un grmátic independiente del contexto que descri el lenguje de ls codificciones nteriores y construir el utómt pil socido. Prolem 4 (2 ptos.) Se Σ un lfeto finito y se L el lenguje de ls cdens w Σ tles que su longitud es n! pr lgún n N. Demostrr que L no es un lenguje regulr. Prolem 5 (2 ptos.) Sen L y L 2 dos lengujes recursivmente enumerles. Demostrr que L L 2 (su conctención) es recursivmente enumerle.

7 Teorí de Autómts y Lengujes Formles Ingenierí Técnic en Informátic de Sistems Ferero 25 (is) Ejercicio (2 ptos.) Decidir si los siguientes utómts finitos determinists son equivlentes, i.e. deciden el mismo lenguje. A B E F C D G Ejercicio 2 (2 ptos.) Convertir en un utómt finito determinist el siguiente utómt finito no determinist. q q q 2 q 3

8 Ejercicio 3 (2 ptos.) Dr un grmátic independiente del contexto que descri ls expresiones rítmetics con préntesis que involucrn ceros y unos. Construir un utómt pil que reconozc dicho lenguje. Prolem 4 (2 ptos.) Se Σ un lfeto finito y se L el lenguje de ls cdens w Σ tles que su longitud es n 3 pr lgún n N. Demostrr que L no es un lenguje regulr. Prolem 5 (2 ptos.) Se L un lenguje recursivmente enumerles. Demostrr que L (su cláusur de Kleene) es recursivmente enumerle.

9 Teorí de Autómts y Lengujes Formles Ingenierí Técnic en Informátic de Sistems Septiemre 25 Ejercicio (2 ptos.) Minimizr el utómt finito: A B C D E F H G Ejercicio 2 (2 ptos.) Convertir en determinist el siguiente utómt finito no determinist: q q q 2 q 3

10 Ejercicio 3 (2 ptos.) Dr un grmátic independiente del contexto que descri ls expresiones rítmetics con préntesis que involucrn ceros y unos. Construir un utómt pil que reconozc dicho lenguje. Prolem 4 (2 ptos.) Se Σ un lfeto finito y se L el lenguje de ls cdens ww, con w Σ. Demostrr que L no es un lenguje regulr. Prolem 5 (2 ptos.) Sen L,...,L n lengujes recursivmente enumerles, demostrr que L... L 2 es recursivmente enumerle. Es cierto pr l intersección de infinitos lengujes recursivmente enumerles? (demostrr en cso firmtivo o dr un contrejemplo en cso negtivo).

11 Teorí de Autómts y Lengujes Formles Ingenierí Técnic en Informátic de Sistems Ferero 26 Ejercicio (2 ptos.) Minimizr el utómt finito: A D F B G C E Ejercicio 2 (2 ptos.) Construir un utómt pil que reconozc el lenguje de ls cdens de ceros y unos tles que el número de unos se distinto del de ceros. Cuestión ( pto.) Otener ls expresiones regulres Rij k, con i, j, k 2, que denotn l cden que dee leer el utómt pr ir del estdo i l estdo j psndo por nodos etiquetdos, como mucho, por k), del siguiente utómt: 2,. Dr l expresión regulr que descrie el lenguje del utómt.

12 Cuestión 2 ( pto.) Dr un grmátic que descri el lenguje de los plíndromos. Trnsformr dich grmátic en un utómt pil. Prolem 3 (2 ptos.) Se Σ un lfeto finito con l menos dos símolos. Demostrr que el lenguje no es independiente de contexto. L = {w R ww R : w Σ }, Prolem 4 (2 ptos.) Sen L,...,L n un fmili finit de lengujes regulres. Demostrr ls siguientes firmciones:. l unión n i= L i es regulr, 2. l intersección n i= L i es regulr, y 3. pr todo i, con i n, L c i es regulr.

13 Teorí de Autómts y Lengujes Formles Ingenierí Técnic en Informátic de Sistems Ferero 26 Ejercicio (2 ptos.) Minimizr el utómt finito: A B C D E F H G Ejercicio 2 (2 ptos.) Construir un utómt pil que reconozc el lenguje de ls cdens de ceros y unos tles que el número de unos se menor que el de ceros.

14 Cuestión ( pto.) Otener ls expresiones regulres R k ij, con i, j, k 2, que denotn l cden que dee leer el utómt pr ir del estdo i l estdo j psndo por nodos etiquetdos, como mucho, por k), del siguiente utómt: 2,. Dr l expresión regulr que descrie el lenguje del utómt. Cuestión 2 ( pto.) Dr un grmátic que descri el lenguje de ls expresiones regulres. Trnsformr dich grmátic en un utómt pil. Prolem 3 (2 ptos.) Demostrr que el lenguje no es independiente de contexto. L = { n n n : n N}, Prolem 4 (2 ptos.) Sen L,...,L n un fmili finit de lengujes independientes del contexto sore un lfeto Σ. Demostrr que L... L n es independiente del contexto.

15 Teorí de Autómts y Lengujes Formles Ingenierí Técnic en Informátic de Sistems Ferero 27 Ejercicio (2 ptos.) Minimizr el utómt finito: A D F B G C E Ejercicio 2 (2 ptos.) Convertir en determinist el siguiente utómt finito no determinist:, q q q 2 q 3

16 Ejercicio 3 (2 pto.) Construir, emplendo los lgortimos vistos, l expresión regulr que descrie el lenguje del utómt : q q q 2 q 3 Prolem 4 (2 ptos.) Ddo un lfeto finito Σ, demostrr que el lenguje de ls expresiones regulres sore Σ es independiente de contexto pero no regulr (construyendo un utómt pil y emplendo el Lem de Bomeo, respec.). Prolem 5 (2 ptos.) En lo que sigue, ddo un lfeto finito Σ, considermos ls expresiones regulres dds medinte l grmátic: E E E (E) E + E E E E σ (σ Σ) E E ε Dr un lgortimo que, tomndo como entrd un expresión regulr y trjndo directmente sore l mism (no trnsform ést en utómts o grmátics regulres), devuelv un expresión regulr que descri l complementrio del lenguje por ell ddo. Idem pr l instersección.

17 Teorí de Autómts y Lengujes Formles Ingenierí Técnic en Informátic de Sistems Ferero 27 Ejercicio (2 ptos.) Decidir si los siguientes utómts finitos determinists son equivlentes, i.e. deciden el mismo lenguje. A B E F C D G Prolem 2 (2 ptos.) Convertir en un utómt finito determinist mínimo el siguiente utómt con trnsiciones vcís. ε A, B ε C, D

18 Ejercicio 3 (2 ptos.) Construir un utómt pil que reconozc el lenguje de ls cdens de ceros y unos tles que el número de unos se menor que el dole del de ceros. Prolem 4 (2 ptos.) Se Σ un lfeto finito con l menos dos símolos. Demostrr que el lenguje L = {w R ww R : w Σ }, no es independiente de contexto. Demostrr que no es sí si el lfeto tiene un único símolo. Prolem 5 (2 ptos.) Demostrr que, ddo un lenguje regulr L Σ, existe un nturl n N tl que pr tod cden w L y tod sucden de l mism w de longitud myor que n (i.e. w = αw β con α, β Σ ), existen tres cdens x, y, z Σ tles que: w = xyz, xy n y y, y αxy i yβ L pr todo i N.

19 Teorí de Autómts y Lengujes Formles Ingenierí Técnic en Informátic de Sistems Junio 27 Ejercicio (2 ptos.) Decidir si los siguientes utómts finitos determinists son equivlentes, i.e. deciden el mismo lenguje. A B E F C D G Prolem 2 (2 ptos.) Convertir en un utómt finito determinist mínimo el siguiente utómt con trnsiciones vcís. ε A,, B ε C, D

20 Ejercicio 3 (2 ptos.) Construir un utómt pil que reconozc el lenguje de ls cdens de ceros y unos tles que el número de ceros se igul que el de ceros. Prolem 4 (2 ptos.) Se Σ un lfeto finito con l menos dos símolos. Demostrr que el lenguje L = {www : w Σ }, no es independiente de contexto. Demostrr que no es sí si el lfeto tiene un único símolo. Prolem 5 (2 ptos.) Demostrr que, ddo un lenguje regulr L Σ, existe un nturl n N tl que pr tod cden w L y tod sucden de l mism w de longitud myor que n (i.e. w = αw β con α, β Σ ), existen tres cdens x, y, z Σ tles que: w = xyz, xy n y y, y αxy i yβ L pr todo i N.

21 Teorí de Autómts y Lengujes Formles Ingenierí Técnic en Informátic de Sistems Septiemre 27 Prolem (2 ptos.) Minimizr el utómt finito A B C D E F H G

22 Ejercicio 2 (2 ptos.) Convertir en un utómt finito determinist el siguiente utómt finito no determinist. q q q 2 q 3 22

23 Ejercicio 3 (2 ptos.) Construir un utómt pil que reconozc el lenguje de ls cdens de ceros y unos tles que el número de unos se, l menos, el dole que el de ceros. Prolem 4 (2 ptos.) Se Σ un lfeto finito con l menos dos símolos. Demostrr que el lenguje L = {www : w Σ }, no es independiente de contexto. Demostrr que no es sí si el lfeto tiene un único símolo. Prolem 5 (2 ptos.) Demostrr que, ddo un lenguje regulr L Σ, existe un nturl n N tl que pr tod cden w L y tod sucden de l mism w de longitud myor que n (i.e. w = αw β con α, β Σ ), existen tres cdens x, y, z Σ tles que: w = xyz, xy n y y, y αxy i yβ L pr todo i N.

24 Teorí de Autómts y Lengujes Formles Ingenierí Técnic en Informátic de Sistems Ferero 28 Prolem (2 ptos.) Minimizr el utómt finito A B C D E H G F Solución. Emplemos el lgoritmo de mrcdo. De entrd, mrcmos quellos pres de estdos tles que uno es D, i.e. (A, D), (B, D), (C, D), (D, E), (D, F), (D,G) nd (D, H). Hecho esto, procedemos con el pso inductivo del lgoritmo: δ(a, ) = A y δ(h, ) = D, i.e. (A,H) es distinguile δ(b, ) = C y δ(h, ) = D, i.e. (B,H) es distinguile δ(c, ) = B y δ(h, ) = D, i.e. (C,H) es distinguile δ(e, ) = B y δ(h, ) = D, i.e. (E,H) es distinguile δ(f, ) = E y δ(h, ) = D, i.e. (F,H) es distinguile δ(g, ) = G y δ(h, ) = D, i.e. (G,H) es distinguile

25 δ(a, ) = B y δ(e, ) = H, i.e. (A,E) es distinguile δ(b, ) = A y δ(e, ) = H, i.e. (B,E) es distinguile δ(c, ) = F y δ(e, ) = H, i.e. (C,E) es distinguile δ(e, ) = H y δ(f, ) = C, i.e. (F,E) es distinguile δ(e, ) = H y δ(g, ) = F, i.e. (G,E) es distinguile δ(a, ) = A y δ(f, ) = E, i.e. (A,F) es distinguile δ(b, ) = C y δ(f, ) = E, i.e. (B,F) es distinguile δ(c, ) = B y δ(f, ) = E, i.e. (C,F) es distinguile δ(g, ) = G y δ(f, ) = E, i.e. (G,F) es distinguile δ(a, ) = A y δ(g, ) = E, i.e. (A,G) es distinguile δ(b, ) = C y δ(g, ) = E, i.e. (B,G) es distinguile δ(c, ) = B y δ(g, ) = E, i.e. (C,G) es distinguile δ(a, ) = B y δ(c, ) = F, i.e. (A,C) es distinguile δ(b, ) = A y δ(c, ) = F, i.e. (B,C) es distinguile δ(a, ) = A y δ(b, ) = C, i.e. (A,B) es distinguile En resumen, todos los pres de estdos son distinguiles y el utómt ddo y es mínimo. 25

26 Prolem 2 (2 ptos.) Convertir en un utómt finito determinist el siguiente utómt finito no determinist con trnsiciones vcís. ε q q q 2 ε q 3 Solución. Tenemos que convertir un utómt finito con trnsiciones vcís un utómt determinist. Pr ello plicremos el lgoritmo de conversión (incrementl).. El estdo inicil del nuevo utómt viene ddo por l clusur con respecto l vcío: Cl ε (q ) = {q, q 3 }. Ls trnsisiones desde este nuevo estdo son: δ({q, q 3 }, ) = Cl ε (δ(q, )) Cl ε (δ(q 3, )) = {q, q, q 3 } δ({q, q 3 }, ) = Cl ε (δ(q, )) Cl ε (δ(q 3, )) = {q, q, q 2, q 3 } Aprecen, por lo tnto, dos nuevos estdos: {q, q, q 3 } y {q, q, q 2, q 3 }. Ls trnsiciones pr esto son: δ({q, q, q 3 }, ) = Cl ε (δ(q, )) Cl ε (δ(q, )) Cl ε (δ(q 3, )) = {q, q } {q 3 } = {q, q, q 3 } δ({q, q, q 3 }, ) = Cl ε (δ(q, )) Cl ε (δ(q, )) Cl ε (δ(q 3, )) = {q, q, q 2, q 3 } = {q, q, q 2, q 3 }

27 δ({q, q, q 2, q 3 }, ) = Cl ε (δ(q, )) Cl ε (δ(q, )) Cl ε (δ(q 2, )) Cl ε (δ(q 3, )) = {q, q } {q 3 } {q 3 } = {q, q, q 3 } δ({q, q, q 2, q 3 }, ) = Cl ε (δ(q, )) Cl ε (δ(q, )) Cl ε (δ(q 2, )) Cl ε (δ(q 3, )) = {q, q 2, q 3 } {q, q, q 2, q 3 } = {q, q, q 2, q 3 } Los estdo finles son quellos que contienen l estdo q 3. En resumen, el utómt que qued es: {q, q 3 } {q, q, q 3 } {q, q, q 2, q 3 } 27

28 Prolem 3 (2 ptos.) Construir un utómt pil que cepte por pil vcí y reconozc el lenguje de ls expresiones regulres sore un lfeto finito Σ. Convertir dicho utómt en un grmátic independiente de contexto plicndo el lgoritmo l uso. Solución. Con el fin de conseguir el utómt más sencillo, comenzmos dndo un grmátic independiente de contexto que gener dicho lenguje: E E E E E E E (E) E E E + E E σ con σ Σ ε donde E es el símolo inicil y el símolo ε represent l e.r. cden vcí. L conversión de l grmátic nterior en un utómt pil d lugr un utómt con un único estdo, digmos p, cuys trnsiciones están definids medinte: δ(p, ε, E) = (p, (E)) δ(p, σ, σ) = (p, ε) con σ Σ δ(p, ε, E) = (p, E E) δ(p, ε, ε) = (p, ε) δ(p, ε, E) = (p, E + E) δ(p,, ) = (p, ε) δ(p, ε, E) = (p, E ) Puesto que sólo hy un único estdo, cd trnsición sólo d lugr un únic producción. Más concretmente, l convertir el utómt nterior otenemos l grmátic: S [pep] [pep] [p(p][pep][p)p] [pep] [pep][p p][pep] [pep] [pep][p + p][pep] [pep] [pep][p p] [pσp] σ con σ Σ [p εp] ε [p p]

29 Prolem 4 (2 ptos.) Se Σ un lfeto finito. Demostrr que el lenguje no es independiente de contexto. L = {w Σ : w = n 2, con n N}, Solución. Supongmos por reducción l surdo que L es independiente de contexto. Si es sí, por el Lem de Bomeo pr LIC, existe un nturl n N tl que pr tod cden z L, de longitud z n, existen cdens u, v, w, x, y Σ stisfciendo: z = uvwxy, vwx n y vx ε, y k N, uv k wx k y L. Considermos z = α α, un cden de longitud n 2. Por lo nterior, existen u, v, w, x, y Σ stisfciendo i), ii) y iii). Tomndo k = 2, l cden uv 2 wx 2 y pertenece L. Ahor ien, n 2 = uvwxy < uv 2 wx 2 y, pues por ii), vx. Además, uv 2 wx 2 y n 2 + n, pues por ii), tenemos que vx vwx n. Por lo tnto, uv 2 wx 2 y < (n + ) 2 = n 2 + 2n +, lo cul implic que uv 2 wx 2 y / L; contrdiciendo iii). Est contrdicción viene de suponer que L es independiente de contexto.

30 Prolem 5 (2 ptos.) Demostrr que tod máquin de Turing puede simulrse medinte un utómt con dos pils. Solución. Se M = (K, Σ, δ, s) un máquin de Turing determinist y con un únic cint (culquier otro tipo de máquin, determinist o no determinist, con un o más cints, puede simulrse medinte un de este tipo). Pr simulr M, medinte un utómt con dos pils, tenemos que simulr tnto l estructur de dtos cint como los mivimientos de l propi máquin. Pr lo primero, supongmos que en un cierto momento, l configurción de l máquin de Turing viene dd por un tern (q, v, w), donde el último crácter de v es l posición del cursor en l cint. Est configurción se codificrí en el utómt de l siguiente mner: en l primer pil estrí v de mner que en l cim está el último crácter de v y, en l segund pil, se encuentr w de mner que el primer crácter se encuentr en l cim. Pr lo segundo, considerremos que nuestro utómt tiene los mismos estdos que l máquin de Turing y, definimos l función de trnsición de l siguiiente mner: Ls trnsiciones del tipo δ(p, α) = (q, α, ), se simuln en el utómt medinte trnsiciones del tipo δ (p, ε, α, β) = (q, α, β, i.e. si no se produce desplzmiento en l MT, tmpoco en ls pils del utómt, sólo se ctuliz el contenido de l cint y de l primer pil. Ls trnsiciones del tipo δ(p, α) = (q, α, ), se simuln en el utómt medinte trnsiciones del tipo δ (p, ε, α, β) = (q, α β, ε, i.e. si l MT se desplz l derech, tenemos que despilr de l segund pil y pilr en l primer, trs her ctulizdo el contenido. Ls trnsiciones del tipo δ(p, α) = (q, α, ), se simuln en el utómt medinte trnsiciones del tipo δ (p, ε, α, β) = (q, ε, α β, i.e. si l MT se desplz l izquierd, tenemos que despilr de l primer pil y pilr en l segund, trs her ctulizdo el contenido. Antes de comenzr l simulción nterior, el utómt dee leer su entrd e irl pilndo en l segund pil. Un vez leid tod l entrd, l primer pil sólo contiene el inicio de pil, digmos Z, que jueg el ppel de inicio de cint. El inicio de pil en l segund pil jueg el ppel de último lnco, cd vez que se pretende mover l derech y l pil segund está vcí, el utómt tiene que pilr en l primer pil un lnco. Con todo lo nterior, qued clro que un máquin de Turing puede simulrse medinte un utómt con dos pils.

31 Teorí de Autómts y Lengujes Formles Ingenierí Técnic en Informátic de Sistems Junio 28 Ejercicio (2 ptos.) Decidir si los siguientes utómts finitos determinists son equivlentes, i.e. deciden el mismo lenguje. A B E F C D G Ejercicio 2 (2 ptos.) Convertir en un utómt finito determinist el siguiente utómt finito no determinist. q q q 2 q 3

32 Prolem 3 (2 ptos.) Construir un utómt pil que cepte por pil vcí y reconozc el lenguje de ls expresiones ritmétics (involucrndo números representdos en inrio). Convertir dicho utómt en un grmátic independiente de contexto plicndo el lgoritmo l uso. Prolem 4 (2 ptos.) Se Σ un lfeto finito y se L el lenguje de ls cdens w Σ tles que su longitud es 2 n pr lgún n N. Demostrr que L no es un lenguje regulr. Prolem 5 (2 ptos.) Demostrr que l unión de un fmili finit de lengujes independientes de contexto es independiente de contexto.