TEORÍA DE AUTÓMATAS I Informática de Sistemas. Soluciones a las cuestiones de examen del curso 2010/11

Transcripción

1 TEORÍA DE AUTÓMATAS I Informátic de Sistems Soluciones ls cuestiones de exmen del curso 2/ Ferero, ª semn. Indique cuál de ls siguientes firmciones referentes los operdores sore símolos *, y es FALSA: ) El operdor * tiene precedenci sore y ) El operdor tiene l menor precedenci y es socitivo por l izquierd c) El operdor NO es socitivo por l izquierd Solución: C. 2. Indique cuál de los siguientes lengujes es independiente del contexto: ) L = n m c 2n d 2n n >, m > ) L = () n c n d m n >, m >, n m c) L = 2n m c n n >, m, n es pr y m es impr Solución: C. Es fácil diseñr un utómt de pil que cepte el lenguje. En cunto los lengujes A y B, un únic pil no permite el recuento independiente de 3 exponentes. 3. Se L = { i j c k } ij o jk} y L 2 el lenguje generdo por l siguiente grmátic: S AB, S CD, A A, A, B Bc, B E, B cd, C C, C E, C A, D cd, D, E E, E. Indique cuál de ls siguientes firmciones es ciert (donde denot l inclusión estrict): ) L = L 2 ) L L 2 c) L 2 L Solución: A. El no terminl A gener cero o más s. D gener cero o más c s. E gener cero o más s. B gener primero un número igul de s y c s, luego produce ien uno o más s (vi E) o uno o más c s (vi cd). Es decir, B gener cdens en *c* con un número diferente de s y c s. Similrmente, C gener un número diferente de s y s, mientrs que CD gener cdens de **c* con un número diferente de s y s. 4. Un homre que vij con un loo, un cr y un repollo dese cruzr un río. Dispone de un rc donde sólo cen él y un de sus posesiones l vez. Si dejr solos l loo y l cr el loo comerí l cr, y si dejr solos l cr y l repollo l cr comerí el repollo. Serí posile representr medinte un utómt tods ls secuencis posiles de cruces del río medinte ls cules el homre consigue psr l otr orill con tods sus pertenencis? (l: el homre cruz con el loo; c: el homre cruz con l cr; r: el homre cruz con el repollo; s: el homre cruz sólo;

2 2 l : el homre regres l orill de prtid con el loo; c : el homre regres l orill de prtid con l cr; r : el homre regres l orill de prtid con el repollo; s : el homre regres l orill de prtid sólo.). ) Sí, siempre que el utómt NO fuese determinist ) Sí, y el utómt podrí tener menos de 2 estdos c) Sí, y el estdo de inicio podrí coincidir con el estdo de ceptción Solución: B. He quí un ejemplo de tl utómt: c s c s l l r r c c c c c s r r l l c s 5. Sen L el lenguje generdo por l grmátic G (situd l izquierd) y L 2 el lenguje generdo por l grmátic G 2 (situd l derech). S A A B B xaby xzs B yz S S A A A xayzy xay xzs yz Indique cuál de ls siguientes firmciones es ciert (donde denot l inclusión estrict): ) Ls grmátics son idéntics ) Ls grmátics son distints, y L L 2 c) Medinte G se pueden generr tods ls cdens de L 2 Solución: C. Ls grmátics no son idéntics pero genern el mismo lenguje. Pr verlo, st sustituir el no-terminl B por ls secuencis que puede generr.

3 3 6. Ddo un lfeto, llmmos L l conjunto de lengujes de ceptdos por máquins de Turing de vris cints, y L 2 l conjunto de lengujes de estructurdos por frses. Cuál de ls siguientes firmciones es verdder? ) L L 2 ) Depende de c) L = L 2 Solución: C. Tod máquin de Turing de vris cints es equivlente (en cunto l lenguje que reconoce) un máquin de Turing determinist de un cint. 7. Ddo un lenguje L estructurdo por frses decidile, el complemento de L: ) Es estructurdo por frses pr todo L ) Nunc es estructurdo por frses c) Dependiendo de L, podrí o no ser estructurdo por frses Solución: A. Ver ls págs. 86ss del liro de texto. 8. Se un utómt de pil con n estdos, s símolos en el lfeto, g símolos de pil y t trnsiciones. Se cumple que... ) t = n (s+) (g+) ) t n 2 (s+) 2 (g+) c) t n 2 (s+) (g+) 2. Solución: C. El conjunto de trnsiciones de un utómt de pil no-determinist puede ser culquier suconjunto de S ' ' S ', donde S es el conjunto de estdos, el lfeto, el conjunto de símolos de pil, '. ' y 9. Indique cuál de ls siguientes firmciones es FALSA: ) Todo lenguje regulr puede construirse prtir de un lfeto utilizndo ls operciones de unión finit, conctención y estrell de Klenne ) Todo lenguje independiente del contexto puede construirse prtir de un lfeto utilizndo ls operciones de unión finit, intersección, conctención y estrell de Klenne c) Todo lenguje finito puede construirse prtir de un lfeto utilizndo ls operciones de unión finit, conctención e intersección Solución: B. Medinte ls operciones de unión finit, conctención y estrell de Klenne se pueden construir sólo lengujes regulres (quellos que se representn medinte expresiones regulres). L intersección de dos lengujes regulres siempre es regulr.

4 4. Considere el lfeto = {,}. Qué lenguje reconoce el siguiente utómt?: ) {x x {,}*} {x x {,}*} ) {x x {,}*} c) {x x {,}*} Solución A. El utómt reconoce el lenguje de ls cdens que empiezn y terminn por cero.. Se L el lenguje representdo por el utómt de l figur. Indique cuál de ls siguientes opciones represent el mismo lenguje: ) ( ) ( ) ()* ) ( ) ( )* ()* c) S R, S R, R R 2, R R 2, R, R, R 3 R 2, R 3, Solución: A. 2. Cuánts cdens de longitud 6 represent l expresión regulr x (yz) x (xyz)* x? ) Menos de 5 ) 5 c) Más de 5 Solución: C. Son ls 233=8 cdens representds por l expresión regulr x (yz) x (xyz) (xyz) x. 3. Ddo el lfeto {x, y, z}, queremos construir un máquin de Turing que usque en su cint l secuenci xy, l sustituy por zz y se deteng en cunto hy relizdo est operción. Qué vlores de ls etiquets hcen correct l siguiente solución?

5 5 ) Etiquet = L Etiquet2 = z ) Etiquet = L x Etiquet2 = z c) Ningún vlor puede hcer correct l socución R x R x y z Etiquet Etiquet2 Solución: C. Dd l cden xzxy, l máquin se detiene trs leer los dos primeros símolos. 4. Se un máquin de Turing M con lfeto. Cundo M exmin un cden x L(M)... ) se pr en un estdo de no ceptción. ) puede her un terminción norml. c) lee l cint indefinidmente, sin detenerse nunc. Solución: B. Puede que l máquin no se deteng o que hy terminción norml. L respuest C serí vlid si dijer es posile que le l cint indefinidmente, sin detenerse nunc. 5. Un lenguje L regulr se puede generr medinte un grmátic expresd en form norml de Chomsky. ) Sí, siempre. ) Depende de L. c) No, nunc. Solución: B. Cierto sólo si L no contiene l cden vcí. 6. Indique qué expresión represent el lenguje generdo por ls regls de reescritur: S S S x S y S xy S S 2 S 2 xs 2 yy S 2 xyy ) {xnym m y n son enteros positivos tles que m = n o m > n, n, m } ) {xnym m y n son enteros no negtivos tles que m = n o m = 2n} c) {xnym m y n son enteros positivos tles que m = n o m = 2n, n, m } Solución: C.

6 6 Ferero, 2ª semn 7. Indique cuál de ls firmciones siguientes es FALSA: ) Un utómt finito determinist utilizdo como reconocedor de lengujes con l menos un cden necesrimente tiene que tener l menos un estdo de ceptción ) Dd un grmátic regulr G, siempre existe un utómt finito M tl que L(G) = L(M) y M tiene un único estdo de ceptción c) Un utómt reconoce un cden cundo lcnz un estdo de ceptción durnte su lectur Solución: C. Pr que un cden se ceptd por un utómt finito o de pil es necesrio que l lectur del último símolo de l cden le conduzc un estdo de ceptción. A es trivilmente verdder. B es verdder: ddo un utómt finito, siempre es posile convertirlo en otro que teng un único estdo de ceptción y que cepte el mismo lenguje (vése el prolem 26 del liro de texto). 8. Un homomorfismo de cdens es un función sore cdens que sustituye cd símolo por un cden determind. Así, l función h() =, h() = es un homomorfismo que sign, p.e, l cden l cden. Indique cuál de ls siguientes firmciones es fls: ) Si L es un lenguje regulr de lfeto y h es un homomorfismo sore, entonces h(l) tmién es regulr ) Si h(l) es un lenguje no regulr de lfeto y h es un homomorfismo sore, entonces L tmién es no regulr c) Si h(l) es un lenguje regulr de lfeto y h es un homomorfismo sore, entonces L tmién es regulr Solución: C. Supongmos que el homomorfismo h sign l cden culquier símolo del lfeto. En este cso, h(l) serí el lenguje regulr {} independientemente de L. A es verdder: st con ver que dd un expresión regulr r que define L, entonces h(r) define h(l). En cunto l opción B, es ovimente verdder pues, de otro modo, estrí en contrdicción con l opción A. 9. Indique cuál de ls siguientes opciones es ciert con respecto l lenguje L = n m c p m = n+p, n >, p ) S AB, A A, B Bc gener L ) S AB, A A, B cbc gener L c) No existe ningun grmátic genertiv que genere L Solución: A. L grmátic del prtdo B gener el lenguje L = m 2m c 2n m >, n (por cd se genern dos s; el número de c s es ritrrio pero necesrimente pr). 2. Indique cuál de ls siguientes firmciones es fls:

7 7 ) Pr todo utómt finito existe un longitud mínim tl que ls cdens que reconoce el utómt siempre exceden dich longitud ) Todo utómt definido pr un lfeto con n símolos dee contener l menos n trnsiciones c) Se n un número nturl tl que n 2. Ddos un lfeto y un conjunto de símolos de cint, el número totl de máquins de Turing con n estdos es finito Solución: B. A es ciert: ls cdens hn de ser de longitud finit, luego siempre existirá un cden de mínim longitud en el lenguje. B es fls: Un utómt no determinist no tiene por qué estr completmente definido (ver pág. 32 del liro de texto). C es verdder 2. Ddo el lfeto Σ= {, }, indique cuál de ls siguientes firmciones es fls: ) L expresión regulr *(**)* represent l lenguje de ls cdens con un número pr de letrs ) L expresión regulr (***) * represent l lenguje de ls cdens con un número múltiplo de 3 de letrs c) L expresión regulr ** (**)* represent l lenguje de ls cdens con un número impr de letrs Solución: B 22. L siguiente máquin de Turing entr en un ucle y no termin nunc sus cálculos cundo se inici con l cden yyxyxx. Cuáles son los vlores de etiquet y etiquet2? ) Etiquet = x/r Etiquet2 = y/r ) Etiquet = x/r Etiquet2 = x/r c) Etiquet = y/r Etiquet2 = x/r Etiquet x/r / y/l Etiquet2 y/r / Solución: B. Bst notr el estdo y diujr l cint pr cd trnsición. 23. Indique cuál de ls tres firmciones siguientes es fls: ) Pr todo utómt finito no determinist M existe un utómt finito determinist M tl que L(M)=L(M ). y/x

8 8 ) Pr todo utómt de pil no determinist M existe un utómt de pil determinist M tl que L(M)=L(M ). c) Pr tod máquin de Turing no determinist M existe un máquin de Turing determinist M tl que L(M)=L(M ). Solución: B. 24. Considere el lenguje 2-menos(L) = w vw L y v = 2, v, w *, =,. Indique cuál de ls siguientes firmciones es FALSA. ) Si L es un lenguje regulr entonces 2-menos(L) es regulr ) Aunque L se regulr, es posile que 2-menos(L) no se regulr c) Aunque L no se regulr 2-menos(L) puede ser regulr Solución: B. A es verdder: el utómt finito que reconoce 2-menos(L) puede construirse fácilmente prtir del utómt que reconoce L sin más que ñdir un nuevo estdo de inicio con rcos etiquetdos por hci todos los estdos lcnzles medinte un cmino de longitud 2 desde el estdo inicil del utómt de prtid. De hí se deduce que B es fls. C es verdder: considere L el lenguje cuyos dos primeros símolos indicn si l longitud totl de l cden es un número primo (p.e. indic que l longitud de l cden es un número primo y que no es un número primo); en este cso: 2-menos(L) = *, lenguje regulr. 25. Indique cuál de los siguientes lengujes NO es regulr: ) L = n m n+m > 5, n >, m ) L = n m m > 5n, n > c) L = n n/ es un entero Solución: B. En el cso de los lengujes A y C los lengujes pueden representrse medinte ls expresiones regulres {** ** ** ** ** **} y {}*, respectivmente. L demostrción de que el lenguje B no es regulr es nálog demostrción de que no lo es el lenguje { n n }. 26. Indique cuál de los siguientes lengujes es regulr: ) { n l ríz cudrd de n es un número entero}, = {,} ) { n l ríz cudrd de n es un número entero}, = {} c) El conjunto de s y s, comenzndo por, tl que cundo se interpret como un entero, dicho entero es un número primo menor que 3 Solución: C. El lenguje de l opción C es un lenguje finito y por tnto regulr. El lenguje { n l ríz cudrd de n es un número entero} no es regulr, independientemente del lfeto considerdo, y que no cumple el lem de omeo. Consideremos w = n2, w =xyz. Bomendo l sucden y otenemos l cden xyyz, cuy longitud vrí entre n 2 + y 2n 2. El siguiente cudrdo perfecto después de n 2 es (n+) 2 = n n y, pr todo número nturl n, n n > 2n 2.

9 9 27. Cuál es el número máximo de trnsiciones pr un utómt de pil con n estdos, s símolos en el lfeto y g símolos de pil? ) n 2 (s+) 2 g ) n 2 (s+) (g+) 2 c) n 2 (s+) 2 (g+) Solución: B. El conjunto de trnsiciones de un utómt de pil no-determinist es un suconjunto de S( { ( { S ( {. 28. En un cierto utómt de pil determinist con ={x, y} existe un trnsición (i,,, j, x). Cuánts trnsiciones en totl deen prtir del estdo i? ) Un ) Tres c) Más de tres Solución: A. Está clro que, por ser determinist, l trnsición (i,,,, ) excluye (i, x,,, ), (i, y,,, ), (i,, x,, ), (i,, y,, ), (i, x, x,, ), (i, x, y,, ), (i, y, x,, ) e (i, y, y,, ), es decir, no hy más que un trnsición desde el estdo i. 29. Ddo el lfeto {x, y, z}, queremos construir un máquin de Turing que usque en su cint l secuenci xy, l sustituy por zz y se deteng en cunto hy relizdo est operción. Qué vlores de ls etiquets hcen correct l siguiente solución? ) Etiquet = y/z Etiquet2 = z/l ) Etiquet = y/r Etiquet2 = z/z c) Ningún vlor de ls etiquets hce correct l solución x/r x/r x/r Etiquet Etiquet2 x/z /R z/r z/r x/r Solución: A. L máquin se encuentr en el segundo estdo si y sólo si el último símolo leído es x. En el primer estdo se encuentr cundo todví no h precido un x, o cundo después de un x preció otro crácter distinto de y. 3. Cuáles son ls cdens que cept el siguiente utómt vcindo su pil?

10 x ;x y, x; ) Cdens en ls que, l ser leíds de izquierd derech, el número de y s nunc super l de x s leíds. ) Ls cdens con más x s que y s c) Cdens en ls que, l ser leíds de izquierd derech, el número de y s nunc super l de x s leíds y, en totl, el número de x s es igul l de y s. Solución: C. 3. Indique cuál es el tipo de utómt más sencillo (menos generl) cpz de reconocer el lenguje x n y 3n, donde n es un número nturl. ) Un utómt de pil determinist. ) Un utómt de pil no determinist. c) Un máquin de Turing. Solución: A. Construir el utómt, cuidndo que se no determinist. Es decir, utilizr un trnsición y,x; en vez de,;. 32. Ddo un lenguje L estructurdo por frses, el complemento de L es estructurdo por frses. ) Es estructurdo por frses pr todo L ) Nunc es estructurdo por frses c) Dependiendo de L, podrí o no ser estructurdo por frses Solución: C. Ver ls págs. 86ss del liro de texto. Septiemre, originl 33. Indique cuál de los siguientes lengujes no es independiente del contexto: ) El conjunto de cdens de ceros y unos tles que en ninguno de sus prefijos el número de ceros excede l número de unos en más de dos, ni el número de unos excede l número de ceros en más de dos ) El conjunto de cdens de ceros, unos y doses tles que el cero no es el crácter que ocurre con más frecuenci en l cden c) El conjunto de cdens de ceros, unos y doses tles que el número de ceros es myor que l sum del número de unos y doses

11 Solución: B. El lenguje de l opción A es independiente del contexto: podrí reconocerlo un utómt de pil que comenzse sus operciones gurdndo dos 's en l pil; prtir de entonces meterí un en l pil por cd leído y scrí un de l pil por cd leído, y un cden serí rechzd en cunto se leyese un con l pil vcí. El diseño de un utómt de pil que reconozc el lenguje de l opción C es igulmente sencillo. En cunto l lenguje de l opción B, es fácil ver que se requerirí el recuento independiente de ceros, unos y doses, operción que no puede hcerse con un únic pil. 34. Considere l grmátic G = {S AA, A AAA, A, A A, A A}. Indique cuál de ls siguientes firmciones es verdder: ) Existen l menos seis derivciones distints pr l cden ) Sólo existe un form posile de derivr l cden prtir de l grmátic c) Existen exctmente cutro derivciones distints. Solución: A. Existen muchs derivciones posiles. Así p.e., l plicción de regls permite otener l expresión AA l menos de cutro forms distints: S AA AA AA (plicndo l 5ª regl l primer A) S AA AA AA (plicndo l 4ª regl l segund A) S AA (plicndo ls regls 4ª o 5ª ) AA De l expresión AA se puede derivr de dos forms distints AA, y de ést se puede derivr de vris forms. 35. L estrell de Kleene de un lenguje independiente de contexto, es siempre un lenguje independiente de contexto? ) Sí, siempre ) No, nunc c) Depende de los csos Solución: A. Prtiendo de un grmátic independiente de contexto que genere L, renomrmos S como S, y ñdimos ls regls SS S y S. L grmátic otenid es independiente del contexto y gener el lenguje L*. 36. Indique cuál de ls siguientes operciones no puede relizr un máquin de Turing: ) L función f : f (x) = si x es impr; f(x) indetermindo si x es pr ) Decidir el lenguje de ls mtrices mn ; m, n N y m número primo c) Decidir el lenguje intersección de dos lengujes indecidiles Solución: C. L función de l opción A es clrmente un función computle; no requiere más que discernir entre números pres e impres. Decidir el lenguje de l opción B, por su prte, sólo requiere dictminr si m es un número primo, prolem que tmién tiene solución lgorítmic. Finlmente, l intersección de dos lengujes indecidiles puede ser indecidile (por ejemplo, l intersección de dos lenguje L y L indecidiles tles que L = L, es un lenguje indecidile), y un máquin de Turing no puede decidir un lenguje indecidile.

12 2 37. Sen L = { i j c k i<j o ien j<k} y L el generdo por l grmátic SXC, SAYc, XX, XX, X, CCc, C, AA, A,YYc, YYc, Y. Indique cuál de ls siguientes relciones es ciert (Not: el símolo denot inclusión estrict): ) L=L ) L L c) L L Solución: A. 38. Indique l opción en que figuren expresiones regulres equivlentes entre sí: ) (x*y)*, x*(yx*)*y ) (x*y)*, x*(yx*)*y c) (xz y) (zz)* (zy (xy)* (xz y) (zz)*)*, (xy)* (xz y) (zz)* (zy (xy)* (xz y) (zz)*)* Solución: B. 39. Indique cuál de ls siguientes opciones NO descrie un lenguje: ) El conjunto de ls plrs del diccionrio de l Rel Acdemi Espñol ) Los números rcionles escritos en notción deciml c) El conjunto de los progrms sintácticmente válidos escritos en C Solución: B. Un lenguje se define como un conjunto de cdens formds por los símolos de un lfeto. Algunos números rcionles (p.e., /3) son cdens de longitud infinit. 4. Se h: {,}* {,}* tl que h(w) es l cden resultnte de sustituir en w cd símolo por l sucden y cd símolo por l sucden. Sen L lenguje generdo por l expresión regulr ()* y L 2 el lenguje generdo por l expresión regulr ( )*. Indique cuál de ls siguientes firmciones es FALSA: ) h(l ) = L 2 ) h(l ) L 2 y h(l ) L 2 c) Si w L h(w) L 2 Solución: A. Ls cdens de L 2 con un número impr de símolos no son imgen medinte h de ningun cden de L. Como ls cdens de L responden l ptrón w=() n, h(w) = () n L 2. Si w ()*, entonces: ) si w empiez por, h(w) empiez por y ( )* ) si w termin por, h(w) termin por y ( )*, c) si w contiene l sucden entonces h(w) contiene l sucden y ( )*, d) si w contiene l sucden entonces h(w) contiene l sucden y ( )*. 4. Indique cuál de los siguientes lengujes es independiente del contexto: ) L = { n n n } ) L = {www w {,}*}

13 3 c) L = { m n c p m n o ien n p o ien m p } Solución: C. El lenguje de l opción C puede verse fácilmente como unión de lengujes independientes del contexto. Los dos primeros lengujes no verificn el lem de omeo pr lengujes independientes del contexto. 42. Considere el lfeto = {, } y los dos utómts de l figur, e indique cuál de ls siguientes firmciones es FALSA 2 2 ) Los dos utómts reconocen el mismo lenguje ) Uno de los dos utómts es determinist c) Ninguno de los digrms está completo (flt el estdo de cptción glol)) Solución: C. Los dos utómts reconocen el lenguje de ls cdens del lfeto S = {, } terminds en l sucden. El segundo puede otenerse plicndo l primero el procedimiento de otención de utómts finitos determinists prtir de no determinists descrito en el liro de texto de l signtur. El segundo digrm está completo (desde cd estdo existe un trnsición explícit por cd símolo del lfeto). 43. Indique cuál de ls siguientes firmciones es FALSA: ) Un grmátic forml estructurd por frses siempre puede descriirse medinte regls de reescritur ) Derivr un cden de un grmátic forml es plicr regls sustituyendo el ldo izquierdo por el derecho hst llegr un secuenci de símolos terminles c) Se dice que L es el lenguje generdo por l grmátic G cundo tods ls cdens de L pueden derivrse de G Solución: C. Un lenguje es generdo por un grmátic cundo tods sus cdens y SOLAMENTE sus cdens pueden derivrse de dich grmátic. Por ejemplo, l grmátic: S xsy S no gener el lenguje L = {xy}, pesr de que tods ls cdens de L pueden derivrse de ell. L es sólo un suconjunto del lenguje generdo. 44. Se L = { n n c n } un lenguje del lfeto = {,, c}. Considere l máquin de Turing de l figur, cuyos símolos de cint son,, c, d y. Indique cuál de ls siguientes firmciones es verdder::

14 4 d,d,d R dr dr dl c c,,c, R ) L máquin decide el lenguje L ) L máquin reconoce el lenguje L* c) L máquin reconoce el lenguje L Solución: B. 45. Sen L y L los lengujes reconocidos, respectivmente, por los utómts situdos en l izquierd y derech de l siguiente figur. Se L el lenguje del lfeto =, cuys cdens tienen igul número de ceros que de unos, y tles que en cd prefijo l diferenci entre el número de ceros y el número de unos se lo sumo de un unidd. Indique cuál de ls siguientes relciones es verdder: ) L = L ) L = L c) L = L Solución: C. L incluye *, que no incluyen L ni L 46. Indique cuál de ls siguientes firmciones es FALSA : ) Pr tod grmátic cuys regls contienen símolos inccesiles (símolos terminles o no terminles que no precen en ningun derivción del símolo inicil) existe otr grmátic que gener el mismo lenguje y NO contiene símolos inccesiles ) Pr tod grmátic cuys regls contienen símolos muertos (símolos no terminles de los que no se deriv ningun cden de símolos terminles) existe otr grmátic equivlente que gener el mismo lenguje y NO contiene símolos muertos

15 5 c) Pr tod grmátic cuys regls incluyen regls existe otr grmátic que gener el mismo lenguje y NO contiene regls ; en lgunos csos, dich grmátic necesrimente incluirá lgún símolo inccesile o muerto. Solución: C. Pr otener ls regls de un grmátic sin símolos muertos ni inccesiles st con eliminr ls regls que contengn dichos símolos. Tod grmátic que genere l cden necesrimente incluye un regl. 47. Sen A, B y C lengujes de un lfeto. Indique cuál de ls siguientes relciones puede ser fls: ) A(B C) = AB AC ) A( i I B i ) = ( i I AB i ) c) A(BC) = AB AC Solución: C. Considere A =,, B = y C =. Teng en cuent que l conctención de culquier conjunto con el conjunto vcío es el conjunto vcío. 48. Se Σ un lfeto. Indique cuál de ls siguientes firmciones es FALSA: ) Σ* siempre es un conjunto myor que culquier de sus suconjuntos propios (Se A un suconjunto de B tl que A B. Estonces se dice que A es un suconjunto propio de B) ) L intersección de Σ* con uno de sus suconjuntos propios puede ser infinit contle c) El complementrio de l intersección de Σ* con uno de sus suconjuntos propios puede ser un conjunto finito Solución: A. Un conjunto infinito puede tener igul crdinlidd que uno de sus suconjuntos propios. Septiemre, reserv 49. Considere el lenguje formdo por ls cdens de ceros y unos que cumplen un de ls siguientes condiciones: ) terminn en y tienen en lgún lugr l sucden ; 2) terminn en y tienen en lgún lugr l sucden. Indique cuál de ls siguientes firmciones es FALSA: ) Existe un utómt no determinist con menos de 2 estdos que reconoce el lenguje ) No existe ningún utómt determinist que reconozc el lenguje c) Existe un utómt no determinist con menos de 4 rcos que reconoce el lenguje

16 6 Solución: B. El utómt de l figur es no determinist, tiene menos de 2 estdos (y por tnto menos de 4 rcos) y reconoce el lenguje. L potenci de reconocimiento de lengujes de los utómts finitos no determinists y los determinists es idéntic, y por tnto l opción B es FALSA. 5. Se el lfeto {x, y}. Cuánts cdens contiene el lenguje ceptdo por l máquin de Turing R? ) Ningun ) Vris (un número finito myor que uno) c) Infinits Solución: C. El lenguje que cept es *. 5. Sen = {, }y L := {w * w comienz por l sucden y contiene un número pr de s}. ) Existe un utómt finito determinist con 5 estdos que reconoce L ) Existe un utómt finito determinist que reconoce L, pero necesrimente tiene más de 6 estdos c) No existe un utómt finito determinist que reconozc L; y que no se trt de un lenguje regulr Solución: A. 52. Dd l grmátic S S; SSS; S. Indique cuál de ls siguientes firmciones es FALSA: ) Culquier cden generd por l grmátic contiene un sucden no vcí donde el número de letrs es igul l número de letrs ) Pr culquier prefijo de un cden generd por l grmátic se verific que el número de letrs es myor o igul l número de letrs. Prefijo de un cden w es tod cden no vcí x pr l que existe un cden u tl que w = xu. c) El lenguje generdo por l grmátic es estructurdo por frses

17 7 Solución: A. L cden, generd por l grmátic, no cumple est condición. 53. Indique cuál de los siguientes lengujes no es independiente del contexto: ) L L, L = { n n n } ) L = { i j c k k= min(i,j)} c) L = {wx w, x {,}*, w R (es decir, l invers de l cden w) sucden de x} Solución: B. No cumple el lem de omeo. Ls grmátics independientes del contexto que generm A y C son, respectivmente, SEE, SA, SB, EE, EE, E, AA, AA, A, BB, BB, B ; y SS, SS, SA, AA, AA, AB, BB, BB, B#. 54. Se L el lenguje del lfeto = {, } cuys cdens tienen igul número de s que de s. Considere l máquin de Turing de l figur, cuyos símolos de cint son,, d y. Indique cuál de ls siguientes firmciones es FALSA: d,d R dr dl dr R,d ) L máquin de Turing de l figur decide el lenguje L ) L máquin de Turing de l figur reconoce el lenguje L c) L máquin de Turing de l figur nunc tiene un terminción norml Solución: A. L máquin reconoce, pero NO decide el lenguje. 55. Indique cuál de ls siguientes firmciones es FALSA: ) Pr todo lenguje L de un lfeto, L *, existe un lenguje L, L L, que NO es decidile ) Se f un función computle definid pr todo w *, f: * *. Entonces, el lenguje L ={ (x,y) tl que f(x) = y} es decidile c) Un lenguje cofinito (un lenguje es cofinito si y sólo si su complementrio contiene un número finito de cdens) siempre es regulr Solución: A. Siendo L = * - {} ( ), los únicos lengujes que contienen L son * y el propio L, mos decidiles. Es fácil diseñr un máquin de Turing que decid el lenguje definido en l opción B; tl máquin computrí l función f en un primer cint y comprrí el resultdo con y, que se lmcenrí durnte l computción en un segund cint. C es verddero porque todo lenguje finito es regulr, y todo lenguje regulr tiene un complementrio tmién regulr.

18 8 56. Sen el lfeto = {, } y el utómt de l figur: 2 3 ) El utómt puede procesr l cden de 4 forms distints ) Sólo existe un modo en que el utómt puede procesr l cden c) Al procesr l cden, el último estdo visitdo es siempre el estdo 3 o ien el estdo 2 Solución: A. El utómt puede procesr l cden de 4 forms distints, correspondientes ls siguientes secuencis de estdos: {,,3,3,3,3}, {,,,2,3,3}, {,,,,,2}, {,,,,,}. 57. Indique cuál de ls siguientes firmciones es FALSA: ) Cd regl de un grmátic independiente del contexto puede plicrse sin importr el contexto donde se encuentre el símolo no terminl que reescrie ) En todo lenguje independiente del contexto que contiene un número infinito de cdens existe un cden de l form svuwt, donde s,v,u,w y t son sucdens, v, u y w no vcís, y sv n u n w n t está en el lenguje pr cd n N+ c) Tod grmátic independiente del contexto que no genere l cden vcí puede expresrse en l form norml de Chomsky Solución: B. P.e, el lenguje x n zy n es independiente del contexto y no verific est condición. Sí verific, por el contrrio, el lem de omeo, de enuncido ligermente distinto: en todo lenguje independiente del contexto que contiene un número infinito de cdens existe un cden de l form svuwt, donde s,v,u,w y t son sucdens, por lo menos un de v y w no vcí, y sv n uw n t está en el lenguje pr cd n N Considere el lenguje { j } tl que existe un k pr el que j= k! ; k! = k (k-) (k- 2) ) ) Es regulr ) Es independiente del contexto, no regulr c) Es estructurdo por frses, no independiente del contexto Solución: C. No verific el lem de omeo. 59. Considere ls grmátics G = {S S, S A, S, A B, A S, B B, B B, C A, C C} y G 2 = {S S, S A, S, A S}. Sen L y L 2 los

19 9 lengujes generdos respectivmente por G y G 2 ; entonces (Not: el símolo denot l relción de inclusión estrict): ) L L 2 ) L 2 L c) L = L 2 Solución: C. Ls regls que implicn los no terminles B y C no genern ningun cden. 6. L unión de un lenguje independiente de contexto con un lenguje estructurdo por frses y no independiente de contexto: ) Es estructurdo por frses pero nunc es independiente del contexto ) Es independiente del contexto pero nunc es regulr c) Puede ser regulr Solución: C. Escogemos un lenguje L independiente del contexto tl que su complementrio, c(l ), no se independiente del contexto. Como L es estructurdo por frses decidile, c(l ) es estructurdo por frses. L unión de L y c(l ) es *, que es regulr. 6. Indique cuál de ls siguientes definiciones es INCORRECTA : ) Un grmátic descrie l estructur de un lenguje proporcionndo ls regls que determinn ls cominciones válids de los símolos del lfeto ) Un expresión regulr descrie ls cdens pertenecientes un lenguje regulr c) Un utómt finito determinist es quel cuy función de trnsición de estdos dee estr definid pr cd estdo y símolo del lfeto. Solución: C. Además, pr cd símolo de entrd dee existir un único estdo l que el utómt puede llegr prtiendo del ctul. 62. Indique cuál de ls siguientes firmciones es FALSA : ) El lem de omeo pr los lengujes regulres sirve pr demostrr que un lenguje L NO es regulr ) El lem de omeo pr los lengujes regulres sirve pr demostrr que un lenguje L es regulr c) Los lengujes regulres cumplen el lem de omeo pr los lengujes independientes del contexto Solución: B. 63. Sen L el lenguje reconocido por el utómt de l figur y L el lenguje generdo por l expresión regulr ( )* ( ) ( ). Indique cuál de ls siguientes firmciones es verdder (not: el símolo denot inclusión estrict):

20 2 ) L = L ) L L c) El utómt es determinist Solución: A. 64. Indique cuál es el tipo de utómt más sencillo (menos generl) cpz de reconocer el lenguje x n y 3n, donde n es un número nturl. ) Un utómt de pil determinist. ) Un utómt de pil no determinist. c) Un máquin de Turing. Solución: A. Constrúyse el utómt, cuidndo que se no determinist. Es decir, utilizndo un trnsición y,x;λ en vez de λ,λ;λ.