Tema 5: Introducción a la Teoría de la Computabilidad. Máquinas de Turing (MT) Ejemplo de máquina de Turing. Funcionamiento de la Máquina de Turing

Transcripción

1 Tem 5: Introducción l Teorí de l Computbilidd OBJETIVO: Máquins de Turing Implementción de tipos de dtos en un MT. Problem de Prd Tesis de Church-Turing Utilizción de l máquin de Turing como modelo computcionl Comprensión de l existenci de límites intrínsecos los procesos computcionles Máquins de Turing (MT) MT es similr un Autómt de Turing pero hor NO HAY ETADO FINAE Elementos Elementos distinguidos pr l inicilizción: Q estdo inicil Ciclo-máquin: Componentes físicos Unidd de Proceso Fuente de entrd Memori Consults Estdo ctul ímbolo de cint Definición forml: M = (Q, Σ, Γ, δ, ) con δ : Q Γ - Q Γ {, } Componentes lógicos Conjunto de estdos Q Alfbeto de entrd Σ Alfbeto de cint Γ con Σ Γ y con el símbolo blnco () Acciones Modificción de l cint Cmbio de estdo (escribir) Mover cbez lector: derech () o izquierd () 1 2 Funcionmiento de l Máquin de Turing Configurción: (u, q, v) Γ* Q Γ* Movimientos: (con s,t,x Γ u,w Γ*) (ut, p, sw) (utx, q, w) si y solo si δ(p, s) = (q, X, ) (ut, p, sw) (u, q, txw) si y solo si δ(p, s) = (q, X, ) Cómputo: ucesión de movimientos desde l configurción inicil Configurción inicil: (ε,, z 1 z 2 z 3 z k ) con z i Σ * (1 i k), k 1. Configurción finl: configurción obtenid l prr l máquin. esultdo (del cómputo): i (u, p, w) es l configurción finl y w = vxz con v Σ*, X Γ-Σ, z Γ* el resultdo del cómputo es v. v es l plbr leíd desde l csill señld por l cbez lector hci l derech, formd únicmente por símbolos del lfbeto de entrd. i no hy configurción finl, el resultdo es indefinido (diverge) Ejemplo de máquin de Turing Máquin que recibe un número en binrio (cden no-vcí de 0 s y 1 s) y devuelve el siguiente número binrio (es decir, le sum 1). M = ( {,,, finl}, {0, 1}, {0, 1, }, δ, ) δ 0 1 (,, ) (, 1, ) (, 0, ) (finl, 1, ) (finl,, ) finl

2 Ejemplo. Configurción inicil Ejemplo de cómputo Blnco, símbolo de cint ímbolos del lfbeto de entrd Cbez lector-escritor (,, 1011) finl (1,, 011) finl finl Q estdos finl (10,, 11) (101,, 1) finl (1011,, ) finl (101,, 1) finl 5 6 Ejemplo de cómputo (sigue) Funciones Computbles finl finl finl (10,, 10 ) (1,, 000) (,, 1100 ) s máquins de Turing pueden computr funciones (totles o prciles). Un función prcil está indefinid pr lgunos rgumentos, pr ellos l máquin de Turing debe diverger. Pr el resto de rgumentos, l máquin debe dr como resultdo de cómputo: el resultdo de l función sobre dichos rgumentos. Un función f se dice que es Turing-computble si existe un máquin de Turing que l comput. finl finl máquin se pr, dndo como resultdo: 1100 M comput l función f : Σ* - Σ* si: f(x) = z (ε,, x) * conf. finl con resultdo z f(x) = indefinid (ε,, x) * (M diverge, no pr) (,, 1100) (, finl, 1100 ) 7 8

3 Ejemplo e f : Σ* - Σ* con Σ={, b}, definid: ε si u contiene f(u) = en cso contrrio Un MT pr clculr f es M =({, }, {,b}, {,b,}, δ, ) con δ definid: δ b (,, ) Ejemplo: Máquin pr invertir Método: escribir l izquierd de l entrd x, de form que l slid se x k siendo k = x y Σ = {, b}. función f(x) = x es Turing-computble. δ b (q,, ) (q b,, ) (q,, ) q (q,, ) q b (q, b, ) q - (,, ) --- q (q F,, ) 9 q F 10 Ejemplo: Máquin pr conctenr x y Método: eliminr el blnco que sepr los dos rgumentos x e y, moviendo los símbolos de y un lugr hci l izquierd. Σ = {, b}. función f(x,y) = x.y es Turing-computble. δ b (,,) (q,, ) (q b,, ) (q iz,,) q - - (,, ) q b - - (, b, ) q iz q - - (q,,) (q F,, ) q F Digrms de Máquins de Turing Digrms: son grfos cuyos nodos son MTs y los rcos que los unen pueden venir etiquetdos con símbolos de cint. Dds dos MT: M1 = (Q1, Σ, Γ, δ 1, ) y M2 = (Q2, Σ, Γ, δ 2, q 2 ) Conctención: M1 M2 epresent un nuev máquin M que comienz relizndo los mismos movimientos que l máquin M1 y cundo M1 se pr, comienz con los movimientos de M2 (con l cbez lector donde está y estdo inicil q 2 ) Conctención condiciond: M1 M2 epresent un nuev máquin M que comienz relizndo los mismos movimientos que l máquin M1 y cundo cundo M1 pr, si l csill señld (por l cbez lector) contiene el símbolo, comienz con los movimientos de M

4 Digrms de Máquins de Turing Máquins de Turing básics, sobre Σ= {,b,c} (TAT) Está prd b c Iterción: M (IGHT) e mueve un posición l derech b c (,,) (,b,) (,c,) (,,) epresent un nuev máquin M que comienz relizndo los mismos movimientos que l máquin M y cundo M pr, si l csill señld (por l cbez lector) contiene el símbolo, comienz de nuevo M, y sí sucesivmente. (EFT) e mueve un posición l izquierd P ( Γ) (PINT ) Escribe el símbolo y l cbez-lector punt dicho símbolo b c (,,) (,b,) (,c,) (,,) b c (,,) (,,) (,,) (,,) (q 2,,) (q 2,b,) (q 2,c,) (q 2,,) q Máquins de Turing que distinguen csos Máquins de Turing que buscn el símbolo M1 M2 b M3 M M1 M2 * : hci l izquierd desde l csill en l que está (incluid) * : hci l derech desde l csill en l que está (incluid) Uso de l máquin pr el comienzo: M1 M2 + : desde l csill izquierd de l csill en l que está + : desde l csill derech d l csill en l que está 15 16

5 Máquins de Turing que buscn los extremos E (End): busc el primer blnco prtir del cul hci l derech l cint está vcí (cundo hy dos blncos seguidos) * MT que bre un hueco l derech P H (Hole): E usv usv 1 12 n P 1 P 2 P n P 1 P B (Begin): busc el primer blnco prtir del cul hci l izquierd l cint está vcí * 17 n P E 12 n P 1 P 2 P n P n P 18 MT que elimin el contenido de un csill, sin dejr hueco D (Delete) : usv uv P 1 2 n P 1 P 1 P 1 P 1 Implementción de tipos de dtos Estudiremos: 1 2 P 1 2 n P 2 P 2 función siguiente que permite enumerr ls plbrs de un lfbeto Implementción de los números nturles y sus operciones P E n P 1 2 n P 2 P 2 P np n Implementción del tipo de dtos pil y sus operciones. De mner similr se puede implementr culquier tipo de dtos. P P n P n 19 20

6 función siguiente (sig) función siguiente sobre distintos Σ = {} = {,b} = {,b,c} = {0,1} Nos permite estblecer un orden entre ls plbrs que se formn prtir de un lfbeto Σ ={ 1, 2,, n } Es Turing-computble e define inductivmente: sig(ε) = 1 sig(w i ) = w i+1 sig(w) 1 i < n i = n w 0 ε ε ε ε w 1 0 w 2 b b 1 w 3 c 00 w 4 b 01 w 5 b b 10 w 6 bb c 11 w 7 b 000 w 8 b bb 001 w 9 b bc 010 w 10 bb c función siguiente es computble Implementción del tipo de dtos NAT Máquin de Turing, sobre Σ= {,b,c}, que comput siguiente : P * * P b b * c P c P 23 N = {} = {,b} = {,b,c} = {0,1} 0 ε ε ε ε b b 1 3 c 00 4 b 01 5 b b 10 6 bb c 11 7 b b bb b bc bb c

7 Implementndo ls operciones de NAT Máquins de Turing, sobre Σ= {,b,c}, que computn ls operciones Implementción del tipo de dtos PIA upongmos ls pils (de elementos de un cierto tipo) representds: sucesor es igul siguiente pil vcí - predecesor o nterior : sum : M ANT + D C * * P b * b P P c + M IG + pil pil b ε b - - b b Implementndo ls operciones de PIA Implementndo ls operciones de PIA EJECICIO Implementr ls operciones del tipo de dtos PIA pilr: Σ Pil Pil despilr: Pil Pil cim: Pil Σ Ejemplo: pilr (, ) = b b Ejemplo: despilr ( ) = b b máquin de Turing que implement est operción debe trsformr: Dtos: - - b - cim ( ) = b esultdo: b - Ests operciones son prciles (indefinids sobre l pil vcí) ls máquins correspondientes deben no prr sobre l pil vcí

8 Codificción de máquins de Turing Cd máquin de Turing se puede codificr con un cden binri. Dd M = ({q1, q2,, qk}, {0, 1}, Γ, δ, q1). Asignmos cd elemento de l máquin un número entero positivo: Estdos: q1 1 ímbolos Γ = {X1, X2,, Xj}: X1 = 0 1 q2 2 X2 = 1 2 X3 = 3 qk k Xj j entido del movimiento {1, 2, 3}: 1 = 1 2 = 2 Función de trnsición: δ(qi, Xj) = (qk, Xp, m) 0 i 10 j 10 k 10 p 10 m Código completo de l máquin de Turing M: C 1 11C 2 11C n-1 11C n donde cd C i represent l codificción de un de ls trnsiciones Ejemplo de codificción de un MT e M= ({, q 2, q 3 }, {0, 1}, {0, 1, }, δ, ). Con l función de trnsición δ: δ (, 1) = (q 3, 0, ) δ (q 3, 0) = (, 1, ) 0 = X1, 1= X2, = X3 δ (q 3, 1) = (q 2, 0, ) = 1, = 2 δ (q 3,) =(q 3, 1, ) Codificción de ls trnsiciones: δ (,1) = (q 3,0,) δ (,X2) = (q 3,X1,2) δ (q 3,0) = (,1,) δ (q 3,X1) = (,X2,2) δ (q 3,1) = (q 2,0,) δ (q 3,X2) = (q 2, X1,2) δ (q 3,) = (q 3,1,) δ (q 3,X3) = (q 3,X2,1) Un de ls codificciones posibles pr M es: (Podemos vrir el orden de ls cutro trnsiciones, por lo que tenemos 4!=24 codificciones diferentes pr est máquin de Turing) Enumerción de máquins de Turing Cd máquin de Turing se puede codificr con un cden binri y cd cden binri le corresponde un número (entero positivo). Por lo tnto: cd máquin de Turing le corresponde un número A cd número le corresponde un cden binri y cd cden binri le corresponde un máquin de Turing (si socimos ls cdens que no son códigos decudos l máquin ). Por lo tnto: cd número le socimos un máquin de Turing Entonces, se tiene l correspondenci: número i máquin M i Problem de prd función de prd Hlt (x) = no es Turing-computble. Demostrción: Por reducción l bsurdo. upongmos que existe un máquin M que comput l función Hlt. Construimos con ell un nuev máquin de l siguiente form: M 0 máquin construid tendrá un código e. Es, por tnto, l máquin M e Qué ocurre si l máquin M e recibe como entrd su propio código? i Hlt(e) = 0 M devuelve 0 M e no pr Hlt(e) = ε i Hlt(e) = ε M devuelve ε M e pr Hlt(e) = 0 Absurdo! 0 ε Mx con entrd x pr Mx con entrd x no pr Conclusión: No existe un máquin M que compute l función Hlt

9 Tesis de Church-Turing Tesis de Church-Turing: Todo sistem de computción es A O UMO TAN POTENTE como ls máquins de Turing Est firmción vle pr modelos psdos, presentes y futuros. No puede ser demostrd, pero podrí ser refutd. u corolrio es muy importnte: i un función no es Turing-computble, NO EXITE UNA OUCIÓN (O AGOITMO) pr l mism en ningún sistem de computción Otrs formlizciones equivlentes Principios de l Informátic Teóric λ-cálculo A. Church 1935 Funciones recursivs. Kleene 1935 s operciones primitivs imprescindibles en un sistem computcionl son muy pocs. myor prte de ls utiliddes suministrds por los lengujes de progrmción son superflus. Máquins de Turing A. Turing 1936 Máquins de Post E. Post 1936 Todos los sistems computcionles son equivlentes y sirven pr solucionr exctmente los mismos problems, unque pueden diferencirse en l fcilidd que presentn pr resolverlos. istems de Thue A. Thue 1912 Cdens de Mrkov A. Mrkov 1947 Máquins de registros N. Cutlnd 1962 Hy problems que ningún progrm puede resolver. myor prte de ellos están relciondos con l propi Informátic y disciplins fines. El comportmiento de los progrms es esencilmente imprevisible. En generl, los problems dependientes de su ejecución no tienen solución. Progrms lógicos J. W. loyd 1970 Progrms-while A.J. Kfouri, 1982.N. Moll, M.A. Arbib 35 os problems computbles tienen socidos costes intrínsecos que ningún progrm que los resuelv puede soslyr. s leyes de l Informátic no son susceptibles de cmbir medinte vnces tecnológicos en el futuro. 36