MERCADO DE SEGUROS CON SELECCIÓN ADVERSA

Transcripción

1 MERCDO DE SEGUROS CON SELECCIÓN DVERS Se un erdo de seguros opetitivo en el que los individuos pueden segurrse ontr un pérdid. Los individuos son idéntios exepto por un rsgo: l proporión λ de los individuos tiene un proilidd j π de sufrir l pérdid, en tnto que l proporión 1 λ tiene un proilidd lt π > π de sufrir l pérdid. L funión de utilidd u sore l rent es l is pr todos los individuos y stisfe u > 0 y u < 0. L rent de d individuo si no se sufre l pérdid ni se ontrt el seguro es. L pérdid, r <. L vrile q represent ntidd de seguro (oertur) ontrtd y p es el preio (o pri) por unidd de oertur. Ls epress ofreen ontrtos del tipo (p, q). Cd ontrto (p, q) puede identifirse on un punto del espio de puntos (, 2 ), en donde = pq es l rent sin pérdid (y on seguro) y 2 = r + q(1 p) es l rent on pérdid (y on seguro). Cso 1: inforión oplet En este so, ls epress pueden diferenir los individuos de lto riesgo de los de jo riesgo. Puesto que el erdo es opetitivo, l pri p pr d tipo de individuo será just (p igul l proilidd de l pérdid orrespondiente l tipo de individuo). Por tnto, el ontrto ofreido por ls epress los individuos de lto riesgo onllevrá un pri p = π y el ontrto ofreido los de jo riesgo onllevrá un pri p = π. Coo en el so estándr, los individuos de d grupo dendrán oertur oplet (q = r), de odo que ls epress ofreerán el ontrto (π, r) los individuos de lto riesgo y ofreerán el ontrto (π, r) los individuos de lto riesgo. 1. Interes un individuo de lto riesgo onseguir el ontrto de un individuo de jo riesgo? Y uno de jo riesgo dquirir el ontrto diseñdo pr uno de lto riesgo? 2 u FIG. 1 u = 2 L Fig. 1 uestr el equilirio resultnte on inforión oplet: el ontrto se ofree los individuos de lto riesgo y el los de jo ( es l situión sin seguro). r L ret represent el onjunto de ontrtos pr los individuos de lto riesgo edinte los ules ls epress otienen un enefiio esperdo igul ero. L ret represent el onjunto de ontrtos pr los individuos de jo riesgo edinte los ules ls epress otienen un enefiio esperdo igul ero. En onreto, se n el núero de individuos del grupo de lto riesgo. Entones el enefiio esperdo de este grupo es ero si el vlor esperdo de l reudión del grupo (n pq) igul l vlor esperdo de los pgos l grupo (π n q). Esto es, pq = π q. 1 Inforión siétri (2ª prte) 27 de ril de 2010 Versión 2: 18 de yo de 2010

2 2. Deuestr que l ondiión nterior puede reesriirse oo (1 π ) + π 2 = (1 π ) + π ( r). [Pist: hz preer en l definiión 2, despej q de es definiión, despej pq de l definiión de ] Qué represent el ldo izquierdo de l equión? Y el dereho? De ner nálog, si n es el núero de individuos del grupo de jo riesgo, el enefiio esperdo de este grupo será ero undo el vlor esperdo de l reudión del grupo (n pq) igule l vlor esperdo de los pgos l grupo (π n q). Es deir, pq = π q. Coo en el ejeriio 2, est ondiión puede reesriirse oo (1 π ) + π 2 = (1 π ) + π ( r). L ret es l representión gráfi de (1 π ) + π 2 = (1 π ) + π ( r) i l ret es l representión gráfi de (1 π ) + π 2 = (1 π ) + π ( r). 3. Deuestr que l ret tiene que ser ás vertil que l ret. Expli por qué. 4. En l Fig. 1, l pendiente (en vlor soluto) de l urv de indifereni u orrespondiente un individuo de jo riesgo es yor que l pendiente de l urv u. Por qué? [Pist: rzon qué tipo de individuo está dispuesto srifir ás rent (rent sin pérdid) pr onseguir un unidd ás de 2 (rent on pérdid).] Cso 2: inforión inoplet Supongos hor que l proilidd de sufrir l pérdid es inforión privd: d individuo onoe su proilidd, pero ls epress ignorn qué tipo pertenee un individuo ddo (si l tipo de lto riesgo o l de jo riesgo). 5. Expli por qué l soluión on inforión oplet no puede ser un soluión del prole on inforión oplet [Pist: Qué esogerí un individuo de jo riesgo si se le ofreiern los ontrtos y de l Fig. 1? Y qué esogerí uno de lto riesgo?] Ddo que ls epress no pueden diferenir un grupo de otro, tendrán en uent l proilidd π de que un individuo esogido l zr teng un pérdid. Si el núero de individuos de os grupos es sufiienteente grnde, π (1 λ)π + λπ, en donde λ = n /(n + n ) es l proporión de individuos de jo riesgo. Siguiendo l is lógi que pr el so de grupos seprdos, l ondiión de enefiio esperdo ero undo l proilidd de l pérdid es l proilidd ponderd π serí (1 π) + π 2 = (1 π) + π( r). 6. Deuestr que l ret orrespondiente l euión nterior estrí situd entre l ret y l ret de l Fig. 1. Cunto ás lto se el vlor de λ, qué ret estrá ás ern l nuev ret, l ret o l? Con inforión inoplet son oneiles dos tipos de equilirios. En el equilirio grupdor, se ofree el iso ontrto todos. En el seprdor, un ontrto d tipo. 2 Inforión siétri (2ª prte) 27 de ril de 2010 Versión 2: 18 de yo de 2010

3 Cso 2: inforión inoplet y equilirio grupdor Coproeos que no hy ningún equilirio grupdor. Pr que el ontrto (p, q) onstituy un equilirio grupdor dee xiizr tnto l utilidd esperd de un individuo de riesgo lto oo l de uno de riesgo jo, en donde p = π es l ondiión equivlente l ondiión de pri just, on π = (1 λ)π + λπ. Puesto que 0 < λ < 1, π < π < π. Reuperndo el so estándr, si p > π, los individuos de riesgo jo dendrán un oertur inferior l pérdid: q < r. Siétriente, p < π ipli que los individuos de lto riesgo dendrán un oertur superior l pérdid: q > r. Coo resultdo, on p = π, no hy un iso ontrto que xiie l utilidd de los individuos de os grupos. De heho, ls epress podrín disriinr los dos tipos de individuos: si, estleiendo l pri p = π, un individuo dend un oertur superior r, l epres podrá inferir que se trt de un individuo de lto riesgo; y si dend enos, que es de jo riesgo. Este heho peritirí ls epress plir l soluión seprdor del so on inforión oplet, on lo que se ontrdie l preis de que se us un equilirio grupdor. Cso 2: inforión inoplet y equilirio seprdor usqueos hor un equilirio onsistente en un pr de ontrtos (π, q ) y (π, q ) tles que: (i) (π, q ) xiiz l utilidd esperd de d individuo de riesgo lto; (ii) (π, q ) xiiz l utilitd esperd de d individuo de riesgo jo; y (iii) ondiión de utoseleión (o de optiilidd on los inentivos): ningún individuo de riesgo lto dee tener inentivo esoger el ontrto diseñdo pr los de riesgo jo y ningún individuo de riesgo jo dee tener inentivo esoger el ontrto diseñdo pr los de riesgo lto. (Los ontrtos y inorporn l ondiión de pri just: l pri pr los de riesgo lto es π y l pri pr los de riesgo jo es π ). Forlente, se U(p, q) = (1 π )u( ) + π u( 2 ) l utilidd esperd de un individuo de riesgo lto undo dquiere el ontrto (p, q), on = pq y 2 = r + q(1 p). De ner nálog, U(p, q) = (1 π )u( ) + π u( 2 ) es l utilidd esperd de un individuo de riesgo jo undo dquiere el ontrto (p, q). El pr de ontrtos (π, q ) y (π, q ) stisfen l ondiión de utoseleión si U(π, q ) U(π, q ) y U(π, q ) U(π, q ). 7. Si el pr (π, q ) y (π, q ) onstituye un equilirio seprdor, dee tenerse U(π, q ) > U(π, q ). Por qué? [Pist: lee tres párrfos ás y rzon geoétriente (Fig.1).] El ontrto (π, q ) dee xiizr U(π, q). Pr vlores q < r, U(π, q) ree on q. 8. Deuestr que, pr vlores q < r, U(π, q) ree on q: ientrs l oertur se inferior l pérdid, el individuo uent su utilidd esperd inreentndo su oertur. [Pist: to l derivd de U(π, q) respeto de q y deterin su vlor undo q < r.] 3 Inforión siétri (2ª prte) 27 de ril de 2010 Versión 2: 18 de yo de 2010

4 Por tnto, oo en el so estándr, si un individuo se le ofree segurrse on l pri just (pr su tipo) p = π, el individuo esoge oertur plen: q = r. Pr induir los individuos de lto riesgo esoger su ontrto (π, r), el ontrto (π, q ) pr los individuos de riesgo jo no tiene que ser trtivo pr los de riesgo lto. Esto ipli que q < r: si se ofreier el ontrto (π, r), los de riesgo lto lo preferirín l diseñdo pr ellos (π, r). 9. Por qué un individuo de riesgo lto prefiere (π, r) (π, r)? En su, (π, q ) tiene que xiizr U(π, q) sujeto U(π, r) U(π, q ) y q < r. 10. Expli por qué l desiguldd U(π, r) U(π, q ) tiene que uplirse on iguldd: U(π, r) = U(π, q ). 2 FIG. 2 u = 2 L Fig. 2 uestr l soluión seprdor: el ontrto pr los de riesgo lto les llev ; y quél pr los de riesgo jo,. u Cóo se lleg que represente el ontrto pr los de riesgo jo? Y se h justifido que represent el ontrto pr los de riesgo lto: oertur plen es sinónio de = 2 on pri r just. L ondiión de pri just pr los de riesgo jo signifi que hy que usr l 1 soluión pr este grupo lo lrgo de l ret. L ondiión de inentivos pr el grupo de riesgo lto U(π, r) U(π, q ) restringe l úsqued puntos que no estén por eni de, que es el punto en el que se intersetn l ret (de enefiio esperdo ero pr el grupo de jo riesgo) y l urv de indifereni del individuo representtivo del grupo de lto riesgo orrespondiente l soluión pr este grupo. El ejeriio 10 pide explir el otivo por el ul l soluión usd no puede estr por dejo de. sí, si l soluión no puede estr por eni de ni por dejo, dee ser (de existir tl soluión). 11. Coprndo l soluión on inforión oplet de l Fig. 1 on l soluión on inforión inoplet de l Fig. 2, puede deirse que hy lgún grupo que pierd on el heho de que ls epress no puedn segentr el erdo en dos grupos de riesgo? Está grntizd l existeni de un equilirio seprdor? L respuest es que no. L Fig. 3 ilustr el porqué: l proporión λ es desido lt (pero inferior 1). Es deir, si l proporión n /n es sufiienteenete j, el erdo no tendrá ningún equilirio (l seleión dvers hrá liquiddo el erdo). Puede tién rguentrse que on n /n sufiienteenete pequeñ, el equilirio de erdo no es Preto efiiente inluso existiendo. 4 Inforión siétri (2ª prte) 27 de ril de 2010 Versión 2: 18 de yo de 2010

5 2 FIG. 3 C u u e d = 2 Liitéonos opror por qué l Fig. 3 uestr un situión en l que no hy equilirio de erdo, en donde C es l ret que estlee el enefiio esperdo ero on pri π = (1 λ)π + λπ. r Por lo rguentdo nteriorente, el pr (, ) es el únio ndidto equilirio. Mostreos que el ontrto que ondue l punto e es preferido por individuos y epress l pr (, ). En prier lugr, ddo que e está por eni de l urv de indifereni que ps por, los individuos de riesgo lto prefieren e. De ner siilr, el heho que e esté por eni de l urv de indifereni que ps por, los individuos de riesgo jo prefieren e. Por últio, on el pr de ontrtos (, ), ls epress tienen un enefiio esperdo de ero, ientrs que ofreiendo e el enefiio esperdo es positivo. Conlusión: el pr (, ) no define un equilirio. 12. Qué ipli pr el vlor λ que l ret C en l Fig. 3 esté tn er de l ret? 13. Por qué el enefiio esperdo de ls epress es positivo en e? [Pist: opr e y d. El punto d represent enefiio esperdo ero. Los puntos e y d tienen soido el iso vlor de 2. Qué signifi esto? En io, e tiene soido un vlor de inferior que d.] 2 r C FIG. 4 u u e = 2 edid que l ret C desiende, proxiándose l ret, hy enos ndidtos her de punto e. Por ello, l reduión de λ perite eventulente lnzr un estdo en el que el erdo posee un equilirio. L Fig. 4 uestr el vlor ás lto de λ (iplíito en l ret C que es tngente l urv de indifereni de los individuos de riesgo jo que ps por ) pr el que existe equilirio. 14. (Donld Cpell) Se u() = ln(1 + ), = 12, r = 8, π = ½ y π = ¼. (i) Deterin los ontrtos de equilirio on inforión oplet. [(, 2 ) = (8, 8) y (, 2 ) = (10, 10)] (ii) Otén los ontrtos de equilirio on inforión inoplet. [(, 2 ) = (8, 8) y (, 2 ) = (11 51, 5 47)] (iii) Muestr que os tipos de individuo prefieren (, 2 ) = (9 8, 9 8) l pr (, 2 ) que otienen en (ii). (iv) Consider l ret C que psrí por (9 8, 9 8) y verifi que, pr es ret, π = 0 275, donde π es l proilidd de pérdid ponderd por el peso de d grupo. Estlee l ondiión que dee uplir l proporión n /n pr que (9 8, 9 8) ipid que lo hlldo en (ii) se equilirio. [Resultdo: n /n ⅟₉.] 5 Inforión siétri (2ª prte) 27 de ril de 2010 Versión 2: 18 de yo de 2010