Departamento de Matemática Aplicada. Facultad de Informática. UPM. Curso Matemática Discreta. 4.- GRAFOS

Transcripción

1 Deprtmento e Mtemáti Apli. Fult e Informáti. UPM. Curso -9 NOCIONES BÁSICAS. GRADO. MATRICES.- GRAFOS ) Diuj un grfo que represente ls ruts éres iris e un ompñí que ofree los siguientes uelos: Toos los ís hy utro uelos que unen Boston y Nue York, os Nue York y Mimi, uno entre Mimi y Mri, utro Mri y Brelon, uno Brelon-Boston uno Mri-Nue York y uno Brelon-Nue York ) Estui uáles e los siguientes grfos son simples. Pr los grfos no simples uál es el mínimo número e rists que se pueen quitr pr herlos simples? e ) Pr uno e los siguientes grfos, otén l list e yeni y l mtriz e yeni y enuentr el número e érties, el número e ros y el gro e értie. i e f e e f g h ) Pueen los érties e un grfo simple tener gro? ) Determin ules e los siguientes grfos son iprtios: ) Cuánts rists tiene un grfo simple si sus érties tienen los siguientes gros,,,,? Diújlo. 7) Estui si existe un grfo simple on érties y on los siguientes gros: ),,,, ),,,, ),,,, ),,,, e),,,, f),,,, ) ) Si G es un grfo on rists y el gro e értie es, l menos, utro, uál es el máximo número e érties que puee tener G? ) Si G es un grfo simple on rists, uál es el menor número e érties que puee tener G? 9) Represent l mtriz e yeni e uno e los siguientes grfos: ) K ) K, ) K, ) C e) W f) Q g) K n h) K m, n i) C n j) W n k) Q n

2 Deprtmento e Mtemáti Apli. Fult e Informáti. UPM. Curso -9 ) D l mtriz e yeni e un grfo G e érties {,,,, }, hll l suesión e los gros e los érties y el número e rists el grfo G. ) Determin uáles e los siguientes pres e grfos son isomorfos: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Grfo e Petersen CONEXIÓN. ALGORITMOS DE BÚSQUEDA ) Estui si son onexos los siguientes grfos, no el número e omponentes onexs e uno: ) ) ) ) Enuentr ls rists que son puente en los siguientes grfos: ) ) ) ) Se quiere uplir los trmos e un re e omuniión que, en so e eteriorrse, imposiilitrín l omuniión entre iertos puntos. Cules son los trmos que een uplirse? Huel Seill Córo Almerí Alinte Grn Cáiz

3 Deprtmento e Mtemáti Apli. Fult e Informáti. UPM. Curso -9 ) Pr los grfos os por ls siguientes lists e yenis, hllr un árol BEP. Utilizr el métoo BEA pr responer si son onexos. ÁRBOLES Y CAMINOS MÍNIMOS e f g h e f g h i g e e f g i g f g e h g h h i h f i f e ) Hllr un árol generor pr uno e los siguientes grfos: ) ) ) ) K e) K, f) K, g) Q h) C i) W ) Se onstruir un sistem e rreters que omunique ests iues. Determin ls rreters que eerán onstruirse pr que el osto e onstruión se mínimo. Montill Cr Monturque Aguilr Cr Monturque - - Aguilr - Luen 9 ) Determin un árol generor mínimo e uno e los grfos siguientes: e f g i h ) En el grfo e l figur se muestr un re e orenores que se quiere onstruir, los érties representn los orenores y ls rists ls línes e trnsmisión onsierr pr onetr lgunos pres e ellos. C rist tiene un peso que ini el oste e onstruir es líne espeífi. Conet toos los orenores on el menor oste posile. 7

4 Deprtmento e Mtemáti Apli. Fult e Informáti. UPM. Curso -9 ) Otén el mino más orto entre y z, pr los siguientes grfos. Cuál es l longitu en so? ) ) ) f e 7 z z f e e g g h i j k l m n o p q r s t z ) En el grfo e l figur se muestr un re ferroiri one l istni entre pr e iues se expres en Km.: i f e z 9 g h ) Aerigu uál es el mino más orto pr ijr e z. ) Se quiere renor prte e l re ferroiri e mner que el oste en km. se mínimo y que pr e iues tengn onexión por trmos renoos. Cuáles son los trmos que hy que renor? 7) ) Hll l rut más ort ese A uno e los restntes érties el grfo ponero G que espeifi l tl siguiente: B C D E F H A B C D E F 9 ) El onjunto e minos onstruios en el prto nterior, onstituye un árol generor e G?, es siempre un árol generor mínimo?. Justifi ls respuests. ) Se quiere onstruir un ferrorril metropolitno que onete rrios e l pitl: {A, B, C, D, E, F, G, H}. L urión estim el ije ireto entre os e los rrios iene por l tl junt. Qué estiones hn e onetrse pr que l re teng el menor número e onexiones posiles, e form que l urión el ije entre el rrio A y ulquier otro rrio se lo más orto posile? B C D E F G H A B C D E F G

5 Deprtmento e Mtemáti Apli. Fult e Informáti. UPM. Curso -9 GRAFOS EULERIANOS Y HAMILTONIANOS ) Estui si existe un mino eulerino en uno e los siguientes grfos. Son grfos eulerinos?: ) Cuál es el mínimo número e ees que hy que lentr el lápiz el ppel pr trzr los siguientes iujos? ) ) ) ) En l s e l figur Es posile entrr y slir e tl mner que puert se use extmente un ez? ) ) Sieno que un grfo ompleto on ules es quel que tiene un únio ro e extremos u, pr too pr e érties el grfo Pr qué lores e n el grfo ompleto on ules e n érties es un grfo eulerino? ) Demuestr que en el juego el Dominó hy prtis que emplen tos ls fihs. (Iniión: empler ) ) Estuir si en un prti e ominó ls fihs siguientes pueen preer ls primers. ) (Prolem hino el rtero, Kwn,9):Un rtero sle e orreos on ls rts, reorre ls lles e su zon y uele l entrl. Dee minimizr l istni reorri. Resuele este prolem si ls lles que ee reorrer son ls represents en los siguientes grfos: e 7 9 f e ) Cuáles e los siguientes grfos son hmiltoninos? ) el grfo ompleto K n. ) El grfo ompleto iprtio K r,s ) grfo e Petersen ) grfos el tetrero, uo y otero. 7) Us que un grfo iprtio on un nº impr e érties no puee ser hmiltonino, pr emostrr que: ) El siguiente grfo no puee ser hmiltonino. ) Un llo e jerez, no puee reorrer tos ls sills sin repetir ningun, en un tlero x ó 7x7. ) En uno e los siguientes grfos, estui si existe: un mino E. erro, un ilo H., un mino E. no erro y un mino H. no erro.

6 Deprtmento e Mtemáti Apli. Fult e Informáti. UPM. Curso -9 9) Elen y Dor initn migos enr. En el grupo e, toos onoen l menos persons. Demuestr que se pueen sentr los, lreeor e un mes irulr, e moo que toos onozn ls os persons que están sents su lo. ) ) Demuestr que en K 7 hy ilos H. on tos sus rists istints. ) Demuestr que K n (n, n impr) hy (n )/ ilos H. on tos sus rists istints. ) Siete persons que sisten un ongreso eerán omer junts, en un mes irulr, los tres ís que ur el ongreso. Pr onoerse mejor eien sentrse e moo que person teng lo un person istint í. Pueen ller o su propósito? Y si el ongreso urr ís? PLANARIDAD ) Demuestr que son plnres los siguientes grfos y omprue l fórmul e Euler. ) ) ) ) ) ) Pr qué lores e n el grfo ompleto K n es plnr? ) Pr qué lores e r y s (on r s) el grfo iprtio ompleto K r,s es plnr? ) Estui si son plnres los siguientes grfos. En so firmtio, un representión pln y omprue l fórmul e Euler. En so negtio rzon porqué no lo son: ) ) ) ) e) f) g)

7 Deprtmento e Mtemáti Apli. Fult e Informáti. UPM. Curso -9 h) i) j) COLORACIÓN ) Enuentr el número romátio e los siguientes grfos: ) Utiliz l teorí e grfos pr olorer los siguientes mps on el mínimo nº e olores posile: ) El jefe e un esuel tiene que progrmr ls fehs e los exámenes finles orresponientes 7 signturs, que esignremos por A, A, A, A, A, A y A 7, e moo que ningún estuinte le oinin os exámenes el mismo í. Se se que los siguientes pres e signturs tienen estuintes en omún: {A, A }, {A, A }, {A, A }, {A, A 7 }, {A, A }, {A, A }, {A, A }, {A, A 7 }, {A, A }, {A, A }, {A, A 7 }, {A, A }, {A, A }, {A, A }, {A, A 7 } y {A, A 7 }. Diuj un grfo que moelie el prolem e progrmión e ls fehs e los exámenes. Cuál es el mínimo número e ís neesrios pr relizr toos los exámenes e moo que ningún estuinte teng os exámenes el mismo í?

8 Deprtmento e Mtemáti Apli. Fult e Informáti. UPM. Curso -9 ) Los omités e ireión e iert empres son seis y se omponen e ls siguientes persons: C ={P, P, P }, C ={P, P, P }, C ={P, P, P }, C ={P, P, P }, C ={P, P }, C ={P, P, P }. Si omité se reúne un ez l mes uál es el mínimo nº e ís neesrios pr que se reúnn toos los omités e mner que nie teng os itiones pr el mismo í? EMPAREJAMIENTOS ) Prtieno el emprejmiento señlo, pli el métoo e los minos lternos pr hllr un emprejmiento máximo, en uno e los siguientes grfos: A B C D E A B C D A B C D E e e ) En un onsult e urgenis hy méios y enfermeros. Se quieren plnifir ls iones e form que siempre queen e guri un méio y un enfermero. ) Pueen herse prejs istints respetno ls preferenis que se inin en l figur? ) Cuál es el myor número e prejs que pueen herse respetno ls preferenis M={w, z, y, e}? e w x y z ) Se G el grfo el ejeriio nterior, y se M={w, y, ez} un emprejmiento. Hllr un mino lterno pr M que empiee en y utilizrlo pr onstruir un emprejmiento M on M =. Comprue que no hy ningún mino lterno pr M. Es M un emprejmiento máximo? ) Supongmos que elemento e un onjunto e persons tiene un list e liros que ese tomr prestos e l iliote. Supongmos tmién que liro pree en lists extmente. Demostrr que toos ellos pueen tomr presto un liro e su list l mismo tiempo. ) Se G=(X Y, A) un grfo iprtio on X = {,,,, e }, Y = {, w, x, y, z } y A = {, x,, z, w, y, z, y, z, ez }. Enuentr un emprejmiento ompleto en G empezno por el emprejmiento M = {, z, y }. ) Seis eprtmentos e iert empres tienen ls siguientes persons omo posiles nitos pr seretrios: A = {,, l, e}, B = {l, e, s, t}, C = {s, t,, }, D = {s,, l, e}, E = {t,, l, e}, F = {s,, l, t}. Se he en prinipio l siguiente istriuión: l eprtmento A se le sign, l B se le sign t, l C se le sign s y l D se le sign l. ) Otén, prtir e est istriuión, un istriuión omplet. ) Se puee signr eprtmento un seretrio istinto e form que los tres primeros estén representos por e, l y s respetimente? 7) Demuestr que si los eprtmentos el ejeriio nterior, tienen omo posiles nitos A = {m, }, B = {e, r, }, C = {m,, r, e}, D = {m,, s, t, e, r}, E = {m, e}, F = {r,, m} no es posile signr un seretrio istinto eprtmento. ) Se tienen ino omisiones C = {,, e}, C = {, }, C = {,, }, C = {, e, f}, C = {e, f}. C omisión h e enir un representnte l Congreso Anul e Comisiones; C quiere nomrr e, C quiere nomrr, C quiere nomrr y C quiere nomrr f. ) Demuestr que no es posile respetr los eseos e C, C, C y C. ) Us el métoo el mino lterno pr hllr un list e representntes toos istintos. ) Es posile onstruir un sistem ompleto e representntes istintos si l omisión C se nieg mir su nominión?

9 Deprtmento e Mtemáti Apli. Fult e Informáti. UPM. Curso -9 DIGRAFOS ) Clul l mtriz e yeni e los siguientes igrfos: e ) Hll l mtriz e esiili e los igrfos el ejeriio. ) Así queó el mp e Lepe espués e que el lle eiier rle sentio únio tos ls lles. ) Qué le ourre ulquier que irule por Lepe? ) Ayu l lle e Lepe orientr ls lles, e mner que ese ulquier punto se pue eer ulquier otro LEPE ) Utiliz un árol e eisión ternrio pr enontrr en un onjunto e mones, un mone fls que pes más que ls restntes. ) En un mpeonto en el que prtiipn nuee equipos se hn otenio los resultos inios en l tl, en l ul, pree un + en el lugr (i, j) si el equipo i h gno l equipo j, y pree un en so ontrrio, (no puee rse un empte). i\j ) Diuj el igrfo ompleto on nuee érties, en el que un rist e i j si el equipo i h gno l equipo j ) Construye un mino irigio, que onteng toos los érties el igrfo, y tl que értie hy gno l siguiente en el mino.

10 Deprtmento e Mtemáti Apli. Fult e Informáti. UPM. Curso -9 OTROS EJERCICIOS ) Pr eiir si te ontrtn en PUFOSA omo responsle e informáti, ees relizr un informe rzono responieno los prolems que tienen plnteos en l empres. L plntill e l empres onst e miemros. Diez e ellos trjn en el eprtmento e ents,,..., ; siete en el e seriios, s,..., s 7 ; siete en el e proyetos, p,..., p 7, y irige too un iretor generl. Los empleos, s y p son los iretores e sus respetios eprtmentos. C empleo ispone e un orenor, estno éstos onetos en re el siguiente moo: El iretor generl está oneto uno e los iretores e eprtmento on les e longitu uno. Los empleos e eprtmento están onetos entre sí según ls tls siguientes, en ls que se ini l longitu e los les e onexión: p p p p p p 7 s s s s s s p s p s 7 p s p s s s 7 7 Los prolems son:. Puee empleo omunirse, trés e l re, on ulquier otro miemro e l empres?. Porí un mensje reorrer toos los les e l re sin psr os ees por el mismo trmo?. Puee iujrse en un plno un esquem e l re el eprtmento e seriios se form que no se orten entre sí ls línes que representn los les?. En el eprtmento e seriios, porí su iretor enir un mensje toos los empleos e form que pse e un empleo otro suesimente y uel él, sin que pse os ees por el mismo empleo? e. Hll los itinerrios más ortos entre el iretor el eprtmento e proyetos y uno e sus miemros. f. Aerigu si en el eprtmento e ents es posile que sus miemros trjen por prejs, e form que no sore nie y que trjen junts persons uyos orenores están onetos iretmente. ( El jefe tmién trj!). g. Cuál es el mínimo número e turnos e iones neesrio en el eprtmento e ents, si no pueen tomr iones, simultánemente, persons que tengn sus orenores iretmente onetos?. h. Cuántos metros e le poemos horrr suprimieno onexiones e form que no permos onetii en l re? ) Se G el grfo e l figur ) Estuir rzonmente si G es Eulerino. ) Estuir si G es Hmiltonino. ) Otener el número romátio e G. 9 7 ) Supongmos que A={,,, 7,,,, } represent un onjunto e profesores y B={,,,, 9,,, } un onjunto e lumnos y supongmos que un értie e A y otro e B son yentes si el lumno orresponiente puee sistir ls tutorís el profesor. Suponieno que un profesor sólo puee tener un lumno ez, rzon, no un justifiión en términos e grfos, si toos los lumnos pueen ser tenios simultánemente. e) Estui el mismo prolem nterior suponieno que hy que respetr ls preferenis siguientes: {,,, 7,,,, 9, 9,,,, }

11 Deprtmento e Mtemáti Apli. Fult e Informáti. UPM. Curso -9 ) Se onsier el grfo G e l figur. Se pie: ) Es G iprtio? ) Es eulerino? ) Es hmiltonino? ) Cuál es su número romátio? e) Es plnr? ) ) En un empres quími se frin proutos: A, B, C, D, E, F, G y H. Algunos e esos proutos reionn iolentmente l mezlrse on otros por lo que es oligtorio lmenrlos en iferentes epenenis. Si l tl junt inform e ls sustnis uy mezl es potenilmente peligros, uál es el mínimo nº e epenenis que se neesitn?. A B C D E F G H B C D E F G ) L re e istriuión e l empres está form por entros e lmenmiento y istriuión, {,,..., }. Estos entros están onetos on l fári trés e un re e rreters según ini el grfo junto. (Ls longitues e los iferentes trmos e es re preen express en eens e kilómetros). Hll el itinerrio e longitu mínim que onet l fári on entro e istriuión. f ) Un eprtmento e un empres tiene estleis os rees loles e omuniión istints entre sus oho terminles. Ls línes e onexión e re están esquemtizs en los siguientes grfos: B B A A C C H D H D G Re I F E G F Re II E ) Anliz si los grfos que representn ls rees I y II son isomorfos. ) En el grfo e l re I, se pueen onetr los terminles eitno que hy superposiión e ls línes e onexión?. Y en el grfo e l re II?

12 Deprtmento e Mtemáti Apli. Fult e Informáti. UPM. Curso -9 ) Se pretene olor etiquets en los terminles e moo que os terminles onets trés e l re II rein etiquets istints. Cuál es el mínimo número e etiquets neesris? ) Comprue que el grfo e l re I es iprtio y enuentr un emprejmiento ompleto pr el mismo. e) Pr eitr prolems e interferenis en l re II, se n suprimir enles que no feten l onetii totl e l re. Si l longitu e los enles (en metros) iene por l tl junt, uál será l longitu totl máxim e los les que se pueen retirr? B C D E F G H A B 7 D F 9 G ) En l re telefóni represent en l figur se h eteto lgun erí. El ténio enrgo e reprrl tenrá que reorrer toos los noos (érties) e l re pr ompror ls onexiones. ) Puee reisr toos los érties sin psr os ees por el mismo y olieno l értie iniil? ) Si l respuest es negti, reiseñr l re onserno el nº e onexiones e noo e moo que l reisión nterior sí se posile. ) En ist e que ls onexiones son orrets, el ténio eie reisr toos los trmos e l re pr etetr l posile erí. Puee herlo sin psr os ees por el mismo trmo? ) Los números notos en trmo inin el oste e reprión e uno. Suponieno que toos los trmos están efetuosos, uáles son los trmos que een renorse pr que toos los érties queen onetos por trmos renoos y on un oste mínimo? e) Se eie reprr e form urgente sólo los trmos que permitn l onexión entre los noos A y F. Cuáles serán los trmos que hy que reprr pr que el oste se mínimo? Cuál será el oste totl e est reprión? f) Se h eiio tmién renor toos los noos e l re, pero por prolems e onexiones os noos iretmente onetos no pueen estr hehos el mismo mteril. Cuántos mteriles istintos se neesitn pr l friión e los noos? g) Se ese que l re mit el fllo en os noos sin perer l onexión entre los noos restntes. Qué nues onexiones se een estleer? A B I J H G 9 C K 7 L E F D 7) Los empleos e un empres tienen sus orenores: {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J}, onetos entre sí en un re uys onexiones se inin, en oste por unies e longitu e le, en l tl siguiente: C D E F G H I J A B C D 9 E 7 F 7 G ) El ténio enrgo e reprr l instlión ee reisr toos los orenores un úni ez, puee her un reorrio que empiee y termine en el mismo orenor? ) El ténio proyet relizr un nueo trzo e l re on un oste mínimo y e mner que toos los orenores queen onetos entre sí, uál serí el nueo proyeto?

13 Deprtmento e Mtemáti Apli. Fult e Informáti. UPM. Curso -9 ) Como el oste es emsio eleo se eie reprr lo mínimo neesrio pr que los orenores A y H queen onetos por trmos renoos, uáles serán los trmos que hy que reprr? ) Cuál es el mínimo número e turnos e iones e erno que hy que estleer, si no pueen tomr iones simultánemente, persons que tengn sus orenores iretmente onetos? e) Es posile que toos los empleos trjen por prejs, e form que trjen junts persons uyos orenores estén onetos iretmente? En so firmtio, hllr un emprejmiento. ) Se onsier el grfo G uyo onjunto e érties es V={,,,, e, f, g, h, i} y uys rists on sus pesos orresponientes ienen os por l siguiente figur: ) Existe un mino eulerino en G? ) Existe un mino hmiltonino en G? ) Cuál es el número romátio e G? ) Hll l rut más ort ese el értie uno e los restntes érties. 9) Se onsier el grfo G uyo onjunto e érties es V = { A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, P } y uys rists ienen s por l siguiente figur: A B C E D G H F I J K L M N Contest rzonmente ls siguientes pregunts: ) Existe lgún mino eulerino erro en G? ) Existe lgún mino hmiltonino erro en G? En so firmtio, hálllo. ) Cuál es el número romátio e G? P ) Se onsier el grfo ponero G orresponiente un re iri que omuni el onjunto e iues V = {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, P} y uys ís, on ls istnis orresponientes entre ls iues, ienen s por l figur junt. ) Se quiere renor un prte e l re iri, on el mínimo oste posile e onstruión, e moo que tos ls iues queen omunis por trmos renoos. Qué trmos hrá que renor? ) Prue que el grfo G es iprtio y enuentr l prtiión el onjunto e érties V.

14 Deprtmento e Mtemáti Apli. Fult e Informáti. UPM. Curso -9 ) El siguiente grfo muestr l re e lles que omuni los istintos puntos e interés turístio e un iu junto on el oste estimo pr l renoión e los istintos trmos. e 7 7 f g h Respone ls siguientes pregunts justifino tos ls respuests: ) Qué trmos hy que renor pr que el oste totl se mínimo y punto e interés teng eso por un trmo renoo? ) Anliz si l re e lles se puee iujr e moo que ls únis interseiones entre ls istints lles se prouzn en un punto e interés turístio. ) Cuál es el mínimo número e olores que se neesitn pr olorer en el grfo los puntos e interés turístio e moo que no rein el mismo olor os puntos yentes? ) Existe un pseo que reorr tos ls lles un sol ez y regrese l punto e prti?, y si no imponemos l oniión e regresr l punto e prti? e) Ls lles e est zon son estrehs, y los ohes sólo pueen irulr en un ireión. Estuir si es posile orientr ls lles e moo que ese ulquier lugr e interés turístio se pue ir ulquier otro. En so e que se posile, r un orientión on ess oniiones. ) En el grfo ponero e l figur se están lulno, por el lgoritmo e Dijkstr, ls istnis ese s uno e los restntes érties el grfo. Los érties s, y e hn lnzo su etiquet efiniti (enmr en trzo grueso), mientrs que en el resto e érties pree su etiquet proisionl (enmr en trzo fino). () Qué etiquets min en el siguiente pso? () Cuál es el siguiente értie en lnzr etiquet efiniti? 7 s e ) Se onsier l suesión [,,,,, ]. Es un suesión gráfi? En so firmtio, onstruye os grfos simples, uno plnr y otro no plnr, que l tengn omo suesión e gros. Existe un grfo iprtio on est suesión?

15 Deprtmento e Mtemáti Apli. Fult e Informáti. UPM. Curso -9 ) Si G = (V, A) es un grfo simple se llm omplementrio e G l grfo G = (V, A*) que tiene los mismos érties que G y por rists toos los pres e érties que no son rists e G. Se pie: ) Si G tiene érties y rists, uánts rists tiene su omplementrio? ) Pror que si G es simple, onexo y plnr on, entones ( ). ) Pror que si G y G son plnres, entones <. ) En l figur pree un grfo ponero G. ) Construir el árol generor mínimo e G. ) Clul los minos más ortos ese A los érties que isten e A menos e. ) Un grfo G onexo tiene l siguiente suesión gráfi = (,,,,,,,, ). ) Si G es plnr, uánts rs tiene?, es un grfo eulerino? ) Si G es iprtio, uál es su número romátio?, es un grfo hmiltonino? 7) Se G un grfo simple e érties tl que el gro e értie es l menos y el número e rists es múltiplo e. Se pie: ) Pror que G es onexo. ) Hllr el número e rists e G. ) Demostrr que G posee ilos impres. ) Hllr el número e érties e gro suponieno que G es eulerino. ) Los empleos e un empres tienen sus orenores onetos entre sí según l re e l figur en uys onexiones se ini el oste por unies e longitu e le. Se pie: ) Hllr un mino, si existe, pr que un ténio pue reisr toos los trmos e l re sin psr os ees por el mismo trmo. ) El ténio proyet rir el reorrio e los les e form que ls línes e onexión no se orten, es posile el nueo proyeto? ) El ténio proyet simplifir l re suprimieno onexiones, e form que l re resultnte teng un oste mínimo y e mner que toos los orenores queen onetos entre sí, uál serí el nueo proyeto? 9) L re e orenores e un etermin empres puee ser represent por el siguiente grfo, one los pesos e ls rists orresponen l longitu e los les, en metros. ) Dese el terminl A se quiere enir un mensje l terminl D por el mino mínimo. Reorre este mensje neesrimente el trmo BD? Otener un árol e minos mínimos ese el terminl A l resto e los terminles. ) Se quieren renor lgunos trmos e l re, e form que el oste e renoión se mínimo (el oste es proporionl l longitu el trmo) y que too pr e terminles quee oneto por un mino renoo. Cuáles son los trmos renor?, hy que renor neesrimente el trmo BD? Cuál es el oste totl e l renoión?

16 Deprtmento e Mtemáti Apli. Fult e Informáti. UPM. Curso -9 ) Se puee mnr un mensje ese el terminl K, que reorr toos los emás terminles (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J ), psno un sol ez por terminl? En so firmtio eir uál serí el mino. A B C D E F G H I J ) Un museo e rte h oreno l exposiión que tulmente present en ino sls, omo muestr l figur: B C D A Psillo E ) Existe lgun form e reorrer l exposiión e moo que se pse por puert sólo un ez y se uel l punto e prti? En so firmtio, tre el reorrio y en so negtio, tre un reorrio, que empiee y termine en el exterior el museo, en el que exist un mínimo número e puerts por ls que hy que psr os ees. ) Se quiere pintr ls istints sls y el psillo e l exposiión e form que os reintos omunios por puerts, tengn olores istintos. Cuál es el mínimo número e olores neesrio? ) Se onsier un re e orenores onetos entre sí omo muestr el grfo junto, en ls que se ini l longitu en metros e los les e onexión. ) Hlle ls onexiones mínims, en metros e le, entre el orenor y uno e los restntes orenores e l re. ) Cuántos metros e le poemos horrr suprimieno onexiones e form que no permos onetii en l re? ) Cuál es el mínimo número e turnos e iones neesrio, si no pueen tomr iones, simultánemente, persons que tengn sus orenores iretmente onetos? ) D l mtriz e yeni e un grfo G, on onjunto e érties V = {,..., }, se pie:

17 Deprtmento e Mtemáti Apli. Fult e Informáti. UPM. Curso -9 A B ) Se G = (V, A) un grfo simple on n érties y M = l mtriz e yeni e G, on A, B, C B C e oren n n. Respone rzonmente en uno e los siguientes sos: ) Si B =, es G onexo? ) Si A = C =, es G iprtio? ) Hll l suesión e gros y el número e rists e G. ) Construye un árol e úsque en nhur on ríz en el értie Es G onexo? ) Es un grfo iprtio? ) Existe lgún mino hmiltonino ierto o erro? ) Si B tiene tos ls entrs igul y A = C =, es G hmiltonino? ) Si G es onexo y l sum e ls entrs e M es n-, es G un árol? ) El grfo e l figur represent un rrio e un iu, one l etiquet e rist es l longitu e l lle orresponiente. En estll un onuión e gs. L on expnsi tiene un lne e m. y se propg trés e ls lles. Cuáles son ls plzs no fets? p q m ñ k j e ) Se quiere onstruir un nue re e rreters que onete iues: {A, B, C, D, E, F, G, H}. El oste f (. puntos) g e onstruión estimo entre os iues iene o por l tl junt. Qué trmos e rreter hn e onstruirse pr que el presupuesto totl se el mínimo posile? n B C E F H A B 7 D F 9 G i h ) Se G un grfo simple e érties tl que el gro e értie es l menos 7 y el número e rists es múltiplo e 7. Se pie: ) Pror que G es onexo. ) Hllr el número e rists e G. ) Demostrr que G posee ilos impres. ) Hllr el número e érties e gro suponieno que G es eulerino. e) Es G hmiltonino?