VARIABLE DEPENDIENTE Y VARIABLE INDEPENDIENTE. Analicemos hechos cotidianos que involucran dos variable. Por ejemplo

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1 VRILE DEPENDIENTE Y VRILE INDEPENDIENTE Prof. Mrvin Montiel ry nliemos hehos otidinos que involurn dos vrile. Por ejemplo Ejemplo : Si se pg 0 olones l hor. El slrio de un trjdor depende de ls hors que trje. El slrio será igul 0 por el número de hors trjds. Si S= slrio y h= hors trjds entones Esto signifi que el vlor de l vrile s depende del vlor del vrile h Entre más hors trje myor es su slrio. Ejemplo : Un ilist vij un veloidd onstnte durnte ierto tiempo, reorre un distni igul l produto de l veloidd por el tiempo trnsurrido. Con l formul d = v t. Esto signifi que si el uerpo vij m/s se puede determinr ul es l distni reorrid on solo ser el tiempo trsurrido. L distni depende de l durión (tiempo) del reorrido. Si d= distni y t= tiempo de reorrido entones L relión entre dos vriles, tl que el mio en un fete l otr, se puede llmr dependeni.

2 Prof. Mrvin Montiel ry Despeje de Vrile De un fórmul originl se puede derivr l menos otr más. Por ejemplo: Ejemplo : L fórmul del movimiento linel si siempre se esrie Supongmos que un determindo prolem nos plnte omo vrile dependiente l veloidd v, entones simplemente despejmos v = t d Ejemplo : El áre de un triángulo es igul l produto de l se por l ltur dividido por. h = Si l vrile dependiente fuese h, quedrí l fórmul sí: h = =h = h h= Si l vrile dependiente fuer, quedrí l fórmul sí = h

3 Prof. Mrvin Montiel ry Ejeriio :. Otener nuevs fórmuls de ls expresiones siguientes, de uerdo on l indiión dd. - H = y+ x, se requiere vrile dependiente y. - C = π r, se requiere vrile dependiente r. + - = h, se requiere vrile dependiente. d- + =, se requiere vrile dependiente. e- h = r, se requiere vrile dependiente r. f- n(n -) D = l g. =, se requiere n omo vrile independiente., se requiere l omo vrile independiente. CONCEPTO DE CORRESPONDENCI Pr entender el onepto nliemos l siguiente situión: Ejemplo Cutro estudintes, Crlos, Mrí, José y Estefny, ingresn l lirerí de l oopertiv de estudintes de su instituión, que entre otrs oss ofree: lápies, lpieros, plums, udernos, regls, orrdores, goms, hojs lns, fólder, lips, grps, et. Luego de oservr lo que l lirerí les ofreí Crlos ompró lpieros, un uderno y un orrdor; Mrí ompró dos orrdores y un regl; José ompró un lpiero y Estefny no ompró. Podemos notr que los estudintes formn un onjunto E y los útiles que ofree l lirerí el onjunto F. Lo nterior lo podemos digrmr de l siguiente form:

4 Prof. Mrvin Montiel ry E F Crlos Mrí José Estefny Lápies Lpieros Cudernos Regls Clips Hojs lns Grps Gom orrdor De est form podemos deduir que: Not e que en el ejemplo Estefny no ompró nd, situión que puede ourrir en un orrespondeni. En el ejemplo nterior l relión de orrespondeni es omprr. Un orrespondeni puede estr dd por un situión omo l nterior, pero tmién puede relionr onjunto de números por medio de un operión. Ejemplo : Un orrespondeni es un relión que se estlee entre dos onjuntos por medio de l ul uno o vrios elementos del primer onjunto se le sign o soi uno o vrios elementos del segundo onjunto. Imginemos que existe un onjunto ={,,,,} y el onjunto ={,,, } y su orrespondeni es el triple de un número, entones se relionn sí: le orresponde, le orresponde, le orresponde, le orresponde. Como en el onjunto no est el triple de, ese número no le orresponde ninguno del.

5 Ejeriio : Prof. Mrvin Montiel ry. Estlez un relión entre el onjunto ={,,} y el onjunto ={,,,}, si se estlee que su orrespondeni es el dole.. Estlez un relión entre el onjunto ={,,} y el onjunto ={,,,,,}, si se estlee que su orrespondeni es el dole más uno.. Cuál es l orrespondeni entre el onjunto H y el onjunto M? H M 0. 0 estudintes se les pregunt uál es su olor fvorito? De lo nterior nlie y determine: Cules son los dos onjunto, y ules sus elementos, ul es l orrespondeni? Hg l pregunt diez de sus ompñeros y diuje un digrm de lo otenido? CONCEPTO DE FUNCION nliemos un ejemplo en el ul usted pronto estrá involurdo y donde se enuentr implíito el onepto de funión. Ejemplo : Un grupo de estudintes de undéimo ño, reliz l primer prue esrit del primer periodo de este ño, de mtemátis Supongmos que el onjunto est formdo por los estudintes del grupo y el onjunto por ls posiles nots enters que se pueden otener en un esl de 00. = {n, etriz, Crmen, Deni, Estefny, Frnini, Gretel, Hzle, Ilen, Jennet, Krol, Loren, Mrí, lvro, olivr, Crlos, Dgoerto, Edurdo, Frniso, Geovnny, Hrol, Ignio, José, Kenneth, Luis} = {,,,,,,,00} (números entre el y el 00 inlusive L relión de orrespondeni: not otenid en exmen. De uerdo on lo nterior hgmos un nálisis de ls siguientes situiones: Todo lumno dee tener un y solo un not

6 Prof. Mrvin Montiel ry Un lumno no puede tener ms de un not Pueden her nots, que ningún lumno hy otenido. Pueden her vrios lumnos, o todos, que hyn otenido l mism not jo ls ondiiones diremos que se h estleido un orrespondeni entre el onjunto de los lumnos y el onjunto de ls nots, est orrespondeni se le llm funión. Entones podemos definir funión de l siguiente mner: Un funión es un orrespondeni entre dos onjuntos y no víos, en l ul pr todo elemento que pertenee l onjunto, existe un solo elemento y solo uno, que pertenee l onjunto l ul se le soi o orresponde. Pr simolizr que se h estleido un funión f, de un onjunto en un onjunto usremos l siguiente notión: f : Ejeriio De los digrms que se presentn ontinuión, dig ules representn un funión y uáles no, justifindo d un de ls respuests:

7 Prof. Mrvin Montiel ry P Q R S. F H K Se = {p, q, r, s} y = {,,,, 0, }. Esri ino posiles reliones entre y que orrespondn un funión. CRITERIO DE L FUNCIÓN El siguiente grdo de strión de lo onreto onsiste en exminr, no un dependeni dd en un ejemplo espeífio, s = 0t, sino l orrespondeni generl de y on respeto x, expresdo en l fórmul strt: y= Est fórmul estlee que l mgnitud y es de modo generl, en funión de x. L notión y= f (x) se lee y es un funión de x o y es igul f de x. (est notión no signifi f por (x)). Ovimente en lugr de x y y huiésemos podido empler ulesquier dos vriles, esrit en l form: Vrile dependiente = f (vrile independiente) Ejemplo f (x) Si = {,, } y = {,, } y su orrespondeni es el dole.

8 Prof. Mrvin Montiel ry Entones: f ( x) = x Ejemplo Si = {,, } y = {,,,, } y su orrespondeni es el dole más uno. Entones: f ( x) = x+ Ejeriios :. Determine el riterio de l funión, pr d orrespondeni:..... f(x)= - 0 f(x)=. f(x)= f(x)=. f(x)= f(x)=. f(x)= f(x)=. Complete los digrms on vlores de su eleión y on el riterio ddo

9 Prof. Mrvin Montiel ry... f(x)= x+ f(x)= x f(x)= x -... f(x)= -x f(x)= x - f(x)= x CONCEPTOS SICOS DE FUNCIÓN Dd un funión f : se define: El onjunto se llm onjunto de prtid o dominio, se puede representr omo D. f l onjunto se llm onjunto de llegd o odominio. Se llmn preimágenes los elementos del onjunto de prtid o dominio. Se llmn imágenes los elementos del onjunto de llegd o odominio que están soidos un preimgen, medinte el riterio de l funión.

10 Prof. Mrvin Montiel ry Se llm rngo o ámito de un funión l onjunto formdo por ls imágenes. Este onjunto es un suonjunto del odominio, se puede representr omo R ó respetivmente. f f Pr ilustrr los oneptos nteriores usremos lo que se denomin Digrms de Venn-Euler. Preimgen d Dominio Codominio Ámito Imgen Ejemplo 0 nlizr el siguiente digrm que represent un funión y determinr el dominio, odominio y el ámito. o : Reuerde que los elementos del dominio se llmn preimgenes y los elementos del ámito se llmn imágenes. Eje mpl nlizr el siguiente digrm que represent un funión y determinr el dominio, odominio y el ámito.

11 Prof. Mrvin Montiel ry Ddo que es posile que el odominio y el ámito estén ompuestos por el mismo onjunto de elementos, suele pensrse que odominio y ámito es lo mismo, el onepto y los ejemplos nteriores nos permiten drnos uent que pensr sí es un error. Ejemplo nlizr el siguiente digrm que represent un funión y determinr el dominio, odominio y el ámito. Ejeriios : nlizr el siguiente digrm que represent un funión y determinr el dominio, odominio y el ámito

12 Prof. Mrvin Montiel ry.. d f g h d CLCULO DE L IMGEN Deemos reordr que el onjunto de prtid est formdo por ls preimgenes y, se llm dominio, ls preimgenes son los vlores que tom l vrile independiente. Ejemplo : Un rpintero gst 0 por d sill que hg más un monto fijo de 000 por dí. uánto gstrá si he sills por dí? Cuánto gstrá si he, ó sills por dí? Pr este ejemplo, x represent d sill y f(x) el osto de frirl, lo que signifi que el osto es igul multiplir 0 por d sill y sumrle el gsto fijo. Es deir: f ( x) = 0x+ 000

13 Prof. Mrvin Montiel ry Por lo que el vlor de l vrile independiente x pr l primer pregunt es. Pr enontrr l respuest sustituimos el vlor de dih vrile en el riterio de l funión. f () = f () = f () = 00 Entones si he solmente sills en un dí, gstrí 00 en herls. De esto podemos deir que es l preimgen de 00. demás: f() = 00 f() = 00 f() = 00 Compruéelo. Podrímos deir, entones, l rpintero que entre más sills hg por dí será mejor pr su eonomí? Si. Justifique est respuest. Clulr l imgen de un funión onoiendo l preimgen y el riterio, es evlur el riterio de l funión on el vlor de l preimgen que se tiene. Ejemplo : Se f: IR IR tl que f(x)= x x + Cuál es l imgen de 0? Ddo que nos preguntn por l imgen esto signifi que 0 es un preimgen por lo que x = 0 f (0) = 0 f (0) = f (0) = 0+ Ejeriio : Determine l imgen en d so, luego diuje un digrm que represente l funión.. Se f: IR IR tl que f(x)= x Hllr: ). f() ). f() ). f(0) d). f(0) e). f(-)

14 Prof. Mrvin Montiel ry f). f(-) g). f(-) h). f() i). f() j). f() k). f(-) l). f(-). Se f: IR IR tl que f(x)= x x + Cuál es l imgen de?. Se f: IR IR tl que f(x)= x x + Cuál es l imgen de?. Pr elorr empnds un señor gst 0 por d empnd que he demás de 0 por dí en gstos fijos.. Cuánto gstrá elorndo empnds?. Cuánto gstrá elorndo 0 empnds? En este so el riterio de l funión de osto es C(x)= 0x+0.. En un fári gstn por d pr de zptos elordo y tiene un gsto de 00 por dí. Cunto gstn en l elorión de 0 pres de zptos? En este so el riterio de l funión de osto es Z(x)= x+00.. Un rpintero gst 000 en mteriles por d sill elord más un gsto fijo de 00 por dí Cuánto gstr elorndo sills en un dí?. Un Viejo ferry que trnsport persons de un ldo l otro del Río Coromoto, gst por person que trnsporte y un litro de eite por dí. El eite uest el litro. Cuánto gstó el dueño del ferry hoy, si trnsporto 00 persons?. Pr jr un lde l fondo de un pozo se utilizn un sistem de plns que neesitn m. de uerd pr poder olorlo sore l o del pozo. Cuánt uerd se neesit si se dese jr el lde m. de profundidd del pozo? En este so tomremos el riterio de l funión omo P (x) = x +.. Un joven de déimo ño, es ontrtdo por su pdre, y le pgrá 000 olones por tender l pnderí de su fmili durnte sus viones. Pero demás le pgrá demás 0 olones por d nuevo liente, que por su form de tender regrese omprr un segund vez. Y logró que nuevos lientes regresrn por segund vez. Cuánto gnó el joven durnte ese tiempo? 0. Un modelo de osto pr un produto estlee que tiene un osto fijo de 00 y un osto por unidd de. Qué osto tendrá frir produtos? P(x)=x+00. Un ompñí hoteler de lse medi reliz un nálisis que estlee que el osto dirio por turist es de más un rgo fijo de Cuál será el osto de reiir turists en un dí? Si l trif diri es de 00 por turist tendrá gnni ese dí el hotelero?

15 Prof. Mrvin Montiel ry. Si pr ierto produto frirlo uest 0 por unidd más 000 olones en gsto fijo y d produto es vendido en 0. Cuánto ostr frir 0 uniddes de ese produto? Existirá utilidd l frir es ntidd de uniddes?. El osto de produir un rtíulo está ddo por y=x+00 y se vende 0 d unidd. Cuánto uest produir rtíulos? Cuánto es l utilidd por herlos?. En l terminr un señor se dedi vender empnds. Pr elorrles ell gst por d un más 00 en otros gstos dirios neesrios pr su elorión y vent. Vende d empnd 0. Cuánto le uest elorr 0 empnds y uánto otiene de utilidd en su vent? C(x)=x+00 CLCULO DE L PREIMGEN l onjunto de elementos del odominio que le orresponde un preimgen, se llm ámito. Ejemplo : El ueduto rurl de Venei, or 0 por d m de gu que se gste, más 0 por mes por onepto de mntenimiento de ñerí. Si el reio de este mes fue de 0 uántos m de gu se gstron? Pr este ejemplo, x represent d m de gu que se gst y f(x) el monto del reio durnte un mes, esto signifi que el monto pgr en un mes por onepto de gu es igul multiplir 0 por d m que se gste y sumrle el gsto fijo por mntenimiento de ñerí. Es deir: f ( x) = 0x+ 0 Por lo que si en un mes se pg 0, esto quiere deir que el vlor de l vrile dependiente es 0, por lo tnto f(x) =0, pr determinr el vlor de l vrile independiente sustituimos el vlor de f(x) y despejmos el vlor de x

16 0= 0x = 0x 0= 0x 0 = x 0 = x Prof. Mrvin Montiel ry Como x =, entones durnte ese mes se gstron m de gu. Determine, según el ejemplo, nterior ul serí l ntidd de m de gu que se gstn si el monto fuer de 0? y si fuer de 0? Pr lulr l preimgen de un funión, onoiendo l imgen y el riterio, se igul el riterio de l funión on l imgen que se tiene. Luego de l euión que se form, se determin el vlor de l vrile, medinte el despeje. Ejemplo Se f: IR IR tl que f(x)= x Cuál es l preimgen de? Ddo que nos preguntn por l preimgen esto signifi que es un imgen por lo que f(x) = = = x = ± = x + = x x Ls preimgenes de son y. Pr este so reordemos que en un funión un imgen dee tener l menos un preimgen, unque puede tener más de un. x Ejemplo Se f: IR IR tl que f(x)= x + Cuál es l preimgen de? Ddo que nos preguntn por l preimgen esto signifi que es un imgen por lo que f(x) =

17 L preimgen de es. = x+ = x = x = x = x Prof. Mrvin Montiel ry Ilustrdo en un digrm de Venn-Euler

18 Prof. Mrvin Montiel ry Ejeriio Determine l preimgen en d so:. Se f: IR IR tl que f(x)= x +. Hllr l preimgen pr undo: ). f(x) = ). f(x) = ). f(x) = d). f(x) =. Se f: IR IR tl que f(x)= x +. Hllr l preimgen pr undo: ). f(x) = ). f(x) = ). f(x) = d). f(x) =. Se f: IR IR tl que f(x)= x + Cuál es l preimgen de?. Se f: IR IR tl que f(x)= x + Cuál es l preimgen de?. Un frinte h determindo que l funión de osto de su produto est determind por f(x)= x 0, donde x represent d unidd que se fri por dí. Si el gsto de hoy es fue de 00. Cuánts uniddes de ese produto friron?. Pr elorr psteles un señor gst 0 por d pstel que he demás de 0 por dí en gstos fijos. Si semos que el dí de hoy gsto 00 uántos psteles hrá elordo? En este so el riterio de l funión de osto es C(x)= 0x+0. En un fári gstn por d pr de zptos elordo y tiene un gsto de 00 por dí. Si en un dí gsto 00 uántos zptos hrá elordo? En este so el riterio de l funión de osto es Z(x)= x+00.. Un rpintero gst 000 en mteriles por d sill elord más un gsto fijo de 00 por dí. Si el último dí del mes gsto 00 uánts sills hrá elordo?. Un Viejo ferry que trnsport persons de un ldo l otro del Río Colordo, gst person que trnsporte y un litro de eite por dí. El eite uest el litro. Si el gsto de hoy fue de 0 uánts persons trnsportron hoy? 0. Un modelo de osto pr un produto estlee que tiene un osto fijo de 00 y un osto por unidd de. Si es osto totl de frir lguns uniddes de ese produto fue de 0 Cuánts uniddes se friron? P(x)=x+00

19 Prof. Mrvin Montiel ry. Un ompñí hoteler de lse medi reliz un nálisis que estlee que el osto dirio por turist es de más un rgo fijo de Cuánto turists llegron hoy si es gsto del dí fue de?. Si pr ierto produto frirlo uest 0 por unidd más 000 olones en gsto fijo. Cuánts uniddes se friron si el osto fue de 00?. El osto en dólres de produir un rtíulo está ddo por y=x+00 Cuántos se pueden her si se tiene un presupuesto de 0 dólres?. Un joven de déimo ño, es ontrtdo por su pdre, y le pgrá 000 olones por tender l pnderí de su fmili durnte sus viones. Pero demás le pgrá demás 0 olones por d nuevo liente, que por su form de tender regrese omprr un segund vez. Si su pdre l finl de ls viones le pgó 0 olones. Cuántos nuevos lientes logró el joven que regresr por segund vez? ILIOGRFI. Corrles Mrio Ondo Álvro, Mtemáti funiones,. Rymond. rnett, Prelulo funiones y grfis,. Reinldo Jiménez Sntmrí, Introduión l teorí de ls funiones, Serigrfios, 00 Roxn Menneses Rodríguez, Enseñnz y prendizje, mo.. Vlverde Flls, Luis Mtemáti elementl on pliiones,.

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