SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MATRICES Y DETERMINANTES.

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1 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites SISTEMS DE ECUCIONES LINELES MTRICES Y DETERMINNTES - Itrouió los sistems lieles -Euió liel -Sistems e euioes lieles -Sistems equivletes -Métoo e Guss pr l resoluió e sistems Sistems e form eslo o trigulr 5-Métoo e Guss-Jor -Mtries - Mtriz - Mtries urs -Operioes o mtries -Sum e mtries -Prouto por u eslr -Prouto e mtries -Propiees e l mtriz trspuest 5-Prouto e mtries urs 6-Mtriz ivers 7-Mtries por loques -Epresió mtriil e u sistem liel - Determite e u mtriz ur Determite e u mtriz ur e ore Determite e u mtriz ur e ore Propiees e los etermites e seguo y terer ore: Determite e u mtriz ur e ore 5 Propiees e los etermites e ore - Mtriz ivers e u mtriz ur - Mtries Elemetles - Métoo e Guss pr el álulo e l mtriz ivers 5- Rgo e u mtriz 6- pliió el álulo mtriil los sistems e euioes lieles 6-Sistems e Crmer 6-Teorem e Rouhé-Froeius 6- Sistems homogéeos 6- Estrutur e ls soluioes e u sistem 7- Mtries Ortogoles U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí

2 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites SISTEMS DE ECUCIONES LINELES MTRICES Y DETERMINNTES Itrouió los sistems lieles Histórimete, el primer trjo e álger liel osistió e resolver u sistem e euioes lieles El prolem e eotrr métoos seillos y poo loriosos pr resolver sistems sigue itereso muhos ivestigores Eiste logís etre l geometrí líti y el álger liel que os oue l estuio e los sistems e euioes lieles: U ret e el plo viee por u euió liel e os vriles (ls os oores e u puto ritrrio e l ret) U plo e el espio viee o por u euió liel e tres vriles; u ret e el espio, por os euioes lieles o tres vriles Euió liel Defiiioes: Se llm euió liel u euió e l form:, oe los oefiietes,,,, sí omo el térmio iepeiete, so eslres e u uerpo omuttivo K, y,,, so ls iógits U soluió prtiulr e l euió terior es u -upl e eslres,,, ) tl que ( L soluió geerl (ó simplemete l soluió) e l euió es el ojuto formo por tos ls soluioes prtiulres Resolver u euió es hllr su soluió geerl Tipos e euioes lieles: Euió omptile es quell que tiee lgu soluió Puee ser, su vez, omptile etermi uo tiee u úi soluió, y omptile ietermi uo tiee más e u soluió (e este so terá ifiits soluioes) Euió iomptile es quell que o tiee igu soluió:, o U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí

3 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites Euió homogée es l que tiee ulo el térmio iepeiete; es eir, es u euió e l form: Evietemete, u euió homogée es siempre omptile puesto que siempre mite l llm soluió trivil: (,,,) D l euió, se llm euió homogée soi l mism, l euió Sistems e euioes lieles Defiiioes: Se llm sistem e m euioes lieles o iógits u ojuto e euioes lieles e l form: S m m oe los oefiietes ij, i=,,m, j=,,, y los térmios iepeietes i, i=,,m, m so eslres e u uerpo K y,,, so ls iógits U soluió prtiulr el sistem terior es u -upl e eslres,,, ) que se soluió e u e ls m euioes el sistem m ( L soluió geerl (ó simplemete l soluió) el sistem es el ojuto formo por tos ls soluioes prtiulres Resolver u sistem es hllr su soluió geerl Tipos e sistems lieles: Sistem omptile es quél que tiee lgu soluió Puee ser, su vez, omptile etermio uo tiee u úi soluió, y omptile ietermio uo tiee más e u soluió (e este so terá ifiits soluioes) Sistem iomptile es quél que o tiee igu soluió U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí

4 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites Sistem homogéeo es el que tiee ulos los térmios iepeietes; es eir, es u sistem e l form: m m m Propiees e los sistems homogéeos i) L -úpl (,,,) es siempre u soluió prtiulr e too sistem homogéeo y se eomi soluió trivil ii) Si l -úpl ( s,s,,s ) es u soluió prtiulr e u sistem homogéeo etoes tmié lo es l -úpl s, s,, s ) se ul se K ( iii) Si ls -úpls ( s,s,,s ) y ( s',s',,s' ) so os soluioes prtiulres e u sistem homogéeo tmié lo es l -úpl sum ( s s',s s',,s s' ) Defiiió: Do el sistem homogéeo soio l mismo, l sistem m m m m m m m, se llm sistem Sistems equivletes Dos sistems S y S so equivletes uo tiee l mism soluió geerl, es eir, uo to soluió e S lo es e S y vievers Se llm operioes elemetles etre ls euioes e u sistem S ls operioes que se pue efetur e ls misms, e form que el uevo sistem oteio se equivlete S So ls siguietes: i Multiplir u euió ulquier e S por u eslr o ulo ii Itermir e lugr etre sí os euioes e S iii Sumr u euió u omiió liel e otrs euioes; es eir, sustituir u euió e i e S por l euió e e sieo, K o ulos e i, j,, m i j U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí

5 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites Coseuei Si e S u euió es omiió liel e ls resttes etoes, el sistem que result, l suprimir ih euió, es equivlete S E prtiulr, si u e ls euioes es ul, el sistem que result l suprimirl es equivlete S lo lrgo el tem se estuirá métoos pr lizr e qué tipo es u sistem y métoos e resoluió el sistem Métoo e Guss pr l resoluió e sistems Sistems e form eslo o trigulr Se S u sistem e euioes lieles, el métoo e Guss osiste e trsformr S, meite operioes elemetles, e u sistem S e form eslo o trigulr uy resoluió es imeit o se eviete que se iomptile Diremos que u sistem S está e form eslo o es esloo si es e l form ' ' ' j j ' ' ' ' j j ' ' S' ' pj j ' p ' p o (p<) ' p ' m Diremos que u sistem S está e form trigulr o es trigulr si es e l form ' ' ' ' ' ' ' S' ' ' Distiguiremos tres sos: El º e euioes o uls e S es igul l º e iógits y ii pr i,,, etoes el sistem es omptile etermio Ejemplo : Resolver el sistem: U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 5

6 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites y z S y z 5 y z ª ª 5ª ª y z y z 8 y 6z ( y z) y z 8 Por tto =, y=, z=- z ª ª y z y z 8 z - El º e euioes o uls e S es meor que el º e iógits y o hy euioes iomptiles, etoes el sistem es omptile ietermio Ejemplo : Resolver el sistem: y z y z y z y z S 5y 8z y - z y z y z 8y z 7 y - z y z z Por tto =--z, y=+z, z=z y z Oservemos que z y z y z R Ests euioes reie el omre e euioes prmétris el ojuto soluió Poemos esriir (- -,, ) R reie el omre e prámetro lgu euió e S es iomptile, etoes el sistem es iomptile Ejemplo: Resolver el sistem: U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 6

7 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites y z S y z 7 5 y z luego S es iomptile y z - 7y - 7y z z 7 y z - 7y z -! 5 Métoo e Guss-Jor Proeieo e mer álog l métoo terior, se trt e trsformr S, meite operioes elemetles y siempre que se posile, e u sistem S e l siguiete form que eomiremos igol ' ' S' ' Ejemplo: Resolver el sistem homogéeo soio l sistem el ejemplo SH y z y z y z y z 5 y z y 6z ( y z) y z Por tto =y=z= z y z y z z - Osérvese que S H proee e u sistem omptile etermio uy soluió puee esriirse e l form: Ejemplo: (,,-) (,,-) (,,) Resolver el sistem homogéeo soio l sistem el ejemplo U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 7

8 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites SH y z y z y z 5y 8z y - z y z 8y z y - z y z z y y z z Osérvese que esriir e l form:, R S H proee e u sistem omptile ietermio uy soluió se puee (- -,, ), R (,,) (,,), R Mtries Mtriz Defiiió: U mtriz es u ojuto e elemetos e u uerpo K oreos e fils y olums Si l mtriz tiee m fils y olums, se esrie sí: m m m ij m El elemeto geerl ij e l mtriz tiee soios el suíie i, que ii l fil, y el suíie j que ii l olum e ls que se euetr iho elemeto Se ie que l mtriz tiee imesió m ; si m =, iremos que es u mtriz e ore y por M Se esig por M m el ojuto formo por ls mtries o m fils y olums, m el uerpo K ( K) l ojuto e mtries e imesió m uyos elemetos so eslres Defiiió: Mtries equiimesioles so ls que tiee l mism imesió; os mtries equiimesioles y so igules uo ij = ij, i=,,m, j=,, Tipos e mtries: U mtriz es ur uo m = U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 8

9 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites L mtriz ul e imesió m es l que tiee ulos toos sus elemetos U mtriz fil es l que tiee u úi fil U mtriz olum es l que tiee u úi olum Mtries urs Se ij ij u mtriz ur, M (K), etoes: L igol priipl e está form por los elemetos ij tles que i = j, es eir,,,, Los elemetos, -,, ostituye l igol seuri Mtriz igol es quell que tiee ulos toos sus elemetos, slvo, lo sumo, los e l igol priipl Mtriz eslr es u mtriz igol o toos los elemetos e l igol priipl igules L mtriz ui e ore tiee ulos toos sus elemetos eepto los e l igol priipl que so uos; se eot por I U mtriz ur es simétri uo ij = ji, i,j=,,, U mtriz ur es tisimétri uo ij = - ji, i,j=,,, Mtriz trigulr superior es l que tiee ulos toos los elemetos por ejo e l igol priipl Mtriz trigulr iferior es l que tiee ulos toos los elemetos por eim e l igol priipl Defiiió: U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 9

10 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites Se llm mtriz trspuest e l mtriz M que se t M m l mtriz m t otiee l itermir fil o l orrespoiete olum e ; es eir,, i, j =,,, Ejemplo: L trspuest e l mtriz = t M es M 5 5 ij ji Proposiió: Se u mtriz ur Se verifi: ) es simétri si y solo si t Ejemplo: es simétri y t ) es tisimétri si y solo si t ; es eir, =( ij ) tl que ij =- ji i, j,, Osérvese que ii =- ii i,, Ejemplo: ii es tisimétri y t - Operioes o mtries Vmos esigr revimete por M m l ojuto e tos ls mtries e m fils y olums uyos elemetos perteee l uerpo omuttivo K Defiimos ls siguietes operioes: Sum e mtries Pr ulesquier mtries =( ij ), =( ij ) M m se efie l sum e y y se esig + omo l mtriz C=( ij ) M m tl que ij = ij + ij i,,m, j,, M m M m M m L sum es u operió iter e M m y es fáil ompror (, ) C que ( M m, +) tiee estrutur e grupo omuttivo o elio, es eir, se verifi ls propiees: soitiv : +(+C)=(+)+C,, C M m =( ij ), =( ij ), C=( ij ) M m puesto que +(+C)= ( ij )+[( ij )+( ij )] = = [ ( ij )+( ij )]+( ij )=(+)+C, y que se umple l propie soitiv e K U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí

11 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites Elemeto eutro: Es l mtriz uyos elemetos so toos ulos, l esigremos por O: +O=O+= M m =( ij ) M y O=() es el elemeto eutro, puesto que +O=( ij )+()=( ij +)=(+ ij )=O+= m Elemeto simétrio: Es l mtriz uyos elemetos so los opuestos respetivos los e l mtriz M m, esigremos por M m su mtriz opuest: +(- )=(-)+=O =( ij ) M m y l mtriz simétri u opuest e, será: -=(- ij ) M m y que +(-)=( ij )+(- ij )=( ij - ij )=()=O (-)+ =(- ij )+( ij )= (- ij + ij )=() =O, y que se umple l propie e eistei e elemeto opuesto e K Comuttiv : +=+, M m =( ij ), =( ij ) M m, hor +=( ij )+( ij )=( ij+ ij )=( ij + ij )=+, omo e los sos teriores so elemetos e u uerpo omuttivo K Prouto por u eslr Pr ulquier K y ulquier mtriz =( ij ) M m se efie el prouto omo otr mtriz D=( ij ) M tl que ij = ij i,,m, j,, m Este prouto es u operió eter siguietes propiees: K M m (,) M D m que verifi ls 5 Distriutiv ª: (+)= + K y, M m y que i,,m, j,, por ser,, K ij ij ij ij ij ij 6 Distriutiv ª:, i,,m, j =, ij ij K M m y que, por ser,, K 7 soitiv mit : ( ), ij ij K M m y que ( ) i,,m, j =,, por ser,, K ij ij ij 8 El elemeto ui el uerpo K verifi que : = i,,m, j =,, por ser ij ij ij M y que U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí m K

12 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites Ests 8 propiees que posee el ojuto M m,, ostituye u uev estrutur lgeri que reie el omre e espio vetoril sore el uerpo omuttivo K, o simplemete K-espio vetoril sí iremos que: m M es el K-espio vetoril el ojuto e mtries e imesió m,, Usulmete K=R (ojuto e los úmeros reles) Ejemplo: Efetur Prouto e mtries Se = ( ik ) M y ( ) M efiimos el prouto e y, m kj p que esigremos, omo otr mtriz C=( ij ) ij k ik kj i j i j i j M mp tl que i,,m j =,,p Ovimete el prouto e os mtries ulesquier o es posile e geerl soitiv: Si,, C se puee multiplir, es eir, M m, M p, C M pq, etoes se verifi ()C =(C) =( ik ) m, =( kj ) p, C=( jl ) pq, sí el elemeto que oup el lugr (i,j) e l mtriz es k p y el elemeto que oup el lugr (i,l) e l mtriz ()C result ik kj j k ik kj jl E el seguo miemro (C) el elemeto geério (i,l) es p ik kj jl que es igul l terior porque se umple l propie soitiv e k j elemetos e K Distriutiv: Cuo se posile efetur ls operioes (+C) y (+C), se verifi ( C) C ( C) C U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí

13 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites Vemos l emostrió e ( eir, =( ik ) m, =( kj ) p, C=( kj ) p Etoes: ( C) M k m ik C) C Se M m,,c M p, es kj kj ik kj ik kj ik kj ik kj C k, l mtriz ieti I m verifi que I m =, y álogmete l mtriz ieti I verifi que I = Es fáil ver que: I = m m m = m k m k m = El prouto e os mtries y o es omuttivo e geerl, pues si M sieo m p, etoes i siquier es posile efetur p M y m Ejemplo: Efetur, uo se posiles ls siguietes operioes: ) Soluió: No se puee efetur l operió por o estr efiio iho prouto mtriil (el º e olums e l ª mtriz es istito l º e fils e l ª) ) Soluió: No se puee efetur l operió por o estr efiio iho prouto mtriil (el º e olums e l ª mtriz es istito l º e fils e l ª) ) Se = y = Clulr y U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí

14 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites Soluió: Sí es posile efetur oteiéose, pero o es posile efetur porque el º e olums e l mtriz es istito l º e fils e l mtriz ) Se = y = Clulr y Soluió: Sí es posile efetur y oteiéose: 7 7, y = 5 que so mtries istits Propiees e l mtriz trspuest El operor trspuest umple ls siguietes propiees i) ( t ) t = t ( ij ji ij E efeto: ( t ) t t t = ) ( ) ( ), M : m t ii) (+) t = t + t Se ( ji t = ( ij) M y (ij) M, luego = ( ji ) M m y ) M m m Etoes: (+) t = (( ij )+( ij )) t =( ij+ ij ) t =( ji + ji )=( ji )+( ji )= t + t m iii) (k) t =k t k K (k) t = k m m m t k k k m k k k m k k k m t U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí

15 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites k k k m k k k m k k k m k m m m =k t iv) () t = t t Si =( ik ) M m, =( kj ) M p etoes () t = k ik kj t k ki jk k jk ki t t 5 Prouto e mtries urs Desigremos por M, e hor e elte, l ojuto e ls mtries urs e ore uyos elemetos perteee l uerpo omuttivo K El prouto e mtries urs e ore siempre está efiio y es u operió iter e M : ij k ik kj i j M M (,) i j M C y verifi ls siguietes propiees: i j tl que C=( ij ) y i, j,, soitiv: ()C=(C),,C M Elemeto ui: L mtriz ui e ore I verifi I =I = M Por tto, ( M, ) es u semigrupo o elemeto ui emás se verifi l propie: ( C) C Distriutiv,,C M ( C) C Luego ( M,, ) es u illo o elemeto ui E el illo terior eiste ivisores e ero; puesto que el prouto e os mtries istits el elemeto eutro e l iió (mtriz ul) es igul l mtriz E R se verifi que si,r, y = ó Si emrgo esto o suee e M U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 5

16 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites Pr = y = se verifi que = = =O, oe O es l mtriz ul Es eir, e el ojuto M e l igul =O o se puee euir, e geerl, que o ie es l mtriz ul, o ie es l mtriz ul Oservió ( M, ) o tiee l propie el elemeto iverso, pero hy mtries que sí tiee elemeto iverso, etoes efiimos: Mtriz ivers Llmremos mtriz ivers e M, y esigremos -, l mtriz ur e ore, que verifique que - = - = I Propiees e l ivers El operor ivers e u mtriz verifi ls siguietes propiees, M : L ivers e u mtriz, si eiste, es úi Si y so iversiles, etoes es iversile y Si es iversile, etoes t Si es iversile, etoes Demostrió: Se y ses mtries iverss e l mtriz, etoes: I = I I Demostremos l efiiió e ivers I I I I Por efiiió e ivers I poemos eir que - es l ivers e y que es l ivers e -, luego t t t t t t Demostremos que ( ) I E efeto, ( ) ( ) I I Por tto t t t U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 6

17 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites 7 Mtries por loques Defiiió: D M se llm sumtriz e ulquier mtriz otei por m elimiió e u ierto úmero e fils, o e olums, o e ms l vez, e l mtriz Pr relizr iertos álulos result oveiete, e lgus osioes, reprtir los elemetos e u mtriz, meite rets vertiles y horizotles, e sumtries que eomiremos loques, js o éluls e Ejemplo: 6 7 sieo 6 Ls operioes etre mtries por loques se reliz álogmete ls operioes etre mtries, o l úi oiió e que los loques, sumtries, se pue operr etre sí sí: que: Es eir, si Pr sumr os mtries y equiimesioles, por loques, es eesrio i) ms esté iviis e el mismo º e loques ii) Los loques orrespoietes se equiimesioles y im im im im + = sieo im im Ejemplo: El prouto e u eslr ulquier K por u mtriz, por loques, se efetú multiplio por loque Es eir, 7 U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 7

18 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites si =, etoes = Pr multiplir os mtries y, por loques, es eesrio que: i) el º e loques olum e l mtriz se igul l º e loques fil e l mtriz ii) los loques orrespoietes pue multiplirse segú l regl geerl y esto ourre uo oii el úmero e olums e los loques que etermi l olum k e l mtriz (por loques) y el úmero e fils e los loques que etermi l fil k e l mtriz (por loques) Es eir, si =, y, etoes = uo se posiles ls operioes iis pr los loques, es eir, º e olums e l primer olum e loques e :, =º e fils e l primer fil e loques e :,, y álogmete pr l ª olum e loques e o l ª fil e loques e Osérvese que u vez heh est eleió (º e loques olum e y º e loques fil e multipliles) poemos elegir ritrrimete el º e loques fil e y el º e loques olum e, Ejemplo: Efetur el prouto e y, sieo Si tommos loques olum e, por ejemplo 5 y = 5, etoes por i) hemos e tomr loques fil e, tles que por ii) el º loque fil e teg u úi fil y el º teg os fils = hor poemos elegir ritrrimete el U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 8

19 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 9 º e loques fil e y el º e loques olum e, por ejemplo = 5, = = Tmié porímos her tomo os loques olum e, por ejemplo 5 y = = Oservió Como oseuei el álulo el prouto e mtries por loques, se puee hllr l ivers e u mtriz por loques plio l propie e elemeto iverso, meite l resoluió e u sistem e euioes mtriil, siempre que oozmos l ivers e lgú loque Ejemplo: Hllr l ivers e l mtriz 5

20 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí Cosiermos l mtriz ivii e los loques 5 =, es eir, (),, 5, y esigmos, etoes por efiiió e mtriz ivers: - =I = y por ser iversiles y : I O O I 5 I 5 5 Sieo que 5 5 Luego 5 Epresió mtriil e u sistem liel Do el sistem liel m m m m, se llm mtriz e los oefiietes ó mtriz el sistem l siguiete mtriz: m m m

21 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí L mtriz e los térmios iepeietes es: m L mtriz mpli el sistem es: m m m m Por último, l mtriz e ls iógits es: X Co est otió, tl omo se h efiio el prouto e mtries, el sistem e prti puee esriirse e l form: X Ejemplo: El sistem z y 9 z y 6 z y puee tmié esriirse e form mtriil: 9 6 z y Ejemplo: El sistem 5z y 7 z y S e form mtriil 7 z y Too sistem homogéeo S H se esrie, e form mtriil, omo X=O óe es l mtriz e los oefiietes, X l mtriz olum e ls iógits y O l mtriz olum ul orrespoiete Ejemplo: El sistem 5z y z y S z y

22 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites Determite e u mtriz ur Determite e u mtriz ur e ore Do el sistem os iógits, jo qué oiioes tiee soluió úi? e os euioes o Multiplio l primer y l segu euió por y, respetivmete, y resto luego e l segu euió l primer, se otiee: Si ), etoes ( ( ) álogmete, multiplio l primer y l segu euió por y, respetivmete, y resto luego e l segu euió l primer, se otiee: Si ), etoes ( ( ) Pree que es eisivo el que o se ule l epresió pr que el sistem plteo teg soluió úi Defiiió: El etermite e l mtriz M (K) es el eslr ; se esrie sí: Det Co est otió, el sistem plteo teriormete tiee soluió úi si y sólo si el etermite e l mtriz e los oefiietes = y l soluió es:, U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí

23 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites Que etoes efii l pliió M K Determite e u mtriz ur e ore Del mismo moo, efetuo seills operioes o ls euioes el sistem solo si, puee omprorse que iho sistem tiee soluió úi si y Esto os llev l oepto e etermite e u mtriz e ore tres: Defiiió: El etermite e l mtriz M (K) es el eslr: ; se esrie: Det L epresió que os l efiiió se llm esrrollo el etermite por l primer fil Sustituyeo los etermites e ore os que pree e l mism por sus respetivos esrrollos, que: Est uev form e epresr el etermite e u mtriz e ore tres se llm: Regl e Srrus pr el álulo e u etermite U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí

24 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites Regl e Srrus El eslr tmié puee oteerse meite l sum e los proutos e los elemetos e l igol priipl y sus os prlels meos l sum e los proutos e los elemetos e l igol seuri y sus os prlels, e l siguiete mtriz otei l ñir l mtriz ls os primers fils Que etoes efii l pliió M K Co est otió, el último sistem plteo tiee soluió úi si y solo si el etermite e l mtriz e los oefiietes y l soluió es,, Propiees e los etermites e seguo y terer ore: ) El etermite e l trspuest e es igul l etermite e, t t y pr M (K) t = = U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí

25 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites ) Si u líe está form elusivmete por eros, el etermite es ero y e el otro so por Srrus ) l itermir etre sí os líes prlels, el etermite mi e sigo Si itermimos l ª fil o l ª, etoes: ( ) y pr M (K) si itermimos l ª fil o l ª, etoes: prop ª et ore Si itermimos l ª fil o lgu e ls otrs os l emostrió se reliz iretmete lulo los etermites Pr olums tmié se umple por l propie primer ) U etermite que teg os líes prlels igules, es ero Si itermimos ls os líes e lugr, etoes plio l propie ª se otiee 5) Si se otiee prtir e multiplio u fil e por u úmero k, etoes ' k k k k k k k k( ) y pr l mtriz e ore : k k k k k k 6) Si u etermite tiee os líes prlels proporioles, el etermite es ero Por l propie terior so el vlor e proporioli result l propie ) y su etermite es ero U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 5

26 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites 7) Si e u etermite los elemetos e u líe so sum e os sumos, iho etermite es igul l sum e os etermites, uo e ellos o es líe form por los primeros sumos y el resto e ls líes omo ls el etermite origil, y el otro etermite álogo éste, pero o los seguos sumos e vez e los primeros Pr el so e ore os y e l primer fil, por ejemplo, est propie se ' ' ' ' epresrí sí: y su omproió es imeit, ' ( = = ' ) ' ( ' ) ( ' álogmete, ( ) ' ' ) ' ( + ' ' ' ' ' ' ) ' L emostrió pr ulquier otr fil es imeit, o ie esrrollo los etermites 8) Si u líe es omiió liel e otrs líes prlels, etoes, el etermite es ero Si l primer fil e u mtriz ur result ser u omiió e ls otrs os, es eir, f f f ; por ls propiees 7) y 6) result que su etermite es ero += prop7) prop6) ' ' ' 9) Si u líe se le sum u omiió liel e otrs líes prlels, etoes el etermite o vrí Por l propie terior, equivle sum ero Vemos l primer fil más u omiió liel e ls resttes f f f, etoes: U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 6

27 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites prop8) tes e euir el resto e ls propiees, eesitmos itrouir lguos oeptos uevos: Defiiió: Si M (K) ij, se llm meor omplemetrio el elemeto ij, y se le eot por ij, l etermite e l sumtriz e ore os e que se otiee elimio l fil i y l olum j Defiiió: El juto el elemeto ij es ij, si i+j es pr, ó ie, - ij, si i+j es impr; se le i+ j eot por ij ; por tto, ij = (-) ij Ejemplo: Hllr, meor omplemetrio y el juto el elemeto e l mtriz = Soluió : = =- y = ( ) = Defiiió: De uero o l regl e Srrus y o ls efiiioes teriores, si M (K), puee efiirse el etermite e omo l sum e los proutos e los elemetos e primer fil e por sus orrespoietes jutos; es eir, = U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 7

28 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites Determite e u mtriz ur e ore Defiiió: Si M (K), se llm etermite e, y se eot por Det() ó ie por, l sum e los proutos e los elemetos e l primer fil por sus orrespoietes jutos; es eir: Defiiió geerl: Si M (K), se efie el etermite e, y se eot omo tes, l sum e los proutos e los elemetos e l primer fil e por sus orrespoietes jutos (que será etermites e ore -) 5 Propiees e los etermites e ore Pr emostrr ests propiees utilizremos el métoo e iuió: que osiste e pror l propie pr los primeros úmeros turles,,, y supoer que l propie es iert pr u ierto úmero turl - y emostrr que se umple pr el siguiete úmero turl Ls propiees h sio emostrs pr = y = e los teriores prtos ) Si u mtriz ur tiee u fil e eros, su etermite es ero Es eviete uo l fil e eros es l primer y e otro so el esrrollo por jutos e l mtriz ur e ore, os llev que toos los jutos e ore - tiee u fil eros y por l hipótesis e iuió so toos ulos ) l itermir etre sí os líes prlels, el etermite mi e sigo Supogmos que ls os fils que se itermi so oseutivs Se l mtriz que se i i h oteio e itermio ls fils i e i+: se tiee que i i U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 8

29 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites oe juto j es u mtriz ur e ore - o os fils j j j itermis o respeto j y por hipótesis ij =- ij sustituyeo e l igul terior, jj j j( j) j Si se itermi ls fils i e i+k: ik fil i i k est mtriz se puee i i fil ik oseguir relizo k- itermios e fils oseutivs; puesto que l fil i+k eesit k mios hst llegr oupr l fil i y l fil i que e l posiió e l fil i+ y eesit k- itermios pr quer omo ii e totl k+k-=k- C uo e estos itermios mi e sigo el etermite y k- es impr, luego ( ) k ) U etermite que teg os fils igules, es ero Itermio etre sí ls os fils iétis por l propie terior mi e sigo su etermite y por tto ) Si se otiee prtir e multiplio u fil e por u úmero k, etoes ' k se tiee que: ' k Si l fil esogi es l primer k k k( k ' k k ) k Cuo l fil multipli o es l primer los jutos (etermites e ore -) tiee u fil multipli por k y por l hipótesis e iuió que multiplios por k y se umple l propie 5) Si u etermite tiee os fils proporioles, el etermite es ero U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 9

30 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites Por l propie terior so el vlor e proporioli result l mtriz o os fils igules y su etermite es ero 6) Si e u etermite los elemetos e u fil so sum e os sumos, iho etermite es igul l sum e os etermites, uo e ellos o es fil form por los primeros sumos y el resto e ls fils omo ls el etermite origil, y el otro etermite álogo éste, pero o los seguos sumos e vez e los primeros C i i i i i i i i i pr too i=,,, i i i Teemos C C C C oe juto C k es u mtriz e ore - o u fil que es sum y se puee esriir C ik = ik + ik omo sum e jutos e l mtriz y e l mtriz Sustituyeo este resulto e l igul terior C ( ) ( ) ( ) 7) Si u fil es omiió liel e otrs fils, etoes, el etermite es ero Si l primer fil e u mtriz ur result ser u omiió e ls otrs os, es eir, f f f ; por ls propiees 5) y 6) result que su etermite es ero U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí

31 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites E el so e que l fil primer o fuer omiió liel e ls siguietes y si lo fuer l fil i se itermi etre si uque el etermite mi e sigo (propie ) resulto por supuesto ero 8) Si u fil se le sum u omiió liel e otrs fils, etoes el etermite o vrí Si multiplimos l fil i e l mtriz ur por k y se sum l fil k pr oteer por ls propiees ) y 6) el etermite o vrí k k k El seguo etermite es ulo por l propie 5) 9) El etermite e l mtriz ur es igul ulquier que se l fil que se tome pr su esrrollo Segú l efiiió: k k jj j k Si esrrollmos por l segu fil y segú l efiiió terímos, = prop y puesto que los jutos mi e sigo, luego j j j( j) jj j j j j j U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí

32 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites Si hor itermimos l segu y l terer fil, el etermite mi e sigo y los jutos tmié, luego teremos u fórmul pr esrrollr el etermite por ulquier fil: ij ij pr i=,, j ) El etermite e l trspuest e es igul l etermite e, t Supoemos que el resulto es ierto pr mtries e ore - y e l mtriz e ore : t y esrrollo el etermite por l primer fil t utilizo l hipótesis e iuió, t j j ji t, que result jj j j j j j j j prtir e este resulto, e tos ls propiees teriores se puee sustituir l plr fil por l plr olum Oservió Ls propiees, y 6 se resume iieo que l pliió etermite M K es u form -liel lter Teorem Desrrollo e u etermite por los elemetos e u líe Pr mtriz, se verifi: M i) ii ii ii, esrrollo el etermite e por los elemetos e l fil i-ésim ii), esrrollo el etermite e por los j j j elemetos e l olum j-ésim j j j U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí

33 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites Demostrió: Demostremos, e primer lugr, el prto i) : i i i i ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i + i i i ( ) i i Def + i ( ) ( ) suieo l fil i-ª hst lª itermiáol suesivmete o l imeit terior i i i i i i i i i ( ) + ( ) ( ) + ( i i i i i i i ) i i i = i i i i i i ii) Como t, si plimos el esrrollo por l fil j-ésim t el resulto es igul l esrrollo por l olum j-ésim e, omo querímos emostrr Corolrio El esrrollo formo por los elemetos e u líe, tomo omo jutos los e u prlel l mism es el ero e K Demostrió: Cosiermos el esrrollo por los elemetos e l fil i e l mtriz M tomo omo jutos, por ejemplo, los e l ª fil Etoes: i i i = i ( ) i i + i ( ) i i ef U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí

34 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites i i i i i i filª fil iª álogmete se emuestr tomo omo jutos los e ulquier otr fil istit e l fil i-ésim Ejemplo: Clulr el etermite Soluió: esrrollo por l ª olum -(-+)= - Ejeriio 5 5 filª filª 5 filª filª ª fil 5 filª fil-5 filª = ª esrrollo 8 por l ª olum = Clulr el etermite eomio e Vermoe D= U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí

35 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 5 Soluió: D ª ª ª ª ª ª ªpropet l ªolum esrrollo por ª ª ª ª ªpropet l ªolum por esrrollo ª ª ef Mtriz ivers e u mtriz ur Defiiió: Se ) (K M Llmmos mtriz ivers e u mtriz ) (K M tl que I, siempre que ih mtriz eist

36 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites Defiiió: Se ie que u mtriz M (K) es: ) Iversile si eiste ) Regulr uo ) Sigulr uo Proposiió (Crterizió e ls mtries iversiles) Se M (K) Si, etoes es iversile y (j ) t, sieo j l mtriz jut e que se otiee, prtir e, sustituyeo elemeto por su juto orrespoiete Demostrió: Por tto, Sieo, etoes t ( j ) ; j t luego: (j ) Por otr prte, plio el resulto el último teorem e los etermites, se tiee: U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 6

37 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites ( t (j ) ) I Mtries Elemetles Defiiió: U mtriz elemetl es l que se otiee efetuo operioes elemetles e ls fils e l mtriz ui Ests operioes elemetles so: () Itermir etre sí ls fils i y j () Multiplir l fil i por u eslr o ulo () Sumr l fil i, l fil j multipli por u eslr o ulo Deotremos por i i I(i,j)=, j I( i)= i y j U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 7

38 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites i j I(i+j) = i ls mtries elemetles que se otiee l plir l mtriz ui ls operioes elemetles (), () y (), respetivmete Not: Ls operioes elemetles etre ls olums e u mtriz M, se puee epresr e mer álog, omo prouto, l ereh e, por mtries elemetles, ls ules se otiee plio l mtriz ieti I l operió elemetl orrespoiete Proposiió: Se verifi los os siguietes resultos: ) Ls mtries elemetles so iversiles ) L ivers e u mtriz elemetl es tmié u mtriz elemetl Demostrió: ) Es imeito y que I(i, j), I( i) y I(i j) ) Fáilmete se omprue que: (I(i, j)) I(i, j), (I( i)) I( i), (I(i j)) I(i j) Proposiió: Efetur u operió elemetl e ls fils e u mtriz equivle efetur ih trsformió e ls fils e l mtriz ui e ore orrespoiete y espués multiplirl por por l izquier Demostrió: El resulto se s e el heho más geerl e que si X e Y so mtries que puee multiplirse, l fil i el prouto XY oiie o el prouto e l fil i e X por Y, por lo que el efeto prouio l plir u operió elemetl sore ls fils e l mtriz X y multiplir luego por Y, es el mismo que si efetumos l mism operió elemetl sore ls fils e XY Si tommos X = I e Y =, se sigue y l tesis e l proposiió U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 8

39 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites Otros resultos reltivos mtries elemetles ) To mtriz M se puee reuir u mtriz trigulr meite prouto por mtries elemetles Meite operioes elemetles (prouto por mtries elemetles) siempre poemos trsformr e u mtriz trigulr (métoo e Guss pr resoluió e sistems) ) Si es iversile Por ser iversile el sistem homogéeo X=O solo mite l soluió trivil pues X O O, por tto plio Guss poemos reuir u mtriz trigulr o ii i, y prtir e, meite operioes elemetles (prouto por mtries elemetles) reuimos I (métoo e Guss-Jor) Es eir, eiste E, E,, E m tles que E m E E E =I Y espejo e l igul - E me E I, se otiee (E me E) I E E E m ;y, omo l ivers e u mtriz elemetl es tmié u mtriz elemetl, se lleg l siguiete olusió: Si u mtriz es iversile, etoes puee ser epres omo prouto e mtries elemetles El reíproo es eviete ) Si es u mtriz ur o iversile, puee reuirse meite operioes ' elemetles e sus fils u mtriz el tipo (l meos u fil e eros) ) De form geerl, si es u mtriz o ul e imesió m, etoes, puee ser trsform meite operioes elemetles (e fils y olums) e u mtriz que respo u e ls utro ofigurioes siguietes I r r I I I mm Proposiió: Utilizo estos resultos puee rse u emostrió seill e l propie e los etermites reltiv l etermite el prouto e os mtries urs el mismo ore: Demostrió: E efeto: i) Si es u mtriz elemetl, e tres posiilies: i ) = I(i,j) ( ) = i ) = I( i) i ) = I(i+j) U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 9

40 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites ii) Si es ivertile, por el resulto ), puee esriirse omo prouto e mtries elemetles: E E plio reitermete el resulto i) se tiee: E k E E E E E E E E E = E E E k k k k iii) Si o es ivertile, etoes, segú se h emostro más rri, E este so, tmié, y que puee esriirse e l form: ' E' E' E' k C, oe ls E ' j so mtries elemetles y C es e l form C Por tto, plio reitermete el resulto i), se tiee: E' E' E' C E' E' E' C, y que C tiee tmié u fil e eros k k Proposiió: Si es ivertile, etoes y Demostrió: Por ser ivertile, eiste y, por efiiió e mtriz ivers, se verifi que I Tomo etermites y lulo el etermite el prouto, se otiee: I Luego y Métoo e Guss pr el álulo e l mtriz ivers Se M (K) ivertile Si eotrmos E,E,, E m mtries elemetles tles que E me E I, etoes, E m E E I y, por tto, E m E E I = Luego, efetuo e ls fils e l mtriz ui ls misms operioes elemetles que efetus sore ls fils e os l trsform e l mtriz ui, oteemos l mtriz ivers e E esto osiste preismete el métoo e Guss uy form práti e relizió viee por el siguiete esquem: Ejemplo: operioe elemetles s I I U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí

41 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites Hllr l ivers e l mtriz = utilizo el métoo e Guss, y esriir ih ivers omo prouto e mtries elemetles I ª ª ª ª ª L ivers e l mtriz es Osérvese que l ª operió elemetl equivle multiplir por l mtriz (e tipo I(ª ª ) ) l izquier e ; l ª operió equivle multiplir por l mtriz (e tipo I( ª ) ) l izquier el prouto terior y l ª operió 7 7 equivle multiplir por l mtriz (e tipo I(ª ª ) ) l izquier el último prouto, etoes result que =I 7 7 I Rgo e u mtriz Defiiió: Se M (K) U meor e ore h e es el etermite e u sumtriz m ur e ore h e Evietemete, h e ser h m, Defiiió: Se llm rgo e l mtriz l ore el meor e myor ore o ulo e Lo eotremos por r() o ie por rg() U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí

42 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites Corolrio: Si r() = h, etoes: ) Eiste l meos u meor e ore h o ulo e ) Toos los meores e ore myor que h so ulos Teorem: El rgo e u mtriz o mi meite operioes elemetles Ejemplo: 6 es u mtriz e rgo, y que, omo es fáil ompror, el meor, y toos los meores e ore so ulos Defiiió: Se f, f,,f k fils e u mtriz ulquier Diremos que ls fils f, f,,f k so lielmete epeietes, uo eist los elemetos,, k K o toos ulos, tles ( ) f kf k, sieo () l fil form por eros Defiiió: Se f, f,,f k fils e u mtriz ulquier Diremos que ls fils f, f,,f k so lielmete iepeietes, uo o se lielmete epeietes, es eir, uo si ( ) i f kf k, i, sieo () l fil form por eros, se eue oligtorimete que L relió etre ls fils e l mtriz es l siguiete: f f f f f f Sólo hy os fils lielmete iepeietes (ls os primers) y es r() = El siguiete teorem justifi est oiiei Teorem el rgo Se M (K) Etoes el rgo e oiie o el úmero e fils m lielmete iepeietes sí omo o el úmero e olums lielmete iepeietes e Es eir, oiie o l imesió el espio e ls fils y o l imesió el espio e ls olums e Demostrió: Por simplii e l otió, supogmos que es u mtriz : U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí

43 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites y que el rgo e es r() = Por efiiió e rgo, eiste u meor e ore os e, istito e ero Poemos supoer si péri e geerli que se Por tto, ls os primers fils e so lielmete iepeietes Comproemos e primer lugr que l terer fil es omiió liel e ls os primers Por efiiió e rgo, toos los meores e ore tres e h e ser ulos; por tto, se tiee que:, esrrollo el etermite por l terer olum y llmo ij l juto e ij, o e l mtriz sio e l sumtriz e que estmos osiero Como, puee espejrse e l igul terior, oteiéose:, hieo llmo y respetivmete y Por el mismo motivo, tmié es Y, proeieo omo tes, puee esriirse:, y que los, y e hor so los, y e tes, respetivmete Cosiero e uevo el meor, y, pliáole el orolrio e los etermites, se verifi que De oe, espejo, se otiee: U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí

44 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites álogmete se emostrrí que Co lo ul que proo que f f f ; es eir, que l terer fil es omiió liel e ls os primers E seguo lugr, por ser, tmié se eue que ls os primers olums e so lielmete iepeietes y, flt emostrr que l terer y l urt olum so omiioes lieles e ls os primers El rzomieto seguio e el so e ls fils puee trslrse este so si más que esrrollr los meores e ore tres por olums e vez e fils, oteiéose el resulto perseguio Defiiió: Se llm orlr u meor e u mtriz M m (K), ostruir otro e ore superior ñiéole fils y olums e Coseueis el teorem el rgo: ) Ls fils o ls olums e u mtriz ur M (K) so lielmete iepeietes si y solo si E efeto: Ls fils o ls olums e u mtriz ur so lielmete iepeietes si y solo si r() =, omo oseuei imeit el teorem hor ie, por efiiió e rgo, esto ourre si y solo si ) Si M (K), etoes, r() = si y solo si es ivertile ) r()=r( t ) Form práti e lulr el rgo e u mtriz: U vez eotro u meor o ulo e ore r (e o ser sí el rgo serí ero), se v orlo ese meor o u uev fil y u e ls emás olums Si toos estos meores e ore r + resultse ser ulos, etoes l uev fil es omiió liel e ls emás, y se repetirí el proeso o otr fil; si toos los meores, l orlr o el resto e ls fils, fuese tmié ulos, etoes el rgo serí r Si, por el otrrio, espués e orlr o es primer uev fil, eotrásemos u meor o ulo, el rgo serí l meos r + ; os querímos o él y omezrímos orlrlo o el resto e U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí

45 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites fils y e olums, y sí suesivmete El rgo serí el ore el meor e myor ore o ulo eotro por este proeimieto De est mer se ismiuye otlemete el úmero e meores que hy que lulr pr etermir el rgo e u mtriz Cálulo el rgo e u mtriz meite operioes elemetles: El rgo e u mtriz o vrí si se efetú operioes elemetles e sus fils o olums (es oseuei imeit e ls propiees ) y ) e los etermites y e que el etermite e l mtriz ui es ); por tto, puee relizrse operioes e este tipo, que trsforme l mtriz e otr e l que se imeito lulr el rgo Ests mtries se llm mtries eslos So quells que verifi: i) Si hy fils uls so ls files ii) E fil, el primer elemeto o ulo está l ereh el primer elemeto o ulo e l fil preeete El rgo e u mtriz eslo es el úmero e fils o uls e ih mtriz Ejemplo: Clulr el rgo e l siguiete mtriz: = 6 7 plio mtries elemetles: U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 5

46 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites ª ª ª ª ª ª 7 5ª ª r()= ª ª plio el proeimieto e orlr: ª ª ª 5 ª Oservmos que el meor e ore 5, luego r() Orlmos etoes este meor o l terer fil y l terer olum, oteieo el meor e ore 5 luego r() Orlmos hor este meor o l urt fil y l urt olum, oteieo el meor e ore utro Cosiermos el otro meor e ore 6 7 utro posile, orlo el meor e ore tres o ulo o l quit fil y l urt olum Luego toos los meores posiles e ore 6 utro, oteios prtir el meor e ore tres o ulo, so ulos y por tto r()= El oepto e rgo se pli e l resoluió e sistems e euioes lieles 6 pliió el álulo mtriil los sistems e euioes lieles 6 Sistems e Crmer: U sistem e euioes se ie que es e Crmer si y solo si verifi ls os oiioes siguietes: U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 6

47 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 7 Tiee igul úmero e euioes y e iógits L mtriz e los oefiietes tiee etermite o ulo Regl e Crmer: U sistem e Crmer tiee siempre soluió úi, es eir, es u sistem omptile etermio Demostrió: Se X= l euió mtriil el sistem e Crmer S Como S es e Crmer, l mtriz e los oefiietes es regulr, por tto tiee ivers - y multiplio, l izquier, por - se otiee: - X= - X= -, es eir: = =,, i i i i i,, i i i i i i i i Epresió que ostituye l regl e Crmer Oservió: Si el sistem S o es e Crmer pero es omptile o rg=rg =h< (omptile ietermio) sieo, por ejemplo, el meor hh h h, etoes el sistem S es equivlete l sistem h h hh h h hh h h h h h S que es e Crmer y uy soluió epee -h iógits

48 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 8 Ejemplo: Soluió: El sistem o puee esriirse e form mtriil e l siguiete mer: 7 Es u sistem e Crmer por teer el mismo úmero e euioes que e iógits y ser 8 7 L soluió úi es: 7, 7, Teorem e Rouhé-Froeius Se m m m m S X u sistem liel e m euioes o iógits, sieo l mtriz e los oefiietes y * l mtriz mpli ( * =) jo ests hipótesis se verifi que: ) S es omptile si y sólo si r()=r( * ) ) Si, r()=r( * )= etoes S es omptile etermio ) Si r()=r( * )< etoes S es omptile ietermio Demostrió: ) Si el sistem S es omptile, etoes r()=r( * ) E efeto: Resolver el sistem: z y 7z z y S

49 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites S m m Que S teg soluió, sigifi que eiste eslres liel e m m,, tles que es omiió m,,, ; luego, l últim olum e * es omiió liel e ls m m m teriores (que ostituí ls olums e ), y, por tto r()=r( * ) Reípromete, si r()=r( * )=h, el sistem es omptile E efeto: Si r()=r( * )=h, eiste u meor e e ore h o ulo Si péri e geerli, poemos supoer que Etoes, ls resttes fils h+,,m, e l mtriz h h hh * so omiió liel e ls h primers, y el sistem es equivlete : que, su vez, es equivlete : h h h hh h h h hh h h h h hh h h h h h plio l regl e Crmer este último sistem, se otiee: h h hh h h h U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 9 h h hh h h hh

50 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites h h h h h h hh h h h hh h De est form, se lul,, h e fuió e los prámetros h,, ) Si h =, etoes,,, h so eslres oretos (o epee e igú prámetro) y ostituye l soluió úi el sistem, que será pues omptile etermio ) Si h <, etoes,,, h viee os e fuió e los prámetros h,, Pr vlor que tome ihos prámetros oteremos u soluió el sistem, que será, por tto, omptile ietermio Ejemplo: y z Estuir y resolver el sistem S= y z y z Esriimos S e form mtriil: y = El etermite e l mtriz e z Teemos que osierr los siguietes sos: i) Si y -, etoes el sistem es e Crmer y su soluió es: los oefiietes es:, y, z ( ) U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 5

51 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 5 ii) Si =, S z y = z y z y, luego se trt e u sistem omptile ietermio y us euioes prmétris so:,, z y R iii) Si =-, S z y = Sieo - - o pero orlo este meor o l olum e térmios iepeietes y l últim fil result que 9 Luego r()=r( )= y e este so el sistem es iomptile 6 Sistems homogéeos Culquier sistem homogéeo ) ( X es omptile pues siempre mite l llm soluió trivil: (por otr prte, es oseuei imeit el teorem terior, por verifirse siempre e u sistem homogéeo que r()=r( )) E el so prtiulr el mismo úmero e euioes que e iógits, es eir, m =, (por tto, es u mtriz ur), plio el teorem e Rouhé, se otiee el siguiete resulto: ) El sistem tiee úimete l soluió trivil si y sólo si ) El sistem tiee ifiits soluioes si y sólo si 6 Estrutur e ls soluioes e u sistem U soluió e u sistem liel se puee epresr omo u -upl e eslres ),,s,s s ( o tmié por u mtriz olum s : s s S que umpl u e ls euioes el sistem o que umpl l euió mtriil X=

52 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites Se X u sistem e m euioes o iógits Se X () su sistem homogéeo soio Se verifi: ) Si S es soluió el sistem homogéeo, tmié lo es λs, pr ulquier ostte λ Demostrió: Por ser S soluió el sistem homogéeo, se verifi que S=() sí, se tiee: λs=λs=λ ()=() ) Si S y S so soluioes el sistem homogéeo, S +S tmié lo es Demostrió: Por ser S y S soluioes el sistem homogéeo, se verifi que S = S =() Por tto, (S + S )= S + S ( ) () () ) Si el sistem X () mite más soluioes que l trivil, etoes, eiste k soluioes S, S,, S k lielmete iepeietes tles que l soluió geerl el mismo es e l form, S=λ S +λ S + +λ k S k sieo λ i eslres y k r() Demostrió: Si el sistem X () mite más soluioes que l trivil es por que r() h Por tto, puee espejrse h iógits e fuió e ls emás (si péri e geerli, poemos supoer que so ls h primers): h h + h h + h h h h + h Ls igules teriores puee esriirse ojutmete e l form: h h h+ h h+ h+ h h+ h, o ie, S S S ksk o U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 5

53 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites S h, S = h+ h h+, S h+ h h+,,s K h =, = h, = h, k Evietemete, S, S,, S k so lielmete iepeietes (o hy más que oservr ómo so sus fils h+, h+,, ) y k h r(), omo querímos emostrr ) Ls soluioes el sistem X so e l form: S +S, oe S es u soluió prtiulr e iho sistem y S es l soluió geerl el sistem homogéeo soio Demostrió: Culquier soluió geerl S* el sistem X=, se puee epresr omo S*=(S*- S )+S, e oe, por ser S* y S soluioes el sistem que: ( S* S ) S* S () El reíproo es imeito: Si S es u soluió prtiulr el sistem X y S es l soluió geerl el sistem homogéeo soio, etoes, S +S es soluió e X E efeto: ( S S ) S S () 7 Mtries Ortogoles Defiiió: U mtriz trspuest, es eir, M se ie que es ortogol uo su ivers oiie o su t Ejemplos: ortogoles os se,, y C so mtries se os Proposiió: Si u mtriz es ortogol, etoes, U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 5

54 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites Demostrió: I t, por ser ortogol Tomo etermites e mos miemros, t se otiee: TEORÍ MTRICIL USD EN JUSTE DE OSERVCIONES Teorem ) Si M m, se verifi que t es u mtriz simétri ) Si M m, o m>, es u mtriz e rgo ompleto, es eir, r() =, t etoes r( ) Defiiió: D u mtriz M m M m que verifique ls utro oiioes siguietes: ) = ) es simétri ) = ), se llm mtriz pseuoivers e, u mtriz es simétri Teorem Si, eiste u úi mtriz pseuoiverse M m Proposiió: Si es ivertile, etoes Defiiió: Si verifi que G = M m, u mtriz G M m se ie que es u ivers geerliz e si Oservió: E geerl, u mtriz ejemplo, es u e ells tiee ifiits iverss geerlizs, por M m U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 5

55 Sistems e euioes lieles Mtries y etermites Ejeriio: ) Demostrr que si es ivertile y G es u ivers geerliz e, etoes, G ) Do el sistem omptile e euioes lieles X = K, emostrr que G K es u soluió e iho sistem, sieo G u ivers geerliz ulquier e U D e Mtemátis ETSI e Topogrfí, Geoesi y Crtogrfí 55