El dual tiene tantas variables como restricciones existen en el primal. El dual tiene tantas restricciones como variables tiene el primal.

Transcripción

1 Progrió Liel pr l Igeierí Téi.. EL MODELO DUAL A todo progr liel, lldo prole pril, le orrespode otro que se deoi prole dul. Ls relioes eistetes etre os proles so ls siguietes: El dul tiee tts vriles oo restriioes eiste e el pril. El dul tiee tts restriioes oo vriles tiee el pril. Los oefiietes de l fuió ojetivo del pril so los térios idepedietes de ls restriioes del dul. Los térios idepedietes de ls restriioes del pril so los oefiietes e l fuió ojetivo del dul. L triz de oefiietes de ls restriioes del dul es igul l trspuest de l del pril. Se puede distiguir dos tipos de proles dules:. Dules siétrios: pr priles que ilu restriioes de desiguldd.. Dules siétrios: pr priles e for estádr, es deir, o restriioes de iguldd. Otro tipo de relioes etre los proles pril dul so ls siguietes: 77

2 Progrió Liel pr l Igeierí Téi Pr dules siétrios el setido de desiguldd de ls restriioes del dul es iverso l de ls del pril; ietrs que pr siétrios, ls restriioes del dul so de setido eor o igul e so de que el prole pril se de iiizió, de or o igul e so de iizió. Adeás, ls vriles del dul, vriles dules, o está sujets l odiió de o egtividd. El prole dul de uo de iiizió es de iizió vievers. El dul del progr dul es el pril. Segú ests firioes, el prole dul qued uívoete deterido por su pril. Si,, so ls vriles priles,,, ls orrespodietes vriles dules, el plteieto del prole dul es:. Dules siétrios: Pril: f ( ) + + s..: , i, i, Dul: i g ( ) + + s..: , i, i, Se puede resuir pril dul e u udro oo el que sigue, dode el pril se lee vertilete el dul de for horizotl: 78

3 Progrió Liel pr l Igeierí Téi PROGRAMAS DUAL (MIN.) PRIMAL (MAX.) vriles relió osttes. Dules siétrios: ) Pril: f ( ) + + s..: , i, i, Dul: i g ( ) + + s..: + + +, i, + i,, o restrigids e sigo ) Pril: i f ( ) + + s..: , i, i, Dul: g ( ) + + s..: + + +, i, + i,, o restrigids e sigo 79

4 Progrió Liel pr l Igeierí Téi L tl terior qued hor de l siguiete for: PROGRAMAS DUAL MIN. (MAX.) PRIMAL MAX. (MIN.) vriles ( ) ( ) ( ) relió osttes Not: Si distiguir e el so de dules siétrios o siétrios, podeos forulr u tl geerl, que reúe ls relioes etre el prole pril dul, se ul se su forulió: VARIALES RESTRICCIONES Prole de iiizió o restrigids Prole de iizió o restrigids RESTRICCIONES VARIALES L vetj de est tl es que se puede leer de dereh izquierd o vievers, segú el prole pril se de iizió o iiizió, respetivete. Adeás, e el prole pril puede drse diferetes oiioes e uto l setido de sus desigulddes o l sigo de sus vriles. 8

5 Progrió Liel pr l Igeierí Téi Ejeplos:. Pril: + s..: , 6 8 Coo el pril es de iizió, el dul será de iiizió, por lo que leeos l últi tl de dereh izquierd. Esto os die que por ser tods ls restriioes de eor o igul, ls vriles dules será de sigo o egtivo; deás por ser ls vriles priles o egtivs, tods ls restriioes dules será de or o igul. El prole dul quedrá por lo tto oo: Dul i s..: ,,. Pril i s..: ,, 5 E este so, leeos l tl de izquierd dereh, resultdo el dul: Dul s..: ,,, 8

6 Progrió Liel pr l Igeierí Téi. Pril i + s..: ,, Ahor, uque oo e el ejeplo terior h que leer l tl de izquierd dereh, l forió del dul será ligerete diferete l de diho ejeplo. Dul 5 + s..: , o restrigids e sigo. Pril + s..: + 7 +, 8 Al igul que el ejeplo, leeos l tl de dereh izquierd, resultdo: Dul i s..: + +, o restrigids e sigo Not: L for del dul siétrio (ejeplos ) está deterid elusivete por l for del dul siétrio. Si psos for estádr el prole o restriioes de desiguldd lulos el dul, que serí dul siétrio, el prole que se otiee es el iso que le orrespoderí l pril oo dul siétrio. Por ejeplo: 8

7 Progrió Liel pr l Igeierí Téi f ( ) + + s..: , i, i, Si psos for estádr: ( X ) f s..: i, i,,,, j, j, + El orrespodiete dul siétrio de este últio prole pril es: i g ( ) + + s..: Es el iso que el dul siétrio que le orrespoderí l prole si trsforr e su forulió estádr. U vez visto que los dules siétrios puede overtirse e siétrios utilizdo vriles de holgur, vos euir u teore de dulidd válido pr os. 8

8 Progrió Liel pr l Igeierí Téi Teore: Se P u prole de Progrió Liel u regió de ftiilidd es F, se D su prole dul de regió de ftiilidd G. Etoes: i) Si X F, Y G, se uple que f ( X ) g ( Y ). ii) Si pr lgú X F lgú G Y se verifi que ( X ) g ( Y ) etoes X es soluió ópti de P, Y es soluió ópti de D. f, iii) Si uo de los proles P ó D tiee u soluió ópti X ó f X g Y. otro tié l tiee, verifiádose deás que ( ) ( ) Y, el iv) Si f está otd superiorete e F iferiorete e G soluió ópti., ó g está otd, etoes os proles P D tiee Coseueis del teore:. Si el pril tiee soluió fiit, etoes el dul tié l tiee s oiide.. Si el pril tiee soluió o otd, el dul o tiee soluió.. Si el pril o tiee soluió, etoes ó el dul o tiee soluió ó tiee soluió o otd. El dul del dul: Cosidereos hor oo pril l dul, uál es su dul?. i g ( ) + + s..: , i, i, 8

9 Progrió Liel pr l Igeierí Téi Itroduios vriles de holgur: i ( Y ) g s..: i, i,,,, j, j, + Su dul serí: f ( ) + + s..: Ls últis restriioes so ls de o egtividd, el prole que se otiee es el pril. Luego el dul del dul es el pril... RELACIONES PRIMAL-DUAL Co l soluió del pril, se otiee o el Siple iplíitete l del dul. Veáoslo: Se el pril e for estádr: Z CX s..: AX X Esriios A (/N), o l sutriz ford por ls olus orrespodietes ls vriles ásis, N lo iso pr ls o ásis o lires. Etoes: 85

10 Progrió Liel pr l Igeierí Téi s..: Z C X + X C N + NX N X, X N X N L soluió de este prole osiste e her que el vetor o ásio resolver el vetor ásio e térios de l se, es deir: X N se ero, X + NX N X X l fuió ojetivo será: Z C X + C N X N C X C T T Ahor ie, l fuió ojetivo dul es g( Y ) Y Y, e el óptio el vlor de l fuió ojetivo pril oiide o el vlor óptio de l fuió ojetivo dul, Z X g Y. Por lo tto: esto es, ( ) ( ) Z T ( X ) g ( Y ) C ( ) ( Y ) C ( ) ( Y ) T E los sos prtiulres que estudireos, este vlor o he flt lulrlo eplíitete si heos resuelto el pril plido el lgorito del Siple, puesto que e l últi tl: Vriles ásis X Vlor de ls vriles ásis X Soluió ópti pril Vriles origiles C A Vriles de holgur C A C Soluió ópti dul opuest e sigo 86

11 Progrió Liel pr l Igeierí Téi Ejeplo: + + s..: + 8 s..: + + 8, + + +,,, Itroduiedo ls vriles de holgur. L últi tl es: - -/ 5 / - -/ Soluió ópti dul: Y, Soluió ópti pril: X (,5) Fuió ojetivo pril dul óptis: f ( X ) g ( Y ) 5 El dul serí: A i M5 M A s..: + s..: + +, A 6 5 A A A,,,, 5, 6 Se puede opror o el Siple que d l is soluió, pero el proeso es ás lrgo por l itroduió de vriles de holgur rtifiiles, de hí el iterés de l relió etre dul pril (etre otrs rzoes). Iteresrá psr l dul udo su resoluió se ás fáil que l del pril. Así, podeos resolver el dul por el Siple deduir, si igú álulo 87

12 Progrió Liel pr l Igeierí Téi supleetrio, l soluió ópti del pril. Este so se presetrá udo el pril ilu restriioes de or o igul pr ls ules es preiso itroduir vriles de holgur rtifiiles. Ejeplo: i A A 6 M5 M6 A s..: + s..: , 5 5 A A A,,,, 5, 6 Si lulos su dul: + + s..: + 5 s..: , ,,, 6 6 Se ve que es ás fáil plir el Siple l estádr del dul que l del pril. L últi tl es: / / /7 -/7 Lo que relete os iteres es el vlor de los ostes e l tl fil, por eso dejos si reller hueos e es tl que o port d l soluió que usos. Así: 56 Y,,, X, f ( X ) g ( Y )

13 Progrió Liel pr l Igeierí Téi.. MÉTODO DUAL DEL SIMPLEX Supogos el prole de l diet (ezl de lietos ás rt, stisfiedo uos vlores utritivos eesrios): i + + s..: , i, i, Aquí, j represet l tidd del lieto j preio ij de u ierto eleeto utritivo uiddes. i j o u oposiió N i del ul h u requeriieto de l eos U posile iterpretió del dul serí: supogos que u epres se plte l posiilidd de frir u oetrdo de d uo de los eleetos utritivos que se requiere pr l orret lietió, de odo que propodrí que se igirier los oetrdos diretete e lugr de los lietos que otiee los eleetos utritivos, de odo que se stisfier ls eesiddes utriioles igulete. El prole que se plterí l opñí osistirí e eotrr los preios uitrios,, pr d utriete de for que iizr su eefiio, pero teiedo e uet que l iso tiepo este proediieto deerí ser opetitivo o el usul e el que se port diretete los lietos. Así, se dee iizr + +. Est opetitividd sigifi que l su de los preios totles de los eleetos utritivos e ls tiddes que iterviee e d lieto deerá ser eor o lo suo igul que el preio o oste de este lieto. Así, pr el lieto j-ésio de oste j, deerá verifirse j + + j j. 89

14 Progrió Liel pr l Igeierí Téi Por últio, el preio de d uidd de utriete esto, plteos el dul: i dee ser positivo. Co todo + + s..: , i, i, Podeos deduir fáilete del estudio desrrolldo e los prtdos teriores u de ls pliioes iedits de l teorí de l dulidd: l resoluió de proles lieles o ás restriioes que vriles. Puesto que prte de l difiultd el úero de iterioes del Siple depede del úero de restriioes, resolvereos el pril si <, el dul si >. Otr pliió de l dulidd es l resoluió de proles lieles utilizdo el Algorito Dul del Siple, que osiste ásiete e plir el Siple l prole dul, pero efetudo los álulos sore el pril. Lo eplios otiuió. Pr oezr o el Siple, si o es posile oteer u soluió ftile, se ñde tts vriles rtifiiles oo se eesrio. El Método Dul del Siple he ieesrio el epleo de dihs vriles rtifiiles, pero eesit pr oezr iterr u odiió lld de ftiilidd dul, es deir, que todos los ostes rgiles j se egtivos o ulos (e so de áio). Por tto, o siepre se podrá plir. Algorito. Pso : Prtios de u tl e l que j z. j j Pso : Si X (soluió ási) es tl que X, estos e l soluió ópti. PARAR. 9

15 Progrió Liel pr l Igeierí Téi E otro so, elegios pr que slg de l se l vrile oorded ( X es l ás egtiv. ) i i, u Pso : Si todos los eleetos ij de l fil orrespodiete l vrile que sle de l se so positivos o ulos, etoes el prole o tiee soluió o tiee soluió ópti o otd. Si l eos lgú <, lulos: ij j i ij < j,, ij k ik Si orrespode l olu k-esi, etr e l se k. Pso : Pivotos sore ik, efetudo ls operioes preiss pr que l olu k teg u e el lugr i-ésio eros e el resto. Volver l pso. Nótese que los proles ideles pr resolver edite este lgorito so quellos de iiizió que ilue restriioes del tipo or o igul, us desigulddes otiee oefiietes positivos. Así, el prole de l diet es u didto pr plirle este proediieto. Ejeplo: i s..: s..: 5 + +,,,, 6 6 Itroduios ls orrespodietes vriles de holgur pr oteer l forulió estádr: 9

16 Progrió Liel pr l Igeierí Téi 5 s..: ,,,, 5 6 L tl iiil o l que oezr iterr, siguiedo los psos del Algorito Dul del Siple, es l siguiete: Puesto que j, j, sle de l se l vrile u oorded ( X ) i es l ás egtiv, e este so 6, plios el riterio de etrd, luldo: 5 i,, 5 Así pues, etr e l se l vrile, siedo el eleeto pivote. Co todo esto, l siguiete tl quedrá oo sigue: / -/ / -/ - -7/ -/ 5 9

17 Progrió Liel pr l Igeierí Téi Seguios teiedo que j j, hor l vrile ási o vlor ás, egtivo es (l úi), por tto es l que do l se. Aplios el riterio de etrd luldo: i, 7, 5 que orrespode l vrile, que etr e l se, siedo el eleeto pivote el eleeto. Co todo esto, l siguiete tl quedrá oo sigue: 5/ - / Tods ls vriles ásis so positivs, por lo que el lgorito teri o l soluió ópti:,,, Z Ejeplo: i Z + Z s..: + s..: ,,,,, 5 9

18 Progrió Liel pr l Igeierí Téi U vez que heos ido de sigo, e itroduido ls orrespodietes vriles de holgur, l prier tl será: / -/ / -/ 5 5/ -/ -/ -/ 5 /5 -/5 /5 6/5 /5 -/ /5 -/5 5 Tods ls vriles ásis so positivs, por tto el lgorito olue o l soluió ópti: 5, 6 5, Z 5 9