ÁLGEBRA LINEAL Ingenierías ÁLGEBRA II. Unidad Nº 2 LM - PM. Sistemas de Ecuaciones Lineales. FCEyT - UNSE

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1 ÁLGER LINEL Igeierís ÁLGER II LM - PM Uidd Nº Sistems de Euioes Lieles FCEyT - UNSE

2 Álgebr II (LM-PM) - Álgebr Liel (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Uidd Nº : SISTEMS E ECUCIONES LINELES E est uidd trbremos o el uerpo de los úmeros reles o el uerpo de los úmeros ompleos. e modo que udo digmos Se F u uerpo etederemos que se trt de R o C. I. OPERCIONES ELEMENTLES E FILS E UN MTRIZ eiiió Se F u uerpo. Se llm operioes elemetles de ils sobre u mtriz siguietes: Multipliió de u eslr k por u il. Notió: k i,, k Sum de u il o u múltiplo eslr de otr il. Notió: k, o i r i r Itermbio de dos ils. Notió: i r Eemplo: C ( ) F m ls Los tres tipos de operioes elemetles de il de l eiiió, so tles que, eetuádose u de ells e u mtriz, trs l ul se obtiee u mtriz, se puede volver l mtriz Uidd

3 Álgebr II (LM-PM) - Álgebr Liel (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Uidd relizdo u operió elemetl del mismo tipo e l mtriz. Es deir, pr d operió elemetl de ils eiste u operió elemetl de ils del mismo tipo, llmd operió ivers. Operioes elemetles iverss i k o k simboliz l operió ivers de k i i (-k) r simboliz l operió ivers de i k r r i simboliz l operió ivers de i r ) ( C Mtries equivletes por ils eiiió Se F u uerpo y se m F,. es equivlete por ils ( ) si y sólo si eiste u suesió iit de operioes elemetles de ils que trsorm l mtriz e l mtriz. Proposiió

4 Álgebr II (LM-PM) - Álgebr Liel (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE L equivlei por ils de mtries es u relió de equivlei. Esto es ) Releiv Tod mtriz es equivlete por ils sí mism. E símbolos,. b) Simétri Si u mtriz es equivlete por ils otr, etoes ést es equivlete l primer. E símbolos,. ) Trsitiv Si u mtriz es equivlete por ils otr y ést es equivlete u terer, etoes l primer es equivlete l primer. E símbolos, C C Mtriz esló por ils eiiió Se F u uerpo. U mtriz E F m se llm mtriz esló por ils si y sólo si E es l mtriz ul, o si E verii ls siguietes odiioes:. Si E tiee ils uls, ésts se euetr debo de tods ls ils o uls.. El primer elemeto o ulo ( prtir de l izquierd) de d il o ul de E es u. este se le deomi uo priipl o uo pivote.. Ls ils o uls de E está dispuests de tl orm que d u de ells preset l izquierd del uo priipl más eros que l il preedete. Eemplos, C, Nots ) E ulquier mtriz esló por ils, todos los elemetos situdos debo del priipl de u il so eros. b) E tod mtriz esló por ils, ls olums que otiee los priiples se llm olums priiples. ) E tod mtriz esló por ils, sus ils está e esler desedete, es deir: El priipl de d il se euetr e l esqui izquierd y por eim de d peldño. L ltur de d peldño es igul l ltur de u il. ebo de l esler todos los elemetos so eros. Eemplos C G E d mtriz esló por ils, C, y G se h trzdo l esler desedete. 9 Uidd

5 Álgebr II (LM-PM) - Álgebr Liel (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Uidd ) ( C ) ( d) d u mtriz, es posible llegr dieretes mtries esló por ils, o t sólo mbir l suesió de operioes elemetles de ils sobre l mtriz dd. Eemplo Se puede observr que tto omo C so mtries esló por ils de l mtriz, pero es dierete de C.

6 Álgebr II (LM-PM) - Álgebr Liel (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Proposiió. Tod mtriz es equivlete por ils tods sus mtries esló por ils.. d u mtriz, tods sus mtries esló por ils tiee el mismo úmero de ils o uls. Rgo de u mtriz eiiió Se F u uerpo. Se F m y E u mtriz esló por ils de. Se llm rgo de l mtriz, l máimo úmero de ils o uls de l mtriz esló por ils E. l rgo de l mtriz se le deot o rg Not e l deiiió, podemos irmr que el rgo de tod mtriz esló por ils es el máimo úmero de ils o uls de dih mtriz. Eemplos ds ls mtries, C, Es lro que rg, rg C y rg. Nots Por deiiió, ls mtries uls tiee rgo ero. El rgo de u mtriz es el myor úmero de peldños de ulquier de sus mtries esló por ils. Proposiió Se F u uerpo. Si F m y E es u de sus mtries esló por ils. ) El umero de olums priiples de l mtriz esló por ils E, es igul l rgo de. b) rg m y rg ) rg meor (m, ) Uidd

7 Álgebr II (LM-PM) - Álgebr Liel (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Mtriz esló reduid por ils eiiió Se F u uerpo. U mtriz R F m, se llm mtriz esló reduid por ils si y sólo si R es l mtriz ul, o si R verii ls siguietes odiioes:. Si R tiee ils uls, ésts se euetr debo de tods ls ils o uls.. El primer elemeto o ulo ( prtir de l izquierd) de d il o ul de R es u. este se le deomi uo priipl o uo pivote.. Ls ils o uls de R está dispuests de tl orm que d u de ells preset l izquierd del uo priipl más eros que l il preedete.. E ls olums priiples de R, los elemetos que está rrib y bo del priipl so eros. Eemplos,, C Nots Tod mtriz esló reduid por ils es u mtriz esló por ils, pero o ourre l ivers. Tod mtriz de F m tiee u úi mtriz esló reduid por ils. Si R es l mtriz esló reduid por ils de u mtriz, y si E es u mtriz esló por ils de l mism mtriz, ls mtries R y E tiee el mismo úmero de ils o uls. Rgo de u mtriz El oepto de rgo de u mtriz puede rterizrse e térmios de l úi mtriz esló reduid por ils de omo sigue. eiiió 6 Se F u uerpo. Se F m y R l mtriz esló reduid por ils de l mtriz. El rgo de l mtriz es el máimo úmero de ils o uls de l mtriz esló reduid por ils R. Proposiió Si F m y R es l mtriz esló reduid por ils de. ) El úmero de olums priiples de l mtriz esló reduid por ils R es igul l rgo de. b) rg m y rg ) rg meor (m, ) Uidd 6

8 Álgebr II (LM-PM) - Álgebr Liel (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Uidd 7 Eemplo R E (-) L mtriz R es l mtriz esló reduid por ils de l mtriz, mietrs que E es u mtriz esló por ils. Se observ que tto E omo R posee ils o uls, por lo tto el rg rg E rg R. II. ECUCIONES LINELES Ls euioes lieles, que so geerlizioes de euioes de rets e el plo rel R, tiee diverss pliioes tles omo el bleo de euioes químis, resoluió de problems reeretes redes elétris, el álisis de problems de isumo/produió e eoomí, etéter. Reordemos que u de ls mers de represetr e orm lgebri u ret e el plo rtesio R es medite l euió b y, dode e y so ls vribles, y so eslres reles o simultáemete ulos deomidos oeiietes y b es tmbié u eslr rel llmdo térmio idepediete.

9 Álgebr II (LM-PM) - Álgebr Liel (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE E R u euió de este tipo se llm euió liel e ls vribles e y. U plo e el espio R se puede represetr lgebrimete medite u euió de l orm: y z b, dode, y, z so ls vribles, los oeiietes, y so eslres reles o simultáemete ulos, y el térmio idepediete b u eslr rel. E R u euió de este tipo se llm euió liel e ls vribles, y y z. Eemplos E R, so euioes lieles y, 7y, y 6, 9 E R, so euioes lieles y, yz, yz,, z Not E todo lo que sigue trbremos o euioes lieles o oeiietes y térmio idepedietes perteeietes l uerpo de los úmeros reles R o l uerpo de los úmeros ompleos C. eiiió Si F es u uerpo (R o C), e F u euió liel e ls vribles,,, se represet por: dode,,,, F so los oeiietes, o simultáemete ulos, de ls vribles,,, y b F es el térmio idepediete. Eemplos E R so euioes lieles e ls vribles, y, z, w y 6, y z w, z w b E R so euioes lieles e ls vribles,,, y,, 7 eiiió U soluió de l euió liel es u -upl (s, s,,s ) de eslres del uerpo F, tles que l euió se stise udo e ell se he l sustituió: s, s,, s b Uidd 8

10 Álgebr II (LM-PM) - Álgebr Liel (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Eemplo E R, lgus de ls iiits soluioes de l euió y z so ls ters (,,); (,,); (-,,). SISTEMS E ECUCIONES LINELES eiiió U sistem de m euioes lieles e ls vribles C), es u epresió de l orm:,,, o eslres del uerpo F (R o m m m b b b m () dode,,,, so ls vribles o iógits, los oeiietes o i o i m, so eslres del uerpo i i m, y los térmios idepedietes b, F. Eemplo U sistem de euioes lieles e ls iógits, y, z, t sobre el uerpo R es: Represetió mtriil y z t y z z t El sistem de euioes lieles () puede represetrse e u orm más seill medite l euió mtriil: X () Esto es m m m b b b m () Uidd 9

11 Álgebr II (LM-PM) - Álgebr Liel (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Uidd dode: (Mtriz de oeiietes) es u mtriz de tipo m ormd por los oeiietes de ls iógits m m m, X (Vetor iógit) es u vetor olum de tipo uys ompoetes so ls iógits X, (Vetor de térmios idepedietes) es u vetor olum de tipo m ormdo por los térmios idepedietes. m b b b. Not Si e l euió mtriil () se eetú el produto de l mtriz de oeiietes o el vetor iógit y luego se igul ls ompoetes del vetor resultte o ls ompoetes orrespodietes del vetor de térmios idepedietes se obtiee el sistem de euioes lieles (). Eemplo El sistem de euioes t z z y t z y se epres e orm mtriil del siguiete modo t z y El sistem de euioes lieles () tmbié puede represetrse e térmios de ls olums de l mtriz de oeiietes. E eeto, si,,, so los vetores olums de l mtriz, y es el vetor olum de térmios idepedietes, el sistem liel () se represet por

12 Álgebr II (LM-PM) - Álgebr Liel (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Uidd () o bie por i i i () Not Si se eetú ls operioes idids e el primer miembro y luego se igul ls ompoetes del vetor resultte o ls ompoetes orrespodietes del vetor de térmios idepedietes se obtiee el sistem de euioes lieles (). Eemplo El sistem del eemplo preedete se epres e térmios de ls olums de l mtriz de oeiietes medite: t z y Sistem homogéeo y o homogéeo Se u sistem de euioes lieles X, o m F, F m. eiiió El sistem de euioes lieles X se llm Sistem Liel Homogéeo si y sólo si es el vetor ulo. eiiió El sistem de euioes lieles X se llm Sistem Liel No Homogéeo si y sólo si es distito del vetor ulo. Eemplo - El sistem liel t z z y t z y es u sistem o homogéeo. - El sistem liel y z z y z y es u sistem homogéeo. eiiió 6 do u sistem liel o homogéeo X, el sistem liel homogéeo X se llm sistem liel homogéeo soido l sistem liel ddo.

13 Álgebr II (LM-PM) - Álgebr Liel (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Eemplo do el sistem liel o homogéeo y z w y z w el sistem homogéeo soido es y z w y z w Couto soluió de sistems de euioes lieles Se u sistem de euioes lieles X, o, F m. F m eiiió 7 X F es u soluió del sistem liel X, si y sólo si verii l euió mtriil X, es deir: X F es u soluió del sistem liel X X Nots Si X es u soluió del sistem X, etoes ls ompoetes del vetor olum X stise d u de ls m euioes lieles del sistem. El vetor ulo de F es siempre soluió del sistem liel homogéeo X, o F m y se llm soluió trivil. eiiió 8 Se llm outo soluió, y se deot o S, l outo de tods ls soluioes del sistem ddo. Esto es S X F / X. luego, X S X. Not Resolver u sistem liel X, sigii determir el outo soluió S. Uidd

14 Álgebr II (LM-PM) - Álgebr Liel (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Sistems de euioes lieles omptibles Sistems de euioes lieles iomptibles Se el sistem de euioes lieles X, o soluió. m F, F m y se S su outo eiiió 9 X es omptible S, es deir X tiee l meos u soluió. Not Todo sistem homogéeo es omptible, pues tiee l soluió trivil. eiiió X es omptible determido el outo soluió S tiee u úio elemeto, es deir X tiee soluió úi. eiiió X es omptible idetermido el outo soluió S tiee más de u elemeto, es deir X tiee más de u soluió. eiiió X es iomptible S, es deir X o tiee soluió. Mtriz mplid eiiió Se el sistem de euioes lieles X, o F m, F m. Es deir m m m b b. b m Se llm Mtriz mplid de, l mtriz de m ( ) F uys primers olums so ls olums de y l últim olum es, esto es b.... m m m m b b Uidd

15 Álgebr II (LM-PM) - Álgebr Liel (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Not E l mtriz mplid se suele trzr u líe vertil que sepr ls olums de l mtriz de oeiietes de l olum de térmios idepedietes, es deir Eemplo b b... b m m m m do el sistem liel y z t - y z 7, y - t l mtriz mplid es 7 Teorem de Rouhé-Frobeius Se F m, F m. El sistem de euioes lieles X, es omptible si y sólo si el rgo de l mtriz de oeiietes es igul l rgo de l mtriz mplid. E símbolos X es omptible rg ( ) rg( ) Corolrio F m Se X, o, F m u sistem de euioes lieles omptible X es omptible determido, si rg( ) rg( ) r. X es omptible idetermido, si rg( ) rg( ) r <. Coseuei imedit del teorem de Rouhé-Frobeius U sistem de euioes lieles es iomptible si y solo si los rgos de l mtriz de oeiietes y de l mtriz mplid so distitos. E símbolos X es iomptible rg( ) rg( ). Uidd

16 Nots Álgebr II (LM-PM) - Álgebr Liel (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE El teorem de Rouhé-Frobeius permite determir l omptibilidd o iomptibilidd de u sistem liel o t solo omprr el rgo de l mtriz de oeiietes o el rgo de l mtriz mplid y si eesidd de resolver el sistem. E orm álog el orolrio sumiistr l odiió que debe veriir u sistem liel omptible pr teer soluió úi o más de u soluió. E todos los sistems homogéeos se verii que el rgo de l mtriz de oeiietes es igul l rgo de l mtriz mplid. demás, si el rgo de l mtriz es igul l úmero de iógits, l úi soluió es l trivil; y si el rgo de l mtriz de oeiietes es meor que el úmero de iógits, demás de l soluió trivil eiste otrs soluioes o triviles. Sistems de euioes lieles equivletes eiiió os sistems de euioes lieles so equivletes si sus mtries mplids so equivletes por ils. Teorem Si dos sistems de euioes lieles so equivletes, etoes dmite el mismo outo soluió. emostrió Se X y X dos sistems lieles equivletes, tles que, ' F m y, ' F m. Por deiiió se tiee que sus mtries mplids y ' ' so equivletes, es deir, eiste u suesió iit de operioes elemetles de ils que trsorm l mtriz mplid ' e l mtriz mplid '. st demostrr que l mtriz mplid ' ' se obtiee de l mtriz mplid medio de u sol operió elemetl de ils, pr omprobr que los outos soluioes so igules. E eeto, supogmos que l mtriz mplid ' ' se obtuvo de l mtriz mplid por l operió elemetl r k i por Uidd

17 Álgebr II (LM-PM) - Álgebr Liel (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE b b r r r r b r b i i i i i b m m m m m ' b b k k k k b kb ' r i r i r i r i r i b i i i i i b m m m m m El sistem X se epres omo: O bie, b b ( k ) ( k ) k ( k ) b kb r i r i r i r i r i b i i i i i m m m m b m Uidd 6

18 Álgebr II (LM-PM) - Álgebr Liel (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE b b k b kb r r r r i i i i r i i i i i b i m m m m b m Si X es u soluió del sistem X etoes es evidete que X es tmbié soluió del sistem X, o lo que: S ' S () Reípromete, si X es u soluió del sistem liel X, etoes X es soluió del sistem X, o lo que: S S (b) ' e () y (b) se oluye que mbos sistems lieles tiee el mismo outo soluió, es deir: S S ' L demostrió es trivil pr el so e que el sistem liel X o tiee soluió. E orm álog se prueb pr los dos tipos resttes de operioes elemetles. Q.E.. Uidd 7

19 Álgebr II (LM-PM) - Álgebr Liel (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE MÉTOOS E RESOLUCIÓN E SISTEMS E ECUCIONES LINELES U método básio pr l resoluió de u sistem de euioes lieles es trsormr el sistem liel ddo e otro sistem liel que teg el mismo outo soluió y que se pued resolver e orm más seill. Elimiió Gussi Se el sistem liel X, o F m y F m. El método de Elimiió Gussi es u proedimieto sistemátio pr resolver sistems de euioes lieles, que osiste e trsormr l mtriz mplid de u sistem liel e u mtriz esló por ils, l que d orige u uevo sistem liel X que tiee el mismo outo soluió que el ddo, o l vet que l iomptibilidd es evidete (los rgos de l mtriz de oeiietes y de l mtriz mplid so dieretes), o bie, l o ls soluioes se obtiee e orm imedit utilizádose l téi llmd Sustituió hi trás. E eeto pr el sistem ddo X, o F m y F m, si prtir de l mtriz mplid, medite operioes elemetles de ils se obtiee u mtriz esló por ils ' ', por deiiió los sistems X y X so equivletes y por el teorem preedete mbos sistems tiee el mismo outo soluió. E el sistem ' X ', o ' F m y ' F m, ls euioes priiples so ls ormds o los elemetos de ls ils o uls de l mtriz ', y E d euió priipl, l iógit priipl es quell uyo oeiiete es el priipl. Cd u de ls iógits priiples puede eotrrse e euioes preedetes pero sus oeiietes o so priiples. E d euió priipl, demás de ls iógits priiples, puede eistir otrs iógits llmds iógits o priiples o seudris, ésts se distigue e ls euioes u vez que se detet tods ls iógits priiples. Sus psos so: I. Trsormr l mtriz mplid del sistem ils, e u mtriz esló por ils ' ' '., plido operioes elemetles de X Operioes elemetles de il. ' ' ' ' X ' Uidd 8

20 Álgebr II (LM-PM) - Álgebr Liel (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Por deiiió los sistems X y ' X ' so equivletes y por el teorem preedete mbos sistems tiee el mismo outo soluió. II. plir el teorem de Rouhé-Frobeius y lizr los rgos de y y el úmero de iógits del sistem. Si rg( ') rg( ' ), etoes el sistem de euioes lieles X es iomptible, por lo tto S. Si rg( ') rg( ' ) ( es el úmero de iógits), etoes el sistem de euioes lieles X es omptible determido y se emple l téi de sustituió hi trás, segú l ul se tiee: euioes priiples del sistem X, e dode los s priiples so oeiietes de ls iógits priiples. e d euió priipl se despe l iógit priipl. Luego desde bo hi rrib se sustituye los vlores de ls iógits que se v obteiedo. Si rg( ') rg( ' ) r < ( es el úmero de iógits), etoes el sistem de euioes lieles X es omptible idetermido y se emple l téi de sustituió hi trás, segú l ul se tiee: r euioes priiples del sistem X, y por osiguiete tiee r s priiples que so oeiietes de ls r iógits priiples y ls resttes -r iógits so ls iógits seudris o o priiples. e d euió priipl se despe l iógit priipl, que puede o o quedr e uió de ls iógits priiples de ls otrs euioes priiples y/o de ls -r iógits seudris. Luego desde bo hi rrib se sustituye los vlores de ls iógits que se v obteiedo. Si se dese eotrr u soluió prtiulr del sistem bst sigr eslres rbitrrios del uerpo F ls -r iógits o priiples. Eemplo Supógse que l siguiete mtriz esló por ils es l mtriz mplid que resultó de eetur operioes elemetles de ils l mtriz mplid de u sistem ddo: 6 ' ' ' se tiee que rg ( ') rg( ' ) < por lo tto el sistem de euioes lieles X es omptible idetermido y se epres omo Uidd 9

21 espedo ls iógits priiples: luego Álgebr II (LM-PM) - Álgebr Liel (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE y z t y 6t z t y z t y 6t z t z t, t R y 6 t, t R 6t t t t t t t 7, t R ( ) ( ) Filmete el outo soluió es S {(, y, z, t) / t 7 y 6t z t t R} ' {( t 7, 6t,t, t) t R} S / ' t 7 S ' 6t t / t R t Método de Guss-Jord Se el sistem liel X, o F m y F m El método de Guss-Jord es u proedimieto sistemátio pr resolver sistems de euioes lieles, que osiste e trsormr l mtriz mplid de u sistem liel de m euioes o iógits, e u mtriz uys primers olums orm u mtriz esló reduid por ils, l que d orige u uevo sistem liel X, más áil de resolver y que tiee el mismo outo soluió que el sistem liel ddo. E el sistem X, o ' F m y ' F m, dierei del método de elimiió Gussi, ls iógits priiples pree sólo e l orrespodiete euió priipl. I. Trsormr l mtriz mplid del sistem ils, e u mtriz esló reduid por ils ' '. X, plido operioes elemetles de ' Uidd

22 Álgebr II (LM-PM) - Álgebr Liel (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Operioes elemetles de il. ' ' ' X Por deiiió los sistems X y X so equivletes y por el teorem preedete mbos sistems tiee el mismo outo soluió. I. plir el teorem de Rouhé-Frobeius y lizr los rgos de y y el úmero de iógits del sistem. Si rg( ') rg( ' ), etoes el sistem de euioes lieles X es iomptible, por lo tto S. Si rg( ') rg( ' ) ( es el úmero de iógits), etoes el sistem de euioes lieles X es omptible determido y se tiee: euioes priiples del sistem X, e dode los s priiples so oeiietes de ls iógits priiples. Si rg( ') rg( ' ) r < ( es el úmero de iógits), etoes el sistem de euioes lieles X es omptible idetermido y se tiee: r euioes priiples del sistem X, y por osiguiete tiee r s priiples que so oeiietes de ls r iógits priiples y ls resttes -r iógits so ls iógits seudris o o priiples. e d euió priipl se despe l iógit priipl, que puede o o quedr e uió de ls -r iógits seudris. Si se dese eotrr u soluió prtiulr del sistem bst sigr eslres rbitrrios del uerpo F ls -r iógits o priiples. Eemplo Supógse que l siguiete mtriz esló por ils es l mtriz mplid que resultó de eetur operioes elemetles de ils l mtriz mplid de u sistem ddo: 7 6 ' ' ' Se tiee que: rg ( ') rg( ' ) < Por lo tto el sistem de euioes lieles X es omptible idetermido y se epres omo Uidd

23 Álgebr II (LM-PM) - Álgebr Liel (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE t 7 y 6t z t espedo ls iógits priiples 7t y 6t z t Filmete el outo soluió es: S {(, y, z, t) / 7 t y 6 t z t t R ' } {( 7 t, 6t, t, t) t R} S / ' 7 t S ' 6t t / t R t. Teorem de Crmer Se el sistem de euioes lieles X, o F y F. Si es iversible etoes el sistem de euioes lieles X, dmite u úi soluió, es deir es omptible determido. emostrió Se X, omo es iversible por hipótesis, eiste - (Ivers de ). Premultiplido por - e mbos miembros: por propiedd soitiv - (X) - ( - )X - Reereis: () - es l ivers de. () I es l uidd del produto de mtries. I X - () X -. () Uidd

24 Es soluió del sistem X. E eeto: ( - ) Reereis: () Por soitividd. () - es l ivers de. () I es l uidd del produto de mtries. Álgebr II (LM-PM) - Álgebr Liel (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE ( - ) I. () () () Es úi. E eeto, X - es úi soluió debido l uiidd de l ivers. Q.E.. Regl de Crmer Se el sistem de euioes lieles X, o F y F. Si ( ) etoes el sistem de euioes lieles es omptible determido y el vlor de d ompoete del vetor soluió: X se obtiee del siguiete modo:,, : ( ) emostrió: Como ( ) etoes es iversible, y por el teorem de Crmer:! X / X etoes:!,,, F :. dode i so ls olums de. Es deir es ombiió liel de ls olums de. i i i Uidd

25 Álgebr II (LM-PM) - Álgebr Liel (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Uidd Cluldo: i i i () () () ( ) ) ( ) ( ) ( () Se h probdo que ( ). luego: ) (

26 Álgebr II (LM-PM) - Álgebr Liel (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Reereis: () Reemplzdo por i () Por. de determite. () Por. de determite. () Por. de determite. i i. Q.E.. Uidd