Integrales Dobles. Vimos que este problema estaba relacionado con el cálculo de una primitiva de

Transcripción

1 Pro. Erique Mteus Nieves otoro e Euió Mtemáti Itegrles oles Itrouió. E el primer urso e Fumetos se plteó el prolem e hllr el áre omprei etre l grái e u uió positiv y x, el eje OX y ls rets x, x. ih áre se represet omo x x Vimos que este prolem est relioo o el álulo e u primitiv e Brrow os segur que si x. El Teorem e Fx es tl que Fx x etoes A x x F() - F() Nuestro prolem es el álulo el volume e u prism e se retgulr, x, limito superiormete por l grái e u uió z x, y eotremos por x,yx positiv. A este volume lo y iiere el prolem terior e que o se resuelve eotro u primitiv e x, y (No tiee setio), sio por el álulo e volúmees por seioes. El volume verá o por l sum iiit

2 Pro. Erique Mteus Nieves otoro e Euió Mtemáti e ls áres e ls seioes que se Otiee l ortr el uerpo por plos prlelos l plo XZ, o tmié sumo ls áres e ls iiits seioes que se otiee l ortr el uerpo por plos prlelos l plo Y Z. V x, yx Ay Ax x oe Ay x, y x, Ax x, y osiero e so l x o l y ij. El prolem se ovierte e el álulo e u itegrl reiter que y semos resolver. Itegrles oles, iterpretió omo volúmees Itegrl ole sore u retágulo. S j0 k 0 C j k x y lim C k x y x, y j j0 k 0 x

3 eimos hor el oepto e itegrl ole e u uió z x, y sore u retágulo, x, Pro. Erique Mteus Nieves otoro e Euió Mtemáti o eesrimete positiv. iviimos el itervlo [, ] e prtes igules, eligieo pr ello putos x0 x x x sieo xi xi x Elegimos, e orm álog, m putos el itervlo [, ], y y y y 0 o yi yi y. m Así oteemos m retágulos xi, xi x yi, yi e áre A x y * * Se x, y A es el volume el pequeño Prism el iujo juto i j Llmemos m S m i0 siguiete eiiió: j0 x y pr her l eiiió (Itegrl ole) Si existe lim,m S m y o epee e l eleió e los vlores itegrle sore y l vlor e iho límite se le llm itegrl ole e x, y, etoes se ie que es sore. Se ot: m x, y x lim i j,m i0 j0 x y Si x, y es u uió positiv, x, y x retgulr e se y limito superiormete por l grái e. x, y es egtivo, represet u volume egtivo. Si represet el volume el prism Propiees e l itegrl ole.. Lieli. x, y gx, y x x, yx gx, yx

4 Pro. Erique Mteus Nieves otoro e Euió Mtemáti. Mootoí. Si x, y gx, y x, y, etoes: x, yx gx, yx 3. Aitivi. Si es uió e os retágulos isjutos x, y x g x, y x g x, y x 4. Teorem e Fuii: si z x, y es otiu sore, x,, etoes: x, y x x, y x x, y x 5. Vlor meio áre x, y x Teorem el vlor meio pr itegrles oles: supogmos que : es otiu. Etoes pr lgú puto x0, y 0 e, teemos: x, y x x0, y0 A Itegrles oles iters: x, y x x, y x ; x, y x x, y x; Teorem e Fuii sore u retágulo: supogmos que x, y es u uió sore u retágulo. x, y x x, y x x, y x

5 Pro. Erique Mteus Nieves otoro e Euió Mtemáti Itegrl ole sore regioes más geerles. x, y x x x * x oe * x x, y si x, y 0 si x, y - Vmos eiir l itegrl ole e uioes sore los siguietes tipos e regioes: egioes el tipo I x, y I : x, x y x egioes el tipo II x, y I : y, g x x g y egioes el tipo III: So ls que se puee expresr iistitmete omo regioes e tipo I o e tipo II.

6 Pro. Erique Mteus Nieves otoro e Euió Mtemáti eiiió: Se u regió e tipo I, II o, III. Se z x, y u uió otiu. Cosieremos u regió e tipo I. Etoes: x, yx x, y x x x Aálogmete, e u regió e tipo II, se tiee: x, yx x, y g g x x x

7 Pro. Erique Mteus Nieves otoro e Euió Mtemáti Pr ls regioes el tipo III, se puee lulr l itegrl ole e x, y iistitmete omo u regió el tipo I o II. A vees l itegrl se ompli y hy que elegir l orm eu. e hí que: Si es u regió ot e I, etoes el volume el prism e se y ltur es: l uió itegrr es x,y A x Teorem e Fuii pr regioes e itegrió: supogmos que es otiu e x x, y x x, y x x x, y x x, y x x x Cmio e vrile e Itegrles oles U e ls téis más usules e el álulo e itegrles es el mio e vriles, uyo ojetivo es trsormr l itegrl lulr e otr más seill. Est téi y se estuió pr uioes e u vrile, hor lo hremos pr uioes e os vriles. E el álulo e u vrile, uo se teí u itegrl eii t x x, l her u mio e vriles x g, que etos el itegro, el itervlo e itegrió y el x. El uevo itegro serí gt (hy que exigir que Im(g) ()). Pr lulr el uevo itervlo e itegrió eesitmos exigir que g pose uió ivers. - Si x gt t g x luego si x, t g,. Se t 0,t g, el uevo itervlo e itegrió. Pr que g pose uió ivers st exigir que g se otiu e iyetiv. Aemás omo x g t t etoes g ee ser erivle. F F : u,v x, y x u,v, x u,v

8 Pro. Erique Mteus Nieves otoro e Euió Mtemáti x, y x x u,v, y u,v et F u,v u v x u,v, y u,v J u,v u v et F u,v J u,v x, y u,v et x u y u x v y v Ejeriios Evlúe l itegrl y luego evlúe l itegrl iter pr uo e los siguietes ejeriios.. - 3y A oe x, y x / 0 x,,. y se xy A oe, x 0, 3. x se x y A oe 0, x 0 6, 3 y xyx 5. x se y x 6. u v 0 u v 3 7. t 0. 4 x y s s t 8. x 0 y x r se r x xe. x y 0 9. x y 4 x 3. 4x 9x y x 0 x 3. A, oe x, y: 0 x,, 0 y y x y A, oe 0,, 4. x se x y A, oe x, y 5. os : 0 x,, 0 y 6. Euetre el volume el solio S oto por el proloie elíptio x y z 6, los Plos x= y y= y los tres plos ooreos (sugerei tome s : z 6 x y y 0, x 0, )

9 Pro. Erique Mteus Nieves otoro e Euió Mtemáti 7. euetre el volume el solio que ye ejo el plo 3x y z x, y / 0 x, - y 3 y rri el plo 8. etermie el volume el solio oto por l superiie z x se y z 0, x 0, x, y 0, y y los plos eereis: Stewrt, J. (00). Cálulo e Vris Vriles. Trseetes Temprs. Sext eiió. Ems Impresioes S.A. e C. V. Iztplp, Méxio,. F. Leithol, L. (998). El álulo. Truió e l séptim eiió e iglés e: THE CALCULUS 7. ISBN Prite i Mexio. Grupo Mexio MAPASA, S.A. E C.V. eereis e poyo y omplemetris: Apóstol, Tom M. (967). Clulus, Vol. : Oe-Vrile Clulus with Itroutio to Lier Alger ( eiió). Joh Wiley & Sos. ISBN Bourki, Niols (004). Itegrtio I. Spriger. ISBN E prtiulr los pítulos III y IV. Burto, vi M. (005). The History o Mthemtis: A Itroutio (6th eiió). MGrw-Hill. p ISBN Cjori, Flori (99). A History O Mthemtil Nottios Volume II. Ope Court Pulishig. pp ISBN