UNIDAD 2: MATRICES Y DETERMINANTES

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1 E UNIDD : MTRICES Y DETERMINNTES est ui hremos u estuio e los spectos más iispesle e mtrices y etermites Se utiliz otcioes geerlizs Mtrices DEF Se llm MTRIZ e ore mx y se eot co letrs myúsculs,b, u rreglo rectgulr e m úmeros e u cojuto K, (K míimo u illo) ispuestos e m fils y colums ecerros e corchetes o e prétesis; esto es : m m m oe: m iic el úmero e fils y el úmero e colums, es el elemeto e uico e l fil i, y e l colum j; por ejemplo, el elemeto está e l fil y e l colum Si m l mtriz se ice cur, cso cotrrio se ice rectgulr l cojuto e tos ls mtrices e ore mx co elemetos e K eotremos co: M mx K (se lee cojuto e mtrices e ore mx vlores e K ) C fil o regló i i i e llmremos vector fil i-ésim, y eotremos co ; luego, l mtriz puee expresrse e vectores fils, sí: C colum i m j j e llmremos vector colum j-ésim e, y eotremos co mj j ; luego, l mtriz puee expresrse e vectores colums, sí: EJEMPLO cotiució teemos u mtriz cur e ore x, y u mtriz rectgulr B e ore x

2 Álger Liel Ig Ju Oo 7 9, B NOT E est prte vemos lguos tipos e mtrices: ) Ieti (I), si i,, ii y ceros los emás elemetos; ) Mtriz cero, si i,j t t ; ) Si ( ) se llm trspuest e y se eot l mtriz ( ji ) ; ) Simétric si t t ; ) tisimétric si - M x K se ice Esclr si es e l form I; 7) Trigulr superior si cuo i>j; 6) Trigulr iferior si cuo i<j; 9) K M ; 6) x se ice Digol si i,j i j ; ) Iempotete si ; ) Nilpotete si pr lgú etero positivo ; ) M x K se ice Ivolutiv si t I, ) Ortogol si I Se llm Mtriz cojug e y se eot l mtriz ( ) ; ) Hermiti si t, t ) tihermiti si - ; ) Uitri si t I M x DEF Se K Se llm Trz e l úmero: Trz() Opercioes lgerics co mtrices: ició, multiplicció, potecició i ii ició Se,B M K mx m m m ; B m m m l ició etre y B se efie sí: +B : hor e mer cort; se +B m m m m m m, B mtrices e ore mx; etoces se tiee: c oe i,j im, j c DEF Se llm opuest e l siguiete mtriz:

3 Álger Liel Ig Ju Oo m NOT L sustrcció se efie sí: -B: +(-B) m m Multiplicció Se: M mx K, B x K M p xb :, l multiplicció etre y B se efie sí: i i i i i i i i i i i i i i mi i mi i i i i result u mtriz e ore mxp, oe m es el úmero e fils e y p el úmero e colums e B De mer cort, l multiplicció se efie sí: B ( )( jk ) (c ik ), oe i im, k kp c ik NOT Por ejemplo, el elemeto c se otiee multiplico l fil e por l colum e B, esto es: c j i i mi ip ip ip j j el elemeto c se otiee multiplico l fil e por l colum e B, esto es: EJEMPLO Ds ls mtrices: c j j j j jk, B Hllr: ) +B, ) -B, c) -B, ) B, e) BC, C

4 Álger Liel Ig Ju Oo ) B ) B c) B - ) B e) BC TEOREM El cojuto e ls mtrices curs e ore co elemetos e K (k) M x co ls opercioes iters ició (+) y multiplicció (x) es u illo Prue ) (k), (M x es u grupo elio; y que: ) (k) M x es cerro respecto l +; esto es,b (k) M x +B (k) M x E efecto, Se, B l ició etre y B es: B (k) M x

5 Álger Liel Ig Ju Oo hor e mer cort Poieo [ ], B [ ] e ore, se tiee: B [ ] [ ] [ ] M NOT Se puee sumr trquilmete os mtrices,b x M mx ) El + es comuttivo e M x (k) ; esto es,b M x (k) +B B+ (k) c) El + es socitivo e M x (k) ; esto es,b,c M x (k) (+B)+C +(B+C) ) Existe l mtriz o como elemeto eutro respecto l + e M x (k) ; esto es o M x (k) / M x (k) +o e) C M x (k) tiee su simétric respecto l +; esto es M x (k) (-) M x (k) / +(-) o ( M x (k), x) es u semigrupo; y que: f) M x (k) es cerro respecto l x; es ecir se cumple que:,b M x (k) xb M x (k) E efecto: k k k k k k k k xb k k k k k k k k k k k k k k k k g) El x es socitivo e M x (k) ; es ecir,b,c M x (k) (xb) xc x(bxc) k k k (k) M x Proemos e mer cort que est propie vle e toos los csos e que el proucto esté ie efiio; e ecir, xb se puee relizr siempre que el úmero e colums e se igul l úmero e fils e B Vemos: Se ls mtrices: M rxs M pxq (K), B M qxr (K), C (K) ; se tiee: xb D ( ) co q k ik kj, BxC E (e kh) co e kh r j kj c (k)

6 Álger Liel Ig Ju Oo ee cumplirse que f ih g ih ; e efecto f ih r j q c (xb) xc DxC F (f ih ) co f ih r j x(bxc) xe G (g ih ) co g ih r q k c k j ik kj c r q k c k ik kj ik kj k r j q r j Tmié se puee pror e est mer irect: j ik q kj ik c e kh g ih q k c ik e kh (xb) xc q k ik kj C r j q k ik kj c q k r j ik kj c q k ik r j kj c r j kj c x(bxc) El x es istriutivo co el +; esto es,b,c M x (k) x(b+c) xb+xc Proemos e form revi: j xb+xc x(b+c) c c j j j j c Potecició M DEF Se K M x Se,B K x, etoces: : k k co kz Si u e ls os mtrices es u mtriz esclr, esto es, e l form I, etoces poemos plicr l fórmul el Biomio e Newto su sum, es ecir: B p p B p co Z p NOT El iomio e Newto o vle pr l sum e os mtrices culesquier; y que, el iomio e Newto se plic elemetos míimo e u illo comuttivo, y ls mtrices form u estructur e illo pero o es comuttivo

7 Álger Liel Ig Ju Oo EJEMPLO Hllr sieo Expresmos l mtriz como u sum e u mtriz esclr y u mtriz B, esto es: + I+B co B Hllmos ls potecis e B; esto es: B 8 ; B Como ese B e elte so ls mtrices ceros, se tiee p p I (I) B (I) +(I) - B+ B p p 8 ( ) (I) - B + (7 ) ( ) + Opercioes elemetles etre fils o colums e u mtriz DEF Se M K ls siguietes: mx Se llm opercioes elemetles sore ls fils (colums) e Itercmio e fils (colums) e Multiplicció e u fil (colum) e por u K * * ; K K-{} ició u fil (colum) e otr fil (colum) e multiplic por u K * NOT U operció elemetl sore fils (colums) se ice el tipo, o segú se l operció elemetl, o DEF Dos mtrices: y B e M K i,, m ; j,, mx so igules sí y sólo sí

8 Álger Liel 6 Ig Ju Oo DEF Si u mtriz B se otiee e meite opercioes elemetles, etoces se ice que y B so equivletes por fils DEF Se llm MTRIZ ELEMENTL e ore l mtriz E que se otiee e l mtriz ieti I meite u operció elemetl Mtriz esclo DEF Se ice que u mtriz M K reuci o cóic) si: mx está ESCLOND por fils ( e form Tos ls fils co elemetos o ulos precee ls fils que tiee toos los elemetos ulos E c fil el primer elemeto o ulo es y es el úico elemeto o ulo e su respectiv colum El primer elemeto o ulo e c fil perteece u colum que sigue ls colums que tiee como primer elemeto e ls fils teriores DEF Se llm RNGO e y se eot Rg(), l úmero r que es el úmero e fils o uls e l mtriz esclo e ; esto es: Rg() r TEOREM To mtriz M K mx se puee esclor e u y u sol mer meite u úmero fiito e opercioes elemetles por fils TEOREM Ls opercioes elemetles e u mtriz coserv el rgo e u mtriz EJEMPLO Escloe l siguiete mtriz e form reuci, e iique su rgo 7 Itercmio ls os primers fils, se tiee luego, co el e l primer colum y primer fil hcemos ceros e los otros puestos e l colum; sí: se multiplic l fil por - y se sum l segu, luego se multiplic l primer fil por - y se sum l tercer, esto es 7 7 ~ 7 9 simólicmete se expres: F F F y F F F

9 Álger Liel 7 Ig Ju Oo Luego, iviieo l segu fil por y co el uo que se otiee e el puesto se hce ceros e los otros lugres e l colum; esto es ~ 7 9 simólicmete se expres: F F F y F 7F F filmete se ivie l tercer fil por y co este oteio e el puesto se hce cero e el puesto, esto es ~ hemos hecho F F F sieo est últim l mtriz esclo e e form cóic; por lo tto Rg() Ivers e u mtriz, vrios métoos M M DEF U mtriz x K es INVERTIBLE si existe u mtriz B K x tl que: B B I L mtriz B se llm ivers e y se eot DEF Se: M mx K, B M x K l mtriz (B) M mx( p) (K) m p PRIMER MÉTODO pr hllr l ivers M TEOREM K Se llm MTRIZ UMENTD etre y B x es ivertile si y sólo si l mtriz umet [ I] meite opercioes elemetles por fils se puee covertir e l mtriz umet [I B] E este cso B es l ivers e ; esto es B EJEMPLO Hlle l ivers e 8 9 Prtimos e [ I] pr meite opercioes elemetles por fils llegr [I B]; esto es: [ I] 8 ~ 9 Pr hcer ceros e los puestos y, se h multiplico l fil por - y se h sumo l fil ; luego se h multiplico l fil por y se h sumo l fil ; e símolos:

10 Álger Liel 8 Ig Ju Oo F F F y F F F co el el puesto hcemos cero e el puesto, hcieo: F F F ; o se: co el el puesto hcemos cero e el puesto, hcieo: F F F ; o se: luego, l ivers e es : - SEGUNDO MÉTODO pr hllr l ivers Pr hllr l ivers e l mtriz e ore, se puee cosierr l mtriz icógit X e ore, e tl mer que X I ; luego - X EJEMPLO 6 Hlle l ivers e 8 9 c cosieremos l mtriz icógit X e f g h i hcieo X I, se tiee: 8 9 g e h c f i e oe se otiee los siguietes sistems: g e h 8g ; e 8h ; 9g e 9h c f i c f 8i c f 9i resolvieo éstos, se otiee l mtriz X que es l ivers e ; es ecir:

11 Álger Liel 9 Ig Ju Oo - X TERCER MÉTODO pr hllr l ivers hor se puee cosierr ls mtrices icógit X e ieti I express e fils; esto es: X F e F e, I F e sieo e (,,,); e (,,,,); ; e (,,,) hcieo X I, se otiee l X que es l ivers e EJEMPLO 7 Utilizo este métoo, hlle l ivers e 8 e oe se tiee X I X F 8 F 9 F F F F e F F 8F e F F 9F e 9 e e I e resolvieo el sistem se otiee: F [- -], F [- ], F [ ] que so ls fils e X, luego e l ivers; por lo tto: - X Determite e u mtriz cur NOT tes e ver l efiició e etermite, recoremos que: D u mtriz, l sumtriz e ore - que result e elimio l fil i y l colum j eotremos co ( lguos utores lo llm jut e, osotros l llmremos simplemete sumtriz e ore -)

12 Álger Liel Ig Ju Oo DEF El etermite e u mtriz cur que eotremos es u plicció e M x K e K; esto es: : M x K K / oe se clcul e l siguiete mer iuctiv: Si etoces : Si etoces : j + j - Hemos plico est efiició los elemetos e l primer fil e NOT plico est efiició vmos ver que los resultos que se otiee so los que y se coocí elemetlmete: Si, se tiee: Si, se tiee: Si, se tiee: j j - + j j j j - + j j j ( ) ( ) + ( ) sí se prosigue co Hst quí hemos oteio ls regls elemetles el cálculo e etermites e seguo y tercer ore; esto es: Ests regls ee plicrse irectmete l resolver ejercicios NOT sí como tommos los elemetos e l primer fil, poemos tomr los e l primer colum o e culquier fil o colum; luego, se tiee ls siguietes fórmuls pr hllr el etermite e u mtriz cur: j

13 Álger Liel Ig Ju Oo L efiició terior es plic los elemetos e l primer fil, l fórmul es: j + j - () plico l efiició los elemetos e l primer colum, l fórmul es: i i+ j i j - () plico l efiició los elemetos e culquier fil, l fórmul es: i - i+j () j plico l efiició los elemetos e culquier colum, l fórmul es: i i+j - () NOT Ls fórmuls teriores, poemos presetrls e u sol; esto es: - i o j i+j EJEMPLO 8 Hllr el etermite e plico l fórmul () se tiee : j j j 8-8 j - 9--(-8)-(-) -+ DEF Se llm juto (o cofctor) el elemeto e y se eot úmero: ( ) i j l siguiete l MTRIZ e los DJUNTOS eotremos co y l TRNSPUEST e ést eotremos co j(); ests mtrices so respectivmete :, j()

14 Álger Liel Ig Ju Oo NOT Estmos e coicioes e cosierr el CURTO MÉTODO pr hllr l ivers e u mtriz, que se otiee meite l siguiete fórmul: EJEMPLO 9 Por el curto métoo, hllr l ivers e Hllemos, esto es : hor, hllemos los 9 jutos 7 9 ( ) ( ) 6 7 ( ) ( ) ( ) (7 6) 7 # j() e ; esto es: luego,, por lo tto j() - 9 ( ) ( 9) ( ) (8 6) ( ) ( ) j() ( ) ( 9 9) 9 ; sí, l ivers e es: Propiees e los etermites ( propiees), etermites geerlizos Por secillez, cosierremos u mtriz expres e colums, sí: De est mer, poemos expresr ls propiees e l mer más geerl posile (Rogmos los ocetes ir preseto ejemplos e c propie) Ests so:

15 Álger Liel Ig Ju Oo El etermite e u mtriz que tiee u colum ( o fil) multiplic por u esclr o ulo, es igul l esclr por el etermite e l mtriz si el esclr como fctor e ich colum (o fil); esto es: j,,,,, j,,,,, Si u mtriz tiee u colum (o fil) form por os sumos; su etermite es igul l sum e os etermites e l mtriz, poieo e el primer etermite los primeros sumos y e el seguo etermite los seguos sumos e ich colum; esto es:,,, i i,,,,,,,, + i i,,,,,, Si itercmimos os colums ( o os fils) e u mtriz, su etermite cmi e sigo; esto es: i j,,,,,,, j i -,,,,,,, El etermite e l mtriz Ieti es igul ; esto es: I Si toos los elemetos e u colum (o fil) e u mtriz so ceros, etoces su etermite es cero; esto es:,,,,, 6 Si u mtriz tiee os colums (o fils) igules, su etermite es cero: esto es: i i,,,,,,, 7 Si u colum (o fil) e u mtriz es el proucto e otr por u esclr o ulo, su etermite es cero; esto es: i i,,,,,,, 8 Si u colum ( o fil) e u mtriz es l comició liel e otrs, su etermite es cero; esto es: i j i j,,,,,,,,, 9 Si B se otiee e sumo l colum j l colum i multiplic por u esclr o ulo, esto es: i j Si,,,,,,, etoces B y B,,,,,,, i i j Si tiee fils o colums lielmete epeietes, etoces El etermite el proucto e os mtrices es igul l proucto e sus etermites B B es ivertile si y sólo si y e este cso el etermite e l ivers es igul l iverso el etermite; esto es:

16 Álger Liel Ig Ju Oo Si es trigulr superior o trigulr iferior o igol, su etermite es el proucto e los elemetos e l igol pricipl; esto es: (Sugereci: emuestre por iucció) L sum e los prouctos e los elemetos e u fil por los jutos e otr es cero; esto es: j hj i si ih ii Demostrció: Vmos emostrr us pocs propiees, el resto lo hrá el lector ) plico l efiició e etermite los elemetos e l colum j, o se l fórmul, se tiee: j,,,,, - i+j i - i+j i j,,,, ) plico l efiició e etermite los elemetos e l colum j, o se l fórmul, se tiee:,,, i, i i+j,, - i + - i i+j, (, ) - i+j + i i,,,,, + i,,,,,, 6) Pr emostrr est propie es suficiete plicr l itercmio ls colums igules, cmi el sigo el etermite, y querí: i i,,,,,,, i i -,,,,,,, i i y esto se cumple úicmete cuo,,,,,,, 8) Es suficiete plicr l pr seprr e os etermites, y luego l ; esto es:,,,,,,, i j i j,,,,,,,,,,, i j i + i j j +,,,,,,,,, i j i,,,,,,,,, i j j +,,,,,,,,, como estos os etermites tiee os colums igules, por l 6 so igules cero

17 Álger Liel Ig Ju Oo ) Si es ivertile existe, luego I, plico etermites los os miemros y l propie, se tiee: - I EJEMPLO ) Ds ls siguietes mtrices, hllr sus etermites: ) ) c) i i i i Como l mtriz el c) es e ore, hemos utilizo l propie 9 e los etermites pr itroucir ceros e los puestos y e l primer colum El cero el puesto se otuvo multiplico l fil por - y sumo l fil ; el cero el puesto se otuvo multiplico l fil por y sumo l fil ; luego utilizmos l fórmul e los etermites plico los elemetos e l colum ) Se Demostrr que: ),, ) -

18 Álger Liel Ig Ju Oo 6 Desrrollo E efecto,, Pr hllr plicmos l segu fórmul e los etermites e el primer pso, y l primer e el seguo pso; sí: i i i i luego, hemos proo que - CTIVIDD EVLUTIV ) Escri ejemplo e c uo e los tipos e mtrices e myor compresió suy ) Ds ls mtrices:, B, C Hllr: ) +B, ) -B, c) -B, ) B, e) BC, f) B, g) Hlle l mtriz D tl que + D B, h) Hllr l mtriz E tl que se E B, i) Escri ls opuests e,b,c ) Demuestre que to K M x se puee expresr como l sum e u mtriz simétric co u tisimétric

19 Álger Liel 7 Ig Ju Oo (Sugereci: Utilice el hecho e que to mtriz simétric se puee oteer como to mtriz tisimétric se puee oteer como t ) t y ) Demuestre por iucció que si etoces N ) Si K M x es simétric e ivertile, etoces es simétric (Sugereci: plicr l trspuest miemro miemro l igul 6 6) Hllr, sieo: ) 6, ) 6 7) Escloe ls siguietes mtrices e iique sus respectivos rgos ) ; ) C 9 7 8) Hlle l ivers e ls siguietes mtrices por toos los métoos vistos ) 8 ; ) D 6 6 9) Hlle los etermites e ls siguietes mtrices:, B 8, C 6 I ) ) Hllr el vlor e k e l siguiete mtriz pr que su etermite se igul k k 6 7 SUGERENCI: Pr resolver el l, utilice l siguiete operció elemetl: i i Fi - Fi Fi-

20 Álger Liel Ig Ju Oo 8 ) Se oe c mx i, j Hllr ) Se oe c i,j mi Hllr Resp: ) Se oe c mx i,j Hllr Resp: ) ( ) ( ) Se oe c i,j mi Hllr ) Se oe c i,j mx Hllr YUD Ls mtrices e los ejercicios y so respectivmete ls siguietes: - - -, ) Se Demostrr que: ),, ) -