Resuelve. Unidad 4. Resolución de triángulos. BACHILLERATO Matemáticas I. Localización de una emisora clandestina. Página 105

Transcripción

1 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I Resuelve Pági 10 Lolizió de u emisor ldesti Vmos plir l téi de l trigulió pr resolver el siguiete prolem: U emisor de rdio ldesti E se sitoiz desde dos otroles poliiles, y. E d uo de ellos se detet l direió e l que se euetr, o l disti. Por tto, se ooe los águlos α y β 46, sí omo l disti 10 m. Pr lolizr sore el terreo l emisor E hy que lulr l disti E o l disti E. Resuelve el prolem pltedo relizdo u diujo e tu udero esl 1:1 000 (1 m 1 mm). Sore el ppel, mide los ldos E y E e iterpret el resultdo e l relidd. α β m E E 90 mm 10 mm α β mm L emisor se euetr 90 m del otrol y 10 m del otrol. 1

2 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I 1 Rzoes trigoométris de u águlo gudo (0 90) Pági 106 Hzlo tú. Siedo que β 0,9 lul os β y β. os 1 s e 1 ( 0, 9 ) 0,9 0, 9 04, os 09, Hzlo tú. ooiedo β 1, lul β y os β. s ; os s + 1 ( 1, ) + 1,64 1 0, 6 s 1, s 1, * os 0,6 1, 0,6 0,79

3 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I Rzoes trigoométris de águlos ulesquier (0 60) Pági Siedo que el águlo α está e el segudo udrte (90 < α < 10) y α 0,6, lul os α y α. os 1 0, 6 07, 06, 07, 9 07, 0,6 t Siedo que el águlo α está e el terer udrte (10 < α < 70) y os α 0,, lul α y α. 1 ( 0, ) 0, 6 0, t 0, 6 06, 7 0, s Siedo que el águlo α está e el urto udrte (70 < α < 60) y α 0,9, lul α y os α. s t 0,9 s 09, 4 El sistem tiee dos soluioes: s + 1 s 06, ; 0, 74 s 06, ; 0, 74 4 omplet e tu udero l siguiete tl y mplíl pr los águlos 10,, 40, 70, 00, 1, 0 y / / / 1 os 1 / 0 0 / / / / 1 / / 1/ 0 os 1 / / 1/ 0 1/ / / 1 0 / 1 1 / º 1/ / / 1 / / 1/ 0 os / / 1/ 0 1/ / / 1 / 1 1 / 0

4 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I Águlos fuer del itervlo 0 60 Pági 10 1 Ps d uo de los siguietes águlos l itervlo [0, 60) y l itervlo ( 10, 10]: ) 96 ) 49 ) 64 d) 9 e) 7 61 f ) 1 90 Se trt de expresr el águlo de l siguiete form: ) ) k o k, dode k 10 ) d) e) f) udo hemos, por ejemplo, , por qué tommos 1? Porque, previmete, hemos relizdo l divisió 7 61 / 60 { }. Es el oiete etero. Determi el vlor de ests rzoes trigoométris: ) 1 90 ) ( 1 60) ) d) 4 99 e) ( 1 710) f ) 60 g) ( 6 000) h) ( 0) ) ) os ( 1 60) os ( 40) os 10 os 60 1 ) d) os 4 99 os 1 os 4 e) ( 1 710) ( 70) (90) 1 f) g) os ( 6 000) os 0 1 h) ( 0) 0 1 4

5 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I 4 Trigoometrí o luldor Pági 109 Hzlo tú. Siedo que β 0,7 y 90 < β < 10, lul os β y β. os β 0,49 β 1,76 1 prtir de los dtos que se ofree e d prtdo reltivos l águlo α, hll, o yud de l luldor, ls rzoes trigoométris de α. ) α 0,7; α > 90 ) os α 0,09; α < 0 ) α 1,7; 10 < α < 70 d) os α 0,19; α < 0 ) os α 0, α 0,699 ) α 0,91 α,07 ) α 0,799 os α 0,60 d) α 0,74 α 0,7

6 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I Relioes etre ls rzoes trigoométris de lguos águlos Pági lul ls rzoes trigoométris de, 1, 14, 1,, 0 y prtir de ls rzoes trigoométris de : 0,7; os 0,; 0,70 90 y so omplemetrios. os 0, os 0, os 0, os 1 0, ,4 07, 0 0, 1,4 e Tmié , o os 0, 7 07, y so suplemetrios. 14 0,7 os 14 os 0, 14 0, ,7 os 1 os 0, 1 0, os 0, os 0, os 1 1 1,4 os 07, 0 0 os 0, os 0 0,7 0 0 os 1 1,4 os 0 60 ( ) 0,7 os os 0, 0,70 os os 0 6

7 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I verigu ls rzoes trigoométris de, 16 y 4, utilizdo l luldor solo pr hllr rzoes trigoométris de águlos ompredidos etre 0 y ,049 os os 0,9994 ( * ) 0,049 (*) os os ,4067 os 16 os 4 0,91 4 0,44 otr form de resolverlo: os 66 0,4067 os , ,44 66, ,090 os 4 os 1 0, ,49 Diuj, sore l iruferei goiométri, águlos que umpl ls siguietes odiioes y estim, e d so, el vlor de ls resttes rzoes trigoométris: ) α 1, α > 0 ) os α 4, α > 90 ) α 1, os α < 0 d) α, os α < 0 e) α 1 f ) os α 0, α > 0 ) 1 / < 0 4 os α < 0 α. > 0 er udrte 10 os 10 0,6 10 0, ) 1,9 os 4 / α 4. udrte > 90 1,9 0,66 1,9 0, ) 1 < 0 4 β > 0 β. udrte os < , os 1 07, 7

8 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I d) > 0 α < 0 α. os < 0 er udrte 4,4 4, 4 09, os 4, 4 04, e) os 70 os o existe f) o existe

9 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I 6 Resoluió de triágulos retágulos Pági 11 Hzlo tú. Los tetos de u triágulo retágulo so 47 m y y los águlos. Por el teorem de Pitágors, , m t ^ 47 ^ 7 9' '' 6 ^ 90º ^ ' '' 0' '' 6 m. Hll l hipoteus Hzlo tú. E u triágulo retágulo ooemos ^ 6 y 1 m. Hll los demás elemetos. ^ ^ 1 17, 1 m W 6 1 0, m W 6 ^ 90 6 Hzlo tú. ooemos l hipoteus, 7 m, y el águlo lul. ^ de u triágulo retágulo. os ^ os ^ 7 os 66, m Pági 11 1 Ls siguietes propuests está referids triágulos retágulos que, e todos los sos, se desig por, siedo el águlo reto. ) Dtos: m, ^ 7. lul. ) Dtos: m, ^ 7. lul. ) Dtos: 0 m, 0 m. lul e) Dtos: m, ^. lul. ) os ^ os ^ ) + 96,69 m; ^ y ^. d) Dtos: m, ^. lul. 17,4 m ) ^ ^ 6,4 m 0,1 ^ 9 ' 7'' d) ^ W 6,01 m e) ^ W 66,0 m Pr determir l ltur de u poste os hemos lejdo 7 m de su se y hemos medido el águlo que form l visul l puto más lto o l horizotl, oteiedo u vlor de 40. uáto mide el poste? ,7 m 40 7 m 9

10 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I Hll el áre del siguiete udrilátero. Sugerei: pártelo e dos triágulos. m 146 m 4 17 m 10 9 m ,1 m m m ,67 m 146 m 4 El áre es l sum de 1 y : 14 1,0 m 17 m 10

11 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I 7 Estrtegi de l ltur pr resolver triágulos oliuágulos Pági 11 1 E u triágulo ooemos ^ 6, 17 m y 1 m. lul l logitud del ldo. H 17 os 6 64,4 m H ,4 m H H 9,7 m 17 m 1 m 6 H + H 64,4 m + 9,7 m 14,1 m H E u triágulo MNP ooemos M^ M, N^ N 4 y NP 47 m. lul MP. 4 PH 47 PH MP PH 47 4,0 m MP PH, 0 60,49 m M P 47 m 4 H N E u triágulo ooemos 0 m, m y ^. lul l logitud del ldo. 0 m? H m H os 1,04 m H 1,97 m H H 0,96 m H + H 6, m 4 Oserv el gráfio de l dereh. Estmos e, medimos el águlo jo el que se ve el edifiio (4), os lejmos 40 m y volvemos medir el águlo (). uál es l ltur del edifiio y qué disti os eotrmos de él? _ 4 h h d 4 d ` h h (d d + 40 ) t g d + 40 d 4 ( d + 40) d h d 4 1,97 m 40 19,90 m m L ltur es 1,97 m. L primer disti es 19,90 m, y hor, después de lejros 40 m, estmos 179,90 m. 11

12 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I Dos importtes teorems pr resolver triágulos ulesquier Pági Verddero o flso? ) El teorem de los os ofirm que e u triágulo, myor ldo se opoe myor águlo. ) Este triágulo retágulo es l mitd de u triágulo equilátero. Dividimos el o de d águlo etre el ldo opuesto: 60 / / ) Verddero. 60º 1 0º o ests igulddes se omprue que se umple el teorem de los os. omo l rzó etre el ldo y el o del águlo opuesto es ostte, uto myor es el ldo, myor es el o del águlo opuesto y, por tto, myor es el águlo opuesto (l trtrse de águlos de u triágulo). ) Verddero. o ests igulddes se omprue el teorem de los os e el so prtiulr de u triágulo equilátero. Si emrgo, el teorem es muho más geerl porque se pued plir triágulos ulesquier. Demuestr detlldmete, sádote e l demostrió del teorem de los os, l siguiete relió: W X Lo demostrmos pr ^ águlo gudo. (Si fuese u águlo otuso rzorímos omo e el ejeriio terior). Trzmos l ltur h desde el vértie. sí, los triágulos oteidos H y H so retágulos. H h Por tto, teemos ^ h h ^ ^ h h ^ ^ ^ W X 1

13 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I Repite l demostrió terior e el so de que ^ se otuso. Te e uet que ^ ^ (10 ^ ) ^. ^ h h ^ H ^ (10 ^ ) h h ^ ^ ^ W W (10 ) ^ H h Pági 117 Hzlo tú. Hll y ooiedo 6 m, ^ y ^ 11. ^ hor usmos el teorem de los os. 6 6 se 100, 66 m se 11 11, 44 m Hzlo tú. lul ^ Por el teorem de los os: ooiedo 6 m, 4 m y ^ ^ 6 0 0,7 W 0 4 ^1 4 ' '' ^ 11 4' '' E este so ms soluioes so posiles porque ^ + ^ < 10. Por tto, teemos dos posiles triágulos, uo utágulo y otro otuságulo. 4 Verddero o flso? ) Si os d dos ldos de u triágulo, y, y el águlo opuesto uo de ellos, ^, y desemos ^ hllr el águlo ^, o el teorem de los os seguro que llegremos u soluió. ) Si os d dos ldos y u águlo de u triágulo y desemos hllr otro ldo, el teorem de los os seguro que os permite llegr u soluió. ) Flso. Si el ldo o es sufiietemete grde, el prolem o tedrá soluió omo muestr el siguiete diujo: ) Flso. Si os d el águlo ompredido etre los dos ldos, o podemos plter el prolem usdo el teorem de los os. 1

14 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I E u triágulo, ooemos 4 m y ^ 0. Hll ^ e los siguietes sos: ) 1, m ) m ) m d) 4 m ) 1, m 4 1, ^ W W W 0 Imposile, pues ^ [ 1, 1] siempre! 4 0, 1!, 1, No tiee soluió. o est medid, 1, m, el ldo u podrí tor l ldo. 0 4 m 1, m ) m 4 ^ W W W 0 Se otiee u úi soluió. 4 0, m 0 4 m ) m 4 W 0 ^ 4 0, 06! ^ ' 7,1''., ^ 1 11',9'' Ls dos soluioes so válids, pues e igú so ourre ^ ^ que ^ + ^ > m m m d) 4 m 4 4 W 0 ^ 4 0, 0, 4 ^1 0 U soluió válid. ^1 10 L soluió ^ 10 o es válid, pues, e tl so, serí ^ + ^ 10. Imposile! 4 m 0 4 m 6 lul los ldos y del triágulo de l dereh m Hllmos el águlo ^ 10 ( ^ + ^) plimos el teorem de los os: 0 0 se 0 40,76 m se 0 1, m

15 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I Pági 11 7 Verddero o flso? ) Si de u triágulo ooemos dos ldos y el águlo que form, el teorem del oo os permite oteer el otro ldo. ) Si plimos el teorem del oo l hipoteus de u triágulo retágulo, etoes oteemos el teorem de Pitágors. ) Verddero. Est es l situió e l que se us el teroem del oo pr lulr el terer ldo de u triágulo. ) Verddero. El águlo opuesto l hipoteus es el águlo reto y, por tto, su oo vle ero. Si es l hipoteus, el águlo opuesto es ^ 90 y se otiee el teorem de Pitágors prtir del teorem del oo: Pági 119 Hzlo tú. lul ooiedo 7 m, Por el teorem del oo: + os 90 + m y ^ os ^ os , 4 m Resuelve los siguietes triágulos: ) 1 m; ) m; ) 4 m; d) 4 m; e) m; 16 m; 10 m 7 m; ^ 40 m; ^ 10 ^ ^ 4; ^ 60 ^ f ) 10 m; ^ 40 g) m; h) 16 m; ^ ^ 7; ^ 4 90; ^ 0 ) + os ^ os ^ os ^ os ^ , 66 0 ^ 4 0' '' 1 m 16 m 10 m + os ^ os ^ os ^ , 40 ^ 9 1' 7,'' ^ + ^ + ^ 10 ^ 10 ^ ^ ^ 7' 9,'' 1

16 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I ) + os ^ os ,94 97,06 17,4 m 7 17, 4 W X W 40 ^ ^ , 6 17, 4 ^1 1 7' 44,'' ^ 164 ' 1,7'' No válid. (L soluió ^ o es válid, pues ^ + ^ > 10). m 40 7 m ^ 10 ( ^ + ^) 14 ' 1,7'' ) + os ^ os 10 1,1,9 m W W, W ^ ^ 4 se 10 0, 691, 9 ^1 4 4','' ^ 16 16' 4,7'' No válid. m 10 4 m (L soluió ^ o es válid, pues ^ + ^ > 10). ^ 10 ( ^ + ^) 1 16' 4,7'' d) ^ 10 (^ + ^) 7 W W , m 7 4 W X se 6 0 7, 9m e) ^ 10 ( ^ + ^) 110 W W 110 omo ^ se 0, m 110 ^,0 m f) omo los ldos y ^ + ^ so igules, el triágulo es isóseles: ^ 140 ^ ^ , 4 m 40 16

17 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I g) ^ , 6 m se , m h) ^ s e 0 m 16 os 0 16 os 0 1,6 m 16 9 U ro pide soorro y se reie sus señles e dos estioes de rdio, etre sí 0 km. Desde ls estioes se mide los siguietes águlos: % % 46 y qué disti de d estió se euetr el ro? 46 0 km y, que dist ^ W , 4 km W W W 1 X 0 se 40, 4km X W W 1 17

18 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I Ejeriios y prolems resueltos Pági Relioes etre ls rzoes trigoométris Hzlo tú. Si os α /4 y 10 < α < 70, lul: α; α; os (90 α); (10 + α); (10 α); (60 α), si hllr el águlo α. α + os α 1 + m 1 s e ± 1 9 ± 4 16 omo α perteee l terer udrte, su o es egtivo α α 4 7 os (90 α) α 7 os 4 4 (10 + α) α 4 7 (10 α) α (60 α) α 4 7. álulo del áre de u prel desompoiédol e triágulos Hzlo tú. Hll el áre del udrilátero irregulr D siedo que 6 m; 19 m; ^ D 1 m; D 4 m; ^ 60. D h 6 Trzdo l digol desompoemos el udrilátero e dos triágulos. Áre del triágulo : h h ,4 m S 6 16, 4 09, 9 m Áre del triágulo D: Pr poder usr l fórmul de Heró eesitmos el ldo. Por el teorem del oo: os hor, plimos l fórmul de Heró: p , 0 60, 1 07,0 m S D 60, 1 (60, 1 1 )( 60,1 4)( 60, 1,0) 41,19 m El áre del udrilátero es: S D S 09,9 + 41,19 961,14 m 1

19 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I Pági 11. álulo de u disti medite l estrtegi de l ltur Hzlo tú. De u triágulo ooemos 1 m, ^ y ^ 70. lul l ltur sore. x 70 1 x h Llmmos h l ltur trzd sore el ldo. Dividimos este ldo e dos prtes, que medirá x y 1 x. h _ 1 x h ( 1 x ) ` (1 x) x 70 x 4,77 m 70 h h x 70 x Filmete, h x 70 4, ,11 m. 4. Resoluió de u triágulo ooidos dos ldos y el águlo opuesto uo de ellos Hzlo tú. Resuelve el triágulo e el que ooemos plimos el teorem de los os: 1, 110 W ^ 1 m,, m y ^ 110., , ^ puede ser 40 ' 0'' o ie 19 7' 0'' 1 Este segudo vlor o es posile porque l sum de los águlos ^ Por tto, ^ 40 ' 0''. ^ 10 ( ' 0'') 9 7' 0'' Hllmos el ldo usdo, de uevo, el teorem de los os: 1 '') e ( '') 1 ( 9 7 '0 6, m 110 s 9 7 '0 110 y ^ serí superior 10. Pági 1. álulo de los águlos de u triágulo udo se ooe los tres ldos Hzlo tú. Hll los águlos del triágulo e el que Usdo el teorem del oo, teemos: os ^ os ^ os ^ ^ os ^ (17 1' '' + 4 7' 1'') 1 19' 11'' ^ 1 m, 17 1' '' 940 ^ 4 7' 1'' m y m. 19

20 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I 6. álulo de l disti etre dos putos iesiles Hzlo tú. lul l disti MN. N M Q m P Usdo el triágulo PQM podemos lulr el ldo QM : El águlo \ QMP QM 100 QM 100 se 0 10, 4 m Usdo el triágulo PQN podemos lulr l digol QN : El águlo \ QNP QN 100 QN 100 se 16, 47 m 6 6 hor usmos el teorem del oo pr hllr MN : MN 10,4 + 16,47 10,4 16,47 os 6 17, MN 6 17, 0,7 m 0

21 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I Ejeriios y prolems guidos Pági 1 1. álulo de los ldos y los águlos de u triágulo Desde u puto P oservmos los putos y, situdos e ls orills opuests de u lgu, jo u águlo de 6. Semos que P 70 m y P 11 m. % % lulr l disti y los águlos P y P os , 1 09, 110 m se P \ 11 se 6 0, 969 \ P 7 46 ' '' P \ \ P ' '' 6 1 ''' P. Águlos e u uo Hllr el águlo que form l digol de l r de u uo o l digol del uo. Por el teorem de Pitágors: l + l l l l l 1 1 ''' l α l. Resoluió de triágulos: ltur de u torre Pr medir l ltur de l torre, os situmos e los putos y D y tommos ests medids: D 1 m; % 40 D D % % ; D 70 Qué ltur tiee l torre? ^ se 70 17, 9 m 70 40, 17, ,m 1

22 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I 4. Áre y perímetro de u trpeio Hllr el perímetro y el áre de este trpeio isóseles: 1 m 1 m D 6 H 1 se 6 10, H 1 o s 6 0, 7 Por el teorem de Pitágors: DH 1 10, 0,6 DH 0, 6 14,4 D 14, 4 + 0, 7 194, 1 19, 41, 07 9, 7 y que el trpeio es isóseles. D 1 m 1 m 6 H Filmete, S D 19, , 7 10, 16, 0 m. Tgetes u iruferei: distis Ls tgetes trzds desde el puto P u iruferei de etro O y de 14 m de rdio form u águlo de. lulr: ) L disti de P l etro de l iruferei. ) L logitud de l uerd que ue los putos de tgei. 14 T 90 O P T' ) OP 14 0, 79 m OP 16 ) \ TOT' plimos el teorem del oo l triágulo OTT' : TT ' os 14 74, 4 TT ' 74,4 6, 9 m

23 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I Ejeriios y prolems propuestos Pági 14 Pr prtir Rzoes trigoométris. Relioes etre ells 1 Utiliz ls relioes fudmetles pr hllr ls demás rzoes trigoométris de los águlos gudos α, β y γ. ) os α / ) β / ) γ ) α + os α 1 α + 1 α 4 α ± 9 9 Si α α Si α α ) β + os β os ± 1 os 16 o s 4 Si os 4 t g Si os ) g g os g os g γ + os γ 1 (os γ) + os γ 1 10os γ 1 os γ ± 1 ± 1 ± Si os γ g 10 Si os g g opi e tu udero l siguiete tl y omplétl luldo ls rzoes trigoométris que flt e d so: 1.ª fil: 0 < α < 90 0, α os α α 90 < α < 10 0,6 10 < α < < α < 60 omo el águlo está e el primer udrte, su oo es positivo. α + os α 1 0,09 + os α 1 os α 0,91 os α 0,94 α.ª fil: 0, 0, 14 0, 94 omo el águlo está e el segudo udrte, su o es positivo. α + os α 1 α + 0,6 1 α 0,64 α 0, α 0, 4 06,

24 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I.ª fil: omo el águlo está e el terer udrte, su o y su oo so egtivos. os os α + os α 1 4os α + os α 1 os α 1 os α α 4.ª fil: 1 os omo el águlo está e el urto udrte, su o es egtivo y su oo es positivo. os os α + os α 1 os α + os α 1 6os α 1 os α α α os α α 0 < α < 90 0, 0,9 0,1 90 < α < 10 0, 0,6 4/ 10 < α < 70 / / 70 < α < 60 0/6 6/6 1 6 os 6 6 Hll, e d so, ls rzoes trigoométris de α: ) α /; os α < 0 ) os α /6; α < 0 ) α,; α < 0 d) os α /4; α < 0 ) omo os α < 0, α + os α os 1 os os α ) omo α < 0, α + os α 1 α + 1 se 11 e 6 s 6 α ), se os, os α + os α 1 (,os α) + os α 1 6,06os α 1 os α 1, 6, (tiee el mismo sigo que α por ser α > 0) α,os α, ( 0,4061) 0,917 d) omo α < 0, α + os α 1 α + 1 se 11 α

25 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I 4 Siedo que os α 0, y α 0,6 lul: ) os (10 + α) ) (10 α) ) ( α) d) (90 α) e) os (90 + α) f ) (90 α) ) os (10 + α) os α 0, ) (10 α) α 0,6 ) ( α) α 06, d) (90 α) os α 0, 0, 4 e) os (90 + α) α 0,6 f) (90 α) 1 0, 4 06, Si semos que 4 0,67, os 4 0,74 y trigoométris si utilizr l luldor: ) os 4 ) ( 4) ) 1 d) 1 e) os f ) ) os 4 os (90 4) 4 0,67 ) ( 4) 4 (90 4) os 4 0,74 ) 1 (10 4) 4 0,67 d) 1 (60 4) ( 4) 4 0,9 e) os os (10 + 4) os 4 0,74 4 0,9, di el vlor de ls siguietes rzoes f) (60 + 1) 1 (10 4) 4 0,9 6 Expres o u águlo del primer udrte ls siguietes rzoes trigoométris y di su vlor exto si usr l luldor: ) 1 ) os 40 ) 10 d) os 1 4 e) 1 1 f ) ( 10) ) 1 (90 + 4) os 4 ) os 40 os ( ) os 60 1 ) 10 (10 60) 60 d) os 1 4 os (60 + 4) os 4 e) 1 1 (60 + 4) 4 1 f) ( 10) 10 (10 60) 60 7 Hll o l luldor el vlor del águlo α: ) α 0,7; α < 70 ) os α 0,7; α > 10 ) α 1,; α < 0 d) os α 0,; α < 0 ) o l luldor α 4 ' '' 4. udrte omo dee ser < 0 ) α. < 70 er udrte Luego α ' '' ' ''

26 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I ) o l luldor: 111 4' 6,'' os < 0 α. > 10 er udrte Luego α ' 6,' 4 17',7''. ) 1, > 0 os < 0 α. < 0 er udrte o l luldor: 1 1, 4 4' 17,9'' α ' 17,9'' 4 4' 17,4'' d) os 0, > 0 α 4. udrte < 0 o l luldor: os 1 0, 76 4' 10,'' α 76 4' 10,'' 17' 49,6'' ) Repret u águlo α tl que os α y α < 0. Hll α y α. ) Di el vlor de ls rzoes siguietes: (10 α); os (90 α); (10 + α) ( α); (90 + α); os (60 α) ) α + os α 1 α α α 64 α ) (10 α) α (10 + α) α (90 + α) os (90 os α) α ( α) α 1 os (60 α) os α Resoluió de triágulos retágulos 9 Pr llegr u ltur de m, poymos u esler formdo u águlo de 60 o el suelo. Hll l logitud de l esler y l disti desde su se hst l pred. El suelo, l esler y l pred form u triágulo retágulo. 60 Logitud de l esler 60 Disti desde l se l pred 6 60 /,46 m 60 1,7 m 60 6

27 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I 10 U perso que mide 1,7 m proyet u somr de m. Qué águlo form los ryos del sol o l horizotl? El oiete etre l ltur y l somr es l tgete del águlo α que form el sol o l horizotl. α 17,,094 α 64 ' 7'' 0, 11 U mástil está sujeto tierr o dos les de 1 m que form águlos de 0 o el suelo. lul l ltur del mástil y l disti de l se los putos de sujeió. ltur del poste h 1 0 9,19 m L disti de l se l puto de sujeió es: h 1 HQ 1 os 0 7,71 m P 0 0 H Q 1 E u triágulo isóseles, el ldo desigul mide 10 m y el águlo opuesto es de 40. Hll el perímetro y el áre del triágulo. L medid de los águlos igules es S triágulo os 70 h h 70 1,74 m 10 1,74 6, 7 m 14, 6 m os 70 El perímetro del triágulo es: P 14, ,4 m 40 H h lul l ltur trzd desde e d uo de los triágulos siguietes: ) ) 1 m 4 m ) h 1 4 1,04 m ) h 0, m 14 Hll, e d so, l proyeió de u segmeto de 0 m de logitud sore u ret r o l que form u águlo α: ) α 0 ) α 4 ) α proyeió r Podemos oteer l proyeió usdo el oo del águlo α. ) 0 o s 0 1, 79 m ) 0 o s 4 14, 14 m ) 0 o s 0 4, 7 m 7

28 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I 1 lul el áre de u prlelogrmo uyos ldos, de 9 m y 16 m, form u águlo de 6. h 9 6,16 m L superfiie es S 16,16 10,6 m 9 6 h El tejdo de u s tiee l form y ls medids que se idi e l figur. lul l disti. 0 1,7 m, m 0 4 m 4, m 60 Trzmos perpediulres del segmeto que p por los tres vérties superiores. Ess rets divide l segmeto e 4 prtes. Ls logitudes de estos segmetos, de izquierd dereh so: 4 m ,7 m, m 0 D E 4, m L logitud totl es: + 1,47 +,9 +,7 9,46 m 0 4 os 6 0 m 0 D 17, os 0 14, 7m DE, os 0, 9m E 4, os 0 7, m 17 Desde u puto P exterior u iruferei se trz ls tgetes que form etre sí u águlo de 40. Si l disti de P l etro de l iruferei es de 1 m, uál es su rdio? T 90 O 1 40 P T' El rdio OT es el teto opuesto l águlo de 0 40, luego OT 1 0,1 m. 1 E u triágulo, retágulo e 1 m Hll los ldos y los águlos del triágulo., se ooe u teto y l ltur sore l hipoteus: D 1 m ^ 1 0, ^ 7' 4'' 1 ^ 90 7' 4'' 6 ' 1'' 1 ^ m W 1 Por el teorem de Pitágors, 1 +0 m. D 90 1

29 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I 19 Ls ses de u trpeio isóseles mide 1 m y 6 m, y los ldos igules, 14 m. lul sus águlos y su áre. D 1 14 h 14 H m por ser isóseles. os ^ 4 0,7 ^ 14 H 6 ^ 7 ' 4'' omo los águlos iteriores de u udrilátero sum 60: ^ D^ 60 ( 7 ' 4'') 10 7 ' 4'' 106 6' 6'' Pr lulr l superfiie eesitmos l ltur: h 14 ^ 1,4 m S D ,4 9,4 m Pági 1 Resoluió de triágulos ulesquier 0 pli el teorem de los os pr resolver el triágulo e los siguietes sos: ) ^, ^ 40, 1 m ) ^ 0, m, ) ^ 1 m, ^ 4, 17 m d) ^ 10, 0 m, ) ^ ) ; 1 m 1 1, m ; 1 0 X ^ ) ^ ^ ' 1'' 9 7' 4'' 1 40 W 0 m 0 W 0 10 ( + 4) 10; 1 se 40 96, m 1 se 0 0,6 ^ 6 ' 1'', 17 se m W X 10 d) W W ^ 17 se 10 m W W 10 1 se 10 0 ^ '' ' , 9 m W X 10 ' 9''; ^ 9 4' 1'' 9

30 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I 1 pli el teorem del oo pr hllr el ldo del triágulo 7, m y 1, m. 1, m 4 7, m + os ^ 7, + 1, 7, 1, os 4 Hll los águlos del triágulo e el que 11 m, 11 m m m os ^ ^ 10 ( ^ + ^ 11 + os ^ os ^ os ^ ) ^ 11 17' 1'' Resuelve los siguietes triágulos: ) m, ) m, ) m, 17 m, ^ 40 7 m, ^ 6 14 m, 4 m ) os ,9 m , e el que ^ 4, 0,4 m m y m. ^ 1 4' 41'' ^ 4 7' '' ,9 1,9 os ^ ^ 9 6' '' ^ 10 ( ^ + ^ ) ^ 110 ' '' ) os 6 79,7 m ,7 79,7 os ^ ^ 40 1' '' ^ 10 (^ + ^ ) ^ 74 41' '' ) os ^ os ^ ^ ^ 0 10' 9'' 17 4' 6'' ^ 10 ( ^ + ^ ) ^ 1 0' '' 4 Resuelve los siguietes triágulos: ) 100 m, ^ 47, ^ 6 ) 17 m, ^ 70, ^ ) 70 m, m, ^ 7 d) 1 m, 00 m, ^ 10 e) m, 0 m, 40 m f ) 100 m, 1 m, g) 1 m, 9 m, ^ 10 h) 6 m, m, ^ 7 10 m ) ^ 10 (^ + ^) W W 100 se 47 77, m se 6 94, m

31 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I ) ^ 10 ( ^ + ^) se 70 16,4 m se 10,09 m 7 7 ) os 7 67, , 7, os ^ os ^ ^ 10 ( ^ 7, m + 7, 70 0,4 ^ 6 4' 49,4'' 7, + ^ ) 44 16' 10,6'' d) os os ^ ^ os ^ os ^ 10 ( ^ + ^) 7 ','' e) + os ^ os ^ os ^ ^ 1,6 m + 1, ,969 ^ 1' 4,4'' 1, ,71 ^ 7' 9,4'' ,66 ^ 4 0' '' ( ^ + ^) 9 1' 7,6'' f) os ^ g) h) os ^ ^ ,419 ^ 9' 4,4'' ,07 ^ 9 17' 46,7'' ( ^ + ^) 4 ',9'' W L soluió ^ ^ ^ 9 se 10 0,496 1 ^1 7 1' 46,'' ^ 1 ' 1,'' No válid o es válid, pues ^ + ^ > ( ^ + ^) ' 1,'' 1 10 X 1 X 7,4 m W L soluió ^ ^ 10 (^ ^ ^1 ^ 6 se 7 0,690 ',7'' 141 1' 4,'' No válid o es válid, pues ^ + ^ > ^ ) 4 1' 4,'' 7 W W 9, m 7 1

32 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I Pr resolver El rdr de u ro detet u ojeto o idetifido 40 m de profudidd y e u direió que form 1 o l horizotl. Qué disti tiee que reorrer u uzo pr llegr desde el ro hst el ojeto? 1 40 El uzo tiee que reorrer l disti , m 1 6 Dos deros retos se ruz formdo u águlo de 60. E uo de ellos, u kilómetro del rue, hy u fuete. uál es l disti más ort que hy desde l fuete l otro dero si vmos mpo trvés? 60 1 fuete L disti más ort se d e l perpediulr desde l fuete l otro mio. Podemos lulrl usdo el o del águlo opuesto l perpediulr. Disti ,66 km 7 U te de rdio está sujet l suelo o dos les que form o el suelo águlos de 6 y 4. Los putos de sujeió de los les está liedos o el pie de l te y dist etre sí 90 m. lul l ltur de l te. h 4 6 x H 90 x Llmemos x l segmeto H. Etoes, el segmeto H será 90 x. _ 4 h x ` x 4 (90 x) 6 1,11x x 0,7(90 x) 6 h 90 x 1,4x x 6,7 x 6, 7,71 1, 4 h,71 4,71 1,11 9,64 m

33 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I U fro de 0 m de ltur está olodo sore u promotorio. U ro ve el pedestl jo u águlo de 1 y el fro, jo u águlo de 40. lul l ltur del promotorio x h Llmmos h l ltur del promotorio y x l disti del ro l se del pedestl. _ 1 h x h 0 + h 0 1 ` h 4 (0 + h) 1 h 7, m h Dos ros sle simultáemete de u puto P o rumos de 6 y respeto l líe de ost. El primero llev u veloidd de 7, udos, y el otro, de 9 udos. uál será l disti etre ellos l o de u hor de vegió? Después de u hor, los ros h reorrido, respetivmete, 7, y 9 mills áutis. L disti que los sepr es l logitud del terer ldo del triágulo uyos vérties so los ros y el puto P. Est disti, d, se puede hllr o el teorem del oo. d 7, + 9 7, 9os 7 9,4 d 9, 4,4 mills áutis 6 P LÍNE DE OST 0 Pr hllr el áre de u prel irregulr, hemos tomdo ls medids idids e l figur. uál es su áre? L digol opuest l águlo de 70 divide l udrilátero e dos triágulos. Áre del triágulo izquierdo: Su ltur es h ,09 m Áre I Áre del triágulo dereho: 10 9, ,6 m 9 m 7 m m L lulremos usdo l fórmul de Heró y, pr ello, eesitmos l logitud, l, del terer ldo. l os l s ,76 m , , D 160, ( 160, 7 ) ( 160, 119 ) ( 160, 114, 76 ) 4701 m Áre D El áre del udrilátero es 4 696, ,6 m. 119 m 1 Dos fuerzs de 1 N y 0 N tú sore u puto formdo u águlo de 4. lul l itesidd de l resultte y el águlo que form o d u de ls fuerzs. Q^ Utilizdo el teorem del oo podemos hllr l logitud, l, de l resultte: l os ,7 l 197, 7 44, N hor usmos el teorem de los os: 1 44, 1 se 1 0, α 16 ' 19'' 1 44, β 4 16 ' 19'' 4' 41'' 4 P 1 β α 0 Q

34 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I Desde u puto P oservmos u vió que se er jo u águlo de 0. Quie segudos después, el águlo es de. Si el vió vuel 000 m de ltur, uál es su veloidd? Pr hllr l veloidd del vió eesitmos lulr l logitud del segmeto NM : PM Por otro ldo: PM N^ N 60 ( + 90) 1 hor usmos el teorem de los os: NM NM se 09, m 1 1 L veloidd del vió es 09, 06,7 m/s. P Desde l terrz de u edifiio de 10 m de ltur medimos los águlos 0 que se idi e l figur. lul l ltur del edifiio más jo y l hur de l lle. 10 m Repretmos l hur de l lle o l letr. Usdo el águlo omplemetrio de 0 teemos que: N M Q ,6 m L diferei, d, etre ls lturs de ls torres podemos oteerl medite el águlo de 0: 0 d 1, 6 d 1,6 0 7,67 m L ltur del edifiio más jo es 10 7,67 77, m. 4 Dos irufereis tes tiee rdios de 6 m y 10 m. Sus tgetes omues form u águlo de 40. lul l disti etre sus etros. 10 T T' 6 40 ' P Los triágulos PT y P'T' so triágulos retágulos o hipoteuss P y P ', respetivmete. 0 6 P' 6 17,4 m P' P 10 9,4 m P 0 ' 9,4 17,4 11,7 m E u iruferei de 1 m de rdio trzmos u uerd de 0 m de logitud. uál es el águlo orrespodiete es uerd? Los rdios trzdos desde los extremos de l uerd y est, form u triágulo isóseles. El águlo pedido es el opuesto l uerd (ldo desigul) y podemos hllrlo usdo el teorem del oo os α os α 11 os α os α α 11 ' 10'' 11 0,9 4

35 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I 6 lul el áre de u otógoo regulr isrito e u iruferei de 10 m de rdio. El otógoo está formdo por triágulos isóseles omo el del diujo. El águlo desigul de d uo de ellos es de h 10 os, 9,4 m Por otro ldo, l logitud de l mitd de l se del triágulo es: 10,, m Luego el áre del triágulo es:, 9, 4,9 m El áre del otógoo es vees el áre del triágulo, es deir,,9,1 m. 4 h 10 7 lul el áre de u hexágoo regulr irusrito u iruferei de 1 m de rdio. Este prolem se resuelve de form álog l terior. E este so, el triágulo formdo por los rdios de l iruferei y el ldo del hexágoo es equilátero, porque el águlo etrl mide 60. El ldo del hexágoo es igul l rdio de l iruferei irusrit. L ltur, h, (que oiide o l potem del hexágoo) se otiee sí: h 1 os 0 1 m S hexágoo 61 1 m De u trpeio retágulo ooemos el ldo oliuo, que mide 16 m, l digol meor, 1 m, y el águlo que est form o l se myor, 0. lul el áre y el perímetro del trpeio. Utilizdo el águlo omplemetrio de 0 teemos: ,71 m 1 os 40 D 1 D 1 os 40 9,19 m Por otro ldo, por el teorem de los os: 1 16 W 0 ^ D \ 10 (0 + ' '') 94 6' 7'' 1 0 0,74 ^ ' '' 16 D \ D D 0, 1m \ D 0 0 Pr termir: S D 0, , 1 9,19 11,0 m Perímetro 0,1 + 9,19 + 7, ,71 m D 9 E u retágulo D de ldos m y 1 m, se trz desde u perpediulr l digol, y desde D, otr perpediulr l mism digol. Se M y N los putos dode ess perpediulres ort l digol. Hll l logitud del segmeto MN. Los triágulos ND y M so igules, luego N M. omo MN N M, etoes MN M. Por tto, st o lulr e el triágulo y M e el triágulo M.

36 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I E : (por el teorem de Pitágors) 14,4 m lulmos ^ (e ): ^ E M : os ^ 1 1, ^ 6 1','' M M os (6 1','') 4,4 m Por último: MN M 14,4 4,4,6 m Pági El triágulo es retágulo e. Semos que el rdio de l iruferei mide m y D m. lul D y D. D m m El triágulo D es retágulo e D D. Por tto: 4 D 1 m,61 m os ^ ^ 64 0' '' 4 D \ 90 ^ 9' '' El triágulo D es tmié retágulo e D \ D D 9' '' 0, m D, y ooemos el águlo ^ y el teto D: 41 Pr ostruir u túel etre y eesitmos ser su logitud y direió. Pr ello, fijmos u puto y tommos ls medids idids e l figur. ^ ^ lul y los águlos ^ y ^. 7 0 m 0 m Usmos el teorem de los os: X ^ ^ 10 ( ' 1'') 1 40' 9'' plido de uevo el teorem de los os: 0 0 W 6,96 m 7 W 7 0 se 7 0, ^ 6 19' 1'' 0 6

37 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I 4 Desde u torre de vigili de m, oservmos dos ároles situdos e orills opuests de u río jo u águlo de 1. Los dos ároles está liedos o el pie de l torre y l disti de est l río es de 0 m. lul l hur del río. Llmmos ^ l águlo omplemetrio de ^. 0 ^ 6 6' 6'' ^ Por tto, respeto de l torre de vigili, se ve el árol uy se está e o u águlo de ' 6'' 7 6' 6''. (7 6' 6'') 0 + 7,17 m 4 E u etremieto de fútol se olo el ló e u puto situdo m y m de d uo de los postes de l porterí, uyo ho es de 7 m. jo qué águlo se ve l porterí desde ese puto? Si llmmos α l águlo pedido, por el teorem de oo teemos que: 7 + os α os α 0os α 40 os α 1 α 60 m 1 0 m 44 lul, e este prlelogrmo D, el áre, ls logitudes de los ldos y l logitud de l otr digol: D^ D D 1 se 0 14,67 m D X L ltur, h, del prlelogrmo es: h 1 0 6,16 m S D S 14,67 6,16 90,7 m Pr hllr l logitud de l otr digol lulmos primero D: D 1 D 1 se 0 6, m plimos el teorem del oo l triágulo D: D 6, + 14,67 6, 14,67os 70 19, 0 D 1,7 m 0 1 m D 4 E u udrilátero D ooemos ls medids de los ldos y de l digol ls medids del águlo ^ y de l digol. 4 m D. lul m 6 m, m, m D plimos el teorem del oo los triágulos D y D., + 6 6os D \ 4os D \ 9,7 D \ 66 1' 0'', os D \ 4os D \ 9,7 D \ 4 ' 6'' ^ 66 1' 0'' + 4 ' 6'' 100 7' 6'' hor plimos de uevo el teorem del oo l triágulo : + 4 4os (100 7' 6''),1 4,7 m 7

38 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I 46 Ls digoles de u prlelogrmo mide 6 m y 14 m y form u águlo de 7. Hll los ldos y los águlos del prlelogrmo. O 7 D omo ls digoles de u prlelogrmo se ort e el puto medio, los segmetos O y O mide, respetivmete, l mitd de l medid de ls orrespodietes digoles. plimos el teorem del oo: + 7 7os 7 47,1 D 6,7 m \ O os 10 6,7 D, m Pr lulr u águlo, por ejemplo el águlo ^, plimos el teorem de los os: 7 6, 7 O \ 7 se 7 0,94 \ O 79 4' '' O \ 7 6, 7 7, O 10 se \ O , 146, \ O 4 ' '' \ ^ D^ ^ ^ 79 4' '' + 4 ' '' 14 1' 10'' ' 10'' 4 ' 0'' 47 Dos ároles y D se euetr e l orill opuest de u río. Desde dos putos y, situdos e l orill dode os eotrmos, tommos ls siguietes medids: % % 100 m D 40 D % % lul l disti que sepr los dos ároles. D Pr lulr l disti D hllremos primero y D. De est mer otedremos el resultdo pliádole el teorem del oo l triágulo D. \ 10 ( + ) se 44,19 m 7 7 \ D 10 (40 + ) D D 100 se,7 m D 44,19 +,7 44,19,7os ,7 D 7,9 m

39 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I 4 Resuelve estos triágulos, teiedo e uet que puede que o exist soluió, que l soluió se úi o que exist dos soluioes: ) m; m; ^ ) 1,6 m; 6,4 m; ^ 14 4' ),6 m; 11 m; ^ 4' ) ) ) W 1, 6 6, 4 W ( 14 4') ^ se 1,17 No tiee soluió porque el o de u águlo siempre está ompredido etre 1 y 1. ^ El segudo resultdo o es válido porque ^ so, l soluió es úi. 1, 6 se (14 4') 0, 9 6, 4 + ^ ^ 10 ( ' 9'' ') 17' 1'' hor, o el teorem del oo: 1,6 + 6,4 1,6 6,4os ( 17' 1'') 9,, 6 11 ( 4') W ^ E este so, teemos dos soluioes posiles: Si ^ 40 ' 11'': 11 ( 4') 0, 6, 6 ^ 10 ( 4' + 40 ' 11'') 111 0' 49'',6 + 11,6 11os (111 0' 49'') 6 60 Si ^ 19 4' 49'' ^ 10 ( 4' ' 49'') 1 1' 11'',6 + 11,6 11os (1 1' 11'') 1, uestioes teóris 49 Si α m y α es u águlo otuso, expres e fuió de m : ^ ' 9'' ^ 16 1' 1'' serí myor que 10 y esto es imposile. E este 17,1 m ^ 40 ' 11'' ^ 19 4' 49'' 16,9 m 9,06 m ) os α ) α ) os (10 α) d) ( α) ) α + os α 1 m + os α 1 os α 1 m os α de u águlo otuso es egtivo. ) α os m 1 m ) os (10 α) os α 1 m 1 m y que el oo d) ( α) α m 1 m 0 Demuestr que e u triágulo, retágulo e ) + os ^ ^ ) omo es l hipoteus del retágulo, +. + m l os ^ + ^ ) ^ os ^ 0 ) ^ ^ 1 9, se verifi: ) ^ os ^ 0 ) ^ ^ 1

40 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I 1 Existe lgú vlor de α 0 que verifique α α? Justifílo. Si α 10 se umple l iguldd, y que el o y l tgete de 10 vle 0. Si α 0 y tmié α 10, etoes: α 0 y α α α os 1 os α os 1 ) Prue que e ulquier prlelogrmo de ldos y + d ( + ) y digoles y d, se verifi: pli el teorem del oo e dos triágulos que teg u vértie e el etro del prlelogrmo. Utilizmos el heho de que ls digoles de u prlelogrmo se ort e el puto medio y el teorem del oo. _ l d d + m os ` l + dm d os ( 10 ) d α Z ] d d + os 4 4 [ ] + d d ( os ) \ 4 4 Sumdo miemro miemro ms euioes, oteemos que + + d, de dode se otiee l relió + d ( + ). Demuestr que el áre de ulquier udrilátero es igul l mitd del produto de sus digoles por el o del águlo que form. Te e uet que: S D S O + S O + S OD + S OD O D h O α h' Desompoemos el áre del udrilátero omo l sum de ls áres de los triágulos y D. mos tiee e omú l se. h O α h' OD α S D S + S D h + h ' O + O D s e 1 ( O + OD ) D 1 40

41 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I 4 Demuestr que e u triágulo ulquier se verifi l siguiete iguldd: R W W X ' R es el rdio de l iruferei irusrit l triágulo. Trz el diámetro de l iruferei desde uo de los vérties. pli el teorem de los os e los triágulos y '. Ls dos primers igulddes form el euido del teorem de los os. Por otr prte, los águlos ^ y ' ^ so igules porque r el mismo ro. Por tto, pli- ^ do el teorem de los os l triágulo ' (y que ^ 90 porque r u ro de 10): ' R R W W' X 1 Pági 17 Pr profudizr Pr medir l ltur de u te, uyo pie es iesile, os situmos e u puto P l oeste de l te y l oservmos jo u águlo de 60. mimos uos metros hi el sur y desde Q el águlo de oservió es de 0. Hll l ltur de l te. Expres P y Q e fuió de h. 0 h Q 60 h P Q h h 0 P h h 60 plimos hor el teorem de Pitágors l triágulo PQ: h h e h o + ( ) + 6 h h 6 h 1,1 m P m Q 60 0 h 6 Uo de los ldos de u triágulo mide el dole que otro, y el águlo ompredido etre ellos mide 60. Hll los otros águlos. x + ( x ) x x os 6 0 x + 4 x 4x x 1 x x x x x 60 X ^ x x / 1 ^ 0 ^ 10 (60 + 0) 90 x 60 7 E u triágulo de ldos 10 m, l logitud de l medi que prte de. 14 m y Usmos el teorem del oo pr hllr el oo del águlo ^ os ^ 196os ^ 14 os ^ 7 m, hll m M 14 m 10 m plimos hor el teorem del oo l triágulo M teiedo e uet que defiiió de medi. M 7 por l M os ^ , M,,0 m

42 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I De u triágulo ooemos los tres ldos, logitud de l isetriz del águlo ^. lulmos primero el águlo α: os ^ W α 0 0 '6'' lulmos el águlo ^: 14 m, 16 m y os ^ 141 ^ 60 41' 1'' os ^ 44os ^ 71 ^ 4 ' 6'' hor, \ P 10 (0 0' 6'' + 4 ' 6'') 11 ' 4'' 16 P 16 X P 9,94 m \ P X \ P 9 m. Hll l % 9 E el udrilátero D semos que, D,, D 90 y % os D 1. lul D e fuió de P α 9 Por el teorem de Pitágors: D +( ) hor plimos el teorem del oo: D ( ) +( ) os \ D D 60 Hll el águlo que form l tgete ests irufereis o l ret que ue sus etros. Los rdios mide 4 m y 9 m, y l disti etre sus etros es de 16 m. O' α O D T O' 9 16 P T' 6 O Los triágulos OT'P y α α 9 OP ' 9 OP ' 6 OP 6 OP O'TP so triágulos retágulos. 16 OO ' OP ' + PO α 1 α 1 α 69 ' 9'' Hll el águlo α que form dos rs otigus de u tetredro regulr de rist. omo d r es u triágulo equilátero de ldo, l logitud de los segmetos diujdos es (ltur del triágulo equilátero de ldo ). plimos el teorem del oo: e o + e o os os os 1 os '44'' α 4

43 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I 6 P Queremos lulr l disti desde y u puto iesile P. % Pr ello, fijmos u puto de modo que P 90 y tommos ls medids idids e l figur. lul P y P. 40 m 0 m 00 m lulmos los águlos \ y \ os \ 0000os \ \ ' 1'' os \ os \ \ 11 1' 14'' \ P ' 14'' 64 ' 46'' P P\ 90 ' 1'' 1 7' 4'' P^ 10 (64 ' 46'' + 1 7' 4'') 6 ' '' hor plimos el teorem de los os pr lulr ls distis: P 0 P 0, 7 m P \ P W P 0 P 4, 1 m P \ P W 6 Demuestr que l isetriz de u águlo de u triágulo divide l ldo opuesto l águlo e segmetos proporioles los otros ldos. Dees pror que P. pli el teorem de los os e los triágulos P y P. P _ P P W P P W W W ` P ^ P ^ P P W P P X X W Por otro ldo: P X W Sustituyedo ^ ^ ^ e l primer relió, se otiee: P ^ P ^ P P P P utoevluió Pági 17 1 E u triágulo isóseles los ldos igules mide 7 m y los águlos igules. Hll l ltur y el ldo desigul. Si repretmos o l letr h l ltur sore el ldo desigul, : 7 h h 7, m os / 7 14 os,6 m 4

44 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I E u triágulo, retágulo e, ooemos el teto 10 m y l ltur reltiv l hipoteus, h 6 m. Hll los ldos y los águlos desooidos ^ 6 ^ 6 ' 1'' 10 ^ 90 6 ' 1'' 7' 4'' ^ 6 7, m D 7, +10 1, m Expres trvés de ls rzoes trigoométris de u águlo del primer udrte, ls rzoes trigoométris de los siguietes águlos: 14, 07, 1, (10 14) 6 os 14 os (10 + 7) 7 os 07 os (60 4) 4 os 1 os ( ) 96 (60 64) 64 os 46 os Si α 4 y α > 90, lul si hllr el águlo α: ) os α ) α ) (10 + α) d) os (90 + α) e) (10 α) f ) (90 + α) ) os α 1 α os α 1 16 os ) α 4 / 4 / ) (10 + α) α d) os (90 + α) α e) (10 α) α 4 f) (90 + α) os α 4 4 os α 9 os α ± os α Si α,, hll α o yud de l luldor, expréslo omo u águlo del itervlo [0, 10) y oté su o y su oo. α 10 6' 4'' α 0,961 os α 0,747 44

45 Uidd 4. Resoluió de triágulos HILLERTO Mtemátis I 6 Desde u puto del suelo medimos el águlo jo el que se ve u edifiio y oteemos 40. Nos lejmos 0 m y el águlo es hor de. lul l ltur del edifiio y l disti desde l que se hizo l primer oservió. h x 40 4 h ( x + 0 ) h 1,9 40 4,4 m x t g 40 ( x + 0 ) 0 x 1, 9 m 40 7 Resuelve el triágulo y hll su áre e estos sos: ) 19 m, ) 1 m, m, ^ 4 11 m, ^ 0 ) o el teorem del oo, hllmos : os 4 610,9 19 m m 4,7 m x h Del mismo modo, hllmos ^: ,7 19 4,7 os ^ os ^ 0,14 ^ 97 9' ^ 10 ( ^ + ^) 4 1' ) Hllmos ^ o el teorem de los os: 0 1 m 11 m 1 11 W W W 0 ^ 0,61 Hy dos soluioes: ^1 4 9' 9'' ^ ' 1'' ^ 17 0' 1'' ^ 1 9' 9'' , 04 m ' 1'' , 4 m '9 '' Los ldos de u prlelogrmo mide 1 m y m y form u águlo de. Hll l logitud de l digol myor. m d 1 m α 10 1 lulmos d plido el teorem del oo: d os 1 07,4 d 4,6 m es l medid de l digol. 9 De est figur, semos que D D, ^ 60, D % 4 y D m. lul. D \ 10 (60 + 4) 7 D D se , m m D \ D ,4 + 4,4 4,4 4,4os 1 6,, m 4