DIPLOMA EN ECONOMÍA PARA NO ECONOMISTAS

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1 UNIVERSIDAD DE LA REPÚBLICA FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES - DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA DIPLOMA EN ECONOMÍA PARA NO ECONOMISTAS CURSO: MATEMÁTICA APLICADA A LA ECONOMÍA NOTAS DEL CURSO Y APLICACIONES PRÁCTICAS CURSO 2017 OPERACIONES CON NÚMEROS

2 2. CONJUNTOS NUMÉRICOS. OPERACIONES CON NÚMEROS 2.1. Cojutos uméricos Vmos supoer que usted y cooce los úmeros, ls opercioes que puede relizrse co ellos y sus propieddes más importtes. Si esto o es cierto, lgus de ls dificultdes que se le hbrá de presetr, usted podrá resolverls co l yud de u clculdor de bolsillo o co u computdor persol. Pero lguos problems quedrá si resolver, y otros resultrá demsido complicdos si se descooce los métodos pr simplificrlos. Este es el objeto -resolver o simplificr lguos problems- de l presete secció. Empecemos co los úmeros turles (otció: N). Estos so los úmeros más fmilires pr culquier perso y los primeros e surgir e ls distits civilizcioes, pues está socidos ls tres de cotr. Ellos so: 0, 1, 2, 3, 4, 5,... Los putos suspesivos idic que se trt de u cojuto ifiito. Pr u turl ddo (t grde como se quier), siempre es posible ecotrr u turl más grde. Si embrgo, etre dos turles o siempre es posible ecotrr otro turl (etre el 4 y el 5 o hy igú turl). El resultdo de sumr o multiplicr dos turles es siempre otro úmero turl. Pero l rest de turles o l divisió o tiee, siempre, u resultdo turl. Por ejemplo, 3 5 = -2, que o es u úmero turl, y 3:5 = 3/5 = 0,6, que tmpoco es u úmero turl. Otro tto ocurre co l rdicció: 3 4 2, 125 5, pero o tiee u resultdo excto expresble e úmeros turles (i siquier e úmeros decimles). Ests limitcioes coduce l mplició de los cojutos de úmeros. 3 Pero volviedo los úmeros turles y sus opercioes, es ecesrio fijr lgus regls. Si se tiee l expresió: x 3 4 es ecesrio estblecer e qué orde debe efecturse ls opercioes, porque segú cuál se el orde, el resultdo será diferete. Supogmos que el criterio fuese relizr ls opercioes e el orde e que prece e l expresió. Etoces l primer operció relizr serí = 5. L segud, l multiplicció de este resultdo por 3: 5 x 3 = 15. Y l tercer, cosistirí e elevr este resultdo l curt poteci: 154 = 15 x 15 x 15 x 15 = Si embrgo, sbemos que este es u resultdo equivocdo, porque e Mtemátic ls opercioes o se reliz e el orde e que prece, sio siguiedo us regls de prioridd. E este setido, ls regls estblece que: - E primer lugr, debe relizrse ls opercioes de potecició y rdicció (mbs tiee l mism prioridd). - E segudo lugr, ls opercioes de multiplicció y de divisió (mbs tiee l mism prioridd). - E tercer lugr, ls opercioes de sum y rest (mbs tiee l mism prioridd). 2

3 E cosecueci, siguiedo co el ejemplo terior, l primer operció relizr serí 3 4 = 81. L expresió result hor sí: x 81 Ls regls de prioridd estblece que cotiució se debe relizr l multiplicció, obteiédose: 2 x 81 = 162. L últim de ls opercioes es l sum, = 165, resultdo fil de l expresió origil. Pr relizr ls opercioes combids hemos plicdo, etre otrs, l regl que dice que los sigos + y - sepr térmios. Obsérvese que est regl estblece que primero debe efecturse ls otrs opercioes, y filmete ls de sum y rest. Este es u cso prticulr de ls regls de prioridd que eucimos más rrib. Y si e relidd ls opercioes que querímos relizr e l expresió del ejemplo er ls del orde de prició? E este cso hbrí que cmbir el orde de prioridd. El istrumeto pr hcerlo es el prétesis. [(3 + 2) x 3] 4 Los prétesis permite cmbir ls regls de prioridd itroduciedo ls siguietes regls dicioles. - E primer lugr, debe efecturse ls opercioes idicds detro del prétesis curvo. - E segudo lugr, debe efecturse ls opercioes idicds detro del prétesis recto. - E tercer lugr, debe efecturse ls opercioes idicds detro de ls llves (luego veremos u ejemplo). - Al iterior de cd prétesis y fuer de ellos se sigue plicdo ls regls de prioridd tes eucids. E l últim expresió, el prétesis curvo idic que l primer operció efectur es (3+2). El prétesis recto, que l segud operció cosiste e multiplicr por 3 el resultdo de (3+2), (3+2)x3=15, y filmete clculr 15 4 = Otro ejemplo: 2x{3 : [(5-2)x4]}= 2x{3 : [3x4]}= 2x{3 :12}= 2x{0,25}= 0,50. Algus computdors y clculdors de bolsillo o recooce los prétesis rectos o ls llves, y trbj combido los prétesis curvos. E el mismo ejemplo terior, ls opercioes efectur se idicrí sí: 2x(3:((5-2)x4)) L regl de prioridd e este cso es que se debe efectur ls opercioes coteids e los prétesis e el orde de detro hci fuer. E el ejemplo, primero se clcul (5-2), l resultdo se lo multiplic por 4, etc. Debe teerse etoces sumo cuiddo l hor de utilizr l clculdor y recordr digitr los prétesis que correspod. Otr form de lterr ls regls de prioridd cosiste e exteder los sigos de divisió o de rdicció, como cotiució se explic. Si queremos efectur l operció 6:3, est tmbié puede escribirse 6/3 o. Si l operció efectur es 6:(3+2), est tmbié puede expresrse como 6/(3+2) o E cosecueci, l ry lrg de divisió oper de l mism form que u prétesis, idicdo que tiee primer prioridd l sum (3+2), y que luego debe efecturse l divisió. 6 3 Otro tto ocurre co l rdicció. 4 5 idic que primero debe relizrse l sum, y luego l ríz cudrd. E cmbio, e l expresió 4 + 5, primero debe efecturse l ríz cudrd y luego l sum. 3

4 Debe quedr clro, etoces, que el respeto de ls regls teriores es básico pr rribr resultdos correctos. E uo de los ejemplos teriores itrodujimos los úmeros 0,25 y 0,50 que o so úmeros turles. Vemos por qué se hce ecesrio itroducir uevs ctegorís de úmeros. E primer lugr, como se vio teriormete, l rest de dos úmeros turles o siempre d como resultdo u úmero turl. Por ejemplo, 3-5 o es turl y, e cosecueci, si se quiere geerlizr l rest, es ecesrio defiir u cojuto de úmeros que icluy, etre otros, el resultdo de 3-5. Tl cojuto es el de los úmeros eteros. Ellos so los turles compñdos de u sigo de más o de meos :...,-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,... Los úmeros eteros se represet co l letr Z y form u cojuto ifiito, y pr horrr esfuerzo, los úmeros positivos se escribe si el sigo +. Este qued sobreetedido. E los hechos, los eteros positivos so úmeros turles. Etoces los úmeros turles puede cosiderrse u subcojuto de los eteros: N Z. E qué se difereci los eteros de los turles? Etre los eteros siempre es posible relizr l sustrcció, es decir, l rest de dos eteros es u úmero etero. Como cosecueci de ello, pr cd etero, siempre existe u etero opuesto. El opuesto de +3 es -3, el opuesto de -8 es +8, etc. Formlicemos est propiedd juto co otrs de iterés geerl. Propieddes de l sum de eteros 1. Comuttiv: pr todo pr de eteros y b, se cumple que + b = b Asocitiv: pr todo, b y c eteros se cumple que + (b + c) = ( + b) + c. 3. Existeci de eutro: el cero es el úico etero que, sumdo co otro, d por resultdo ese otro. + 0 = etero. 4. Existeci de opuesto: Z, (-) tl que + (-) = 0. Además, el opuesto es úico. Observció E el cojuto de los turles o se cumple l propiedd del opuesto. Propieddes álogs ls tres primers puede plterse pr l operció multiplicció (o producto) e los eteros. Serí itereste que usted itetr escribirls. Cuál serí el eutro pr l multiplicció? Existe u propiedd que combi ls dos opercioes de sum y multiplicció: Distributiv: si, b y c so eteros, etoces.(b + c) =.b +.c L propiedd idic que hy dos forms de relizr l operció combid: e u de ells primero se sum (b+c) y l resultdo se lo multiplic por ; e l otr, primero se multiplic co b y co c, y luego mbos resultdos se sum. 4

5 Notció: Como se hbrá observdo e los ejemplos teriores, l operció multiplicció o producto puede simbolizrse co los sigos x o. idistitmete. Ls expresioes 4x3 y 4.3 idic que el úmero 4 se multiplic por 3. Cudo se trbj co vribles o icógits, como se hrá más delte, se prefiere l segud otció pr o cofudir el símbolo x co l vrible o icógit x. Hemos firmdo teriormete que pr l operció multiplicció podí plterse propieddes álogs ls de l operció sum, e prticulr propieddes comuttiv, socitiv y de existeci de eutro. E lugr de l curt propiedd de l sum (existeci de opuesto), pr l operció multiplicció teemos l siguiete propiedd: Existeci de iverso. Z {0}, (1/) tl que x (1/) = 1. Además, el iverso es úico. Observció No se cumple que pr todo etero exist iverso etero. E geerl, ddo u etero, o existe otro etero tl que x = 1 (dode 1 es el eutro del producto). Por ejemplo, el iverso de (-3) serí (-1/3) porque (-3) x (-1/3) = 1. Pero (-1/3) o es u úmero etero. Est limitció de los eteros se levt co l itroducció de los úmeros rcioles (tmbié coocidos como frccioes ), simbolizdos co l letr Q. Por defiició los úmeros rcioles so cocietes de l form /b, dode y b so eteros y b 0. Los úmeros eteros so u subcojuto de los rcioles (Z Q). Por qué? Ates de presetr ls propieddes fudmetles del cojuto de los úmeros rcioles, coviee repsr u regl básic e el cálculo de opercioes co frccioes, como es el cálculo del míimo comú deomidor. Este es útil pr sumr frccioes de distito deomidor. Se deomi míimo comú deomidor de dos o más frccioes quel úmero resultdo de clculr el míimo comú múltiplo (meor úmero turl múltiplo) de los deomidores de dichs frccioes, geerlmete co el objetivo de obteer dos o más frccioes co igul deomidor y equivletes ls frccioes iiciles. Ejemplo: el míimo comú deomidor de 1/3 y 3/5 es 15 pues el míimo comú múltiplo de 3 y de 5 es 15. El míimo comú múltiplo será etoces el deomidor de ls uevs frccioes equivletes. El uevo umerdor se clcul sí: Deomidor comú Atiguo umerdor * Atiguo deomidor Nuevo umerdor El cojuto de los úmeros rcioles (Q) es u cojuto co ifiitos elemetos, pero co u propiedd que o tiee los turles i los eteros: etre dos rcioles diferetes, siempre hy otro rciol. Probemos est firmció, coocid co el ombre de desidd. 5

6 Se y b dos rcioles diferetes; se < b. Si es egtivo y b positivo, etoces etre mbos está el rciol cero. Probemos que etre dos rcioles positivos siempre hy otro rciol (l prueb es similr si mbos so egtivos). Se los rcioles positivos p/q y r/s (co p/q < r/s). Probremos que (p+r)/(q+s) es otro rciol que está etre quellos dos. (p+r)/(q+s) es u rciol porque (p+r) es u etero y (q+s) tmbié lo es, y demás es (q+s) 0 (porque mbos so positivos). Se trt de u cociete de eteros que, por defiició, es u úmero rciol. (p+r)/(q+s) < r/s, si se cumple que (p+r).s < (q+s).r, o tmbié, plicdo l propiedd distributiv: p.s + r.s < q.r + s.r Por l propiedd comuttiv del producto result r.s = s.r. Si restmos mbos miembros de l desiguldd l ctidd r.s, etoces l desiguldd se mtiee. Result: p.s < q.r, que es equivlete de p/q < r/s, que es l hipótesis de prtid. L cde de silogismos vle tmbié e el setido cotrrio, y co ello qued demostrdo que si p/q < r/s, etoces (p+r)/(q+s) < r/s. L prueb se complet demostrdo e form álog que p/q < (p+r)/(q+s). Cudo u cojuto umérico tiee l propiedd que etre dos elemetos del cojuto siempre hy otro, se dice que el cojuto es deso. Como el cojuto Q es deso, prece rzoble que podmos estblecer u correspodeci (u fució) etre los elemetos de Q y los putos de u rect. Sobre u rect dmos u orige (el puto 0) y u uidd de medid (el segmeto OA tiee medid 1 ). Los úmeros crece de izquierd derech. Culquier úmero de Q tiee u correspodiete puto sobre l rect. Pr ubicr el correspodiete de 2/3 se procede como sigue: se divide el segmeto OA e tres prtes igules, y luego se tom el doble de u de ess prtes. El segmeto resultte se mide prtir de O e el setido de l flech, y el segudo extremo idic el puto correspodiete 2/3. Pr ubicr el correspodiete del úmero -4/3 e l rect, se divide OA e tres prtes igules y luego se tom u segmeto cutro veces más grde que el tercio hlldo. El segmeto resultte se mide prtir de O e el setido hci l izquierd. El primer extremo del segmeto determi el puto correspodiete -4/3. Cbe pregutrse si tmbié se cumple el recíproco: todo puto sobre l rect le correspode u úmero rciol? L respuest es egtiv. Como ejemplo, puede tomrse el resultdo de l rdicció, u de ls opercioes iverss de l potecició porque porque

7 25 y so úmeros rcioles. Pero 27 Probremos esto último rzodo por el bsurdo: si 2 o tiee respuest e el cojuto de los rcioles. 2 fuer rciol, etoces se podrí escribir como cociete de dos eteros: 2 b, dode y b so eteros si fctores comues (frcció reducid). Por defiició, result 2 b 2. Se deduce etoces: 2b 2 2. Como el fctor 2 prece l izquierd e l iguldd, 2 tmbié debe coteer el fctor 2. Etoces el úmero puede escribirse de l form Etoces: c 4c. Etoces: 2b 4c 2 2, o lo que es lo mismo, b 2c 2 2 2c. Co el mismo rzomieto, b cotiee el fctor 2, lo cul es bsurdo porque y b er dos eteros si fctores comues. Coclusió: o es u úmero rciol. Lo mismo ocurre co muchos otros resultdos de l rdicció, y tmbié co los de l otr operció ivers de l potecició, l logritmció. 2 Puede probrse que, demás de los eteros, los úmeros co u úmero fiito de cifrs decimles (tl como 3,4063) y quellos co ifiits cifrs decimles, pero co térmios periódicos (tl como 2, ) so úmeros rcioles. Pero quellos co ifiits cifrs decimles, pero o periódics, o so rcioles; es decir, o puede expresrse como /b, co, b Z, b 0. Si se quiere ubicr el puto sobre l rect correspodiete 2, lcz co costruir u cudrdo de ldo 1. Por Pitágors, ls digoles del cudrdo mide 2. Tomdo l digol del cudrdo, co orige e O, el segudo extremo de l digol proyectd sobre l rect idic el puto correspodiete 2.. Todos los putos sobre l rect que o se correspode co u úmero rciol, se deomi irrcioles. Se defie el cojuto de los úmeros reles (R) como l uió de Q co el cojuto de los irrcioles. Observcioes ) El cojuto de los úmeros reles complet l rect. A cd úmero de R le correspode u puto sobre l rect y vicevers. L relció etre R y los putos de l rect es u fució biyectiv. b) El cojuto R es ifiito y deso. c) Todos los resultdos de l rdicció so úmeros reles? L respuest es egtiv (por ejemplo 1 o es u úmero rel) y este es el orige de u uev ctegorí de úmeros, los úmeros complejos, que osotros o estudiremos e este curso. Los úmeros reles so, de los que hemos presetdo, el cojuto más mplio e el que se puede defiir ls opercioes ritmétics sum, rest, multiplicció y divisió si restriccioes (excepto l divisió etre cero), pero tmbié l potecició co lgus restriccioes y tmbié sus opercioes iverss: rdicció y logritmció. Dedicremos ests últims ots presetr ests opercioes y sus priciples propieddes. 7

8 2.2. Potecició Defiició 1. Pr R, N, se defie (se lee elevdo l ) de l siguiete mer:.... producto de fctores, se deomi l bse de l poteci y el expoete. Observcioes ) 0 0 o está defiido, o es u úmero. b) Si o es turl, l defiició de es u poco más complicd y o os ocupremos de ell. Digmos que podemos resolver los problems que se os presete usdo l fució x y que tiee tods ls clculdors cietífics. Así, pr clculr 1,05 3,5 se procede de l siguiete mer: - se itroduce e l clculdor el úmero 1,05 - se priet l tecl x y o ^ - se itroduce 3,5 - se priet l tecl = - se obtiee 1, Algus clculdors exige que e el primer pso se itroduzc 3,5 y e el tercer pso el úmero 1,05. Algus máquis tiee u visor más pequeño (co meos dígitos) y l respuest podrí ser 1, E mbos csos se trt de proximcioes de u úmero rel, cuy expresió deciml cotiee ifiits cifrs. Como veremos más delte 1,05 3,5 puede iterpretrse como el moto que geer u cpitl de $1 colocdo iterés compuesto, l ts del 5% ul durte 3,5 ños. Propieddes de l potecició Se:, b úmeros reles; y m úmeros turles; y b 0. m m 1). (producto de potecis de igul bse) m 2) (cociete de potecis de igul bse) m. b. b (producto de potecis de igul expoete) 3) 4) b b. 5) (cociete de potecis de igul expoete) m m (poteci de poteci) Ejemplo: utilizr ls propieddes teriores pr simplificr

9 Aplicció práctic de l potecició U cpitl de $ se coloc l 3% efectivo mesul de iterés compuesto. Se pide clculr los itereses cumuldos luego de: ) 5 meses; b) 5 meses y 18 dís. L fórmul del moto geerdo por u cpitl (C) colocdo iterés compuesto l ts i durte t períodos es: M C.1 i L fórmul es válid siempre que l ts de iterés y el período de l colocció se mid e l mism uidd de tiempo (por ejemplo, e meses). L fórmul pr clculr el iterés es: I M C Ahor es posible resolver los dos problems tes pltedos. ) Iterés geerdo e 5 meses: M C = (1+0,03) = $1.592,74. b) E 5 meses y 18 dís: M C = (1+0,03) 5+(18/30) = $1.800,18. t 2.3. Rdicció Defiició 2. b b recibe el ombre de rdicl y el de rdicdo. Ejemplo: porque L form más fácil de resolver los problems de rdicció, cosiste e trsformrlos e problems de potecició, doptdo l siguiete defiició complemetri: 1 y utilizdo l clculdor co ls tecls x y o x 1/y. Cudo se tiee vrios rdicles, result útiles los siguietes resultdos. 9

10 Propieddes de l rdicció 1). b. b 2) b b 3) m m. m. m. 4) m L expresió está defiid e el cojuto de los úmeros reles si: _ es impr y es u rel culquier, o _ es pr y es u rel o egtivo. Que l expresió esté defiid sigific que puede clculrse exctmete o co u proximció deciml (ls más de ls veces) por ejemplo, co l yud de u clculdor. Que l expresió o esté defiid pr u rdicdo egtivo y u ídice pr sigific que se trt de u operció o permitid detro del cojuto de los úmeros reles Logritmció Defiició 3. log x x b b Pr que l expresió del logritmo teg setido (pr que se u úmero rel), se requiere tres codicioes, sber: x > 0, b > 0 y b 1 De l defiició se deduce que l logritmció es u de ls opercioes iverss de l potecició: se cooce l bse de l poteci (b) y el resultdo de l poteci (x), y l icógit es el expoete () l cul debe elevrse l bse pr obteer quel resultdo (x). De l propi defiició se deduce que: 1) logb b 1 2) logb 1 0 3) log.log b b Co u poco de trbjo diciol se puede demostrr ls siguietes propieddes: 4) log log c log. c 5) log log c log c 6) log b b b b logc log b c b b b Dos de ls bses más comúmete utilizds so b=10 (logritmo deciml; otció: log) y b=e (logritmo eperio o turl; otció: l o L). Observr que mbos se ecuetr e l clculdor. 10

11 Aplicció práctic de l logritmció E el problem de l colocció ficier teímos u cpitl de $ colocdo l 3% de iterés efectivo mesul. Nos pregutmos hor por cuáto tiempo deberá permecer colocdo el cpitl pr geerr $ de iterés. Solució: geerr $ de iterés es lo mismo que geerr u moto de $ El plteo qued etoces sí: ,03 t dode l icógit ecotrr es t, el tiempo que debe permecer colocdo el cpitl pr geerr $2.000 de iterés. Operdo e l ecució result: t Psdo logritmos: t 1,03 1, 2 log 1,03 log 1,2 y utilizdo u de ls propieddes de logritmos se obtiee: t. log 1,03 log 1,2 log 1,2 t 6,168 log 1,03 Ecotrmos que el cpitl debe colocrse por proximdmete 6 meses y 5 dís (6,168 meses) pr geerr $ de iterés Expresioes decimles y otció cietífic Ls clculdors cietífics, slvo excepcioes, o devuelve los resultdos de ls opercioes e form frcciori, sio que lo hce co otció deciml. Los siguietes so lguos ejemplos: 1 3 0, , log 2 0,3013 l 2 0, Pr provechr mejor el espcio del visor, l clculdor utiliz, cudo lo ecesit, l otció cietífic co potecis de 10. Ejemplos: 0, ,

12 Ejemplos de opercioes prohibids e el cojuto de úmeros reles co 0, N log1 log 3 log Orige de los úmeros e y π π es el úmero de veces que etr el diámetro de u circufereci e l propi circufereci (precismete el perímetro de u circufereci se clcul sí: diámetro x π). Est relció es costte pr tod circufereci. Los tiguos griegos creí que dich costte er igul l cociete 223/71 (que es u excelete proximció). Result que π es u úmero rel, o rciol. Se dice que π es u úmero trscedete, lo que sigific que dicho úmero o puede ser ríz de igu ecució poliómic de coeficietes eteros. Además de sus evidetes pliccioes e geometrí, este úmero se utiliz tmbié e Probbilidd y Estdístic. El úmero e (e hoor del mtemático Euler 1 ) es otro rel trscedete. Se lo utiliz como bse de los logritmos turles o eperios. Puede obteerse u proximció de dicho úmero tomdo lguos térmios de l sum ifiit: ! 2! 3! 4! o tomdo grde e l expresió 1 1. Por ejemplo: e (1+0,01) 100 2,7048. U mejor proximció del úmero e es 2, U de ls pliccioes de este úmero es e Fizs, pr clculr itereses cudo l cpitlizció de los mismos es isttáe, sí como tmbié se lo plic e Ecoomí, Probbilidd y Estdístic Cots y extremos de u cojuto de úmeros Los cojutos de úmeros puede ser fiitos o ifiitos. N, Z, Q, y R so ejemplos de cojutos ifiitos. E virtud de l desidd de los rcioles y de los reles, sbemos que etre dos rcioles hy tmbié ifiitos rcioles y lo mismo sucede pr los reles. Se dice que u cojuto es ifiito umerble si sus elemetos se puede hcer correspoder biuívocmete co el cojuto de los turles. Auque prezc u prdoj, el cojuto de los úmeros turles pres (P) se puede poer e correspodeci biuívoc co N; e cosecueci, P es u cojuto ifiito umerble. 1 Leohrd Euler ( ) fue u mtemático suizo que demás ivestigó e el cmpo de l físic, l químic, l metfísic y l stroomí. 12

13 No es fácil, pero se puede demostrr que Q es u cojuto ifiito umerble. E cmbio, R es u cojuto ifiito o umerble (tmpoco es fácil l demostrció), y tmbié es u cojuto ifiito o umerble culquier itervlo de úmeros reles. Cuáles so los cojutos de úmeros más usules e Mtemátic? L respuest es: el cojuto N, el cojuto R y ciertos subcojutos de R que se defie cotiució. Itervlo cerrdo de extremos y b: [, b] = {x x R, x b} Itervlo bierto de extremos y b: (, b) = {x x R, < x < b} Itervlo semibierto por izquierd: (, b] = {x x R, < x b} Itervlo semibierto por derech: [, b) = {x x R, x < b} Semi-rect de los putos l derech de K, co K icluido = {x x R, x K} Semi-rect de los putos l izquierd de H, co H icluido = {x x R, x H} Etoro de cetro y rdio r : E,r = {x x R, r < x < + r} Etoro reducido de cetro y rdio r : E*,r = {x x R, r < x < + r, x } Defiició 4. Se dice que u cojuto A de úmeros está cotdo si se cumple l vez ls dos codicioes siguietes: ) u úmero K tl que x K x A b) u úmero H tl que x H x A Se dice que el cojuto A está cotdo superiormete si se cumple l codició ). Se dice que el cojuto A está cotdo iferiormete si se cumple l codició b). Se dice que K es u cot superior del cojuto A, y que H es u cot iferior del cojuto A. 13

14 Observcioes 1. Si el cojuto A es fiito, etoces está cotdo. Alcz co order los elemetos de A de meor myor, y etoces el meor es u cot iferior mietrs que el myor vlor de A es u cot superior. 2. Si K es u cot superior del cojuto A, etoces todo úmero myor que K tmbié es cot superior de A. Si H es u cot iferior del cojuto A, etoces todo úmero meor que H tmbié lo es. 3. Si el cojuto A es ifiito, etoces puede o o estr cotdo. Ejemplos: - N está cotdo iferiormete. 0 es u cot iferior. Si embrgo, o es posible ecotrr u úmero K tl que K N. Etoces, N o está cotdo superiormete. - El cojuto Z o está cotdo i iferior i superiormete. - [, b] es u cojuto cotdo. Por ejemplo, b y (b+1) so cots superiores, mietrs que y (-3) so cots iferiores. - E,r es u cojuto cotdo. (-r) y (+r) so u cot iferior y otr superior, respectivmete. Si u cojuto A dmite cots superiores, l meor de ls cots superiores se llm supremo del cojuto A. Si el supremo, demás, perteece l cojuto A, etoces el supremo se llm máximo o extremo superior del cojuto A. Aálogmete, si el cojuto A dmite cots iferiores, l myor de ls cots iferiores se llm ífimo del cojuto A, y si el ífimo perteece l cojuto A, etoces se deomi míimo o extremo iferior del cojuto A. Ejercicio E l Edd Medi u señor cuet sus gllis. Si cuet de 2 e 2 le sobr u, si cuet de 3 e 3 le sobr u, si cuet de 4 e 4 le sobr u y si cuet de 5 e 5 le sobr u. El objetivo es hllr cuáts gllis tiee l señor. Pr ello, emplee este procedimieto e dos psos: ) Determie el cojuto de solucioes posibles del problem. b) Determie el míimo de dicho cojuto Los símbolos sumtori y productori Los elemetos de u cojuto, veces, se puede escribir medite u fórmul, lo que permite simplificr otblemete l otció. Por ejemplo, el cojuto de los úmeros turles pres puede simbolizrse por 2. dode N. Aálogmete, l expresió simboliz u úmero turl impr culquier, y 2 represet los úmeros turles que so cudrdos perfectos. E muchs pliccioes es ecesrio relizr opercioes tles como l sum o el producto de úmeros que tiee l mism form porque perteece cojutos cuyos elemetos está relciodos medite u fórmul geerl. E estos csos, l sum de dichos úmeros (sumtori) puede escribirse utilizdo l letr grieg sigm myúscul (Σ). L expresió: 8 i1 Formul i idic que se debe sumr ocho sumdos, los cules result de sustituir el ídice i e l Fórmul(i) por los úmeros turles 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Etoces: 14

15 8 i1 2. i i1 i i1 2. i Cómo puede escribirse l sum ( ) medite el símbolo sumtori? Es ecesrio explicitr l Fórmul(i) y determir el recorrido del ídice i. Pr ecotrr l fórmul, puede observrse que se trt de sumdos impres, que v sltdo de 4 e 4. Etoces, u fórmul propid es (4.i + 1) co i = 4, 5, 6, 7, 8, 9 y i 1 Obsérvese que (4.i 3) tmbié sirve como fórmul pr resolver el problem. E tl cso, qué vlores deberí tomr el ídice i? 10 i4 Se el cojuto A co úmeros, cd uo de los cules se simboliz co xi. A x1, x2, x3,, x L sum de todos los elemetos de A es: i1 x i xi y el promedio de los elemetos de A es: x1 x2 x3 x i1 15

16 Supogmos hor que los elemetos del cojuto se puede dispoer e u cudro de doble etrd (cudro de fils y colums), disposició que se cooce co el ombre de mtriz. Est mtriz tiee m fils (F 1, F 2,,F m ) y colums (C 1, C 2,, C ). L sum de los elemetos de l primer fil es. L sum de los elemetos de l tercer colum es. Pr fcilitr l i x 1 1i m i x 1 i3 otció e este cso result coveiete utilizr ídices distitos pr fils y colums. Etoces, l sum de los elemetos de l primer fil se puede expresr tmbié sí:. j x 1 1 j Si se trt hor de sumr todos los elemetos de l mtriz, etoces se puede utilizr u doble sumtori. Sum de todos los elemetos de l mtriz: m i1 j1 x ij Propieddes de l sumtori 1) Costte multiplictiv: 2) Sumtori de l sum: K. x K. x i x y x y i i i i x x 3) Iterversió del símbolo: ij ji i j j i i Si e lugr de sumr los elemetos x i se trt de multiplicrlos, etoces se utiliz l expresió productori medite l letr grieg Π (pi myúscul): x1. x2. x3.. x xi i1 16

17 Por ejemplo, pr represetr el producto de 1x2x3x4x.x25 medite el símbolo de productori, se tiee: i Se recuerd que pr este producto prticulr el producto de u úmero turl por todos los meores que él hst llegr l uo (o tmbié fctoril del úmero) existe u otció ú más simple usdo el sigo fil de exclmció: i ! Notció de los úmeros e distits civilizcioes 17