El concepto de elemento y de conjuntos se puede entender por intuición

Transcripción

1 GENERALIDADES 1.- CONJUNTOS Y ELEMENTOS El coceto de elemeto y de cojutos se uede eteder or ituició Ejemlos: Cojuto: el lfbeto, u colecció de sellos, u bibliotec Elemetos: cd letr, cd sello, cd libro Los cojutos siemre que se osible se escribe co letrs myúsculs, A, B, C mietrs que los elemetos se escribe e miúsculs. Normlmete, los elemetos de u cojuto viee ddos etre llves. Hy diferetes exresioes r defiir u cojuto. Ests so us de ells. Por extesió: Si escribimos todos los elemetos de u cojuto. Por ejemlo, ls crs de u ddo A={1,,3,4,5,6}. Por comresió: Este modo de exresió se utiliz cudo u roiedd uede exresr todos los elemetos del cojuto. Ejemlos: Q= x= / Z y q Z, q B= { x/ x r} = {,4,6,8... }. Mer de leer estos cojutos: el cojuto es igul l elemeto x etre q dode y q erteece l cojuto. B es igul l cojuto de los elemetos x, dode x es u úmero r..- LENGUAJE MATEMÁTICO Cudo se hbl sobre el leguje mtemático, se suele hblr sobre dos cocetos diferetes: Por u ldo sobre l simbologí mtemátic que se utiliz y or otro ldo sobre l form de resetr y estructurr los coteidos mtemáticos. L simbologí mtemátic está relet de crcteres gráficos que se llm logogrms (Pimm 1990). Estos sigos se uede cosiderr lbrs del leguje. Se debe coocer r sber iterretr lo que se quiere decir co ellos y r teer l ccidd de sber qué se quiere decir co ellos. E este rtdo se exlicrá el sigificdo de los riciles logogrms..1.- Pr todo " Este logogrm,, se lee r todo. Colocdo delte de u elemeto de u cojuto, idic que l roiedd que sigue se verific r todo (o r culquier elemeto) del cojuto. x = / N x es u úmero r.

2 Orokortsuk Mer de leer est codició: Pr todo x igul, siedo u úmero turl, etoces x es u úmero r...- Existe $ El logogrm se lee existe. Colocdo delte de u elemeto de u cojuto idic que l roiedd que sigue se cumle or lo meos r u elemeto del cojuto. Ejemlo: Siedo Z el cojuto de úmero eteros, x Z / 4x 16= 0. Mer de leer: Siedo Z el cojuto de úmero eteros, existe u úmero etero x (or lo meos), el cul cumle l codició de l ecució 4x 16= 0 Csos rticulres de este logogrm:!: E este cso este logogrm sigific que existe u úico y se utiliz r exresr que l codició que sigue se cumle r u úico elemeto. Ejemlo:! : + 5 =. Mer de leer. Existe u úico úmero turl, dode cumle l codició de + 5=. : E este cso este logogrm se lee como o existe. Se utiliz r señlr que e ese cojuto o hy elemeto que cuml l codició que sigue l logogrm. Ejemlo: x : x + 1= 0. Modo de leer: No existe igú úmero rel tl que se solució de l ecució x + 1= Tl que:, o /. Se utiliz r señlr el lugr dode se cumle u roiedd. Se uede exresr como :, o / y se lee tl que o dode. El sigo que más utilizremos será /. Ejemlo: x / Px ( ). Modo de leer: Existe u vlor x tl que cumle l roiedd Px ( ).4.- Por tto î El logogrm se lee como imlic, etoces o or lo tto. Es u imlicció. Se utiliz r señlr que cudo u codició es verdd, l codició que le sigue tmbié lo es. A B. Si A es verddero etoces B tmbié es verddero. Si A es flso, o odemos decir d sobre B. Si l codició o se cumle lo reresetremos medite. Por lo tto, e este cso uede que o A o B se cierto o o. L form correct e egtivo de l codició A B serí o B o A. Est codició y A B so equivletes. Ejemlos: x= 5 x = 5. Modos de leer: Si x = 5 etoces, x = 5. Que x = 5 imlic que x = 5. Si embrgo, x = 5 x = 5 ( x tmbié uede vler -5). Si

3 Título del rtdo ricil quisiérmos oer est codició e modo egtivo serí de l siguiete mer: x 5 x Si y sólo si ï Este logogrm se lee como si y sólo si, tmbié se suele ver exresdo como sii. Se utiliz r decir que ls codicioes escrits mbos ldos so equivletes, que e relidd quiere decir lo mismo. A B. Si A es cierto, etoces B tmbié es cierto y l revés. Si B es cierto, etoces A tmbié es cierto. Pr leer est codició e form egtiv, será de l siguiete mer: Si A o es cierto, etoces B o es cierto y l revés. Ejemlo x = / x es r. Modo de leer: x =, siedo u úmero turl si y sólo si x es u úmero r. Se uede leer tmbié e el otro setido. x es r si y sólo si x se uede exresr como x =, siedo u úmero turl..6.- Y Ÿ Este logogrm se lee como y. Sirve r uir dos codicioes. Se tedrá que cumlir ls dos codicioes l vez r que l codició se ciert. Es u cojució lógic. A B es cierto si A y B so cierts. Ejemlo: 3 r =. Modo de leer: 3 y es r, si y sólo si es igul dos. E este cso, es el úico úmero que cumle ls dos codicioes l vez..7.- O Este logogrm se lee como o. Sirve r idicr que bst co que u de ls codicioes se ciert r que es codició eter lo se. Es u cojució lógic. A B es cierto, si A es cierto o B es cierto. Tmbié uede ser ls dos codicioes l vez cierts. Ejemlo: 3 r ( ) = 1,,3, 4,6,8, Perteece Œ Este logogrm se lee como e, está e, es elemeto de, es miembro de, erteece. Sirve r idicr que u elemeto está detro de u cojuto. Si rece como, se estrá idicdo que ese elemeto o erteece l cojuto que le sigue. Ejemlo:. Modos de leer: Dos erteece (úmeros turles). El úmero dos está e los úmeros turles. El úmero dos es elemeto de los úmeros turles. 1. Modos de leer: U medio o erteece l cojuto de los úmero turles. U medio o es u úmero turl. 3

4 Orokortsuk.9.- Subcojutos à Este logogrm se lee como es subcojuto de. Se utiliz r exresr l relció que hy etre dos cojutos. Hy csos eseciles de este logogrm: A B: A es subcojuto de B. El cojuto A es subcojuto de B, ero o tiee or qué ser igules. A B A B: A es subcojuto de B, ero uede que e lgú cso se igules. A B: A es subcojuto de B, ero A y B uc será igules, y est codició se quiere dejr clr. A B: A o es subcojuto de B. B A.10.- Uió «Este logogrm se lee como uió. Si se tiee A B se cre u uevo cojuto e el que está los elemetos de A y los elemetos de B. El uevo cojuto de uió será el siguiete: A B = { x/ x A x B} Gráficmete: B A Si exresmos los elemetos de los cojutos: { 1,,3, 4,5} { 3, 4,5, 7,9} A = A B = B = { 1,,3, 4,5,7,9} 4

5 Título del rtdo ricil.11.- Itersecció» Este logogrm se lee como itersecció de. Si se tiee A B se cre u uevo cojuto e el que estrá los elemetos que tiee e comú el cojuto A y el cojuto B. Se lee como A itersecció B. El uevo cojuto de itersecció será el siguiete: A B { x/ x A x B} =. B A B A El cojuto A B, será l rte que está e gris más oscuro. Si exresmos los elemetos de los cojutos: { 1,,3, 4,5} { 3, 4,5, 7,9} A = A B = B = { 3, 4,5} Cso rticulr: Si los cojutos A y B o tiee elemetos e comú, se exresrá como A B =. ( se llm cojuto vcío). Exresdo gráficmete qued de l siguiete mer: A B.1.- Sumtorio S Este logogrm,, se llm sumtorio. Se utiliz r sumr el vlor exresdo de mer geerl, tts veces como se idique medite los ídices. El vlor que rece e l rte iferior del sumtorio idic rtir de qué vlor se emiez sumr y el de l rte suerior hst qué vlor hy que sumr. i = El rimer vlor es cudo 1 i= 1 e uo hst llegr l último vlor, es decir, hst que i i = y se emiez sumr de uo =. Ejemlo: 5 3 i = i= 1 5

6 Orokortsuk.13.- Producto Este logogrm,, se llm roducto. Es equivlete l sumtorio ero e vez de sumr los térmios hy que hcer el roducto etre ellos. i = 1. Modo de leer: Producto de 1 i= 1 i = i = del vlor i. Ejemlo: 3 i= 1 i = 149 Todos los logogrms que se h visto, está resumidos e l siguiete tbl: Logogrm Sigificdo Pr todo Existe :, / o Dode, tl que Imlic (or tto), sii Si y sólo si Y O Perteece Prte Uió Itersecció Sumtorio Producto 3.- CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS Los úmeros se uede distribuir e cojutos diferetes, deediedo de su turlez. Los cojutos de úmeros más imorttes so los que viee cotiució: Números rimos P So los úmeros eteros y ositivos, que sólo so divisibles or sí mismo y or l uidd. Estos úmeros se deot medite l letr P. P = {,3,5,7,11,13,17,... } 6

7 Título del rtdo ricil 3..- Números turles N Los úmeros turles, so los úmeros eteros y ositivos. Estos úmeros se deot medite l letr N. N = { x/ x úmero etero y ositivo} = { 1,,3, 4,5, 6,... } Los úmeros eteros sirve r cotr, etre otrs coss. Se ve clrmete que el resultdo de l sum o el roducto de dos úmeros turles es otro úmero turl. Pero est roiedd e geerl o es ciert co l rest y l divisió. De mometo teemos que P Números eteros Z Los úmeros eteros, so los úmeros turles, el cero y los úmeros turles cmbidos de sigo. Se deot medite l letr Z. Z = {,...,, 1,0,1,,... } Se ve clrmete que teemos P N Z. Not: E este cso, hy que teer e cuet, que el resultdo de l sum, rest o roducto de dos úmeros eteros, es otro úmero etero. Si embrgo, e geerl, l divisió de dos úmeros eteros o tiee or qué ser otro úmero etero Números rcioles Q U úmero rciol es quel que se exres como cociete de dos úmeros eteros. Se deot co l letr Q. Q= x= /, b Z b Se ve clrmete que culquier úmero etero, e relidd tmbié es u úmero 5 4 rciol, y que se uede escribir como él mismo etre uo. Ejemlo: 5 = o 4= 1 1 Por todo esto, teemos que P N Z Q. Not: el resultdo de sumr, restr, multilicr o dividir (exceto or cero) dos úmeros rcioles es otro úmero rciol. Ejemlos: 0, /3, -5, 1/78, 19, -5/4 so todos úmeros rcioles. 7

8 Orokortsuk Números irrcioles I Los úmeros irrcioles so los úmeros reles que o so rcioles. Es decir, so los úmeros reles que o se uede exresr medite el cociete de dos úmeros eteros. Estos úmeros se deot medite l letr I. L itersecció etre este cojuto y los defiidos teriormete, es el cojuto vcío (o hbrá igú elemeto). Ejemlos:, π = , e = So úmeros irrcioles Números reles R E el cojuto de úmeros reles se ecuetr todos los cojutos que se h defiido hst hor. Es decir, e este cojuto está los úmeros rimos, turles, eteros, rcioles e irrcioles. Por u ldo teemos que P N Z Q y or otro ldo I. Los úmeros reles se uede order de meor myor y situr e u rect que llmremos rect rel. Est roiedd, uque rezc muy simle, es u roiedd muy imortte de los úmero reles Itervlos de los úmeros reles Itervlo bierto: ( b, ) = { x / < x< b} ( ) b Itervlo cerrdo: [ b, ] = { x / x b} [ ] b Itervlo semibierto: [ b, ) = { x / x< b} [ ) b 8

9 Título del rtdo ricil Semirrect que emiez del uto : [, + ) = { x / x } De est mer, se uede crer más tios de itervlos Oercioes co úmeros reles: otecis y rdicles. Potecis: = k k = = k k+ k ( ) ( ) k k k k b = b Rdicles: k k ( ) = = [ b = b = b b k k = k Números comlejos C Si se cosider l ecució x + 1= 0 e el cojuto de los úmeros reles, est ecució o tiee solució. Pr que todo oliomio teg tts solucioes como el grdo del oliomio (cotdo ls multiliciddes) se cre los úmeros llmdos comlejos y se deot medite l letr C. Estos úmeros tiee l siguiete form: z = + bi /, b dode 1 = i. Est clro que todos los cojutos de úmeros defiidos teriormete erteece l cojuto de los úmeros eteros (bst que b = 0 ). Por tto, e geerl se cumle lo siguiete: P N Z Q y I. 9

10 Orokortsuk Sum de úmeros comlejos. L sum de dos úmeros comlejos se hce de l siguiete mer: ( ) ( ) ( ) ( ) z = z + z = + bi + + b i = + + b + b i Digrm de relció de los cojutos de úmeros. R Q Z I N P C L rte que está e u too gris, so todos úmeros reles. El cojuto etero so todos los úmeros comlejos. E l rte si colorer está los úmeros comlejos o reles (e los que b 0). 4.- DICCIONARIO L resetció del coteido de Mtemátics se reliz medite lbrs como Defiició, Teorem, Lem L lbr que usemos esecificrá qué tio de coteido es el que viee cotiució. Además, culquier eucido o firmció mtemátic viee cotiució de u de ess lbrs, credo u clro orde de coteidos. Axiom: Cd uo de los riciios fudmetles e idemostrbles sobre los que se costruye u teorí. Fórmuls que so stisfechs or culquier estructur y or culquier fució vrible, e térmios coloquiles, éstos so eucidos que so verdderos e culquier uiverso osible, bjo culquier iterretció osible y co culquier sigció de vlores. Corolrio: Proosició que o ecesit rueb rticulr, sio que se deduce fácilmete de lo demostrdo tes. Defiició: Proosició que exoe co clridd y exctitud los crcteres geéricos y difereciles de lgo mteril o imteril. Demostrció: Prueb de lgo, rtiedo de verddes uiversles y evidetes. Comrobció, or hechos ciertos o exerimetos reetidos, de u riciio o de u teorí. 10

11 Título del rtdo ricil Lem: Proosició que es reciso demostrr tes de estblecer u teorem. Proiedd: Atributo o culidd esecil de lguie o lgo. Proosició: Eucició de u verdd demostrd o que se trt de demostrr. Teorem: Proosició demostrble lógicmete rtiedo de xioms o de otros teorems y demostrdos, medite regls de ifereci cetds. Proosició or medio de l cul, rtiedo de u suuesto (hiótesis), se firm u verdd (tesis) que o es evidete or sí mism. 5.- ALFABETO GRIEGO E Mtemátics, muchs veces se utiliz letrs del lfbeto griego r defiir rámetros o icógits. E el siguiete cudro se reset el lfbeto griego y l form de leer cd u de ls letrs del lfbeto. α Alf ν Nu β Bet ξ Xi γ Gmm ο Ómicro δ Delt π Pi ε Ésilo ρ Ro ζ Zet σ Sigm η Et τ Tu θ Thet υ Ysilo ι Iot ϕ Fi κ K χ Ji λ Lmbd ψ Psi μ Mu ω Omeg 11