Cálculo para la ingeniería. Salvador Vera

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1 Cálculo pr l igeierí Slvdor Ver 8 de julio de 3

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3 Ídice geerl 4 Itegrl defiid y Cálculo de primitivs 5 4 L estimció de u áre Sums de Riem 5 4 Sigificdo geométrico de l itegrl 5 4 Cálculo de ites utilizdo el cocepto de itegrl 43 Propieddes de l itegrl defiid 5 4 El teorem fudmetl del Cálculo 7 4 Regl de Brrow: L itegrl como u primitiv 43 Itegrció imedit 4 43 Propieddes de l itegrl idefiid 5 43 Tbl de itegrles imedits 6 44 Itegrció medite cmbio de vrible 7 45 Itegrció por prtes 3 46 Itegrció de fucioes rcioles Itegrció de frccioes elemetles Itegrció de frccioes rcioles co yud del desrrollo e frccioes simples Itegrció de expresioes trigoométrics Itegrció de potecis de fucioes trigoométrics Itegrció de fucioes rcioles del se y del cos 4 3

4 4 ÍNDICE GENERAL 48 Itegrció de fucioes irrcioles Rdicles semejtes L sustitució trigoométric 44

5 Cpítulo 4 Itegrl defiid y Cálculo de primitivs Slvdor Ver Bllesteros wwwstdumes/mtp/sver 4 L estimció de u áre Sums de Riem 4 Sigificdo geométrico de l itegrl Co l itegrl defiid se pretede clculr el áre de u regió del plo limitd por u curv E prticulr: Si l fució f es positiv sobre el itervlo cerrdo [, b ] L itegrl defiid de l fució f sobre dicho itervlo represet el áre de l regió limitd por l curv, el eje OX y ls perpediculres por los putos y b y y f(x) b x Figur 4: b f(x) áre bjo l curv 5

6 6 CAPÍTULO 4 INTEGRAL DEFINIDA Y CÁLCULO DE PRIMITIVAS Si l fució f es egtiv sobre el itervlo cerrdo [, b ] L itegrl defiid de l fució f sobre dicho itervlo represet el áre de l regió limitd por l curv, el eje OX, y ls perpediculres por los putos y b, pero co sigo egtivo y b x Figur 4: y f(x) b f(x) áre sobre l curv 3 Si l fució tom vlores positivos y egtivos sobre el itervlo cerrdo [, b ] Etoces, l itegrl defiid de l fució f sobre dicho itervlo represet l sum de ls áres de ls regioes compredids etre l fució, el eje de ls x, y ls perpediculres por y b, pero sigádole cd u de ells el sigo + o segú que esté por ecim o por debjo del eje x Por lo que e tl cso l itegrl o os d u medid del áre y Figur 43: y f(x) b b Cálculo de itegrles medite áres f(x) áre - áre + áre 3 x Lo orml será clculr áres prtir del cocepto de itegrl No obstte, e ocsioes, el sigificdo gráfico de l itegrl os permitirá clculr lgus itegrles medite áres Ejemplo 4 Hllr gráficmete l siguiete itegrl: 4 (x ) Solució Represetmos l fució y x y hllmos ls áres correspodietes

7 4 LA ESTIMACIÓN DE UN ÁREA SUMAS DE RIEMANN 7 y 4 Figur 44: x A A L itegrl vedrá defiid como l sum ritmétic de ls áres correspodietes, sigdo sigo egtivo ls situds por debjo del eje horizotl y positivo ls situds por ecim Es decir: 4 (x ) A + A + 3 Ejemplo 4 Hllr gráficmete x Solució Represetmos l fució y 5 x y hllmos ls áres correspodietes Pr ello elimimos l ríz cudrd y 5 x ( y > ) y 5 x x + y 5 Luego se trt de l semicircufereci superior de rdio 5 y cetro el orige de coordeds y A π r x 5 5 5π L itegrl vedrá defiid como el áre del semicírculo Es decir: 5 Figur 45: 5 x 5π 5 Ejemplo 43 Clculr gráficmete π se x Solució Represetmos l fució y se x y hllmos ls áres correspodietes Al ser l fució simétric respecto del eje horizotl result ls áres igules y por tto se compes, ddo u itegrl ul E efecto y x Figur 46: π se x A A El método exhustivo o de lledo pr el cálculo de áres Este método er utilizdo por los griegos pr el cálculo de áres pls y cosiste e lo siguiete: Pr clculr el áre de u regió pl irregulr se sigue el siguiete proceso:

8 8 CAPÍTULO 4 INTEGRAL DEFINIDA Y CÁLCULO DE PRIMITIVAS () Pr el cálculo proximdo del áre Se relle l regió lo más posible de polígoos (triágulos, cudriláteros, rectágulos, trpecios, etc) y luego se tom como vlor proximdo del áre de l regió l sum de ls áres de todos estos polígoos A A + A + A 3 + A 4 + A 5 (b) Pr el cálculo excto del áre se sigue el siguiete proceso: Se ide u procedimieto de divisió e polígoos que vy proximdo de mer sucesiv l áre totl buscd Por pso l ite se lle l figur y se clcul el áre exct Por ejemplo, supogmos que queremos clculr el áre del círculo coociedo l logitud de l circufereci Pr ello idemos el siguiete procedimieto: Dividimos el círculo e triágulos isósceles igules, co vértice comú e el cetro del círculo El proceso de lledo se obtiee umetdo el úmero de triágulos El áre del circulo será proximdmete l sum de ls áres de los triágulos El áre de cd triágulo es T bh dode b es l bse y h l ltur Por pso l ite obteemos el áre totl del círculo (l ltur del triágulo se trsform e el rdio del círculo y l sum de ls bses e l logitud de l circufereci T 3 T T 4 T T 5 T 8 T 6 T 7 C T + T + + T 8 C bh + bh + + bh h( b + b + + b ) R πr πr L dificultd de este procedimieto está e ider, e cd cso, el proceso de lledo, y priciplmete e sber dr el pso l ite Sums de Riem Riem utilizó el método exhustivo, pero utilizdo siempre rectágulos El proceso de lledo cosiste e estrechr l máximo los rectágulos Se divide l regió e rectágulos E l práctic dichos rectágulos será horizotles o verticles Si embrgo, pr el pltemieto teórico supodremos que dichos rectágulos so verticles Los rectágulos o tiee por qué teer l mism chur L ltur del rectágulo puede ser culquier vlor compredido etre el vlor míimo y el máximo de l fució e cd uo de los subitervlos De est mer el áre de l regió se puede proximr, cuto quermos,

9 4 LA ESTIMACIÓN DE UN ÁREA SUMAS DE RIEMANN 9 medite l sum de ls áres de los rectágulos y x x x 3 b x Figur 47: Áre bjo l curv sum de ls áres de los rectágulos Teiedo e cuet que el áre de u rectágulo se obtiee multiplicdo l bse por l ltur, teemos ls siguietes sums, segú tomemos los rectágulos de ltur míim, itermedi o máxim x x x 3 b x x x 3 b b x x x 3 b m (x ) + m (x x ) + m 3 (x 3 x ) + m 4 (b x 3 ) f(x )(x ) + f(x )(x x ) + f(x 3)(x 3 x ) + f(x 4)(b x 3 ) b f(x) M (x ) + M (x x ) + M 3 (x 3 x ) + M 4 (b x 3 ) A l sum de ls áres de los rectágulos se les llm sums de Riem A l primer de ells se le llm sum iferior y l últim sum superior E geerl, poiedo x i x i x i, result: b f(x) f(x ) x + f(x ) x + + f(x ) x L itegrl como el ite de u sum L itegrl puede iterpretrse como el ite de l sum de ls áres de los ifiitos rectágulos ifiitesimles Es decir, b f(x) que podemos expresr como: ( ) f(x ) x + f(x x i ) x + + f(x ) x x i b f(x) x i f(x i ) x i i f(x i ) x i i

10 CAPÍTULO 4 INTEGRAL DEFINIDA Y CÁLCULO DE PRIMITIVAS 4 Cálculo de ites utilizdo el cocepto de itegrl Si utilizmos u prtició regulr (todos los rectágulos co l mism bse), l itegrl etre [, ] de u fució cotiu se puede expresr de l siguiete form: y y f(x) 3 Figur 48: x ( f(x) f( ) + f( ) + + f( ) ) ( f( ) + f( ) + + f( )) f( k ) k Y viedo l iguldd de derech izquierd, teemos: ( f( ) + f( ) + + f( )) f( k ) f(x) k lo que os permite clculr el ite de lgus sums prtir del cocepto de itegrl Ejemplo 44 Clculr el siguiete ite: ( ) Solució Scmos fctor comú / y el resto lo expresmos e fució de k/ ( ) ( + + Ejemplo 45 Clculr el siguiete ite: ) ) ( ) + k/ ( k ) + ( / ( ) + + / ( ) ( + + k ) + x l x +

11 4 LA ESTIMACIÓN DE UN ÁREA SUMAS DE RIEMANN Solució Scmos fctor comú / y el resto lo expresmos e fució de k/ ( + + ) ( ) ( ) + ( + ) + ( ) + ( ) + ( [ ] k ) + x rct x π 4 k Ejemplo 46 Clculr el siguiete ite: ( ( + ) + ( + ) + + ( + ) Solució Scmos fctor comú / y el resto lo expresmos e fució de k/ ( ) ( + ) + ( + ) + + ( + ) ( ) ( + ) + ( + ) + + ( + ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) [ ] + k + x ( + x) + x + k Ejemplo 47 Clculr el siguiete ite: ( Solució Scmos fctor comú / y el resto lo expresmos e fució de k/ ( ) ( ) + ( ) + [ ] + k + x l + x l k ) )

12 CAPÍTULO 4 INTEGRAL DEFINIDA Y CÁLCULO DE PRIMITIVAS Ejemplo 48 Clculr el siguiete ite: e + e + + e Solució Scmos fctor comú / y el resto lo expresmos e fució de k/ e + e + + e ( e / + e / + + e /) e k/ k [ ] e x e x e Ejemplo 49 Clculr el siguiete ite: 8 Solució Scmos fctor comú / y el resto lo expresmos e fució de k/ Tégse e cuet que l ser k el ídice del sumtorio, tods ls demás vribles so costtes y se puede itroducir e el sumtori, icluid l propi k k 7 8 k 7 k k 7 k ( ) 7 k x 7 [ x 8 8 ] 8 Ejemplo 4 Clculr el siguiete ite: ( Solució Scmos fctor comú / y el resto lo expresmos e fució de k/ Tégse e cuet que l flt de u rectágulo ifiitesiml o fect l resultdo ( ) ( ) ( Itervlo de itegrció distito del [, ] ) ) k [ x x k ] E el cálculo de ites medite itegrles, el itervlo de itegrció puede ser culquier E efecto, si utilizmos u prtició regulr, l itegrl etre [, b ] de u fució cotiu se puede expresr de l siguiete form:

13 4 LA ESTIMACIÓN DE UN ÁREA SUMAS DE RIEMANN 3 y y f(x) x x x b Figur 49: Al dividir el itervlo [, b ] e prtes igules, l bse de cd uo de los rectágulos ifiitesimles será: x b, y por lo tto ls coordeds de los putos x, x, será: x + b, x + b + (b ), x k + k b + k (b ) Y tomdo f(x i ) como ltur de los rectágulos, result: b ( f(x) f(x ) b + f(x ) b b b ( f(x ) + f(x ) + + f(x ) k f(x k ) b Y viedo l iguldd de derech izquierd, teemos: b f ( + k ) (b ) k + + f(x ) b ) ) f ( + k (b )) k b f(x) Si b es u úmero etero, etoces podemos dividir el itervlo [, b ] e (b ) prtes igules, co lo cul l bse de los rectágulos ifiitesimles resulttes serí x b (b ) Co lo cul x k + k Y result: (b ) f k ( + k ) b f(x) L clve pr determir los ites de itegrció [, b ], está e coocer el primer y el último vlor de f(x), es decir, f() y f(b) Más que l fórmul, debe buscrse el proceso de itegrció, utilizdo u gráfico uxilir Us veces hbrá que pesr que sólo l uidd se h dividido e prtes y otrs que todo el itervlo de itegrció se h dividido e ls prtes Ejemplo 4 Clculr ( π se π + se π ) ( )π + + se Solució Podemos supoer que el itervlo [, π ] lo hemos dividido e prtes igules L bse de los rectágulos ifiitesimles será x π/, y los putos de l prtició x π/, x π/,, x π/ Flt u térmio, pero o fect l resultdo, y que se π se π

14 4 CAPÍTULO 4 INTEGRAL DEFINIDA Y CÁLCULO DE PRIMITIVAS de dode, ( π se π + se π π π π π π π 3π π ) ( )π + + se ( se π + se π + + se π ) π [ se x ] π cos x cos π + cos + Como regl práctic pr determir los ites de itegrció y el correspodiete icremeto de x puede utilizrse l siguiete: U vez determido el vlor de x kπ, teemos: x kπ Ejemplo 4 Clculr k x k x π b π k x π x π k ( ) kπ se Solució Igul que e el ejemplo terior, podemos supoer que el itervlo [, π ] lo hemos dividido e prtes igules L bse de los rectágulos ifiitesimles será x π/, y los putos de l prtició x π/, x π/,, x π/ π π π π π 3π π E cosecueci ecesitmos scr fctor comú el icremeto de x x π, de dode, k ( ) kπ se π π ( ) kπ se π π [ ] π cos x k se x π Ejemplo 43 Clculr el siguiete ite: ( ) kπ se k π ( cos π + cos ) π ( + ) π e + e + + e Solució Podemos supoer que el itervlo [, ] lo hemos dividido e prtes igules L bse de los rectágulos ifiitesimles será x /, y los putos de l prtició x /, x /,, x / 3

15 4 LA ESTIMACIÓN DE UN ÁREA SUMAS DE RIEMANN 5 E cosecueci, scmos fctor comú / y el resto lo expresmos e fució de k/ e + e + + e ( e / + e / + + e /) e k/ k [ ] e x e x e 43 Propieddes de l itegrl defiid ) Reltivs l itervlo de itegrció Si < b o tiee setido hblr del itervlo [ b, ] No obstte, se dmite por coveio que: Al itercmbir los ites de itegrció, l itegrl cmbi de sigo y + x b y b x f(x) f(x) b b Si los ites de itegrció coicide, l itegrl vle cero f(x) 3 L itegrl de u fució siempre está coteid etre dos vlores: El rectágulo míimo y el rectágulo máximo y M m x b m(b ) b f(x) M(b ) (4) 4 Culquier que se los úmeros, b y c, se cumple que: y x c b y b c b x f(x) f(x) + f(x) b c c siempre que l fució se itegrble sobre dichos itervlos Est propiedd se cumple uque el puto c o esté situdo etre y b + b c

16 6 CAPÍTULO 4 INTEGRAL DEFINIDA Y CÁLCULO DE PRIMITIVAS b) Reltivs l itegrdo L itegrl de l sum es l sum de ls itegrles b ( ) f(x) + g(x) b f(x) + b g(x) U fctor costte puede scrse fuer de l itegrl b rf(x) r b f(x) 3 L itegrl de u fució positiv, es positiv f(x), x [, b ] b f(x) 4 Si u fució es meor que otr, etoces su itegrl tmbié lo es f(x) g(x), x [, b ] b f(x) b g(x) Ejemplo 44 Sbiedo que hllr: 4 f(t) dt 4 f(t) dt 5 y f(t) dt Solució luego 4 f(t) dt f(t) dt f(t) dt + 4 f(t) dt 4 f(t) dt + f(t) dt f(t) dt 4 f(t) dt 5 Ejemplo 45 Sbiedo que: 4 ( ) ( ) 4 f(x) g(x), f(x) + g(x) 3 g(x) 5 4 Clculr g(x)

17 4 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 7 Solució 4 4 ( ) } 4 f(x) g(x) ( ) f(x) 4 g(x) f(x) + g(x) 3 f(x) + g(x) f(x) + 4 } g(x) f(x) + g(x) de dode, g(x) 4 g(x) g(x) 3 g(x) } } g(x) 3 Ejemplo 46 Estblecer u relció de desiguldd etre ls siguietes prejs de itegrles: x x 3 x x 3 Solució Si observmos ls gráfics de mbs fucioes e los dos itervlos de refereci, result: y x 3 x x x x x 3 x x x 3 x x 3 x x 3 4 El teorem fudmetl del Cálculo L fució itegrl o fució áre Dd u fució itegrble e u itervlo cerrdo [, b], se defie su fució itegrl sobre dicho itervlo como el áre bjo l curv desde el puto hst u puto vrible t [, b]

18 8 CAPÍTULO 4 INTEGRAL DEFINIDA Y CÁLCULO DE PRIMITIVAS y y f(x) F (t) x x t b Figur 4: F (t) t f(x) O bie, ddo que es más hbitul hblr de F (x) e lugr de F (t), bst co itercmbir los ppeles de mbs vribles y y f(x) F (x) x t x b Figur 4: F (x) x f(t) dt Teorem fudmetl del Cálculo Teorem 4 Si f es u fució cotiu e el itervlo cerrdo [, b], etoces su fució itegrl, F (x) x f(t) dt x b, es cotiu e [, b] y derivble e (, b), y su derivd F (x) f(x) } f cotiu e [, b] F (x) x F (x) f(x) f(t) dt Demostrció Aplicdo l defiició de derivd l fució F, result, F F (x + h) F (x) (x) h h x f(t) dt + x+h x h h x+h f(t) dt x f(t) dt h f(t) dt x f(t) dt h h x+h x f(t) dt h h f(x) h h f(x) E l demostrció se h teido e cuet que, pr h pequeño, x+h x f(t) dt f(x) h E efecto,

19 4 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 9 y y f(x) F (x) t x x + h Figur 4: x b h f(x) L itegrl x+h x f(t) dt represet el áre del rectágulo ifiitesiml de bse h y ltur f(x) De u mer más forml, teiedo e cuet l desiguldd (4), se puede estblecer de l siguiete form: m x h x+h de dode, tomdo ite, x f(t) dt M x h m x x+h x f(t) dt h M x m x h h x+h x f(t) dt h h M x de dode, f(x) h x+h x f(t) dt h f(x) h x+h x f(t) dt h f(x) Lecturs del teorem fudmetl del Cálculo Del Teorem fudmetl del Cálculo se puede despreder ls siguietes iterpretcioes: Si l fució f es cotiu sobre el itervlo cerrdo [, b], etoces su fució itegrl F (x) x f(t) dt, es u primitiv de f(x) Tod fució cotiu sobre u itervlo cerrdo, tiee u primitiv sobre dicho itervlo 3 L derivd de u itegrl, co ite superior vrible, respecto de dicho ite superior, coicide co el vlor del itegrdo e dicho ite superior d x f(t) dt f(x) 4 L derivd del áre coicide co el vlor de l fució e l froter:

20 CAPÍTULO 4 INTEGRAL DEFINIDA Y CÁLCULO DE PRIMITIVAS y F F (x) (x) x x b Círculo πr πr l (r) Esfer V 4 3 πr3 A 4πr A V (r) Figur 43: Derivd de itegrles Ejemplo 47 Hllr d dt t x + Solució Aplicdo directmete el teorem fudmetl result, d dt t x + t + Ejemplo 48 Hllr d dt 3 t se x Solució Pr poder plicr el teorem fudmetl, el ite vrible, respecto del que se deriv, h de ser el ite superior de l itegrl, e cosecueci hbrá que itercmbir los ites, d 3 se x d t dt dt se x se t t 3 Derivd de itegrles cudo el ite superior es u fució Cudo l vrible de itegrció o coicide co l vrible de derivció, plicmos el teorem de l derivd de l fució compuest d g(x) f(t) dt [ u g(x) du g (x) ] d u f(t) dt d ( u ) du f(t) dt du f(u) du f[g(x)] g (x) Ejemplo 49 Hllr Solució d t cos x dt d t cos x cos(t ) t t cos t 4 dt

21 4 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Derivd de itegrles cudo los dos ites so fucioes Aplicdo los resultdos teriores, result, ( d g(x) f(t) dt d ) g(x) f(t) dt + f(t) dt h(x) h(x) ( d h(x) ) g(x) f(t) dt + f(t) dt f[h(x)]h (x) + f[g(x)]g (x) f[g(x)]g (x) f[h(x)]h (x) Es decir, g(x) h(x) f(t) dt f[g(x)]g (x) f[h(x)]h (x) (4) Ejemplo 4 Hllr d x 3 l t dt x Solució Aplicdo l fórmul (4) result, d x 3 x Ejemplo 4 Hllr l t dt l x 3 3x l x x 9x l x 4x l x ( 9x 4x ) l x d x /x cos t dt x > Solució Aplicdo l fórmul (4) result, d x /x cos t dt cos( x) Ejemplo 4 Hllr el ite x + x cos ( ) x x x cos x + x cos x x se t dt x 3 Solució L sustitució direct d l idetermició / que se rompe plicdo l Regl de L Hôpitl E efecto, x + x se t dt x 3 Ejemplo 43 Hllr el ite x [ ] se x x x + 3x x cos t dt x x x + 3x 3 Solució L sustitució direct d l idetermició / que se rompe plicdo l Regl de L Hôpitl E efecto, x cos t dt [ cos x x x ] x

22 CAPÍTULO 4 INTEGRAL DEFINIDA Y CÁLCULO DE PRIMITIVAS Ejemplo 44 Hllr el ite x + se x t x t t dt se t dt Solució L sustitució direct d l idetermició / que se rompe plicdo l Regl de L Hôpitl E efecto, se x t t dt [ t(se x) cos x t x cos t x x + se t dt ] 3 x x + x se(t x) + t x cos x 4 Regl de Brrow: L itegrl como u primitiv Teorem 4 (Regl de Brrow) Si f es u fució cotiu e el itervlo cerrdo [, b] y G es u primitiv culquier de f, etoces: b f(x) G(b) G() Demostrció Se f cotiu e [, b] y G u primitiv culquier de f Por ser f cotiu sobre [, b], su fució itegrl F (x) x f(t) dt será u primitiv de f E cosecueci tedremos dos primitivs de u mism fució que, por tto, se diferecir e u costte G(x) F (x) + C, de dode, } G(b) F (b) + C b } b G(b) f(t) dt + C G(b) f(x) + G() G() F () + C G() + C C de dode, Observcioes: b f(t) dt G(b) G() b f(x) G(b) G() L importci de est regl es fudmetl, y que poe e relció ls itegrles co ls derivds Si embrgo hy que dvertir que solmete es plicble fucioes cotius defiids e itervlos cerrdos Pr hllr l itegrl defiid de u fució cotiu e u itervlo cerrdo seguiremos el siguiete proceso: ) Se hll u primitiv culquier de l fució, si teer e cuet l costte (l más secill) b) Se sustituye e est primitiv los ites de itegrció -el superior y el iferior- y se rest los resultdos b [ ] b [ ] b f(x) f(x) G(x) G(b) G()

23 4 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 3 Ejemplo 45 Clculr x Solució Bst co ecotrr u primitiv de x y evlurl e los extremos de itegrció [ ] x x Ejemplo 46 Hllr el áre de l regió bjo l gráfic de y se x etre y π Solució El áre viee defiid por l siguiete itegrl y y se x π Figur 44: x A π [ se x ] π cos x cos π + cos ( ) + + Ejemplo 47 Clculr Solució 3 + x 3 + x [ rct x ] 3 rct 3 rct π 3 π 4 π Itegrció de fucioes defiids trozos Ejemplo 48 Dd l fució defiid por f(x) clculr f(x) { x si x x si x Solució Descompoemos l itegrl co objeto de itegrr por trmos, utilizdo e cd trmo l fució correspodiete [ ] x f(x) x 3 [ ] x [ ] [ 4 + x ] Ejemplo 49 Clculr l itegrl + x Solució Seprmos los dos csos del vlor bsoluto { { x si x x si x f(x) x + x si x < x si x >

24 4 CAPÍTULO 4 INTEGRAL DEFINIDA Y CÁLCULO DE PRIMITIVAS de dode, x ( x) + (x ) Ejemplo 43 Dd l fució f(x) determir F (x) x f(t) dt ] [ ] [x x x + x +4 + si x [, ] si x (, ] x si x (, 3] Solució El vlor de F (x) depederá del trmo e el que está situd l x x [, ] F (x) x (, ] F (x) x (, 3] F (x) x x x f(t) dt f(t) dt f(t) dt t 3 x dt [ t ] x x dt + dt+ de dode, l fució F vedrá defiid por: x dt [ t ] + [ t ] x x + dt+ x x + 3 t dt [ t ] +[ t ] +[ t ] x x 4 x 3 y y f(x) x y y F (x) x x si x [, ] F (x) x + 3 si x (, ] x 3 si x (, 3] Figur 45: 43 Itegrció imedit Defiició 4 (Primitiv) U fució F (x) se llm primitiv de otr fució f(x) si F (x) f(x)

25 43 INTEGRACIÓN INMEDIATA 5 Proposició 4 Si u fució tiee u primitiv, etoces tiee ifiits, que se difereci etre sí e u costte Defiició 4 (Itegrl idefiid) Se llm itegrl idefiid de u fució f(x) l cojuto formdo por tods sus primitivs, y se deot por: f(x) F (x) + C Ejemplo 43 Hllr (x 3 + x + ) Solució Buscmos u primitiv del itegrdo, es decir u fució tl que l derivrl os de el itegrdo E cosecueci, (x 3 + x + ) x4 4 + x3 3 + x + C Not Como cosecueci del Teorem fudmetl del Cálculo se puede firmr que tod fució cotiu tiee u primitiv Pero eso o sigific que es primitiv se pued expresr e térmios elemetles Por ejemplo l itegrl se x solmete se x puede clculr desrrolldo e series el sex, co lo cul obteemos como resultdo de l itegrl, u desrrollo e serie Es decir, obteemos el desrrollo e serie de l primitiv, pero o obteemos l primitiv expresd e térmios elemetles 43 Propieddes de l itegrl idefiid d ( f(x) ) f(x) ( f(x) ) f(x) 3 df(x) f(x) + C 4 [f(x) ± g(x)] f(x) ± g(x) 5 r f(x) r f(x) U fctor costte puede scrse fuer del sigo de itegrció

26 6 CAPÍTULO 4 INTEGRAL DEFINIDA Y CÁLCULO DE PRIMITIVAS 43 Tbl de itegrles imedits x + C x x+ + + C l x + C x e x e x + C se x cos x + C cos x se x + C sec x t x + C csc x cot x + C x x l + C seh x cosh x + C + x rct x + C cosh x seh x + C + x rct x + C cosh x th x + C rc se x + C x seh x coth x + C x rc se x + C Ejemplo 43 Hllr l itegrl ( x + x ) Solució: Relizdo el cudrdo teemos: ( ) x + x Ejemplo 433 Hllr l itegrl Solució: Operdo teemos: (x + ) x 3 + x x + x + x(x + ) ( x + + x (x + ) x 3 + x ) x + x + l x + C (x ( + ) + x x(x + ) x + ) + x l x + rct x + C Ejemplo 434 Hllr l itegrl ( t x + cot x ) Solució: Operdo teemos: ( t x + cot x ) ( t x + t x cot x + cot x ) ( t x + + cot x ) ( t x cot x ) ( t x + ) ( + + cot x ) sec x + csc x t x cot x + C Ejemplo 435 hllr x x +

27 44 INTEGRACIÓN MEDIANTE CAMBIO DE VARIABLE 7 Solució E este cso teemos que teer e cuet l derivd de u fució compuest x (x x + + ) / (x + ) 3/ x + C ( x + ) x 3/ C 44 Itegrció medite cmbio de vrible El cmbio de vrible e u itegrl idefiid se puede efectur de dos forms: Cmbido l vrible x por u fució x g(t), dode g(t) es u fució moóto cotiumete derivble de u uev vrible t [ ] x g(t) f(x) g f [ g(t) ] g (t) dt (t)dt Cmbido prte del itegrdo por u uev vrible g(x) t: f [ g(x) ] [ g (x) g(x) t g (x) dt ] f(t) dt E l práctic se combi mbos métodos, y que x g(t) t g (x) L fució que se utilice tedrá que teer derivd cotiu pr que se pued relizr l uev itegrl, e ivers pr poder deshcer el cmbio Ejemplo 436 Hllr l itegrl x ( x + 3 ) 4 Solució: Hcemos el cmbio de vrible buscdo l derivd de u poteci: x ( x + 3 ) 4 [ u x + 3 du x ] u 4 du u 4 du u C (x + 3) 5 + C Ejemplo 437 Hllr l itegrl e x se e x Solució: Hcemos el cmbio de vrible buscdo l derivd del se: [ e x se e x u e x ] se u du cos u + C cos e x + C du e x Ejemplo 438 Hllr l itegrl l ( cos x ) t x

28 8 CAPÍTULO 4 INTEGRAL DEFINIDA Y CÁLCULO DE PRIMITIVAS Solució: Hcemos el cmbio de vrible llmdo t u prte del itegrdo, de mer que podmos idetificr dt e el resto: l ( cos x ) t l cos x t x dt se x t dt t t x + C cos x ( l(cos x)) + C Ejemplo 439 Hllr l itegrl x x + Solució: Hcemos el cmbio de vrible llmdo t x +, si embrgo, pr hllr dt o derivmos directmete, sio que previmete elimimos l ríz cudrd: x [ ] t x + t x + (t x + ) t t dt x t t dt (t 4 t ) dt t5 5 t3 3 + C ( ) 5 x + ( x + ) 3 + C 5 3 Ejemplo 44 Hllr l itegrl e 6x e 6x + Solució: Teiedo e cuet que el umerdor es l derivd del deomidor, slvo u fctor costte, hcemos el cmbio de vrible buscdo l derivd del l: [ e 6x e 6x ] e 6x + + t dt 6e 6x dt 6 t l t 6 + C l e6x + + C 6 Ejemplo 44 Hllr l itegrl e 3x e 6x + Solució: E este cso hcemos el cmbio de vrible buscdo l derivd del rct: [ e 3x e 6x + e 3x ] t dt 3e 3x dt 3 t + 3 rct t + C 3 rct e3x + C Ejemplo 44 Hllr l itegrl se x x Solució: E este cso hcemos el cmbio de vrible buscdo dejr el seo exclusivmete e fució de l vrible de itegrció: x t se x x se tdt cos t + C cos x + C dt x

29 44 INTEGRACIÓN MEDIANTE CAMBIO DE VARIABLE 9 Ejemplo 443 Hllr l itegrl (x + ) x + Solució: E este cso hcemos el cmbio de vrible buscdo elimir l ríz cudrd, pr lo cul hcemos x + t, si embrgo, e vez de derivr est expresió directmete, l elevmos l cudrdo previmete: [ ] x + t x + t (x + ) x + x t tdt dt (t + ) rct t + C rct x + + C Ejemplo 444 Hllr l itegrl x x 3 + t dt (t + )t Solució: E este cso podemos elegir etre dos opcioes; hcemos el cmbio de vrible buscdo elimir l ríz cudrd, o bie, teemos ecuet que lo expresió que hy fuer de l ríz es l derivd del rdicdo E el primer cso, x x 3 + y e el segudo, t C 9 [ x3 + t x 3 + t 3x tdt ( x3 + ] t t dt 3 3 ) 3 + C 9 (x3 + ) x C t dt [ ] x x 3 + t x 3 + t dt t / dt t 3/ 3x dt / + C ( ) 3 x3 + + C 9 9 (x3 + ) x C El cmbio de vrible e l itegrl defiid Cudo se hce u cmbio de vrible e u itegrl defiid hy que cmbir los ites de itegrció e fució de l uev vrible Si o queremos cmbir los ites de itegrció hbrá que deshcer el cmbio tes de l sustitució E geerl, x x f(x) [ x g(t) g (t) dt x g(t ) ; x g(t ) ] t t f [ g(t) ] g (t) dt Ejemplo 445 Hllr x

30 3 CAPÍTULO 4 INTEGRAL DEFINIDA Y CÁLCULO DE PRIMITIVAS Solució Pr resolver est itegrl hcemos l sustitució trigoométric x se x, co objeto de elimir l ríz cudrd geerdo u cudrdo e su iterior x x se t cos t dt x se t t x se t t π/ π/ cos t dt π/ π/ + cos t se t cos t dt dt [ ] π/ t se t + π Itegrció por prtes Itegrdo l diferecil del producto de dos fucioes d(u v) v du + u dv result, d(u v) v du + u dv, de dode, u v v du + u dv Esto os permite expresr u de ls dos itegrles e fució de l otr: u dv u v v du L costte de itegrció sólo se ñde l fil del proceso Ejemplo 446 Hllr l itegrl x se x Solució: [ u x x se x dv se x } du v cos x x cos x + se x + C Ejemplo 447 Hllr l itegrl x 3 + x ] x cos x + cos x Solució: E este ejemplo l elecció de u y dv o result evidetes Forzmos l situció pr que el dv elegido se fácil de itegrr u x dv x + x } du x v x + x x + x ( + x ) 3/ 3/ 3 ( + x ) 3/ de dode, x 3 + x x ( + x ) 3/ 3 3 ( + x ) 3/ x x ( + x ) 3/ 3 x ( + x ) 3/ 5 ( + x ) 5/ + C 3 ( + x ) 5/ 3 5/

31 45 INTEGRACIÓN POR PARTES 3 Ejemplo 448 Hllr l itegrl l x Solució: Elegimos u l x y como dv el propio [ } u l x du ] l x x x l x dv v x Ejemplo 449 Hllr l itegrl rct x x l x x + C Solució: Elegimos u rct x y como dv el propio rct x u rct x } du + x dv x x rct x v x + x x rct x x + x x rct x l( + x ) + C Ejemplo 45 Hllr l itegrl x e x Solució: Elegimos u x y dv e x [ } u x du x x e x dv e x v e x ] x e x xe x x e x I Aprece u uev itegrl I que tmbie clculmos por prtes [ } ] u x du I xe x xe x e x xe x e x dv e x v e x de dode result, x e x x e x (xe x e x ) + C x e x xe x + e x + C (x x + )e x + C Ejemplo 45 Hllr l itegrl e x se x Solució: Elegimos u e x y dv se x [ } u e x du e x e x se x dv se x v cos x ] e x cos x+ e x cos x e x cos x+i Aprece u uev itegrl I que tmbie clculmos por prtes [ } ] u e x du e x I e x cos x e x se x dv cos x v se x e x se x

32 3 CAPÍTULO 4 INTEGRAL DEFINIDA Y CÁLCULO DE PRIMITIVAS Apreciedo, uevmete, l itegrl que, e u pricipio, trtbmos d clculr Sustituímos y opermos como si se trtr de u ecució, grupdo ls dos itegrles, e x se x e x cos x + e x se x e x se x de dode result, e x se x e x cos x + e x se x y despejdo l itegrl y ñdido l costte, result e x se x ex cos x + e x se x + C Ejemplo 45 Hllr l itegrl x Solució: Elegimos u x y dv x [ u x dv } du v x x x ] x x + x x Aprece u uev itegrl I que clculmos sumdo y restdo e el umerdor I x x ( x ) x x x x L primer itegrl es imedit Pr clculr l segud itegrl rciolizmos l expresió co lo cul result, I rc se x x Apreciedo, uevmete, l itegrl que, e u pricipio, trtbmos d clculr Sustituímos y opermos como si se trtr de u ecució, grupdo ls dos itegrles, x x x + rc se x x de dode result, x x x + rc se x y despejdo l itegrl y ñdido l costte, result x x x + rc se x + C

33 46 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES Itegrció de fucioes rcioles Se llm fucioes rcioles ls que viee defiids por el cociete de dos poliomios Pm (x) P (x) 46 Itegrció de frccioes elemetles Se deomi frccioes simples (o elemetles) ls frccioes rcioles de los cutro tipos siguietes: I x II (x ) III Ax + B x + px + q IV Ax + B (x + px + q) siedo x + px + q irreducible Ls siguietes itegrles rcioles so imedits: f (x) l x + C l f(x) + C x f(x) (x ) (x ) (x ) + + C + ( )(x ) + C rct x + C + x Itegrles del tipo: x + px + q Ax + B x + px + q siedo x + px + q E el triomio cudrdo del deomidor se sepr el cudrdo perfecto del biomio Ejemplo 453 Hllr l itegrl x + 4x + 3 Solució: Expresmos el deomidor como el cudrdo de u biomio, x + 4x + 3 (x + ) (x + ) + 9 de dode, x + 4x + 3 (x + ) + 9 ( ) 9 x rct x + + C 3 Ejemplo 454 Hllr l itegrl x 4x /3 ( ) x + + 3

34 34 CAPÍTULO 4 INTEGRAL DEFINIDA Y CÁLCULO DE PRIMITIVAS Solució: Expresmos el deomidor como el cudrdo de u biomio, scdo previmete fctor comú, x 4x + [x x + 5] [(x ) + 5] [(x ) + 4] de dode, x 4x + Ejemplo 455 Hllr l itegrl (x ) ( ) x 8 + 3x + x 4x + 8 / ( ) x + 4 rct x Solució: Est itegrl es del tipo l + rct Pr ello buscmos e el umerdor l derivd del deomidor x 4 y luego seprmos e dos itegrles; l primer es u l y e l segud buscmos el rct, expresdo el deomidor como el cudrdo de u biomio, 3 (3x + ) (x + /3) x 4x x 4x x 4 x 4x /3 (x ) l x 4x C x + 4/3 x 4x x /3 x 4x + 8 / ( ) x + 3 l(x 4x + 8) + 4 rct x + C 46 Itegrció de frccioes rcioles co yud del desrrollo e frccioes simples Al itegrr u fució rciol se debe seguir los siguietes psos: Divisió de los poliomios- Si el grdo del umerdor es myor o igul que el del deomidor, l primer operció es efectur l divisió P (x) R(x) Q(x) C(x) De dode, plicdo l prueb de l divisió, result: P (x) Q(x) C(x) + R(x) P (x) Q(x) C(x) + R(x) Q(x)

35 46 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES 35 Co lo cul, l itegrl se trsform e dos itegrles; l primer es imedit por ser l itegrl de u poliomio, y l segud es más fácil que l iicil y que el grdo de R(x) es iferior que el de Q(x) P (x) Q(x) C(x) + R(x) Q(x) Fctorizció del deomidor Puede drse los siguietes csos: ) El deomidor tiee sólo ríces reles simples b) El deomidor tiee sólo ríces reles, uque lgu de ells es múltiple c) Etre ls ríces del deomidor ls hy complejs simples, lguo de los fctores es u poliomio de segudo grdo irreducible d) Etre ls ríces del deomidor ls hy complejs múltiple, lguo de los fctores es u poliomio de segudo grdo irreducible que se repite 3 Descompoer l frcció e frccioes simples L determició de los coeficietes se puede hcer por dos métodos: Idetificdo los coeficietes de los térmios del mismo grdo de x Ddo vlores rbitrrios x ot: E todo mometo debemos comprobr si l frcció que vmos itegrr es o o u frcció elemetl, o l derivd de u l x 3 + 3x 6x Ejemplo 456 Hllr l itegrl x 4 Solució: Efectumos l divisió de los poliomios, x 3 + 3x 6x x 4 x 3 + 8x x + 3 3x + x 3x + x x3 + 3x 6x x 4 x x x 4 Co lo cul, l itegrl se trsform e dos itegrles, que e este cso mbs result imedits; l primer por ser poliómic, y l segud por ser l derivd de u logritmo x 3 + 3x 6x x 4 (x + 3) + x x 4 x + 3x + l x 4 + C Ejemplo 457 Hllr l itegrl x 3 5x 4x + 3 x 4x + 4 Solució: Efectumos l divisió de los poliomios,

36 36 CAPÍTULO 4 INTEGRAL DEFINIDA Y CÁLCULO DE PRIMITIVAS x 3 5x 4x + 3 x 4x + 4 x 3 + 8x 8x x + 3 3x x + 3 3x + x Por cosiguiete, plicdo l prueb de l divisió, result: x 3 5x 4x + 3 x 4x + 4 x x 4x + 4 Co lo cul, l itegrl se trsform e dos itegrles, que e este cso mbs result imedits; l primer por ser poliómic, y l segud por ser elemetl x 3 5x 4x + 3 x 4x + 4 (x+3) + x + 3x x + C () El deomidor tiee sólo ríces reles simples p(x) q(x) p(x) (x x )(x x ) (x x ) A + x x x 4x + 4 x +3x+ B x x + + (x ) N x x Ejemplo 458 Hllr l itegrl x + 3x 4 x x 8 Solució: Efectumos l divisió de los poliomios, x + 3x 4 x x 8 x + x + 8 5x + 4 x + 3x 4 x x 8 + 5x + 4 x x 8 Co lo cul, l itegrl se trsform e dos itegrles, l primer es imedit, por ser poliómic, pero l segud o x + 3x 4 x x 8 + 5x + 4 x x 8 x + I Pr clculr l segud itegrl fctorizmos el deomidor y descompoemos l frcció e frccioes simples de dode result, x x 8 x ± ± 6 { 4 5x + 4 x x 8 5x + 4 (x 4)(x + ) A x 4 + B x + A(x + ) + B(x 4) (x 4)(x + )

37 46 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES 37 Los coeficietes los clculmos ddo vlores x, x 4 4 6A A 4 x 6 6B B Co lo cul result, 5x + 4 I x x 8 4 x l x 4 + l x + x + de dode, x + 3x 4 x + 4 l x 4 + l x + + C x x 8 (b) El deomidor tiee sólo ríces reles, uque lgu de ells es múltiple p(x) q(x) p(x) (x x )(x x ) A + B C + 3 x x x x (x x ) + D (x x ) 3 x 4 x 3 x Ejemplo 459 Hllr l itegrl x 3 x Solució: Efectumos l divisió de los poliomios, x 4 x 3 x x 3 x x 4 + x 3 x x4 x 3 x x + x x x 3 x x 3 x Co lo cul, l itegrl se trsform e dos itegrles, l primer imedit, por ser poliómic, y l segud o x 4 x 3 x x x x + x 3 x x 3 x + I Pr clculr l segud itegrl fctorizmos el deomidor y descompoemos l frcció e frccioes simples x 3 x x (x ) de dode result, x x 3 x x x (x ) A x + B x + C x Los coeficietes los clculmos ddo vlores x, Ax(x ) + B(x ) + Cx x (x ) x B B x C C x 3 A + B + 4C 3 A + 8 A 4 A Co lo cul result, I x x 3 x x + x + x l x l x x

38 38 CAPÍTULO 4 INTEGRAL DEFINIDA Y CÁLCULO DE PRIMITIVAS de dode, x 4 x 3 x x 3 x x + l x l x + C x (c) Etre ls ríces del deomidor ls hy complejs simples, lguo de los fctores es u poliomio de segudo grdo irreducible p(x) q(x) p(x) (x x )(x x ) (x + bx + c) A + x x Ejemplo 46 Hllr l itegrl B x x + 8x + 6x + 6 x 3 3x + 7x 5 C (x x ) + Mx + N x + bx + c Solució: Fctorizmos el deomidor y descompoemos l frcció e frccioes simples De dode result, x 3 3x + 7x 5 (x )(x x + 5) x x + 5 x ± 4 ± 6 Si solució 8x + 6x + 6 x 3 3x + 7x 5 8x + 6x + 6 (x )(x x + 5) A x + Mx + N x x + 5 Los coeficietes los clculmos ddo vlores x, A(x x + 5) + (Mx + N)(x ) (x )(x x + 5) x 4A A 5 x 6 5A N N 5A x 5 5A + M + N M + 9 M M 3 Co lo cul result, 8x + 6x + 6 x 3 3x + 7x 5 5 x + 3x + 9 x x l x + I Pr clculr l itegrl I siempre seguimos el siguiete procedimieto: E primer lugr expresmos l prte literl del deomidor como el cudrdo de u biomio y l biomio le llmmos t, x x + 5 (x ) + 5 (x ) + 4 Co lo cul result l siguiete itegrl, [ ] x t I 3x + 9 x x + 5 3x + 9 (x ) + 4 dt 3t + t + 4 dt Pr resolver est itegrl seprmos l prte literl de l prte uméric; co l prte literl buscmos u l y co l uméric u rct 3t t + 4 dt + t + 4 dt 3 t dt + t t /4 + dt

39 47 INTEGRACIÓN DE EXPRESIONES TRIGONOMÉTRICAS 39 3 l t / (t/) + dt 3 l t rct t co lo cul, result 3 l x x rct x 8x + 6x + 6 x 3 3x + 7x 5 5 l x + 3 l x x rct x + C (d) Etre ls ríces del deomidor ls hy complejs múltiple, lguo de los fctores es u poliomio de segudo grdo irreducible que se repite Ests itegrles se resuelve buscdo u fórmul recurrete, o medite el método de Hermite, pero qued fuer del lcce de este curso 47 Itegrció de expresioes trigoométrics 47 Itegrció de potecis de fucioes trigoométrics Cosideremos itegrles del tipo: se m x cos x existe dos csos pr los que se puede resolver l itegrl, Si lguo de los expoetes es u úmero impr y positivo, se sepr uo pr el diferecil y el resto se trsform e el cotrrio, medite l formul fudmetl de l trigoometrí se x + cos x, y l cotrrio se le llm t El segudo coeficiete puede ser culquier úmero rel ej si m k + se k+ x se k x se x (se x) k se x ( cos x) k se x Si los dos expoetes so pres positivos, se v rebjdo los grdos co ls siguietes fórmuls trigoométrics se α Ejemplo 46 Hllr l itegrl cos α cos α se 3 x cos x + cos α

40 4 CAPÍTULO 4 INTEGRAL DEFINIDA Y CÁLCULO DE PRIMITIVAS Solució: Teemos, se 3 x cos x se x cos x se x ( cos x) cos x se x [ ] cos x t (cos x cos 4 x) se x (t t 4 ) dt t3 se x dt 3 + t5 5 + C Ejemplo 46 Hllr l itegrl Solució: Teemos, se 3 x (cos x) 3/ cos3 x 3 + cos5 x 5 se 3 x se 3 x (cos x) 3/ se x (cos x) 3/ se x (cos x) 3/ ) ( cos x)(cos x) 3/ se x ((cos x) 3/ (cos x) / se x ) [ ] cos x t ((cos x) 3/ (cos x) / ( se x) se x dt (t 3/ t / ) dt t / t 3/ / + 3/ + C t / + t3/ 3 + C + C Ejemplo 463 Hllr l itegrl se 4 x (cos x) / + 3 (cos x)3/ + C Solució: Teemos, ( se 4 x se x ) ( cos x ( + cos 4x cos x + 4 (3 ) 4 cos x + cos 4x 8 8 ) ( cos x+cos x ) 4 ) 8 ( 4 cos x + + cos 4x ) ( 4 se x 3x + 3x 8 se 4x ) + C 4 se x 4 + se 4x 3 + C 47 Itegrció de fucioes rcioles del se y del cos Cosideremos ls itegrles del tipo R(se x, cos x), dode R es u fució rciol E geerl, est itegrl siempre se puede trsformr e u itegrl rciol medite

41 47 INTEGRACIÓN DE EXPRESIONES TRIGONOMÉTRICAS 4 el cmbio t(x/) t Como resultdo de est sustitució teemos: + t t(x/) t x/ rct t x rct t + t dt se x t cos x + t + t x/ t se x se x cos x t t + t + t + t cos x cos x x se + t t + t t + t El cmbio geerl t(x/) t siempre resuelve l itegrl, pero e muchos csos coduce cálculos complicdos Existe tres csos prticulres e los que l itegrl se puede resolver de u mer más fácil que co el cmbio geerl Si l fució R(se x, cos x) es impr respecto se x, o se, si R( se x, cos x) R(se x, cos x), etoces l itegrl se rcioliz co yud de l sustitució cos x t Si l fució R(se x, cos x) es impr respecto cos x, o se, si R(se x, cos x) R(se x, cos x), etoces l itegrl se rcioliz co yud de l sustitució se x t 3 Si l fució R(se x, cos x) es pr respecto se x y cos x, o se, si R( se x, cos x) R(se x, cos x), etoces l itegrl se rcioliz co yud de l sustitució t x t E este cso, como resultdo de est sustitució teemos: + t x Ejemplo 464 Hllr l itegrl t t x t x rct t + t dt t se x cos x + t + t se x Solució: L fució es impr respecto l se x, por tto, hcemos el cmbio cos x t, de dode result, [ cos x t se x t se x se x dt dt se x dt t ] dt t dt t t dt t I Que es u fució rciol,

42 4 CAPÍTULO 4 INTEGRAL DEFINIDA Y CÁLCULO DE PRIMITIVAS t (t + )(t ) A t + + A t Los coeficietes los clculmos ddo vlores x x B B / x A A / de dode, A(t ) + B(t + ) (t + )(t ) / / I t + dt + dt t l t + + l t l t t + + C l cos x cos x + + C Ejemplo 465 Hllr l itegrl ( + cos x se x) se x Solució: Hcemos el cmbio geerl t(x/) t, co lo cul result, dt se x t cos x t + t + t + t de dode, ( + cos x se x) se x ( + t + t 4 t + t ) t + t dt + t + t 4t t + t dt + t + t t(t 4t + 3) dt I que es u itegrl rciol, pr resolverl l descompoemos e frccioes simples t 4t + 3 t 4 ± 6 + t t(t 3)(t ) A t + B t 3 + C t Los coeficietes los clculmos ddo vlores x 4 ± 4 4 ± { 3 A(t 3)(t ) + Bt(t ) + Ct(t 3) t(t 3)(t ) t 3A A /3 t C C t 3 6B B /6 5/3 de dode, /3 5/3 I dt + t t 3 dt + t dt 3 l t + 5 l t 3 l t 3 3 l t x l t x 3 l t x + C

43 48 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES Itegrció de fucioes irrcioles 48 Rdicles semejtes Ls itegrles del tipo ( R x, ( x + b cx + d ) m /, ( x + b cx + d ) m /, ( x + b ) ) mk / k, cx + d se covierte e rcioles co el cmbio de vrible, α x + b cx + d t x + b cx + d tα dode α mcm{,,, k } Ejemplo 466 Clculr l itegrl (x 3) / (x 3) /3 + Solució: Expresmos ls ríces co ídice comú (x 3) / x 3 6 (x 3) /3 + (x 3) 3 3 x (x 3) + I y hcemos el siguiete cmbio: 6 x 3 t x 3 t 6 6t 5 dt 3t 5 dt de dode, I t 3 t + 3t5 dt 3t 8 t + dt I que es u itegrl rciol, pr resolverl efectumos l divisió de los poliomios 3t 8 t + 3t 8 3t 6 3t 6 3t 4 + 3t 3 3t 6 3t 6 + 3t 4 Por cosiguiete: 3t 4 3t 4 3t 3t 3t t 8 t + 3t6 3t 4 + 3t t + Co lo cul, l itegrl se trsform e dos itegrles, que e este cso mbs result imedits; l primer por ser poliómic, y l segud por ser elemetl I (3t 6 3t 4 + 3t 3 3t7 3) + t + 7 3t t3 3t + 3 rct t + C 3 [ 3 7 (x 3)7/6 5 (x 3)5/6 + ] 3 (x 3)3/6 (x 3) /6 + rct(x 3) /6 + C

44 44 CAPÍTULO 4 INTEGRAL DEFINIDA Y CÁLCULO DE PRIMITIVAS 48 L sustitució trigoométric Ls itegrles de l form: ( R x, ) x + bx + c,, b 4c se suele resolver medite l sustitució trigoométric o bie l sustitució hiperbólic Pr ello, formmos previmete el cudrdo perfecto e el triomio x + bx + c, y relizdo l correspodiete sustitució liel, l itegrl se reduce uo de los siguietes tipos: R ( t, p t ), R ( t, t p ), R ( t, t + p ) A l primer itegrl se le plic culquier de ls sustitucioes: l segud, ls sustitucioes: t p se u, t p cos u, t p th u t p sec u, y l tercer, ls sustitucioes: t p t u, t p cosh u t p seh u E geerl, pr elegir el tipo de sustitució que se v plicr, se tiee e cuet que de lo que se trt es de elimir l ríz cudrd, buscdo u cudrdo e su iterior, pr ello se elige l fórmul fudmetl de l trigoometrí o de l trigoometrí hiperbólic que coveg cos α + se α cos α se α cosh α seh α cosh α + seh α E todos estos csos, el cudrdo se elimi co l ríz, y que el rdicdo result positivo Ejemplo 467 Clculr l itegrl x Solució: Aplicmos l sustitució x se t y trsformmos l itegrl e u itegrl trigoométric [ ] x se t x se t cos tdt cos t cos t dt cos tdt cos tdt + cos t dt t se t + + C t se t cos t + + C 4 4 rc se x + x x + C de dode, l deshcer el cmbio, se h teido e cuet que: se t x t rc se x, cos t x Ejemplo 468 Clculr l itegrl x

45 48 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES 45 Solució: Aplicmos l sustitució x cosh t y trsformmos l itegrl e u itegrl hiperbólic [ ] x x cosh t cosh t seh t dt seh t seh t dt seh t dt cosh t seh seh t t dt dt t seh t cosh t + C t C x x [x l + ] x + C de dode, se h teido e cuet ls siguietes fórmuls: seh cosh t t, seh t seh t cosh t y l deshcer el cmbio, se h teido e cuet [ que: cosh t x t rg cosh x l x + ] x, seh t x Ejemplo 469 Clculr l itegrl 4x x Solució: Formmos previmete el biomio cudrdo e el rdicdo 4x x [ x 4x ] [ (x ) 4 ] 4 (x ) de dode, plicdo l sustitució x se t, trsformmos l itegrl e u itegrl trigoométric, e efecto, 4x [ ] 4 x se t 4 x (x ) 4 se t cos t dt cos t dt + cos t 4 se t cos t dt 4 cos t cos t dt 4 cos t dt 4 dt [ se t] x t + + C t + se t cos t + C rc se + x 4x x + C rc se x + x 4x x + C de dode, se h teido e cuet ls siguietes fórmuls: cos + cos t t, se t se t cos t y l deshcer el cmbio, se h teido e cuet que: se t x t rc se x, cos t ( x ) 4x x