MATERIA. Primer Año UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL. FACULTAD REGIONAL SANTA FE

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1 MATERIA Mtemátic PROFESOR Vicio Ael Primer Año Deprtmeto Igeierí Eléctric

2 CAPITULO : CONJUNTOS NUMERICOS NÚMEROS NATURALES Recordemos que el cojuto de los úmeros turles N está costituido por los úmeros,,,,,..., 00,...,..., co los cules cotmos, ordemos relizmos ls opercioes de sum multiplicció, siedo el resultdo de ests opercioes tmié u úmero turl, si emrgo o ocurre lo mismo co l rest co l divisió. El cojuto de los úmeros turles tiee ls siguietes crcterístics: Es u cojuto ifiito. Tiee primer elemeto, o tiee último elemeto. Todo úmero turl tiee u sucesor, es decir, cd úmero turl, tiee u cosecutivo. Todo úmero turl, slvo el uo, tiee tecesor. Etre dos úmeros turles cosecutivos, o eiste otro úmero turl, por eso se dice que el cojuto es discreto. Por ser u cojuto ordedo, es posile represetr los úmeros turles e u rect, eligiedo como orige el cero, que puede ser icluido tmié e el cojuto, usdo e ese cso el símolo N 0 pr deotrlo. NÚMEROS ENTEROS Recordemos que l rest e el cojuto de los úmeros turles siempre es posile cudo el miuedo es mor que el sustredo, e cso cotrrio o es posile. Pr resolver este prolem ecesitmos mplir el cmpo umérico itroduciedo el cero los opuestos de los úmeros turles, llmdos úmeros eteros egtivos. Oteemos el cojuto de los úmeros eteros: Z { } Z Z 0 {,,,, 0,,,,,, } Defiició: Si es u úmero etero es el opuesto de. Ejemplos: ) Se 7, su opuesto es 7. ) Se, su opuesto es. Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r

3 Los eteros se puede order, ls opercioes de sum, rest producto d como resultdo u úmero etero, si emrgo o ocurre lo mismo co l divisió, por ejemplo 8 dividido o d u úmero etero. Deemos destcr que el cojuto Z tiee ls siguietes crcterístics: Es u cojuto ifiito. No tiee i primer elemeto i último. Es u cojuto discreto. Cd úmero etero tiee u tecesor u sucesor. Vlor soluto Pr cd úmero etero defiimos el vlor soluto de, que idicmos, como sigue: Si el úmero es positivo o cero, su vlor soluto es el mismo úmero es su opuesto,, si el úmero es egtivo. Simólicmete: Defiició: si si 0 < 0 El vlor soluto de u úmero se iterpret geométricmete como l distci que eiste etre el úmero el 0 e l rect uméric. Por lo tto, recordemos que: El vlor soluto de cd úmero etero, es u úmero o egtivo Ejemplos: ; ( ) Geométricmete, los ejemplos teriores qued represetdo e l rect por: Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r

4 NÚMEROS RACIONALES Nos vemos e l ecesidd de mplir uevmete uestro cmpo umérico, puesto que co los úmeros eteros podemos cotr pero o siempre medir. Pr epresr medids ecesitmos úmeros que represete prtes de l uidd, de quí surge l ide de úmero frcciorio: l mitd, l tercer prte, ls dos quits prtes,...de u uidd. El cojuto de los úmeros eteros uido l cojuto de tods ls frccioes costitue el cojuto de los úmeros rcioles, l que deotmos por Q. Defiició: U úmero rciol el deomidor. es el cociete de dos úmeros eteros, dode es el umerdor es Cudo e u frcció, el umerdor el deomidor so úmeros primos etre sí, decimos que l frcció es irreducile. Crcterístics de Q Q es u cojuto deso, es decir que etre dos úmeros rcioles h ifiitos úmeros rcioles. E Q o podemos hlr de sucesores o tecesores. Frccioes equivletes A meudo trjremos co frccioes equivletes, por lo tto, es útil recordr que: Dos frccioes so equivletes o igules si represet l mism ctidd. Dos frccioes d c so equivletes si solo si.d.c Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r

5 Usmos este resultdo pr verificr que 0 so equivletes, pues 0, e cmio o so equivletes, pues.. Orde e Q Dds dos frccioes d c siedo.d > 0. Diremos que: > d c.d >.c o < d c.d <.c Propieddes: U frcció positiv es mor que culquier frcció egtiv. Dds dos frccioes positivs de igul deomidor, es mor l que tiee mor umerdor. Dds dos frccioes positivs de igul umerdor es mor l que tiee meor deomidor Dds dos frccioes positivs co distito deomidor umerdor, se llev frccioes equivletes co igul deomidor (o umerdor) pr hcer l comprció. Dds dos frccioes egtivs es mor quell cuo vlor soluto es meor. Opercioes co frccioes Sum Recordemos que l sum de vris frccioes co igul deomidor es l frcció co el mismo deomidor que quells el umerdor es l sum de los umerdores. Si ls frccioes tiee distito deomidor, se usc frccioes equivletes ls dds que teg igul deomidor después se sum de l form idicd teriormete. Es coveiete usr como deomidor pr ls frccioes equivletes, el míimo comú múltiplo. Ejemplos: Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r

6 E geerl: Ddos dos úmerosrcioles d c se defie l sum rest como c. d. c d. d c d. d. c. d Multiplicció El producto de vris frccioes es otr frcció que tiee como umerdor el producto de los umerdores como deomidor el producto de los deomidores. Ejemplo:. 9 c. c. d. d Divisió Pr dividir dos frccioes, podemos multiplicr l dividedo por l frcció reciproc o ivers del divisor. Ejemplo: : 9. 9 c d. d :. d c. c NÚMEROS IRRACIONALES Alguos decimles o so ectos i periódicos. Recordemos de geometrí l úmero π que se us pr clculr logitudes de circuferecis áres de círculos, pr el cul l proimció más usul es.6. L represetció deciml de este úmero cotiú itermilemete si repetició. Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r

7 Grcis l tecologí que hor teemos, u computdor clculó π como deciml hst cie cifrs, he quí lgus: π, Los pitgóricos fuero quiees descuriero los úmeros irrcioles l plicr el Teorem de Pitágors e u triágulo cuos ctetos er igules l uidd. Cudo clculro l hipoteus se ecotrro que medí que o er u úmero turl. Pr ellos los úmeros turles costituí el pricipio de tods ls coss, por est cus, mtuviero el descurimieto de los irrcioles e el más estricto secreto. Otr mer de oteer úmeros irrcioles es escriir u úmero cus cifrs decimles se ifiits o presete periodicidd: , El omre de irrciol proviee del hecho de que o se puede epresr como rzó de dos eteros. Ls ríces cudrds de los úmeros turles que o so ects como,,, se represet ectmete plicdo el Teorem de Pitágors e l rect uméric. Otros ejemplos de úmeros irrcioles: j ; π; etc. NÚMEROS REALES El cojuto de úmero reles se lo deomi R. Está formdo por l uió del cojuto de los úmeros rcioles co los úmeros irrcioles. Coservdo tods los opercioes propieddes de los mismos. Eiste u correspodeci etre los úmeros reles los putos de l rect: cd puto de l rect le correspode u úmero rel vicevers, por ello decimos que los úmeros reles cure l rect. A cotiució dremos ls propieddes fudmetles de ls opercioes e los úmeros reles. Se, c úmeros reles: L sum stisfce ls siguietes propieddes: Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r 6

8 ) Asocitiv: ( c) ( ) c ; ) Comuttiv: ; c) Eisteci de elemeto eutro: $ 0 / 0 0 ; d) Eisteci del elemeto opuesto: ", $ ( ) / ( ) ( ) 0 Elproducto stisfce ls siguietes propieddes: ) Asocitiv: (. c) (. )c.. ; ) Comuttiv:.. ; c) Eisteci de elemeto eutro: R /.. ; d) Eisteci del elemeto recíproco o iverso: R 0, R /... e) Propiedd distriutiv del producto co respecto l sum:.( c).. c L difereci o rest se defie prtir de l defiició de sum: (),, R El cociete se defie prtir de l defiició de producto: 0, :.,, R Oservció: El 0 o tiee elemeto iverso o recíproco. POTENCIACION, N el producto de veces el fctor se deomi potecició se lo simoliz de l siguiete mer:..... co. Dode recie el omre de se de l poteci se llm epoete.... () ().().().() 8 Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r 7

9 8 Deprtmeto Igeierí Eléctric Propieddes: ) El producto de vris potecis de igul se es otr poteci de l mism se cuo epoete es l sum de los epoetes de los fctores: m m.. ( )( ) ( ) 8. ) El cociete de vris potecis de igul se es otr poteci de l mism se cuo epoete es l rest de los epoetes de los fctores: m m : : ( ) ( ) ( ) 9. c) L potecició es distriutiv respecto del producto del cociete: ( ) ( ) ł Ł :.. ( ) ( ) 6 : : : d) L poteci de u umero elevdo otr poteci, es igul l se de es poteci elevd l producto de los epoetes: ( ) m m. ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 0 6 e) Si el epoete es egtivo, oteemos: ( ) ł Ł ł Ł

10 f) L poteci o verific l propiedd comuttiv: g) L poteci NO es distriutiv respecto de l sum o rest: ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) h) L poteci de culquier umero rel, o ulo, elevdo l epoete 0 es igul : 0 RADICACION L ríz ésim de u úmero rel, deotd por : Dode se deot ídice, se deomi rdicdo se deomi ríz ésim de. ( ) 8 8 Recordr que l ríz de u rdicdo egtivo co u ídice pr o tiee solució e el cojuto de los úmeros reles. Propieddes: ) L rdicció NO es distriutiv e l sum o rest: ) L rdicció es distriutiv respecto del producto o del cociete:. :. : Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r 9

11 : 6 : : m c) L poteci m de l ríz de umero es igul l ríz de l poteci m de : ( ) ( ) 8 8 m d) L rdicció se puede escriir como poteci: 6 6 e) L ríz mesim de l ríz esim de, es igul l ríz de dode el ídice es el producto de los ídices: m. m EJERCICIOS ) Suprimir los prétesis clculr l sum lgeric: ) 6 ( ) ( 7 ) ) ( 6 ) ( 9 6 ) 6 c) 0 [ ( ) [ (0 ) ] ] d) 0 ( 7) [ 7 ( ). ] ) Resolver los ejercicios comidos: ) 60 {[(6 ) (8 ):]} ) : 6: c) [( )0:( ) ]: Ø ø d) {[8 6 (8 ) ( ) ]: } e) Œ œ º Ł 6 łß Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r 0

12 f) 7 g) 6 Ø Œ º Ł ø œ łß 7 h) 0 i) Ł : ł j) Ł ł Ł 6. ł 7 7 k) Ł 7 ł 9 l) : 7 Ł ł 9 m) Ł ł 8 0, ) 0 o) ) Ø ø 0, Œ. 0,7 ) œ Ł 8 ł Œº Ł 9 ł œß 0 ) (,).7 Ø ø p) Œ œ Œº Ł ł Ł łœß 7 q) Ł 6 8 ł 90 0 r) () : 9 ) Clculr: 6 ) ( ) 6 ).. 6 [ ] : [( 0) ] (0) 0 c) ( ) : ( ) d) ( ) : ( ) ( ) e) ( ) : ( 7 ) 7 : f) : g). ( ) : ( ) ) Simplificr: : :. Ł ł ) 7. ( ) ). 0 : 8 Ł. ł Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r

13 Ø ø Œ m œ m 0; t >0; p 0 Œ œ º Ł ł ß c) ( ). t p :[ p t ] ( ).( 7 ). c d) ( ).( ).( c ) co 0, 0, c 0. e) ( )( ) 6 > 0 > 0 ) Idicr cul de ls siguietes firmcioes so verdders. Modificr ls epresioes pr que resulte verdders. ) ( 6 6 ) ) ( ) ( ). c) d) ( ) 9 e) 6. INTERVALOS E el cojuto R de los úmeros reles está defiids ls relcioes meor que (<), mor que (>), meor o igul que ( ) mor o igul que ( ). Cudo u úmero rel cumple simultáemete que es mor que u úmero meor que c ( < < c) se puede epresr por l triple desiguldd: < < c El cojuto de todos los úmeros reles compredidos etre lo simolizmos: A { R / < < } U úmero rel perteecerá l cojuto A si stisfce l desiguldd < <, es decir cumple que < <. Orde Desiguld: Si so úmeros reles diremos que: Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r

14 es meor que si () es positivo, lo escriimos: <. es meor o igul que si () es positivo o ulo, lo escriimos:. es mor que si () es egtivo, lo escriimos: >. es mor o igul que si () es egtivo o ulo, lo escriimos:. Propieddes de ls desigulddes Propiedd Trsitiv: Si < < c etoces < c. Propiedd Aditiv: Si < c < d etoces c < d. Si < k es culquier úmero rel k < k. Si < k R.k <.k. Si < k R.k >.k. Itervlos Semirrects: Los cojutos uméricos más frecuetes so los itervlos de l rect rel. Se Itervlo Aierto: (, ) { R: < < } Itervlo Cerrdo: [, ] { R: } Itervlos Semiierto: [, ) { R: < }, (, ] { R: < Itervlos o cotdos o semirrect: [, ) { R: }, (, ) { R: > } Desigulddes co Vlor Asoluto. Propieddes... Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r

15 Desiguldd trigulr es equivlete : es equivlete : o Ejercicios: ) Escriir cd desiguldd utilizdo otció de itervlo luego grficr. ) 0 ) < 6 c) < < d) e) > ) Escriir como desiguldd los siguietes itervlos clsificr. ) [, ] ) Œ Ø 7 ; º ł 9ø c) ; Ł œ ß d) ( ;) e) ( ;] f) [ ; ) LOGARITMO DE UN NÚMERO REAL Se úmeros reles positivos, co, diremos que c es el logritmo e se de si solo si elevdo l es igul. E símolos: Log c c Ejemplos: Log 8 porque 8 Log porque Ł ł Log 0 e geerl 0 Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r

16 Log e geerl Log o eiste. Log 0 o eiste. Propieddes: Se,, c reles positivos c si solo si c log (. c) log log c log ( : c) log log c log. log dode log c log co c log log log 0 c Si log log c etoces c. Ejercicios: Clculr usdo defiició propieddes de logritmo. 0 ) log 0 log ) log c) log 7 log d) log 00 log Ecucioes co logritmo. Recordemos que u ecució es u iguldd co u o más icógits. L defiició ls propieddes de logritmo os permite resolver ests ecucioes. Cuál es l solució de l ecució log Por defiició teemos: Ł ł? Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r

17 Luego reescriimos como poteci de igul se por lo tto., usdo propiedd oteemos que, log ( ) 0 log log 0 0 Luego. log ( ) log 0 log 0 0 log Ejercicios: Resolver verificr ls siguietes ecucioes. ) log ( ) 6 ) log ( ) log ( ) 0 c) log ( ) log( ) d) Log ( ) Log( ) Log( ) Log e) Log ( ) Log ( ) f) Log Log( ) Log( ) Leguje Algerico Ecucioes e Iecucioes. Ecucioes resolució de prolems U ecució es u iguldd e l que prece úmeros letrs ligds medite opercioes lgerics. Ls letrs, cuos vlores so descoocidos, se llm icógits. Resolver u ecució cosiste e trsformr l iguldd e otr equivlete más secill, hst oteer l solució, que es el vlor de l icógit que hce ciert l iguldd iicil. U epresió como ( ) ( ) es u ecució, sólo es ciert pr 0. L solució es 0. H ecucioes co muchs solucioes, e icluso ifiits solucioes, por ejemplo,, se 0 otrs que o tiee solució como:. Por lo tto, resolver u ecució es oteer ls solucioes, si eiste, que l stisfce. Pr resolver u ecució se utiliz ls propieddes de l relció de iguldd ls propieddes de los úmeros. Ejemplos: Resolver ls ecucioes. Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r 6

18 ) 8 ():() 8: () ) ( ) : : Ecucioes de primer grdo co u icógit. Se llm ecució de primer grdo co u icógit u epresió de l form: 0 co 0,, R () Se llm de primer grdo porque l icógit sólo prece elevd l poteci uo. Ejemplos:. Cosideremos l ecució, o es de l form (), pero operdo lgericmete oteemos fi que es solució de l ecució.. Se, opermos oteemos 0, o eiste igú úmero rel que stisfg l iguldd. Por lo tto, est ecució o tiee solució.. Epresioes como: ó ( ), tiee ifiits solucioes, so cierts pr culquier úmero rel, so idetiddes. Ecucioes de segudo grdo co u icógit. Se llm ecució de segudo grdo co u icógit u epresió de l form: c 0 dode,, c 0. Oservemos que l icógit est elevd l segud poteci, por lo tto es de grdo dos l llmmos ecució cudrátic. Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r 7

19 U ecució cudrátic tiee lo más dos ríces reles. Ejemplos: ) 00 ecució cudrátic dode 0 c 0, por lo tto ) t 0t 0 e est ecució el termio c 0, si reescriimos l ecució oteemos t( t 0) 0 dode el primer miemro es u producto de dos fctores t (t 0). Semos que si el producto de dos fctores es igul cero, etoces uo de los fctores es cero, por lo tto t 0 o t 0 0. Luego t 0 t 0. ) e este ejemplo l ecució cudrátic est complet o es t secillo despejr l icógit como e los ejemplos teriores. Pr este tipo de ecucioes itroducimos l formul, que llmmos resolvete:,.. c. E este ejemplo,, 0 c 8 por lo tto, utilizdo l formul, oteemos:, ( 8)., , 0 0, 0. 0 Luego 0 0 Est ecució tiee dos solucioes reles. ) utilizdo resolvete co 9, 6 c, oteemos: Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r 8

20 , ,,, , Pr este ejemplo, teemos que l solució es ) 0 dode, c, ( ) ( ) Teemos que el rdicdo es u úmero egtivo, semos que dich ríz o tiee solució e los reles (más delte lizremos este tipo de ríces), por lo tto dich ecució cudrátic, o tiee solució. Ejercicios: ) Despej de ls siguietes fórmuls ls vriles idicds. ) S Prh, despej r ) S Pr Ef, despej r c) E, despej ( p )t d) k c, despej k e) T ( P p) s B, despej s ) Idicr cul de ls ecucioes so de primer grdo luego ecotrr su solució. ) 6 ) c) Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r 9

21 ) Resolver ls ecucioes. ) ) Ł ł 6 c) 6 ( ) d) [ ( ) ]. ( ) ) Plter l ecució resolver. ) L sum de tres úmeros eteros cosecutivos es 8. Cuáto vle cd úmero? ) Ecuetre tres úmeros impres cosecutivos cu sum es igul 7. c) De u depósito lleo de líquido se sc l mitd del coteido, después l tercer prte del resto qued ú 600 litros. Clculr l cpcidd del depósito e cetímetros cúicos. d) L sum de l set prte de u úmero el triple de su cosecutivo es curet uo. Cuál es este úmero? e) Jvier gsto l mitd de sus horros e u pr de zptills, u tercio de lo que le qued e u CD le qued $0. Cuáto diero tei horrdo? Cuáto gsto? ) Resolver ls ecucioes cudrátics, clsificr l solució. ) 6 0 ) ( 7 )(. t ) ( t ) t c) 0 d) ( v 7 )(. v ) 0 f) t 0 g) e) 7. ( ) 6) El cudrdo de u úmero etero es igul l siguiete multiplicdo por. Cuál es el úmero? 7) Cuál es el úmero cuo triple super e dos su cudrdo? 8) Algus ecucioes más pr prcticr. ) ) Ł ł 8 6 c) Ł 6 ł Ł ł Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r 0

22 d) e) Ł ł Ł ł 7 f) ( ) 0 g) ( ) h) ( ) ( ) Ecucioes e iecucioes co Vlor soluto Utilizdo l defiició ls propieddes de vlor soluto que trjmos e l pági 0, podemos resolver ecucioes e iecucioes. si 0 Ejemplo :, por defiició semos que si < 0 6 etoces C. S { 6,6} Ejemplo : plicmos defiició. o ( ) C.S {, } Ejemplo : 6 6.( ) Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r

23 Luego o 6 etoces C.S {6, } Ejemplo : [ ] C. S, Otr form: Ejemplo : > > o < C.S (, ) U (, ) > < Ejercicios: ) Escri e cd cso el cojuto solució que stisfce l desiguldd represetrl gráficmete. ) ) 7 c) < > d) ( ) < < e) 7 > < Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r

24 ) Determir pr que vlores de se verific represetr gráficmete l solució de ls desigulddes. ) ) ( 7 9) 0 c) () d) 0 e) < 7 f) g) 7 7 Ecucioes co dos icógits Y hemos visto ecucioes del tipo 0 (de primer grdo co u icógit) hor veremos ecucioes de primer grdo co dos icógits, del tipo c 0 co,, c R. Tiee como solució u pr de vlores (, ) que l stisfce. A este tipo de ecucioes tmié se ls suele llmr ecucioes lieles. L lielidd viee dd por que ms icógits está elevds l poteci uo o se multiplic etre sí. Ejemplos: ) 0 es u ecució liel co dos vriles, e, que tiee ifiits solucioes, por ejemplo pr ordedo (, ); (, /); (, ), et. etc. Tmié podemos escriir dichs solucioes, como ) Al determir ls fuerzs F F que ctú sore u vig, podemos teer l formul F F 00, que tiee como solucioes: (99, ); (80, 0), etc. Más delte seguiremos trjdo co ecucioes lieles. Sistems de ecucioes lieles co dos icógits. Los sistems lieles prece frecuetemete e situcioes de l físic, químic, ciecis turles, etc. como tmié e ciecis hums sociles, (ecoomí, psicologí, sociologí). Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r

25 H métodos covecioles de resolució de sistems lieles: Sustitució, Elimició (o Reducció por sum o rest) e Igulció. Estos métodos se s e u secueci de opercioes elemetles. Además h otros métodos: Guss, Regl de Crmer (o Determites) que lizremos e cpítulos posteriores. Repsremos dos métodos de resolució de sistems lieles de dos ecucioes co dos icógits. Resolverlos, es ecotrr l solució, es decir, el vlor de ls icógits, pr ello se sigue cierts técics que depede de l situció de cd sistem, pues culquier método de resolució de sistems es válido, que provee l mism solució. Método de Sustitució Como su omre lo idic, se despej u icógit de u de ls ecucioes se sustitue e l otr, es l mer más turl de resolver u sistem. Los psos seguir pr resolver u sistem de dos ecucioes co dos icógits so:. Elegimos u de ls ecucioes pr despejr u de ls icógits e térmios de l otr, e geerl, es l icógit más fácil de despejr.. Sustituimos l epresió oteid e l otr ecució os qued u ecució e u icógit se resuelve.. Luego, llevmos este resultdo l ecució despejd e el pso pr oteer l otr icógit.. Verificr l solució oteid e ms ecucioes. Ejemplos: ) Resolver el sistem 6 Pso : Después de oservr ms ecucioes, podemos despejr de l primer ecució: () Pso : Reemplzmos hor e l segud ecució: 6 Ł ł Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r

26 Nos qued u ecució de primer grdo e u icógit, cu solució es: Pso : El vlor de correspodiete lo oteemos sustituedo este vlor de e ():. 9 Por l tto: (,), Ł 9ł Pso : Sustituimos, Ł 9 ł e ms ecucioes, pr verificr que es solució:.. Ł. 9 ł Ł 6 9 ł Como se verific ms, l solució es: (,), Ł 9ł Este sistem tiee u úic solució, por lo tto lo llmremos sistem determido. ) H ecucioes como, e dode, l multiplicr por l segud ecució, oteemos l primer ecució, e este cso el sistem tiee ifiits solucioes. Por lo tto, e form geerl l solució del sistem se puede epresr como t, t dode t es Ł ł u úmero rel. Pr culquier úmero rel que se sige t, oteemos el vlor de correspodiete, e este cso, se dice que el sistem es idetermido. Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r

27 Pr mos ejemplos, los sistems so comptiles, porque podemos oteer u solució. Eiste sistems e los cules o podemos ecotrr solució, estos los llmmos icomptiles. Por ejemplo l segud, oteemos: Ł ł despejmos de l primer ecució 0 Por lo tto el sistem o tiee solució. ABSURDO! l reemplzmos e Por lo tto u Sistem de Ecucioes lieles co dos icógits puede teer u, ifiits o o teer solució. Sistem de Ecucioes Lieles Sistem Comptile Sistem Icomptile Solució Úic Sistem Determido Ifiits Solucioes Sistem Idetermido No tiee solució Método Igulció. El método de igulció cosiste e despejr l mism icógit e ls dos ecucioes e igulr sus epresioes, oteiedo sí u ecució co u icógit. U vez resuelt se otiee fácilmete el vlor de l otr icógit. Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r 6

28 7 Deprtmeto Igeierí Eléctric Por ejemplo: Resolver el siguiete sistem. 6 Pso : despejr u de ls vriles e ms ecucioes, e este cso despejmos l vrile 6 Pso : igulmos ls vriles pr oteer u ecució liel co u icógit resolvemos. Pso : 6 reemplzmos e ls ecucioes pr oteer el vlor de Por lo tto el cojuto solució es Ł 9 ł,

29 Ejercicios: ) Resolver los sistems por el método que cres coveiete. Clsificr su solució. ) ) 6 9 c) 7 7 d) ( ) 0 ( ) e) f) 7 6 ) Cosidere los siguietes sistems de ecucioes ) m p ) m p 8 Idic los vlores de m, p e cd uo pr que cd sistem resulte: I. Comptile Determido. II. Icomptile III. Comptile Idetermido. ) Ecotrr el vlor de k pr que el sistem teg l solució idicd. ) 6k 0 k, ) Ł ł (,) 0 k 9 0k (, ) (,) ) Plter resolver los prolems. ) U empres de vijes turismos cuet co micros que trsld 8 psjeros setdos co vrios miises co cpcidd pr persos. L últim vez que ls 8 uiddes vijro juts complets, trsldro 0 persos. Co cutos micros miises cuet l empres? Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r 8

30 ) U tetro tiee 80 utcs, etre plte pullm. L etrd pr pullm cuest $ pr plte cuest $0. Si l recudció totl de l fució de er, sl lle, fue $800, cuáts utcs e plte cuáts e pullm tiee el tetro? c) U modero uque de turismo tiee cmrotes doles (dos cms) simples ( cm). Si se ofert 6 cmrotes que e totl tiee 0 cms, verigur el úmero de cmrotes de cd tipo. d) Dos migos fuero de visit u grj e l que hí pvos corderos. Al slir uo de ellos le preguto l otro: Cuátos pvos corderos hí? Averígulo, vi 7 ojos pts Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r 9

31 CAPITULO : POLINOMIOS Llmremos epresió lgeric tod comició de letrs /o úmeros viculdos etre si por ls opercioes de sum, rest, multiplicció poteci de epoetes rciol. Moomios so epresioes lgerics e ls que ls vriles está multiplicds etre sí /o por costtes, es decir, o iterviee i sum i rest. U moomio es u poliomio de u solo térmio. Ejemplos:, 9., 7,, L costte del moomio se llm coeficiete; e los ejemplos teriores, so coeficietes:,, respectivmete. L, o ls vriles, de u moomio se l llm prte literl del moomio. Dos moomios del mismo grdo, co ls misms vriles elevds ls misms potecis, so semejtes. Ejemplos: so semejtes. Cso cotrrio, z z que tiee el mismo coeficiete ls misms vriles pero o sí los epoetes. E l sum de moomios, solo podemos sumr quellos térmios que se semejtes. L sum de moomios o semejtes, por ejemplo: uc es otro moomio, e este cso prticulr l sum os d u iomio. U iomio es l sum de dos moomios o semejtes, u triomio, de tres e geerl, u poliomio es l sum lgeric de culquier úmero de moomios o semejtes (e prticulr, u moomio tmié es poliomio). U epresió rciol eter recie el omre de poliomio, es decir que l vrile solo puede teer epoetes eteros positivos. Por lo tto: U poliomio e u vrile rel es u epresió lgeric de l form: Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r 0

32 P ( )... 0 dode Z se deomi coeficiete. i A lo llmmos grdo del poliomio, que es el epoete mor que fect l vrile. 0 se deomi coeficiete pricipl 0 se deomi térmio idepediete. Ejemplos: ) p( ) 0 e este poliomio, 0,,, 0 ) ( ) q el grdo es, 0 0, c) ( ) r quí solo teemos termio idepediete, 0. E geerl o se escrie los térmios co coeficietes ulos, como tmpoco el coeficiete igul. Etoces los poliomios de los ejemplos ) ) se escrie: ( ) q ( ) p Por esto podemos decir que mos poliomios está icompletos, pero e ) ) los poliomios está completos ordedos. Recordemos: U poliomio e u vrile est ordedo cudo todos sus térmios está dispuestos de modo que los epoetes umete o dismiu desde el primer térmio hst el último. L ordeció será creciete o decreciete segú los epoetes de l vrile, v de meor mor o vicevers. U poliomio e u vrile está completo cudo figur tods ls potecis de l vrile meores l grdo del poliomio. Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r

33 Si u poliomio está icompleto, es posile completrlo escriiedo ls potecis de l vrile que flt co coeficiete cero. Poliomio Nulo: u poliomio es ulo, cudo todos sus térmios tiee coeficietes igul cero. Lo simolizmos co Vlor Numérico: Es el umero rel que se otiee l reemplzr ls letrs (vriles) que iterviee e l epresió por úmeros reles determidos efectur ls opercioes idicds, siempre que se posile. Ejemplo: P ( ) uscmos el vlor umérico de P(0), P() P() P P ( 0).0.0 ( ).. 0 P ( ). ( ). ( ) Opercioes fudmetles: Sums rests Pr sumr dos o más poliomios se grup los moomios semejtes. A l rest de dos poliomios l trsformmos e sum, sumdo l miuedo el opuesto del sustredo. Ejemplos : Se T() L() poliomios, dode T ( ) L ( ) l sum T() L() se puede escriir como: Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r

34 Deprtmeto Igeierí Eléctric T() L() ( ) O co l uicció de l sum de úmeros turles, pr esto el poliomio dee estr completo ordedo e form decreciete: Ejemplo : J 6 ) ( 6 ) ( U ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ) ( U J Dode U() es el poliomio opuesto de U() Multiplicció. El producto de dos moomios es otro moomio co coeficiete igul l producto de los coeficietes de los fctores el grdo es sum de los grdos de los fctores. Ejemplo: ( ) 7. E l multiplicció de u poliomio por u moomio, plicmos l propiedd distriutiv del producto respecto l sum: Ejemplo: ( ) ł Ł Pr multiplicr poliomios, lo hcemos plicdo reiterdmete l propiedd distriutiv, es decir, se multiplic cd térmio de uo por cd térmio del otro, sí por ejemplo: 0 fl fl fl fl 0

35 Deprtmeto Igeierí Eléctric ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ł Ł Productos Notles: Alguos productos o idetiddes importtes, que utilizremos e vris oportuiddes. A estos productos los llmmos, productos otles. DIFERENCIA DE CUADRADOS: El producto de l sum de dos térmios por ls difereci de los mismo, es igul l difereci de los cudrdos de dichos térmios. CUADRADO DE UN BINOMIO: El producto de u iomio por si mismo recie el omre de cudrdo del iomio Por lo terior l epresió recie el omre de triomio cudrdo perfecto. Etoces CUBO DE UN BINOMIO: Al elevr l cuo u iomio teemos l siguiete epresió: Al desrrollr el producto siempre oteemos l mism estructur, es decir, se otiee epresioes lgerics equivletes: ( ) ( )( )..... ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ). ( ) ( ) ( ) ( )

36 Se deomi cudriomio cuo perfecto ls epresioes so equivletes. DIVISION DE POLINOMIOS Cociete de dos moomios: El cociete de dos moomios, uo de grdo m otro de grdo, co m, es otro moomio, cuo grdo es l difereci de los grdos el coeficiete se otiee dividiedo los coeficietes de los moomios ddos, es decir: : Divisió de u poliomio por u moomio: Pr dividir u poliomio e u moomio se plic l propiedd distriutiv, solo es posile de derech izquierd. El resultdo o siempre es u poliomio. ( ) : ( ) Ł ł Divisió de dos poliomios: Se P() Q() dos poliomios co Q() 0, tl que gr P() grq(). Etoces eiste dos poliomios úicos C() R() tles que: P() Q().C() R() co gr R() < grq(). Llmremos P() dividedo, Q() divisor, C() cociete R() resto. Cudo R() 0 l divisió es ect por lo que P() Q().C() se dice que Q() es u fctor de P() o que P() es divisile por Q(). Ejemplo: Relizr el cociete etre P ( ) Q( ) Pso : completmos ordemos e form decreciete los poliomios P() Q(). P ( ) P( ) 0 Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r

37 Pso : E resume: Pr clculr el º térmio del cociete, dividir el térmio de mor grdo de P() por el térmio de mor grdo del divisor. Luego se multiplic el térmio del cociete recié oteido por todos los térmios del divisor se coloc el resultdo jo de los térmios de P() que le se semejtes. Por ultimo se rest se cosider este resultdo, u resto prcil, como el próimo dividedo Se repite los pso teriores co el uevo dividedo hst oteer el resto grdo meor que el grdo del divisor. Oteemos: C ( ) 9 R( ) 8 Etoces: ( )(. 9) ( 8) Eiste u método que permite relizr l divisió de poliomios de mer más secill, pero lmetlemete solo puede plicrse si el divisor es de l form ( ). Pr resolver este tipo de cocietes deemos plicr l Regl de Ruffii. Vemos como resolverlo medite u ejemplo: Ddos P() Q() Hllemos el cociete el resto de P():Q() Recorddo lo trjdo e l divisió terior, el dividedo tiee que estr completo ordedo. Pr poder plicr l regl, solo vmos trjr co los coeficietes del poliomio ordedo completo. Estos coeficietes se uic de l siguiete mer: Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r 6

38 Primero completmos ordemos el poliomio P( ) 0 E l prte superior derech se uic los coeficietes del poliomio dividedo. E l prte izquierd se uic el opuesto del térmio idepediete del divisor, es decir ( ). El coeficiete pricipl se j primero si ser modificdo, luego se lo multiplic por el opuesto del térmio idepediete del divisor se sum el resultdo l segudo coeficiete del dividedo sí sucesivmete. Opuesto del térmio idepediete del divisor. Coeficietes del dividedo. Resto Coeficietes del poliomio cociete Por lo tto el poliomio cociete es C ( ) 7 el resto ( ) 9 R. L Regl de Ruffii l podemos plicr sólo cudo dividimos u poliomio P() por otro de l form ( ), el cociete C() oteido, es u poliomio de grdo meor e u uidd l de P() el resto R() es u costte. Ejercicios: ) Reliz ls siguietes dicioes de poliomios. ) (,z z) (7z z ) ) ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ Ł ł Ł ł Ł c) ( k k) ( k 6k ) 7k k ł Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r 7

39 Ø Œ º ø œ łß d) g ( 6g g ) g g Ł ł Ł ) Ecuetr el Vlor Numérico del siguiete poliomio ( ) pr, 0. ) Resuelve los siguietes productos. )(w) w w )(6v v v)( v ) Ł ł 6 6 c) ( t t)( t t) d)(s )(s ) e)( q q )( q q) f )( p p p )( p p p ) g)( )( ) ) Resuelve )( j ) ( j j ) ( j ) ) ( h h ) ( h ) ( h ) ) Ddos: ( ) P Q ( ) R( ) 6 7 Resuelve los siguietes cálculos comidos. ) P().Q() R() ) R().[Q() P()] 6) Siedo 7 B( ) A ( ) C ( ) D ( ) Hll los resultdos de: ) A().[B() C()] ) [D().C()] [A()B()] c) [B()].D() 6.C() d) [B()] A() 7) Hllr el cociete el resto de cd divisió. ) ( 7 ) : ( ) ) ( 6 0): ( ) Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r 8

40 c) : Ł 6 ł Ł ł 8) Clculr el o los vlores de m dode ls divisioes so ects. ) ( m ) : ( ) ) ( m ): ( ) Teorem del Resto El resto de l divisió de u poliomio P() por otro de l form ( ), es igul P() Pr el ejemplo terior dode P( ) Q ( ) cociete resto, si solo os iteres lizr el resto de l divisió, clculmos: R P ( ). ( ) ( ) 6 9, se pedí que ecotremos el Este teorem os ud ivestigr si u poliomio es divisile por otro de l form ( ), es decir, str co ecotrr P(). Si P() 0, etoces P() será divisile por ( ), si P() 0 o lo será. Ríces de u poliomio. Decimos que u úmero rel es ríz o cero de u poliomio P() si solo si se verific que P()0 Oteemos sí u coclusió importte: Si es ríz de P() etoces el poliomio es divisile por ( ), por lo tto P() podemos epresrlo de l form: P()( ).C() Dode C() es el cociete de P():( ). Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r 9

41 Pr ecotrr ls ríces de lguos poliomios, podemos igulr cero l epresió resolver l iguldd, por ejemplo: El úmero rel es ríz o cero de P ( ) P Ł ł Ł fi ł. 0 El poliomio ( ) Q o dmite ceros o ríces reles porque l plter 0 o eiste reles que stisfce l iguldd. Pr ecotrr los ceros o ríces de P ( ) c, teemos c 0 ls ríces de est epresió ls ecotrmos medite l resolvete (como trjmos e el cpitulo ), por lo tto, c Se Z ( ), hciedo resolvete, () ()..(). 8 dode ½ Pr poliomios del tipo ( ) P deemos itroducir el Lem de Guss, este os ud ecotrr ls ríces de culquier poliomio. Lem de Guss: Se P( )... 0 u poliomio co coeficietes eteros. v Si P() dmite l úmero etero como ríz, etoces es divisor de 0. p v Si P() dmite l úmero rciol como ríz, etoces p es divisor de 0 q q es divisor de. Pr el poliomio P( ) 0, P() dmite ríz rciol, etoces deemos uscr los divisores de p q pr oteer ls posiles ríces del P(). Luego: Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r 0

42 p,,,, 6, q p ls posiles ríces so {,,,, 6, } q Ecotrmos ls ríces utilizdo el Teorem del Resto. P P P P P P ( ) 0 () 0 ( ) ( ) () ( ) es ríz de P(). Hciedo Ruffii: Luego P ( ) ( )( ), hciedo resolvete pr oservmos que o tiee ríces reles. Es posile que u poliomio teg vris ríces igules, por ejemplo: ( )( ) ( ), e este cso es ríz de multiplicidd. Teorem Fudmetl del Alger: u poliomio co coeficietes reles de grdo tiee ríces reles o complejs cotds co su multiplicidd. Si oservmos los ejemplos teriores, l ctidd de ríces de u poliomio depede del grdo del mismo, e geerl: Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r

43 El poliomio P( )... 0 puede escriirse e su form fctorizd, como producto de los iomios que form ls ríces, de l siguiete mer: ( ) ( r )( r )...( ) P r dode es el coeficiete pricipl r i ls ríces. Si es igul, decimos que el poliomio es móico. Ejemplo: Cuáles so ls ríces de P()( ).( )? Teiedo e cuet el teorem fudmetl del lger, teemos que el grdo del poliomio es, por lo tto el poliomio tiee ríces: r co multiplicidd r co multiplicidd. FACTORIZACION DE POLINOMIOS. Fctorizr u poliomio es epresrlo como producto de fctores primos. Pr fctorizr u poliomio utilizmos distitos métodos, los más utilizdos so: v Fctor Comú: U epresió lgeric es fctor comú de todos los térmios de u poliomio cudo prece multiplicdo e cd uo de esos térmios. Ejemplo : E l epresió 8 z z wz, el fctor comú es z. Etoces ( z ) 8 z z wz z wz deemos teer e cuet que ls vriles que sco como fctor comú, dee estr siempre elevds l meor poteci. Ejemplo : e lguos csos es ecesrio scr fctor comú (). ( ) v Fctor comú por grupo: U epresió lgeric puede o teer u úico fctor comú e todos los térmios sio fctores comues distitos e cd grupo de térmios. Si luego de socir coveietemete se puede etrer u úico fctor comú hremos fctoredo. Ejemplo : e l epresió m 6m m o eiste fctores comues todos los térmios, pero grupdo podemos oteer: Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r

44 ( m 6m m) ( ) m( ) ( )( ) ( )( m ) Escriimos el poliomio como producto de fctores. v Triomio cudrdo perfecto Ateriormete vimos que ( ) por lo tto culquier poliomio de l form se puede fctorizr como u iomio l cudrdo. Pr ecotrr el iomio decudo se procede del siguiete modo: i) Se usc los cudrdos se determi sus ses ii) Se comprue que el otro térmio se el duplo de ls ses de dichos cudrdos iii) Se liz los sigos se determi si correspode l cudrdo de u sum o l cudrdo de u difereci. Ejemplo : E l epresió los cudrdos perfectos so sus ses respectivmete. Además el duplo de ls ses.. que verific el segudo termio del triomio, por lo tto ( ) Ejemplo : pr p 0 p los cudrdos so p dode sus ses so p. El duplo de ls ses verific,..p 0 p que es el tercer termio de l epresió. p 0 p p Como este térmio es egtivo, teemos: ( ) vcudriomio Cuo Perfecto: Llmmos sí todo poliomio de l form ( ) Pr ecotrr el iomio decudo se procede del siguiete modo: i) Se usc los cuos se determi sus ses ii) Se comprue que los otros térmios se el triple del cudrdo de u se por l otr se ltertivmete Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r

45 Ejemplo: Pr l epresió 6 8 los cuos perfectos so 8, sus ses so. Además tto: 6 8 ( ) se verific el segudo ercer termio de l epresió. Por lo v Difereci de Cudrdos: Todo poliomio que es difereci de cudrdos es igul l producto de l difereci de ls ses de dichos cudrdos por l sum de ls misms, es decir: ( ) ( )( ) Ejemplos: * ( 6) ( )( ) 6 * ( 8) ( 9)( 9) * ( ) ( )( ) Teer presete que: el Lem de Guss tmié se puede utilizr pr fctorizr poliomios. Ejercicios: ) Hllr ls ríces de los siguietes poliomios luego escriirlo e form fctorizd: ) ( ) P siedo u ríz. ) ( ) 6 Q siedo ríz de multiplicidd. c) R( ) ) ) Costruir u poliomio móico de segudo grdo que teg como ríz dode el termio idepediete se. ) Escriir u poliomio de curto grdo co ríces,. Eiste u úico poliomio co ests crcterístics? Justificr. Dr dos ejemplos más. ) Fctorizr ls siguietes epresioes, comido los csos de fctoreo: ) 6 6 ) 9 c) 8 g g Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r

46 d) 0v 60v v e) 8 7 f) 6 6 g) h) i) ) Fctorizr umerdor deomidor de ls epresioes lgerics frccioris luego simplificr. ) 8 ) c) ( ) ( ) 9 d) 9 Deprtmeto Igeierí Eléctric mectroic@frsf.ut.edu.r