1 2 n n -1 = -

Transcripción

1 Límite cudrdo, es u grbdo de M. Escher (898-97) dode utiliz figurs semejtes e vez de figurs cogruetes. prtir de 955, Escher se sirve de este tipo de costruccioes pr proximr el ifiito medite series. lgus de ests obrs, demás de l ombrd, es su serie de Límites circulres, Evolució y De más e más pequeño. B G / J / K /8 N F D E H C Pr geerr l red de Límites cudrdos, Escher prtió de u triágulo isorrectágulo BC y sobre l hipoteus BC se costruye otros dos triágulos isorrectágulos DBE y DCE, siedo D el puto medio de BC. Se iter este proceso y se obtiee los cutro triágulos FBG, FGE, HCI y HEI. Y sí sucesivmete. Si BG tiee logitud, etoces GJ=, JK=,... Luego CM=BN es igul l vlor de l siguiete sum ; cudo el úmero de térmios - se hce muy grde (se dice que tiede I ifiito ). Como es es l sum de los térmios de u progresió geométric de rzó, result - = - lo cul tiede pr vlores muy grdes de puesto que - M tiede.

2 Sierpiski i Nture Fotogrfí de Gyl Chdler. Ls sucesioes El mudo de los frctles, estos mrvillosos diseños geométricos que os cutiv y que está presetes e l turlez y ls rtes, se relcio estrechmete co cierto tipo de fucioes deomids sucesioes o secuecis. Procedmos co l costrucció siguiete e relció co u triágulo, l cul idicremos por psos:... Estdo iicil Pso Pso Pso 3 Estdo iicil: Comezmos co u triágulo equilátero de ldo y áre Etp : Etp : Etp 3: Mrcmos los putos medios de cd ldo y los uimos co segmetos. Se form triágulos equiláteros cogruetes. Elimimos el triágulo cetrl (e blco) y repetimos l etp co cd uo de los triágulos rojos que qued. Itermos (repetimos sucesivmete) l etp e cd triágulo de color rojo. Después de seguir este lgoritmo idefiidmete se obtiee u frctl deomido Triágulo de Sierpiski (Frctl de Sierpiski). So muchs ls preguts que podemos hcer e relció co este frctl, por ejemplo: ) Cuátos triágulos e blco y cuátos triágulos o elimidos hy después de psos? ) Cuáto mide el perímetro de cd uo de esos triágulos y cuáto el perímetro totl? 3) Cuál es el áre de cd triágulo y el áre totl de los triágulos o elimidos? Wclw Sierpiski (Poloi, ) ideó el triágulo que llev su ombre e u trbjo presetdo e 96, u cudo e es époc o se utilizb el ombre de frctl i se dispoí de u teorí sobre estos etes geométricos. Sierpiski fue u emiete mtemático polco, profesor e Lvov y Vrsovi. Uo de los cráteres de l Lu llev su ombre. Fudció Polr Últims Noticis El mudo de l mtemátic Sucesioes

3 Respodemos ess preguts utilizdo u tbl dode l primer colum correspode l estdo iicil (=), l que sigue l primer pso (=) y sí sucesivmete hst l últim que d el pso -ésimo. Psos 3... Número de triágulos o elimidos 3 = 3 =3 3 =9 3 3 =7?... 3 (e rojo) Número de triágulos elimidos +3= +3+9= (e blco) ? = Ldo de cd triágulo?...? 3 Perímetro de cd triágulo ?...? 3 Perímetro totl de los triágulos o ?...? elimidos Áre de cd triágulo o elimido?...? 3 Áre totl de los triágulos o ?...? elimidos Observ que e cd u de ls fils prece u sucesió de úmeros que sigue cierto ptró, lo que d lugr u ley de formció de los térmios. Por ejemplo, l fil úmero uo es:, 3, 9, 7,... esto es, 3 = 3, 3 3 = 3, = 3 3, = 3,..., = 3,... Cd u de ls expresioes escrits e l últim colum depede del úmero turl, =,,, 3,, 5,..., es decir, so fucioes co vrible idepediete y co vlores e los úmeros reles. Tles fucioes se deomi sucesioes. sí, l primer fil defie l sucesió, 3, 3, 3 3,..., 3,... e dode cd térmio es igul l terior multiplicdo por 3. Estmos e preseci de u situció mtemátic, frctles, que tiee viculcioes co ls rtes y ls forms de l turlez. ú más, l mism codujo : Costruir u lgoritmo de tres etps (secueci fiit de istruccioes). Cotr, lo hicimos cotdo triágulos. Iterr, lo que sigific repetir o reiterr. Est pirámide de Sierpiski fue esmbld e l etrd del Miepolis Covetio Ceter pr l reuió ul del Cosejo Nciol de Profesores de Mtemátics (sus sigls e iglés NCTM) e bril de 997. Tuvo 6 metros de lto y fue costruid por u grupo de estudites de geometrí del ok High School. estos procesos se sum u cojuto de coceptos mtemáticos: triágulo, puto medio, perímetro, áre, frctl, y todo esto es prte del mrvilloso mudo de l mtemátic cotemporáe. 3 - Nótese lgo sorpredete e el frctl de Sierpiski. ) Como 3 3 >, etoces medid que umet l poteci ( ) tmbié umet: < ( 3 ) < ( ) 3 < ( ) < ( ) 5 < ( ) 6 < ( ) 7 <...,5 <,5 < 3,375 < 5,65 < 7,59375 <,3965 < 7, <... y esto implic que el perímetro totl v creciedo ifiitmete, se dice que tiede ifiito. ) Como 3 <, etoces medid que umet l poteci ( 3 ) dismiuye: 3 > ( 3 ) > ( 3 ) 3 > ( 3 ) > ( 3 ) 5 > ( 3 ) 6 > ( 3) 7 >...,75 >,565 >,875 >,3665 >, >, >, >... por lo tto, e cd pso el áre totl dismiuye e 75%, lo cul implic que dich áre se proxim cero, se dice que tiede cero. Lo sorpredete es que u perímetro ifiito cotiee u áre fiit ul, lo que o estmos costumbrdos co l myorí de ls regioes geométrics pls ecerrds por curvs que tiee logitud fiit, como so ls circuferecis, ls elipses (óvlos), los polígoos, etre otrs. Fudció Polr Últims Noticis El mudo de l mtemátic Sucesioes

4 Sierpiski i Nture Fotogrfí de Gyl Chdler. lizdo sucesioes Misceleous Fotogrfí de Gyl Chdler. Cosideremos cutro sucesioes. licemos sus gráficos. N() B() Sucesió de térmio geerl N()= 3 que d el úmero de triágulos e rojo e el frctl de Sierpiski. quí observmos que l sucesió es creciete, es decir, medid que umet etoces N() tmbié umet y crece idefiidmete y se dice que tiede hci ifiito. Sus térmios está e progresió geométric de rzó 3> Sucesió de térmio geerl B()= que d el úmero de triágulos e blco e el frctl de Sierpiski. Est sucesió tmbié es creciete y medid que umet los térmios de B() crece idefiidmete y se dice que tiede hci ifiito. 5 T() E el dirio El Uiversl del dí 3//, p.-, se ecuetr u rtículo co el título Cfé e brr umetó Bs y el gráfico siguiete: Co leche o egrito,5 8 6 Diciembre 3 Eero Febrero Mrzo Sucesió de térmio geerl T()= ( ) que permite clculr el áre del frctl de Sierpiski cudo crece idefiidmete y supoiedo el áre del triágulo iicil =. Est sucesió es decreciete, es decir, medid que umet sus térmios dismiuye. Los térmios de est sucesió está e progresió 3 geométric de rzó <. Observmos gráficmete que los putos e egro se v proximdo l eje de bsciss y se dice que l sucesió tiede cero que es el áre del frctl de Sierpiski. 8 Observemos que está idicdos cutro putos, que represet los térmios de u progresió ritmétic de rzó y primer térmio. El térmio -ésimo de es progresió es = + (-), y e el cso de ese gráfico se d los cutro primeros térmios (=,, 3, ). E qué porcetje subió el cfé e brr e esos cutro meses? Como los putos de l sucesió está e líe rect, se dice que l sucesió crece lielmete. E coclusió, ls sucesioes tiee diverss propieddes. lgus so crecietes, bie se lielmete, expoecilmete o de otr form y tiede l ifiito ; otrs so decrecietes y tiede hci lgú úmero. Otrs so crecietes pero sus vlores o super determido úmero (se deomi sucesioes cotds superiormete). Tmbié hy sucesioes osciltes, por ejemplo l de térmio geerl (-), sucesioes periódics, etre otrs. Fudció Polr Últims Noticis El mudo de l mtemátic Sucesioes

5 Estudiemos más ejemplos de sucesioes: ) 5,, 5,, 5, 3, 35,... ) 3, 6,,, 8, 96, 9, 38,... 3), 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9,... ) 3, 7, 5, 6, 3,,,, 5, 6, 8,,,,,,,... Seguirá los cojutos de úmeros presetdos lgú comportmieto regulr, lgú ptró? Podremos coseguir lgu fórmul que los represete o geere? Cd uo de estos cojutos de úmeros represet u sucesió. Estudiemos cd situció Progresioes ritmétics, geométrics y otrs sucesioes Pr los úmeros 5,, 5,, 5, 3, 35,... teemos: - 5 = 5 - = - 5 = 5 - = 3-5 = 35-3 =... = 5 Como vemos, l difereci etre u térmio y el terior permece costte: siempre vle 5. Estos úmeros so múltiplos de 5. Pr est sucesió cd térmio se obtiee del terior gregdo 5. Vemos que sigue u ptró, el cul demás es similr l que se sigue pr costruir los úmeros turles y pr el cso de los úmeros pres. Pr el cso de los úmeros turles dos térmios cosecutivos se difereci e. Pr el cso de los úmeros pres dos térmios cosecutivos se difereci e. Pr el cso de los múltiplos de cico dos térmios cosecutivos se difereci e 5. Podemos hor imgir u sucesió pr l cul l difereci etre sus térmios cosecutivos se u úmero culquier, r.. Ests sucesioes recibe u ombre especil: Se llm progresioes ritmétics. Es frecuete deotr co símbolos los térmios de u sucesió. sí, desig l primer térmio, l segudo, 3 l tercero, y sí sucesivmete. El térmio geerl, quel que ocup el lugr eésimo, se deot por. Cudo se tiee vris sucesioes l vez los respectivos térmios geerles se deot por, b, c, etc. El ptró de u progresió ritmétic se describe medite l fórmul de recurreci (el térmio -ésimo, se escribe e fució del térmio terior o (-)-ésimo) - - =r; de dode = - + r Rzó de l progresió prtir de l fórmul terior se puede determir otr fórmul que represet el térmio geerl de u progresió ritmétic: = +( -)r, co N N= {,,, 3,...} es l vrible e idic el úmero de térmios. Se lee co perteeciete los turles Por tto l sucesió cosiderd e uestro primer ejemplo puede expresrse medite l fórmul = 5 + (-)5, =,,... Fudció Polr Últims Noticis El mudo de l mtemátic Sucesioes 3

6 Divie proportio grid I Irvig Leord Kpl igeiero mecáico y rtist ortemerico (99- ) Progresioes ritmétics, geomé Vemos qué ocurre e el cso de los úmeros 3, 6,,, 8, 96, 9, 38,... Qué ocurre si clculmos l difereci etre u térmio y el terior? 6-3=3, -6=6, -=... Notmos que hor ls diferecis o permece costtes. Exploremos qué sucede si dividimos u térmio etre el terior. 6 3 = 6 = =... = E est situció teemos que el cociete de dos térmios cosecutivos permece costte: vle. Podemos hor imgir u sucesió pr l cul el cociete etre sus térmios cosecutivos se u úmero culquier, r. Ests sucesioes tmbié recibe u ombre especil, se llm progresioes geométrics El ptró de u progresió geométric se describe medite l fórmul de recurreci: - = r, de dode = - r es l vrible Rzó de l progresió prtir de l fórmul terior se puede determir otr fórmul que represet el térmio geerl de u progresió geométric: = r ( -), co N Por tto e est últim sucesió el térmio geerl es = 3-3 Se lee co perteeciete los turles Hemos podido explorr l preseci de ptroes uméricos e ls sucesioes presetds. Pero, qué se observ si relizmos represetcioes gráfics? Vlores: 5,, 5,, 5, 3,... =5+5(-) r=5>... Podemos otr que medid que umet tmbié lo hce. Luego l sucesió es creciete. Este crecimieto es liel. Todos los vlores está por ecim de 5; luego, está cotd iferiormete. No es cotd superiormete y que los vlores puede superr culquier vlor preestblecido., -, -, -7, -, b=-3(-) r=-3<... Pr est situció, sucede que medid que umet b dismiuye. E este cso l sucesió es decreciete. sí teemos u decrecimieto liel. No es cotd iferiormete y que los vlores de b puede hcerse meores que culquier vlor preestblecido. Es cotd superiormete puesto que igú b super el vlor. Fudció Polr Últims Noticis El mudo de l mtemátic Sucesioes

7 trics y otrs sucesioes Óper de Sidey ustrli. Grfiquemos el ejemplo cuyos vlores so: 3, 6,,, 8, 96,... 5 C() C = 3 - L sucesió de térmio geerl 3 - es creciete. Si embrgo, ell crece mucho más rápidmete que l terior sucesió. El crecimieto de est sucesió se llm crecimieto expoecil. Todos los vlores está por ecim de 3; luego, está cotd iferiormete. No es cotd superiormete y que los vlores c puede superr culquier vlor preestblecido Cudo lgu situció rel está modeld medite u progresió ritmétic o u progresió geométric, se dice que hy u crecimieto o decrecimieto liel o u crecimieto o decrecimieto expoecil, respectivmete. L rzó de ests deomicioes se etiede fácilmete co los gráficos siguietes, siedo r l rzó de l progresió. b r r> r> 3 5 E l gráfic de u progresió ritmétic (putos liedos), l mismo icremeto de l vrible idepediete correspode icremetos igules e los vlores de l sucesió. Observ los segmetos verticles. E l gráfic de u progresió geométric (putos e u expoecil), l mismo icremeto de l vrible idepediete o correspode icremetos igules e los vlores de l sucesió. Observ los segmetos verticles. álogmete ocurre pr progresioes ritmétics decrecietes (r<) o progresioes geométrics decrecietes (<r<), como observs cotiució: 3 c d r< <r< Fudció Polr Últims Noticis El mudo de l mtemátic Sucesioes 5

8 RETO cotiució se d ls gráfics de distits sucesioes. Determi propieddes de ls misms e relció co su crecimieto o decrecimieto, si tiede hci lgú vlor, si está o o cotds,... c L b d e - g h f Boecio (Itli, c. 8-5) E l tigüedd ls sucesioes se deomib series o progresioes, ombre derivdo del ltí progressio y utilizdo por los mtemáticos de l Edd Medi como Boecio y otros. E l ctulidd se us l plbr sucesió o secueci e lugr de progresió, queddo este último térmio socido sólo ciertos tipos especiles de sucesioes como ls progresioes ritmétics, geométrics y rmóics. El vocblo serie modermete se emple pr desigr u tipo prticulr de sucesioes: quells que se obtiee de ir sumdo térmios de u sucesió previmete dd. Ls progresioes ritmétics y geométrics so coocids desde mucho tiempo trás. ritmétic Los primeros idicios de tl progresió se ecuetr e el Ppiro Rhid (del escrib hmes), co u problem de dividir pes etre 5 persos de tl form que l ctidd de p que los dos primeros recibe se igul u séptimo de l ctidd que recibe ls otrs 3 persos. RETO: Clcul l ctidd de p que le tocó cd quie. hmes, c.65.c. Geométric Los primeros idicios de tl progresió se ecuetr e Bbiloi (c..c.). E el Ppiro Rhid hy u curioso problem, coducete u progresió, que se lee como sigue (e otció ctul) Css 7 Gtos 9 Rtoes 33 Espelt Hekt 6 87 Todos 9 67 dode espelt es u vriedd de trigo y hekt es u medid de cpcidd. Es u progresió geométric de rzó 7 y l sum de sus primeros 5 térmios d El problem se puede iterpretr sí: E cd cs hy 7 gtos; cd gto mt 7 rtoes; cd rtó podrí hberse comido 7 espigs de espelt y cd espig podrí hber producido 7 hekt de gro. Cuáto gro se h slvdo grcis los gtos? Hy que recordr que e l mitologí egipci los gtos er imles sgrdos. 6 Fudció Polr Últims Noticis El mudo de l mtemátic Sucesioes