Del número áureo a la sucesión de Fibonacci. Una curiosa relación

Transcripción

1 Del úmero áureo l sucesió de Fiocci. U curios relció Crme SÁNCHEZ DÍEZ. El úmero de oro: Euclides (.C.-6.C.) expoe e sus Elemetos: Se dice que u líe rect está dividid e el extremo y su proporciol cudo l líe eter es l segmeto myor como el myor es l meor. E el leguje que mejmos e l ctulidd dirímos que u segmeto está dividido e l proporció áure si l rzó etre l logitud totl del mismo y l logitud del myor es l mism que l rzó etre l logitud del myor y l logitud del meor. Est es l primer reereci segur que coocemos sore est proporció que hoy deomimos úmero áureo, úmero de oro, divi proporció, etc., pues uque lguos utores h sugerido l posiilidd de que el cocepto esté coteido e tlills ecotrds e Biloi y Asiri, co dtció e ños tes de Cristo, o existe u documetció ile de que uer coocido tes de l or de Euclides. Así, si u segmeto se divide e dos prtes, y, co myor que, ms estrá e l proporció áure si l rzó etre l logitud del segmeto totl y l logitud del myor es igul l rzó etre y l logitud del meor: Esto quiere decir que se h de veriicr l relció lgeric., dode ls vriles y so úmeros reles positivos. Si resolvemos l ecució de segudo grdo e se tiee, tomdo, ovimete, l ríz positiv: Es decir, el úmero áureo es φ, Se deomi secció áure l iverso del opuesto del úmero áureo: ( ) φ

2 Y result pr l secció áure Se dice que u rectágulo de ldos y está e l proporció áure, o e l divi proporció, si mos ldos se ecuetr e l proporció áure. Es muy secillo ecotrr gráicmete el ldo meor del rectágulo áureo cudo solo se cooce el ldo myor. Hremos lo siguiete: Diujremos el cudrdo de ldo y mrcremos, co u compás cetrdo e el puto medio M del ldo CD, el rco de circuereci que psdo por A cort e N l prologció del ldo CD. Por N trzmos u perpediculr dich prologció hst cortr l prologció del ldo AB e el puto Q. El rectágulo áureo es el rectágulo de vértices QADN. E tl rectágulo el ldo es AD y el ldo es ND. Tmié, e este cso, es ovio que es tmié rectágulo áureo el rectágulo de ldos QB y QN. Comproemos cotiució que mos ldos está e l proporció áure, o se que /φ : - Clculemos e primer lugr, medite el teorem de Pitágors, l logitud MA, que es igul, por costrucció, l logitud MN: - Como NDMN-DM MA MN - Por cosiguiete, l proporció es:. O se,

3 ( ( ) )( ( ) ( ) ) φ. L sucesió de Fiocci: El mtemático itlio Leordo de Pis (7-), coocido como Fiocci, se hizo moso tto por su gr cotriució l divulgció e Europ del sistem de umerció ido-ráigo que utilizmos hoy, como por el descurimieto de u sucesió de úmeros reles, que se cooce desde etoces co su omre. Se trt de l sucesió que comezdo co los úmeros,, cd térmio result ser l sum de los dos teriores: {,,,,,,8,,...,,...} ( ) >, Así, pues, se tiee que E relidd, ls ides ásics de l sucesió se ecotr e l or de lguos mtemáticos hidues como Pigl (.C.), y y e el siglo XII, l us Gopl () y Hemchdr (). Fiocci presetó l sucesió e su or Lier Aci, e, y miiest herl ecotrdo l resolver el prolem de l crí de coejos: "Cierto homre teí u prej de coejos jutos e u lugr cerrdo y dese ser cuátos so credos prtir de este pr e u ño, cudo es su turlez prir otro pr e u simple mes, y e el segudo mes los cidos prir tmié". Siedo el periodo de gestció de uos - dís, se trtrí de coocer el úmero de imles (prejs) que existirá los meses, supoiedo que se reproduce cotiumete y cd prej de coejos d lugr u uev prej (mcho y hemr). Cd coejo se puede cruzr l edd de u mes. Se tedrí: Al comiezo del primer mes: Al il del primer mes: Al il del segudo mes: Al il del tercer mes: Al il del curto mes: Al il del quito mes: Al il del sexto mes: Al il del séptimo mes: Al il del octvo mes: Al il del décimo mes: prej (l prej origil que se supoe ce hor). prej que se cruz (l prej que ce l comiezo del primer mes). prejs (ce u prej) y se vuelve cruzr l primer prej. prejs (ce l tercer prej) y se cruz ls dos preexistetes. prejs (ce dos prejs) y se cruz ls tres preexistetes. 8 prejs (ce tres prejs) y se cruz ls cico preexistetes. prejs (ce cico prejs) y se cruz ls ocho que existí. prejs (ce ocho prejs) y se cruz ls preexistetes. prejs (ce prejs más) y se cruz ls prejs que existí. prejs ( que ce hor más

4 ls que y existí). Al il del udécimo mes: 89 prejs que correspode ls que existí más ls que ce hor). Al il del duodécimo mes: prejs que so l sum de ls 89 que existí ms que ce hor. Cd uo de los térmios de l sucesió de Fiocci se otiee, como luego se comprorí, sumdo ls digoles del Trigulo de Trtgli, tl como idicmos e l igur: Es decir,

5 y el térmio geerl,, vedrá ddo por l sum dode j j j deot l prte eter de l mitd de.. Relció del úmero de oro co l sucesió de Fiocci: Vemos lgus de ls más importtes coexioes que existe etre l proporció áure y los térmios de l sucesió de Fiocci... Relció mixt: Si dos úmeros reles, y, se ecuetr e l proporció áure (es decir, si φ ) etoces se veriic que N. / >,.. siedo y el térmio -simo y el térmio --ésimo, respectivmete, de l sucesió de Fiocci. Demostrció:.. Multiplicdo est relció por y simpliicdo, se otiee sucesivmete: Si sustituimos e l expresió geerl l medid por. φ, se tedrá que:. φ.. φ.. φ. φ

6 .. Oteció del úmero de oro desde l sucesió de Fiocci: El cociete de dos térmios cosecutivos de l sucesió de Fiocci,, se proxim l úmero de oro cudo el orde de los térmios crece ideiidmete: Demostrció: φ lim Por costrucció de l sucesió es. Dividiedo mos miemros por será: Llmdo L lim lim lim, se tiee: de segudo grdo cuy úic ríz válid es Luego se veriic que φ lim lim L, o se, L L L L φ, ecució.. Oteció del térmio geerl de l sucesió de Fiocci desde el úmero de oro: Usdo el úmero áureo es posile deducir u órmul que permite oteer el térmio geerl de l sucesió, pr todo vlor. Esto hce posile que se pued clculr u térmio culquier de l sucesió de Fiocci si ecesidd de clculr todos los térmios teriores. L órmul que os cilit esto es l expresió de Biet-Moivre: φ φ Demostrció: De ser φ φ, si multiplicmos tod l expresió por φ : decir, φ stisce l sucesió de Fiocci. Aálogmete l secció áure, so del mismo sigo los térmios φ : y y, multiplicdo hor tod l expresió por : φ φ φ, es, y como se tedrá:, co lo que tmié stisce l sucesió de Fiocci., o, e deiitiv, 6

7 Esto os permite expresr los térmios de l sucesió e l orm φ, eligiedo los coeicietes y de orm que se veriique ls codicioes de deiició de l sucesió de Fiocci: ), ), o se: φ es decir: que os dice: φ ), φ φ El vlor de los coeicietes y se otiee de imedito: φ de dode:, φ lo que os d ilmete: φ φ φ φ,. Documetció iliográic: Hutley, H.E.; The divie proportio, Dover Pulictios, Ic., 97, Nuev York. 7