La noción de independencia surge en el ámbito de la Teoría de Probabilidades, de modo que en este capítulo todas las medidas son probabilidades.

Transcripción

1 Cpítulo 4 Idepedeci 4.1. Evetos Idepedietes L oció de idepedeci surge e el ámbito de l Teorí de Probbiliddes, de modo que e este cpítulo tods ls medids so probbiliddes. Defiició 4.1 Se Ω, F, P ) u espcio de probbilidd. Los evetos A, B F so idepedietes si P A B) P A)P B). Defiició 4.2 Los evetos A 1,..., A so idepedietes si Est ecució equivle dode pr cd i 1,...,, B i es A i o Ω. P ) i I A i P A i ) I {1,..., }. 4.1) i I P ) B 1 B 2 B P B i ) 4.2) Defiició 4.3 Se C i F, i 1,...,. Ls clses C i so idepedietes si pr cd selecció A 1,..., A co A i C i, i 1,...,, teemos que los evetos A i, i 1,..., so idepedietes. Teorem 4.1 Si pr cd i 1,...,, C i es u clse o vcí de evetos que stisfce 1. C i es u sistem π pr i 1,...,, 2. C i so idepedietes pr i 1,...,, etoces σc 1 ),..., σc ) so idepedietes. Demostrció. Hremos l demostrció pr el cso 2. El resultdo geerl se puede obteer por iducció. Fijmos A 2 C 2 y poemos L {A F : P A A 2 ) P A)P A 2 )}. Vemos que L es u sistem λ: ) Ω L porque P Ω A 2 ) P A 2 ) P Ω)P A 2 ).

2 60 CAPÍTULO 4. INDEPENDENCIA b) A, B L, A B etoces B A L: P B A) A 2 ) P B A 2 ) A A 2 )) P B A 2 ) P A A 2 ) c) Si B L, B B etoces B L. P B)P A 2 ) P A)P A 2 ) P B) P A))P A 2 ) P B A)P A 2 ). P B A 2 ) P lím B A 2 ) P lím B A 2 )) lím P B A 2 ) lím P B )P A 2 ) P B)P A 2 ) Además C 1 L y por el Teorem de Dyki σc 1 ) L. E cosecueci σc 1 ) y C 2 so idepedietes. De mer similr se muestr hor que σc 1 ) y σc 2 ) so idepedietes. Defiició 4.4 Se T u cojuto rbitrrio de ídices. Ls clses C t, t T so idepedietes si pr cd I T fiito, ls clses C t, t I so idepedietes. Corolrio 4.1 Si {C t, t T } so sistems π o vcíos e idepedietes etoces {σc t ), t T } so idepedietes. Notció: Usremos l otció pr idicr idepedeci Vribles Aletoris Idepedietes Defiició 4.5 {X t, t T } es u fmili de vribles letoris idepedietes v..i.) si {σx t ), t T } so σ-álgebrs idepedietes. Ejemplo 4.1 Como σ1 A ) {, Ω, A, A c } teemos que 1 A1,..., 1 A idepedietes. so idepedietes si y sólo si A 1,..., A so Defiició 4.6 Se {X t, t T } u colecció de v.. Ls fucioes de distribució fiito-dimesioles f.d.f.d.) so ls fucioes de distribució defiids por pr todos los subcojutos fiitos J T de ídices. F J x t, t J) P X t x t, t J) 4.3) Teorem 4.2 Criterio de Fctorizció) U fmili de v.. {X t, t T } es idepediete si y sólo si pr todo J T fiito se tiee que F J x t, t J) t J P X t x t ) 4.4) pr todo x t R, t J. Demostrció. Por l defiició 4.4 bst ver que pr u subcojuto fiito de ídices J, {X t, t J} so idepedietes si y sólo si 4.4) vle. Defiimos C t {{X t x}, x R}. Etoces i) C t es u sistem π porque {X t x} {X t y} {X t x y}

3 4.2. VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES 61 ii) σc t ) σx t ). Pero 4.4) dice que {C t, t J} es u fmili idepediete y por el teorem 4.1 teemos que {σc t ) σx t ) : t J} so idepedietes. Corolrio 4.2 L colecció fiit X 1,..., X k de v.. es idepediete si y sólo si pr todo x i R, i 1,..., k. P X 1 x 1,..., X k x k ) k P X i x i ) Corolrio 4.3 Ls v.. X 1,..., X k discrets co rgo umerble R so idepedietes si y sólo si pr todo x i R, i 1,..., k. P X 1 x 1,..., X k x k ) k P X i x i ) 4.5) Demostrció. Si X 1,..., X k so idepedietes etoces σx i ), i 1,..., so idepedietes y como {X i x i } σx i ) teemos que {X i x i }, i 1,..., k so evetos idepedietes, de modo que 4.5) es válid. Recíprocmete, supogmos que 4.5) vle. Se z, x vectores e R k. Usremos l otció z x pr idicr que z i x i pr todo i 1,..., k, y x i x 1,..., x i 1, x i+1,... x k ), el vector que se obtiee elimido l i-ésim compoete de x. Etoces P X i x i, i 1,..., k) z x P X i z i, i 1,... k) k P X i z i ) z x k P X 1 z 1 ) P X i z i ) z 1 x 1 z 1 x 1, z 1 R i2 k P X 1 x 1 ) P X i z i ) k P X i x i ). i2 z 1 x 1 i2 Ejemplo 4.2 Records, Rgos y el Teorem de Réyi) Se X, 1) u sucesió de vribles letoris idepedietes ideticmete distribuids v..i.i.d.) co f.d. comú cotiu F x). Por cotiuidd P X i x i ) 0 4.6) de modo que si defiimos Emptes i j {X i X j }, etoces P Emptes) 0 Decimos que X es u record de l sucesió si X > máx 1 i< X i

4 62 CAPÍTULO 4. INDEPENDENCIA y defiimos A {X es u record}. El rgo reltivo de X e X 1,..., X se defie por de modo que y sí sucesivmete. R j1 R 1 sii X es u record, 1 {Xj X } 2 sii X es el segudo vlor e X 1,..., X, Teorem 4.3 Reyi) Supogmos que X, 1) so i.i.d. co f.d. comú F x) cotiu. ) L sucesió de v.. R, 1) es idepediete y P R k) 1/, k 1,...,. b) L sucesió de evetos A, 1) es idepediete y P A ) 1/. Demostrció. b) es cosecueci de ) porque A {R 1}. ) Hy! ordemietos de X 1,..., X. Por simetrí, como X 1,..., X so i.i.d., todos los ordemietos posibles tiee igul probbilidd 1/!. Cd relizció de R 1,..., R determi, de mer úic, u orde: Por ejemplo, si 3, R 1 ω) 1, R 2 ω) 1, R 3 ω) 1 X 1 ω) < X 2 ω) < X 3 ω) R 1 ω) 1, R 2 ω) 2, R 3 ω) 3 X 3 ω) < X 2 ω) < X 1 ω) E cosecueci, cd relizció de R 1,..., R tiee igul probbilidd que u ordemieto prticulr de X 1,..., X. Por lo tto P R 1 r 1,..., R r ) 1/! pr r i {1,..., i}, i 1,...,. Observemos que P R r ) r 1,...,r 1 P R 1 r 1,..., R 1 r 1, R r ) r 1,...,r 1 1/! Como r i tiee i vlores posibles, el úmero de térmios e l sum es ) 1)! y Así, P R r ) 1)!! 1, 1, 2,... P R 1 r 1,... R r ) 1! P R 1 r 1 ) P R r ). Ejemplo 4.3 Desrrollo diádico) Se Ω, F, P ) 0, 1], B, λ), el espcio de Lebesgue. Escribimos ω 0, 1] usdo su desrrollo birio ω 1 d ω) 2 0.d 1 ω)d 2 ω)d 3 ω)...

5 4.2. VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES 63 dode cd d ω) es 0 ó 1. Escribimos 1 como /2 1 1/2 1, 1 y pr úmeros como 1/2 que tiee dos desrrollos posibles: coveimos e usr el desrrollo que o termi, es decir, usmos el primer desrrollo. Cd d es u vrible letori: Como d es discret co vlores 0, 1, bst verificr que Comezmos por cosiderr el cso 1, {d 0} B, {d 1} B. {d 1 0} , ] 0, 1/2] B, {d 1 1} , ] 1/2, 1] B. El extremo izquierdo es bierto por l coveció que hemos doptdo. Observmos que P d 1 1) P d 1 0) 1/2. Ahor procedemos l cso geerl 2, {d 1} 0.u 1 u 2 u , 0.u 1 u 2 u ] 4.7) u 1,...,u 1 ) {0,1} 1 que es u uió disjut de 2 1 itervlos e B. Por ejemplo {d 2 1} 1 4, 2 4 ] 3 4, 1]. Podemos usr 4.7) pr clculr l distribució de d. Teemos P d 1) λ0.u 1 u 2 u , 0.u 1 u 2 u ] u 1,...,u 1) {0,1} 1 Cocluimos que [ 2 1 i+1 u i 2i + i 2 i i u i 2i + 2 ] P d 0) P d 1) ) L sucesió d, 1) es i.i.d.: Y vimos e 4.8) que so idéticmete distribuids y flt ver que so idepedietes. Pr esto bst tomr 1 y probr que {d 1,..., d } so idepedietes. Pr u 1,..., u ) {0, 1} teemos {d i u i } 0.u 1 u 2 u 000, 0.u 1 u 2 u 111 ]. De uevo el extremo izquierdo es bierto por l coveció que doptmos. Como l probbilidd de u itervlo es su logitud P u i {d i u i }) 2 i i u i 2 i y ls vribles so idepedietes. 2 +1) i P d i u i )

6 64 CAPÍTULO 4. INDEPENDENCIA Agrupmietos Lem 4.1 Se {F t, t T } u fmili de σ-álgebrs idepedietes. Se S u cojuto de ídices y supogmos que pr s S, T s T y {T s, s S} so disjutos dos dos. Defiimos F Ts σ t Ts F t ). Etoces {F Ts, s S} es u fmili de σ-álgebrs idepedietes. Demostrció. Podemos supoer, si pérdid de geerlidd, que S es fiito. Defiimos C Ts { α K B α : B α F α, K T s, K fiito }. Etoces C Ts es u sistem π pr cd s y {C Ts, s S} so clses idepedietes. Por lo tto sólo hy que ver que σc Ts ) F Ts. Está clro que C Ts F Ts y por lo tto σc Ts ) F Ts. Por otro ldo, F α C Ts, pr todo α T s, y por lo tto F α σc Ts ), pr todo α T s. E cosecueci α Ts F α σc Ts ) y por lo tto F Ts σ α Ts F α ) σcts ). Ejemplos 4.4 Se {X, 1} v..i. Etoces σx j, j ) σx j, j > ), +k X i, X i i+1 máx X i máx X i. 1 i +1 i +k Si A, 1 so evetos idepedietes etoces j1 A j y j+1 A j so idepedietes El Lem de Borel-Ctelli Teorem 4.4 Borel-Ctelli) Se A, 1) u sucesió de evetos. Si P A ) < etoces Demostrció. P A i.v.) P lím sup A ) 0. P lím sup A ) P lím m kma k ) lím P m kma k ) lím m km P A k ) 0.

7 4.3. EL LEMA DE BOREL-CANTELLI 65 Ejemplo 4.5 Se X, 1) v.. de Beroulli co P X 1) p 1 P X 0). No supoemos idepedeci. Etoces p < P lím X 0) 1. Como p P X 1), el Lem de Borel Ctelli implic que P X 1 i.v.) 0. Por lo tto, 1 P lím if {X 1} c ) P lím if{x 0}). E cosecueci, co probbilidd 1 ls vribles X vle 0 prtir de cierto ídice y coverge 0 trivilmete. Teorem 4.5 Si A, 1) es u sucesió de evetos idepedietes y P A ) etoces P lím sup A ) 1. Demostrció. Teemos Por lo tto bst ver que P lím sup A ) 1 P lím sup A ) c ) 1 P lím if A c ). P lím if A c ) P 1 k A c k) 0 y pr esto bst ver que P k A c k ) 0 pr todo. Como 1 x e x, teemos +j P +j k Ac k) k 1 P A k )) +j k +j e P Ak) exp{ k P A k )}. Como k P A k), est últim expresió tiede 0 cudo j y por lo tto P k A c k) lím j P +j k Ac k) 0. Corolrio 4.4 Ley 0-1) Si A, 1) es u sucesió de evetos idepedietes etoces { 1 si P A ), P A i.v.) 0 si P A ) <, Ejemplo 4.6 Supogmos hor que X, 1) so idepedietes Beroulli co P X 1) p 1 P X 0), etoces Pr esto bst observr que P X 0) 1 si y sólo si p k <. k P X 1 i.v.) 0 k p k <.

8 66 CAPÍTULO 4. INDEPENDENCIA Ejemplo 4.7 Vribles Expoeciles) Supogmos que E, 1) so v..i. expoeciles de prámetro 1, es decir, P E > x) e x, x > 0. Etoces E ) P lím sup log ) Pr demostrr 4.9) usremos el siguiete resultdo, que es u ejercicio: Si P B k ) 1, k 1, etoces P k B k ) 1. Vemos 4.9): pr ω Ω, quiere decir dos coss: 1. Pr todo ε > 0, Eω) log 2. Pr todo ε > 0, E ω) log lím sup E ω) log ε pr todo suficietemete grde. > 1 ε pr ifiitos vlores de Vemos 1). Pr culquier ε > 0, P E 1 + ε) log ) exp{ 1 + ε) log } 1+ε) < Por lo tto, los evetos {E > 1 + ε) log } ocurre ifiits veces co probbilidd 0, es decir, pr csi todo ω existe Nω) tl que si Nω), E ω) < 1 + ε) log y esto es 1). Vemos 2): Pr culquier ε > 0, P E > 1 ε) log ) exp{ 1 ε) log } 1 ε). Como ls E so idepedietes, los evetos {E > 1 ε) log } ocurre ifiits veces c. p L Ley 0-1 de Kolmogorov Defiició 4.7 Se X, 1) u sucesió de v.. Defiimos pr 1, 2,.... Defiimos l σ-álgebr col como F σx +1, X +2,... ) T F lím σx, X +1,... ). Los evetos e est σ-álgebr sólo depede de l col de l sucesió X ). Si A T decimos que A es u eveto col y si u vrible es medible respecto T decimos que es u vrible col. Ejemplos {ω : 1 X ω) coverge } T. Pr ver esto observmos que pr todo m, 1 X ω) coverge si y sólo si m X ω) coverge. Por lo tto, pr todo m, { } { } X coverge X coverge F m m y e cosecueci este eveto está e l itersecció de ests σ-álgebrs.

9 4.4. LA LEY 0-1 DE KOLMOGOROV lím sup X T, lím if X T, {ω : lím X ω) existe } T. 3. Si S X X etoces y que pr culquier m, S ω) 1 lím lím { S ω) } ω : lím 0 T 1 X i ω) lím im+1 X i ω) F m Teorem 4.6 Ley 0-1 de Kolmogorov) Se X, 1) u sucesió de v..i. co σ-álgebr col T. Etoces si Λ T se tiee que P A) 0 ó 1. Demostrció. Se Λ T, demostrremos que Λ es idepediete de si mismo, de modo que P Λ) P Λ Λ) P Λ)P Λ). E cosecueci P Λ) P Λ) 2 y P Λ) 0 ó P Λ) 1. Pr ver que Λ es idepediete de si mismo defiimos de modo que F y Observmos que F σx 1,..., X ) F σx 1, X 2,... ) σ 1F ) σ 1σX )). Λ T F σx +1, X +2,... ) σx 1, X 2,... ) F. Por otro ldo, pr todo teemos Λ F y como F F, teemos Λ F pr todo y e cosecueci Λ F. Se C 1 {Λ} y C 2 F, etoces C i es u sistem π pr i 1, 2, C 1 C 2 y por el Criterio Básico σc 1 ) {, Ω, Λ, Λ c }, y σc 2 ) σ F ) F so idepedietes. Pero Λ C 1 σc 1 ) y Λ σc 2 ) F. Por lo tto Λ es idepediete de Λ. Defiició 4.8 U σ-álgebr es csi trivil si todos sus evetos tiee probbilidd 0 ó 1. Lem 4.2 Se G u σ-álgebr csi trivil y X G. Etoces existe c tl que P X c) 1. Demostrció. F x) P X x) es o-decreciete y {X x} σx) G, de modo que F x) 0 ó 1, pr cd x R. Se c sup{x : F x) 0}. L f. d. debe teer u slto de tmño 1 e c y por lo tto P X c) 1. Corolrio 4.5 Se X, 1) u sucesió de v.. Ls siguietes proposicioes so cierts ) { X coverge } tiee probbilidd 0 ó 1. b) Ls vribles lím sup X y lím if X so costtes c. p. 1. c) {ω : 1 S ω) 0} tiee probbilidd 0 ó 1. Demostrció. Ejercicio.

10 68 CAPÍTULO 4. INDEPENDENCIA 4.5. Espcios Producto Se Ω 1, Ω 2 dos espcios, defiimos el espcio producto como Ω 1 Ω 2 {ω 1, ω 2 ) : ω i Ω i, i 1, 2} y defiimos los operdores de proyecció por π i ω 1, ω 2 ) ω i, i 1, 2 de modo que π i : Ω 1 Ω 2 Ω i. Si A Ω 1 Ω 2 defiimos ls seccioes de A por A ω1 {ω 2 : ω 1, ω 2 ) A} Ω 2 ; A ω2 {ω 1 : ω 1, ω 2 ) A} Ω 1 Propieddes i) Si A Ω 1 Ω 2 etoces A c ) ω1 A ω1 ) c. ii) Si pr u cojuto de ídices T teemos A t Ω 1 Ω 2 pr todo t T, etoces ) ) t A t ω 1 t A t ) ω1, t A t ω 1 t A t ) ω1. Cosideremos hor u fució X co domiio Ω 1 Ω 2 y vlores e lgú espcio S, que supoemos es u espcio métrico. Defiimos l secció de X como X ω1 ω 2 ) Xω 1, ω 2 ) de modo que X ω1 : Ω 2 S. E geerl ω 1 está fijo y l secció es u fució de ω 2. Decimos que X ω1 es l secció de X e ω 1. Algu propieddes básics de ls seccioes so ls siguietes: i) 1 A ) ω1 1 Aω1 ii) Si S R k pr k 1 y si pr i 1, 2 teemos X i : Ω 1 Ω 2 S, etoces X 1 + X 2 ) ω1 X 1 ) ω1 + X 2 ) ω2. iii) Se S u espcio métrico, X : Ω 1 Ω 2 S y lím X existe. Etoces lím X ) ω1 lím X ) ω1. U rectágulo e Ω 1 Ω 2 es u subcojuto de Ω 1 Ω 2 de l form A 1 A 2 co A i Ω i pr i 1, 2. Llmmos A 1 y A 2 los ldos del rectágulo. El rectágulo es vcío si l meos uo de los ldos es vcío. Si Ω i, F i ) so espcios medibles pr i 1, 2 decimos que u rectágulo es medible si es de l form A 1 A 2 co A i F i, i 1, 2. L clse de los rectágulos medibles es u semiálgebr que deotremos R o por F 1 F 2 si desemos describir de mer explícit ls σ-álgebrs. Verifiquemos que R es u semiálgebr. i), Ω R. ii) R es u sistem π: Si A 1 A 2, B 1 B 2 R etoces A 1 A 2 ) B 1 B 2 ) A 1 B 1 A 2 B 2 R. iii) R es cerrd bjo complemetos. Supogmos que A 1 A 2 R. Etoces Ω 1 Ω 2 A 1 A 2 Ω 1 A 1 ) A 2 + A 1 Ω 2 A 2 ) + A c 1 A c 2. Ahor defiimos l σ-álgebr F 1 F 2 como l meor σ-álgebr e Ω 1 Ω 2 que cotiee R y l llmmos l σ-álgebr producto: F 1 F 2 σr) σf 1 F 2 ).

11 4.5. ESPACIOS PRODUCTO 69 Observmos que si Ω 1 Ω 2 R etoces B 1 B 2 σa 1 A 2 : A i BR), i 1, 2). Hy otrs mers de geerr l σ-álgebr producto e R 2. Si C es l clse de los itervlos de l form, b], usdo u rgumeto de iducció es posible probr que B 1 B 2 σ{i 1 I 2 : I j C, j 1, 2}). Lem 4.3 Ls seccioes de cojutos medibles so medibles. Si A F 1 F 2 etoces pr todo ω 1 Ω 1, Demostrció. Defiimos Si A R y A A 1 A 2 dode A i F i, etoces A ω1 F 2. C ω1 {A Ω 1 Ω 2, A ω1 F 2 }. A ω1 {ω 2 : ω 1, ω 2 ) A 1 A 2 } { A 2 F 2, si ω 1 A 1 F 2, i ω 1 / A 1. Por lo tto A ω1 C ω1 lo que implic que R C ω1. Además C ω1 es u sistem λ: ) Ω 1 Ω 2 C ω1 porque Ω 1 Ω 2 R. b) Si A C ω1 etoces A c C ω1 y que A c ) ω1 A ω1 ) c y A C ω1 implic A ω1 F 2 y por lo tto A ω1 ) c F 2 Esto implic que A c ) ω1 C ω1. c) Si A C ω1 pr 1 co A ) disjutos, etoces A ) ω1 F 2 implic A ) ω1 F 2. Pero ) 1A ) ω1 1 A F 2 ω 1 y por lo tto A ) ω1 C ω1. Teemos, e cosecueci, que C ω1 es u sistem λ y R C ω1, y por el teorem de Dyki F 1 F 2 σr) C ω1. Corolrio 4.6 Ls seccioes de fucioes medibles so medibles, es decir, si X : Ω 1 Ω 2, F 1 F 2 ) S, S) etoces X ω1 F 2. Demostrció. Como X es F 1 F 2 /S medible, teemos pr Λ S que {ω 1, ω 2 ) : Xω 1, ω 2 ) Λ} X 1 Λ) F 1 F 2, y por los resultdos teriores Si embrgo X 1 Λ)) ω1 F 2. X 1 Λ)) ω1 {ω 2 : Xω 1, ω 2 ) Λ} {ω 2 : X ω1 ω 2 ) Λ} X 1 ω 1 Λ)), lo que os dice que X ω1 es F 2 /S medible.

12 70 CAPÍTULO 4. INDEPENDENCIA 4.6. Medids e Espcios Producto Defiició 4.9 U fució Kω 1, A 2 ) : Ω 1 F 2 [0, 1] es u fució o úcleo o kerel) de trsició si i) ω 1, Kω 1, ) es u medid de probbilidd e F 2. ii) A 2 F 2, K, A 2 ) es u fució F 1, B[0, 1])-medible. Ls fucioes de trsició se us pr defiir los procesos de Mrkov tiempo discreto. E este cso Kω 1, A 2 ) represet l probbilidd codiciol de ir l cojuto de estdos A 2 si prtimos del estdo ω 1. Teorem 4.7 Se P 1 u probbilidd sobre F 1 y K : Ω 1 F 2 [0, 1] u fució de trsició. Etoces K y P 1 determi u úic probbilidd sobre F 1 F 2 por l fórmul pr todo A 1 A 2 F 1 F 2. P A 1 A 2 ) Kω 1, A 2 ) dp 1 ω 1 ) A ) Demostrció. L medid P está defiid por 4.10) sobre F 1 F 2 y debemos verificr que se stisfce ls codicioes del Teorem de Extesió. Vemos que P es σ-ditiv e F 1 F 2. Se {A ) B ) } u sucesió de cojutos disjutos e F 1 F 2, cuy uió tmbié es u cojuto e F 1 F 2 : Teemos A ) B ) ) A B. 1 A ω 1 )1 B ω 2 ) 1 A B ω 1, ω 2 ) 1 A ) B )ω 1, ω 2 ) 1 A )ω 1 )1 B )ω 2 ) Usdo el Teorem de Covergeci Moóto pr series teemos P A B) 1 A ω 1 )Kω 1, B) dp 1 ω 1 ) 1 A ω 1 )1 B ω 2 )Kω 1, dω 2 ) ) dp 1 ω 1 ) Ω 1 Ω 1 Ω 2 1 A )ω 1 )1 B )ω 2 )Kω 1, dω 2 ) ) dp 1 ω 1 ) Ω 1 Ω 2 1 A )ω 1 )1 B )ω 2 )Kω 1, dω 2 ) dp 1 ω 1 ) Ω 1 Ω 2 1 A )ω 1 ) 1 B )ω 2 )Kω 1, dω 2 ) ) dp 1 ω 1 ) Ω 1 Ω 2 1 A )ω 1 )Kω 1, B ) ) dp 1 ω 1 ) Ω 1 Kω 1, B ) ) dp 1 ω 1 ) P A ) B ) ). A )

13 4.7. EL TEOREMA DE FUBINI 71 Cso Especil Supogmos que pr lgu medid de probbilidd P 2 e F 2 teemos Kω 1, B) P 2 B) pr todo ω 1 Ω 1, etoces l medid P defiid por 4.10) sobre F 1 F 2 es P A B) P 1 A)P 2 B) Deotmos est probbilidd por P 1 P 2 y l llmmos l medid producto. Defiimos ls siguietes σ-álgebrs e Ω 1 Ω 2 : F 1 {A Ω 2, A F 1 }, F 2 {Ω 1 B, B F 2 }. Co respecto l medid producto P P 1 P 2 teemos F 1 F 2 y que P A Ω 2 Ω 1 B) P A B) P 1 A)P 2 B) P A Ω 2 )P Ω 1 B). Supogmos X i : Ω i, F i ) R, B) es u v.. sobre Ω i pr i 1, 2. Defiimos ls siguietes fucioes e Ω 1 Ω 2 : X 1 ω 1, ω 2 ) X 1 ω 1 ) X 1 π 1 ω 1, ω 2 ), X 2 ω 1, ω 2 ) X 2 ω 2 ) X 2 π 2 ω 1, ω 2 ). Co respecto P P 1 P 2, ls vribles X 1 y X 2 so idepedietes y que P X 1 x, X 2 y) P 1 P 2 {ω1, ω 2 ) : X 1 ω 1 ) x, X 2 ω 2 ) y} ) P 1 P 2 {ω1 : X 1 ω 1 ) x} {ω 1 : X 2 ω 2 ) y} ) P 1 {ω1 : X 1 ω 1 ) x} ) P 2 {ω2 : X 2 ω 2 ) y} ) P {ω 1, ω 2 ) : X 1 ω 1, ω 2 ) x} ) P {ω 1, ω 2 ) : X 2 ω 1, ω 2 ) y} ) P X 1 x) P X 2 y}). Vemos que l idepedeci es prte del modelo cudo se us l medid producto. Podemos firmr que ls ctiddes que depede de compoetes disjuts so idepedietes. Es posible exteder ests costruccioes de 2 d 2 fctores y defiir l medid producto P 1 P d. Más ú, es posible defiir l medid producto sobre espcios producto rbitrrios i I Ω i: Si Ω i, F i, P i ) so espcios de probbilidd existe u úic medid P defiid sobre l σ-álgebr producto F de subcojutos de Ω i I Ω i que es geerd por los cilidros de l form E 1 E 2 E i+1 Ω i, E i F i, i 1, tl que P E 1 E 2 E Ω i ) P 1 E 1 ) P E ). i El Teorem de Fubii Teorem 4.8 Se P 1 u probbilidd sobre Ω 1, F 1 ) y se K : Ω 1 F 2 [0, 1] u kerel de trsició. Defiimos P sobre el espcio producto Ω 1 Ω 2, F 1 F 2 ) por P A 1 A 2 ) Kω 1, A 2 ) dp 1 ω 1 ). 4.11) A 1

14 72 CAPÍTULO 4. INDEPENDENCIA Supogmos que X : Ω 1 Ω 2, F 1 F 2 ) R, B) es positiv o itegrble, etoces Y ω 1 ) X ω1 ω 2 )Kω 1, dω 2 ) Ω 2 tiee ls siguietes propieddes: ) Y está bie defiid. b) Y F 1. c) Y 0, o Y L 1 P 1 ). y demás X dp Y ω 1 ) dp 1 ω 1 ) Ω 1 Ω 2 Ω 1 Ω 1 Ω 2 X ω1 ω 2 )Kω 1, dω 2 ) ) dp 1 ω 1 ). 4.12) Demostrció. Pr ω 1 fijo teemos que X ω1 ω 2 ) es F 2 -medible, de modo que Y está bie defiid. No es difícil ver que Y es F 1 -medible. Vemos 4.12) bjo l hipótesis X 0. Defiimos A X dp, Ω 1 Ω 2 y B Y ω 1 ) dp 1 ω 1 ). Ω 1 Supogmos iicilmete que X 1 A1 A 2 co A 1 A 2 F 1 F 2. Etoces A dp P A 1 A 2 ) A 1 A 2 y B 1 A1 ω 1 )1 A2 ω 2 )Kω 1, dω 2 ) ) dp 1 ω 1 ) Ω 1 Ω 2 Kω 1, A 2 ) ) dp 1 ω 1 ) P A 1 A 2 ) A 1 de modo que 4.12) vle pr idicdores de rectágulos medibles. Se C {C F F 2 : 4.12) vle pr X 1 C } y sbemos que F 1 F 2 C. Vemos que C es u sistem λ: i) Ω 1 Ω 2 C porque Ω 1 Ω 2 F 1 F 2. ii) Si C C etoces pr X 1 C c teemos A P C c ) 1 P C). Por lo tto A 1 1 Cω1 ω 2 )Kω 1, dω 2 ) dp 1 ω 1 ) 1 1 Cω1 ω 2 ))Kω 1, dω 2 ) dp 1 ω 1 ) 1 C c ) ω1 ω 2 ))Kω 1, dω 2 ) dp 1 ω 1 ) B, de modo que C c C. iii) Si C B, 1 so evetos disjutos Ω 1 Ω C dp P 1C ) P C ) 1 1 C ) ω1 ω 2 )Kω 1, dω 2 ) dp 1 ω 1 ) 1

15 4.7. EL TEOREMA DE FUBINI 73 porque C C. Usdo el TCM teemos que est expresió es 1 C) ω1 ω 2 )Kω 1, dω 2 ) dp 1 ω 1 ) 1 1 C ) ω1 ω 2 )Kω 1, dω 2 ) dp 1 ω 1 ) B y por lo tto C C. Hemos verificdo que C es u sistem λ y F 1 F 2 C, lo que implic por el teorem de Dyki que F 1 F 2 σf 1 F 2 ) C. Cocluimos que si C F 1 F 2 y X 1 C etoces 4.12) vle pr X. Ahor escribimos 4.12) como AX) BX). Tto AX) como BX) so lieles e X, de modo que 4.12) vle pr fucioes simples de l form X k c i 1 Ci, C i F 1 F 2. Pr X 0 existe u sucesió de v.. simples X co 0 X X. Teemos que AX ) BX ) y por covergeci moóto AX ) AX). Pr B, usdo el TCM dos veces obteemos lím BX ) lím X ) ω1 ω 2 )Kω 1, dω 2 ) ) dp 1 ω 1 ) Ω 1 Ω 2 lím X ) ω1 ω 2 )Kω 1, dω 2 ) ) dp 1 ω 1 ) Ω 1 Ω 2 lím X ) ω1 ω 2 )Kω 1, dω 2 ) ) dp 1 ω 1 ) Ω 1 Ω 2 X) ω1 ω 2 )Kω 1, dω 2 ) ) dp 1 ω 1 ) BX). Ω 1 Ω 2 Teorem 4.9 Fubii-Toelli) Se P P 1 P 2 l medid producto. Si X es F 1 F 2 medible y es o-egtiv o itegrble respecto P etoces X dp X ω1 ω 2 ) dp 2 ω 2 ) ) dp 1 ω 1 ) Xω 1, ω 2 ) dp 2 ω 2 ) ) dp 1 ω 1 ) Ω 1 Ω 2 Ω 1 Ω 2 Ω 1 Ω 2 X ω2 ω 1 ) dp 1 ω 1 ) ) dp 2 ω 2 ) Xω 2, ω 1 ) dp 1 ω 1 ) ) dp 2 ω 2 ). Ω 2 Ω 1 Ω 2 Ω 1 Demostrció. Se Kω 1, A 2 ) P 2 ω 2 ), etoces P 1 y K determi P P 1 P 2 e F 1 F 2 y X dp X ω1 ω 2 ) dp 2 ω 2 ) ) dp 1 ω 1 ) X ω2 ω 1 ) dp 1 ω 1 ) ) dp 2 ω 2 ). Ω 1 Ω 2 Ω 1 Ω 2 Ω 2 Ω 1 Por otro ldo si Kω2, A 1 ) P 1 A 1 ) es u fució de trsició K : Ω 2 F 1 [0, 1] etoces K y P 1 tmbié determi P P 1 P 2 y X dp X ω2 ω 1 ) dp 1 ω 1 ) ) dp 2 ω 2 ) X ω1 ω 2 ) dp 2 ω 2 ) ) dp 1 ω 1 ) Ω 1 Ω 2 Ω 2 Ω 1 Ω 1 Ω 2

16 74 CAPÍTULO 4. INDEPENDENCIA Teorem 4.10 Si Ω 1, F 1, µ 1 ) y Ω 2, F 2, µ 2 ) so espcios de medid σ-fiitos. Etoces πe) ν{ω 2 : ω 1, ω 2 ) E} dµω 1 ) µ{ω 1 : ω 1, ω 2 ) E} dνω 2 ) Ω 1 Ω 2 defie u medid σ-fiit sobre F 1 F 2. Es l úic medid pr l cul πa B) µa)νb) pr rectágulos medibles. Teorem 4.11 Bjo ls hipótesis del teorem terior, si f : Ω 1 Ω 2 R stisfce f 0, ls fucioes fω 1, ω 2 ) dνω 2 ), Ω 2 fω 1, ω 2 ) dµω 1 ) Ω ) so medibles respecto F 1 y F 2, respectivmete y fω 1, ω 2 ) dπω 1, ω 2 ) Ω 1 Ω 2 Ω 2 Ω 2 fω 1, ω 2 ) dµω 1 ) ) dνω 2 ) Ω 1 Ω 1 fω 1, ω 2 ) dνω 2 ) ) dµω 1 ). 4.14) Si f es itegrble respecto π, ls dos fucioes 4.13) so medibles y fiits e A 0 y B 0 respectivmete, dode µω 1 A 0 ) νω 2 B 0 ) 0 y de uevo 4.14) vle. Como plicció del teorem de Fubii vemos l demostrció de l fórmul de itegrció por prtes Teorem 4.12 Se < b e R y supogmos que F, G so fucioes de Stieltjes que o tiee putos de discotiuidd e comú e, b]. Etoces b Gx) df x) Gb)F b) G)F ) Si demás G es bsolutmete cotiu co desidd g etoces b Gx) df x) Gb)F b) G)F ) b b F x) dgx). F x)gx) dx. Demostrció. Observmos que si l fórmul vle pr F y G etoces, por lielidd tmbié vle pr trsformcioes lieles αf + β y γg + δ, y que y b γgx) dαf x)) γα b Gx) df x) γα Gb)F b) G)F ) b γgb))αf b)) γg))αf )) ) F x) dgx) b αf x)) dγgx)), b Gx) + δ) df x) + β) b Gx) df x) + δf b) F )) Gb)F b) G)F ) b Gb) + δ)f b) G) + δ)f ) F x) dgx) + δf b) F )) b F x) dgx) + δ).

17 4.7. EL TEOREMA DE FUBINI 75 Por lo tto o hy pérdid de geerlidd l supoer que F y G so fucioes de distribució, que socimos co ls vribles letoris X e Y, respectivmete. Usdo hor el teorem de Fubii obteemos, por u ldo, que P < X b, < Y b) b b b df x) df G)x, y) b b b df x) dgy) dgy) F b) F ) ) Gb) G) ) Por otro ldo, l probbilidd de que el puto X, Y ) cig detro del cudrdo, b], b] l podemos dividir e tres y obteemos P < X b, < Y b) P < X < Y b) + P < Y < X b) + P < Y X b) b b b b b b df G)x, y) + ) df y) dgx) + F x) F )) dgx) + F x) dgx) + b b b b b b dg F )x, y) + 0 ) dgy) df x) Gx) G)) df x) Gx) df x) F )Gb) G)) G)F b) F )). L fórmul pr itegrció prcil sigue iguldo ls dos expresioes. L coclusió pr el cso especil cudo G es bsolutmete cotiu sigue del hecho que b F x) dgx) b F x)gx) dx. Ejemplo 4.9 Tiempos de Ocupció) Se {Xt, ω), t [0, 1]} u proceso sobre Ω, F, P ) que stisfce ) El proceso tom vlores e R. b) El proceso es medible simultáemete e mbs vribles: Pr Λ B, X 1 Λ) {t, ω) : Xt, ω) Λ} B F. Fijmos Λ B y os iteres el tiempo de ocupció de X e Λ durte lel período t A pr A B[0, 1]. Como Λ BR) l fució es medible y por lo tto Defiimos l medid letori 1 Λ : R, BR)) {0, 1}, {, {0, 1}, {0}, {1} } ) 1 Λ Xs, ω) ) : [0, 1] Ω, B[0, 1] F) {0, 1}, F{0, 1})). χa, ω) A 1 Λ Xs, ω) ) ds que llmremos el tiempo de ocupció e Λ pr t A. Teemos ) E[χA, ω)] 1 Λ Xs, ω) ds) dp Ω A

18 76 CAPÍTULO 4. INDEPENDENCIA y usdo Fubii esto es A ) A1 Λ Xs, ω) dp ) ds P Xs) Λ) ds. Ω A 4.8. Espcios Producto e Idepedeci Teorem 4.13 Se X, Y v.. sobre Ω, A, P ) co vlores e E, E) y F, F) respectivmete. Pr que X e Y se idepedietes es ecesrio y suficiete que se stisfg lgu de ls siguietes proposicioes ) fx) y gy ) so v..i. pr culquier pr de fucioes medibles f, g. b) E[fX)gY )] E[fX)] E[gY )] pr culquier pr de fucioes f, g medibles y cotds o medibles y positivs. c) Si E y F so espcios métricos co σ-álgebrs de Borel E y F, etoces E[fX)gY )] E[fX)] E[gY )] pr culquier pr de fucioes f, g cotius y cotds. Demostrció. Sbemos que X, Y so v..i. si d) P X A, Y B) P X A)P Y B) pr todo A E, B F. ) d) Bst tomr fx) x, gy) y. d) ) Dds f, g observmos que fx) ) 1E) X 1 f 1 E)) X 1 E) y de mer similr gy ) ) 1 F) Y 1 F) y como X 1 E) y Y 1 F) so idepedietes, ls dos sub-σ-álgebrs tmbié lo so. b) d) Bst tomr fx) 1 A x), gy) 1 B y), A E, B F. d) b) Sbemos que b) vle pr fucioes idicdors y por lielidd vle pr fucioes simples. Si f y g so positivs se f ) y g ) sucesioes crecietes de fucioes simples positivs que coverge f y g respectivmete. Observmos que 0 f x)g y) fx)gy). Por el TCM E[fX)gY )] E[lím f X)g Y )] lím E[f X)g Y )] lím E[f X)] E[g Y )] E[fX)] E[gY )] Esto demuestr el resultdo pr fucioes positivs. Si f y g so cotds, ls descompoemos f f + f, g g + g y usmos lielidd. b) c) Es evidete. c) d) Bst probr d) pr A C, B D dode C y D so ls clses de todos los cojutos cerrdos de E, F, respectivmete, que so sistems π que geer E y F. Se A E u cojuto cerrdo y se dx, A) l distci etre el puto x y A. Etoces f x) mí{1, dx, A)} es cotiu, stisfce 0 f x) 1 y l sucesió 1 f ) decrece l fució idicdor 1 A. De mer similr B F cerrdo le socimos u sucesió de fucioes cotius g que decrece 1 B co 0 g 1. Repetimos hor el rgumeto de d) b) reemplzdo el TCM por el TCD. Ejemplo 4.10 Se E y F fiitos o umerbles. Pr X, Y ) se P X,Y i, j) P X i, Y j) P {ω : Xω) i y Y ω) j}) P {X i} {Y j}). Etoces X e Y so idepedietes si y sólo si P X,Y i, j) P X i)p Y j).

19 4.9. CONVOLUCIÓN 77 Proposició 4.1 Se X, Y dos vribles letoris sobre Ω, A, P ) co vlores e E, E) y F, F) respectivmete. El pr Z X, Y ) es u vrible letori co vlores e E F, E F). Ls vribles X, Y so idepedietes si y sólo si l distribució P X,Y del pr X, Y ) es igul l producto P X P Y de ls distribucioes de X e Y. Demostrció. Si A B E F teemos Z 1 A B) X 1 A) Y 1 B) A y como E F σe F) esto implic que Z es medible. X e Y so idepedietes si y sólo si pr culesquier A E, B F teemos o equivletemete P X, Y ) A B) P X A)P Y B) P X,Y A B) P X A)P Y B). Esto equivle decir que P X,Y A B) P X P Y A B) pr todos los cojutos A B E F y por uicidd esto equivle P X,Y P X P Y e E F Covolució Cosideremos el espcio producto Ω 1 Ω 2, F 1 F 2, P 1 P 2 ) y supogmos que X 1, X 2 ) es u v.. bidimesiol cuys f.d. mrgiles so F 1 y F 2, respectivmete. L fórmul pr l covolució os d l distribució de X 1 + X 2. Teorem 4.14 Bjo ls codicioes teriores, F X1+X 2 u) F 1 u y) df 2 y). Si, demás, X 2 es bsolutmete cotiu co desidd f 2, etoces F X1 +X 2 u) F 1 u y)f 2 y) dy. Si X 1 es bsolutmete cotiu co desidd f 1, l desidd de l sum es igul f X1 +X 2 u) Si mbs so bsolutmete cotius, etoces f 1 u y) df 2 y). f X1+X 2 u) Demostrció. F X1+X 2 u) P X 1 + X 2 u) El resto sigue de est relció. u y f 1 u y)f 2 y) dy. x+y u df 1 F 2 )x, y) F 1 u y) df 2 y). df 1 F 2 )x, y) u y ) df 1 x) df 2 y)

20 78 CAPÍTULO 4. INDEPENDENCIA Sucesioes de Vribles Aletoris Idepedietes Pr N se X u v.. sobre Ω, F, P ). Defiimos Ω Ω, F dode F deot l σ-álgebr de Ω geerd por los cojutos de l form 1 A 1 A 2 A k Ω k+1 Ω k+2 A i F i, 1 i k, k 1, es decir, F es l σ-álgebr geerd por productos crtesios fiitos de cojutos de ls σ-álgebrs coordeds, que se cooce como cilidros. Es fácil ver que los cilidros form u semiálgebr. Teorem 4.15 Ddos los espcios de probbilidd Ω, F, P ), 1 y Ω 1 Ω, F 1 F, existe u úic probbilidd P e Ω, F) tl que pr k 1 y A i F i. 1 F P A 1 A 2 A k Ω k+1 Ω k+2 ) k P i A i ) Demostrció. L fució P defiid sobre los cilidros es positiv y stisfce P Ω) 1. Pr poder usr el teorem de extesió bst demostrr que est fució es σ-ditiv y por el teorem 2.3 bst ver que P es cotiu. Supogmos etoces que existe u sucesió de cilidros C, 1) tles que pr cd teemos C +1 C y P C ) δ > 0. Probremos que 1 C. Observmos que todo cilidro E está determido por u úmero fiito de coordeds e el setido de que existe u etero k fiito, que sólo depede de E, tl que si ω ω 1, ω 2,... ) y ω ω 1, ω 2,... ) so dos putos de Ω co ω j ω j pr 1 j k, etoces o bie mbos putos está e E o iguo de los dos está e E. Pr simplificr l otció y si pérdid de geerlidd, podemos supoer que pr cd, el cojuto C está determido por ls primers coordeds. Itroducimos hor l siguiete otció: Ddo ω1 0 Ω 1 y u subcojuto culquier E de Ω, E ω1) 0 deot l cojuto Ω 1 E 1, dode E 1 es el cojuto de putos ω 2, ω 3,... ) 2 Ω tles que ω1, 0 ω 2, ω 3,... ) E. Si ω1 0 o es l primer coorded de igú puto de E, etoces E ω1) 0. Observmos que si E es u cilidro etoces E ω1) 0 es u cilidro pr todo ω1. 0 Queremos ver que existe ω1 0 tl que pr todo se tiee que P C ω1)) 0 δ/2. Pr esto comezmos co l ecució P C ) P C ω 1 )) dp 1 ω 1 ) 4.15) Ω 1 que sigue de l defiició de u cilidro. Poemos hor B {ω 1 : P C ω 1 )) δ/2} Ω 1. Usdo 4.15) teemos que δ P C ) 1 dp 1 ω 1 ) + B B c δ 2 dp 1ω 1 ) y por lo tto P B ) δ/2 pr todo 1. Como B es decreciete co C teemos P 1 1 B ) δ/2. Escogemos ω1 0 e 1 B, etoces P C ω1)) 0 δ/2. Repitiedo el mismo rgumeto pr el cojuto C ω1) 0 vemos que existe u ω2 0 tl que pr todo, P C ω1, 0 ω2)) 0 δ/4, dode C ω1, 0 ω2) 0 C ω1) ω 0 2) 0 es de l form Ω 1 Ω 2 E 3 y E 3 es el cojuto ω 3, ω 4,... ) e 3 Ω tl que ω1, 0 ω2, 0 ω 3,

21 4.11. PROBABILIDADES EN R N 79 ω 4,... ) C. El rgumeto cotiu de est mer por iducció. Por lo tto, pr cd k 1 teemos ωk 0 tl que pr todo se tiee P C ω 0 1,..., ω 0 k)) δ 2 k. Cosidermos hor el puto ω 0 ω1, 0 ω2, 0..., ω, 0... ). Como C k ω1, 0..., ωk 0), hy u puto e C k cuys primers k coordeds so ls misms que ls de ω 0. Como C k está determido por sus primers k coordeds, se tiee que ω 0 C k. Esto es cierto pr todo k y e cosecueci ω 0 1 C k, como querímos demostrr. Si X es u v.. defiid e Ω, F, P ) llmemos X su extesió turl Ω defiid como sigue: pr ω Ω se ω ω 1, ω 2,..., ω,... ) co ω i Ω i pr cd i. Etoces X ω) X ω ) Corolrio 4.7 Se X u v.. defiid e Ω, F, P ), 1 y se X su extesió turl Ω, F, P ). Etoces ls vribles X ) 1 so idepedietes y l ley de X e Ω, F, P ) es idétic l ley de X e Ω, F, P ). Demostrció. Teemos y por el teorem 4.15 X 1 B ) Ω 1 Ω 1 X 1 B ) Ω +1 P k 1X 1 B )) P X1 1 B 1) X 1 k B k) Ω k+1 ) k P X B ) Probbiliddes e R Deotmos por B los cojutos de Borel e R. Es secillo ver que B es geerd por los cudrtes de l form, i ], i Q o por los rectágulos biertos o por los cojutos i, b i ), i, b i Q i, b i ], i, b i Q. Tmbié teemos que B B B B. L fució de distribució -dimesiol de u medid de probbilidd e R, B ) se defie como F x 1,..., x ) P, x i ]).

22 80 CAPÍTULO 4. INDEPENDENCIA Defiició 4.10 L medid de Lebesgue λ e R, B ) está defiid sobre los rectágulos medibles A 1 A 2 A por λ A i ) λa i ), A i B. 1 1 Es posible, prtir de est fórmul, exteder λ de mer úic u medid que está crcterizd por l siguiete codició: λ i, b i ]) b i i ) i < b i R. Escribimos fx) dλ x) fx) dx fx 1,..., x ) dx 1 dx pr deotr l itegrl de f respecto λ y tmbié A fx) dx pr l itegrl del producto f1 A cudo A B Defiició 4.11 U probbilidd P e R, B ) tiee desidd f si f 0 es medible e R y P A) fx) dx fx)1 A x) dx fx 1,..., x )1 A x 1,..., x ) dx 1,... dx pr todo A B. A A Teorem 4.16 U fució positiv medible segú Borel f : R R es l desidd de u medid de probbilidd e R, B ) si y sólo si stisfce fx) dx 1. E este cso f determi totlmete l medid de probbilidd y culquier otr fució medible f tl que λ f f ) 0 tmbié es u desidd pr l mism medid de probbilidd. Recíprocmete, u medid de probbilidd e R, B ) bsolutmete cotiu determi su desidd slvo por u cojuto de medid de Lebesgue 0, es decir, si f y f so dos desiddes pr est probbilidd, etoces λ f f ) 0. Demostrció. Se f l desidd de l probbilidd P, etoces Hciedo x vemos que x fy) dy P, x]). fy) dy fy) dy lím R x x fy) dy 1. Pr ver el recíproco se f 0 u fució Borel-medible co fx) dx 1. Pr todo A B poemos P A) fy) dy 1 A y)fy) dy, 4.16) A esto defie u fució P : B R + co P R ) 1. Vemos que es σ-ditiv: Se {A i, i 1} u sucesió de evetos disjutos 2 2, etoces P 1 A i ) 1 1 A i fx) dx 1 Ai fx) dx 1 Ai fx) dx P A i ) 1 1 1

23 4.11. PROBABILIDADES EN R N 81 por el TCM pr series. Vemos hor que P determi f slvo por u cojuto de medid de Lebesgue 0. Supogmos que f es otr desidd pr P, etoces f tmbié stisfce 4.16). Se ε > 0 y A {x : fx) + ε f x)}. Si λ A) > 0 etoces P A) + ελ A) fx) + ε)1 A x) dx f x)1 A x) dx P A) lo que es u cotrdicció, y cocluimos que λ {x : fx) + ε f x)}) 0. Como {f + ε f } {f < f } ε 0) obteemos que λ {x : fx) < f x)}) 0. De mer similr se demuestr que λ {x : fx) > f x)}) 0 y por lo tto f f c.s. Pr simplificr, restrigimos uestr discusió l cso 2 pero los resultdos se extiede fácilmete 3. Se X u vector letorio e R 2 co compoetes X Y, Z). Teorem 4.17 Supogmos que X Y, Z) tiee desidd f e R 2, etoces ) Tto Y como Z tiee desiddes e R, B) dds por f Y y) fy, z) dz, f Z z) fy, z) dy. R b) Y y Z so idepedietes si y sólo si fy, z) f Y y)f Z z) c.s. c) L siguiete fórmul defie otr desidd e R e todo puto y R pr el cul f Y y) 0: f Y y z) fy, z) f Y y). Est fució es l desidd codiciol de Z ddo Y y. Demostrció. ) Pr todo A B teemos P Y A) P X A R) fy, z) dydz A R fy, z) dz ) dy f Y y) dy A R A y como esto es válido pr todo A B y ls desiddes e R está crcterizds por 4.16), f Y y) es u desidd pr Y. b) Supogmos que fy, z) f Y y)f Z z), etoces P Y A, Z B) 1 A B y, z)fy, z) dydz 1 A y)1 B z)fy, z) dydz 1 A y)1 B z)f Y y)f Z z) dydz 1 A y)f Y y) dy 1 B z)f Z z) dz P Y A)P Z B), y como A y B so borelios culesquier, Y y Z so idepedietes. Supogmos hor que Y y Z so idepedietes. Se { } H C B 2 : fy, z) dydz f Y y)f Z z) dydz. C C R

24 82 CAPÍTULO 4. INDEPENDENCIA Como Y, Z so idepedietes, si C A B co A, B B etoces P Y, Z) C) fy, z) dydz mietrs que P Y, Z) C) P Y A, Z B) P Y A)P Z B) f Y y) dy f Z z) dz f Y y)f Z z) dydz A B por el teorem de Fubii. Por lo tto H cotiee l clse de los rectágulos medibles B B, que es u sistem π que geer B 2. Es posible demostrr que H es u sistem λ y deducimos que H B 2. Por lo tto P X C) fy, z) dydz f Y y)f Z z) dydz C pr todo C B 2. Por l uicidd de l desidd teemos fy, z) f Y y)f Z z) c.s. c) Teemos fy, z) f Y y z) dz f Y y) dz 1 f/y, z) dz 1 f Y y) f Y y) f Y y) 1. C C A B Como f Y y z) es positiv, Borel-medible y su itegrl vle 1, es u desidd. Teorem 4.18 Se X X 1,..., X ) u vector co desidd f y se g : R R u fució iyectiv y cotiumete diferecible cuyo Jcobio o se ul. Etoces Y gx) tiee desidd { f X g 1 y)) det J f Y y) g 1y)1 si y está e el recorrido de g 0 e otro cso.