Notas para el curso de Probabilidad II Licenciatura en Estadística

Transcripción

1 Nots pr el curso de Probbilidd II Licecitur e Estdístic Alejdro Cholquidis Fcultd de Ciecis Uiversidd de l Repúblic

2 Ests ots fuero hechs pr el curso de Probbilidd 2 de l Licecitur e Estdístic, dictdo e el ño 205. Ls errts que hubiere, se grdece comuicrls cholquidis@hotmil.com.

3 Ídice geerl. Repso 4.. Espcio de Probbilidd σ-álgebr Espcio de probbilidd Límite superior e iferior Idepedeci Vribles letoris Espcio métrico Ley 0 o de Kolmogorov Desiguldd de Kolmogorov Itegrl de Riem-Stieltjes Defiició Métodos de itegrció Apliccioes l teorí de l probbilidd Covergeci de vribles letoris Covergeci csi segur, sucesioes de Cuchy, covergeci de series Teorems de covergeci moóto y domid Covergeci csi segur de series Covergeci e Probbilidd Ley débil de los grdes úmeros Ley fuerte de los grdes úmeros Covergeci e Distribució Métrics etre distribucioes Covergeci e L p Desigulddes e espcios L p Fucioes crcterístics y TCL Fució crcterístic Teorem Cetrl del Límite Vribles iid Arreglos trigulres Sucesioes estcioris y teorí ergódic Sucesioes estcioris (e setido estricto de vribles letoris Ergodicidd y mixig

4 Cpítulo Repso Defiiremos modo de repso los priciples coceptos y euciremos los resultdos ecesrios pr l lectur de los siguietes cpítulos, e geerl se d si demostrció. Ls demostrcióes de los mismos puede ecotrrse e [4], [3] o e culquier libro itroductorio l probbilidd... Espcio de Probbilidd... σ-álgebr Defiició.. Ddo u cojuto Ω, diremos que A 2 Ω es u σ-álgebr de subcojutos de Ω si se cumple: Ω A. Si A A etoces A c A. Si {A } N A etoces N A A. Ls siguietes propieddes so de fácil demostrció, se sugiere hcerls como ejercicio. Proposició.2. Si A es u σ-álgebr, A. 2 A, A 2,..., A A etoces i= A i A 3 Si {A } N A etoces + = A A. 4 Si A, B A etoces A B A 5 Si A α es σ-álgebr de cojutos sobre Ω pr todo α I, siedo I u cojuto culquier de ídices, etoces α I A α es σ-álgebr de cojutos sobre Ω. Ejemplo.3. Ejemplos de sígm álgebr: {, Ω}. 2 2 Ω. 3 {, Ω, A, A c }, siedo A Ω. 4

5 Cpítulo. Repso Defiició.4. Dd u fmil F de subcojutos de Ω, el cojuto A:F A A (es decir l itersecció de tods ls σ-álgebr que cotiee F se llm σ-álgebr geerd por F y se deot σ(f. Defiició.5. L σ-álgebr de Borel e R es σ(f co F = {A R : A es bierto}. Teorem.6. Si I = {(, b R : < b} 2 I 2 = {[, b R : < b} 3 I 3 = {(, b] R : < b} 4 I 4 = {(, + R : R} 5 I 5 = {[, R : R} 6 I 6 = {(, R : R} 7 I 7 = {(, ] R : R} etoces l σ-álgebr de Borel defiid teriormete es igul l σ-álgebr geerd por culquier de ls fmilis de cojutos I,..., I Espcio de probbilidd Defiició.7. Ddo Ω, diremos que l ter (Ω, A, P es u espcio de probbilidd sobre Ω si y sólo si A es u σ-álgebr de cojutos sobre Ω y P es u fució P : A [0, ] que cumple i P (Ω = ii si l fmili de sucesos {A } N A so disjutos dos dos (A i A j = pr todo i j, etoces Proposició.8. P ( = 0 ( + P A = = + = P (A. 2 Si A,..., A A so disjutos dos dos P ( i= A i = i= P (A i. 3 Si A, B A, etoces P (B A = P (B P (A B. 4 Si A, B A, A B, P (B A = P (B P (A y P (A P (B 5 Si A, B A, etoces P (A B = P (A + P (B P (A B 6 Si A,..., A A, etoces P ( i= A i i= P (A i. 7 Si {A } N A es tl que A A 2 A 3..., etoces P ( N = lím P (A. 8 Si {A } N A es tl que A A 2 A 3..., etoces P ( N A = lím P (A. 9 Si {A } N A es tl que P (A = pr todo, etoces P ( N A =. 5

6 Cpítulo. Repso..3. Límite superior e iferior Recordemos que si { } N R es u sucesió de úmeros reles, el límite superior e iferior de l mism se defie como lím sup = lím sup + k k y lím if = lím íf k, k respectivmete. Este cocepto se geerliz cojutos de l siguiete mer: Defiició.9. Dd {A } N A, se defie el límite superior e iferior de l sucesió de sucesos como respectivmete. + lím sup A = Algus propieddes importtes: Proposició.0. 2 (ocurre ifiitos A. + = k= + A k y lím if A = + A k = k= lím sup A = {ω Ω : ω A pr ifiitos vlores de } lím if A = {ω Ω : ω A pr todo slvo lo sumo u ctidd fiit de ídices} (ocurre A pr todos los slvo u ctidd fiit. 3 lím if A lím sup A. 4 Como l sucesió B = + k= A k es decreciete, etoces ( + P (lím sup A = lím P A k. 5 Como l sucesió B = + k= A k es creciete, etoces ( + P (lím if A = lím P A k. 6 Si {A } N es creciete, etoces 7 Si {A } N es decreciete, etoces lím if k= k= + A = lím sup A = A. = lím if A = lím sup A = + = A. 8 P (lím if A lím if P (A lím sup P (A P (lím sup A. 6

7 Cpítulo. Repso.2. Idepedeci Defiició.. Dd u fmili de sucesos {A α } α I, dode I es u cojuto culquier de ídices, se dice que so idepedietes si y sólo si, pr todo F I fiito, se cumple que ( P A α = P (A α. α F Teorem.2. (Lem de Borel-Ctelli. Dd u sucesió {A } N A, α F Si + = P (A < + etoces P (lím sup A = 0 2 Si + i= P (A = y demás {A } N so idepedietes, etoces P (lím sup A =. Demostrció.. P (lím sup A = lím P ( + k= A k + k= P (A 0, dode el último límite es 0 porque l serie coverge. 2. Como P (lím sup A = lím P ( + k= A ( k bst probr que P + k= k Ac 0. Pr cd m > teemos que ( + ( m m m P P = P (A c k e P (Ak = e m k= P (Ak m 0, k= A c k k= A c k dode e l peúltim desiguldd hemos usdo que x e x pr todo x. k= k=.3. Vribles letoris Vmos itroducir hor uo de los priciples coceptos de l probbilidd, l oció de vrible letori. Ddo que e vris pliccioes hy que cosiderr vribles letoris como fucioes o sólo vlores e R d, sio más e geerl, e u espcio métrico, defiiremos lgus ocioes topológics previs..3.. Espcio métrico Defiició.3. U métric defiid e u cojuto F es u fució d : F F R tl que d(x, y 0 y d(x, y = 0 si y sólo si x = y. 2 d(x, y = d(y, x 3 pr todo z F, d(x, y d(x, z + d(z, y Ejemplo.4. Ejemplos clásicos de espcios métricos so: d(x, y = si x y y d(x, y = 0 si y sólo si x = y. d 2 F = R d y d(x, y = i= (x i y i 2. 7

8 Cpítulo. Repso 3 F = R d y d(x, y = d i= x i y i. 4 F = R d y d(x, y = máx i=,...,d x i y i. 5 F = C([0, ] fucioes cotius de [0, ] e R y d (f, g = máx x [0,] f(x g(x. 6 F = L p ([0, ] = {f : [0, ] R, 0 f(xp dx < } y d(f, g = p 0 f(x g(x p dx. 7 Si D = { f : [0, ] R, t (0,, lím x t f(x, y lím x t + f(x = f(t }, l métric de Skorohod e D se defie como d Sk (f, g = íf { ε > 0 : λ Λ : sup t [0,] f(t g(λ(t + sup t [0,] t λ(t ε }, dode Λ es el cojuto de fucioes λ defiids e [0, ] vlores e [0, ] cotius, estrictmete crecietes, tl que λ(0 = 0 y λ( =. Observr que C([0, ] D y B d (f, r B dsk (f, r. Defiició.5. Ddo u espcio métrico (F, d se dice que u cojuto A F es bierto si pr todo A, existe r > 0 tl que B(, r A, siedo B(, r = {x F : d(, x < r}. Se dice que A es cerrdo si A c es bierto. Proposició.6. Ddo u espcio métrico (F, d, se verific. y F so cojutos biertos. 2. Si {F α } α I F es u fmili culquier de cojutos biertos etoces α F α es bierto. 3. Pr todo k > 0 F,..., F k so biertos F F k es bierto. Observemos que e u espcio métrico (F, d se puede defiir covergeci de sucesioes de l mism mer que se hce e R d, es decir si {x } N F es u sucesió, x x si d(x, x 0. Decimos que u sucesió {x } N F es de Cuchy si d(x, x m 0 cudo, m. Se dice que el espcio métrico es completo si pr tod {x } N F de Cuchy existe x F tl que x x. Se dice que f : F G (siedo (G, ρ otro espcio métrico es cotiu e x F si pr tod x x, ρ(f(x, f(x 0. Se puede probr que f : F G es cotiu si y sólo si pr todo B G bierto, f (B = { F : f( B} es bierto e F. Defiició.7. Ddo u espcio métrico (F, d l σ-álgebr de Borel de F es l itersecció de tods ls σ-álgebrs que cotiee los cojutos biertos. E geerl se deot B(F. Defiició.8. Ddo u espcio de probbilidd (Ω, A, P y (F, d u espcio métrico, diremos que X : Ω F es u vrible letori si pr todo B B(F, se cumple que X (B = {ω Ω : X(ω B} A. Proposició.9. Pr verificr que X es u vrible letori, bst probr que X (B A, pr todo B F, bierto. Demostrció. Sbemos que, por defiició B(F es l σ-álgebr geerd por los biertos. Queremos probr que X (B A pr todo B B(F. Observemos que l fmili D de Borelios pr los cules X (D A, D D, es u σ-álgebr que cotiee por hipótesis los biertos, por lo tto cotiee l σ-álgebr geerd por los biertos, es decir los Borelios. E defiitiv B(F D B(F. Teorem.20. Se (F, d y (G, ρ espcios métricos. Si X : Ω F es u vrible letori y g : F G es u fució cotiu etoces Y = g(x es u vrible letori vlores e G. 8

9 Cpítulo. Repso Demostrció. Es u cosecueci imedit de l observció terior y que, pr todo A G bierto, g (A es bierto y, por otr prte Y (A = X (g (A A. Corolrio.2. Si X, Y : Ω R so vribles letoris y α R etoces X + αy, XY so vribles letoris. Observció.22. E lguos csos es ecesrio cosiderr vribles letoris vlores o sólo e R sio e l rect extedid R = R {+, }, pr eso, si deotmos como B l σ-álgebr de Borel e R, defiimos u σ-álgebr B(R como B { A {+, }} : A B } { A {+ } : A B } { A {} : A B }. Muchs veces usremos l otció X A pr idicr el cojuto: {ω Ω : X(ω A}. Por ejemplo X ((, ] es {X }. Teorem.23. Si X : Ω R es vrible letori pr todo N etoces tmbié lo so ls vribles vlores e R, sup X y íf X. Demostrció. ( ( + sup X (, ] = X ( (, ] A. = Corolrio.24. Si X : Ω R es vrible letori pr todo N etoces tmbié lo so ls vribles vlores e R lím sup X y lím if X. Defiició.25. Dds dos vribles letoris X, Y : Ω F decimos que. X es igul Y e distribució, (deotmos X d = Y si A B(F P (X A = P (Y A 2. X es igul Y csi segurmete, (deotmos X c.s = Y si existe C Ω co P (C = tl que pr todo ω C, X(ω = Y (ω. Observció.26. Observemos que si X c.s = Y etoces X d = Y, probr co u cotrejemplo que el recíproco o es cierto Ley 0 o de Kolmogorov Ddo (Ω, A, P y X,..., X,..., u sucesió de vribles letoris, se A = σ(x, X +,... l σ-álgebr geerd por X, X +,... (es decir l meor σ-álgebr que ls hce vrible letori, deotmos A = A, = es clro que A es u σ-álgebr. Los evetos de A se llm evetos de col, y que o depede de lo que sucede e l sucesió {X } N e u ctidd fiit de ídices. Alguos ejemplos de evetos e A so 9

10 Cpítulo. Repso. Pr todo k, A = { ξ = } coverge = { ξ =k } coverge A k. Por lo tto A A. 2. A 2 = {X I pr ifiitos }, dode I B(R 3. A 3 = {lím sup X < } 4. A 4 = {lím sup X + +X < c}. Ejemplos de evetos que o so evetos de col so: B = {X = 0 pr todo }, B 2 = {lím (X +... X existe y es meor que c}. Observemos que si ls vribles letoris X, X 2,... so idepedietes, por el Lem de Borell Ctelli el suceso A 3 sólo puede tomr los vlores 0 o. Esto es cierto e geerl o sólo pr A 3 sio pr culquier eveto de col, como se demuestr e el siguiete teorem. Teorem.27. Se X, X 2,... u sucesió de vribles idepedietes. Se A A etoces P (A sólo puede vler 0 o. Demostrció. Se A A observemos que por defiició de A, A A = σ{x, X 2,... } = σ( A siedo A = σ{x,..., X }. Se puede demostrr que es posible ecotrr u sucesió de cojutos A A que proxime A, es decir tl que P (A A 0, siedo l difereci simétric etre A y A. Por lo tto P (A P (A P (A A P (A, Por otr prte como A A se tiee que A A + y por lo tto A y A so idepedietes. Por lo tto P (A = P 2 (A de dode P (A es 0 o Desiguldd de Kolmogorov Teorem.28. Se X, X 2,..., X vribles idepedietes tl que E(X i = 0 y E(Xi 2 < pr todo i. Etoces, si deotmos S k = X + + X k, pr todo ε > 0. ( P máx S k ε k E(S2 ε 2, (. 2. si demás existe c > 0 tl que P ( X i c = pr todo i etoces ( P máx S (c + ε2 k ε k E(S 2. (.2 Demostrció.. Deotemos A = {máx k S k ε} y A k = { S i < ε, i =,..., k, S k ε} pr k =,..., dode S 0 = 0. Observemos que A es l uió disjut de los A k y por lo tto Observemos que E(S 2 E(S 2 I A = E(S 2 I Ak =E ( (S k + (X k+ + + X 2 I Ak E(SI 2 Ak. =E(S 2 ki Ak + 2E(S k (X k+ + + X I Ak + E[(X k+ + + X 2 I Ak ] =E(S 2 ki Ak + E[(X k+ + + X 2 I Ak ] (.3 E(S 2 ki Ak 0

11 Cpítulo. Repso Dode hemos usdo E(S k (X k+ + + X I Ak = 0 y que ls vribles X k+,..., X so cetrds e idepedietes S k I Ak. L últim desiguldd se debe que el segudo es o egtivo. Filmete ( E(S 2 E(SkI 2 Ak ε 2 P (A k = ε 2 P (A = ε 2 P máx S k ε k 2. E(S 2 I A = E(S 2 E(S 2 I A c E(S 2 ε 2 P (A c, y que si ω A c etoces S 2 (ω < ε 2. Por lo tto E(S 2 I A E(S 2 ε 2 + ε 2 P (A (.4 Observemos que si ω A k etoces S k ε y por lo tto Si hor summos e k e l equció.3: E(SI 2 A = E(SkI 2 Ak + E(I Ak (S S k 2 = S k S k + X k ε + c (.5 E(SkI 2 Ak + P (A k E(S S k 2. Dode e l últim iguldd hemos usdo que I Ak y S S k so idepedietes. Observemos que E(S S k 2 = E(X + + X k+ 2 = j=k+ E(X2 j y que ls vribles X j so idepedietes y cetrds. Usdo (.5 podemos escribir E(SkI 2 Ak + E(I Ak (S S k 2 (ε + c 2 P (A k + P (A k E(Xj 2 = P (A k (ε + c 2 + P (A k (ε + c 2 + =P (A (ε + c 2 + j=k+ j=k+ E(Xj 2 E(Xj 2 j= E(Xj 2 Si usmos hor que E(X = 0 pr todo, P (A (ε + c 2 + E(Xj 2 = P (A[(ε + c 2 + E(S]. 2 Usdo (.4 obteemos Filmete escribimos j= P (A E(S 2 ε 2 (ε + c 2 + E(S 2 ε 2 E(S 2 ε 2 (ε + c 2 + E(S 2 ε 2 = (ε + c 2 (ε + c2 (ε + c 2 + E(S 2 ε2 E(S 2, dode e l últim desiguldd hemos usdo que (ε + c 2 ε 2 > 0. j= Corolrio.29. Observemos que de l desiguldd (. se sigue de mer imedit l desiguldd de Mrkov: P ( X E(X > ε Vr(X ε 2.

12 Cpítulo. Repso.4. Itegrl de Riem-Stieltjes Dremos u breve repso, si demostrcioes, de l defiició de itegrl de Riem-Stieltjes sí como lgu de sus propieddes..4.. Defiició Defiició.30. Dds g, F : [, b] R y P = { = c 0 < c < c 2 < < c = b}: defiimos l sum prcil de Riem-Stieltjes como siedo x i [c i, c i ]. S(P, g, F = g(x i ( F (c i F (c i, defiimos l orm de l prtició P como P = máx{c i c i : i =,..., }. i= decimos que lím P 0 S(P, g, F = I si y sólo si ddo ε > 0 existe δ > 0 tl que pr tod prtició P de [, b] co P < δ se tiee que S(P, g, F I < ε, e este cso decimos que l itegrl de Riem-Stieltjes de g respecto de F e el itervlo [, b] existe y vle I, y deotmos b g(xdf (x. Observció.3. Si F (x = x obteemos l itegrl de Riem. Si F (x = k, b gdf = 0 pr tod g. Si g : [, b] R es cotiu y F (x = I [c,b] (x co c (, b etoces b gdf = g(c. Si g(x = k, pr tod F b gdf = k(f (b F (. Teorem.32. Los siguietes eucidos so equivletes existe lím P 0 S(P, g, F = I < ddo ε > 0 existe δ tl que si P < δ y Q < δ se cumple S(P, g, F S(Q, g, F < ε pr tod sucesió de prticioes {P } N de [, b] tl que P 0 se cumple que lím S(P, g, F = I. Teorem.33. Si g : [, b] R es cotiu y F : [, b] R es moóto, etoces existe b gdf. Teorem.34. Si g : [, b] R es cotiu y F : [, b] R es moóto y derivble tl que F (x = f(x siedo f itegrble Riem e [, b], etoces b g(xdf (x = b g(xf(xdx Proposició.35. Si g, h, F : [, b] R so tles que existe b gdf y b hdf etoces tmbié existe b (αg + βhdf pr todo α, β R y demás b (αg + βhdf = α b gdf + β b hdf 2

13 Cpítulo. Repso Proposició.36. Si h, F, G : [, b] R so tles que existe b hdf y b hdg etoces tmbié existe hd(αf + βg pr todo α, β R y demás b b hd(αf + βg = α b hdf + β Proposició.37. Si g, F : [, b] R so tles que existe b gdf etoces pr todo c (, b existe c gdf y b gdf y vle c b gdf = c gdf + Proposició.38. Si g, F : [, b] R so tl que α g β pr todo x [, b], y F es moóto o decreciete tl existe b gdf etoces α(f (b F ( b b c gdf b dg gdf β(f (b F ( Proposició.39. Si g : [, b] R es cotiu y F : [, b] R es moóto o decreciete, etoces b b g(xdf (x g(x df (x Proposició.40. (Teorem del vlor medio. Si g, F : [, b] R so tles que g es cotiu, F es moóto creciete, etoces existe c [, b] tl que b gdf = g(c(f (b F ( Métodos de itegrció Teorem.4. (Fórmul de itegrció por prtes. Si g, F : [, b] R so tles que existe b gdf, etoces existe existe b F dg y demás b F dg = gf b b gdf Teorem.42. (Cmbio de vrible. Si g, F : [, b] R so tles que b gdf existe, h : [c, d] [, b] es cotiu y biyectiv, etoces existe b g hd(f h y demás d c g(h(tdf (h(t =.4.3. Apliccioes l teorí de l probbilidd b g(xdf (x (.6 Proposició.43. Si F X es u fució de distribució de u vrible letori X, etoces b df X (x = P ( < X b Proposició.44. Se X u vrible letori cuy fució de distribució es F X, Si su recorrido es A = {x, x 2,... } y g : [, b] R es cotiu, etoces b g(xdf X (x = x (,b] A g(xp X (x = E(g(XI X (,b] 3

14 Cpítulo. Repso Si X es bsolutmete cotiu co desidd f X y g[, b] R es cotiu, etoces b g(xdf X (x = b g(xf X (xdx = E(g(XI {X [,b]} Observemos que, de l proposició terior se sigue que podemos defiir l esperz de u vrible letori X co distribució F X, como E(X = b lím b + xdf X (x = xdf X (x siempre que dicho límite doble exist, (l segud iguldd es simplemete otció, pr el cso e que dicho límite existe. Ejercicio.45. Probr que si F es u fució de distribució, < b so putos de cotiuidd de F, defiimos 0, x <, x > b ψ(x = /2, x =, x = b,, < x < b etoces ψ(xdf (x = F (b F ( 4

15 Cpítulo 2 Covergeci de vribles letoris 2.. Covergeci csi segur, sucesioes de Cuchy, covergeci de series Defiició 2.. Se X y {X } N vribles letoris defiids e el mismo espcio (Ω, A, P, decimos que X coverge csi segurmete X si y sólo si deotmos X c.s. X. Observció 2.2. P ( {ω Ω : X (ω X(ω} =, por el Corolrio.24, si X c.s. X, X es u vrible letori. Si g : R d R es cotiu y X i c.s. X i pr todo i d etoces g(x,..., X d c.s. g(x,..., X d c.s. c.s.. E prticulr tomdo d = 2 obteemos que si X X y Y Y etoces c.s. c.s. pr todo, b X + by X + by y X Y XY. Si X c.s. 0 y existe k > 0 tl que P ( Y > k = 0 pr todo etoces X Y c.s. 0. Teorem 2.3. X c.s. X si y sólo si lím k + P ( + =k { X X < ε} = pr todo ε > 0. Demostrció. Observemos que P (lím + X = X = si y sólo si P + + { ε} ( + + { X X < = P X X < ε} =, pr todo ε Q +, ε Q + =k =k Como los cojutos B k = + =k { X X < ε} form u sucesió creciete P ( + B k = lím k + P (B k. Corolrio 2.4. Se {X } N u sucesió de vribles tl que pr todo ε > 0, = P ( X X > ε <, etoces X X c.s. Teorem 2.5. X c.s. X si y sólo si ε > 0, lím k + P (sup k X X > ε = 0 Demostrció. Bst observr que { =k } { X X > ε = sup X X > ε k } 5

16 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris Vmos itroducir hor u cocepto álogo l de sucesió de Cuchy, recordemos que u sucesió {x } N R es de Cuchy si x x m 0 cudo y m. Defiició 2.6. Se X y {X } N vribles letoris defiids e el mismo espcio (Ω, A, P, vlores e R d, decimos que X es de Cuchy co probbilidd si y sólo si P { ω : X (ω es de Cuchy } = Teorem 2.7. L sucesió {X } N es de Cuchy co probbilidd si y sólo si. pr todo ε > 0 o, de form equivlete: 2. pr todo ε > 0 P sup X k X l > ε 0 (2. k l ( P sup X +k X > ε k 0 0 (2.2 Demostrció. L demostrció de que {X } N es de Cuchy e probbilidd si y sólo si (2. es álog l prueb del Teorem 2.3. E este cso, fijdo ε > 0 tommos los cojutos B ε k,l = { ω : X k X l > ε } y B ε = = k l B ε k,l, por lo tto {ω : X (ω o es de Cuchy} = ε>0 B ε. Observemos que, pr todo ε > 0, y P (B ε = lím P + Bk,l ε = sup X k X l > ε, implic P k l k l L equivleci etre (2. y (2.2 se sigue de sup k 0 X +k X sup k 0 l 0 X +k X +l sup k 0 k l k l B ε k,l B ε k,l, X +k X + sup l 0 = P sup X k X l > ε. k l X X +l = 2 sup X +k X k 0 dode l primer desiguldd es porque estmos tomdo supremo e u cojuto ms grde. Teorem 2.8. U sucesió {X } N es de Cuchy co probbilidd si y sólo si existe X tl que X c.s. X. Demostrció. El recíproco se sigue de que: sup k l X l X k sup k X k X + sup X X l, l 6

17 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris por lo tto ( P sup X l X k > ε P k l sup X k X > ε k 2 ( + P sup X X l > ε l 2 si X c.s. X cd uo de los dos sumdos tiede cero, y por el Teorem 2.7 l sucesió es de Cuchy co probbilidd. Pr ver el directo cosideremos el cojuto N = {ω : X (ω es de Cuchy}, dicho cojuto tiee probbilidd, demás, si ω N X (ω es de Cuchy e R y por lo tto coverge. Defiimos X(ω = lím X (ω si ω N y cero e otro cso Teorems de covergeci moóto y domid Teorem 2.9. (Teorem de covergeci moóto. Se X y {X } N vribles letoris defiids e el mismo espcio (Ω, A, P tl que existe E(X, X (ω 0 y X (ω X(ω pr csi todo ω Ω (es decir existe D Ω co P (D = tl que X (ω X(ω pr todo ω D etoces existe E(X pr todo y demás lím E(X = E(X. (2.3 + Demostrció. Observemos que como 0 < X < X existe E(X y demás es u sucesió creciete y cotd por E(X, por lo tto existe lím E(X E(X. Pr probr (2.3 bst probr que pr todo ε > 0 lím E(X E(X ε. Fijdo ε > 0 cosideremos ls vribles letoris Y ε = + =0 εi {ε<x (+ε}, es clro que X ε Y ε X y por lo tto E(X ε E(Y ε E(X. Vemos que lím E(X E(Y ε. E lo que rest los ω que cosideremos será tomdos e el cojuto de probbilidd tl que X (ω X(ω. Cosideremos los sucesos A k = {X k Y ε }, como X k es creciete los A k so u sucesió creciete. Como X k (ω X(ω Y ε (ω teemos que + A k = Ω. Por lo tto A k B k B siedo B = {ε < X ( + ε}, por lo tto E(Y ε I Ak = + =0 εp (Y ε I Ak = ε = + =0 εp (A k B pr todo m, como A k B k B, P (A k B k P (B,es decir tomdo límite e m, lím k lím k E(Y ε I Ak E(Y ε I Ak Como Y ε I Ak X k se tiee que E(Y ε I Ak E(X k. m εp (B =0 εp (B = E(Y ε. =0 m εp (A k B, Teorem 2.0. (Teorem de covergeci domid. Se X, Y y {X } N vribles letoris defiids e el mismo espcio (Ω, A, P tl que X (ω c.s X(ω y X (ω Y pr csi todo ω Ω, supogmos que existe E(Y etoces existe ls esperzs de ls X pr todo y l de X y demás lím E(X = E(X. + =0 7

18 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris Demostrció. Que existe E(X y E(X se sigue de que X Y pr todo y por lo tto X Y. Defiimos Y = íf k X k, es clro que Y X y por lo tto Y + Y X + Y. Además 0 Y + Y y que X < Y, por lo tto por el teorem de covergeci moóto lím E(Y + Y = E(X + E(Y, de dode E(Y E(X. Aálogmete, si tommos Z = sup k X k teemos que Z X y como 0 Y Z Y X obteemos, plicdo uevmete el teorem de covergeci moóto, que E(Z E(X. L tesis se sigue de que Y X Z y por lo tto E(Y E(X E(Z. Corolrio 2.. Si f : [, b] R y g : [, b] R so Riem itegrbles tl que lím f (x = f(x y f (x g(x pr todo x [, b] etoces lím b f (xdx = b f(xdx. El siguiete Teorem, permite derivr bjo el sigo de l itegrl, se demuestr usdo el teorem de covergeci domid. Teorem 2.2. Se f : R [, b] R y F : R R u fució moóto o decreciete, co < < b < +, tl que pr todo t [, b] l fució f(, t : R R es itegrble respecto de df (x (es decir existe y es fiit f(t, xdf (x, deotemos R G(t = f(x, tdf (x, R supogmos que f t (x, t existe pr todo x y demás existe g tl que R g(xf (dx < y f t (x, t < g(x pr todo t, x, etoces G es derivble y vle G f (t = (x, tdf (x. t Covergeci csi segur de series R Teorem 2.3. (Kolmogorov-Khichi. Se {X } N u sucesió de vribles letoris idepedietes tl que E(X = 0 pr, si etoces, co probbilidd E(X 2 <, = X <. = Si ls vribles X k so uiformemete cotds, es decir existe c < tl que P ( X k < c = pr todo k, el recíproco es cierto: = X < implic que = E(X2 <. Demostrció. Por el Teorem 2.8 bst probr que = X es de Cuchy co probbilidd, y, por el Teorem 2.7 esto es equivlete demostrr que, pr todo ε > 0, ( +k k P sup X X > ε 0 cudo. k = Deotemos S = j= X j. Observemos que ( +k k P sup X k = = = ( X > ε = lím P N máx S +k S > ε k N, 8

19 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris pr cotr l probbilidd del máximo usmos l desiguldd de Kolmogorov (. ( lím P máx S +k S > ε N k N lím N +N k=+ E(X2 k k=+ ε 2 = E(X2 k ε 2 0. Pr demostrr el recíproco observemos que como X k coverge, por el Teorem 2.7 podemos tomr suficietemete grde tl que ( P sup S +k S k < /2, (2.4 pero, por otr prte, si usmos (.2 obteemos que, pr todo N ( P máx S (ε + c 2 +k S > ε k N N+ k=+ E(X2 k, como estmos supoiedo que E(Xk 2 = podemos tomr N tl que ( P máx S +k S > ε > /2 k N lo que cotrdice ( Covergeci e Probbilidd Defiició 2.4. Se X y {X } N vribles letoris defiids e el mismo espcio (Ω, A, P, decimos que X coverge e probbilidd X si y sólo si pr todo ε > 0 P ( {ω Ω : X (ω X(ω > ε } 0 cudo deotmos X P X. Proposició 2.5. Si X P X y X P Y etoces P (X = Y = Demostrció. Se k > 0, deotemos Ω k = {ω : X(ω Y (ω < /k}, observemos que por lo tto Ω c k { X X /(2k } { X Y /(2k }, P (Ω c k P ( X Y /(2k + P ( X X /(2k 0, de dode P (Ω k = pr todo k y etoces P ( k Ω k =. Teorem 2.6. Se X y {X } N vribles letoris defiids e el mismo espcio (Ω, A, P, si X c.s. X etoces X P X. Demostrció. Observemos que, por el Teorem 2.3 sbemos que, pr todo ε > 0, ( + lím P { X X > ε } = 0, k + l covergeci e probbilidd se sigue de que { X k X > ε} + =k { X X > ε}. =k 9

20 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris Ejemplo 2.7. Vemos co u ejemplo que el recṕroco o es cierto. Cosideremos l sucesió de itervlos I i = [ i, i ] y ls vribles Xi = I I i, co i =, 2,..., ;. Observemos que e este cso el espcio de probbilidd Ω es el itervlo [0, ], l σ-álgebr es l de Borel e [0, ], y l probbilidd es l que sig u itervlo [, b] co 0 b el vlor b L sucesió {X, X2, X2 2, X3, X3 2, X3 3,... } coverge e probbilidd 0, pero o coverge c.s. Proposició 2.8. Si g : R d R es cotiu y X i P X i pr todo i d etoces g(x,..., X d P g(x,..., X d P P. E prticulr tomdo d = 2 obteemos que si X X y Y Y etoces pr todo, b X + by P X + by y X Y P XY. Proposició 2.9. Si X P 0 y existe k > 0 tl que P ( Y > k = 0 pr todo etoces X Y P 0 Teorem Si X P X etoces existe u subsucesió {Xk } k tl que X k c.s. X. Demostrció. Sbemos que pr todo j > 0 P ( X X > /2 j 0, defiimos j pr j =, 2,... tl que P ( X j X > /2 j < /2 j. Vemos que X j X. Pr eso observemos que por el Teorem 2.3 bst probr que pr todo ε > 0, P ( j m X j X > ε m 0, pr eso tomemos m 0 tl que /2 m0 < ε etoces P X j X > ε P X j X > /2 j /2 j 0 cudo m 0 j m 0 j m 0 j m 0 Se dej como ejercicio el siguiete teorem: ( P Teorem 2.2. X X si y sólo si E X X + X X Ley débil de los grdes úmeros. Teorem Se {X } u sucesió de vribles letoris co esperz fiit. Supogmos que ( 2 Vr X i 0 (2.5 etoces i= [ ( Xi E(X i ] P 0, (2.6 i= e prticulr si ls X i so idepedietes dos dos y existe C tl que Vr(X i < C pr todo i, se cumple (2.6 Demostrció. Deotemos Z = i= X i, (2.6 es equivlete probr que pr todo ε > 0, P ( Z E(Z > ε 0, pero esto se sigue de l desiguldd de Mrkov y que P ( Z E(Z > ε ( 2 ε 2 Vr X i 0. i= 20

21 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris Vemos hor otr versió del Teorem terior e el el cul pedimos u codició más fuerte que (2.5 pero o t restrictiv como l idepedeci. Pr eso vmos defiir dos coceptos importtes. Defiició Dds X, Y vribles letoris defiids e u mismo espcio de probbilidd tl que 0 < Vr(X < y 0 < Vr(Y <, el coeficiete de correlció etre X e Y se defie como ρ(x, Y = E(XY E(XE(Y Vr(X Vr(Y, Observció Si X e Y so idepedietes, ρ(x, Y = 0, o obstte el recíproco o es cierto e geerl. Se puede ver que ρ(x, Y y que ρ(x, Y = si y sólo si X = Y + b siedo y b costtes. Defiició Decimos que u sucesió de vribles letoris {X } es débilmete estciori si l esperz de cd vrible es costte (E(X = c < pr todo, E(X 2 < (segudo mometo fiito y E(X X m depede úicmete de l difereci m. Ejercicio Probr que si {X } N es iid co E(X = y Vr(X = σ 2 pr todo etoces es débilmete estciori. Teorem Cosideremos {X } N u sucesó débilmete estciori de vribles letoris. Supogmos que ρ(x, X m 0 cudo m, etoces si deotmos E(X i = P X i. i= Demostrció. Vmos demostrr que se verific (2.5. Observemos que como X es débilmete estciori E(X 2 o depede de y por lo tto tmpoco Vr(X, deotemos Vr(X = σ 2. ( Vr X i = Vr(X i + 2σ 2 ρ(x i, X k = σ 2 + 2σ 2 (T + T 2, dode i= T = i= i<k i k <M i<k ρ(x i, X k T 2 = i<k i k M ρ(x i, X k, se ε > 0 y M tl que ρ(x i, X k < ε si i k > M, por lo tto T 2 ε 2. Pr cotr T observemos que teemos lo sumo (2M + sumdos, y que cd sumdo est cotdo por, por lo tto ( 2 Vr ( X i σ2 (2M + + 2σ2 + ε. Como ε es rbitrrio obteemos ( Ley fuerte de los grdes úmeros i= Ates de eucir y demostrr distits versioes de l Ley fuerte de los grdes úmeros vmos demostrr uos lems sobre sucesioes (o letoris que será ecesrios. 2

22 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris Lem (Kroecker. Se {x } N u sucesió de úmeros tl que = x = s, se b + u sucesió o decreciete de úmeros reles positivos, etoces lím b b k x k = 0, e prticulr si b = y x = y / tl que y / coverge, etoces y + + y Demostrció. Deotemos S k = k = x, tomemos b 0 = 0 y S 0 = 0, se prueb por iducció complet que: b k x k = b S (b k b k S k. Ddo ε > 0 se N tl que S k s < ε si k N. Por lo tto, tomdo > N, primero seprmos l sum e dos y luego summos y restmos b k=n (b k b k s, b b k x k =S N b (b k b k S k b =S N (b k b k S k b b 0. (b k b k S k k=n k=n (b k b k s b (b k b k (S k s k=n Observemos que por lo tto b b b k=n b k x k = S N b (b k b k s = s b Etoces b k x k S b b N s + b k=n (b k b k = b b N b s, (b k b k S k b b N b s b b N (b k b k S k + Observemos que, como S s y N es fijo S b b N s 0 cudo. b (b k b k (S k s. k=n b k=n Nuevmete, como N es fijo y b, N (b k b k S k 0 cudo. Filmete, b b k=n (b k b k (S k s ε(b b N /b ε. (b k b k (S k s 22

23 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris Teorem (Kolmogorov. Se {X } N u sucesió de vribles letoris idepedietes co segudo mometo fiito, supogmos que existe úmeros positivos b tl que b y etoces e prticulr si etoces Demostrció. Observemos que = Vr(X b 2 S E(S b = < (2.7 c.s. 0 Vr(X 2 <, S E(S S E(S b = b c.s. 0, ( Xk E(X k b k, b k por el Lem terior bst probr que ( Xk E(X k b k <, pero esto se sigue de (2.7 y del Teorem 2.3. Vemos hor u versió del teorem terior, pr el cso de vribles idéticmete distribuids, si l hipótesis de fiitud del segudo mometo. Pr eso vmos ecesitr dos lems: Lem Se X u vrible o egtiv, etoces = P (X E(X + P (X (2.8 = Demostrció. P (X = P (k X < k + = k = kp (k X < k + = = k=0 k=0 = ] E [XI {k X<k+} = E(X (k + P (k X < k + k=0 k=0 ] E [ki {k X<k+} k=0 ] E [(k + I {k X<k+} = kp (k X < k + + P (k X < k + = P (X + = k=0 23

24 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris Lem 2.3. Se X u vrible o egtiv, etoces E(X = 0 P (X > xdx. Demostrció. L demostrció es muy similr l terior, bst tomr A k, = {ω : X(ω [k/2, (k + /2 } pr k 0, y l vrible letori S = k 2 I A k, observemos que S X y por lo tto usdo covergeci moóto E(S E(X. E(S = k i= 2 P (A k, = i= k=i Por otr prte, como P (X > x decreciete como /2 P (X > xdx = obteemos filmete que i= (i+/2 i/2 P 2 P (A k, = 2 (i+/2 P i= i/2 P (X > xdx /2 P (X > xdx ( X i 2 i= (i+/2 ( X > i 2 dx = ( 2 P X > i 2, dode e l últim iguldd hemos usdo l equció (2.9. i= ( 2 X > i 2 = E(S 0 i/2 P (X > i/2 dx, P (X > xdx. (2.9 Lem (Toeplitz. Se { } N u sucesió de úmeros o egtivos tl que > 0, se b = i=, supogmos que b. Se {x } N tl que x x, etoces e prticulr si = pr todo etoces b j= j x j x, x + + x x Demostrció. Se ε > 0 y 0 = 0 (ε tl que x x ε/2 pr todo 0. Tomemos > 0 tl que 0 b j= x j x < ε/2. 24

25 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris Pr todo > teemos que j x j x b j= = b j (x j x j= j x j x b = b b j= 0 j= 0 j= ε 2 + b b 0 b j x j x + b j x j x + b ε 2 ε j= 0+ j= 0+ j x j x j x j x Teorem Se {X } N u sucesió de vribles letoris idepedietes e idéticmete distribuids tl que E X i <, etoces S c.s. E(X (2.0 Demostrció. Supogmos si pérdid de geerlidd que E(X = 0 (si o fuese el cso tommos ls vribles X i E(X i. Observemos que, por el Lem 2.30, E( X < si y sólo si P ( X <. Como ls X i so idéticmete distribuids teemos que P ( X < P ( X <, Por el Lem de Borel Ctelli teemos que, si defiimos A = {ω : X }, P (lím sup A = 0, es decir, por l Proposició.0. X < excepto u ctidd fiit de, co probbilidd. Deotemos { X, X < X = 0, X, Vemos que, como X < excepto u ctidd fiit de, co probbilidd, etoces: X + + X c.s 0 X + + X c.s 0. (2. Se D Ω, P(D = tl que si ω D, existe 0 (ω tl que pr todo > 0 X (ω <, por defiició de X teemos que X (ω = X (ω pr > 0, se > 0 X (ω + + X (ω = X (ω + + X 0 (ω + X 0+(ω + + X (ω Como 0 es fijo, el primer sumdo tiede 0 cudo 0, de dode se deduce 2.. Observemos que E( X o es ecesrimete 0, o obstte E( X = E(X I { X <} = E(X I { X <}, 25

26 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris por el Teorem de Covergeci moóto E(X I { X <} E(X = 0. Por el Lem 2.32 teemos que como cosecueci X + + X E( X E(X = 0,, c.s. 0 ( X E( X + + ( X E( X c.s. 0, Pr que se verific el último límite, bst probr, por el Lem 2.28, que l serie ˆX / es covergete, siedo ˆX = X E( X. Por el Teorem 2.3 pr ver que ˆX / coverge bst ver que Vr( ˆX / 2 coverge. Vr( ˆX 2 = = = = = = E( X 2 2 = = 2 E[ XI 2 ] { X <} 2 2 E[ ] 2 X I { X <} E [ X 2 ] I {(k X <k} E [ X 2 ] I {(k X <k} 2 =k Vemos que =k 2 2 k, pr eso observemos que =k 2 =k 2 ( + = 2 =k [ ] = 2 + k. Por otr prte, como obteemos que E [ X 2 [ ] I {(k X <k}] ke X I {(k X <k} Vr( ˆX 2 2 E [ X I {(k X <k}] = 2E( X <. Se dej como ejercicio probr el recríproco del teorem terior: Teorem Se {X } N u sucesió de vribles letoris idepedietes e idéticmete distribuids tl que X +... X C c.s. etoces: E X i < y C = E(X. Demostrció. Escribir: X = S ( S (2.2 26

27 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris Probr usdo el Lem.2 2. y (2.2 que P ( X > <, y cocluir usdo el Lem Covergeci e Distribució Defiició Dd {X } N u sucesió de vribles letoris defiids e (Ω, A, P y X defiid e (Ω, A, P, se dice que {X } N coverge e distribució X si y sólo si deotmos X d X. lím F X (x = F (x pr todo x puto de cotiuidd de F X, Observció Recordemos que u fució de distribució F : R [0, ] es moóto o decreciete y verific que F D siedo D el espcio defiido e el puto 7 del ejemplo.4. Por tl motivo se puede ver fácilmete que ls discotiuiddes de u fució de distribució so de slto (el límite por izquierd y derech o coicide, co lo cul, como l sum de dichos sltos tiee que estr icluido e [0, ], sólo puede ser u ctidd umerble. El siguiete teorem d u defiició equivlete de covergeci e distribució que, difereci de l terior, permite defiir covergeci e distribució de vribles letoris defiids e u espcio métrico culquier. Teorem Dd {X } N u sucesió de vribles letoris defiids e (Ω, A, P y X defiid e (Ω, A, P, {X } N coverge e distribució X si y sólo si lím E(f(X = E(f(X pr tod f vlores reles, cotiu y cotd. Demostrció. Aquí solo probremos el directo, el recíproco se probrá ms delte (ver Teorem 3.. Lo hremos pr el cso de vribles letoris vlores reles, el cso geerl es similr. Deotemos F l fució de distribució de X y F l de X. Tomemos g : R R tl que g(x c pr todo x R. Pr todo < b teemos que E(g(X E(g(X = + b g(xdf (x I 3 = g(xdf (x b g(xdf (x + g(xdf (x + b g(xdf (x b g(xdf (x g(xdf (x g(xdf (x c(f ( + F (b b g(xdf (x g(xdf (x = I + I 2 + I 3 ddo que (F ( + F (b 0 cudo y b +, pr todo ε > 0, podemos tomr < b tl que c(f ( + F (b < ε. Como los putos de discotiuidd de F so lo sumo umerbles podemos supoer que y b so putos de cotiuidd de F. Si procedemos co I de l mism mer que hicimos co I 3 obteemos que I c(f ( + F (b. Ddo que y b so putos de cotiuidd de F y X coverge e distribució F, podemos tomr suficietemete grde tl que c(f ( + F (b c(f ( + F (b < ε, es decir I < 2ε. Pr cotr I 2 tomemos = x 0 < x < < x N = b u 27

28 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris prticició de, b tl que g(x g(x i < ε pr todo x i, i = 0,..., N y pr todo x [x i, x i+ ] (esto se puede hcer y que g es cotiu. Podemos supoer dems que los x i so putos de cotiuidd de F. Observemos que y m i Por lo tto I 2 = N i=0 xi+ = (g(x i ε(f (x i+ F (x i m i = (g(x i ε(f (x i+ F (x i sumdo e i, m i M i N (m i M i i=0 xi+ x i xi+ x i x i xi+ g(xdf (x x i xi+ x i xi+ g(xdf (x. g(xdf (x (g(x i + ε(f (x i+ F (x i = M i x i g(xdf (x (g(x i + ε(f (x i+ F (x i = M i. xi+ g(xdf (x g(xdf (x M i m i, x i xi+ N g(xdf (x g(xdf (x (M i m i. (2.3 x i Como los x i so putos de cotiuidd, m i m i, y M i M i, pr todo i. Observr que M i m i = 2ε(F (x i+ F (x i y por lo tto álogmete N lím i=0 N (m i M i = 2ε (F (x i+ F (x i = 2ε(F (b F ( > 2ε, i=0 N lím i=0 (M i m i < 2ε, por lo tto, tomdo suficietemete grde e (2.3 se tiee que I 2 < 3ε. Proposició Se {X } N y X vribles letoris defiids e (Ω, A, P, supogmos que X P X y se < x < b úmeros reles, etoces Demostrció. F X ( lím if i=0 F (x lím sup F (x F X (b F X ( =P ({X } {X X x } + P ({X } {X X < x } P (X X x + P ({X } {X X < x } P ( X X x + P (X x Dode e l últim desiguldd hemos usdo que {X } {X X < x } {X x} y {X P X x } { X X x }. El primer sumdo tiede 0 co y que X X. Por lo tto tomdo límite iferior obteemos que F X ( lím if F (x. De mer álog se deduce que lím sup F (x F X (b. 28

29 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris Vemos que de l proposició terior se sigue que l covergeci e probbilidd es ms fuerte (implic l covergeci e distribució. Corolrio Se {X } N y X vribles letoris defiids e (Ω, A, P, supogmos que X P X y se x puto de cotiuidd de F X etoces F X (x F X (x. Demostrció. Tomemos k = x /k y b k = x + /k, plicdo l proposició terior teemos que el resultdo se sigue de l cotiuidd de F e x. F X ( k lím if F (x lím sup F (x F X (b k, El recíproco del corolrio terior es flso, bst tomr X N(0, y X = ( X. Como X es simétric es clro que F X (x = F X (x pr todo x y, o obstte X 2+ X = X X = 2 X. Observemos que de este ejemplo se desprede u difereci importte co l covergeci e probbilidd y c.s. Si X d X y Y d Y, o es cierto e geerl que X + Y d X + Y. Bst tomr como Y = X 2 y X = X 2+ etoces X + Y = 0 pr todo. Por otr prte es imedito verificr prtir de l defiició de covergeci e distribució que si X d X y X d Y etoces FX (x = F Y (x pr todo x puto de cotiuidd de X e Y. E otrs plbrs X = d Y, de los ejemplos teriores vemos que o v ser cierto e geerl que X c.s. = Y. Vemos hor u teorem que permite e lgú setido psr de l covergeci e distribucó l covergeci csi segur. No veremos l demostrció y que requiere de técics de lisis rel, o obstte l mism puede ecotrrse e el libro [] pági 70. Teorem (Skorokhod. Dd {X } N u sucesió de vribles letoris defiids e (Ω, A, P d y X defiid e (Ω 0, A 0, P 0, tl que X X, existe X y X defiids tods e cierto (Ω, A, P tl que X d = X pr todo y X d = X y X c.s. X El teorem terior es muy útil pr probr propieddes de l covergeci e distribució. Por ejemplo d d pr probr que X X etoces g(x g(x siedo g cotiu, bst tomr X y X copis de X y X respectivmete, tl que X c.s. X, por lo tto sbemos que g(x c.s g(x y por lo tto g(x d g(x. O, lo que es lo mismo, como g(x = d g(x y g(x = d g(x, obteemos que g(x d g(x Lem 2.4. (Lem de Slutsky Si X d X y Y P c siedo c u costte, etoces X + Y d X + c X Y d cx X /Y d X/c siempre que c Métrics etre distribucioes Defiiremos distcis etre fucioes de distribució F y G de dos vribles letoris X e Y vlores reles, de modo que l covergeci e distribució de u sucesió de vribles letoris se equivlete l covergeci e dich distci. Alguos de estos coceptos se puede geerlizr vribles letoris vlores e espcios métricos ms geerles (ver, por ejemplo, Cpítulo 2 del libro [2]. 29

30 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris Distci de Levy Defiició Se F y G dos distribucioes de probbilidd e R, l distci de Lévy etre F y G se defie como d L (F, G = íf { ε > 0 : F (x ε ε G(x F (x + ε + ε x R }. Vemos que l covergeci e distribució defiid e (2.35 es equivlete l covergeci e l distci de Levy. Teorem Se {F } N fucioes de distribució de vribles letoris vlores reles, y F otr fució de distribució, etoces, so equivletes. F (x F (x pr todo x de cotiuidd de F 2. d L (F, F 0. Demostrció. Que 2 implic se sigue de mer imedit de del hecho de que si x es u puto de cotiuidd de F, F (x ε ε F (x y F (x+ε F (x pr ε 0. Pr ver l otr implicci tomemos x 0 < x < < x N putos de cotiuidd de F tl que F (x 0 < ε/2 y F (x N > ε/2, y x i+ x i < ε pr todo i = 0,..., N. Se 0 tl que pr todo > 0 y pr todo i, F (x i F (x i < ε/2. Etoces si x i < x < x i, F (x F (x i < F (x i + ε F (x + ε. 2 De l mism form se prueb que F (x F (x ε ε. Distci de Wsserstei Vmos defiir l distci de Wsserstei etre dos distribucioes, l cul es el ifimo de l distci e L 2 de dos vribles cuys distribucioes so F y G. Defiició L distci de Wsserstei etre dos distribucioes de probbilidd F y G se defie como { } W2 2 (F, G = E X Y 2 : X F, Y G Si X F y Y G, de l desiguldd cov(x, Y cov(f (U, G (U siedo U u vrible co distribució uiforme e [0, ] (observr que X F e Y G. se puede ver fácilmete que l distci de Wsserstei se reliz tomdo como vribles F (U y G (U. Se puede probr que W 2 2 (F, F 0 si y sólo si F coverge e distribució F y el segudo mometo de vribles co distribució F coverge l segudo mometo de u vrible co distribució F, es decir x 2 df (x x 2 df (x Covergeci e L p Defiició Se X y {X } N vribles letoris defiids e el mismo espcio (Ω, A, P, decimos que X coverge e L p (siedo p > 0 o e medi de orde p X si y sólo si deotmos X L p X E X X p 0, Omitiremos l prueb de ls propieddes de l covergeci e L p que se resume e el siguiete ejercicio 30

31 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris Ejercicio Probr usdo l desiguldd de Chebyshev que si X L p X etoces X P X. U ejemplo de que el recíproco o es cierto es el siguiete: Se Ω = [0, ], A = B([0, ] y P l probbilidd dd por l distribució de u vrible uiforme e [0, ], ls vribles { e, 0 ω / X (ω =. 0, ω > / Verificr que X P 0 y X L p +. L El ejemplo 2.7 muestr que X p c.s. X o implic X X. El recíproco tmbié es flso, bst tomr X idepedietes tl que P (X = = / y P (X = 0 = /, y observr que si fuese c.s. X 0, por el Lem de Borel-Ctelli, tedrí que ser / < lo cul es flso. Proposició Si X es u sucesió de vribles o egtivs tl que X c.s X y E(X E(X < etoces E X X 0, Demostrció. Observr que pr > 0 E(X <, que 0 (X X I X X X, cocluir usdo que E X X =E [ [ ] (X X I {X X}] + E (X XI {X>X} = =2E [ (X X I {X X}] + E(X X Desigulddes e espcios L p Teorem Desiguldd de Jese: Si g es covex y E X <, g(e(x E(g(X Desiguldd de Lypuov: Si 0 < s < t (E X s /s (E(X t /t Desiguldd de Hölder: Si < p < y (/p + (/q =, si E X p < y E Y q < etoces E XY < y E XY (E( X p /p (E Y q /q. Desiguldd de Mikowski: Si E X p < y E Y p <, co p <, etoces E X + Y p < y (E X + Y p /p (E X p /p + (E Y p /p 3

32 Cpítulo 3 Fucioes crcterístics y TCL Vmos itroducir hor u fució que crcteriz l distribució de u vrible, que permiitirá luego probr el Teorem Cetrl del Límite. 3.. Fució crcterístic Defiició 3.. (Fució crcterístic. Ddo (Ω, A, P u espcio de probbilidd y X : Ω R, defiimos l fució crcterśtic ϕ X : R C de X como ϕ X (t = E(e itx. Uo de los objetivos fudmetles de este cpítulo es probr que ϕ X crcteriz l distribució de X, (es decir si ϕ X = ϕ Y etoces X d = Y y que si ϕ X (t ϕ X (t pr todo t etoces X d X. Esto último represet u herrmiet importte l hor de probr covergeci e distribució y e prticulr el Teorem Cetrl del Límite. Observció 3.2. Observemos que ddo que e itx = cos(tx + i se(tx, se tiee que ϕ X (t = e itx df X (x = E(cos(tX + ie(se(tx, como e itx =, pr todo t, ϕ(t existe y es fiito pr todo t. Vemos lgus propieddes que se sigue de mer imedit de l defiició, se dej como ejercicio Proposició ϕ X (t pr todo t R 2. ϕ X (0 = 3. ϕ X+b (t = e itb ϕ X (t. 4. Si X e Y so idepedietes ϕ X+Y (t = ϕ X (tϕ Y (t pr todo t R. 5. ϕ X (t = ϕ X ( t, dode si z = + ib, z = ib. Proposició 3.4. Si X N(µ, σ 2 etoces ϕ X (x = e itµ 2 (σt2 32

33 Cpítulo 3. Fucioes crcterístics y TCL Demostrció. Observemos que como η = X µ σ N(0,, por l prte 3 de l proposició terior, os bst cosiderr el cso X N(0,. Como se(x es impr y 2π e 2 x2 es pr, ϕ X (t = R e itx e 2 x2 dx = 2π R cos(tx e 2 x2 dx, 2π derivdo respecto de t bjo el sigo de itegrl (ver Teorem 2.2, e itegrdo por prtes obteemos que ϕ X(t = se(tx ( xe x2 2 dx = se(txe x2 2 t 2π cos(tx e 2 x2 dx 2π Observemos que como se(tx es cotd, el primer sumdo es 0, mietrs que el segudo es tϕ X (t, es decir ϕ X verific l ecució y + ty = 0 de dode ϕ X (t = Ce 2 t2 y C = y que ϕ X (0 = Proposició 3.5. ϕ X (t es uiformemete cotiu. Demostrció. Observemos que ϕ X (t ϕ X (s = E(e isx (e i(t sx, por lo tto ϕ X (t ϕ X (s E (e i(t sx, como (e i(t sx 2 L, bst observr que cudo t, s 0 etoces e i(t sx c.s 0, y luego plicr covergeci domid. Proposició 3.6. Si E X < pr lgú etoces existe ls derivds de ϕ X de orde,..., y demás ϕ (r X (t = R (ix r e itx df (x = i r E(X r e itx y i r E(X r = ϕ (r X (0 (3. ϕ X (t = r=0 (it r r! dode ε (t 3E( X y ε (t 0 cudo t 0. E(X r + (it ε (t, (3.2! Demostrció. L prueb de 3. se hce por iducció complet, vemos el cso bse r =. Observemos que por l desiguldd de Lypuov E X r <. Escribimos el cociete icremetl: como ϕ(t + h ϕ(t h ( e e itx ihx e ihx = = h h [ ( e = E e itx ihx ], h x 0 e ihs ds x e ihs ds = x, como X L podemos usr covergeci domid: [ ( ϕ(t + h ϕ(t e lím = E e itx ihx ] lím = E [ e itx ix ]. h 0 h h 0 h Pr demostrr 3.2 observemos que, pr y R, 0 e iy = cos(y + i si(y = k=0 (iy k k! + (iy [ cos(θ y + i si(θ 2 y ],! 33

34 Cpítulo 3. Fucioes crcterístics y TCL co θ y θ 2, etoces tomdo esperz e itx = ϕ X (t = E(e itx = k=0 k=0 (itx k k! (it k k! + (itx [ cos(θ (ωtx + i si(θ 2 (ωtx ],! [ E(X k + (it E X [ cos(θ (ωtx + i si(θ 2 (ωtx ]],! Si escribimos: [ E X [ cos(θ (ωtx + i si(θ 2 (ωtx ]] =E [X [ cos(θ (ωtx + i si(θ 2 (ωtx + ]] [ = E X [ cos(θ (ωtx + i si(θ 2 (ωtx ]] + E(X si defiimos obteemos que ε (t = E [X [ cos(θ (ωtx + i si(θ 2 (ωtx ]] ϕ X (t = E(e itx = k=0 (it k k! E(X k + (it! E(X + (it ε (t, de dode se sigue (3.2. [ ε (t E X cos(θ (ωtx + i si(θ 2 (ωtx ] 3E X Pr ver que ε (t 0 observemos que como E X < podemos usr covergeci domid y ( cos(θ (ωtx + i si(θ 2 (ωtx = 0. lím t 0 Teorem 3.7. (Fórmul de iversió. Se F = F (x u fució de distribució y ϕ(t = eitx df (x su fució crcterístic. Pr todo pr < b de putos de cotiuidd de F, F (b F ( = lím c + 2π 2 Si ϕ(t dt <, F tiee desidd f dd por f(x = 2π c Demostrció. Vemos l demostrció de. Pr eso observemos que 2π c c e it e itb it ϕ(tdt = 2π = 2π c c c c [ c e it e itb ϕ(tdt (3.3 it e itx ϕ(tdt (3.4 e it e itb it [ e it e itb it ] e itx df (x dt ] e itx df (x dt 34

35 Cpítulo 3. Fucioes crcterístics y TCL hor vmos plicr el Teorem de Fubii de itercmbio de itegrles, pr eso teemos que probr que el itegrdo está e L (df dt, observemos que e it e itb e itx = e it e itb b it it = e itx dx b, como (b df (x = b obteemos que c [ e it e itb ] c e itx df (x dt c it c Si dmos vuelt ls itegrles obteemos que siedo 2π c c e it e itb ϕ(tdt = it ψ c (x = c 2π c e it e itb e itx dt it (b df (xdt 2c(b ψ c (xdf (x (3.5 e lo que rest de l prueb veremos que podemos usr covergeci domid, pr eso observemos que Como e it e itb e itx = eit(x e it(x b it it cos(t(x cos(t(x b = + it c dode e l últim iguldd usmos que cos(u u c cos(t(x c(x dt = t c(x ψ c (x = c 2π c se(t(x se(t(x b t cos(u du = 0 u es impr (de igul mer c cos(t(x b = 0, obteemos que c t se(t(x se(t(x b dt t si hor hcemos los cmbios de vrible v = t(x y u = t(x b obteemos que ψ c (x = c(x 2π c(x se(v dv c(x b v 2π c(x b se(u du, u cosideremos g(s, t = t se(v s v dv, se puede demostrr que g(s, t es uifórmemete cotiu y g(s, t π cudo s y t + (esto último requiere de técics de álisis complejo y o lo veremos quí. Observemos que pr todo x lím c + ψ c (x = ψ(x siedo ψ l fució defiid e el Ejercicio.45: 0, x <, x > b ψ(x = /2, x =, x = b., < x < b Como g es uiformemete cotiu y g(s, t π cudo s y t + existe C costte tl que ψ c (x < C <. Esto os permite psr l límite co c detro de l itegrl e 3.5 y obteemos que ψ c (xdf (x ψ(xdf (x cudo c +, 35

36 Cpítulo 3. Fucioes crcterístics y TCL uevmete por el ejercicio.45 sbemos que ψ(xdf (x = F (b F ( si y b so putos de cotiuidd de F, esto cocluye l prueb de 3.3. Pr demostrr 2. Defiimos, f(x = 2π e itx ϕ(tdt, vemos que f(x es u fució cotiu de x, se x x, observemos que e itx ϕ(t e itx ϕ(t cudo, t, como ϕ(t dt <, y e itx = podemos usr covergeci domid y obteemos que f(x f(x. Como f es cotiu, es itegrble e [, b] pr todo [, b]. Si plicmos el teorem de Fubii de itercmbio de itegrles, si clculmos por lo tto b f(xdx = b b ( + e itx ϕ(tdt dx = 2π 2π b e itx dx = e itx it f(xdx = lím c + b +c 2π c = e it e itb, it e it e itb ϕ(tdt it [ ] b ϕ(t e itx dx dt, por l prte dicho límite es F (b F ( pr todo y b de cotiuidd de F. Observemos que hemos probdo que F (x = x f(ydy, como f es cotiu podemos derivr F y obteemos que F = f, y como F es u distribució es creciete y por lo tto f 0, es decir f es l desidd de F. Observemos que, del Teorem terior se sigue que l fució de distribució crcteriz l distribució, es decir: Corolrio 3.8. Si F y G so distribucioes tl que pr todo t R etoces F = G. e itx df (x = e itx dg(x, Defiició 3.9. (Fució crcterístic e geerl Ddo (Ω, A, P u espcio de probbilidd y X : Ω H, siedo H u espcio vectoril co u producto itero, defiimos l fució crcterśtic ϕ X : H C de X como ϕ X (t = E ( e i t,x. Teorem 3.0. U codició ecesri y suficiete pr que ls compoetes del vector ξ = (ξ,..., ξ d se idepedietes es que l fució crcterístic de ξ se el producto de ls fucioes crcterístics de ls ξ i, es decir: [ E exp ( i(t ξ + + t d ξ d ] = d E ( exp(it k ξ k (t,..., t k R d (3.6 36

37 Cpítulo 3. Fucioes crcterístics y TCL Demostrció. Vemos que si se cumple 3.6 pr todo t R d etoces so idepedietes. Pr eso vmos usr que l fució crcterístic de u vector crcteriz l distribució multidimesiol. Deotemos F l distribució de ξ, F i l distribució de ξ i y G(x = d F k(x k siedo x = (x,..., x d, queremos probr que F = G. Como plicció direct del teorem de Fubii podemos itercmbir ls itegrles y obteemos que: exp ( i(t x + + t d x d d dg(x = e itx k df k (x k R d R Por otr prte d R e itx k df k (x k = d E(e itx k, si plicmos 3.6 d [ E(e itξ k = E exp ( i(t ξ + + t d ξ d ] = exp ( i(t x + + t d x d df (x, R d como l fució crcterístic multidimesiol crcteriz l distribució obteemos que F = G y por lo tto so idepedietes. Vmos demostrr hor el teorem que os permitirá luego demostrr el Teorem Cetrl del Límite. Teorem 3.. Dd {X } N u sucesió de vribles letoris defiids e (Ω, A, P y X defiid e (Ω, A, P, so equivletes X d X 2 ϕ X (t ϕ X (t pr todo t R Demostrció. Vemos que implic 2. Vmos usr el Teorem 2.37 (el directo úicmete. Fijdo t R cosideremos ls fucioes g (x = se(tx y g 2 (x = cos(tx, mbs so cotius y cotds por lo que E(se(tX E(se(tX y E(cos(tX E(cos(tX. Por lo tto E(e itx E(e itx. Vemos que 2 implic. Deotemos F l fució de distribució de X y F l fució de distribució d de X. Pr demostrr que F F bst probr que tod subsucesió {Fj } j de {F } tiee u subsucesió que seguiremos deotdo {F j } j, que coverge F e todo puto de cotiuidd de F. Vemos esto: supogmos que F o coverge e distribució F, etoces existe x 0 u puto de cotiuidd de F tl que F j (x 0 F (x 0 > ε pr ifiitos j. Cosideremos l sucesió de úmeros {F jk (x 0 } k [0, ] siedo F jk l subsucesió de {F j } j que coverge F. Teemos que F jk (x 0 F (x 0, lo cul cotrdice que F j (x 0 F (x 0 > ε. E lo que sigue vmos costruir u subsucesió {F jk } k de culquier {F j } que coverge F (por simplicidd vmos deotr F j e lugr de {F jk } k. Cosideremos u umerció de los úmeros rcioles Q = {q j } j. Como {F (q } [0, ], existe u cojuto de ídices N = {,j : j N} tl que {F,j (q } j coverge. Nuevmete como {F,j (q 2 } j [0, ] existe u cojuto de ídices N 2 = { 2,j : j N} N tl que {F 2,j (q 2 } j coverge. Si procedemos sí obteemos cojutos de ídices N N 2 N Tommos {F j } j := {F j,j } j. Observemos que, pr todo q k Q existe lím j F j,j (q k = g(q k. Defiimos l fució G : R [0, ] tl que G(x = íf{g(q k : q k > x} si x R \ Q; G(q = g(q si q Q Vmos probr que G es u fució de distribució y que F j (x 0 G(x 0 pr todo x 0 de cotiuidd de G. 37