CRAIM. Las series de Fourier

Transcripción

1 Publiccioes CRAIM Tesoros de l mtemátic ΜΑΤΕΜΑΤΙΧΑ CRAIM Ls series de Fourier Jorge M. López Deprtmeto de Mtemátics y Cieci de Cómputos Uiversidd de Puerto Rico, Río Piedrs

2 Editor: Dr. Jorge M. López, Director CRAIM Cetros Regioles de Adiestrmieto e Istrucció Mtemátic (CRAIM) Todos los derechos reservdos

3 Ls series de Fourier Tbl de coteido Prologo... i Itroducció: Orgizció de este escrito... iii Cpítulo : Prelimires del álisis... Cpítulo : Itroducció ls series de Fourier... Cpítulo : Covergeci putul de ls series de Fourier... 7 Cpítulo 3: Covolucioes y los úcleos de Dirichlet, Fejér y Poisso... 5 Cpítulo 4: Propieddes de los coeficietes de Fourier...67 Bibliogrfí... 75

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5 Prologo Este fscículo se h escrito como prte de l colecció Tesoros de l mtemátic de los Cetros regioles de diestrmieto e istrucció mtemátic (CRAIM), co el fi de elevr el cervo mtemático de los mestros del sistem escolr público y de los estudites tletosos de tl sistem. E este escrito, e el que se preset los rudimetos del estudio de ls series de Fourier, se h mteido u míimo los igredietes del álisis mtemático relciodos co l teorí de itegrció de Lebesgue y el álisis fuciol (ciertmete ecesrios pr u estudio forml de l discipli). Por ello, este estudio puede cosiderrse como uo más heurístico que forml, uque se h presetdo demostrcioes resposbles y hoests, siempre empledo l itegrl de Riem y u dosis modest de imgició. o he itetdo ser coservdor e lo que se refiere l empleo de l clculdor de mo y el cálculo simbólico (medite u istrumetció e clculdor de mo del progrm Derive); evidetemete tles recursos mtemáticos h llegdo pr quedrse. Espero que este escrito sirv pr cotgir l lector de l fscició que sitiero los mtemáticos quiees gestro est discipli prtir del siglo XVIII, fscició que ú setimos quellos quiees os hemos ocupdo del estudio del álisis rmóico. Jorge M. López Uiversidd de Puerto Rico Río Piedrs, Puerto Rico Agosto,

6 Ls series de Fourier, pági ii

7 Itroducció: Orgizció de este escrito Este escrito se h cocebido como u itroducció l estudio de ls series de Fourier e el que, uestro juicio, se h mteido e u míimo ceptble el estudio de ls técics del álisis rel que crcteriz l estudio de l discipli (teorí de itegrció de Lebesgue, álisis complejo, álisis fuciol y espcios de fucioes, etc.). Así pues, el estudio quí presetdo es uo co visos más heurísticos que formles, pero es sobre todo hoesto e l medid e que es fiel ls ides y ls técics mtemátics que crcteriz el estudio del álisis rmóico comuttivo (l geerlizció grupos topológicos del estudio de ls series y ls trsformds de Fourier). E u presetció de est turlez hy mucho que preder de l histori de l mtemátic y que, e gr medid, l mism situció de éfsis e l heurístic cudo eiste limitcioes teórics formles h crcterizdo el desrrollo de ls áres más importtes del álisis (como lo evideci, por ejemplo, el desrrollo del cálculo). L iteció de este fscículo o es l presetr los detlles lógicos de los rzomietos que llev ls severcioes e él presetds, sio más bie mostrr suficiete de l estructur de l discipli como pr que el lector lcce precir el poder y l bellez de est últim. Pr leer este libro se ecesit u semestre de l discipli que e uiversiddes ortemerics y puertorriqueñs se h veido coocer como cálculo vzdo. E pricipio, el estudio de l topologí métric de l rect, de ls fucioes cotius y diferecibles, de l itegrl de Riem y l covergeci putul y uiforme de sucesioes y series ifiits, cpcit mplimete l lector pr empreder l lectur de este fscículo. Hemos orgizdo el escrito e cutro cpítulos. El brevísimo Cpítulo preset eplícitmete los resultdos del cálculo trdiciol ecesrios pr l lectur de los cpítulos siguietes. El Cpítulo preset u discusió heurístic del formlismo rel de ls series de Fourier. E él se defie los coeficietes de Fourier, se discute ls relcioes de ortogolidd y se preset Ls series de Fourier, pági iii

8 ejemplos iformles de l epsió de fucioes periódics como series trigoométrics. El Cpítulo discute l teorí clásic de l covergeci putul de ls series de Fourier y su presetció tiee sbor clásico. E este cpítulo se preset ls itegrles de Dirichlet y su relció co el problem de l covergeci putul de ls series de Fourier, pero o se hce meció de plbrs o frses como covolució o uiddes proimds. E el Cpítulo 3 se defie los úcleos clásicos de Fejér y Poisso, l operció de covolució y se demuestr los teorems clásicos sobre l covergeci (C,), tto e L como e el espcio C de ls fucioes cotius y periódics (covergeci uiforme). Filmete el Cpítulo 4 preset resultdos clásicos sobre l turlez de los coeficietes de Fourier y su comportmieto sitótico (como, por ejemplo, el lem de Riem - Lebesgue sí como l uicidd de l trsformd de Fourier). Al fil del escrito se preset u bibliogrfí pr los iteresdos e proseguir estudios más vzdos e est áre. Ls series de Fourier, pági iv

9 Cpítulo : Prelimires del álisis E este cpítulo presetmos l otció y los resultdos que se ecesit pr l lectur de los próimos cpítulos..otció de cojutos y los subcojutos de l rect uméric Si A y B so cojutos A B deot que A es u subcojuto de B, es decir, que todo elemeto de A es tmbié elemeto de B. E tl cso tmbié decimos que A está coteido e B. Si es uo de los elemetos del cojuto A escribiremos A. El cojuto de los úmeros reles o l rect uméric se deotrá medite el símbolo R. Empleremos símbolos especiles pr deotr ciertos subcojutos otbles de l rect uméric: cojuto de los úmeros turles, es decir, = {,, 3,...} { } Z cojuto de los eteros, es decir Z = {} = {, ±, ±,... }. { } Q cojuto de los úmeros rcioles / m, m Z y m Escribimos fa : Bcudo f es u fució cuyo domiio es el cojuto A y cuyos vlores so elemetos del cojuto B. A veces etedemos l otció pr idicr l cció de l fució, por ejemplo, f: R R:: represet l fució defiid por f() = pr cd úmero rel. A veces emplemos l otció pr epresr l cció de l fució si sigrle ombre, como e el cso de R R::. U fució fa : Bes iyectiv o uo uo si pr todo y, A, si f() = f(y), etoces = y. De l mism mer fa : Bes supryectiv o sobre si pr todo b B eiste l meos u elemeto A tl que f() = b. L fució fa : Bes u biyecció si es uo uo y sobre. U cojuto A es eumerble si eiste u biyecció fa :, y es cotble si y sólo si es fiito o eumerble. El siguiete resultdo es de importci sigulr:.. Proposició, Z y Q so eumerbles, pero o sí R. Tod uió cotble de cojutos cotbles es cotble...3 Otros subcojutos de R E los cpítulos siguietes tedremos ocsió de e-

10 mir itervlos. Si y b so úmeros reles y < b, defiimos los siguietes cojutos como itervlos: { } { R < } { R < } { R < < } { R } { R < } { R } { R < } i) [, b] = R b ii) [, b) = b iii) (, b] = b iv) (, b) = b v) [, ) = vi) (, ) = vii) (-, b] = b viii) (-, b) = b i) (-, ) = R Decimos que los cojutos i), v) y vii) so itervlos cerrdos; que iv), vi) y viii) y i) so biertos; que ii) y iii) so semi-biertos y que i), ii), iii) y iv) so itervlos cotdos. Est usz es cosistete co el uso de los térmios bierto y cerrdo e l topologí. A veces es coveiete eteder l rect uméric u uevo cojuto, R #, l rect uméric etedid, l cul cosiste de R y dos uevos objetos, y, de mer que es el elemeto myor de R # y es el elemeto meor. Es posible defiir itervlos e R # y cojutos como [-, ) tedrí defiicioes evidetes.. Covergeci de sucesioes y topologí de R L rect uméric R es u ejemplo de u cuerpo ordedo completo. Aprte de ls cosecuecis lgebrics de est severció, esto implic l eisteci de cots superiores míims (supremos) y cots iferiores máims (ífimos). U cojuto A está cotdo superiormete [iferiormete] si eiste u úmero rel K tl que pr todo elemeto de A teemos K [K, respectivmete] El pricipio de completmieto es el siguiete: Ls series de Fourier, pági

11 ..Aiom de l cot superior míim Todo cojuto o vcío A R co u cot superior tiee u cot superior míim (úic ecesrimete), l cul deotmos por supa. Dejmos l lector l cofecció del eucido (equivlete) reltivo los cojutos co cots iferiores y ls cots iferiores máims. U segmeto termil de Z es u cojuto de l form Z m pr lgú { } m Z. Por ejemplo, es u segmeto termil de Z. U sucesió es u fució cuyo domiio es u segmeto termil de Z (llmdo veces el cojuto de ídices) y que frecuetemete es o {}. U sucesió está e u cojuto A si () es u elemeto de A pr cd e su domiio. Coveciolmete escribimos por () y l sucesió se escribe como ( ), dode I es el domiio de. Si l sucesió tiee como domiio, I = tmbié escribimos, y eiste vrites evidetes de est otció ls cules se recooce fácilmete del coteto. U sucesió ( ) está e u I e R cojuto A si A pr cd I. Decimos que u sucesió I coverge si eiste lgú úmero rel (ecesrimete úico) tl que se stisfce l siguiete codició: pr todo ε> eiste u ídice tl que pr todos los ídices, teemos <ε. E tl cso escribimos lim =. A veces busmos de l otció y escribimos lim = o lim = pr deotr sucesioes que o coverge pero que ehibe ciertos comportmietos especiles. Por ejemplo, lim = se cumple si pr todo úmero rel K eiste u ídice tl que pr todos los ídices, teemos > K. U defiició similr plic e el cso lim =. Supoemos que el lector cooce los resultdos usules de ls sucesioes respecto ls sums, productos, cocietes, etc. de sucesioes covergetes. Hy ciertos tipos especiles de sucesioes = llmds moótos: = i) es u sucesió o decreciete si +! pr todo ídice Ls series de Fourier, pági 3

12 = ii) = iii) es u sucesió creciete si < +! pr todo ídice es u sucesió o creciete si +! pr todo ídice = iv) es u sucesió decreciete > +! pr todo ídice U form equivlete de eucir.. es postuldo que tod sucesió ( ) = o decreciete cotd superiormete coverge (l vlor sup { } = sup ). E el coteto de R # se puede epresr lgu de l iformció presetd e form más sucit. Por ejemplo, todo subcojuto A de R # tiee u cot superior míim (si A es vcío sup A = - ). Se puede demostrr que est severció es equivlete... De l mism mer ls sucesioes o = decrecietes e R# coverge sup e R # y que clrmete tods ls sucesioes moótos coverge e R #. Ést, l igul que otrs forms lters de epresió ligüístic que emple R #, fcilit el discurso mtemático. Así pues si = es u sucesió e R ls sucesioes = sup k k = ( ) k k = e if so sucesioes o decrecietes y o crecietes (respectivmete) e R # y por cosiguiete limsup = if sup y limif = supif eiste como k k k k k k elemetos de R #. A veces escribimos limsup U sucesió k k = es u subsucesió de k o lim = k, etc. si l correspodeci ::k k es creciete. U defiició similr plic cudo el domiio es culquier otro segmeto termil de Z. U límite subsucesiol de u sucesió, lim ( ) es u vlor R # tl que pr lgu subsucesió k k siguiete es u resultdo básico: k k =. El Ls series de Fourier, pági 4

13 .. Proposició Se ( ) u sucesió e R y se R # u límite subsucesiol de ést. Etoces, i) lim y lim so límites subsucesioles de y lim lim ii) = lim = lim si y sólo si lim = iii) lim = si y sólo si lim =.3 Fucioes cotius Se A R u cojuto o vcío, fa : R u fució y se A. Recuerd que lim f = L R sigific que pr todo ε> eiste u úmero rel δ> tl que si A y < < δ, etoces f L <ε. Eiste defiicioes obvis pr el cso e que L = o L = -, ls cules o discutiremos. U fució f: A R es cotiu e u puto de su domiio, si lim f = f. Decimos que f es cotiu e A si es cotiu pr cd puto de A. L fució fa : R es cotd por bjo si eiste u k R tl que k f() pr todo A; es cotd por rrib si eiste u K R tl que f() K pr todo A. U fució es cotd si es cotd por rrib y por bjo. Clrmete, fa : R es cotd si y sólo si eiste M [, ) tl que f M pr todo A. El siguiete resultdo recoge resultdos clásicos de ls fucioes cotius..3. Teorem Se < b úmeros reles y se f:[, b] R u fució cotiu. Etoces i) f es cotd. ii) Eiste m, M R tl que f( m ) = if f y f( M ) = sup f. [, b] [, b] Ls series de Fourier, pági 5

14 iii) Si f()f(b) <, etoces eiste u puto (, b ) tl que f( ) =. El coteido de.3. i) y ii) se cooce e l litertur como el teorem de los vlores etremos, y dice que ls fucioes cotius sume sus vlores etremos. El resultdo.3. iii) se cooce como el teorem del vlor itermedio. Eiste u oció de límite uilterl de u fució. Se A R u cojuto o vcío y fa : R u fució. Recuerd que lim f = L R sigific que pr todo ε> eiste u úmero rel δ> tl que si A y δ < <, etoces f L <ε. Tmbié e el presete cso es posible defiir lim f = Le los csos L = o L = -. Similrmete se defie lim f = L + y ls ocioes de cotiuidd por l izquierd y por l derech. U resultdo importte e este coteto es:.3. Proposició Se fa : R u fució, L R # y se A. Etoces lim f = Lsi y sólo si lim f = lim f = L Proposició Se fi : R u fució o decreciete defiid e u itervlo o trivil I R. Etoces f es discotiu e u puto iterior si y sólo si lim f < lim f. Además el cojuto de discotiuiddes de f es cotble. + U fució fa : R ( A R) es uiformemete cotiu si pr todo ε> eiste u úmero rel δ> tl que si, A y <δ, etoces f f ( ) <ε. Tods ls fucioes uiformemete cotius so cotius pero hy fucioes cotius como (, ) R:: / que o so uiformete cotius. U resultdo importte reltivo topologí usul de l rect uméric es el siguiete:.3.4 Teorem U fució cotiu defiid e u itervlo cerrdo y cotdo es uiformemete cotiu. Ls series de Fourier, pági 6

15 .4 Diferecició e itegrció de fucioes reles U fució defiid l meos e lgú itervlo bierto de u puto es derivble o diferecible e si lim fu f /( u ) u eiste como u úmero rel. El límite es el vlor de l derivd de f e el puto y se deot por f ( ). L derivd de f, f, tiee pues como domiio el cojuto de todos los putos dode f es diferecible. U fució es diferecible e u cojuto si es diferecible e cd puto del cojuto. Supoemos que el lector cooce ls propieddes fudmetles de l derivd, tles como su crácter liel y ls fórmuls pr diferecir cocietes, productos, composició de fucioes, etc. U resultdo cetrl del cálculo es el siguiete:.4.teorem [de l medi] Si < b úmeros reles, y f:[, b] R cotiu e [,b] y diferecible e (,b), etoces eiste θ ( b, ) tl que fb f = f ( θ). b L defiició de itegrbilidd sobre itervlos es más complicd. Supogmos que y b so úmeros reles, < b, y que f:[, b] R es u fució { } cotd. U subdivisió de [, b] es u cojuto P = = < <... < = b pr lgú etero positivo. L sum iferior de Drbou de u fució f socid l subdivisió P se defie por i= If (, P) = if { f [ i, i] } ( i ). L sum superior de Drbou, se defie álogmete por i= Sf (, P) = sup { f [ i, i] } ( i ). Está clro que If (, P) Sf (, P) pr tod subdivisió P de [, b]. Decimos que f Ls series de Fourier, pági 7

16 es itegrble e [, b] si pr todo ε> eiste u subdivisió P de [, b] tl que Sf (, P) If (, P) < ε. E tl cso eiste u úmero úico J tl que pr tod subdivisió P de [, b], If (, P) J Sf (, P). Desde luego, escribimos J = b fd. Supoemos l lector fmilirizdo co ls propieddes fudmetles de l itegrl, su crácter liel, etc. Alguos resultdos clásicos que vicul l oció de diferecibilidd co l de itegrbilidd so los siguietes:.4. Teorem Se < b úmeros reles, y se f:[, b] R u fució cotd. Supog demás que f es itegrble e [, b]. i) Si defiimos F = fudu pr todo [, b], etoces F es u fució cotiu e [,b], y si [, b] es u puto de cotiuidd pr f, etoces tmbié F ( ) = f( ). ii) Si f es cotiu e [,b], etoces eiste θ [ b, ] tl que b f ( u ) du = f ( θ )( b ). El resultdo de i) se cooce como el teorem fudmetl de cálculo y el resultdo ii) como el teorem de l medi pr itegrles. Si es uo de los etremos del itervlo el resultdo es válido si se iterpret l derivd como u uilterl. Ls series de Fourier, pági 8

17 .5 Covergeci uiforme de fucioes Si X es u cojuto o vcío y deotmos por A(X) l cojuto de tods ls fucioes fx : R cotds. Es fácil ver que A(X) es u espcio vectoril bjo l sum de fucioes usul (puto puto) y el producto de fucioes por úmeros reles. Es posible defiir u orm (u fució que fuge como u vlor bsoluto ) e A(X) de l siguiete mer: f sup f( ) X pr todo f A( X) u = { } Est es l orm de l covergeci uiforme. Dejmos l lector l verificció de ls propieddes usules: i) f+ g f + g pr todo fg, AX u u u ii) f f pr todo pr todo f A ( X ) R u u iii) f g f g pr todo fg, AX u u u Quizás l propiedd más otble de A(X) es que es u espcio completo, es decir, tod sucesió de Cuchy respecto l orm sí defiid coverge u fució e A(X). Si f decimos que f es u sucesió e A(X), f A X coverge uiformete f y escribimos y lim f f = u lim f = f [ uiformemete ] o lim f = f [ uif]. El siguiete resultdo compil propieddes de l covergeci uiforme que ecesitremos e el resto de este escrito..5.teorem es u i) Si X R es u cojuto o vcío, fx : R es u fució y f sucesió de fucioes cotius e X tl que lim f = f [ uif], etoces f es Ls series de Fourier, pági 9

18 cotiu e X. ii) Si f es u fució itegrble e [, b] ( y b úmeros reles y < b), f es u sucesió de fucioes itegrbles e [, b] y lim f = f [ uif], etoces lim f ( ) d = f( ) d. b b iii) Supog que f es u sucesió de fucioes e A(X) y pr cd ídice eiste u úmero rel M tl que f pr todo X. Etoces, M si M < =, f coverge uiformeete. = El eucido iii) se cooce como l prueb M de Weierstrss. Ls series de Fourier, pági

19 . Itroducció Cpítulo : Itroducció ls series de Fourier E este cpítulo estudiremos lgus de ls técics mtemátics socids l estudio de ls series trigoométrics, y e prticulr, ls series de Fourier. Comezmos por cosiderr l posibilidd de epresr fucioes como sums (e geerl ifiits) de series trigoométrics, es decir, como sums o epsioes de múltiplos uméricos de seos y coseos. Clro está, quí l plbr epresr result u tto mbigu y que podrí teer múltiples sigificdos. Por ejemplo, si es de lgu mer posible epresr u fució dd como u serie trigoométric ifiit, etoces debemos idicr cómo coverge l serie trigoométric. L serie trigoométric podrí coverger sólo e lgú cojuto de putos, o e tod l rect uméric, uiformemete e lgú cojuto, o (como veremos más delte) e l orm L, etc. El estudite de ests ots hbrá, si dud, visto ejemplos de l proimció de fucioes por cierts fucioes especiles, como lo so, por ejemplo, los poliomios. E el cálculo se estudi codicioes que grtiz l epresió de fucioes como series de Tylor o de Mcluri. Tles epresioes bse de poliomios so co frecueci epsioes locles, e el setido que fucio úicmete e ciertos itervlos de l rect uméric, siedo posible que u o más de l fució o l proimció esté defiids e subcojutos distitos de l rect uméric y que teg vlores que e geerl o coicid. Así pues, tes de comezr el estudio forml de este tem y eplorr l posibilidd de proimr fucioes medite series trigoométrics, eplormos ls llmds relcioes de ortogolidd, ls cules, como veremos resultrá de much utilidd e este escrito.. Relcioes de ortogolidd (complejs) Se m y úmeros eteros y se δ m, el símbolo de Kroecker defiido por si m = δ m, =. si m Teemos ls siguietes relcioes que recogemos e form del siguiete

20 resultdo.. Proposició (Relcioes de ortogolidd complejs) Si m y eteros rbitrrios, etoces e i( m) d = δ m, Prueb: Es suficiete demostrr que e ki d = δ k, pr todo k Z (Z es el cojuto de los úmeros eteros). Si k =, el resultdo es evidetemete cierto. Supog etoces que k. Etoces, si es u úmero rel culquier, ik ik( ) e d = e d ik ik e. e d. Aquí se h empledo u cmbio de vribles evidete, sí como el dto de que u fució itegrble de período tiee l mism itegrl e culquier itervlo de logitud. Por cosiguiete, ik ik ( e ) = e d. Como l fució e i k :: R C o es costte cudo k (quí R y C represet el cojuto de los úmeros reles y el de los complejos, respectivmete), eiste lgú úmero rel tl que e i k. Si escogemos u tl Ls series de Fourier, pági

21 úmero rel, etoces se obtiee de l últim relció que e ik d = Esto termi l demostrció. osotros hbremos de ecesitr myormete ls llmds relcioes de ortogolidd reles ls cules recogemos e l siguiete proposició:.3 Proposició (Relcioes de ortogolidd reles) Si y m so eteros o egtivos, etoces, i se m d = cos () δ, si m = ( ii) m d = coscos δm, si m, si m = ( iii) se m se d = δ m, si m, Prueb: Si desrrollmos ls relcioes de ortogolidd complejs (.), teemos: δ m, = cos( ) + se( ) cos( m) se( m) d ( i )( i ) = cos( )cos( m) + se( ) se( m) d ( ) + i ( se( )cos( m) cos( ) se( m) ) d ( cotiució ; ) Ls series de Fourier, pági 3

22 De () se obtiee ls siguietes relcioes: δ m, = cos( )cos( m) se( ) se( m) d ( + ) = se( )cos( m) cos( ) se( m) d ( ) Como () es válid pr todo pr de eteros m y, sustituyedo -m por m e () obteemos tmbié, δ m, = cos( )cos( m) se( ) se( m) d ( ) = se( )cos( m) + cos( ) se( m) d ( 3 ). Sumdo ls primers relcioes de () y (3) teemos, cos( )cos( m ) d = δm, + δ, m ( 4 ). Hciedo lo propio co ls seguds relcioes de () y (3) teemos, se ( )cos( m ) d = ( 5 ). Si = m = -m, etoces = m = y cos( )cos( m) d =. Por otr prte, si m = y -m, etoces, por (4) podemos cocluir Ls series de Fourier, pági 4

23 cos( )cos( m) d =. Filmete, si y m, etoces, por (4), podemos cocluir cos( )cos( m ) d = δ m,, y que e este cso δ, m =. Esto termi, e efecto l demostrció de (ii). ot que si se sum ls seguds relcioes de () y (3) se obtiee fácilmete (i). Si se rest ls primers relcioes de () y (3), teemos, se ( ) se ( m ) d = δm, δ, m. Si m =, l epresió de rrib vle cero; de lo cotrrio m (y esto sigific e uestro cso que m > ), de suerte que δ, m =, y se obtiee (iii)..4 Series de Fourier Supote que podemos escribir u fució f defiid e l rect uméric (y - periódic) de l siguiete form, f = + ( cos( ) + bse( ) ), () = = = dode y b so sucesioes de coeficietes reles, y l covergeci es putul (es decir, ocurre pr cd ), digmos. Si l covergeci ocurriese uiformemete, etoces podrímos itegrr l epresió (), térmio térmio, y obtedrímos, Ls series de Fourier, pági 5

24 = + + f( ) se( m) d = cos( ) bse( ) se( m) d = = se( m) d + = + cos( ) se( m) d b se( ) se( m) d ; = b δ = b =, m m quí hemos utilizdo ls relcioes de ortogolidd.3. De mer álog, = + + f( )cos( m) d = cos( ) bse( ) cos( m) d = = = cos( m) d + + cos( )cos( m) d b se( )cos( m) d. = δ δ δ m m ( m, )+, m = (, )+ = Por ls relcioes de ortogolidd reles,.3, si m =, l prte derech de est últim epresió es, y si m, l prte derech es m. Todo este rgumeto muestr que, l meos e el cso de l covergeci uiforme, si u fució tiee u represetció como u serie trigoométric como e (), etoces los coeficietes tiee vlores predetermidos por l fució y está ddos por ls epresioes que cbmos Ls series de Fourier, pági 6

25 de deducir..4. Defiició Se f:r R u fució periódic (R es el cojuto de los úmeros reles), y supog que f itegrble e culquier itervlo de logitud. Defiimos los coeficietes de Fourier de l fució f medite ls siguietes relcioes: = f( )cos( ) d ( ), b = f( ) se( ) d ( )..4. Cometrios Dicho se de pso, eiste codicioes mucho más geerles que grtiz que si u fució f tiee u represetció como e.4 (), etoces los coeficietes de l represetció está ddos por ls relcioes eucids e l defiició.4.. Por ejemplo, lo mismo es cierto si l covergeci es cotd, es decir, si eiste u fució itegrble g tl que f g y l covergeci ocurre putulmete. Tmbié result cierts ls relcioes de.4. pr otros tipos de covergeci meos restrictivos..5 Ejemplos. Si f() = pr tod e el itervlo [-, ) y pr culquier otro vlor de defiimos f() de form que f se periódic e R. Dejmos l lector l verificció de los siguietes cálculos: = d = cos, pr todo, b = se d = +, pr todo. Así pues l serie de Fourier correspodiete est dd por Ls series de Fourier, pági 7

26 f se( ). = + ot que o se h postuldo igu codició referete l covergeci de l serie que result. Emplemos el símbolo formlmete pr deotr que l serie que prece l derech es l serie de Fourier de l fució que prece l izquierd, pero d se supoe sobre l covergeci e puto lguo. Hemos icluido u gráfic pr l serie de Fourier tomdo cico térmios; vése l Figur. Figur. Defiimos f() = pr tod e el itervlo [, ) y pr culquier otro vlor de defiimos f() de form que f se periódic e R. Ivitmos l lector iteresdo verificr que los coeficietes de Fourier de l fució sí defiid está ddos por ls siguietes relcioes: = si = d = cos, si b = se d =, pr todo. Por cosiguiete, Ls series de Fourier, pági 8

27 f se( ). = E l gráfic hemos tomdo, primermete tres térmios y luego cico térmios de l sum idicd; vése l Figur. Figur 3. Se f l fució de od cudrd, defiid por, si f = [, ], si (, ] y etedemos f tod l rect uméric por periodicidd. Se puede verificr fácilmete que los coeficietes de Fourier de est fució está ddos por: = cos( d ) + cos( d ) = b = se d + se d pr todo, + + = Ls series de Fourier, pági 9

28 = 4 si es pr si es impr. Por cosiguiete, 4 f se(( k + ) ). k + k = Si trzmos u gráfic co k = 4, se obtiee l gráfic de l Figur 3. Figur 3 ot que si creemos que l serie de vers coverge, etoces l mism se deberí cercr los vlores de f l meos e los putos de cotiuidd, como lo es, por ejemplo, e = /. Si sustituimos = / e est últim epresió obteemos, 4 k f se( ( + ) = ) k + k = 4 = k + k = k Ls series de Fourier, pági

29 Por cosiguiete, = 4 k = k ( ) + = k Est relció es válid, como veremos más delte. 4. Cosider l fució f() = pr tod [, ), y luego etiédel tod l rect uméric por periodicidd. Ivitmos l lector iteresdo clculr los coeficietes de Fourier de est fució, los cules presetmos cotiució: = d = d cos cos = si = ( ( ) ) = si es pr, 4 si es impr b = se d = pr. Por lo tto, f 4 cos(( k ) ). k + k = + E l Figur 4 presetmos l gráfic de l sum de l derech hst k =, es decir, comprmos y = f() co y = 4 cos( ) Ls series de Fourier, pági

30 E l Figur 5, por otr prte, presetmos l gráfic de l sum de l derech hst k =, es decir, comprmos y = f() co y = 4 ( cos( ) + cos( 3)/ 9+ cos( 5)/ 5). Figur 4 Figur 5 ot que si supiésemos que l serie coverge l fució pr =, tedrímos = k k = k cos( ) Ls series de Fourier, pági

31 = 8 k = ( k + ) Est últim relció es impresiote y como veremos e el futuro, tmbié ciert. 5. Defie f( ) = pr [, ) y etiede f por periodicidd tod l rect uméric. Los coeficietes de Fourier de est fució está ddos por,. si = 3 = d = cos, 4( ) si b = se d = pr. (ot que l últim itegrl vle cero pues e ell se itegr u fució impr sobre u itervlo simétrico e toro cero.) Por lo tto, f + 4 cos( ). 3 = E l gráfic de l Figur 6 hemos tomdo dos térmios de l sum y tmbié hemos trzdo l gráfic de l fució f. Figur 6 Ls series de Fourier, pági 3

32 E l gráfic de l Figur 7 hemos tomdo cutro térmios de l sum y tmbié hemos trzdo l gráfic de l fució f. ot como se puede precir que l sum prcil de l serie de Fourier e este cso es u mejor proimció de l fució. Figur 7 Además, si l serie coverge pr =, etoces tedrímos, = = ( ) cos y = 6 = Est es u fmos relció descubiert por Euler. 5. Defie f( ) = 3 pr [, ) y etiede f por periodicidd tod l rect uméric. Los coeficietes de Fourier de est fució está ddos por, = d = pr 3 cos Ls series de Fourier, pági 4

33 b + 3 ( 6)( ) = se d = 4 = ( 6)( ) 3 + pr. Por lo tto, + 6 f se( ). 3 = Ls series de Fourier, pági 5

34 Ls series de Fourier, pági 6

35 Cpítulo : Covergeci putul de ls series de Fourier.Itroducció l problem de l covergeci putul y estblecimieto de l otció El problem pricipl que estudiremos e este cpítulo es el de l covergeci putul de ls series de Fourier. Supogmos que f:r R es u fució -periódic e itegrble e culquier itervlo de logitud. Hemos visto que cd tl fució correspode u serie de Fourier forml de cuerdo l discusió e.4 y.4.: f + ( cos( ) + bse( ) ), = = dode los coeficietes = y b está ddos por = f( )cos( ) d ( ), b = f( ) se( ) d ( ). L sucesió de ls sums prciles de l serie de Fourier de u fució f como l que estmos cosiderdo está defiid por, sf( ) = + cos( ) + bse( ) = ( ). Decimos que l serie de Fourier de u fució coverge e el puto R, si lim s eiste como u úmero rel. Desde luego, hy spectos de ests cosidercioes que so especilmete iterestes, como por ejemplo, el de l determició de codicioes que grtiz que l serie de Fourier coverge e efecto l fució origil e u

36 puto ddo. E l discusió de.4 demostrmos que si u serie trigoométric coverge uiformemete u fució f (e el itervlo [, ) digmos), etoces los coeficietes de l serie trigoométric so, e efecto, los coeficietes de Fourier de l fució límite. Est situció os ticip u situció más geerl: ciertos tipos de covergeci de u serie de Fourier (como l uiforme) dice mucho sobre l turlez de l fució límite y l de los coeficietes de Fourier correspodietes. El tipo de discusió que presetremos e este cpítulo es uo clásico e el setido que o revel muy clrmete l relció etre ls ides ivolucrds e est discusió co otrs ides importtes del álisis rmóico (como los so l ide de covolució y de idetidd proimd o úcleo). Si embrgo, e el Cpítulo 3 discutiremos ests ides y ls viculremos co l presetció que estmos puto de comezr. U dverteci diciol l lector: e geerl el problem de cuádo y dóde coverge u serie de Fourier result ser, e geerl, u problem complicdo. L serie de Fourier de u fució o coverge ecesrimete e lgú cojuto rzoble de putos, y si lo hce, el límite o es, ecesrimete, l fució origil. Por ejemplo, hy fucioes cotius, o idéticmete igules cero, cuys series de Fourier coverge csi e tods prtes cero. Es más fácil, por ejemplo, cotestr ls misms preguts del cuádo y dóde pr los promedios de ls sums prciles de l serie de Fourier (este por ejemplo es el coteido del resultdo geerlmete coocido como el teorem de Fèjer ).. U fmili de teorems de l medi Los siguietes resultdos so geerlizcioes del resultdo coocido como el teorem de l medi pr itegrles..3 Teorem Se f y g fucioes reles defiids e lgú sub-itervlo [, b] de l rect uméric (quí supoemos < b). Supog demás que f y g so itegrbles e [, b] y que g o cmbi pridd (es decir, sigo) e el itervlo [, b]. Etoces eiste u úmero µ tl que Es decir, coverge e lgú cojuto que es subcojuto de lgu uió de itervlos co lrgo totl t pequeño como se quier. Ls series de Fourier, pági 8

37 m = if f( ) µ sup f( ) = M y [, b] [, b] b b fgd = µ gd. Además, si f es cotiu, etoces eiste u úmero rel θ [ b, ] tl que, b b f ( ) g ( ) d = f ( θ ) g ( ) d. Prueb: Supoemos que g e [, b]; el cso g se prueb de mer álog. Si m y M so como e el eucido del resultdo, etoces teemos, m gd fgd M gd. b b b Si b b gd =, etoces est clro que fgd = y podemos tomr como vlor de µ culquier vlor e el itervlo [m, M]. De lo cotrrio tommos b µ= fgd b. gd Clrmete µ stisfce l coclusió del teorem y demás µ [ mm;, ] ot que pr est últim coclusió se emple l hipótesis g e [, b]. Si f es cotiu, etoces, por el teorem de los vlores etremos pr fucioes cotius e itervlos cerrdos y cotdos, eiste úmeros m, M [, b] tles que m = f( m ) y M = f( M ). Además, por el teorem del vlor itermedio pr fucioes cotius eiste u úmero rel θ etre m y M, tl que f(θ) = µ..4 Teorem Se f y g fucioes reles, defiids e itegrbles e u sub-itervlo [, b] de l rect uméric. Supog que f e el itervlo [, b] y que f es Ls series de Fourier, pági 9

38 demás o creciete (es decir si u v pr uv, [ b, ], etoces f(u) f(v)). Supog demás que g cmbi pridd lo sumo u úmero fiito de veces sobre el itervlo [, b]. Etoces eiste u úmero rel θ [ b, ] tl que b fgd = f gd. θ Prueb: Escoj u úmero turl y putos = < <... < = b tl que g o cmbi pridd e iguo de los itervlos ( i, i) pr i=,,...,. Por el Teorem.3, pr cd i =,,...,, eiste u úmero rel [ if f, sup f ] [ f, f ] µ i [ i, i] [ i, i] i i tl que i i fgd = µ i gd. i i Por lo tto, b = = i i i i= i= i i fgd fgd µ gd (). Ahor defi u uev fució F medite l relció, F = gudu pr tod [, b]. ote que por () teemos b µ i i i i= [ ] fgd = F F. Ls series de Fourier, pági 3

39 = µ F µ F i= i i i= i i = µ F µ F i= i i i= i+ i [ + ] = µ Fb + µ µ F i i i i= ot que hemos empledo l relció F ( ) = F =. Si defiimos µ = f, (ot que culquier vlor µ µ fucio, e prticulr el que hemos elegido) etoces teemos b [ ] fgd = µ Fb + µ i µ i+ F ( i). i= Como µ i µ i+ pr cd i =,,..,-, y como f e [, b] teemos etoces que if + sup + [ ] + = b + [ Fi µ µ i µ i fgd Fi µ µ i µ i ] i, i i i= es decir, f if F fgd f sup F. i i b i i Como F es u fució cotiu, por el teorem del vlor itermedio, eiste u úmero rel θ [ b, ] tl que b f( ) g( ) d = f F( θ) = f g( ) d, θ Ls series de Fourier, pági 3

40 como se querí demostrr..5 Corolrio Se f y g fucioes reles, defiids e itegrbles e u subitervlo [, b] de l rect uméric. Supog que f e el itervlo [, b] y que f es demás o decreciete (es decir si u v pr uv, [ b, ], etoces f(u) f(v)). Supog demás que g cmbi pridd lo sumo u úmero fiito de veces sobre el itervlo [, b]. Etoces eiste u úmero rel θ [ b, ] tl que b b fgd = fb gd. θ Prueb: U cmbio de vribles e l itegrl muestr que, b b f( ) g( ) d = f( b u) g( b u) du. Ahor podemos plicr el Teorem.4 l fucioes defiids por u f( b u) y u g( b u) e el itervlo [, b-]; otmos que l primer fució es o creciete si f es o decreciete. Dejmos los detlles l lector..6 Corolrio Se f y g fucioes reles, defiids e itegrbles e u subitervlo [, b] de l rect uméric. Supog que f e el itervlo [, b] y que f es demás moóto (es decir o creciete o o decreciete). Supog demás que g cmbi pridd lo sumo u úmero fiito de veces sobre el itervlo [, b]. Etoces eiste u úmero rel θ [ b, ] tl que b b fgd = f gd + fb gd. θ θ Prueb: Pr cocretr supogmos que f es o creciete. E este cso, l fució defiid por f () = f() - f(b) pr todo e el itervlo [, b], es o creciete y o egtiv e el itervlo [, b]. Por el Teorem.4 eiste u úmero rel θ [ b, ] tl que Ls series de Fourier, pági 3

41 f ( ) g ( ) d = f ( θ ) θ g ( ) d. b Por cosiguiete, b b fgd fb gd = f fb gd, θ y teemos, θ b θ fgd = f gd = fb gd gd b θ = f gd + fb gd θ b, como se querí demostrr..6 Algus itegrles especiles.6.proposició Si o es u múltiplo etero de, etoces se( ) se k = [ ] = cos k. Prueb: ot que, k = k [ ]= i = k = k = i k cos k Re e Re e. Si es u úmero complejo distito de, etoces, = Ls series de Fourier, pági 33

42 =. Por cosiguiete, teemos, k = cos[ ( k ) ]= Re e k = i( k ) i = Re ( e ) k = k = Re e i i e i e = cos( + ) cos( ) cos( ) se( ) se( ) = cos( ) = se( ) se( ) se ( ) = se( ) se( ) De quí se obtiee l relció desed..6. Teorem se( ) R se( ) d = lim d R =. Ls series de Fourier, pági 34

43 Prueb: Defi pr cd etero, u = se( )cot( ) d v = / / se( ) d. ot que por l relció terior, / / se( )cot( ) d = se( ) cos( d ) se( ) / = cos k cos( ) d k = [ ]. Por otr prte, / cos k cos( ) d 4k [ ] = se( k ) = 4( k ) si k, y si k = teemos, / [ ] = cos k cos( ) d. 4 Por lo tto, / se( )cot( ) d =. Todo esto dice que l sucesió de ls u es u sucesió costte, sus Ls series de Fourier, pági 35

44 térmios vliedo siempre /. Por otr prte, observ que lim v / se( ) se( u) se( u) = lim d = lim du = du u, u dode se h efectudo el cmbio de vribles (u = ). (Aquí hemos utilizdo el dto que el último límite de l derech eiste, prueb de lo cul dejmos l lector.) ot que, por otr prte, / u v = / cot( ) se( ) d. Ahor itegrmos est últim relció por prtes, otdo que y, lim cot( ) + = lim cot( ) / =, de suerte que l itegrr se puede cosiderr l itegrdo como u fució cotiu e el itervlo [, /]: u = cot( ) dv = se( ) d du se ( ) = se d v = cos( ). Teemos sí, v u = cot( ) cos( ) + / / se ( ) d se ( ) cos Ls series de Fourier, pági 36

45 = + / se ( ) d se ( ) cos. / = cos( ) d se ( ) El itegrdo de est últim epresió se podrí cosiderr como u fució cotiu e el itervlo de itegrció y que, lim + cos( ), y se ( ) = 3 lim / cos( ). se ( ) = Teemos que l últim itegrl stisfce, / / cos( ) d d se ( ) se ( ) <, y est clro que lim ( v u )=, y que lim =. Pero etoces, se( ) d = lim v = lim( v u)+ lim u =, por lo y visto. Ls series de Fourier, pági 37

46 .7 Fucioes de vrició cotd Ls fucioes de vrició cotd reviste u importci especil e l teorí de itegrció sí como e el estudio de ls series de Fourier. E est secció presetmos ls propieddes básics de tles fucioes..7.defiició Se f:[, b] R u fució ( < b, < ) y se P u subdivisió de [, b], digmos P ={ = < <... < = b}. Escribiremos Σ f P l sum pr deotr i i i= f f. Defiimos demás, b Vf = sup f( P ) P Σ, (tomdo el supremo sobre tods ls posibles subdivisioes de [, b]) y defimos que est últim ctidd es l vrició de l fució f e el itervlo {, b]. Decimos que f tiee vrició cotd o que es u fució de vrició cotd, si b Vf <..7. Teorem Se f:[, b] R u fució ( < b, < ). i. Si f tiee vrició cotd e [, b] y [c, d] es u subitervlo de [, b], d b etoces f tiee vrició cotd e [c, d] y Vf Vf. ii. Si defiimos Vf d d = pr todo d [, b], etoces, pr todo c [, b], f tiee vrició cotd e [, b] si y sólo si f tiee vrició cotd e [, c] y e [c, d]. E tl cso teemos, c b c b Vf= Vf+ Vf. c Ls series de Fourier, pági 38

47 iii. iv. f tiee vrició cotd e [, b] si y sólo si eiste fucioes odecrecietes e [, b] g y h tl que f = g - h. Si f:[, b] R es diferecible e (, b), cotiu e [, b] y si f es cotd, etoces f es de vrició cotd e [, b]. Prueb: L severció i. está clr. Ahor demostrmos ii. Por i., si f tiee vrició cotd e [, b], etoces f tmbié tiee vrició cotd e [, c] y e [c, d]. Además, si f tiee vrició cotd e [, c] y e [c, d], y si P es u subdivisió de [, b], etoces Σf( P) Σf( P {} c ) ( por qué?) + ( [ ]) = Σf [ c, ] [ P {} c] Σf [ cb, ] P {} c Vf+ Vf. c b c (ot que e este rgumeto podemos supoer que c (, b) y que si c = o c = b, etoces el resultdo es trivil). Esto dice que b c b Vf Vf+ Vf. c Pr demostrr l desiguldd opuest, supoemos que ε> y escogemos subdivisioes P y P de [, c] y de [c, d] respectivmete tl que, c Σf( P )> Vf ε/ b Σf( P )> Vf c ε/. Etoces teemos, b Vf = sup Σf( P) Σf( P P)= Σf( P)+ Σf( P) P Ls series de Fourier, pági 39

48 c b > Vf+ Vf ε. c Como ε es rbitrrio, teemos b c b Vf Vf+ Vf. c Esto termi l demostrció de ii. Pr l demostrció de iii supoemos primero que f es de vrició cotd. Defiimos pr todo [, b], g = Vf h = Vf f. ote primermete que g() y h() so úmeros reles y que f tiee vrició cotd. Además, por ii., si b, etoces g( ) = V f = V f V f V f = g( ), lo cul muestr que g es o-decreciete. Además, si b, etoces h( ) = V f f( ) = V f+ V f f( ) = V f f + V f+ f f V f f + f f f f. V f f( ) = h Todo esto muestr que h es o-decreciete, y clrmete f = g - h. Ls series de Fourier, pági 4

49 Por otr prte si f = g - h, dode g y h so fucioes o decrecietes e [, b], etoces b b b Vf Vg + Vh ( gb g )+( hb h )<, lo cul dice que f es de vrició cotd. Ahor demostrmos iv. Se P ={ = < <... < = b} u subdivisió de [ b., ] Observ que por el teorem de l medi, eiste úmeros θ i ( i, i ) tl que f f = f ( θ ) pr cd i =,,...,. Por lo tto, i i i i i Σ f ( P )= i i = i i i= i= f f f( θ ) ( ) sup f ( ) ( b ). i [, b] Por lo tto, b Vf= sup Σ ( P ) sup f ( ) ( b )<, P f [, b] y f t iee vrició cotd..8 Itegrles de Dirichlet pr ls sums prciles de l series de Fourier E est secció supoemos que f:r R es u fució -periódic e itegrble e culquier itervlo de logitud. Hemos visto que cd tl fució correspode u serie de Fourier forml de cuerdo l discusió e.4 y.4.: f + ( cos( ) + bse( ) ), = = dode los coeficietes = y b está ddos por Ls series de Fourier, pági 4

50 = f( )cos( ) d ( ), b = f( ) se( ) d ( ). Utilizremos l otció de. pr l sucesió de ls sums prciles de l serie de Fourier de l fució f:.8.proposició sf( ) = + cos( ) + bse( ) = ( ). se ( + )( u) s f ( ) = f ( u ) du. se ( u) Prueb: Observe primero que si ω R y si es u etero, etoces, + cos( ω) = e = e e = e i e e ( + ) ω i ω i ω i ω iω iω = = = = Re e iω i e e ( + ) ω iω cos[ ( + ) ω] cos( ω) =. cos( ω) = se ( + ω ) ω se ω se se ( + ) ω = ω se Aquí hemos utilizdo l fórmul pr l sum de u serie geométric y l relció cos( α β) cos( α+ β) = seαse β; ot que el resultdo es válido Ls series de Fourier, pági 4

51 siempre y cudo ω o se u múltiplo etero de. Ahor observ que sf( ) = + cos( ) + bse( ) = = + fudu = + f( u)cos( u) du cos( ) f( u) se( u) du se( ) = + + f( u) cos( u)cos( ) se( u) se( ) du = = fu + cos( ( u)) du = ( + ) se ( u ) =. fu du se ( u ) Esto termi l demostrció. Ahor presetmos u relció etre ls itegrl desrrolld e.8. y ls sums prciles de ls series de Fourier, l cul, evetulmete os permitirá bordr el problem de l covergeci putul de ls series de Fourier de cierts fucioes espeicles..8. Corolrio [ ] se + ω se sf( ) = f( ) d f( ) ω ω se ω ω [ ] ( + ) ω dω seω Prueb: ot que e virtud del teorem, pr culquier [, ) teemos, Ls series de Fourier, pági 43

52 se ( + )( u) s f ( ) = f ( u ) du se ( u), ( + )( ) ( + )( ) = se u se + u fu du ( ) f( u) du se u se ( u) + se[ ( + ) ω] se [( + ) ω] = f ( ω) dω+ seω f( + ω) dω seω E ests últims dos itegrles se hiciero ls siguietes sustitucioes: e el de = l izquierd emplemos ω = u / ; dω / du y e el de l derech = emplemos ω = u / ; dω / du. Ls itegrles de este último Corolrio so ejemplos especiles de u operció llmd covolució, sobre l cul tedremos mucho más que decir más delte. Además, o es muy difícil demostrr que l primer itegrl coverge f ( )/ = lim f ( h)/ mietrs que l segud h coverge f ( + )/ = lim f ( + h)/, de suerte que e este cso tedrímos, h lim sf( ) = [ f( ) + f( )], lo cul muestr que (por lo meos pr fucioes de vrició cotd) l serie de Fourier coverge l promedio de los límites uilterles de l fució. Así pues, si l fució f es cotiu e, etoces l serie de Fourier coverge Ls series de Fourier, pági 44

53 f()..9 Teorem [Primer form de ls itegrles de Dirichlet] Si f es u fució periódic e itegrble e culquier itervlo de logitud, y si f es de vrició cotd 3 e [, ], etoces, pr < < b, se( ) i. lim f( ) f = + b se( ) ii. lim f( ) = Prueb: Por,7. y ls propieddes de l itegrl podemos supoer que f es ocreciete y (redefiiedo f e = de ser ecesrio) tmbié que f es cotiu e =, es decir, que f(+) = f(). Ahor demostrmos que es suficiete probr ls relcioes deseds pr fucioes o egtivs. Así pues, supoemos que f() pr todo e el itervlo [, ] y que coocemos l vlidez de i. e tl cso. Defiimos g() = f() - f(-) pr todo [, b], y otmos que g es o egtiv e [, b]. Si i. es válid, etoces, se( ) lim g d = g +, es decir, se( ) se( ) lim f d f( ) lim d f f( ) = +. Como lim se ( ) d = ( por qué?), 3 Aquí hy ciert redudci y que ls fucioes de vrició cotd defiids e u itervlo cerrdo y cotdo, siedo cotius ecepto quizás e u cojuto cotble, so itegrbles e el setido de Riem. Ls series de Fourier, pági 45

54 teemos, se( ) lim f d = f + (Dejmos l lector l verificció de ii. e geerl cudo se cooce pr el cso f e [, ].) Ahor probmos i. e el cso especil bjo cosiderció. Supog que es u etero positivo, > y ε>. Escoj δ tl que < δ <, y tl que < f f( ) < ε / pr todo vlor de e el itervlo [, δ ]; ello es posible, clro está, por l cotiuidd e el orige que hemos supuesto. ot demás que, e geerl, δ depede de. Pero etoces teemos, se( ) δ se( ) δ f d = f d f f( ) se( ) d se( ) + f d δ () I -I +I 3. ot que hemos escrito l epresió de l derech idéticmete como I - I + I 3. Estimmos cd u de ests epresioes por seprdo. Estimció de I : lim I = f δse se u lim d f lim = δ u du = f Estimció de I : Como l fució máimo = lim se se :: R {, ] tiee como vlor, por.3 eiste µ [, ] tl que δ se( ) δ f f( ) d µ ( f f( ) ) d. = Ls series de Fourier, pági 46

55 Por lo tto, I f f( δ) δ µ ε ε δµ δ εδ ε. = otmos que el ldo derecho de l desiguldd o depede de δ. Por lo tto, lim I ε. Estimció de I 3 : Por.6 pr lgú θ [ δ, ], podemos escribir θ se( ) I3 = f δ d + f δ θ se( ) d. Observ que si < k < k, etoces k se( ) k se( ) k se( ) k se( ) d = d = d d. k k Por lo tto, k se ( ) lim / /. d = = k Por lo tto, está clro que limi3 = y por () cocluimos i. del eucido de este teorem. Así pues, se( ) lim lim lim lim f d f If I I3 + + ε. Como ε es rbitrrio, vemos que i. se cumple. Dejmos l fácil demostrció Ls series de Fourier, pági 47

56 de ii. l lector.. Teorem [Segud form de ls itegrles de Dirichlet] Si f es u fució periódic e itegrble e culquier itervlo de logitud, y si f es de vrició cotd e [, ], etoces, pr < < b <, se( ) i. lim f( ) f = + se( ) b se( ) ii. lim f( ). = se( ) Prueb: Observ que [, ] R:: / se es u fució o decreciete, o egtiv y, por lo tto, de vrició cotd. Por cosiguiete, tmbié es cierto que [, ] R:: f( ) / se es u fució de vrició cotd ( por qué?). Como, b se( ) f se d f = se( ) se( ) f se d b f = se( ) se( ) se( ) d d, los resultdos se obtiee de i. y ii. del Teorem.9; dejmos los detlles l lector.. Corolrio Si f es u fució periódic e itegrble e culquier itervlo de logitud, y si f es de vrició cotd e [, ], etoces, lim sf( ) = [ f( + ) + f( ) ]. Ls series de Fourier, pági 48

57 E otrs plbrs, l sucesió de sums prciles de l serie de Fourier de f, ( sf ), coverge l promedio de los límites uilterles de f e (que eiste si f es de vrició cotd). E prticulr, si f es cotiu e, etoces f(+) = f() y f(-) = f(), de mer que e este cso, lim s f( ) = f( ). Prueb: E.8. se demostró que, + se + ω se sf( ) = f( ) d f( ) ω ω se ω ω [ ] + + [ ] ( + ) ω dω. seω Dejmos l lector l verificció de que ls fucioes R R:: ω f ( ± ω) so de vrició cotd e, ± (respectivmete) pr cd úmero rel. Por el Teorem vemos que, [ ] = + se + ω lim f ( ) d f( ) f( ) ω ω =, y seω [ ] = se + ω lim f ( + ) d f( ) f( ) ω ω + = +. seω El resultdo etoces qued estblecido. Ls series de Fourier, pági 49

58 Ls series de Fourier, pági 5

59 Cpítulo 3: Covolucioes y los úcleos de Dirichlet, Fejér y Poisso 3.Itroducció E este cpítulo deotremos por L l cojuto de tods ls fucioes periódics defiids e R e itegrbles (e el setido de Riem) e lgú itervlo de logitud. Es fácil ver que L es cerrdo bj l sum de fucioes y l multiplicció de fucioes por úmeros reles. Además L stisfce ls codicioes defiicioles de u espcio vectoril sobre los úmeros reles, los cules eucimos eplícitmete cotiució: Pr todo escogido de fucioes y úmeros fgh,,, L y pr todo αβ, R, i) f + (g + h) = (f + g) + h ii) f + = + f = f, dode L es l fució idéticmete igul cero e R. iii) pr todo k L eiste k L tl que k + (-k) = -k + k =; quí (-k)() = -k() pr todo úmero rel. iv) f + g = g + f v) αβ ( f)= ( α β) f = + vi) α+ β f αf βf vii) α( f+ g)= αf+ αg viii) f = f Además, si fg, L, etoces f g L (est es u propiedd de ls fucioes itegrbles e el setido de Riem). Se sbe que L tiee seris limitcioes pr los propósitos del álisis, l más otble siedo que ciertos límites turles de sucesioes de fucioes e L o defie fucioes e L. Históricmete, l correcció de est situció requirió l iveció de u uev itegrl -l de Lebesgue-, pero ello qued más llá de ls spircioes de este fscículo. Eiste otro tipo de estructur e L que permite defiir u oció de vlor bsoluto, distci o orm e este espcio de fucioes. Si f L, defii-

60 mos f = f d. U ejercicio muy secillo covecerá l lector de ls siguietes propieddes: f+ g f + g pr tod pr de fucioes fg, L, y αf = α f pr tod α R y pr tod f L. U fll importte de est defiició de vlor bsoluto e L es que es muy posible teer f = si que f se l fució idéticmete igul cero. E efecto, es posible demostrr que f = si y sólo si f e igul cero csi e tods prtes, es decir e u cojuto de medid cero. Decimos que u cojuto es de medid cero si se puede icluir como subcojuto e u uió cotble de itervlos co logitud totl t pequeñ como se quier. Por ejemplo, los cojutos cotbles tiee medid cero. Tmbié recordmos l lector que u resultdo del álisis clásico estblece que u fució cotd defiid e u itervlo cerrdo y cotdo es itegrble e el setido de Riem sobre tl itervlo, si y sólo si eiste u cojuto de medid cero e cuyo complemeto l fució es cotiu. Aceptdo este dto y recorddo que ls fucioes moótos sólo puede teer u úmero cotble de discotiuiddes, vemos que tods ls fucioes de vrició cotd defiids e itervlos cerrdos y cotdos so itegrbles e el setido de Riem sobre tles itervlos. Filmete señlmos que si f L, etoces tmbié f L. U propiedd importte que utilizremos e vris ocsioes futurs e este escrito es l de l desidd de ls fucioes cotius C e el espcio L. Es decir, pr todo ε> y pr todo f L, eiste g C tl que f g < ε. L demostrció de este dto es direct pues ls fucioes itegrbles e el setido de Riem so límites de fucioes esclods y l fució crcterístic de u itervlo se puede proimr turlmete por fucioes cotius y periódics (icluso, ifiitmete diferecibles si se quisier). Por otr prte, ls Ls series de Fourier, pági 5

61 fucioes cotius tiee u orm ( vlor bsoluto ) turl propi, l uiforme, defiid por f u = sup f( ) pr tod f C. [, ] Otro subespcio de L de gr importci teóric es el espcio TG que cosiste de todos los poliomios trigoométricos defiidos e R, es decir, de tods ls fucioes de l form ( ) = t( ) = + cos( ) + b se( ), dode es u etero y los =, b = so coeficietes reles. U dto que reviste u importci teóric especil e el estudio de ls series de Fourier es que TG es deso e L. Más delte presetremos vris pruebs de este dto. 3. Defiició [Producto de covolució] Se f y g fucioes periódics, cotds e itegrbles e culquier itervlo de logitud. Si R y l fució y f( y) g( y) es itegrble, defiimos l covolució de f y g e el puto por l relció f g( ) = f y g y dy. 3.3 Proposició L operció de covolució defiid e 3. es socitiv y comuttiv. Además, si f y g so fucioes cotius, f g es tmbié u fució cotiu. Prueb: Demostrremos l propiedd comuttiv y dejmos l socitividd l lector. Se f, g L y observe que si efectumos el cmbio de vribles u = - y, du = -dy etoces, f g ( ) = f y g y dy = f u g u du + Ls series de Fourier, pági 53

62 = + = = = fug ( udu ) g ( ufudu ) g f. Supog hor que f y g so cotius y se ε> rbitrrio. Como f y g so uiformete cotius e [-, ], eiste δ> tl que si uv, [, ] y u v <δ etoces fu fv < ε/ + g y <δ, teemos. Pero etoces, si y, [, ] f g( ) f g( y) = f u g u du f y u g u du + + ε f u fy u gu du g ( ) = < ε. + g ot que si si y, [, ] < + u [, ] y f ( u) fy ( u) ε/ g l proposició. y <δ, etoces ( u) ( y u) <δ pr todo. Esto termi l demostrció de 3.4 Defiició y otció Se u etero o egtivo. Defiimos i. (úcleo de Dirichlet 4 ) i D ( ) = e = + cos( ). = ii. (úcleo de Fejér) F ( ) = D( ). + = iii. (úcleo de Poisso) Si r <, 4 Como veremos más delte, el úcleo de Dirichlet o es e setido estricto u úcleo o idetidd proimd. Ls series de Fourier, pági 54

63 k ik k P( ) = r e = + r cos( k). r k = k = Pr cd etero o egtivo defiimos σ f = F f, y α r f = P f. r pr todo úmero rel e que esté defiids ls epresioes correspodietes. 3.5 Proposició Se u etero o egtivo y se r [., ) Etoces, se + i) D ( )= se pr todo k, k u etero. ii) F k ( ) = + cos( k) + k = = se ( + ) + se pr todo k, k u etero. r iii) P ( ) r = rcos+ r Ls series de Fourier, pági 55

64 iv) 5 s f( ) = D f( ) v) σ f = sf k + k = = + + = ( cos( ) + bse( ) ) k vi) α r f( ) = + r kcos( k) + bkse( k) k = [Como señlmos teriormete, decimos que s f( ) es l sum prcil de orde de l serie de Fourier de f, que σ f es l sum prcil de orde de los promedios de l serie de Fourier de f (o l sum (C,) de orde de l serie de Fourier de f) y que α r f es l sum de orde r de los promedios de Abel de l serie de Fourier de f -ot que l serie e vi) coverge; por qué?-.] Prueb: i): ot que D ( ) = e = e e = e i( + ) i i i i i = e e = e e e e e e = e e e i( + ) i i/ i( + / ) i( + / ) i i/ i/ i/ = e e e e i( + / ) i( + / ) i/ i/ = ise + ise 5 Tods ls relcioes que ivolucr covolucioes so válids csi e tods prtes; vése el último párrfo de 3.. E csos especiles (como e el de fucioes cotius) es evidete que l covolució est defiid pr todos los putos, pero e geerl, como hemos señldo, sólo está defiids csi e tods prtes. L prueb de este dto, si embrgo, emple l teorí de itegrció de Lebesgue y está más llá de ls mets de este escrito. Ls series de Fourier, pági 56