Una introducción a la medida e integral de Lebesgue. Roberto Quezada Batalla Departamento de Matemáticas, UAM-I

Transcripción

1 U itroducció l medid e itegrl de Lebesgue Roberto Quezd Btll Deprtmeto de Mtemátics, UAM-I

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3 Ídice geerl 1. L Itegrl de Riem 5 2. L medid de Lebesgue Itroducció L medid exterior de Lebesgue L σ-álgebr de los subcojutos medibles Subcojutos o medibles spcios de medid Fucioes medibles Csi dodequier Los teorems de goroff y Lusi L itegrl de Lebesgue L itegrl de fucioes o egtivs L itegrl de fucioes complejs Apédice 71 3

4 4 ÍNDIC GNRAL Itroducció sts ots so u breve itroducció l teorí de l medid e itegrl de Lebesgue, icluye coceptos y resultdos cosiderdos clásicos y que todo jove mtemático debe coocer. Hemos hecho u iteto serio por hcer ccesible l lector los resultdos más importtes de l teorí e tod su extesió si simplificrlos, discutiédolos de u mer complet y si dejr huecos. Pr eteder el mteril de ests ots sólo se ecesit u bue coocimieto del Cálculo Diferecil e Itegrl, e l form que se desrroll e los cursos de Cálculo Avzdo. No obstte, l fil de ls ots hemos icluido u pédice co lguos de los coceptos usdos lo lrgo de ells. Nuestro objetivo pricipl es presetr quells prtes de l teorí que so idispesbles y ecuetr plicció imedit e otrs áres, por ejemplo e Probbilidd y e Físic Mtemátic. Cosecuetemete, otros tems como itegrció y diferecició, medids e espcios bstrctos, espcios L p, series de Fourier, itegrl de Lebesgue-Stieltjes, tmbié cosiderdos clásicos, h queddo fuer. Los lectores iteresdos e estos tems puede estudirlos e los cursos más vzdos de Aálisis Mtemático o bie puede leerlos e ls referecis icluids l fil de ls ots. l Cpítulo 1 cotiee u breve repso de l itegrl de Riem, presetd de u mer tl que l itegrl de Lebesgue result ser u extesió turl de ell obteid l reemplzr l clse de ls fucioes proximtes, fucioes esclods, por l clse más geerl de ls fucioes simples. L medid de Lebesgue e l rect rel se desrroll e el Cpítulo 2, icluyedo l costrucció de l σ-álgebr de los subcojutos Lebesgue-medibles prtir de l codició de Crtheodory, que iterpretmos como u codició de seprbilidd; e l Proposició demostrmos vris codicioes equivletes l de Crtheodory, ls cules permite iterpretr de mer ituitiv el cocepto de medibilidd. L clse de ls fucioes medibles se trt e el Cpítulo 3, icluyedo los resultdos sobre proximció por fucioes cotius. L itegrl de Lebesgue se trt e el Cpítulo 4, primero pr fucioes medibles y cotds defiids e subcojutos de medid fiit, después extedemos este cocepto l clse de fucioes medibles o egtivs y filmete l clse de ls fucioes medibles co vlores complejos. Cosidermos que est es u versió prelimir de ls ots porque todví requiere ser completds, por ejemplo e l prte de los ejercicios pr el estudite.

5 Cpítulo 1 L Itegrl de Riem Recordemos brevemete l costrucció y lgus propieddes de l itegrl de Riem e itervlos cotdos de R. U prtició P de [, b] es u colecció fiit {x 0 = < x 1 <... < x = b}. L orm de P es P = máx 0 j x j x j 1. Se P u prtició de [, b], f u fució defiid e [, b] y ξ i [x i 1, x i ], i = 1,...,, u elecció de putos e [, b]. Defíse R(f, P, ξ) = f(ξ i ) x i x i 1 i=1 A est sum l llmremos Sum de Riem de f reltiv l prtició P de [, b] y l elecció ξ = {ξ 1, ξ 2,..., ξ }. ste ombre os permitirá recordr que pr cd f est sum depede de l prtició P y de l elecció ξ. Defiició (Riem-itegrbilidd). U fució f defiid e [, b] es Riem itegrble (R-itegrble) si existe u úmero rel R tl que pr culquier ɛ > 0 δ > 0, tl que P prtició de [, b] co P < δ y tod elecció ξ se tiee De mer breve: R(f, P, ξ) R < ɛ. ( ɛ > 0) ( δ > 0) ( P) ( ξ) [ P < δ R(f, P, ξ) R < ɛ ]. No es dificil demostrr que, e cso de existir, el úmero R es úico: pues si existe dos R 1 R 2, digmos R 2 > R 1, que stisfce l defiició terior etoces pr ɛ < 1 2 (R 2 R 1 ), δ > 0 tl que P y ξ se tiee que si P < δ etoces R(f, P, ξ) R 1 < ɛ y R(f, P, ξ) R 2 < ɛ. toces utilizdo desiguldd del triágulo obteemos que R 1 R 2 2ɛ, 5

6 6 CAPÍTULO 1. LA INTGRAL D RIMANN lo cul es u cotrdicció. Al úmero R lo deotremos medite el símbolo R b f(x)dx = lím R(f, P, ξ). P 0 Recuérdese que si f 0 etoces R b f(x)dx es el áre bjo l gráfic de f e [, b]. L defiició que hemos ddo pr l itegrl de Riem de u fució, o es costructiv. lo que sigue describiremos u método costructivo que permite clculr itegrles de Riem. Además este método os servirá como motivció pr defiir l itegrl de Lebesgue. Defiició (Fució esclod) U fució g defiid e [, b] es esclod si existe u prtició P de [, b] tl que g es costte e cd subitervlo de P. Como cosecueci imedit de l defiició obteemos que u fució esclod g tom sólo u úmero fiito de vlores. Pero l fució de Dirichlet { 1 si x Q [0, 1] f(x) = 0 si x [0, 1] \ Q, o es esclod ú cudo tom sólo dos vlores. 2/3 1/2 1/3 1/3 1/2 2/3 1 Figur 1.1: u fució esclod L fució esclod de l figur 1,1 cept l siguiete represetció g(x) = 1 2 χ [0, 1 3 ) (x) χ [ 1 3, 2 3 ) (x) χ [ 2 3,1] (x), dode χ [α,β) es l fució idicdor del itervlo [α, β) defiid de l siguiete mer: { 1 si x [α, β) χ [α,β) (x) = 0 si x / [α, β). Pero est represetció de g o es úic. Aquí teemos otr:

7 7 g(x) = 1 2 χ [0, 1 3 ) (x) χ [ 1 3, 1 2 ) (x) χ [ 1 2, 2 3 ) (x) χ [ 2 3,1] (x). Se g 1, g 2, dos fucioes esclods e [, b] co represetcioes y se m g 1 (x) = j χ [xj 1,x j )(x) y g 2 (x) = b k χ [yk 1,y k )(x) j=1 k=1 P 1 = {x 0 =, x 1,..., x = b} y P 2 = {y 0 =, y 1,..., y m = b} ls prticioes socids co g 1 y g 2, respectivmete. Si Q = P 1 P 2 = {z 0, z 1,..., z k }, podemos escribir g 1 (x) = l α j χ [zj 1,z j )(x), g 2 (x) = j=1 co α j = k y β j = b l pr lguos j y l, y g 1 (x) + g 2 (x) = l β j χ [zj 1,z j )(x), j=1 l (α j + β j )χ (zj 1,z j)(x). Proposició Si g es u fució esclod e [, b] etoces g es R-itegrble y demás si etoces g(x) = b j=1 c i χ (xi 1,x i )(x) i=1 g(x)dx = c i. Pr demostrr est proposició utilizremos el siguiete resultdo, cuy demostrció dejmos como ejercicio pr el lector. Teorem (Aditividd) Si t 0 = < t 1 < t 2 <... < t = b, etoces u fució f es R-itegrble e [, b] si y sólo si es R-itegrble e cd subitervlo [t i 1, t i ] i = 1,..., y demás b t1 t2 b f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx + + f(x)dx. t 1 t 1 Tmbié ecesitremos el siguiete. i=1

8 8 CAPÍTULO 1. LA INTGRAL D RIMANN Lem Si f es R-itegrble e [, b] y f(x) = g(x) excepto e u úmero fiito de putos c 1,..., c k [, b] etoces g es R-itegrble y b f(x)dx = b g(x)dx. Demostrció. Supógse que k = 1. Bstrá demostr que si f(x) = g(x), excepto e c [, b], etoces R(f, P, ξ) R(g, P, ξ) es rbitrrimete pequeño pr P pequeñ. Dd culquier prtició P de [, b] co P = {x 0 < x 1 <... < x }, el puto c se ecuetr lo más e dos subitervlos [x i 1, x i ] y [x i, x i+1 ], toces R(f, P, ξ) R(g, P, ξ) = R(f g, P, ξ) = (f(ξ i ) g(ξ i ))(x i x i 1 ) i=1 f(c) g(c) x i x i 1 + f(c) g(c) x i+1 x i i=1 2 P f(c) g(c) Pr culquier ɛ > 0, tómese δ < ɛ(2 f(c) g(c) ) 1, etoces se tiee que R(f, P, ξ) R(g, P, ξ) < ɛ elecció ξ si P < δ. sto demuestr el resultdo si k = 1. Si se tiee k putos distitos, pr culquier prtició P = {x 0 < x 1 <... < x }, cd puto c j, j = 1,..., k, se ecuetr e lo más dos subitervlos [x j 1, x j ] y [x j, x j+1 ]. toces R(f, P, ξ) R(g, P, ξ) = R(f g, P, ξ) = (f(ξ i ) g(ξ i ))(x i x i 1 ) k (f(c j ) g(c j )) x j x j 1 + f(c j ) g(c j ) x j+1 x j j=1 2 P i=1 k f(c j ) g(c j ). j=1 toces pr cd ɛ > 0 se puede tomr δ < ɛ(2 k j=1 f(c) g(c) ) 1, y se tedrá que R(f, P, ξ) R(g, P, ξ) < ɛ ξ si P < δ.

9 9 Demostrció.(de l Proposició 1.0.3) U fució costte es R-itegrble e culquier itervlo [, b] pues si R = c(b ) dode c es el vlor de l fució, etoces R(f, P, ξ) R = k (f(ξ j )(x j x j 1 ) R j=1 = c(b ) R = 0. Como cd fució esclod es costte, digmos igul c j, e cd subitervlo [x j 1, x j ] de lgu prtició P etoces est fució es R-itegrble e cd subitervlo y demás xj x j 1 g(x)dx = c j (x j x j+1 ) j = 1, 2,...,. Ahor bst plicr el teorem de ditividd pr obteer que g es R-itegrble e [, b] y b k g(x)dx = c j (x j x j+1 ). j=1 Teorem U fució defiid e [, b] es R-itegrble si y sólo si pr culquier ɛ > 0, existe dos fucioes esclods f 1 y f 2 tles que f 1 (x) f(x) f 2 (x) x [, b] y ( ) ( ) R b f 2 (x)dx R b f 1 (x)dx Demostrció. Como f es R-itegrble, esto implic que f es cotd e [, b]. Pues se ɛ = 1, y t omese δ > 0 como e l Defiició 1,0,1, etoces pr culquier prtició P co P < δ y culquier elecció ξ se tiee que R(f, P, ξ) R < ɛ; co R = R b f(x)dx, lo cul implic que < ɛ. R(f, P, ξ) R(f, P, ξ) R + R < R + ɛ. Se P u equiprtició de [, b] co P = b < δ. Cd x [, b] perteece lgú itervlo de P, digmos x (x j 1, x j ). Si f 0 tomdo u elecció ξ que coteg l puto x teemos que f(x) b R(f, P, ξ) < R + ɛ,

10 10 CAPÍTULO 1. LA INTGRAL D RIMANN etoces f(x) < (R + ɛ). b Si f cmbi de sigo escríbse f = f + f dode { f(x) si f(x) 0 f + (x) = = máx(f(x), 0) 0 si f(x) < 0 { f(x) si f(x) 0 f (x) = = máx( f(x), 0) 0 si f(x) > 0 Se tiee que f +, f 0 y f = f + + f, por lo tto es f cotd. Como f es R-itegrble, etoces ddo ɛ > 0 δ > 0 tl que R(f, P, ξ) R < ɛ pr tod elecció ξ, y tod prtició P co P < δ. Si P = { = x 0 < x 1 <... < x = b}, como f es cotd tiee setido defiir f 1 (x) = íf{f(x) : x (x i 1, x i )} pr x (x i 1, x i ), f 2 (x) = sup{f(x) : x (x i 1, x i )} pr x (x i 1, x i ) sts fucioes se puede defiir tmbié e los putos de P de mer que resulte esclods. Nótese que f 1 (x) f(x) f 2 (x) x [, b]. Recordemos que si S es u subcojuto cotdo de R, etoces (i) S = sup S (i,1) S s s S (i,2) ɛ > 0 s ɛ S tl que s ɛ > S ɛ (ii) s = íf S (ii,1) s s s S (ii,2) ɛ > 0 s ɛ S tl que s ɛ < s + ɛ. Por l defiició de f 1, f 2 existe ξ i, η i (x i 1, x i )) tles que f(ξ i ) < f 1 (x) + ɛ, y f(η i ) > f 2 (x) ɛ, x (x i 1, x i ). Por ser esclod, f 1 se puede represetr e l form f 1 (x) = (íf{f(x) : x [x i 1, x i )})χ [xi 1,x i)(x). Ahor, b f 2 (x)dx b i=1 f 1 (x)dx = = (f 2 (x) f 1 (x))(x j x j 1 ) j=1 (f(η j ) + ɛ f(ξ j ) + ɛ)(x j x j 1 ) j=1 (f(η j ) f(ξ j ))(x j x j 1 ) + j=1 = R(f, P, η) R(f, P, ξ) + 2ɛ(b ) < 2ɛ(1 + (b )), 2ɛ(x j x j 1 ) j=1

11 11 pues como R(f, P, ψ) R < ɛ etoces R(f, P, ψ) R(f, P, ξ) R(f, P, ψ) R + R R(f, P, ξ) < ɛ + ɛ = 2ɛ. Reciprocmete, se { R = sup b f 1(x)dx : f 1 es esclod y f 1 (x) f(x) x [, b] Si f 2 es esclod co f 2 (x) f(x) f 1 (x), etoces }. b f 2 (x)dx b f 1 (x) f 1 esclod co f 1 < f e [, b]. s decir, b f 2(x)dx es cot superior del cojuto { b f 1(x)dx : f 1 es esclod y f 1 f }. toces b f 2 (x)dx R. Cosecuetemete R es cot iferior del cojuto { b f 2(x)dx : f 2 es esclod y f 2 f e [, b] Además pr ɛ > 0 existe f 1, f 2 esclods co f 1 f f 2 e [, b] y b f 2 (x)dx < b f 1 (x)dx + ɛ R + ɛ. }. toces, R = íf { b f 2dx : f 2 es esclod y f 2 f }. Ahor veremos que R es l itegrl de f. sts últims f 1 y f 2 so itegrbles y si P es u prtició socid co f 1 y f 2 b f 1(x)dx R(f, Q, ξ) Q prtició co Q < P, b f 2(x)dx R(f, Q, ξ) Q prtició co Q < P. toces R(f, Q, ξ) R < ɛ,

12 12 CAPÍTULO 1. LA INTGRAL D RIMANN pues Y pues ɛ < toces, b f 1 (x)dx R(f, Q, ξ) R b b f 2 (x)dx f 2 dx R R b b b f 1 (x)dx R R(f, Q, ξ) R. f 1 (x)dx. f 2 (x)dx ɛ < R(f, Q, ξ) R < ɛ. b f 1 (x)dx < ɛ, sto demuestr que f es R-itegrble y demás, b f(x)dx = R. Nótese que e l demostrció del Teorem terior se describe u método pr clculr l itegrl de Riem de cd fució Riem-itegrble, de hecho teemos que R b { f(x)dx = sup b f 1(x)dx : f 1 es esclod y f 1 (x) f(x) x [, b] = if { b f 2(x)dx : f 2 es esclod y f 2 (x) f(x) x [, b] Los siguietes teorems, cuys demostrcioes dejmos como ejercicio pr el lector, describe propieddes básics de l itegrl de Riem. Teorem (Lielidd) Si f y g so R-itegrbles etoces cf y f + g so R-itegrbles (c R) y demás b cf(x)dx = c b f(x)dx y b (f(x) + g(x))dx = b f(x)dx + b }. g(x)dx. } Teorem (Mootoí) Si f y g so R-itegrbles y f g e [, b], etoces b f(x)dx b g(x)dx. Corolrio Si f es R-itegrble y m f M etoces m(b ) b f(x)dx M(b ).

13 13 Teorem Culquier fució cotiu e [, b] es R-itegrble e [, b]. Teorem Culquier fució moóto e [, b] es R-itegrble e [, b]. Teorem Se U u bierto que cotiee [, b]. Si f es cotiu e U y F es primitiv de f e U etoces b f = F (b) F () jemplo Se Q el cojuto de los úmeros rcioles, cosidérese l fució crcterístic { 1 si x Q χ Q (x) = 0 si x / Q. Teemos que (i) χ Q (x) es cotd y o es cotiu e puto lguo. (ii) χ Q (x) o es moóto, i secciolmete moóto. (iii) χ Q (x) o es R-itegrble e itervlo cotdo lguo. Demostrció. (iii) Si f 1 y f 2 so dos fucioes esclods, f 1 χ Q (x) < f 2 bstrá demostrr que pr lgú α > 0. b f 2 (x)dx b f 1 (x)dx > α Obsérvese que f 1 χ Q (x) e [, b] etoces f 1 0, pr tod x [, b] y por lo tto b f 1(x)dx 0. De mer álog, si f 2 es esclod y χ Q (x) f 2 etoces f 2 1 y por lo tto b f 2(x)dx (b ) toces b f 2 (x)dx b f 1 (x)dx (b ) = α > 0, pr culesquier f 1, f 2 esclods co f 1 χ Q (x) < f 2. Por lo tto, por el Teorem χ Q (x) o es R-itegrble.

14 14 CAPÍTULO 1. LA INTGRAL D RIMANN jemplo (L fució de Riem) Represetemos los rcioles o ulos e l form p co q 0 y (p, q) = 1. q Defíse 1 si x = p q q g(x) = 1 si x = 0 0 si x / Q. toces: (i) g(x) es cotiu e cd irrciol y discotiu e los rcioles. Demostrció. Se x R\Q. Podemos supoer si perder geerlidd que [x 1, x+1] [0, ), e otro cso el itervlo [x 1, x + 1] se puede trsformr u itervlo de l form [y 1, y + 1] co y 1. Pr cd ɛ > 0 el subcojuto A ɛ = { p q : } p q [x 1, x + 1] y 1 q ɛ es fiito. Pues si otmos que x 1 p q x + 1 y 0 < q 1, teemos que ɛ 0 (x 1)q p (x + 1)q x + 1. ɛ toces p y q vri detro de itervlos cotdos y por lo tto A ɛ <. Se δ > 0 tl que [x δ, x + δ] A ɛ =. toces si y [x δ, x + δ], { = 0 si y es irrciol g(y) < ɛ si y es rciol toces g(y) < ɛ, pr tod y [x δ, x + δ], es decir, g(x) g(y) = g(y) < ɛ si x y < δ. sto demuestr que g es cotiu pr cd x R \ Q. Ahor, si x Q, digmos 0 x = p q, etoces g(x) = 1 0. Si g fuer q cotiu e x etoces pr culquier sucesió (x ) 1 que coverge x, l sucesió de sus imágees covergerí g(x). No obstte, si (x ) 1 es u sucesió de irrcioles co x x etoces g(x ) = 0 1 q = g(x). sto demuestr que g o es cotiu e los rcioles. (ii) g es R-itegrble e [0, 1]. relidd, esto mismo vle pr culquier itervlo cotdo.

15 15 Demostrció. Se ɛ > 0 y f 1 (x) = 0 l fució ideticmete cero pr x [0, 1]. Si 1 < ɛ, se f 2 (x) = 1 pr todo x [0, 1] excepto e quellos rcioles e A 1 [0, 1], { p dode A 1 q : p q [0, 1] y 1 q 1 } ( ), recuérdese que A 1 <. Nótese ( ) que como x [0, 1], etoces [0, 1] [x 1, x+1] y por lo tto [0, 1] A 1 <. Teemos que f 1 (x) g(x) 1 = f 2(x) se cumple excepto e [0, 1] A 1 que tiee crdilidd fiit. toces, 1 0 f 2 (x)dx 1 0 f 1 (x)dx = 1 < ɛ. Y podemos cocluir que g es R-itegrble y demás, 1 0 g(x)dx = 0.

16 16 CAPÍTULO 1. LA INTGRAL D RIMANN

17 Cpítulo 2 L medid de Lebesgue 2.1. Itroducció Algu vez Lebesgue escribió: s clro que se debe iicir prtiedo [c, d] e lugr de [, b],.... efecto, e cotrposició co l itegrl de Riem, e l cul se iici prtiedo el domiio de l fució, Lebesgue propuso iicir prtiedo el rgo de l fució que se dese itegrr. Podemos ilustrr l difereci etre estos dos procedimietos co u logí propuest por el mismo Lebesgue: si e u pquete se tiee billetes de ls siguiete deomicioes {0,10, 1, 0,50, 100, 20, 0,10, 2, 500, 20, 10, 100, 0,50}, de cuerdo co Riem se cotrí grupdo los primeros tres, después los cutro siguietes y filmete los últimos cico pr obteer 1, , ,50 = 754,20. Pero de cuerdo co el procedimeito propuesto por Lebesgue los cotrimos grupádolos de cuerdo sus vlores, sí: 0,10 2+0, = 754,20. l siguiete figur ilustrmos el proceso propuesto por Lebesgue. d y i+1 y i c i b i i Figur 2.1: f 1 [y i, y i+1 ] = 1 i 2 i 3 i 17

18 18 CAPÍTULO 2. LA MDIDA D LBSGU L imge ivers de u itervlo como [y i, y i+1 ], puede ser muy complicd. l figur, l imge ivers del itervlo [y i, y i+1 ] es u uió de itervlos pero, pr fucioes meos regulres, est imge ivers es mucho más complicd. Por ejemplo, si f es l fució de Dirichlet, { 1 si x Q [0, 1] f(x) = 0 si x / Q [0, 1], k l(k i ), co c i [y i, y i+1 ], dode l imge ivers de u itervlo suficietemete pequeño lrededor de 1 es Q [0, 1] que o es u uió de itervlos; lo mismo ocurre co l imge ivers [0, 1] \ Q, de u itervlo suficietemete pequeño lrededor de 0. No obstte el áre de l prte sombred e l figur 2,1 se puede proximr por c i l(i 1) + c il(i 2) + c il(i 3) = c i l() represet l logitud del itervlo. Y l itegrl se proximrí por l sum de ls áres de ls imágees iverss de los itervlos [y i, y i+1 ]. Pero, qué logitud es turl sigr subcojutos como Q [0, 1] y [0, 1] \ Q? lo que sigue estudiremos este problem seprádolo e dos prtes: 1.- Crcterizr l clse de los subcojutos que so imágees iverss de fucioes rzoblemete bues. 2.- Asigr u logitud (medid) cd uo de estos subcojutos. Pr trtr co estos dos problems utilizremos el cocepto de medid exterior y l codició de Crtheodory pr defiir l clse de los subcojutos medibles. ste efoque requiere superr vris dificultdes técics, o obstte lo preferimos debido su verstilidd pr geerlizrse u cotexto más bstrcto L medid exterior de Lebesgue Se A R rbitrrio y se (I ) 1 u colecció lo más umerble de itervlos biertos tl que A =1 I. L medid terior de A se defie medite l relció 0 m A = íf l(i ) : {I } 1, A =1I el ífimo se tom sobre 1 tods ls coleccioes {I } lo más umerbles de subitervlos biertos co A =1I. Como 1 l(i ) 0, pr tod colecció de itervlos biertos {I } 1, teemos que m A está bie defiid, pues es el ífimo de u subcojuto o vcío y cotdo por bjo. Si A es tl que 1 l(i ) = pr tod colecció {I } 1 de itervlos tles que =1 I A, e este cso defiimos m A =.

19 2.2. LA MDIDA XTRIOR D LBSGU 19 Teemos que m φ = 0. Pr demostrr esto, bst tomr ls cubierts {( 1, 1)}, {( 1 2, )},.... Tods ells cubre φ, es decir, φ (, 1 ), pr cd 1; etoces 0 m φ 2,... > 1. l mismo rzomieto permite demostrr que l medid exterior de u puto R es cero: m {} = 0. Teorem Si A B, etoces m A m B. Demostrció. Si {I } 1 es u cubiert de B por itervlos biertos etoces 1 I B A, por lo tto {I } 1 tmbié es u cubiert biert de A por itervlos biertos. { { Nótese que 1 l(i ) : 1 I B} 1 l(j ) : 1 J A}, porque ls cubierts de B tmbié cubre A y A tiee cubierts que o cubre B. toces { } m B = íf l(ij ) : j I j B íf l(i j ) : j 1 I j A = m (A). j Teorem L medid exterior de u itervlo es igul su logitud. Demostrció. (i) Cosideremos el cso I = [, b], < b. Demostrremos ls dos desigulddes: m [, b] b {(, y b m [, b]. Cosideremos cubierts del tipo 1, b + 1 )}. toces ( [, b] 1, b + 1 ), 1 y por lo tto pr tod 1, m [, b] b + 2. sto demuestr que m [, b] b. Ahor se {I } 1 u cubiert de [, b] por itervlos biertos. Por l compcidd de [, b], existe u subcubiert fiit {I m } M m=1 de [, b]. Como M m=1i m, existe u subitervlo I 1 = I m1 tl que I 1 = ( 1, b 1 ), etoces 1 < < b 1. Si b < b 1 y termimos. otro cso b 1 < b y como [, b] M m=1i m, existe u itervlo I 2 = I m2 tl que b 1 I 2 = ( 2, b 2 ), es decir 2 < b 1 < b 2. De est mer logrmos obteer u uev subcolecció fiit I 1, I 2,..., I k de subitervlos biertos tles que j < b j 1 < b j pr 2 j k 1 y k < b < b k. toces pr tod cubiert (I ) 1 de [, b], se tiee que l(i ) M k k l(i m ) l(i j ) = (b j j ) 1 m=1 j=1 j=1 = (b k k ) + (b k 1 k 1 ) + + (b 2 2 ) + (b 1 1 ) = b k ( k b k 1 ) ( 2 b 1 ) 1 b.

20 20 CAPÍTULO 2. LA MDIDA D LBSGU s decir, m ([, b]) b. (ii) Supogse hor que I es rbitrrio pero co logitud fiit. toces existe u itervlo cerrdo J tl que J I y l(j ) > l(i) ɛ, ɛ > 0. Por lo tto, l(i) ɛ < l(j ) = m J m I m I = l(i) = l(i). De quí se sigue que m I l(i) y l(i) ɛ m I pr todo ɛ > 0, por lo tto, m I = l(i). (iii) Si I es u itervlo ifiito, ddo culquier M > 0 existe u itervlo cerrdo J I tl que l(j ) = M. toces m I m J = l(j ) = M co M > 0 rbitrrio. s decir, m I = = l(i). Teorem (Subditividd de l medid exterior) Se {A } 1 u sucesió de subcojutos de R etoces m =1 A m A. Demostrció. Si m A = pr lgú 1, etoces l desiguldd es obvi. Supógse m A < 1. Pr cd ɛ > 0 y 1 se ɛ = ɛ 2. toces existe u cubiert {I,j } j 1 de A por itervlos biertos tles que j=1 =1 l(i, j) < m A + ɛ 2. L colecció {I, j} j 1, 1 es u cubiert de 1 A por itervlos biertos. toces m 1 A l(i,j ) < (m A + ɛ 2 ) 1 j 1 1 = m A + ɛ 1 2 = m A + ɛ, pr todo ɛ > 0. Corolrio Supógse A R lo más umerble, etoces m A = 0.

21 2.3. LA σ-álgbra D LOS SUBCONJUNTOS MDIBLS 21 Demostrció. Si A = { 1, 2, }, como m { } = 0 pr cd 1, etoces m A = m =1 { } m { } = 0. =1 Sbemos que m [0, 1] = 1, etoces [0, 1] es o-umerble. Si A R es u subcojuto rbitrrio etoces, de cuerdo co l defiició de m A y ls propieddes del ífimo de u cojuto, teemos que ddo ɛ > 0 existe u cubiert {I ɛ } >1 de A por itervlos biertos tles que l(i) ɛ < m A + ɛ. 1 Se O ɛ = 1 I ɛ etoces O ɛ A, y m O ɛ = m 1 I ɛ >1 m (I ɛ ) = 1 l(i ɛ ) < m A + ɛ. otrs plbrs, hemos demostrdo el siguiete. Corolrio Pr todo A R y ɛ > 0 existe O ɛ bierto tl que O ɛ A y m O ɛ < m A + ɛ. s decir l medid exterior de culquier subcojuto de R se puede proximr por l medid exterior de u bierto L σ-álgebr de los subcojutos medibles U propiedd turl de u medid es l σ ditividd : m =1 A = m A, si l sucesió {A } 1 tiee elemetos mutumete jeos, es decir, A A m =, si m. No es posible demostrr que m es σ ditiv cudo l sucesió {A } 1 es culquier sucesió de subcoutos de R. Pero est propiedd se cumple cudo los elemetos de l sucesió {A } 1 perteece u clse especil de subcojutos, l de los subcojutos medibles. Defiició (Crtheodory) U subcojuto de úmeros reles es medible si y sólo si ddo culquier otro subcojuto A R =1 m A = m (A ) + m (A\) = m (A ) + m (A c ).

22 22 CAPÍTULO 2. LA MDIDA D LBSGU L codició de Crtheodory puede cosiderrse como u codició de seprbilidd, es decir, u subcojuto medible sepr bie culquier otro cojuto e el setido de l medid exterior. Deotremos por M l colecció de todos los subcojutos medibles de R. Si M (i.e., si es medible), etoces su medid de Lebesgue m es su medid exterior, m = m. L codició de Crtheodory es simétric (ivrite) respecto de l plicció c. cosecueci, es medible si y sólo si c es medible. l subcojuto vcío es medible, pues si A R, es culquier subcojuto (de prueb), etoces m (A ) = m = 0 y m (A c ) = m (A R) = m A. Por lo tto, m (A ) + m (A c ) = m A A R. cosecueci R tmbié es medible. Nótese que l codició de Crtheodory es equivlete co ls dos desigulddes (i) m A m (A ) + m (A c ), A R (ii) m A m (A ) + m (A c ) A R. Y l primer de ells siempre se cumple, pues por subditividd, m A = m ((A ) (A c )) m (A ) + m (A c ). toces pr demostrr que u subcojuto es medible, bstrá verificr que l segud desiguldd se cumple pr todo subcojuto (de prueb) A R. Proposició Todo subcojuto co medid exterior cero es medible y m = 0. Demostrció. Tomemos culquier subcojuto A R. Teemos que A, etoces 0 m (A ) m, por lo tto Por otr prte A c A, etoces Por lo tto teemos que m (A ) = 0. m (A c ) m A. m (A ) + m (A c ) = m(a c ) m A. Como cosecueci imedit de l Proposició terior se obtiee que todo subcojuto de R que es lo más umerble, es medible y tiee medid cero. Tmbié so medibles quellos subcojutos de R cuyo complemeto es lo más umerble. prticulr Q y R\Q so medibles y mq = 0. Tmbié so medibles todos los subcojutos de cojutos de medid exterior cero.

23 2.3. LA σ-álgbra D LOS SUBCONJUNTOS MDIBLS 23 Proposició Si y F so medibles, etoces F es medible. Demostrció. Tomemos culquier subcojuto A R. Bstrá demostrr que Teemos que, m (A ( F )) + m (A ( F ) c ) m A. A ( F ) = (A ( F )) ( c ) = (A ( F ) ) (A ( F ) c ) = (A ) (A F ) (A c ) (A F c ) = (A ) (A F c ). toces por l subditividd, cosecuetemete, m (A ( F )) m (A ) + m (A F c ), m (A ( F )) + m (A c F c ) m (A ) + m (A F c ) + m (A c F c ) = m (A ) + m (A c ), pues F es medible. Así mismo, l medibilidd de implic que m (A ( F )) + m (A c F c ) m (A ) + m (A c ) = m A. Defiició U colecció A de subcojutos de R se llm álgebr (o álgebr de Borel) si pr A, B A, se tiee que (i) A B A (ii) A c A (iii) A B A. Si, F A, etoces c y F c tmbié perteece A, por lo tto c F c A. Pero F = ( c F c ) c. toces ls propieddes (i) y (ii) juto co leyes de DeMorg implic (iii). jercicio. Demostrr que si A 1, A 2,..., A A, etoces k=1 A k A. De cuerdo co lo que hemos demostrdo hst hor podemos cocluir que l colecció M, de los subcojutos medibles de R, es u álgebr.

24 24 CAPÍTULO 2. LA MDIDA D LBSGU Proposició Se A u álgebr y {A } =1 u sucesió de subcojutos de A, etoces existe u sucesió {B } =1 de subcojutos de A tles que B B m = pr m y =1B = =1A. Demostrció. Tómese B 1 = A 1 y pr > 1, defíse B = A \(A 1 A 2 A 1 ) = A (A 1 A 2 A 1 ) c. Se tiee que B A pr todo > 1. Además, B B 1 = (A (A 1 A 2 A 1 ) c ) (A 1 (A 2 A 1 ) c ) = A A c 1 (A 2 A 1 ) c A 1 (A 2 A 1 ) c = > 1. Como B A, etoces 1 B 1 A. Si x 1 A, se m el meor ídice tl que x A m. toces x B m y que x / A j pr 1 j m 1 y cosecuetemete, x 1 B Defiició U σ álgebr A es u álgebr que tmbié es cerrd bjo uioes cotbles, es decir, si A 1, A 2,..., A, etoces 1 A A. Lem Se A culquier subcojuto y 1,..., subcojutos medibles y disjutos. toces m (A ( j=1 j )) = m (A j ). Demostrció. Si = 1, etoces m (A 1 ) = m (A 1 ). Supogmos que el resultdo vle pr 1 subcojutos. Como los j s so disjutos, etoces A ( ) j=1( j = A, y A ( ) j=1 j c = A ( 1 j=1 j). toces como es medible m ( A ( )) j=1 j = m ( A ( ) ) j=1 j + m ( A ( ) ) j=1 j c j=1 = m (A ) + m ( A ( 1 j=1 j)). Ahor, por hipótesis de iducció m (A ) + m ( A ( 1 j=1 )) j 1 = m (A ) + m (A j ) = j=1 m (A j ). j=1

25 2.3. LA σ-álgbra D LOS SUBCONJUNTOS MDIBLS 25 Teorem M es u σ álgebr. Demostrció. Como y sbemos que M es u álgebr, bstrá verificr que es cerrd bjo uioes umerbles. Se ( ) 1 u sucesió de elemetos de M. Siedo M u álgebr por l Proposició 2,3,5, podemos supoer que ( ) 1 es u sucesió disjut. Se F = j=1 j, cd F es medible y F = j=1 j, etoces pr cd 1, c F c. Se A R culquier subcojuto de prueb, teemos que m (A) = m (A F ) + m (A F c ) m (A F ) + m (A ) c = m (A j ) + m (A ) c 1, j=1 pues A c A F c y F = j=1 j. toces m (A) m (A j ) + m (A c ) j=1 m (A ) + m (A c ), por l subditividd. Corolrio Se ( ) 1 u sucesió de subcojutos medibles disjutos, etoces m 1 = 1 m, s decir, l medid de Lebesgue es σ-ditiv. Demostrció. Como M es σ-álgebr, pr cd m 1 teemos que m 1 M y 1 M. Se ( ) 1 u sucesió de medibles disjutos, etoces teemos pr cd m 1 m =1 =1, etoces m ( m =1 ) m ( =1 ). Por el Lem pr todo m 1 teemos que, Por lo tto, m m = m m =1 m ( =1 ). =1 lím m m =1 m = 1 L desiguldd opuest es l subditividd. m m ( 1 ).

26 26 CAPÍTULO 2. LA MDIDA D LBSGU Proposició l itervlo (, ), R, es medible. Ates de demostrr est proposició escribmos lgus cosecuecis imedits de ell: (i) (, b] = (b, ) c es medible b R. (ii) (, b] = (, b] (, ). es medible (iii) {} (, b] = [, b] es medible. (iv) (, b] {b} c = (, b) es medible. (v) [0, 1] Q es medible y m[0, 1] Q = 0. toces [0, 1] Q c es medible, y demás 1 = m [0, 1] m ([0, 1] Q) + m ([0, 1] Q c ) = m ([0, 1] Q c ). Como [0, 1] Q c [0, 1] teemos que m ([0, 1] Q c ) 1, etoces m([0, 1] Q c ) = 1. Demostrció.(de l Proposició ) Bstrá demostrr que pr todo A R, m (A (, )) + m (A (, ]) m A. (i) Si m A = o hy d que demostrr. (ii) Supógse que m A <. Por l defiició de m, ddo ɛ > 0 existe u cubiert {I } 1 de A por itervlos biertos tles que l(i ) m A + ɛ. Se I = I (, ) y I = I (, ] Los itervlos I, I so disjutos o vcíos y l(i ) = l(i ) + l(i ) = m I + m I. Además (A (, )) I, etoces m (A (, )) m I. (1) De mer álog A (, ] I, y de quí se obtiee que m (A (, ]) m I = l(i ). (2)

27 2.3. LA σ-álgbra D LOS SUBCONJUNTOS MDIBLS 27 Sumdo (1) y (2) se obtiee que m (A (, )) + m (A (, ]) l(i ) + l(i ) = (l(i ) + l(i )) = l(i ) m A + ɛ, pr todo ɛ > 0. Cosecuetemete, m (A (, )) + m (A (, ]) m A. Proposició Todo bierto O R es medible. Además, si O = 1 I, es l represetció de O como uió de u colecció lo más umerble de itervlos biertos y disjutos, etoces mo = 1 l(i ). Demostrció. Se O = 1 I l represtció de O como uió lo más umerble de itervlos biertos disjutos. toces O es medible porque M es σ álgebr y cd I es medible, demás por el Corolrio mo = m O = m I = l(i ). A prtir de u colecció rbitrri de subcojutos se puede geerr u σ- álgebr. l lector puede ecotrr e l litertur l demostrció de l siguiete Proposició, o puede itetr elborr su propi demostrció. Proposició Dd u colecció C de subcojutos de R, existe u míim σ-álgebr A que l cotiee. s decir, si B es otr σ-álgebr que cotiee C, etoces A B. Defiició L míim σ-álgebr que cotiee l topologí τ de R, se llm σ-álgebr de Borel y se deot por B. Los elemetos de B se llm subcojutos de Borel. Todo subcojuto de Borel es medible pues, de cuerdo co l Proposició , B M. jercicio. Demostrr que existe u cojuto medible que o es de Borel, es decir l σ-álgebr de Borel es u σ-álgebr propi de l σ-álgebr de los subcojutos medibles. Los subcojutos (, b), (, ), [, ) so borelios y, por lo tto, medibles. Defiició (Ls clses G δ y F σ ) U subcojuto G G δ si es u itersecció umerble de biertos. Nótese que estos elemetos se puede slir de l topologí, pues ést o es cerrd bjo itersecció umerble de biertos.

28 28 CAPÍTULO 2. LA MDIDA D LBSGU U subcojuto F F σ si es u uió umerble de cerrdos. Teemos que G δ, F σ B. Proposició l cojuto de putos de discotiuidd de u fució rbitrri es u F σ. Demostrció. Se M(x, h) y m(x, h) el supremo y el ífimo de f e el itervlo [x h, x + h]. L fució o(x) = lím h 0 (M(x, h) m(x, h)) se llm l oscilció de f. Nótese que l codició o(x) = 0 sigific que f es cotiu e x. Cosecuetemete el cojuto de putos de discotiuidd de f se puede represetr e l form 1 {x : o(x) 1 }. Bstrá demostrr que el cojuto {x : o(x) 1 } es cerrdo pr cd 1. Si x x y o(x ) 1 pr cd 1, etoces pr cd h existe N h tl que x (x h, x + h) si N h. Se ɛ > 0 tl que (x ɛ, x + ɛ) (x h, x + h), existe putos y y z e (x ɛ, x +ɛ) tles que f(y ) f(x ) > 1, etoces o(x) 1. jercicios 1.- Demuestre que e R l itersecció de u colecció umerble de biertos desos es deso. 2.- Demuestre que R o es u uió umerble de subcojutos cerrdos co iterior vcío (es decir, co complemeto deso). 3.- Demuestre que los irrcioles o so u F σ. Sugereci: Si lo fuer etoces R serí u uió umerble de cerrdos co iterior vcío. 4.- Cocluy que o existe u fució cotiu e los rcioles y discotiu e los irrcioles. Proposició (i) Si ( ) 1 es u sucesió decreciete ( +1 ) de subcojutos medibles y m 1 <, etoces m ( =1 ) = lím m. (ii) Si ( ) 1 es u sucesió creciete de subcojutos medibles, etoces m ( =1 ) = lím m. Demostrció. Se = 1 y F = \ +1 etoces 1 F = ( 1 \ 2 ) ( 2 \ 3 )... = ( 1 c 2) ( 2 c 3) ( 3 c 4)... = 1 ( c 2 c 3) = 1 ( c 2 c 3... ) = 1 ( 1 ) c = 1 \

29 2.3. LA σ-álgbra D LOS SUBCONJUNTOS MDIBLS 29 Los F s so disjutos pres y que F F +1 = ( c +1) ( +1 c +2) =, y e geerl, Por l σ ditividd de m F F m = si m. m( 1 \) = 1 mf = 1 m( \ +1 ). Pero etoces Y de mer álog se demuestr que Como etoces 1 = ( 1 \), m 1 = m + m( 1 \). m = m +1 + m( \ +1 ). m 1 < y 1 2, m m 1 < 2. s decir todos los y, tiee medid de Lebesgue fiit. De cuerdo co lo terior teemos que m( 1 \ ) = m 1 m, y Cosecuetemete, Por lo tto m( \ +1 ) = m m +1. m 1 m = 1(m m +1 ) = lím k=1 1 m k m k+1 = lím (m 1 m ) = m 1 lím m. m = m( 1 ) = lím m. sto demuestr (i). Pr demostrr (ii) obsérvese que si m = pr lgú, etoces m( =1 =, pues l sucesió es creciete. Y si m < pr cd 1, podemos escribir = 1 =1( +1 ),

30 30 CAPÍTULO 2. LA MDIDA D LBSGU y l uió es disjut. toces m( ) = m 1 + m( +1 ) = m 1 +lím N =1 N =1 m( +1 ) = lím N m N. l cojuto de Ctor. [0, 1] cosidérese l siguiete costrucció C 1 0 1/3 2/3 1 C 2 0 1/9 2/9 1/3 C 3 01/3 2 2/3 2 Figur 2.2: Cojuto de Ctor l cojuto de Ctor C se defie como, C = =1C. De cuerdo co l prte (i) de l Proposició mc = lím mc, pero mc 1 = 2 ( ) 2 ( ) mc 2 = mc 3 =..., ( ) 2 y o es dificil demostrr por iducció que mc =. Por lo tto 3 mc = lím mc = lím ( 2 3) = 0. Pr filizr est secció demostrremos vris codicioes que so equivletes co l codició de Crtheodory. Culquier de ells pudo hberse tomdo como defiició de subcojuto medible. Proposició Se R. Ls siguietes proposicioes so equivletes: (i) es medible, (ii) Pr cd ɛ > 0 O ɛ bierto tl que m (O ɛ \) < ɛ, (iii) Pr cd ɛ > 0 F ɛ cerrdo tl que m (\F ɛ ) < ɛ (iv) xiste G G G co G tl que m (G\) = 0

31 2.3. LA σ-álgbra D LOS SUBCONJUNTOS MDIBLS 31 (v) xiste F F σ co F tl que m (\F ) = 0. Si m <, ls proposicioes teriores so equivletes co (vi) Ddo ɛ > 0 existe u uió fiit de itervlos biertos U tl que m ( U) < ɛ co U = (\U) (U\) dode deot l difereci simétric. Demostrció. Demostrremos ls siguietes impliccioes: (i) (ii) (iv) (i), (i) (iii) (v) (i) y (ii) (iv) (ii). Supogmos que m <. Ddo ɛ > 0 O ɛ tl que m O ɛ < m +ɛ. Como es medible etoces sepr bie O ɛ es decir etoces m O ɛ = m (O ɛ ) + m (O ɛ c ) = m + m (O ɛ \), m (O ɛ \) = m O ɛ m < ɛ. Supógse hor que m =. Sigue siedo válido que ddo ɛ > 0 O ɛ tl que m O ɛ < m + ɛ. Se = (, + 1) Z. Como m 1 < Z, existe O tl que m (O \ ) < ɛ = ɛ 2. Se O = Z O Z =, etoces O es bierto y O ɛ \ = ( Z O ) ( Z ) c = ( Z O ) ( Z ) c = (O ( )) c = O c = (O \). Ahor como etoces m (O\) O \ O \, m (O \) m (O \ ), m (O \) m (O \ ) < ɛ = ɛ. 2 sto demuestr que (i) (ii). Se (ɛ ) 1, co ɛ > 0, culquier sucesió que coverge cero. O tl que O y m (O \) < ɛ. Se G = =1O G δ, G\ = G c = ( =1O ) c = =1(O c ) = =1(O \) O \ 1,

32 32 CAPÍTULO 2. LA MDIDA D LBSGU etoces Por lo tto sto demuestr que (ii) (iv). 0 m (G\) m (O \) < ɛ 0. m (G\) = 0 Demostremos hor que (iv) (i). Bstrá demostrr que m (A ) + m (A c ) m A, pr culquier subcojuto de prueb A R. Teemos que A A G, etoces m (A ) m (A G). Por otr prte, etoces A c = (A c ) X = (A c ) (G G c ) = (A c G) (A c G c ) = (A G c ) (A G c ) (G c ) (A G c ), m (A c ) m (G c ) + m (A G c ) = m (A G c ), pues m (G \ ) = 0. Por lo tto, m (A )+m (A c ) m (A G)+m (A G c ) = m A, pues G es medible. Cosideremos hor l segud cde de impliccioes. Supógse que (i) se cumple y tómese u subcojuto medible, etoces c es medible y por (ii), O ɛ c bierto tl que m (O ɛ ( c ) c ) < ɛ. Tómese el cerrdo F ɛ = O c ɛ y obsérvese que O c ɛ = F ɛ, por lo tto sto demuestr que (i) (iii). m (\F ɛ ) = m ( F c ɛ ) m ( O ɛ ) < ɛ. Se (ɛ ) 1, ɛ > 0, u sucesió covergete cero, etoces por (iii), pr todo 1 existe u cerrdo F tl que F y m ( F c ) < ɛ. Se F = =1F F σ, como F F σ F c F c σ, y se tiee F. Ahor, por lo tto \F = F c = ( =1F ) c = ( =1F c ) = =1 F c F c 1, m (\F ) = m ( =1 F c ) m ( F c ) < ɛ, pr todo 1. sto demuestr que m (\F ) = 0.

33 2.3. LA σ-álgbra D LOS SUBCONJUNTOS MDIBLS 33 s decir, (iii) (v). Se A R culquier subcojuto de prueb y F F σ como e (v). Como F es medible, F c tmbié es medible. Además, como F, etoces c F c, y por lo tto m (A c ) m (A F c ). Por otr prte, etoces Por lo tto, A = (A ) X = (A ) (F F c ) = (A F ) (A F c ) = (A F ) (A F c ) (A F ) ( F c ), m (A ) m (A F ) + m ( F c ) = m (A F ). m (A ) + m (A c ) m (A F ) + m (A F c ) = m A. sto demuestr que es medible y cosecuetemete (v) (i). L últim cde de impliccioes se demuestr eseguid. Supógse que (ii) se cumple y se ɛ > 0. toces existe u bierto O tl que O y m (O\) < ɛ 2. Se O = =1I l represetció de O como uió de itervlos biertos tles que I I m = m. Si tiee medid fiit, el bierto O se puede escoger co m O <. Además por l σ-ditividd, > m O = m 1 I = 1 m I, es decir, l serie es covergete. toces existe u úmero turl 0 (ɛ) tl que 0 m I < ɛ 2. Se U = 0 (ɛ) =1 I. Teemos que U = (\U) (U\). Pero etoces \U = U c O U c = ( =1I ) U c ( ) = 0(ɛ) =1 I = 0 +1I U c = U c = = 0 +1I, m (\U) = m ( = 0+1I ) = 0 m I < ɛ 2. Por otr prte U\ O\, etoces m (U\) m (O\) < ɛ 2.

34 34 CAPÍTULO 2. LA MDIDA D LBSGU Cosecuetemete m ( U) = m (\U) + m (U\) ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ, y por lo tto m ( U) < ɛ. sto demuestr que (vi) se cumple. Reciprocmete, si m < y (vi) se cumple, pr cd ɛ > 0 se U = k=1 I k u uió fiit de itervlos biertos co m ( U) < ɛ 2. Teemos que m (\U) m ( U) < ɛ 2 etoces existe u cubiert {J m} m 1 de \U por itervlos biertos, tles que m 1 J m \U y m ( m 1 J m ) l(j m ) < ɛ 2. m 1 Se O = U ( m 1 J m ), O es bierto y = (\U) U ( m 1 J m ) U = O. Obsérvese que O\ = U\ ( m 1 J m ) \ = U\ ( (J m \)). toces m (O\) m (U\) + m ( m 1 (J m \)) < ɛ 2 + m ( m 1 J m ) ɛ 2 + l(j m ) < ɛ. m 1 sto demuestr que (ii) se cumple Subcojutos o medibles est secció demostrremos que l medid exterior de Lebesgue o es σ- ditiv. Pr esto costruiremos u sucesió {V } 1 de subcojutos jeos de [0, 1] tl que 1 V = [0, 1] pero 1 = m ( 1 V ) m V. =1 toces estos V s so o medibles y esto demuestr que M 2 R. Costrucció de los V s. Pr cd α [0, 1] se α = {x [0, 1] : x α Q}. Por ejemplo, 0 = [0, 1] Q y 1 2 = 0. De hecho, 0 = m pr todo m = p, p, q Z, q 0. q

35 2.4. SUBCONJUNTOS NO MDIBLS 35 Pero π 4 0 pues 1 2 / π. De hecho 4 π 4 0 =, pues si x π 4 0, etoces x π 4 = p q y x = r s π 4 = r s p q Q, lo cul es u cotrdicció. De hecho teemos lo siguiete: (i) Cd α es umerble pues l fució x x α es u biyecció de α sobre Q. (ii) Si α β etoces α = β Pues si x α β etoces x α y x β so rcioles. Si y α, es decir, y α Q, teemos que y β = (y α)+(α β), y (x β) (x α) = α β Q. toces y β Q, es decir y β. De mer álog β α. Dd l colecció { α } α [0,1], por el Axiom de lecció podemos elegir exctmete u represette x α de cd α. Se V el subcojuto formdo co estos represettes x α s. Nótese que e V sólo hy u rciol y igú pr de elemetos de este subcojuto difiere e u rciol. Ahor cosidérese u list de los rcioles e [0, 1], q 1, q 2,... y pr cd 1 se V = q +V dode + deot sum módulo 1; es decir { x + y si x + y < 1 x +y = x + y 1 si x + y 1. Necesitremos el siguiete resultdo. Lem Si A [0, 1], etoces m (x +A) = m A x [0, 1] Demostrció. Si A es u itervlo x +A = (+x] [0, b+x 1] y m (x +A) = 1 x + b + x 1 = b. De mer álog se demuestr el cso cudo A = O = =1I, I I m = si m. Pr A [0, 1] se tiee { } m (x +A) = íf l(i ) : I x +A, I bierto =1 = íf { m (x +O) : A x +O, O bierto } = m A. Teemos que (i) V V m = si m. Pues si x V V m, etoces existe x α, x β V tles que x = x α + q y x = x β + q m de quí se ve que x α x β = q m q Q lo cul es u cotrdicció.

36 36 CAPÍTULO 2. LA MDIDA D LBSGU (ii) =1V = [0, 1]. Pues obvimete =1V [0, 1], y si x [0, 1], existe α tl que x α. De mer que x = x α + q V etoces x 1 V. (iii) m o es σ-ditiv. Pues si supoemos que m es σ-ditiv, etoces por el Lem terior, Lo cul es imposible. 1 = m [0, 1] = m ( =1V ) = = = spcios de medid m V =1 m (q +V) = m V. Llmemos espcio medible u pr (X, Σ) dode X es u cojuto y Σ es u σ álgebr de subcojutos de X. U espcio de medid es u ter (X, Σ, µ) dode X, Σ so como tes y µ : Σ [0, ) es u medid. s decir: (i) µ = 0, (ii) µ ( ) = µ, =1 pr tod sucesió ( ) 1 de subcojutos disjutos de Σ. jemplo (l espcio de medid de Lebesgue). seccioes teriores costruimos el espcio de medid de Lebesgue (R, M, m). Teemos que (i) m φ = 0 y φ M etoces mφ = 0, (ii) Si ( ) =1 es u sucesió de medibles disjutos etoces m ( 1 ) = 1 m. jemplo Se X culquier cojuto y Σ = 2 X l colecció de todos los subcojutos de X. Pr 2 X, defíse { si es ifiito µ = si es fiito. L ter (X, 2 X, µ) es u espcio de medid. Demostrció. Teemos que

37 2.5. SPACIOS D MDIDA 37 (i) m φ = φ = 0, (ii) Se ( ) 1 u sucesió de subcojutos disjutos de Σ, Pr demostrr l σ ditividd cosiderremos dos csos: () 1 es fiito, (b) 1 es ifiito. el primer cso sólo u úmero fiito de sumdos so o vcíos, digmos 1, 2,..., y como so jeos µ ( 1 ) = ( k=1 k ) = k = µ k porque k > k = 0. k=1 Si ( 1 ) es ifiito, puede ocurrir que exist ifiito. este cso µ = =1 µ, etoces =1 µ = = µ( 1 ). Si todos los s so fiitos, etoces existe u subsucesió ( k ) k 1 co k k 1, por lo tto, = k 1 µ k =1 µ. s decir =1 µ = = µ ( 1 ). sto demuestr l σ-ditividd. jercicio. Se X = {x 1, x 2,..., x } y λ : X (0, 1) u fució tl que j=1 λ(x j) = 1. L ter (X, 2 X, P) es u espcio de medid, dode P : 2 X k=1 [0, 1] está defiid pr X medite l relció P() = λ(x j ). x j Defiició U espcio de medid (X, F, P) es u spcio de probbilidd si l medid P tom vlores e el itervlo [0, 1], es decir P : F [0, 1]. jercicio. (Delt de Dirc) Se X u cojuto y Σ = 2 X. Pr x 0 X y Σ defíse { 0 si x0 / δ x0 () = 1 si x 0 (X, 2 X, δ x0 ) es u espcio de probbilidd. jercicio el espcio de medid de Lebesgue (R, M, m) cosidérese l sucesió ( = [, )) 1. Teemos que y 1 =, etoces µ ( 1 ) = 0. Pero µ = pr todo 1, etoces m( ) lím m. Porqué esto o cotrdice el resultdo de l prte (i) de l Proposició ? jercicio. Se X u cojuto o umerble. Se F l colecció de los subcojutos de X que so cotbles (fiitos o umerbles) o que tiee complemeto cotble. Demuestre que

38 38 CAPÍTULO 2. LA MDIDA D LBSGU () F es u σ álgebr. Pr F defíse µ = { 0 si es cotble 1 si c es cotble (b) Demuestre que µ : F [0, 1] es medid de probbilidd.

39 Cpítulo 3 Fucioes medibles este cpítulo y el siguiete cosiderremos fucioes que puede tomr los vlores ±. s decir cosiderremos fucioes co vlores e el cojuto R = R {, }, l que llmremos cojuto de los úmeros reles extedidos. L relció de orde y ls opercioes ritmétics se puede exteder R de l siguiete mer: Orde : ddos, b R b b,, b R < R, b < b R. Opercioes ritmétics: pr x R, (i) x + =, x = (ii) x = si x > 0 (iii) x ( ) = si x > 0 (iv) 0 = 0 (v) + =, = (vi) (± ) = ±, (± ) = (vii) permece idefiid. Pr b podemos defiir los siguietes itervlos: [, b] = {x : x b}, (, b] = {x : < x b}, (, b) = {x : < x < b}, [, b) = {x : x < b}, por ejemplo R = [, ]. Si llmmos bierto todo subcojuto O R tl que O R es bierto y si + O, existe u vecidd {x : < x + } O; si O, existe u vecidd {x : x <} O, 39

40 40 CAPÍTULO 3. FUNCIONS MDIBLS co, b R. toces co est topologí R es u espcio topológico compcto, es decir, R es u compctificció de R. Pero ést o es l úic mer de compctificr l rect rel. Si A R es o vcío, etoces existe el supremo y el ífimo de A los que deotremos por supa e ifa, respectivmete. Proposició Se f : R, dode es u subcojuto medible. toces l siguietes proposicioes so equivletes: (i) α R f 1 (α, ] = {x : f(x) > α} es medible (ii) α R f 1 ([α, ]) = {x : f(x) α} es medible (iii) α R f 1 ([, α)) = {x : f(x) < α} es medible (iv) α R f 1 ([, α]) = {x : f(x) α} es medible. Y cd u de ésts implic que (v) α R el cojuto f 1 ({α}) = {x : f(x) = α} es medible. Demostrció. (i) (iv); pues {x : f(x) α} = \{x : f(x) > α} y como f 1 ((α, )) es medible, f 1 ((, α]) tmbié es medible. De mer álog se demuestr que (iv) (i) y (ii) (iii). Demostremos hor que (i) (ii). Se α α co α > α. toces [α, ] = 1 (α, ], cosecuetemete f 1 ([α, ]) = f 1 ( 1 (α, ]) = 1 f 1 (α, ] es medible. Pr demostrr que (ii) (i), se α α co α < α. toces (α, ] = 1 [α, ], por lo tto f 1 (α, ] = f 1 ( 1 [α, ]) = 1 f 1 [α, ], que es medible. Filmete, teemos que {α} = [α, ) (, α], etoces f 1 ({α}) = f 1 ([α, ]) f 1 ((, α]), que es medible pr α R. Además, si α etoces {x : f(x) = } = 1 {x : f(x) α }. Y de mer álog, si β etoces {x : f(x) = } = 1 {x : f(x) β }. Defiició U fució f : R es medible (o más propimete, Lebesgue-medible) si es medible y se cumple culquier de ls firmcioes (i) (iv) e l proposició terior. U fució s : R es simple si existe subcojutos 1, 2,..., medibles tles que i j = y s(x) = co c j, 1 j úmeros reles. Corolrio Se medible c j χ j (x), j=1

41 41 () Si f : R es cotiu, etoces f es medible. (b) Si s : R es simple, etoces es medible. (c) Si f : R es medible y F, es medible. F medible, etoces f F : F R (d) Si g : R R es cotiu y f : R es medible, etoces h = g f es medible. Demostrció. () Pr α R, (α, ] es bierto e R y por l cotiuidd de f, f 1 (α, ] es bierto, por lo tto es medible y {x : f(x) > α} = f 1 (α, ] es medible. (b) Se α R, etoces s 1 (α, ) = {x : s(x) > α} = ck >α k, que es medible. (c) Teemos que {x F : f(x) > α} = F {x : f(x) > α}, etoces como F es medible y {x : f(x) > α} es medible obteemos que {x F : f F (x) > α} tmbié es medible. (d) Se tiee que h 1 (α, ) = f 1 (g 1 (α, )). Como g 1 (α, ) es bierto podemos escribir g 1 (α, ) = 1 I, dode I es u itervlo bierto pr cd 1. Ahor, h 1 (α, ) = f 1 ( 1 I ) = 1 f 1 (I ) y cd f 1 (I ) es medible pr cd 1. Proposició Se c u costte rel y f, g dos fucioes medibles co vlores reles y co el mismo domiio medible. toces ls fucioes f + c, cf, f + g, g f, f g so medibles. Demostrció. (i) Si f, g : R so medibles, etoces (f + g) 1 [, α) = {x : f(x) + g(x) < α}. Si f(x) + g(x) < α etoces f(x) < α g(x) y por lo tto existe r x Q tl que f(x) < r x < α g(x). toces (ii) {x : f(x)+g(x) < α} = r Q {x : f(x) < r} {x : g(x) < α r}, que es medible pues es u uió umerble de medibles. (f + c) 1 (, α) = {x : f(x) + c < } = {x : f(x) < α + c}, es medible.

42 42 CAPÍTULO 3. FUNCIONS MDIBLS (iii) Si c 0, teemos que {x : c f(x) < α} = {x : f(x) < α c }, es medible. Si c = 0, {x : c f(x) < α} = { si α 0 si α > 0, que es medible. (iv) Por (iii), co c = 1 se tiee que f es medible y plicdo (i) se obtiee que g f es medible. (v) Pr mostrr que f g es medible, primero vemos que f 2 es medible. Pr α 0; {x : f 2 (x) < α} = {x : f(x) < α} que es medible. Y si α < 0, que es medible. = {x : f(x) < α} {x : f(x) > α}, {x : f 2 (x) < α} =, Ahor, plicdo los icisos teriores se ve que f g = 1 2 [(f + g)2 f 2 g 2 ] es medible. L hipótesis que f y g tome vlores reles es ecesri porque e otro cso f + g o estrí bie defiid e los putos dode f(x) = y g(x) = Teorem Se (f ) 1 u sucesió de fucioes medibles co el mismo domiio medible etoces ls fucioes sup{f 1,..., f }, íf{f 1,..., f }, sup f, íf f, lím f y lím f so medibles; dode sup{f 1,..., f }(x) = sup{f 1 (x), f 2 (x),..., f (x)}, ( sup f ) (x) = sup y ( lím f ) (x) = lím f (x). f (x) = sup{f 1 (x), f 2 (x),... } Demostrció. Por ejemplo si h(x) = sup{f 1 (x), f 2 (x),..., f (x)}, x, etoces {x : h(x) > α} = j=1{x : f j (x) > α}, result medible pues cd {x : f j (x) > α} es medible.

43 43 Así mismo, si h(x) = sup {f 1 (x), f 2 (x),... }, x, teemos que {x : h(x) > α} = j=1{x : f j (x) > α}, que es medible. Ahor se L(x) = lím f (x), x, es decir, L(x) = íf sup k f (x). Demostremos que íf {f 1 (x),... } es medible. Si k(x) = íf {f 1 (x), f 2 (x),... },, etoces {x : k(x) > α} = j=1 {x : f j(x) > α}. Por lo tto k(x) es medible. Ahor si f k (x) = sup j k f j (x), teemos que x {x : L(x) > α} = j=1{x : f j (x) > α} = j=1 ( k j {x : f j (x) > α}), etoces lím f es medible. De mer álog se demuestr que lím f es medible. Corolrio l límite putul de u sucesió de fucioes medibles es medible. Demostrció. U sucesió (f ) 1 de fucioes defiids de subcojutos de R co vlores e R coverge putulmete si y sólo si lím f (x) = lím f (x) x. l resultdo se sigue pues lím f y lím f so medibles. Teorem Se f u fució medible defiid e [, b] R y tl que m{x [, b] : f(x) = ± } = 0. toces pr cd ɛ > 0 existe u fució esclod g ɛ y u fució cotiu h ɛ tles que f h ɛ < ɛ y f g ɛ < ɛ excepto e u subcojuto de medid meor que ɛ. s decir, m{x [, b] : f(x) g(x) ɛ} < ɛ m{x [, b] : f(x) h(x) ɛ} < ɛ. Además si m f M, etoces g y h se puede elegir cotds co ls misms cots. Demostrció. Seprremos l demostrció e vris prtes. () Ddo ɛ > 0 M > 0 tl que f M excepto e u subcojuto de medid meor que ɛ. s decir 3 m{x [, b] : f(x) > M} < ɛ 3.

44 44 CAPÍTULO 3. FUNCIONS MDIBLS sto se demuestr de l siguiete mer. Se = {x [, b] : f(x) } = {x [, b] : f(x) > } {x [, b] : f(x) = }. Cd es medible y +1, pues si f(x) > + 1, etoces f(x) >. Además m m[, b] = b <. toces por l prte (i) de l Proposició m ( 1 ) = lím m y m{x [, b] : f(x) = } = m ( 1 ). Por lo tto lím m = 0. Pr ɛ 3 > 0 existe N ɛ 1 tl que m < ɛ 3 etoces m{x [, b] : f(x) > M} < ɛ Tomése M = N ɛ + 1, (b) Ddos ɛ > 0 y M > 0, existe u fució simple tl que f ϕ < ɛ, excepto e quellos putos dode f(x) > M. Pr demostrr esto dividmos [ M, M] e subitervlos igules. s decir se ɛ > 0, tómese tl que 2M < ɛ y cosideremos l prtició Se k = f 1 ([ M + P = { M, M + 2M,..., M}. = {x [, b] : M + 2(k 1)M, M + 2kM k=1 2(k 1)M ]) < f(x) < M + 2kM }, 1 k. Cd k es medible y podemos defiir u ϕ de l siguiete mer ( ϕ(x) = M + 2kM ) χ k. Pr x k teemos que f(x) ϕ(x) < 2M dode = m{x [, b] : f(x) > M}; pues < ɛ, pero k=1 k = [, b]\, [, b]\ = f 1 ([ M, M]) = f 1 ( k=1 [ M + = k=1f 1 ([ M + Además k k =, k k. 2(k 1)M, M + 2kM 2(k 1)M, M + 2kM ]) ]) = k=1 k. (c) xiste u fució esclod g e [, b] tl que g(x) = ϕ(x), excepto e u subcojuto de medid meor que ɛ 3.

45 45 Pr obteer est fució obsérvese que cd k del iciso terior es medible y k [, b], etoces m k <, k = 1, 2,...,. Pr cd k, existe colecció fiit de itervlos tles que {I k l }m k l=1 m ( k m ) ɛ k l=1 Ik l < 3. Si pérdid de geerlidd podemos supoer que estos subitervlos so disjutos. Se ( g(x) = M + 2kM ) χ m k (x) pr x l=1 Ik k m k l l=1 Ik l. st fució es esclod pues χ k j=1 I j = χ I1 + χ I2 + + χ Ik. ( Además g(x) = ϕ(x) excepto e A = k=1 k m ) k l=1 Ik l y ma k=1 m ( k m ) ɛ k l=1 Ik l 3 = ɛ 3. k=1 (d) Notése que g(x) = = k=1 ( M + 2kM m c j χ Ij (x) j=1 ) χ m k (x) l=1 Ik l pr lguos c j ( R. Podemos escribir I j = [ j 1, j ] pr 1 j m. el itervlo 1 ɛ 6m, 1 + ɛ ) se defie h como el segmeto que ue ( 6m 1 ɛ ) ( 6m, c 1 co 1 + ɛ ) 6m, c 2 y sí pr cd subitervlo de l prtició. De est mer coseguimos u fució cotiu h(x) tl que h(x) = g(x) excepto e ( j Pero m j=1 ( ( m m j=1 j ɛ 6m, j + ɛ 6m, j + ɛ )) = 6m ɛ ). 6m m j=1 ɛ 3m = ɛ 3. resume teemos que: f ϕ < ɛ, excepto e 1 [, b] co m 1 < ɛ 3,

46 46 CAPÍTULO 3. FUNCIONS MDIBLS ϕ = g excepto e 2 [, b] co m 2 < ɛ 3, h = g excepto e 3 [, b] co m 3 < ɛ 3. toces f g < ɛ excepto e 2 1 y m( 1 2 ) < ɛ. Y f h < ɛ excepto e Pero m( ) < ɛ Csi dodequier Si u codició, por ejemplo f(x) = g(x), se cumple excepto e u cojuto de medid cero, diremos que est codició se cumple csi dodequier de mer breve escribiremos c.d. De mer más geerl, si es u subcojuto medible y P es u propiedd, l frse P se cumple csi dodequier e sigific que existe u subcojuto N de medid ul tl que l propiedd se cumple e cd puto de \N. Proposició Si f : R es medible y f = g c.d. e, etoces g es medible. Demostrció. Los subcojuto 1 = {x : f(x) > α} y 2 = {x : g(x) > α} difiere lo más por u cojuto de medid cero. s decir, 1 \ 2 y 2 \ 1 so medibles y m( 1 2 ) = 0. Podemos escribir toces 2 es medible si 1 lo es. jercicios 2 = ( 1 ( 2 \ 1 ))\( 1 \ 2 ). 1.- Demuestre que si u sucesió (f ) 1 de fucioes medibles coverge csi dodequier u fució f, etoces f es medible. 2.- Dd u fució f : Ω R, de ejemplos que demuestre que l codició f es cotiu c.d. e Ω o implic i es implicd por l codició existe u fució cotiu g : Ω R tl que f = g c.d Los teorems de goroff y Lusi Apretemete existe u gr difereci etre los cojutos medibles y los cojutos biertos o los itervlos y etre ls fucioes medibles y ls cotius, de mer que l ituició se pierde l trbjr co subcojutos y fucioes medibles. relidd l difereci o es tt, de cuerdo co el Teorem u subcojuto medible es csi u bierto, u cerrdo o u uió de itervlos si tiee medid fiit; sí mismo, de cuerdo co el Teorem u fució medible es csi u fució cotiu. Algo similr ocurre etre ls sucesioes que coverge csi dodequier y ls que coverge uiformemete, tl como demostrremos e est secció, de mer que tmbié podemos decir que u sucesió que coverge c.d. csi coverge uiformemete. U form riguros de esto está coteid e el Teorem de gorov que demostrremos eseguid.