INTEGRAL DE HENSTOCK-KURZWEIL

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1 INTEGRAL DE HENSTOCK-KURZWEIL TRABAJO DE GRADO PROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS WILLIAM MAURICIO BUITRAGO PARRA DIRECTOR:ARTURO SANJUÁN SAMAT Uiversidd Distritl Frcisco José de Clds Bogotá D.C. 206

2 Dedicdo mis pdres

3 Agrdecimietos Le grdezco l profesor Arturo Sjuá, o solo por su orietció e el desrrollo de este trbjo, sio por todo el tiempo comprtido detro y fuer de ls uls. Por ser u ejemplo pr mí e todos los spectos, por l cofiz y demás. L culmició de este proceso o serí posible si su preseci. A mi fmili, especilmete mi mdre Clr Iés Prr que co su esfuerzo, mor y dedicció hce más mble el cmio hci ls mets que me trzo. Nd de lo coseguido hst este mometo serí posible si su poyo icodiciol. A mis compñeros, quiees de u u otr mer dejro huell e el desrrollo de mi crrer. Especilmete Ferdo Rodriguez, compñero y migo que si importr ls circustcis siempre me bridó y se que siempre me bridrá su poyo, compresió y criño. A l Uiversidd Distritl Frcisco José de Clds y demás istitucioes de educció que h cotribuido e mi formció cdémic sí como los docetes de cd u de ests istitucioes. A ls demás persos que cotribuyero de u u otr mer l filizció de este ciclo. A todos los teriormete meciodos o tego mer de grdecerles. I

4 Ídice geerl INTRODUCCIÓN IV. PRELIMINARES.. L itegrl como áre Itegrl Riem-Drboux Itegrl de Riem-Stieltjes Itegrl de Lebesgue Alguos teorems importtes LA INTEGRAL DE HENSTOCK-KURZWEIL (GENERALIZADA DE RIEMANN) Motivció Defiicioes Alguos ejemplos importtes Teorems relevtes pr el cálculo de l itegrl geerlizd de Riem Teorem fudmetl del cálculo Teorems de sustitució Itegrles impropis II

5 2.6. Itegrles idefiids Covergeci Alizdo l covergeci UNA NOTA SOBRE TEORÍA DE LA MEDIDA Defiicioes básics Resultdos e medid APÉNDICE 62 Referecis III

6 Itroducció E el siguiete trbjo se presetrá l itegrl de Hestock-Kurzweil que fue propuest por Jroslv Kurzweil y Rlph Hestock estudido los priciples resultdos obteidos e cuto l coveieci de l mism frete l itegrl de Riem y l de Lebesgue. Presetremos lguos de los problems más relevtes de ls itegrles meciods y como l itegrl de Hestock-Kurzweil resuelve dichos problems y mejor l myorí de resultdos obteidos e ls teorís de itegrció usul y bstrct. El siguiete trbjo expoe u mer ltertiv de bordr resultdos sigifictivos e el áre de álisis más específicmete e l teorí de itegrció. E el primer cpítulo se plte u peqeñ discusió sobre los teorems crcterísticos de ls diferetes itegrles que hoy por hoy so ls más usds, presetdo sus vetjs y expoiedo de mer breve l rzó por l cuál so coveietes e el proceso de predizje. E el segudo cpítulo se expoe l itegrl de Hestock-Kurzweil, sí como sus vetjs sobre ls demás itegrles que se estudiro previmete, presetmos ejemplo que sirve pr evidecir l geerlidd y comodidd de est itegrl. E el tercer cpítulo se expoe brevemete u mer ltertiv de estudir teóri de l medid, utilizdo l itegrl de Hestock-Kurzweil. IV

7 CAPÍTULO Prelimires E este cpítulo se preset lguos coceptos, defiicioes y teorems ecesrios pr el trbjo desrrollr. Se precisrá lguos coceptos fudmetles que permite dr setido ls defiicioes que se mej posteriormete. Se propoe lguos ejemplos pr ilustrr... L itegrl como áre El efoque que se dquiere e est secció es el de buscr el áre bjo u curv (iicilmete ése será el suto). El método, que se remot Arquímedes y Eudoxo (método de exhusió), cosiste e l divisió de l mism e vris áres secills de clculr. L sum de ls áres proporcio u proximció ceptble l áre de iterés. Pr este fi, es preciso poder defiir u mer de reprtir los putos del domiio de u fució, lo que se logr medite el cocepto de prtició. Defiició. (Tomd de [Spi2, p. 347]) Se defie u prtició P del itervlo [, b] como {t i } i= dode t i [, b] pr todo i tl que 0 i de los cules uo es y otro es b. L terior defiició es fudmetl y e ell se bs l myorí de ls demostrcioes de teorems que se v trbjr. Ejemplo. Cosideremos el itervlo [ 2, 2]. Observemos lgus prticioes posibles.

8 P = { 2, 2} coocid como l prtició trivil. P 2 = {0,.2,.5, 2}. P 3 = { 2,, 0,, 2}. Nótese que ls prticioes P y P 3 determi subitervlos [ 2, 2] y {[ 2, ], [, 0], [0, ], [, 2]} respectivmete, mietrs que P 2 o es u prtició de [ 2, 2]. Pr culquier prtició es posible etiquetr los elemetos de mer que Así obteemos e este cso prticulr. = t 0 < t < < t = b. P 2 = { 2,.5, 0,.2, 2}. L cul sí defie subitervlos de [ 2, 2]. E delte gr prte del trbjo se desrroll sobre fucioes cotds. Otro de los coceptos que es preciso teer clro tes de bordr l itegrl es el de sums iferiores de l fució f que se ot co L( f, P) y sums superiores de l fució f otds como U( f, P) co respecto u prtició P. Pr ello se mostrrá u ejemplo gráfico dode se pretede clrr el cocepto. Ejemplo 2. Sums superiores e iferiores. Cosideremos l fució f (x) = e x e el itervlo [0, ] y P = {0,0.2,0.4,0.6,0.8,}. Est fució es moótomete creciete luego m i = f (t i ) = e t i y por como est dispuest e este cso l prtició t i t i =0.2 co i =, 2, 3, 4, 5. L sum del áre de los rectágulos bjo l curv es lo que se cooce como l sum iferior de l fució f pr l prtició P es decir L( f, P ) = 5 e t i i= ( ). 5 2

9 Cosideremos l fució f (x) = 5 x2 e el itervlo [0, 5] y P 2 = {0,, 2, 3, 4, 5}. Est fució es moóto creciete luego M i = f (t i ) = 5 (t i) 2 y e este cso, t i t i = co i =, 2, 3, 4, 5. L sum del áre de los rectágulos sobre l curv es lo que se cooce como l sum superior de l fució f pr l prtició P 2 es decir 5 U( f, P 2 ) = 5 (t i) 2 (). i= Co ls herrmiets dquirids teriormete se procederá relizr l defiició de itegrl.... Itegrl Riem-Drboux Defiició. (Tomd de [Spi2, p. 355]) Se f u fució cotd sobre [, b], f se dice itegrble sobre [, b] si sup{l( f, P)} = íf{u( f, P)} dode P, es culquier prtició de [, b] y L( f, P), U( f, P) represet ls sums iferiores y superiores respectivmete. Dicho úmero recibe el ombre de itegrl de f sobre [, b]. Ejemplo 3. ([Spi2, p. 376], problem ) Demostrr que igules. 0 x 3 dx = b4 4 cosiderdo prticioes e subitervlos E efecto, se f (x) = x 3. Cosideremos, si perdid de geerlidd, ls prticioes de [0, b] P = {t 0,, t } de mer tl que t i t i = b pr 0 i. Esto es u prtició regulr que determi subitervlos igules. Ddo que l fució x 3 es moótomete creciete se tedrá que m i = (t i ) 3 y M i = (t i ) 3. 3

10 Co lo terior se tiee que U( f, P ) = = = i= i= M i (t i t i ) i ) i=(t 3 b ( i b = b4 4 i 3 i= = b4 ) 3 b ( + ) Aálogmete se obtiee L( f, P ) = b4 4 (+) 2 4, de dode podemos cocluir que lo que cocluye l prueb. íf U( f, P ) = sup L( f, P ) = b4 4, Crcterizció A cotiució se preset lguos de los criterios más relevtes que permite determir si u fució f tiee itegrl. L siguiete codició es suficiete pr que f R[, b] ( f es itegrble e el setido de Riem e [, b]). Teorem.. Si f es cotiu e [,b] etoces f es itegrble e [,b]. L demostrció del teorem terior se preset e detlle y de mer geerl e l siguiete secció. Observció. Cbe clrr que el recíproco de este teorem, o ecesrimete es cierto bst cosiderr l fució { x [0, g(x) = 2 ] 0 x ( 2, ] y l prtició de [0, ] P 2 = {0, 2, }. Pr u fució costte l prtició trivil es suficiete. Es clro que l fució g(x) o es cotiu e [0, ] y 0 g(x) = 2. Teorem.2. Si f est cotd sobre [, b] etoces f es itegrble sobre [, b] si y solo si pr todo ɛ > 0 existe u prtició de [, b] tl que U( f, P) L( f, P) < ɛ. L prueb de est equivleci se puede ecotrr e [Spi2, p ]. 4

11 .2. Itegrl de Riem-Stieltjes E est secció se presetrá u itegrl u poco más geerl. E relidd el trbjo que se reliz es bstte similr l de l secció terior, slvo cierts modificcioes y clrcioes que se relizrá e el mometo pertiete. E lo que rest de est secció se cosiderrá itervlos cerrdos de R de l form [, b] y fucioes, que meos que se idique lo cotrrio, será fucioes reles cotds. Defiició. (Tomd de [Apo74, p. 4]) Se P = {x 0, x..., x } u prtició de [, b] tl y como se defiió e l secció terior. P es u refimieto de P (ó más fi que P) si P P. P deot l orm de l prtició P, defiid como es l logitud del subitervlo más lrgo defiido por P. α k = α(x k ) α(x k ). L defiició terior es l bse de los coceptos que se preset cotiució, pr el desrrollo de l itegrl de Riem-Stieljes presetremos u defiició de sum como sigue. Defiició. (Tomd de [Apo74, p 4]) Se P = {x 0, x..., x } u prtició de [, b] y se t k u puto e el subitervlo [x k.x k ]. L sum de l form S(P, f, α) = f (t k ) α k. k= Es llmd u Sum de Riem-Stieltjes e l prtició P de f co respecto α e [, b]. A cotiució se presetrá u ejemplo que permit u visió u poco más clr de l defiició terior. Ejemplo 4. Clculr S(P, f, α) e [, ] dds ls siguietes codicioes. f (x) = c, co c u costte, pr todo x R. 2. P = {, +, α(x) = x 2.,..., +, 0, + +,..., , +, }. Pr ello, clculremos primero de mer explícit α k. Esto es α k = α(x k ) α(x k ). 5

12 E uestr prtició teemos que x k = + k x k = + k. De dode obteemos que Sumdo como se pide S(P, f, α) = α k = 2k = c 2 ( 2k c k= 2 k= = c(0) = ( 2k ) ) Como se hbí meciodo co terioridd el objetivo de l secció es, medite l sum que se cb de expoer, defiir l itegrl de Riem-Stieltjes como sigue. Defiició. (Tomd de [Apo74, p. 4]) Nosotros decimos que f es Riem-itegrble co respecto α e [, b] y escribimos f R(α) e [, b] si existe u úmero A co l siguiete propiedd. Pr todo ɛ > 0, existe u prtició P ɛ de [, b] tl que pr tod prtició P más fi que P ɛ y pr todos los putos t k e [x k, x k ] se tiee que S(P, f, α) A < ɛ. Escribimos existe. f dα = A o f dα(x) = A. Esto es lo mismo que decir que l itegrl de Riem-Stieltjes Observció. Cbe resltr que l Itegrl de Riem-Drboux es u cso prticulr de l itegrl defiid teriormete. (α(x) = x) E l defiició terior f recibe el ombre de itegrdo y α recibe el ombre de itegrdor. Ejemplo 5. Se mostrrá cotiució el cálculo de l itegrl de Riem-Stieltjes de l fució f (x) = c co respecto l itegrdor α(x) = x 2 e el itervlo [, ]. Es clro que si pr todo ɛ > 0 tommos P ɛ = P como e el ejemplo 4, obteemos que pr tod prtició P más fi que P ɛ S(P, f, α) = 0. f dα 6

13 Co lo que se obtiee que cdα(x) = 0. Es importte hcer otr que pesr de que l fució que estmos itegrdo es costte, si tommos c > 0 por ejemplo y α 0, l itegrl o ecesrimete es myor que cero. Es decir que este tipo de itegrl o ecesrimete mide áre. Crcterizció E este puto es importte hcer otr que l itegrl de Riem-stiltjes cumple ls propieddes de lielidd respecto l itegrdo y l itegrdor, esto es. Teorem.3. Si f R(α) y si g R(α)e[, b] co c, c 2 costtes, se tiee que. (c f + c 2 g)dα = c f dα + c 2 gdα Además si f R(α) y f R(β) e [, b], etoces, f R(c α + c 2 β) e [, b] y se cumple que. f d(c α + c 2 β) = c f dα + c 2 f dβ Est demostrció se omitirá e el presete trbjo, puede ser cosultd e [Apo74, p. 72] Teiedo e mete que l itegrl de Riem-Stieltjes es u geerlizció de l itegrl de Riem-Drboux l myorí de teorems puede ser defiidos o delimitdos pr el cso de l últim. Veremos lguos teorems, ejemplificdo cudo se ecesrio, que so de gr utilidd pr resolver o clculr itegrles de Riem- Stieltjes y que e lguos csos el cálculo de ls misms es lborioso. Teorem.4. Si f R(α) e [, b], etoces α R( f ) e [, b] y se cumple que. f (x)dα(x) + α(x)d f (x) = f (b)α(b) f ()α(). El teorem terior se cooce como l fórmul de itegrció por prtes. Demostrció. Ddo ɛ > 0, y que prtició P que se más fi que P ɛ se tiee que f dα existe, se tiee que existirá u prtició P ɛ de [, b] tl que pr tod S(P, f, α) f dα < ɛ. Veremos hor que α R( f ) pr ello cosideremos u sum de Riem-Stieltjes rbitrri pr sigue S(P, α, f ) = α(t k ) f k. k= αd f como 7

14 De dode podemos obteer l siguiete form equivlete (utilizdo l defiició l iicio de l secció) S(P, α, f ) = k= α(t k ) f (x k ) k= α(t k ) f (x k ), (.) e dode l prtició P que cosidermos es más fi que P ɛ. Por otr prte, si llmmos A = f (b)α(b) f ()α() y obteemos u expresió equivlete pr ello e térmios de l prtició P de l siguiete mer A = k= f (x k )α(x k ) k= f (x k )α(x k ). (.2) Es clro que l terior expresió es ciert y que los sumdos se ul si k = e l segud sum o k = e l primer sum. Y que tods ls sums que se costruyero tes, tiee los mismos límites, tiee setido relizr l difereci etre (.2) y (.) co lo que se obtiee A S(P, α, f ) = k= f (x k )[α(x k ) α(t k )] k= f (x k )[α(t k ) α(x k )]. Si osotros cosidermos u prtició P que coteg tto los putos x k como los t k vemos que l expresió terior correspode u sum de Riem-Stieltjes de l form S(P, f, α) y demás l prtició P result ser más fi qe P ɛ (por ser más fi que P). Teemos el siguiete resultdo A S(P, f, α) f dα < ɛ. Cbe resltr que todo el trbjo terior se relizó bsádose e que l prtició P se más fi que P ɛ y uestr coclusió se sigue y que A S(P, f, α) f dα = = S(P, f, α) + A f dα S(P, f, α) (A f dα) < ɛ. Lo que idic justmete que αd f existe y demás αd f = [ f (b)α(b) f ()α()] f dα. 8

15 Ates de proceder co u ejemplo que demuestr l mer e l cul l itegrció por prtes puede ser utilizd pr simplificr el cálculo de lgus itegrles de Riem-Stieltjes, presetremos lguos resultdos importtes. Teorem.5 (Reducció u itegrl de Riem). Supogmos que f R(α) e [, b] y supogmos que α posee u derivd α cotiu e [, b]. Etoces l itegrl de Riem f (x)dα(x) = f (x)α (x)dx existe y se verific f (x)α (x)dx. L prueb de este teorem se omite e el presete documeto puede ser cosultd e [Apo74, p. 76]. Si embrgo cbe resltr l importci del mismo. Pr ver más clro el lcce del Teorem terior cosideremos culquier fució e el cojuto C [, b] como itegrdor de l fució f R(C [, b]) el teorem terior grtiz que f (x)dα(x) existe. Observció. Como se mecioó teriormete l itegrl de Riemm es u cso prticulr de l que estudimos e est secció. Es por ello que deberímos poder dotr de lgus codicioes ls fucioes itegrdor, itegrdo pr obteer l fórmul de itegrció por prtes que coocemos pr el cso de l itegrl de Riem. Pr ello y teiedo e cuet el Teorem.5 es rzoble cosiderr que si α(x) C [, b], f R(α) y f R, etoces plicdo l itegrció por prtes obteemos que Por plicció direct del Teorem.5 f (x) dα(x) + f (x) dα(x) = f (b)α(b) f ()α(). f (x)α (x) dx = [ f (b)α(b) f ()α()] L cul correspode co l itegrció por prtes de Riem. = [ f (x)α(x)] b α(x) f (x) dx. α(x) d f (x) El siguiete ejemplo ilustr u de ls situcioes e l que l combició de l itegrció por prtes pr ls itegrles de Riem-Stieltjes y otros resultdos permite relizr cálculos efectivos. Ejemplo 6. ([Apo74, p. 23], problem 7.6.) Utilizr l fórmul de sumció de Euler o l itegrció por prtes e u itegrl de Stieltjes pr deducir l siguiete idetidd: k = l x [x] k= x 2 dx +. 9

16 E efecto vemos que x [x] x 2 dx = = l dx x [x] x 2 dx [x] x 2 dx. Usdo l reducció u itegrl de Riem pr l itegrl de l derech [x] x 2 dx = [x] d ( ). x Aplicdo itegrció por prtes l últim expresió se obtiee ( ) [x] d = [] x x d[x] = x d[x]. Existe diferetes mers de ver u itegrl de Riem-Stieltjes como u sum fiit, u de ells es cudo el itegrdor es l fució prte eter [Apo74, p. 80]. De esto se deduce que x d[x] = k. k=2 De mer turl podemos cocluir l iguldd que se pedí. El trbjo que se expodrá cotiució se reliz co itegrdores que so fucioes esclods, permitiedo observr u desrrollo ltertivo de ls itegrles de Riem-Stiltjes como sums fiits. Co esto es posible relizr cálculos co cierto grdo de comodidd pesr de que l teorí es bstte restrigid e este setido. Pr ello recordremos l defiició de fució esclod. Defiició. (Tomd de [Apo74, p. 79]) A u fució α defiid e [, b] se le llm fució esclod si existe u prtició = x < x 2 < < x = b, de modo que α se costte e cd subitervlo bierto (x k, x k ). A cotiució se presetrá l fórmul de sumció de Euler y u ejemplo medite el cuál se pretede clrr l utilidd de dich fórmul. Teorem.6 (Fórmul de sumció de Euler.). Si f posee derivd cotiu f e [, b], etoces se tiee f () = f (x)dx + f (x)((x))dx + f ()(()) f (b)((b)). < b 0

17 E dode ((x)) = x [x]. Si y b so eteros, se obtiee Observció. b ( f () = f (x)dx + f (x) x [x] ) dx + = 2 sigific l sum desde = [] + = [b]. < b f () + f (b). 2 Como se puede observr, l fórmul de l defiició terior permite relizr proximcioes de sums fiits e los vlores eteros de u fució por medio de su itegrl de Riem-Stieltjes e itervlos defiidos. L prueb del teorem pesr de ser relevte, puede ser omitid por el efoque del trbjo se est relizdo. Pr cosultrl remitirse [Apo74, p. 8]. Ejemplo 7. ([Apo74, p. 23], problem 7.6.) Utilizr l fórmul de sumció de Euler o l itegrció por prtes e u itegrl de Riem-Stieltjes pr deducir l siguiete idetidd: k= k s = s + s [x] dx xs+ si s =. E efecto, utilizdo l fórmul de sumció de Euler, obteemos k= k s = ( ) ( x s dx + x s x [x] ) + dx + s, 2 2 por ser e este cso los extremos de los itervlos eteros (, ). Etoces k= k s = = x s+ ( ) x s dx + x s xdx s + ( x s+ ) s s + = s+ s s+ + s s + = s + s [x] dx. xs+ + s + s ( ) x s [x]dx [x] x s+ dx + s 2 [x] x s+ dx + ( x s s ( ) x s s + + s 2 2 dx + + ) + + s 2 s 2 Como se querí mostrr, si lizmos el desrrollo del ejercicio es clro que o se requirió de gr tecologí pr cocluir y que de lgu mer l itegrles de Riem-Stieltjes permite relizr proximcioes secills.

18 Alizremos hor lgus de ls propieddes útiles de ls itegrles de Riem-Stieltjes. Ates de proceder ello recordemos que l itegrl de Riem-Drboux es e térmios geerles, u cso prticulr de l primer. Es por ello que ls pruebs y resultdos obteidos e está secció so plicbles e l primer, gurddo ls covecioes y restriccioes que se teg lugr. Teorem.7 (Desiguldd trigulr.). Supogmos que α es creciete e [, b]. Si f R(α) e [, b] etoces f R(α) e [, b] y se tiee f (x)dα(x) f (x) dα(x). L desiguldd trigulr es u resultdo que e mtemátics puede ser ecotrdo e diferetes cotextos y que tiee diferetes pliccioes. L demostrció pr éste se ecuetr e [Apo74, p. 88]. E este documeto o se preset u prueb forml, pero se reliz u slvedd que se cosider de vitl importci. Observció. El reciproco del teorem terior o ecesrimete es cierto como se puede observr e el siguiete ejemplo. Ejemplo 8. ([Apo74, p. 25], problem 7.2) Dr u ejemplo de u fució cotd f y de u fució creciete α defiids e [, b] tles que f R(α) pero pr ls que f dα o existe. Pr ello cosideremos el cso prticulr α(x) = x y trbjemos co u itegrl de Riem, se l fució f defiid como sigue si x [, b], x Q f (x) = si x [, b], x / Q E este cso es clro que f (x) = co x [, b] de dode f (x) dx = (b ). Así otr prte, cosiderdo por ejemplo ɛ = 2 o existe igu prtició tl que dich itegrl exist. f (x) dα(x) existe. Por Presetremos hor otro de los resultdos más coocidos y plicdos e diferetes teorís. Recordemos que existe vrios efoques por medio de los cules podemos llegr l resultdo que se preset cotiució. Seguiremos l idicció de T.M. Apostol. Teorem.8 (Desiguldd de Cuchy-Schwrz.). ([Apo74, p. 25], problem 7.6) Si f R(α), f 2 R(α), g R(α) y g 2 R(α) e [, b], probr que 2 f (x) f (y) g(x) g(y) 2 dα(y) dα(x) = ( ) ( ) f (x) 2 dα(x) g(x) 2 dα(x) ( 2 f (x)g(x)dα(x)). 2

19 Cudo α es creciete e [, b], deducir l desiguldd de Cuchy-Schwrz Demostrció. E efecto ( 2 ( f (x)g(x)dα(x)) ) ( ) f (x) 2 dα(x) g(x) 2 dα(x). 2 f (x) f (y) g(x) g(y) 2 dα(y) dα(x) = 2 [ De dode si pérdid de geerlidd obteemos = ( [ f (x)g(y)] 2 2 [ f (x)g(y)] [ f (y)g(x)] + [ f (y)g(x)] 2) ] dα(y) dα(x). ( 2 f (x) 2 dα(x) g(x) 2 dα(x) f (x)g(x)). Y que α(x) es creciete, se tiee que 2 f (x) f (y) g(x) g(y) 2 dα(y) dα(x) 0. De mer turl ( 2 ( f (x)g(x)) ) ( ) f (x) 2 dα(x) g(x) 2 dα(x). E cuto ls propieddes y resultdos de ls itegrles de Riem-Stieltjes, serí imposible psr por lto los teorems fudmetles del cálculo itegrl. A cotiució se relizrá l presetció de mbos, se ejemplificrá e dode se cosider pertiete hcerlo. Teorem.9 (Primer Teorem Fudmetl del Cálculo.). ([Apo74, p. 96], teorem 7.32) Se α u fució de vrició cotd e [, b] y supogmos que f R(α) e [, b]. Defiimos F por medio de l ecució F(x) = x f dα si x [, b]. Etoces se tiee que si α es creciete e [, b], l derivd de F (x) existe e cd puto x de (, b) e que α (x) exist y f se cotiu. Pr tles x, se tiee F (x) = f (x)α (x). 3

20 Observció. Ates de presetr l demostrció del teorem, es ecesrio mecior el siguiete teorem. Teorem.0 (Primer Teorem del vlor medio pr itegrles de Riemm-Stieltjes.). ([Apo74, p. 95], teorem 7.30) Supogmos que α es creciete y que f R(α) e [, b]. Si M y m desig respectivmete el sup y el íf del cojuto { f (x) : x [, b]}, etoces existe u úmero rel c que stisfce m c M tl que f (x) dα(x) = c dα(x) = c [α(b) α()]. E prticulr, si f es cotiu e [, b], etoces c = f (x 0 ) pr cierto x 0 de [, b]. Estmos hor e codicioes de presetr u prueb pr el Teorem.9. Demostrció. (Teorem.9) Si x = y por el Teorem de Vlor Medio teemos que pr itegrles de Riemmstielejes, existe C tl que m c M y demás F(y) = x f dα ; F(y) F(x) = y x f dα = c[α(y) α(x)] Tomdo x fijo, el límite cudo y x de F(y) F(x) y dividiedo etre y x, teemos De dode F(y) F(x) c[α(y) α(x)] lím = lím. x y y x x y y x F (x) = lím x y c α (x). hor, por l cotiuidd de f cocluimos que c = f (x) cudo x tiede y El siguiete ejemplo poe e evideci cómo el primer Teorem Fudmetl del Cálculo Itegrl puede ser utilizdo pr l resolució de itegrles de Riem-Stieltjes. Ejemplo 9. ([Apo74, p. 26], problem 7.9) Defiir ( x 2 f (x) = e dt) t2, g(x) = 0 0 e x2 (t 2 +) t 2 + dt. ) probr que g (x) + f (x) = 0 pr todo x y deducir que g(x) + f (x) = π/4. Por el Primer Teorem Fudmetl, pr f (x) se tom ( y ) f (x) = 2 e t2 dt e x2 0 ( x ) = 2e x2 e t2 dt 0 4

21 y pr g(x) = 0 e x2 (t 2 +) t 2 dt se tiee que + Si g (x) + f (x) = 0 quiere decir que y 0 g (x) = 0 x (e x2 (t2 +) t 2 + dt ) x = 2e x2 0 e 2 d. g (x) + f (x)dx = c g (x) dx + f (x dx = c g(x) + f (x) = c e x2 (t 2 +) ( x 2 t 2 + dt + e dt) t2 = c 0 hciedo x = 0, teemos que 0 dt t 2 + = c t (x) = π 0 4. Teorem. (Segudo Teorem Fudmetl del Cálculo.). ([Apo74, p. 97], teorem 7.34) Supogmos que f R e, b. Se g u fució defiid e [, b] tl que l derivd g exist e (, b)y cuyo vlor se g (x) = f (x) pr cd x de (, b) Supogmos demás que, e los extremos, los vlores g(+) y g(b ) existe y stisfce g() g(+) = g(b) g(b ). Etoces se tiee que f (x)dx = g (x)dx = g(b) g(). Demostrció. Pr cd prtició P = {x,..., x } de [, b], podemos escribir g(b) g() = k= [g(x k ) g(x k )] Como g es derivble, etoces es cotiu e (, b). Por el Teorem del Vlor medio, pr cd k, existe t k tl que g (t k ) = g(x k) g(x k ) x k x k 5

22 etoces f (t k ) x k = g(x k ) g(x k ). De dode, podemos expresr g(b) g() de l siguiete mer Pero como f R e [, b] Luego se deduce que g(b) g() = k= f (t k ) x k f (t k ) x k. k= f dx < ɛ. f dx = g(b) g(). Criterios Itegrbilidd Existe diferetes criterios pr determir si u fució posee o o itegrl. A cotiució se bordrá es cuestió pr ls itegrles de Riem-Drboux. Teorem.2 (Criterio de itegrbilidd). Si f es cotiu e [, b], etoces existe Demostrció. Si f es cotiu e [, b], pr todo x, y [, b] se tiee que pr todo ɛ > 0, existe δ > 0 tl que si x y < δ, implic que f (x) f (y) < ɛ. Cosideremos P = {x 0,...x } tl que si x i < δ co i, como cd [x k, x k ] es compcto e R y f : R R es cotiu, luego f dquiere u vlor máximo y míimo e cd itervlo. Llmemos m i y M i dichos míimos y máximos respectivmete. Así M i m i < δ. Como f es uiformemete cotiu f (M i ) f (m i ) < ɛ, co lo que Al restrlos, teemos: U( f, P) L( f, P) = f dx U( f, P) = f (M i ) x i. i= L( f, P) = f (m i ) x i. i= i= i= < ɛ ( f (M i ) f (m i )) x i x i = ɛ(b ). 6

23 de dode, hciedo δ = ɛ, l fució result ser itegrble. (b ) Observció. Es imedito pesr e el reciproco del teorem terior y o hce flt mucho pr ver de que es flso. Bst cosiderr u fució costte co lgú slto, l cul o es cotiu, pero evidetemete posee itegrl. Podemos otr que el criterio terior es bstte restrigido y que muchs de ls fucioes que se debe estudir de mer cotidi o so cotius. Es por ello que se mostrrá u criterio que es el más geerl que se puede ecotrr e relció co l cotiuidd. Teorem.3 (Criterio de Lebesgue pr l itegrbilidd de Riem). Se f u fució defiid y cotd e [, b] y se D el cojuto de ls discotiuiddes de f e [, b]. Etoces f R e [, b] si, y solo si, D tiee medid cero. El teorem terior es de vitl importci pr el desrrollo de este trbjo. De hecho u próximo cpítulo se dedicrá específicmete l desrrollo de teorí de Lebesgue, lo que turlmete comprede l teorí de itegrció. E ese mometo se drá u prueb del teorem terior. Esto o quiere decir que co los coceptos proporciodos hst el mometo o pued relizrse dich demostrció. Est se ecuetr e [Apo74, p. 208]. Se mostrrá el lcce de este teorem medite u ejemplo que grtiz l itegrció sobre u cojuto especil, el cojuto de Ctor. ( Ejemplo 0. ([Apo74, p. 28], problem 7.32) Se I = [0, ] y se A = I 3, 2 ) el subcojuto de I obteido 3 [ suprimiedo e I los putos del itervlo bierto que costituye el tercio cetrl de I; esto es, A = 0, ] [ ] 2 3 3,. [ Se A 2 el subcojuto de A obteido suprimiedo el tercio cetrl bierto de 0, ] [ ] 2 y el de 3 3,. Cotiur este proceso y defiir A 3, A 4,.... El cojuto C = A se llm cojuto de Ctor. Probr que = C es u cojuto compcto que tiee medid cero. x C si, y sólo si, x = C es o umerble. 3, e dode cd o es 0 o es 2. = Se f (x) = si x C, f (x) = 0 si x / C. Probr que f R e [0, ]. E efecto, podemos ver que cd A es cerrdo pr todo, sí C result ser cerrdo. Por otr prte y que C A el cul es compcto e R, C result ser compcto. Además podemos ver que pr cd A l medid del mismo viee dd por µ(a ) = ( 2 3 ) y tedremos tmbié que µ ( = A ) = lím µ(a ) 7

24 De dode podemos ver que µ(c) = 0. Supogmos hor que x C, expresemos x como x = 3 + b (Pr u b decudo). Así, como x A se tedrá que = 0 ó = 2 (Por ser 0 y 2 3 los extremos izquierdos de los itervlos que compoe A ). Además como x A 2 escribmos x = b 2(Pr u b 2 decudo), podemos ver que 2 = 0 ó = 2 = 2. Esto es [ x 0, ] si 9 = 0, 2 = 0. [ 2 x 9, 3 ] si 9 = 0, 2 = 2. [ 6 x 9, 7 ] si 9 = 2, 2 = 0. [ ] 8 x 9, si = 2, 2 = 2. De lo terior podemos ver que = 0 ó = 2 (medite iducció sobre ). Así x = si x = = 3. Por otr prte, = 3 e dode cd o es 0 o es 2. L costrucció terior muestr de mer clr que x C y que por tto C es o umerble. L represetció que cbmos de costruir pr los úmeros e el cojuto de Ctor C es coocid como l represetció terri y sigue el mismo pricipio de represetr úmeros del sistem deciml e bse 2. De lo terior vemos que si x C podemos hcer u represetció de x como (, 2, 3,...), dode cd i es 0 o 2 co i N. Esto muestr que el cojuto de Ctor es o umerble y que ls sucesioes que se compoe de 2 y 0 so o umerbles. L fució f (x) es costte slvo sobre el cojuto de Ctor, es decir que f cumple ls hipótesis del Criterio de Lebesgue pr l itegrbilidd de Riem, por tto f R([0, ]). Por otr prte se I = [0, ] e este cso quitremos el itervlo cetrl co logitud de I e l primer iterció, [ 4 de dode S = 0, 3 ] [ ] 5 8 8,. Esto es, situdos e l mitd de I quitr u itervlo bierto de logitud e mbs direccioes. Repitiedo este proceso e l segud iterció result que S 2 = 0, [ ] [ , 3 ] [ 5 8 8, 25 ] [ ] ,. Defíse S = S. = S es coocido como el cojuto de Smith-Volterr-Ctor el cul tiee u costrucció similr l cojuto de Ctor. Comprte vris propieddes co éste. Nos cetrremos e u que o tiee e comú, l medid. 8

25 Como e cd iterció estmos elimido 2 itervlos biertos disyutos cd uo de ellos de logitud 2 2 podemos cosiderr l medid de S que represetremos co m(s) como m(s) = = = 2. Observció. Podemos resltr u propiedd de mbos cojutos que es prticulr iterés y es que iguo de ellos cotiee u itervlo. L prueb pr el cojuto de Ctor l podemos ecotrr e [Rud76, p. 4]. Esto geerlmete se cooce tmbié como que mbos cojutos so completmete descoectdos. Es clro por lo terior que l fució f del ejemplo 0. Defiid e el cojuto de Smith-Volterr-Ctor e vez del cojuto de Ctor o es itegrble e el setido de Riem, debido que el cojuto dode l fució es discotiu tiee medid. Este ejemplo dej ver los problems que preset l itegrció de Riem (El 2 cojuto de fucioes que se puede itegrr es restrigido). Cbe pregutrse si existe u itegrl que permit subsr estos y otros ttos icoveietes que se preset co dich itegrl. L terior discusió y el ejemplo 0 os d u primer oció de l geerlidd que se preteder obteer co el desrrollo de l teorí de Lebesgue, el siguiete cpítulo est dedicdo ello. = = Itegrl de Lebesgue E el desrrollo de l itegrl más geerl que se trbj e l ctulidd (itegrl de Lebesgue) es ecesrio poyros e diferetes coceptos y teorís que podrá llegr resultr uevs pr lguos estudites. Rzó por l cul es ecesrio cotextulizr y expoer de mer breve dichos coceptos. Comezremos est dicusió co dos defiicioes sobre ls cules bsmos el desrrollo de tod l secció. Cbe resltr que o so ls úics relevtes pero por hor so relmete idispesbles. Defiició. (Tomd de [Br, p. 6]) U fmili X de subcojutos de u cojuto X es llmd u σ álgebr (o u σ cmpo) e cso que., X está e X. 2. Si A está e X, etoces el complemeto A c = X \ A está e X. 3. Si (A )es u sucesió de cojutos e X, etoces l uió A está e X. = 9

26 De est defiició podemos iferir directmete que l iterseció umerble de cojutos e X, tmbié está e X. Bst cosiderr el complemeto de A. Veremos hor lguos ejemplos de σ álgebr. = Observció. Cbe resltr que por hor o se h meciodo d cerc de los cojutos X sobre los que estmos defiiedo uestr σ álgebr, que e pricipio podrí ser culesquier. Por hor se le pide l lector que sum esto como l primer geerlizció importte, e el setido que sobre ests σ álgebrs defiiremos posteriormete l itegrl de Lebesgue. Ejemplo. Se X culquier cojuto, ls siguietes so ls σ álgebrs más secills e imedits l ituició. X = P(X). L colecció de todos los subcojutos de X (Prtes de X). X = {, X}. Coocid como l σ álgebr trivil. Existe relcioes etre diferetes σ álgebrs defiids e el mismo cojuto X. Se X, X 2 σ álgebrs de subcojutos de X se tedrá que X X 2 es u σ álgebr. Bst cosiderr cd elemeto de X X 2, como elemetos de cd σ álgebr. De mer geerl, se {X } u colecció de σ álgebrs sobre u cojuto X X α α A es u σ álgebr. Presetremos hor u defiició que podrí relciorse de mer estrech co el cocepto de topologí iducid, co sus respectivs restriccioes l teorí que estmos desrrolldo. Defiició. (Tomd de [Br, p. 7]) Se A u subcojuto o vcío de u cojuto X. L σ álgebr más pequeñ que cotiee A es llmd l σ álgebr geerd por A. De mer turl osotros observmos que dich σ álgebr es l itersecció de tods ls σ álgebrs que cotiee A. Uo de los ejemplos más importtes de dichs álgebrs es l σ álgebr de Borel. Ejemplo 2. Se X = R, l σ álgebr de Borel (B) es l geerd por todos los itervlos biertos (, b) e R. Si E B diremos que E es u cojuto de Borel. Observció. Es importte eteder que co diferetes cojutos se puede geerr l mism σ álgebr como es el cso de B, vemos Ejemplo 3. ([Br, p. 4], problem 2.B) Muestre que el álgebr de Borel B es tmbié geerd por l colecció de todos los itervlos semibiertos (, b] = {x R : < x b}. Tmbié muestre que B es geerd por l colecció de tods los itervlos de cols bierts {x R : x > } co R. 20

27 E efecto, pr ello veremos que cd cojuto del geerdo de (, b] est coteido e B y que el reciproco tmbié es cierto. Supogmos que < b es posible escribir (, b] = = (, b + ) El cul es por defiició u elemeto de B. Por otr prte se (, b) B vemos que (, b) = = (, b ] Ahor cosideremos u itervlo de l form (, + ) el cul es por defiició u itervlo bierto es decir (, + ) B por otro ldo vemos que podemos escribir (, b) = = (, b ] (, + ) L coclusió se sigue. Ddo que (, b] perteece l σ álgebr geerd por (, + ) Lleg el puto dode podremos crcterizr el cojuto de dode se extre u σ álgebr, lo dotremos de u estructur de espcio. Etederemos por espcio de medid o espcio medible l dupl (X, X) dode X es u σ álgebr de cojutos de X. Se sobreetiede que y hemos presetdo vrios ejemplos de est defiició. Por el mometo se presetró lguos coceptos que se relcio de mer estrech e el cmio que se tomó pr estudir l itegrl de Lebesgue, o podemos olvidr que ese es el objetivo fil. Trbjremos hor co uestro objeto de estudio, fucioes. Defiició. (Tomd de [Br, p. 7]) U fució f de X e R se dice que es X medible (o simplemete medible), si pr cd úmero rel α el cojuto está e X. {x X : f (x) > α} Existe u equivleci co respecto l defiició terior, l cul hce que l mism se muy versátil y secill de trbjr. Se puede cosultr e [Br, p. 8]. Observció. Est defiició puede ser extedid pr fucioes vlor rel extedido. Esto es f : X R {+, }. Al cojuto de tods ls fucioes medibles de X co l σ álgebr X vlor rel extedido lo deotremos como M(X, X). Pesdo e X = R y X = B el primer ejemplo que slt l vist es de ls fucioes cotius, y que si f es cotiu f ((α, + )) es u cojuto bierto. L coclusió se sigue de l defiició de B. Es posible crcterizr ls fucioes medibles medite el siguiete ejemplo. 2

28 Ejemplo 4. ([Br, p. 7], problem 2.P) Se (X, X) u espcio de medid y f u fució vlor rel defiid e X. Muestre que f es X medible si y solo si f (E) X pr todo cojuto de Borel E. Es clro que u de ls dos impliccioes se tiee por defició de fució medible fijdo α R (el reciproco). Pr ver l implició direct primero debemos recordr que l imge ivers f se comport bie bjo uioes, iterseccioes y complemeto, esto es:. f (A B) = f (A) f (B). 2. f (A B) = f (A) f (B). 3. f (A c ) = [ f (A)] c Además, pr todo itervlo bierto (, b) se tiee que (, b) = (, b) (, + ). Supogmos que f es u fució medible. Así, f ((, b)) = f ((, b) (, + )). Se sigue de esto que f ((, b)) X (utilizdo l equivleci teriormete meciod). De lo terior y teiedo e cuet que todo cojuto borelio es l uió, itersecció o complemeto umerble de itervlos de l form ( i, b i ) co i N, cosiderrémos el cso e que E = ( i, b i ). Tedremos etoces que i N f (E) = f ( i ( i, b i ) ) = i f (( i, b i )). dode f (( i, b i )) X pr todo i N sí obteemos que f (E) X. Los csos e que E se el complemeto o l itersecció de itervlos biertos so álogos. E este puto cbe pregutrse por ls fucioes que se derive de fucioes medibles. Esto es, si f y g so fucioes medibles y c R Qué se puede decir de c f, f 2, f + g, f g, f? L respuest es que tods ells so medibles. Si embrgo, est relció o siempre se tiee e el otro setido, como se puede observr cotiució. Ejemplo 5. ([Br, p. 6], problem 2.I) Proporcioes u ejemplo de u fució f de X e R l cul o se X medible, pero tl que ls fucioes f y f 2 se X medibles. Pr ello cosideremos X = {, }. X = {, X} l σ álgebr trivil. f (x) = I(x) l fució idetidd. Cosideremos α = 0, el cojuto {x X : f (x) > 0} = {} / X, de dode sbemos que l fució f o es medible. E cuto ls fucioes f, f 2 el cojuto {x X : f (x) α} es o X (utilizdo l equivleci que se mecioó). De dode que f, f 2 so medibles. 22

29 Procederemos hor itroducir lo que podrímos cosiderr como u geerlizció del cocepto de logitud co el que estmos fmilirizdos, Esto es ecesrio y que como desrrollmos l teorí hst el mometo estmos trbjdo co espcios de medid geerles dode dicho cocepto pierde setido y es iplicble, bst cosiderr X = R p y co esto perdemos tod oció de lo que quiere decir logitud. Dicho cocepto lo ombrremos de quí e más como medid. Defiició. (Tomd de [Br, p. 9]) U medid es u fució vlor rel extedido µ defiid e u σ álgebr X de subcojutos de X tl que. µ( ) = µ(e) 0 pr todo E X. 3. µ es cotble ditiv e el setido que si (E ) es culquier sucesió de cojutos e X y E i E j = siempre que i = j etoces ( ) µ E = µ(e ) = = U medid fiit es quell que o tom el vlor de +. Presetremos hor lguos ejemplos clásicos de medids. Ejemplo 6. Se X = N y se X l σ álgebr de prtes. Si E X se defie µ(e) = E (crdil de E) si E es fiito. Si E es ifiito, µ(e) = +. (medid de coteo) Se X = R y se X = B, si E = (, b) defíse µ(e) = b (medid de Lebesge o de Borel). Se X u cojuto y X u σ álgebr de subcojutos de X. Si µ(x) = etoces µ es u probbilidd y µ(e) es l probbilidd el eveto E (medid de probbilidd). Existe lgus relcioes que geer medids prtir de otrs fijs, por ejemplo Ejemplo 7. ([Br, p. 23], problem 3.B) Si µ,..., µ so medids y,..., so úmeros reles o egtivos, etoces l fució λ defiid pr E X por Es u medid e X. λ(e) = j µ j (E) j= Ls dos primers propieddes de l defiició de medid o tiee igú tipo de dificultd, se sobreetiede que λ( ) = 0 y que λ(e) 0 pr todo E X. Por último se (E i ) u sucesió de cojutos e X tl que 23

30 E i E k = si i = k etoces ( ) λ E i i= = = = = = ( ) j µ j E i j= i= j µ j (Ei) j= i= j= i= i= j= λ(e i ). i= j µ j (Ei) j µ j (Ei) Así λ result ser u medid. Nosotros etederemos por espcio de medid l ter (X, X, µ) es decir u cojuto que e pricipio podrí ser culquier, u σ álgebr de subcojutos de X y u medid defiid sobre X (u espcio medible juto co u medid). Usremos e delte u térmio co bstte frecueci y es que u crcterístic de u cojuto o u fució (por ejemplo) se cumple e csi tod prte (µ). Esto es si dich crcterístic se cumple slvo e u cojuto de medid cero. Lo terior os proporcio otro ejemplo de fució medible. Ejemplo 8. Se X = R y se X = B el criterio de Lebesgue pr l itegrbilidd de Riem os idic que si f R etoces f es cotiu e csi tod prte (µ) y como y se mecioó teriormete f result ser medible. Observció. El terior ejemplo merece u poco más de profudidd y u demostrció forml, pero pr ello es ecesrio primero defiir l medid de lebesgue, rzó por l cuál por hor se sume su vercidd. Más delte volveremos el. L ide de ser cotiu e csi tod prte (µ), que dos fucioes se igules e csi tod prte (µ) o que u sucesió de fucioes ( f ) coverj e csi tod prte (µ) de mer ituitiv represet que osotros (hbldo e térmios muy iexctos) podrímos olvidros del comportmieto de uestro objeto de estudio e u cojuto de medid cero (dode o se cumple uestr crcterístic) y que prevlece el comportmieto que se teg e el complemeto del mismo. Cosideremos uevmete l fució f (x) = si x C, f (x) = 0 si x / C est fució demás de ser cotiu e csi tod prte (µ) es igul l fució costte g(x) = e csi tod prte (µ). Observció. Es importte eteder que l propiedd de ser igul e csi tod prte, depede de l medid µ que se esté trbjdo. E los ejemplos teriores etiédse que µ es l logitud de los itervlos que se mej hbitulmete pr R. Pr llegr l desrrollo desedo, es ecesrio ver l mer e l que podemos geerr medids. Este uevo efoque requiere tmbié l siguiete defiició (etre otrs que se irá exdo medid que se requier) 24

31 Defiició. (Tomd de [Br, p. 96]) U fmili A de subcojutos de u cojuto X es llmd u álgebr (o u cmpo) e cso que, X esté e A. Si E A, etoces el complemeto de E = X \ E A. Si E,..., E está e A, etoces su uió E j tmbié est e A. j= Es clro que est defiició solo difiere de l de σ álgebr e l umerbílidd de l uió, ddo que está solo tiee l crcterístic de ser fiit. Más llá es importte este uevo cocepto y que (cetrdo l teció e el cso de R) e muchs ocsioes podemos ecotrr ejemplos de cojutos e los que ls uioes umerbles de subcojutos o puede estr e él. Co más clridd cosideremos el cojuto formdo por tods ls uioes fiits de itervlos de l form (, b]; (, b]; (, + ); (, + ) e R, este es u ejemplo de u cojuto que o es u σ álgebr pero si u álgebr (usremos l otció F pr dich álgebr). Y deberímos teer presete que este trbjo est totlmete dedicdo ls itegrles e distitos espcios co diferetes crcterístics. El cocepto de itegrl debe ir (por defiició) socido ls diferetes medids que se puede estblecer e los espcios dode teg setido l mism, es decir ls logitudes e R, áres e R 2 etc. Es por ello que debemos defiir que es u medid e u álgebr. Defiició. (Tomd de [Br, p. 97]) Si A es u álgebr de subcojutos del cojuto X, etoces, u medid e A es u fució vlor rel extedido µ defiid e A tl que. µ( ) = µ(e) 0 pr todo E A. 3. Si (E ) es culquier sucesió de cojutos disyutos e A tl que ( ) µ E = µ(e ) = = E está e A etoces El primer ejemplo que slt l vist de mer ituitiv, es l logitud defiid e el álgebr F. Por supuesto l fució logitud es u medid. L demostrció de este hecho puede ecotrrse e [Br, p. 97]. E geerl tods ls medids e lgu σ álgebr hciedo u restricció decud puede cosiderrse como medids e lgú álgebr bie defiid. Nos ocupremos hor de l costrucció de l medid exterior y del álgebr exterior que veremos más delte so extesioes de l medid y del álgebr sobre l cul esté defiid ést. L situció es l siguiete, pretedemos costruir explícitmete u σ álgebr A (álgebr exterior) que coteg l álgebr A de mer tl que si µ es u medid e A l medid µ (medid exterior) defiid e A se tl que µ = µ e A. Es prticulrmete itereste el hecho que est medid exterior result ser úic, pr ello vemos. = 25

32 Defiició. (Tomd de [Br, p. 99]) Si B es u subcojuto rbitrrio de X osotros defiimos µ (B) := íf j= µ(e j ) Dode el ífimo es extedido sobre tods ls sucesioes de cojutos (E j ) e A tles que B E j j= Como y se mecioó co terioridd l fució µ recibe el ombre de medid exterior. Observció. Cbe clrr que l medid exterior e pricipio podrí o ser u medid co lo meciodo hst hor. De hecho l medid exterior cumple ls misms propieddes de l medid, slvo l ditividd umérble. E vez de ello l medid exterior es subditiv umérble. Esto es, si (B ) es u sucesió de subcojutos de X, etoces ( ) µ B µ (B ). = = Además l medid exterior de u subcojuto B de X coicide co l medid defiid sobre el álgebr e cso que B esté e dich álgebr l prueb de ests propieddes se ecuetr e [Br, p. 99]. Como se mecioó co terioridd, l ide de defiir l medid exterior es geerlizr l ide de logitud de R y osotros sbemos que culquier ítervlo o uioes de itervlos e R podemos clculrles su logitud, pero Qué sigific que u cojuto se medible bjo ls defiicioes teriores? Defiició. (Tomd de [Br, p. 00]) U subcojuto E de X es llmdo µ medible si Pr todo subcojuto cojuto A de X. µ (A) = µ (A E) + µ (A \ E). Deotremos por A l colecció de todos los subcojutos µ medibles de X. Es clro que l otció sugiere que A resultr ser por lo meos u álgebr. El siguiete teorem resuelve dicho iterrogte. Teorem.4 (Teorem de extesió de Crthéodory). ([Br, p. 0]) L colecció A de todos los cojutos µ medibles es u σ álgebr que cotiee A, demás si (E ) es u sucesió disyut e A, etoces, ( ) µ E = µ (E ) = = Nótese que el teorem terior os dice de mer explícit como debe costruirse l σ álgebr dode µ es u efectivmete u medid e el setido de l defiició prtir de u álgebr y u medid e ell. Por otr prte el teorem de extesió de Hh os dice que est extesió de medid es úic. L demostrcióde mbos teorems puede ecotrse e [Br, p. 0-03]. Estmos hor e codicioes de presetr u defició de l medid y l σ álgebr de Lebesgue. 26

33 Defiició. (Tomd de [Br, p. 04]) Cosideremos el álgebr F defiid teriormete y l medid l (Logitud) defiid e ell, plicdo el teorem de extesió de Crthéodory, obteemos u σ álgebr F y u medid l, co los cules obteemos u espcio de medid (R, F, l ). L colecció F es coocid como l colecció de los cojutos medibles de Lebesgue y l se cooce como l medid de Lebesgue. Observció. Presetremos hor u breve dicusió que permite eteder de mer geerl l relció que existe etere ls σ álgebrs de Borel, de Lebesgue y l prtes de R. E u pricipio esperrímos poder diferecirls de mer explíct. Esto es ecotrr cojutos de lgu de ells que o se ecuetre e ls demás y de est mer estblecer lgú relció de coteeci o lgo similr. Lo terior desfortudmete escp del objetivo del trbjo si embrgo se puede relizr l distició etre ells co lguos criterios que se expodrá cotiució. Est ide es tomd de [Rud8, p. 53]. Iiciremos co l comprció etre B y F (Cojutos medibles de Lebesgue), est comprció se reliz medite el crdil de dichs σ álgebrs. Pr ello debemos otr e primer istci que l medid de Lebesgue es complet, e el setido que si A F y l (A) = 0 cd subcojuto de A es medible y tiee medid cero. Por otr prte tmbié vemos que cd σ álgebr geerd por u colecció umerble de cojutos tiee crdil fiito o ℵ (crdil del cotiuo bjo l hipótesis del cotiuo). L demostrció de este hecho requiere coceptos de teorí vzd de cojutos, pero se mostrrá cotiució l ide. Si supoemos u colecció umerble de cojutos {A }, l cul geer u σ álgebr, cd A i de l colecció tedrá u represetció e cojutos B I idivisibles e el setido que B I es u fmili de cojutos disjutos dos dos. Se puede mostrr tmbié que existe ttos B I como subcojutos de los turles, como sugiere el subídice I. Rzó por l cuál, existirá por lo meos ℵ elemetos e l σ álgebr geerd por {A } supoiedo que ifiitos de los B I so o vcíos. E otro cso dich σ álgebr tedrá de mer turl crdil fiito. Ver que est σ álgebr o podrá teer más elemetos que ℵ requiere el uso de iducció trsfiít. L ide es comezdo co l colecció {A i } geerr u sucesió creciete de cojutos, exdo e cd iterció los complemetos de los elemetos de l iterció terior sí como sus uioes y complemetos de ests. Como y se vió teriormete B puede ser geerd por los itervlos biertos de R, más ú est puede ser geerd por u colecció umerble de itervlos, bst cosiderr los itervlos de l form ( i, b i ) co i N, tles que i + b i Q y b i i Q (bols bierts de R co cetro rciol y rdio rciol) por lo tto B = ℵ 2 2. Por otr prte l discusió terior sobre el cojuto de Ctor C os mostró que l (C) = 0 y tmbié que C = ℵ, l regulridd de l idic que cd subcojuto de Ctor es medible. E prticulr tedrá medid cero, de dode existe por lo meos 2 ℵ cojutos medibles e el itervlo [0, ]. El teorem de Ctor muestr que ℵ < 2 ℵ y cocluimos de est mer que existe cojutos medibles que o so Borelios. Como se mecioó teriormete o es l iteció ejemplificr explícitmete este hecho. L comprció etre 2 R y F se resuelve co el siguiete teorem. Teorem.5. ([Rud8, p. 53]) Si A R y cd subcojuto de A es Lebesgue medible etoces l (A) = 0. L demostrció de este teorem, el cuál es u resultdo fudmetl e l teorí de l medid, puede ser cosultd e [Rud8, p. 53]. 27

34 Es clro que l cosiderr implicció cotrrrecíproc de este teorem obteemos l comprció buscd. Esto es, todo subcojuto E de R tl que l (E) > 0 cotiee por lo meos u cojuto o medible. U ejemplo explicito de este resultdo es el cojuto de Vitli, el cul es u subcojuto de R y o medible. A cotiució veremos u esquem de ls relcioes que cbmos de presetr Co lo terior podemos empezr costruir l itegrl de Lebesgue, y que como se h meciodo durte todo el trbjo el proceso de itegrció tiee u relció direct co l medid (e el cso prticulr de Riem co l logitud). Trbjremos hor co u espcio de medid determido (X, X, µ) (e el cso de l medid de Lebesgue turlmete será (R, F, l )) e itroduciremos l otció M + = M + (X, X) pr deotr l colecció de tods ls fucioes o egtivs µ medibles de X e R (El cojuto de los reles extedidos R = R {, + }). L costruució de l itegrl de Lebesgue se reliz primero pr l fucioes o egtivs, pr ello empezremos co l defiició de fució simple que podrímos cosiderr (por hor) como l geerlizció de l ide de fució esclod e R. Defiició. (Tomd de [Br, p. 27]) U fució f vlor rel es simple si ést tiee u úmero fiito de vlores (Rgo fiito). Surge de mer turl los ejemplos tles como ls fucioes esclods defiids e u itervlo cotdo de R, demás de ls fucioes costtes etre otros. Dichs fucioes simples tiee u represetció estádr. Vemos, si ϕ es simple su represetció estádr viee dd por 28

35 ϕ = j X Ej. j= Dode j R y X Ej se deomi l fució crcterístic del cojuto E j L cul es X Ej (x) = si x E j y X Ej (x) = 0 si x / E j pr todo x X. E est represetció estádr cbe resltr que los j so todos distitos, los E j so subcojutos de X disyutos dos dos y tles que X = E j. Ls fucioes simples será el pilr de uestr itegrl de Lebesgue sí como ls prticioes y ls sums superiores e iferiores lo fuero e l itegrl de Riem, por ello y ddo que lo ecesitremos más delte defiiremos l itegrl de u fució simple como sigue. Defiició. (Tomd de [Br, p. 28]) Si ϕ es u fució simple e M + (X, X) co l represetció estádr que defiimos teriormete, osotros defiimos l itegrl de ϕ co respecto l medid µ como el úmero rel extedido ϕ dµ = j µ(e j ). j= Pr ejemplificr l defiició terior y ddo que el cocepto de itegrl es más secillo de iterpretr gráficmte e R cosideremos l fució costte f (x) = c defiid e el itervlo cerrdo [, b]. Es clro que f es u fució simple y f (x) = cx [,b] (x). L defiició terior idic que f dl = cl [, b] = c(b ), ótese que l itegrl de Lebesgue (ceptdo por hor que l primer itegrl represet l de Lebesgue) coicide co l de Riem de mer turl pr fucioes simples. E geerl este hecho se tiee por l defiició de dich itegrl, como veremos más delte. Observció. Escp del objetivo del trbjo demostrr lgus propieddes de est itegrl, si embrgo o debemos descoocerls. Ests propieddes se deriv e gr prte de l lielidd de l mism y puede ser cosultds e [Br, chp. 4] Así como es posible relizr proximcioes de fucioes reles co fucioes esclods, bjo cierts restriccioes es posible proximr u fució medible por medio de fucioes simples el siguiete lem muestr u crcterizció importte de dich proximció. Lem. (Aproximció por fucioes simples). ([Br, p. 3]) si f es u fució e M + (X, X), etoces existe u sucesió (ϕ ) de fucioes simples e M + (X, X) tl que. 0 ϕ (x) ϕ + (x) pr x X, N. 2. f (x) = lím ϕ (x) pr cd x X. El lem terior permite que l itegrl se extied correctmete fucioes que o se simples de l siguiete mer. j= 29

36 Defiició. (Tomd de [Br, p. 30]) Si f está e M + (X, X) osotros defiimos l itegrl de f co respecto µ como el úmero rel extedido f dµ = sup ϕ dµ, dode el supremo es extedido sobre tods ls fucioes simples ϕ e M + (X, X) que stisfce 0 ϕ(x) f (x) pr todo x e X. Notemos el hecho que l itegrl está bie defiid e este setido. El cojuto de ls fucioes simples que cumple l propiedd meciod es o vcío y que se puede cosiderr l fució ϕ(x) = 0 pr todo x X y dicho cojuto est cotdo superiormete por l proximció que os proporcio el lem.. Además l formul de l itegrl os grtiz que siempre es posible clculr l mism pr fucioes medibles o egtivs. Es importte recordr que osotros (por hor) trbjmos co el cojuto R. Es decir que tto l fució como su itegrl podrí e pricipio tomr el vlor de +. Bst cosiderr l fució f (x) = + pr todo x e X o itegrr sobre u cojuto de medid ifiit. L itegrl de u fució f sobre u cojuto que perteezc l σ álgebr digmos A se defie como A f dµ = f X A dµ. Como os hemos ddo cuet e est secció se reliz u costrucció prácticmete desde ceros de l itegrl y por hor o hemos dicho que y se presetó u defiició de l itegrl de Lebesgue. Si embrgo estmos muy cerc del objetivo. Es mometo de ir u poco más llá y defiir u itegrl pr fucioes que se medibles pero si restrigirls tomr vlores o egtivos. Est secció se cetr e fucioes co vlores R y cuy itegrl tmbié tom u vlor e R (o e R). Pr ello es ecesrio recordr l defiició de l prte egtiv y l prte positiv de u fució. Defiició. (Tomd de [Br, p. 0]) Si f es culquier fució de X e R, se f +, f ls fucioes o egtivs defiids por f + (x) := sup{ f (x), 0}. f (x) := sup{ f (x), 0}. Ls siguietes gráfics muestrs ejemplos bsttes secillos pero que e geerl puede yudr iterpretr mejor los coceptos de prte positiv y egtiv de u fució, los ejemplos se mostrrá e R 2 por l comodidd pr gráficr, pero debe etederse que ests fucioes o so solo de R 2 e R. Primero veremos e el mismo 30