= 1 n. b - a. promsƒd =

Transcripción

1 7 Cpítulo : Itegrció f() (c k, f(c k )) c k FIGURA.4 U muestr de vlores de u fució e u itervlo [, ]. D ( ) evlumos f e u puto c k e cd uo de ellos (figur.4). El promedio de los vlores de l muestr es ƒsc d + ƒsc d + Á + ƒsc d = ƒsc k d k = = - ƒsc k d = k = - ƒsc k d k = = -, sí que = - Regl del múltiplo costte El promedio se otiee dividiedo u sum de Riem pr f e [, ] etre ( ). Cudo umetmos el tmño de l muestr hcemos que l orm de l prtició tied cero, el promedio tiede (>( - )) ƒsd d. Amos efoques os coduce l siguiete defiició. f() 4 FIGURA. El vlor promedio de ƒsd = 4 - e [, ] es p (ejemplo ). DEFINICIÓN Si f es itegrle e [, ], etoces su vlor promedio e [, ], tmié llmdo medi, es promsƒd = ƒsd d. - EJEMPO Determie el vlor promedio de ƒsd = 4 - e [-, ]. Solució Recoocemos ƒsd = 4 - como u fució cu gráfic es l semicircufereci de rdio co cetro e el orige (figur.). El áre etre l semicircufereci el eje de puede clculrse usdo l fórmul de geometrí Puesto que f es o egtiv, el áre tmié es el vlor de l itegrl de f de, Por lo tto, el vlor promedio de f es Áre = # pr = # psd = p d = p. promsƒd = 4 - d = - s -d - 4 spd = p. El teorem de l siguiete secció firm que el áre de l semicircufereci superior e [, ] es l mism que el áre del rectágulo cu ltur es el vlor promedio de f e [, ] (figur.). Ejercicios. Iterpretció de límites como itegrles Eprese los límites e los ejercicios 8 como itegrles defiids.. lím c k k, dode P es u prtició de [, ] ƒƒpƒƒ: k = ƒƒpƒƒ: k =. lím c k k, dode P es u prtició de [-, ]. lím sc k - c k d k, dode P es u prtició de [-7, ] ƒƒpƒƒ: k = ƒƒpƒƒ: k = ƒƒpƒƒ: 4. lím c k, dode P es u prtició de [, 4] k. lím dode P es u prtició de [, ] - c k, k k =

2 . itegrl defiid 7 6. lím 4 - c k k, dode P es u prtició de [, ] ƒƒpƒƒ: 7. lím ssec c k d k, dode P es u prtició de [-p>4, ] ƒƒpƒƒ: 8. lím st c k d k, dode P es u prtició de [, p>4] ƒƒpƒƒ: Uso de ls regls pr itegrles defiids. Supog que f g so itegrles que k = k = k = ƒsd d = -4, Utilice ls regls de l tl.4 pr determir. gsd d. gsd d c. ƒsd d d. ƒsd d e. [ƒsd - gsd] d f. [4ƒsd - gsd] d. Supog que f h so itegrles que ƒsd d = -, ƒsd d =, hsd d = Utilice ls regls de l tl.4 pr determir. -ƒsd d. [ƒsd + hsd] d 7 c. [ƒsd - hsd] d d. ƒsd d 7 7 e. ƒsd d f. [hsd - ƒsd] d. Supog que ƒsd d =. Determie. ƒsud du. ƒszd dz c. ƒstd dt d. [-ƒsd] d. Supog que gstd dt =. Determie -. gstd dt. gsud du - c. [-gsd] d d. -. Supog que f es itegrle que ƒszd dz = 4 ƒszd dz = 7. Determie 4 - ƒsd d = 6,. ƒszd dz. ƒstd dt 4 4. Supog que h es itegrle que - hsrd dr = - hsrd dr = 6. Determie. hsrd dr. - hsud du 7 - gsd d = 8. gsrd dr Uso de áres coocids pr determir itegrles E los ejercicios, grfique los itegrdos utilice ls áres pr evlur ls itegrles d d d -. ƒ ƒ d. s - ƒ ƒ d d - Utilice ls áres pr evlur ls itegrles e los ejercicios d, 7 d, 7. s ds, t dt, ƒsd = 4 - e. [-, ],. [, ] 8. ƒsd = + - e. [-, ],. [-, ] Evlució de itegrles defiids Utilice los resultdos de ls ecucioes () () pr evlur ls itegrles e los ejercicios 4.. d. d.. p. r dr. d 4. >. t dt 6. u du d. d 4. Utilice ls regls de l tl.4 ls ecucioes () () pr evlur ls itegrles e los ejercicios d 4. d 4. st - d dt z 46. sz - d dz dz 7 4. s + - d d. s + - d d p> Determició del áre medite itegrles defiids E los ejercicios 4, utilice u itegrl defiid pr determir el áre de l regió etre l curv dd el eje e el itervlo [, ].. =. = p 47. u du 48. 4u du >. = 4. = s - ƒ ƒ d d. A + - B d - - > > s - + 4d d p. d At - B dt u du s ds d

3 7 Cpítulo : Itegrció Determició del vlor promedio E los ejercicios 6, grfique l fució determie su vlor promedio e el itervlo ddo.. ƒsd = - e C, D ƒ ƒ ƒ ƒ 6. ƒsd =- e [, ] 7. ƒsd = - - e [, ] 8. ƒsd = - e [, ]. ƒstd = st - d e [, ] 6. ƒstd = t - t e [-, ] 6. gsd = - e. [-, ],. [, ], c. [-, ] 6. hsd = - e. [-, ],. [, ], c. [-, ] Itegrles defiids como límites Utilice el método del ejemplo 4 pr evlur ls itegrles defiids e los ejercicios c d 64. s + d d 6. d, s - d d s - + d d 68. d d, 6 7. s - d d Teorí ejemplos 7. Qué vlores de mimiz el vlor de (Sugereci: Pregútese dóde es positivo el itegrdo). 7. Qué vlores de miimiz el vlor de 7. Utilice l desiguldd má-mí pr determir cots superior e iferior pr el vlor de 74. (Cotiució del ejercicio 7). Utilice l desiguldd má-mí pr determir cots superior e iferior pr. s - d d? s 4 - d d? + d Súmels pr llegr u mejor estimció de + d.. + d. + d. 7. Demuestre que o es posile que el vlor de se s d d se. 76. Demuestre que el vlor de + 8 d está etre Itegrles de fucioes o egtivs Utilice l desiguldd mámí pr mostrr que si f es itegrle, etoces 78. Itegrles de fucioes o positivs Demuestre que si f es itegrle, etoces 7. Utilice l desiguldd se #, que se cumple pr $, pr determir u cot superior pr el vlor de se d. 8. desiguldd sec $ ( ) se cumple e (p, p). Utilícel pr determir u cot iferior pr el vlor de sec d. 8. Si prom( f ) e relidd es u vlor típico de l fució itegrle f() e [, ], etoces l fució costte prom( f ) dee teer l mism itegrl e [, ] que f. Es sí? Esto es, se cumple que Justifique su respuest. 8. Serí ueo que los vlores promedio de fucioes itegrles oedecier ls siguietes regls e u itervlo [, ]... c. ƒsd Ú e [, ] Q ƒsd d Ú. ƒsd e [, ] Q ƒsd d. promsƒd d = ƒsd d? promsƒ + gd = promsƒd + promsgd promskƒd = k promsƒd sculquier úmero kd promsƒd promsgd si ƒsd gsd e [, ]. Se cumple ests regls? Justifique sus respuests. 8. Sums superiores e iferiores pr fucioes crecietes. Supog que l gráfic de u fució cotiu f() sue costtemete cudo se desplz de izquierd derech lo lrgo de u itervlo [, ]. Se P u prtició de [, ] e suitervlos de logitud D ( ). Si teemos como refereci l siguiete figur, demuestre que l difereci etre ls sums superior e iferior pr f e est prtició puede represetrse gráficmete como el áre de u rectágulo R, cus dimesioes so [ f() f()] por D. (Sugereci: Cosidere que l difereci U es l sum de ls áres de los rectágulos cus digoles Q Q, Q Q,, Q Q está lo lrgo de l curv. No h trslpe cudo estos rectágulos se desplz horizotlmete pr formr R).. Supog que e vez de que se igules, ls logitudes D k de los suitervlos e l prtició de [, ] so de tmño diferete. Demuestre que U - ƒ ƒsd - ƒsd ƒ má, dode D má es l orm de P, de quí que lím ƒƒpƒƒ: su - d =.

4 . itegrl defiid 7 f() f() Q Q Q f() f() R Δ k k 84. Sums superiores e iferiores de fucioes decrecietes (Cotiució del ejercicio 8).. Diuje u figur como l del ejercicio 8 pr u fució cotiu f() cuos vlores dismiu costtemete, cudo se desplz de izquierd derech lo lrgo del itervlo [, ]. Se P u prtició de [, ] e suitervlos de igul logitud. Determie u epresió pr U, que es álog l que ecotró pr U e el ejercicio 8.. Supog que e vez de ser igules, ls logitudes D k de los suitervlos de P vrí de tmño. Demuestre que se sigue cumpliedo l desiguldd U - ƒ ƒsd - ƒsd ƒ má k k del ejercicio 8, de quí que 8. Utilice l fórmul lím ƒƒpƒƒ: se h + se h + se h + Á + se mh cos sh>d - cos ssm + s>ddhd = se sh>d pr determir e dos psos el áre dejo de l curv se desde hst p:. Divid el itervlo [, p] e suitervlos de l mism logitud clcule l sum superior correspodiete; luego,. Determie el límite de U cudo : ` D ( ) :. 86. Supog que f es cotiu o egtiv e [, ], como e l siguiete figur. Isertdo los putos,, Á, k -, k, Á, - su - d =. como se muestr, divid [, ] e suitervlos de logitudes D, D,, D, que o ecesrimete so igules.. Si m k mí{ f() pr e el k-ésimo suitervlo}, eplique l relció etre l sum iferior = m + m + Á + m ls regioes somreds e l primer prte de l figur.. Si M k má{ f() pr e el k-ésimo suitervlo}, eplique l relció etre l sum superior U = M + M + Á + M ls regioes somreds e l segud prte de l figur. c. Eplique l relció etre U ls regioes somreds lo lrgo de l curv e l tercer prte de l figur. 87. Decimos que f es uiformemete cotiu e [, ] si dd culquier P., eiste u d., tl que si, está e [, ] u u,d, etoces u f( ) f( )u, P. Puede demostrrse que u fució cotiu e [, ] es uiformemete cotiu. Utilice esto l figur del ejercicio 86 pr mostrr que si f es cotiu se d P., es posile hcer U # P? ( ) hciedo el mor de los D k suficietemete pequeño. 88. Si usted promedi mih e u vije de mills luego regres ls misms mills u ts de mih, cuál es su rpidez promedio pr el vije completo? Justifique su respuest. EXPORACIONES CON COMPUTADORA Si su SAC puede diujr rectágulos socidos co sums de Riem, utilícelo pr trzr los rectágulos socidos co ls sums de Riem que coverge ls itegrles e los ejercicios 8 4. E cd cso, utilice 4,, suitervlos de l mism logitud. 8. k k s - d d =

5 74 Cpítulo : Itegrció. s + d d = p p>4 p - cos d = sec d = ƒ ƒ d = 4. (El vlor de l itegrl es lrededor de.6) d E los ejercicios 8, utilice u SAC pr desrrollr los siguietes psos:. Grfique ls fucioes e el itervlo ddo.. Divid el itervlo e, suitervlos de l mism logitud, luego evlúe l fució e el puto medio de cd suitervlo. c. Clcule el vlor promedio de los vlores de l fució geerdos e el iciso (). d. Despeje de l ecució f() (vlor promedio); pr ello, use el vlor promedio clculdo e el iciso c) pr l prtició de suitervlos.. ƒsd = se e [, p] 6. ƒsd = se e [, p] 7. ƒsd = se e cp 4, p d 8. ƒsd = se e c p 4, p d.4 BIOGRAFÍA HISTÓRICA Sir Isc Newto (64 77) c f() FIGURA.6 El vlor de f(c) e el teorem del vlor medio es, e cierto setido, l ltur promedio (o medi) de f e [, ]. Cudo f $, el áre del rectágulo es el áre jo l gráfic de f de, El teorem fudmetl del cálculo f(c), ltur promedio E est secció presetmos el teorem fudmetl del cálculo, que es el teorem cetrl del cálculo itegrl. El teorem relcio l itegrció l diferecició, os permite clculr itegrles medite u tiderivd de l fució itegrdo e vez de teer que tomr límites de sums de Riem, como lo hicimos e l secció.. eiiz Newto provechro dich relció e iiciro los desrrollos mtemáticos que vivro l revolució cietífic durte los siguietes ños. E el desrrollo de uestro álisis presetmos u versió itegrl del teorem del vlor medio, que es otro teorem importte del cálculo itegrl se utiliz pr demostrr el teorem fudmetl. Teorem del vlor medio pr itegrles defiids E l secció terior defiimos el vlor promedio de u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, ] como l itegrl defiid ƒsd d dividid etre l logitud o cho del itervlo. El teorem del vlor medio pr itegrles defiids firm que este vlor promedio siempre se lcz e l meos u puto por l fució f e el itervlo. gráfic e l figur.6 muestr u fució cotiu positiv f() defiid e el itervlo [, ]. Geométricmete, el teorem del vlor medio idic que eiste u úmero c e [, ], tl que el rectágulo co ltur igul l vlor promedio f(c) de l fució se co cho tiee ectmete l mism áre que l regió dejo de l gráfic de. ƒscds - d = ƒsd d. TEOREMA : El teorem del vlor medio pr itegrles defiids Si f es cotiu e [, ], etoces e lgú puto c e [, ], ƒscd = ƒsd d. - Prue Si dividimos mos ldos de l desiguldd má-mí (tl.4, regl 6) etre ( ), otedremos mí ƒ ƒsd d má ƒ. -