Notas para el curso de Probabilidad II Licenciatura en Estadística

Transcripción

1 Nots pr el curso de Probbilidd II Licecitur e Estdístic Alejdro Cholquidis Fcultd de Ciecis Uiversidd de l Repúblic

2 Ests ots fuero hechs pr el curso de Probbilidd 2 de l Licecitur e Estdístic, dictdo e el ño 205. Ls errts que hubiere, se grdece comuicrls cholquidis@hotmil.com.

3 Ídice geerl. Repso 4.. Espcio de Probbilidd σ-álgebr Espcio de probbilidd Límite superior e iferior Idepedeci Vribles letoris Espcio métrico Ley 0 o de Kolmogorov Desiguldd de Kolmogorov Itegrl de Riem-Stieltjes Defiició Métodos de itegrció Apliccioes l teorí de l probbilidd Covergeci de vribles letoris Covergeci csi segur, sucesioes de Cuchy, covergeci de series Teorems de covergeci moóto y domid Covergeci csi segur de series Covergeci e Probbilidd Ley débil de los grdes úmeros Ley fuerte de los grdes úmeros Covergeci e Distribució Métrics etre distribucioes Covergeci e L p Desigulddes e espcios L p Fucioes crcterístics y TCL Fució crcterístic Teorem Cetrl del Límite Vribles iid Arreglos trigulres Sucesioes estcioris y teorí ergódic Sucesioes estcioris e setido estricto de vribles letoris Ergodicidd y mixig

4 Cpítulo Repso Defiiremos modo de repso los priciples coceptos y euciremos los resultdos ecesrios pr l lectur de los siguietes cpítulos, e geerl se d si demostrció. Ls demostrcióes de los mismos puede ecotrrse e [5], [4] o e culquier libro itroductorio l probbilidd... Espcio de Probbilidd... σ-álgebr Defiició.. Ddo u cojuto Ω, diremos que A 2 Ω es u σ-álgebr de subcojutos de Ω si se cumple: Ω A. Si A A etoces A c A. Si {A } N A etoces N A A. Ls siguietes propieddes so de fácil demostrció, se sugiere hcerls como ejercicio. Proposició.2. Si A es u σ-álgebr, A. 2 A, A 2,..., A A etoces i= A i A 3 Si {A } N A etoces + = A A. 4 Si A, B A etoces A B A 5 Si A α es σ-álgebr de cojutos sobre Ω pr todo α I, siedo I u cojuto culquier de ídices, etoces α I A α es σ-álgebr de cojutos sobre Ω. Ejemplo.3. Ejemplos de sígm álgebr: {, Ω}. 2 2 Ω. 3 {, Ω, A, A c }, siedo A Ω. 4

5 Cpítulo. Repso Defiició.4. Dd u fmil F de subcojutos de Ω, el cojuto A:F A A es decir l itersecció de tods ls σ-álgebr que cotiee F se llm σ-álgebr geerd por F y se deot σf. Defiició.5. L σ-álgebr de Borel e R es σf co F = {A R : A es bierto}. Se dej como ejercicio l siguiete proposició. Proposició.6. Se f : Ω Ω, y D u fmili de subcojutos de Ω, etoces σf D = f σd, dode deotmos, pr B D f B = {ω Ω : fω B} l preimge de B por f. Teorem.7. Si I = {, b R : < b} 2 I 2 = {[, b R : < b} 3 I 3 = {, b] R : < b} 4 I 4 = {, + R : R} 5 I 5 = {[, R : R} 6 I 6 = {, R : R} 7 I 7 = {, ] R : R} etoces l σ-álgebr de Borel defiid teriormete es igul l σ-álgebr geerd por culquier de ls fmilis de cojutos I,..., I Espcio de probbilidd Defiició.8. Ddo Ω, diremos que l ter Ω, A, P es u espcio de probbilidd sobre Ω si y sólo si A es u σ-álgebr de cojutos sobre Ω y P es u fució P : A [0, ] que cumple i P Ω = ii si l fmili de sucesos {A } N A so disjutos dos dos A i A j = pr todo i j, etoces + + P A = P A. Proposició.9. P = 0 2 Si A,..., A A so disjutos dos dos P i= A i = i= P A i. = 3 Si A, B A, etoces P B A = P B P A B. = 4 Si A, B A, A B, P B A = P B P A y P A P B 5 Si A, B A, etoces P A B = P A + P B P A B 6 Si A,..., A A, etoces P i= A i i= P A i. 7 Si {A } N A es tl que A A 2 A 3..., etoces P N = lím P A. 8 Si {A } N A es tl que A A 2 A 3..., etoces P N A = lím P A. 9 Si {A } N A es tl que P A = pr todo, etoces P N A =. 5

6 Cpítulo. Repso..3. Límite superior e iferior Recordemos que si { } N R es u sucesió de úmeros reles, el límite superior e iferior de l mism se defie como lím sup = lím sup + k k y lím if = lím íf k, k respectivmete. Se puede probr fácilmete que lím sup = íf sup k k y lím if = sup íf k. Este cocepto se geerliz cojutos de l siguiete mer: Defiició.0. Dd {A } N A, se defie el límite superior e iferior de l sucesió de sucesos como lím sup A = A k y lím if A = A k respectivmete. Algus propieddes importtes: Proposició.. 2 ocurre ifiitos A. = k= = k= lím sup A = {ω Ω : ω A pr ifiitos vlores de } lím if A = {ω Ω : ω A pr todo slvo lo sumo u ctidd fiit de ídices} ocurre A pr todos los slvo u ctidd fiit. 3 lím if A lím sup A. 4 Como l sucesió B = + k= A k es decreciete, etoces + P lím sup A = lím P A k. 5 Como l sucesió B = + k= A k es creciete, etoces + P lím if A = lím P A k. 6 Si {A } N es creciete, etoces 7 Si {A } N es decreciete, etoces lím if k= k= + A = lím sup A = A. = lím if A = lím sup A = + = A. 8 P lím if A lím if P A lím sup P A P lím sup A. 6

7 Cpítulo. Repso.2. Idepedeci Defiició.2. Dd u fmili de sucesos {A α } α I, dode I es u cojuto culquier de ídices, se dice que so idepedietes si y sólo si, pr todo F I fiito, se cumple que P A α = P A α. α F Teorem.3. Lem de Borel-Ctelli. Dd u sucesió {A } N A, α F Si + = P A < + etoces P lím sup A = 0 2 Si + i= P A = y demás {A } N so idepedietes, etoces P lím sup A =. Demostrció.. P lím sup A = lím P + k= A k + k= P A 0, dode el último límite es 0 porque l serie coverge. 2. Como P lím sup A = lím P + k= A k bst probr que P + k= k Ac 0. Pr cd m > teemos que + m m m P P = P A c k = P Ak m e P Ak = e m k= P Ak m 0, k= A c k k= A c k k= dode e l peúltim desiguldd hemos usdo que x e x pr todo x. k= k=.3. Vribles letoris Vmos itroducir hor uo de los priciples coceptos de l probbilidd, l oció de vrible letori. Ddo que e vris pliccioes hy que cosiderr vribles letoris como fucioes o sólo vlores e R d, sio más e geerl, e u espcio métrico, defiiremos lgus ocioes topológics previs..3.. Espcio métrico Defiició.4. U métric defiid e u cojuto F es u fució d : F F R tl que dx, y 0 y dx, y = 0 si y sólo si x = y. 2 dx, y = dy, x 3 pr todo z F, dx, y dx, z + dz, y Ejemplo.5. Ejemplos clásicos de espcios métricos so: dx, y = si x y y dx, y = 0 si y sólo si x = y. d 2 F = R d y dx, y = i= x i y i 2. 7

8 Cpítulo. Repso 3 F = R d y dx, y = d i= x i y i. 4 F = R d y dx, y = máx i=,...,d x i y i. 5 F = C[0, ] fucioes cotius de [0, ] e R y d f, g = máx x [0,] fx gx. 6 F = L p [0, ] = {f : [0, ] R, 0 fxp dx < } y df, g = p 0 fx gx p dx. 7 Si D = { f : [0, ] R, t 0,, lím x t fx, y lím x t + fx = ft }, l métric de Skorohod e D se defie como d Sk f, g = íf { ε > 0 : λ Λ : sup t [0,] ft gλt + sup t [0,] t λt ε }, dode Λ es el cojuto de fucioes λ defiids e [0, ] vlores e [0, ] cotius, estrictmete crecietes, tl que λ0 = 0 y λ =. Observr que C[0, ] D y B d f, r B dsk f, r. Defiició.6. Ddo u espcio métrico F, d se dice que u cojuto A F es bierto si pr todo A, existe r > 0 tl que B, r A, siedo B, r = {x F : d, x < r}. Se dice que A es cerrdo si A c es bierto. Proposició.7. Ddo u espcio métrico F, d, se verific. y F so cojutos biertos. 2. Si {F α } α I F es u fmili culquier de cojutos biertos etoces α F α es bierto. 3. Pr todo k > 0 F,..., F k so biertos F F k es bierto. Observemos que e u espcio métrico F, d se puede defiir covergeci de sucesioes de l mism mer que se hce e R d, es decir si {x } N F es u sucesió, x x si dx, x 0. Decimos que u sucesió {x } N F es de Cuchy si dx, x m 0 cudo, m. Se dice que el espcio métrico es completo si pr tod {x } N F de Cuchy existe x F tl que x x. Se dice que f : F G siedo G, ρ otro espcio métrico es cotiu e x F si pr tod x x, ρfx, fx 0. Se puede probr que f : F G es cotiu si y sólo si pr todo B G bierto, f B = { F : f B} es bierto e F. Defiició.8. Ddo u espcio métrico F, d l σ-álgebr de Borel de F es l itersecció de tods ls σ-álgebrs que cotiee los cojutos biertos. E geerl se deot BF. Defiició.9. Ddo u espcio de probbilidd Ω, A, P y F, d u espcio métrico, diremos que X : Ω F es u vrible letori si pr todo B BF, se cumple que X B = {ω Ω : Xω B} A. Proposició.20. Pr verificr que X es u vrible letori, bst probr que X B A, pr todo B F, bierto. Demostrció. Sbemos que, por defiició BF es l σ-álgebr geerd por los biertos. Queremos probr que X B A pr todo B BF. Observemos que l fmili D de Borelios pr los cules X D A, D D, es u σ-álgebr esto se sigue de l proposició.6 que cotiee por hipótesis los biertos, por lo tto cotiee l σ-álgebr geerd por los biertos, es decir los Borelios. E defiitiv BF D BF. Teorem.2. Se F, d y G, ρ espcios métricos. Si X : Ω F es u vrible letori y g : F G es u fució cotiu etoces Y = gx es u vrible letori vlores e G. 8

9 Cpítulo. Repso Demostrció. Es u cosecueci imedit de l observció terior y que, pr todo A G bierto, g A es bierto y, por otr prte Y A = X g A A. Corolrio.22. Si X, Y : Ω R so vribles letoris y α R etoces X + αy, XY so vribles letoris. Observció.23. E lguos csos es ecesrio cosiderr vribles letoris vlores o sólo e R sio e l rect extedid R = R {+, }, pr eso, si deotmos como B l σ-álgebr de Borel e R, defiimos u σ-álgebr BR como B { A {+, }} : A B } { A {+ } : A B } { A {} : A B }. Muchs veces usremos l otció X A pr idicr el cojuto: {ω Ω : Xω A}. Por ejemplo X, ] es {X }. Teorem.24. Si X : Ω R es vrible letori pr todo N etoces tmbié lo so ls vribles vlores e R, sup X y íf X. Demostrció. + sup X, ] = X, ] A. = Corolrio.25. Si X : Ω R es vrible letori pr todo N etoces tmbié lo so ls vribles vlores e R lím sup X y lím if X. Demostrció. Se sigue del teorem terior, usdo que lím sup X = íf sup k X. Y lo mismo pr lím if X Defiició.26. Dds dos vribles letoris X, Y : Ω F decimos que. X es igul Y e distribució, deotmos X d = Y si A BF P X A = P Y A 2. X es igul Y csi segurmete, deotmos X c.s = Y si existe C Ω co P C = tl que pr todo ω C, Xω = Y ω. Observció.27. Observemos que si X c.s = Y etoces X d = Y, probr co u cotrejemplo que el recíproco o es cierto Ley 0 o de Kolmogorov Ddo Ω, A, P y X,..., X,..., u sucesió de vribles letoris, se A = σx, X +,... l σ-álgebr geerd por X, X +,... es decir l meor σ-álgebr que ls hce vrible letori, deotmos A = A, = es clro que A es u σ-álgebr. Los evetos de A se llm evetos de col, y que o depede de lo que sucede e l sucesió {X } N e u ctidd fiit de ídices. Alguos ejemplos de evetos e A so 9

10 Cpítulo. Repso. Pr todo k, A = { ξ = } coverge = { ξ =k } coverge A k. Por lo tto A A. 2. A 2 = {X I pr ifiitos }, dode I BR 3. A 3 = {lím sup X < } 4. A 4 = {lím sup X + +X < c}. Ejemplos de evetos que o so evetos de col so: B = {X = 0 pr todo }, B 2 = {lím X +... X existe y es meor que c}. Observemos que si ls vribles letoris X, X 2,... so idepedietes, por el Lem de Borell Ctelli el suceso A 3 sólo puede tomr los vlores 0 o. Esto es cierto e geerl o sólo pr A 3 sio pr culquier eveto de col, como se demuestr e el siguiete teorem. Teorem.28. Se X, X 2,... u sucesió de vribles idepedietes. Se A A etoces P A sólo puede vler 0 o. Demostrció. Se A A observemos que por defiició de A, A A = σ{x, X 2,... } = σ A siedo A = σ{x,..., X }. Se puede demostrr que es posible ecotrr u sucesió de cojutos A A que proxime A, es decir tl que P A A 0, siedo l difereci simétric etre A y A. Por lo tto P A P A P A A P A, Por otr prte como A A se tiee que A A + y por lo tto A y A so idepedietes. Por lo tto P A = P 2 A de dode P A es 0 o Desiguldd de Kolmogorov Teorem.29. Se X, X 2,..., X vribles idepedietes tl que EX i = 0 y EXi 2 < pr todo i. Etoces, si deotmos S k = X + + X k, pr todo ε > 0. P máx S k ε k ES2 ε 2,. 2. si demás existe c > 0 tl que P X i c = pr todo i etoces P máx S c + ε2 k ε k ES 2..2 Demostrció.. Deotemos A = {máx k S k ε} y A k = { S i < ε, i =,..., k, S k ε} pr k =,..., dode S 0 = 0. Observemos que A es l uió disjut de los A k y por lo tto ES 2 ESI 2 A = ESI 2 Ak. Observemos que ES 2 I Ak =E [ S k + X k+ + + X 2 I Ak ] =ES 2 ki Ak + 2E[S k X k+ + + X I Ak ] + E[X k+ + + X 2 I Ak ]. Como ls vribles X k+,..., X so cetrds e idepedietes de l vrible letori S k I Ak, se sigue que ES k X k+ + + X I Ak = 0. Por lo tto ES 2 I Ak =ES 2 ki Ak + E[X k+ + + X 2 I Ak ].3 ES 2 ki Ak. 0

11 Cpítulo. Repso L últim desiguldd se debe que el segudo térmio es o egtivo. Si ω A k etoces por defiició S k ω ε, es decir ESk 2I A k ε 2 P A k. Filmete ES 2 ESkI 2 Ak ε 2 P A k = ε 2 P A = ε 2 P máx S k ε. k 2. ES 2 I A = ES 2 ES 2 I A c ES 2 ε 2 P A c, y que si ω A c etoces S 2 ω < ε 2. Por lo tto ES 2 I A ES 2 ε 2 + ε 2 P A..4 Observemos que si ω A k etoces S k ε y por lo tto Si hor summos e k e l ecució.3: ESI 2 A = ESkI 2 Ak + EI Ak S S k 2 = S k S k + X k ε + c.5 ESkI 2 Ak + P A k ES S k 2. Dode e l últim iguldd hemos usdo que I Ak y S S k so idepedietes. Observemos que ES S k 2 = EX + + X k+ 2 = j=k+ EX2 j y que ls vribles X j so idepedietes y cetrds. Usdo.5 podemos escribir ESkI 2 Ak + P A k S S k 2 ε + c 2 P A k + P A k EXj 2 = P A k ε + c 2 + P A k ε + c 2 + =P A ε + c 2 + j=k+ j=k+ EXj 2 EXj 2 j= EXj 2 Si usmos hor que EX = 0 pr todo, P A ε + c 2 + EXj 2 = P A[ε + c 2 + ES]. 2 Usdo.4 obteemos Filmete escribimos j= P A ES 2 ε 2 ε + c 2 + ES 2 ε 2. ES 2 ε 2 ε + c 2 + ES 2 ε 2 = ε + c 2 ε + c2 ε + c 2 + ES 2 ε2 ES 2, dode e l últim desiguldd hemos usdo que ε + c 2 ε 2 > 0. j= Corolrio.30. De l desiguldd. se sigue de mer imedit l desiguldd de Mrkov: P X EX > ε VrX ε 2.

12 Cpítulo. Repso.4. Itegrl de Riem-Stieltjes Dremos u breve repso, si demostrcioes, de l defiició de itegrl de Riem-Stieltjes sí como lgu de sus propieddes..4.. Defiició Defiició.3. Dds g, F : [, b] R y P = { = c 0 < c < c 2 <... < c = b}: defiimos l sum prcil de Riem-Stieltjes como siedo x i [c i, c i ]. SP, g, F = gx i F c i F c i, defiimos l orm de l prtició P como P = máx{c i c i : i =,..., }. i= decimos que lím P 0 SP, g, F = I si y sólo si pr todo ε > 0 existe δ > 0 tl que pr tod prtició P de [, b] co P < δ se tiee que SP, g, F I < ε, e este cso decimos que l itegrl de Riem-Stieltjes de g respecto de F e el itervlo [, b] existe y vle I, y deotmos b gxdf x. Observció.32. Si F x = x obteemos l itegrl de Riem. Si F x = k, b gdf = 0 pr tod g. Si g : [, b] R es cotiu y F x = I [c,b] x co c, b etoces b gdf = gc. Si gx = k, pr tod F b gdf = kf b F. Teorem.33. Los siguietes eucidos so equivletes existe lím P 0 SP, g, F = I < ddo ε > 0 existe δ tl que si P < δ y Q < δ se cumple SP, g, F SQ, g, F < ε pr tod sucesió de prticioes {P } N de [, b] tl que P 0 se cumple que lím SP, g, F = I. Teorem.34. Si g : [, b] R es cotiu y F : [, b] R es moóto, etoces existe b gdf. Teorem.35. Si g : [, b] R es cotiu y F : [, b] R es moóto y derivble tl que F x = fx siedo f itegrble Riem e [, b], etoces b gxdf x = b gxfxdx Proposició.36. Si g, h, F : [, b] R so tles que existe b gdf y b hdf etoces tmbié existe b αg + βhdf pr todo α, β R y demás b αg + βhdf = α b gdf + β b hdf 2

13 Cpítulo. Repso Proposició.37. Si h, F, G : [, b] R so tles que existe b hdf y b hdg etoces tmbié existe hdαf + βg pr todo α, β R y demás b b hdαf + βg = α b hdf + β Proposició.38. Si g, F : [, b] R so tles que existe b gdf etoces pr todo c, b existe c gdf y b gdf y vle c b gdf = c gdf + Proposició.39. Si g, F : [, b] R so tl que α g β pr todo x [, b], y F es moóto o decreciete tl existe b gdf etoces αf b F b b c gdf b dg gdf βf b F Proposició.40. Si g : [, b] R es cotiu y F : [, b] R es moóto o decreciete, etoces b b gxdf x gx df x Proposició.4. Teorem del vlor medio. Si g, F : [, b] R so tles que g es cotiu, F es moóto creciete, etoces existe c [, b] tl que b gdf = gcf b F Métodos de itegrció Teorem.42. Fórmul de itegrció por prtes. Si g, F : [, b] R so tles que existe b gdf, etoces existe existe b F dg y demás b F dg = gf b b gdf Teorem.43. Cmbio de vrible. Si g, F : [, b] R so tles que b gdf existe, h : [c, d] [, b] es cotiu y biyectiv, etoces existe b g hdf h y demás d c ghtdf ht =.4.3. Apliccioes l teorí de l probbilidd b gxdf x.6 Proposició.44. Si F X es l fució de distribució de u vrible letori X, etoces b df X x = P < X b Proposició.45. Se X u vrible letori cuy fució de distribució es F X, Si su recorrido es A = {x, x 2,... } y g : [, b] R es cotiu, etoces b gxdf X x = x,b] A gxp X x = EgXI X,b] 3

14 Cpítulo. Repso Si X es bsolutmete cotiu co desidd f X y g[, b] R es cotiu, etoces b gxdf X x = b gxf X xdx = EgXI {X [,b]} Observemos que, de l proposició terior se sigue que podemos defiir l esperz de u vrible letori X co distribució F X, como EX = b lím b + xdf X x = xdf X x siempre que dicho límite doble exist, l segud iguldd es simplemete otció, pr el cso e que dicho límite existe. Ejercicio.46. Probr que si F es u fució de distribució, < b so putos de cotiuidd de F, defiimos 0, x <, x > b ψx = /2, x =, x = b,, < x < b etoces ψxdf x = F b F 4

15 Cpítulo 2 Covergeci de vribles letoris 2.. Covergeci csi segur, sucesioes de Cuchy, covergeci de series Defiició 2.. Se X y {X } N vribles letoris defiids e el mismo espcio Ω, A, P, decimos que X coverge csi segurmete X si y sólo si deotmos X c.s. X. Observció 2.2. P {ω Ω : X ω Xω} =, por el Corolrio.25, si X c.s. X, X es u vrible letori. Si g : R d R es cotiu y X i c.s. X i pr todo i d etoces gx,..., X d c.s. gx,..., X d c.s. c.s.. E prticulr tomdo d = 2 obteemos que si X X y Y Y etoces c.s. c.s. pr todo, b X + by X + by y X Y XY. Si X c.s. 0 y existe k > 0 tl que P Y > k = 0 pr todo etoces X Y c.s. 0. Teorem 2.3. X c.s. X si y sólo si lím k + P + =k { X X < ε} = pr todo ε > 0. Demostrció. Observemos que P lím + X = X = si y sólo si P + + { ε} + + { X X < = P X X < ε} =, pr todo ε Q +, ε Q + =k =k Como los cojutos B k = + =k { X X < ε} form u sucesió creciete P + B k = lím k + P B k. Corolrio 2.4. Se {X } N u sucesió de vribles tl que pr todo ε > 0, = P X X > ε <, etoces X X c.s. Teorem 2.5. X c.s. X si y sólo si ε > 0, lím k + P sup k X X > ε = 0 Demostrció. Bst observr que { + =k } { X X > ε = 5 sup X X > ε k },

16 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris por lo tto + P sup X X > ε k 0 P X X > ε 0, y por el Teorem 2.3 esto se d si y sólo si X c.s. X. Vmos itroducir hor u cocepto álogo l de sucesió de Cuchy, recordemos que u sucesió {x } N R es de Cuchy si x x m 0 cudo y m. Defiició 2.6. Se X y {X } N vribles letoris defiids e el mismo espcio Ω, A, P, vlores e R d, decimos que X es de Cuchy co probbilidd si y sólo si =k P { ω : X ω es de Cuchy } = Teorem 2.7. L sucesió {X } N es de Cuchy co probbilidd si y sólo si. pr todo ε > 0 o, de form equivlete: 2. pr todo ε > 0 P sup X k X l > ε 0 cudo, 2. k l P sup X +k X > ε k 0 0 cudo. 2.2 Demostrció. L demostrció de que {X } N es de Cuchy e probbilidd si y sólo si 2. es álog l prueb del Teorem 2.3. E este cso, fijdo ε > 0 tommos los cojutos B ε k,l = { ω : X k X l > ε } y B ε = por lo tto {ω : X ω o es de Cuchy} = ε>0 B ε. Deotemos B ε = k l Observemos que, pr todo ε > 0, B ε es u sucesió decreciete de cojutos, por lo tto, pr todo ε > 0, y P B ε = lím P + B ε k,l Bk,l ε = sup X k X l > ε, implic P k l k l k l k l B ε k,l B ε k,l =, k l B ε k,l, = P sup X k X l > ε. k l 6

17 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris L equivleci etre 2. y 2.2 se sigue de sup k 0 X +k X sup k 0 l 0 X +k X +l sup k 0 X +k X + sup l 0 X X +l = 2 sup X +k X k 0 dode l primer desiguldd es porque estmos tomdo supremo e u cojuto ms grde. Teorem 2.8. U sucesió {X } N es de Cuchy co probbilidd si y sólo si existe X tl que X c.s. X. Demostrció. El recíproco se sigue de que: sup k l X l X k sup k X k X + sup X X l, l por lo tto P sup X l X k > ε P k l sup X k X > ε k 2 + P sup X X l > ε l 2, c.s. si X X, por el Teorem 2.5, cd uo de los dos sumdos tiede cero, y por el Teorem 2.7 l sucesió es de Cuchy co probbilidd. Pr ver el directo cosideremos el cojuto N = {ω : X ω es de Cuchy}, dicho cojuto tiee probbilidd, demás, si ω N etoces {X ω} es u sucesió de Cuchy e R y por lo tto coverge. Defiimos Xω = lím X ω si ω N y cero e otro cso Teorems de covergeci moóto y domid Teorem 2.9. Teorem de covergeci moóto. Se X y {X } N vribles letoris defiids e el mismo espcio Ω, A, P tl que existe EX, X ω 0 y X ω Xω pr csi todo ω Ω es decir existe D Ω co P D = tl que X ω Xω pr todo ω D etoces existe EX pr todo y demás lím + EX = EX. 2.3 Demostrció. Observemos que como 0 X X existe EX y demás es u sucesió creciete y cotd por EX, por lo tto existe lím EX EX. Pr probr 2.3 bst probr que pr todo ε > 0 lím EX EX ε. Fijdo ε > 0 cosideremos ls vribles letoris Y ε = + =0 εi {ε<x +ε}, es clro que X ε Y ε < X y por lo tto EX ε EY ε < EX. Vemos que lím EX EY ε. E lo que rest los ω que cosideremos será tomdos e el cojuto de probbilidd tl que X ω Xω. Cosideremos los sucesos A k = {X k Y ε }, como X k es creciete los A k so u sucesió creciete. Como X k ω Xω > Y ε ω teemos que + A k = Ω. Por lo tto A k B k B siedo B = {ε < X + ε}, por lo tto EY ε I Ak = + =0 εp Y ε I Ak = ε = + =0 εp A k B m εp A k B, =0 7

18 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris pr todo m, como A k B k B, P A k B k P B, es decir lím k m EY ε I Ak εp B =0 tomdo límite e m, lím k EY ε I Ak Como Y ε I Ak X k se tiee que EY ε I Ak EX k. εp B = EY ε. =0 Observció 2.0. Se dej como ejercicio observr que, siguiedo ls misms ides que tes, el teorem terior sigue siedo válido si estmos e el cso e que EX =, o obstte lo úico que se cocluye es que EX. Teorem 2.. Teorem de covergeci domid. Se X, Y y {X } N vribles letoris defiids e el mismo espcio Ω, A, P tl que X ω c.s Xω y X ω Y pr csi todo ω Ω, supogmos que existe EY etoces existe ls esperzs de ls X pr todo y l de X y demás lím EX = EX. + Demostrció. Que existe EX y EX se sigue de que X Y pr todo y por lo tto X Y. Defiimos Y = íf k X k, es clro que Y X y por lo tto Y + Y X + Y. Además 0 Y + Y y que X Y, por lo tto por el teorem de covergeci moóto lím EY + Y = EX + EY, de dode EY EX. Aálogmete, si tommos Z = sup k X k teemos que Z X y como 0 Y Z Y X obteemos, plicdo uevmete el teorem de covergeci moóto, que EZ EX. L tesis se sigue de que Y X Z y por lo tto EY EX EZ. Corolrio 2.2. Si f : [, b] R y g : [, b] R so Riem itegrbles tl que lím f x = fx y f x gx pr todo x [, b] etoces lím b f xdx = b fxdx. El siguiete Teorem, permite derivr bjo el sigo de l itegrl. Lo eucimos y que será usdo ms delte, u demostrció del mismo puede ecotrrse e el [2]. Teorem 2.3. Se f : R [, b] R y F : R R u fució moóto o decreciete, co < < b < +, tl que pr todo t [, b] l fució f, t : R R es itegrble respecto de df x es decir existe y es fiit ft, xdf x, deotemos R Gt = fx, tdf x, R supogmos que f t x, t existe pr todo x y demás existe g tl que R gxf dx < y f t x, t < gx pr todo t, x, etoces G es derivble y vle G f t = x, tdf x. t R 8

19 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris Covergeci csi segur de series Teorem 2.4. Kolmogorov-Khichi. Se {X } N u sucesió de vribles letoris idepedietes tl que EX = 0 pr, si etoces, co probbilidd EX 2 <, = X <. = Si ls vribles X k so uiformemete cotds, es decir existe c < tl que P X k < c = pr todo k, el recíproco es cierto: = X < implic que = EX2 <. Demostrció. Por el Teorem 2.8 bst probr que = X es de Cuchy co probbilidd. Deotemos S = j= X j, por el Teorem , esto es equivlete demostrr que, pr todo ε > 0, P sup S +k S > ε 0 cudo, k o lo que es lo mismo, si escribimos S +k S = +k j= X j j= X j, +k P sup X j X j > ε 0 cudo. k j= j= Observemos que, pr todo > 0, +k ω Ω : máx +k X j X j > ε k N ω Ω : sup X j j= j= k j= X j > ε j= cudo N, por lo tto, +k P sup X j k j= X j > ε = lím j= N P máx S +k S > ε, k N pr cotr l probbilidd del máximo usmos l desiguldd de Kolmogorov. lím P máx S +k S > ε N k N lím N +N k=+ EX2 k k=+ ε 2 = EX2 k ε 2 0. dode el último límite se debe que, como estmos supoiedo que = EX2 <, se tiee que lím k=+ EX2 k = 0. Vmos demostrr el recíproco por bsurdo, es decir supoemos que X k coverge, y EXk 2 =. Como X k coverge, por el Teorem 2.7 podemos tomr suficietemete grde tl que P sup S +k S k < /2, 2.4 9

20 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris pero, por otr prte, si usmos.2 obteemos que, pr todo N P máx S ε + c 2 +k S > ε k N N+ k=+ EX2 k, como estmos supoiedo que EXk 2 = podemos tomr N tl que P máx S +k S > ε > /2 k N lo que cotrdice Covergeci e Probbilidd Defiició 2.5. Se X y {X } N vribles letoris defiids e el mismo espcio Ω, A, P, decimos que X coverge e probbilidd X si y sólo si pr todo ε > 0 P {ω Ω : X ω Xω > ε } 0 cudo deotmos X P X. Proposició 2.6. Si X P X y X P Y etoces P X = Y = Demostrció. Se k > 0, deotemos Ω k = {ω : Xω Y ω < /k}, observemos que por lo tto Ω c k { X X /2k } { X Y /2k }, P Ω c k P X Y /2k + P X X /2k 0, de dode P Ω k = pr todo k y etoces P k Ω k =. Teorem 2.7. Se X y {X } N vribles letoris defiids e el mismo espcio Ω, A, P, si X c.s. X etoces X P X. Demostrció. Observemos que, por el Teorem 2.3 sbemos que, pr todo ε > 0, + lím P { X X > ε } = 0, k + l covergeci e probbilidd se sigue de que { X k X > ε} + =k { X X > ε}. =k Ejemplo 2.8. Vemos co u ejemplo que el recṕroco o es cierto. Cosideremos l sucesió de itervlos I i = [ i, i ] y ls vribles Xi = I I i, co i =, 2,..., ;. Observemos que e este cso el espcio de probbilidd Ω es el itervlo [0, ], l σ-álgebr es l de Borel e [0, ], y l probbilidd es l que sig u itervlo [, b] co 0 b el vlor b. L sucesió {X, X2, X2 2, X3, X3 2, X3 3,... } coverge e probbilidd 0, pero o coverge c.s. Proposició 2.9. Si g : R d R es cotiu y X i P X i pr todo i d etoces gx,..., X d P gx,..., X d P P. E prticulr tomdo d = 2 obteemos que si X X y Y Y etoces pr todo, b X + by P X + by y X Y P XY. 20

21 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris Proposició Si X P 0 y existe k > 0 tl que P Y > k = 0 pr todo etoces X Y P 0. P Teorem 2.2. Se {X } N u sucesió de vribles letoris. Etoces X X si y sólo si pr c.s. tod subsucesió {X k } k N existe {X kj } j N u subsucesió de {X k } k N tl que X kj X cudo j. Demostrció. Pr demostrr el directo tomemos u subsucesió {X k } k N de {X } N, es clro que P X k X cudo k, por lo tto pr simplificr l otció podemos supoer Xk = X. Observemos que pr todo j > 0, P X X > /2 j 0, cudo. Defiimos j pr j =, 2,... tl que P X j X > /2 j < /2 j c.s. Vemos que X j X cudo j. Pr eso observemos que por el Teorem 2.3 bst probr que pr todo ε > 0, P j m X j X > ε 0 cudo m, pr eso tomemos m 0 tl que /2 m0 < ε etoces P X j X > ε P X j X > /2 j /2 j 0 cudo m 0. j m 0 j m 0 j m 0 Pr demostrr el recíproco supogmos por bsurdo que existe ε > 0 tl que P X X > ε o coverge 0. Esto sigific que existe δ > 0 y k u cojuto de idices co k cudo k tl que P X k X > ε > δ pr todo k. Por hipótesis existe {X kj } j N u subsucesió de {X k } k N que coverge c.s. X. Por el Teorem 2.7 X kj P X cudo j, lo cul cotrdice que P X X > ε o coverge 0. Se dej como ejercicio el siguiete teorem: P Teorem X X si y sólo si E X X + X X Ley débil de los grdes úmeros. Teorem Se {X } u sucesió de vribles letoris co esperz fiit. Supogmos que 2 Vr X i 0, 2.5 etoces i= [ Xi EX i ] P 0, 2.6 i= e prticulr si ls X i so idepedietes dos dos y existe C tl que VrX i < C pr todo i, se cumple 2.6 Demostrció. Deotemos Z = i= X i, 2.6 es equivlete probr que pr todo ε > 0, P Z EZ > ε 0, pero esto se sigue de l desiguldd de Mrkov y que P Z EZ > ε 2 ε 2 Vr X i 0. i= Vemos hor otr versió del Teorem terior e el el cul pedimos u codició más fuerte que 2.5 pero o t restrictiv como l idepedeci. Pr eso vmos defiir dos coceptos importtes. 2

22 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris Defiició Dds X, Y vribles letoris defiids e u mismo espcio de probbilidd tl que 0 < VrX < y 0 < VrY <, el coeficiete de correlció etre X e Y se defie como ρx, Y = EXY EXEY VrX VrY. Observció Si X e Y so idepedietes, ρx, Y = 0, o obstte el recíproco o es cierto e geerl. Se puede ver que ρx, Y y que ρx, Y = si y sólo si X = Y + b siedo y b costtes. Defiició Decimos que u sucesió de vribles letoris {X } es débilmete estciori si l esperz de cd vrible es costte EX = c < pr todo, EX 2 < segudo mometo fiito y EX X m depede úicmete de l difereci m. Ejercicio Probr que si {X } N es iid co EX = y VrX = σ 2 pr todo etoces es débilmete estciori. Teorem Cosideremos {X } N u sucesó débilmete estciori de vribles letoris. Supogmos que ρx, X m 0 cudo m, etoces si deotmos EX i = P X i. i= Demostrció. Vmos demostrr que se verific 2.5. Observemos que como X es débilmete estciori EX 2 o depede de y por lo tto tmpoco VrX, deotemos VrX = σ 2. Vr X i = VrX i + 2σ 2 ρx i, X k = σ 2 + 2σ 2 T + T 2, dode i= T = i= i<k i k M i<k ρx i, X k T 2 = i<k i k >M ρx i, X k, se ε > 0 y M tl que ρx i, X k < ε si i k > M, por lo tto T 2 ε 2. Pr cotr T observemos que l sumtori tiee M2 M /2 sumdos, y que cd sumdo est cotdo por, por lo tto 2 Vr X i σ2 M2 M + σ2 2 + ε. i= Como ε es rbitrrio obteemos Ley fuerte de los grdes úmeros Ates de eucir y demostrr distits versioes de l Ley fuerte de los grdes úmeros vmos demostrr uos lems sobre sucesioes o letoris que será ecesrios. Lem Kroecker. Se {x } N u sucesió de úmeros tl que = x = s, se b + u sucesió o decreciete de úmeros reles positivos, etoces lím b b k x k = 0, 22

23 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris e prticulr si b = y x = y / tl que y / coverge, etoces y + + y Demostrció. Deotemos S k = k = x, tomemos b 0 = 0 y S 0 = 0, se prueb por iducció complet que: b k x k = b S b k b k S k. Ddo ε > 0 se N tl que S k s < ε si k N. Por lo tto, tomdo > N, primero seprmos l sum e dos y luego summos y restmos b k=n b k b k s, b Observemos que b k x k =S N b b k b k S k b =S N b k b k S k b b b k=n por lo tto, sustituyedo e 2.7 b b k x k = S N b b k b k s = s b Etoces, b k x k S b b N s + b 0. b k b k S k k=n k=n k=n b k b k s b b k b k S k s. 2.7 k=n b k b k = s b b b N, b k b k S k s b b b N b b b N b k b k S k + b k b k S k s. k=n b k=n b k b k S k s. 2.8 Como S s, b y N es fijo S b b N s 0 cudo. 2.9 b Nuevmete, como N es fijo y b, N b k b k S k 0 cudo. 2.0 b Filmete, como 0 < b k b k pr todo k b k b k S k s b k b k S k s εb b N /b ε. 2. b k=n b k=n Usdo 2.9, 2.0 y 2. e 2.8 obteemos que, pr todo ε > 0, lím b k x k ε, b 23

24 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris por lo tto, como ε es rbitrrio, lím b b k x k = 0. Teorem Kolmogorov. Se {X } N u sucesió de vribles letoris idepedietes co segudo mometo fiito, supogmos que existe úmeros positivos b tl que b y etoces e prticulr si etoces Demostrció. Observemos que = VrX b 2 S ES b = < 2.2 c.s. 0 VrX 2 <, S ES S ES b = b c.s. 0, Xk EX k b k, b k por el Lem terior bst probr que Xk EX k b k <, pero esto se sigue de 2.2 y del Teorem 2.4. Vemos hor u versió del teorem terior, pr el cso de vribles idéticmete distribuids, si l hipótesis de fiitud del segudo mometo. Pr eso vmos ecesitr dos lems: Lem 2.3. Se X u vrible o egtiv, etoces P X EX + P X. 2.3 = = Demostrció. P X = P k X < k + = = k = kp k X < k + = k=0 ] E [ki {k X<k+}. 2.4 Observemos que, ki {k X<k+} XI {k X<k+} < k + I {k X<k+}, por lo tto, EkI {k X<k+} EXI {k X<k+} < Ek + I {k X<k+}, 24

25 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris Por el Teorem 2.9 ver tmbié Observció 2.0 pr el cso EX =, obteemos k=0 ] E [XI {k X<k+} = EX. Filmete ] P X E [XI {k X<k+} = EX < = = k=0 k + P k X < k + k=0 k=0 k=0 ] E [k + I {k X<k+} = kp k X < k + + P k X < k k=0 Observemos que y y hemos probdo e 2.4 que P k X < k + =, 2.6 k=0 P X = kp k X < k = k=0 Por lo tto co 2.6 y 2.7 e 2.5 se cocluye 2.3. Lem Se X u vrible o egtiv, etoces EX = 0 P X > xdx. 2.8 Demostrció. L demostrció es muy similr l terior, bst tomr A k, = {ω : Xω [k/2, k + /2 } pr k 0, y l vrible letori S = k 2 I A k, observemos que S X y por lo tto usdo covergeci moóto ES EX. ES = k i= 2 P A k, = i= k=i Por otr prte, como P X > x decreciete 2 P A k, = 2 P i= X i 2 0 P X > xdx. 2.9 como /2 P X > xdx = i= i+/2 i/2 P i+/2 i/2 P X > xdx i= i+/2 X > i 2 dx = 2 P X > i 2, i/2 P X > i/2 dx, 25

26 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris obteemos filmete que /2 P X > xdx i= 2 P X > i 2 = ES 2.20 dode e l últim iguldd hemos usdo l equció 2.9. Filmete, de 2.20 y 2.9 obteemos que /2 P X > xdx ES domdo límite cudo + se cocluye P X > xdx, Lem Toeplitz. Se { } N u sucesió de úmeros o egtivos tl que > 0, se b = i=, supogmos que b. Se {x } N tl que x x, etoces e prticulr si = pr todo etoces b j= j x j x, x + + x x Demostrció. Se ε > 0 y 0 = 0 ε tl que x x ε/2 pr todo 0. Tomemos > 0 tl que 0 b j= x j x < ε/2. Pr todo > teemos que j x j x b j= = b j x j x j= j x j x b = b b j= 0 j= 0 j= ε 2 + b b 0 b j x j x + b j x j x + b ε 2 ε j= 0+ j= 0+ j x j x j x j x Teorem Se {X } N u sucesió de vribles letoris idepedietes e idéticmete distribuids tl que E X i <, etoces S c.s. EX

27 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris Demostrció. Supogmos si pérdid de geerlidd que EX = 0 si o fuese el cso tommos ls vribles X i EX i. Observemos que, por el Lem 2.3, E X < si y sólo si P X <. Como ls X i so idéticmete distribuids teemos que P X < P X <, Por el Lem de Borel Ctelli teemos que, si defiimos A = {ω : X }, P lím sup A = 0, es decir, por l Proposició.. X < excepto u ctidd fiit de, co probbilidd. Deotemos { X, X < X = 0, X Vemos que, como X < excepto u ctidd fiit de, co probbilidd, etoces: X + + X c.s 0 X + + X c.s Se D Ω, PD = tl que si ω D, existe 0 ω tl que pr todo > 0 X ω <, por defiició de X teemos que X ω = X ω pr > 0, se > 0 X ω + + X ω = X ω + + X 0 ω + X 0+ω + + X ω. Como 0 es fijo, el primer sumdo tiede 0 cudo 0, de dode se deduce X ω + + X ω = X ω + + X 0 ω Observemos que E X o es ecesrimete 0, o obstte E X = EX I { X <} = EX I { X <}. + X 0+ω + + X ω. Por el Teorem de covergeci domid se puede plicr y que X I { X <} X y E X < obteemos que EX I { X <} EX = 0. Si plicmos el Lem 2.33 co i = y x = E X obteemos que E EX = 0,, como cosecueci X + + X c.s. 0 X E X + + X E X c.s. 0. Pr probr que se verific el último límite, bst probr, por el Lem 2.29, que l serie ˆX / es covergete, siedo ˆX = X E X. Por el Teorem 2.4 pr ver que ˆX / coverge bst ver que 27

28 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris Vr ˆX / 2 coverge. Si cotmos Vr ˆX = E X 2 E X 2 E X 2, = Vr ˆX 2 = = = = = = E X 2 2 = = 2 E[ XI 2 ] { X <} 2 [X 2 E ] 2 I { X <} E [ X 2 ] I {k X <k} E [ X 2 ] I {k X <k} 2 =k Vemos que =k 2 2 k, pr eso observemos que =k 2 =k 2 + = 2 =k [ ] = 2 + k. Por otr prte, como se obtiee que y filmete = X 2 I {k X <k} k X I {k X <k} E [ X 2 I {k X <k}] ke [ X I {k X <k}], Vr ˆX 2 2 E [ X I {k X <k}] = 2E X <. Se dej como ejercicio probr el recríproco del teorem terior: Teorem Se {X } N u sucesió de vribles letoris idepedietes e idéticmete distribuids tl que X +... X C c.s. etoces: E X i < y C = EX. Demostrció. Escribir: X = S S Probr usdo el Lem.3 2. y 2.23 que P X > <, 2.23 y cocluir usdo el Lem

29 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris 2.5. Covergeci e Distribució Defiició Dd {X } N u sucesió de vribles letoris defiids e Ω, A, P y X defiid e Ω, A, P, se dice que {X } N coverge e distribució X si y sólo si deotmos X d X. lím F X x = F x pr todo x puto de cotiuidd de F X, Observció Recordemos que u fució de distribució F : R [0, ] es moóto o decreciete y verific que F D siedo D el espcio defiido e el puto 7 del ejemplo.5. Por tl motivo se puede ver fácilmete que ls discotiuiddes de u fució de distribució so de slto el límite por izquierd y derech o coicide, co lo cul, como l sum de dichos sltos tiee que estr icluido e [0, ], sólo puede ser u ctidd umerble. Si F es cotiu l covergeci es uiforme como se demuestr e el siguiete teorem: Teorem Si X d X y FX x es cotiu pr todo x etoces F X F X uiformemete. Demostrció. Deotemos F = F X y F X = F. Se ε > 0 existe R = Rε > 0 tl que F R F R > ε. Observr que etoces F R < ε y F R > ε. Se N 0 tl que si > N 0 F R F R < ε y F R F R < ε N 0 existe y que F es cotiu e R y e R y F coverge putulmete F. Si r R, como F y F so o decrecietes F r F r F r + F r F R + F R < F R + ε + F R 3ε si > N 0. Si r R, ε < F R F r, demás 2ε < F r <, por lo tto F r F r 2ε. Por lo tto hemos probdo que si > N 0 etoces sup r [ R,R] c F r F r < 3ε. Pr ver el cso e que r [ R, R] observemos que F es uiformemete cotiu e [ R, R] y por lo tto pr todo ε > 0 existe δ > 0 tl que F x F y < ε si x y < δ. Se R < x < x 2 <... < x k < R tl que x i x i < δ. Como F x i F x existe i tl que si > i F x i F x i < ε, se N = máx{,..., k }. Si r [ R, R] se i tl que x i < r < x i y > N, uevmete usdo que F y F so o decrecietes F x i ε F x i F x i F x i F r F r F x i F x i F x i ε F x i como x i x i < δ se tiee que F x i ε F x i < 2ε. Por lo tto si tommos > máx{n 0, N } teemos que pr todo r R F r F r 3ε y por lo tto lím sup r R F r F r = 0, es decir F coverge F uiformemete. El siguiete teorem d u defiició equivlete de covergeci e distribució que, difereci de l terior, permite defiir covergeci e distribució de vribles letoris defiids e u espcio métrico culquier. Teorem Dd {X } N u sucesió de vribles letoris defiids e Ω, A, P y X defiid e Ω, A, P, {X } N coverge e distribució X si y sólo si lím EfX = EfX pr tod f vlores reles, cotiu y cotd. Demostrció. Aquí solo probremos el directo, el recíproco se probrá ms delte ver Teorem 3.. Lo hremos pr el cso de vribles letoris vlores reles, el cso geerl es similr. Deotemos F l fució de distribució de X y F l de X. Tomemos g : R R tl que gx c pr todo x R. Pr todo < b teemos que EgX EgX = + b gxdf x gxdf x b gxdf x + gxdf x b gxdf x gxdf x b gxdf x gxdf x = I + I 2 + I 3 29

30 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris I 3 = gxdf x + b gxdf x cf + F b ddo que F + F b 0 cudo y b +, pr todo ε > 0, podemos tomr < b tl que cf + F b < ε. Como los putos de discotiuidd de F so lo sumo umerbles podemos supoer que y b so putos de cotiuidd de F. Si procedemos co I de l mism mer que hicimos co I 3 obteemos que I cf + F b. Ddo que y b so putos de cotiuidd de F y X coverge e distribució F, podemos tomr suficietemete grde tl que cf + F b cf + F b < ε, es decir I < 2ε. Pr cotr I 2 tomemos = x 0 < x <... < x N = b u prtició de, b tl que gx gx i < ε pr todo x i, i = 0,..., N y pr todo x [x i, x i+ ] esto se puede hcer y que g es cotiu. Podemos supoer dems que los x i so putos de cotiuidd de F. Observemos que I 2 = N i=0 xi+ x i xi+ gxdf x x i gxdf x. y m i Por lo tto = gx i εf x i+ F x i m i = gx i εf x i+ F x i sumdo e i, m i M i N m i M i i=0 xi+ x i xi+ x i xi+ x i xi+ gxdf x gx i + εf x i+ F x i = M i x i gxdf x gx i + εf x i+ F x i = M i. xi+ gxdf x gxdf x M i m i, x i xi+ N gxdf x gxdf x M i m i x i Como los x i so putos de cotiuidd, m i m i, y M i M i, pr todo i. Observr que M i m i = 2εF x i+ F x i y por lo tto álogmete N lím i=0 N m i M i = 2ε F x i+ F x i = 2εF b F > 2ε, i=0 N lím i=0 M i m i < 2ε, por lo tto, tomdo suficietemete grde e 2.24 se tiee que I 2 < 3ε. Proposició Se {X } N y X vribles letoris defiids e Ω, A, P, supogmos que X P X y se < x < b úmeros reles, etoces F X lím if i=0 F x lím sup F x F X b 30

31 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris Demostrció. F X =P {X } {X X x } + P {X } {X X < x } P X X x + P {X } {X X < x } P X X x + P X x Dode e l últim desiguldd hemos usdo que {X } {X X < x } {X x} y {X X P x } { X X x }. El primer sumdo tiede 0 co y que X X. Por lo tto tomdo límite iferior obteemos que F X lím if F x. Pr demostrr que lím sup F x F X b, procedemos de form álog: F X x =P {X x} =P {X x} {X X b x} + P {X x} {X X > b x} P X b + P X X > b x, dode usmos que {X x, X X b x} {X b} y {X x, X X > b x} { X X > b x}, luego se cocluye tomádo límite superior. Vemos que de l proposició terior se sigue que l covergeci e probbilidd es ms fuerte implic l covergeci e distribució. Corolrio 2.4. Se {X } N y X vribles letoris defiids e Ω, A, P, supogmos que X P X y se x puto de cotiuidd de F X etoces F X x F X x. Demostrció. Tomemos k = x /k y b k = x + /k, plicdo l proposició terior teemos que el resultdo se sigue de l cotiuidd de F e x. F X k lím if F x lím sup F x F X b k, El recíproco del corolrio terior es flso, bst tomr X N0, y X = X. Como X es simétric es clro que F X x = F X x pr todo x y, o obstte X 2+ X = X X = 2 X. Observemos que de este ejemplo se desprede u difereci importte co l covergeci e probbilidd y c.s. Si X d X y Y d Y, o es cierto e geerl que X + Y d X + Y. Bst tomr como Y = X 2 y X = X 2+ etoces X + Y = 0 pr todo. Por otr prte es imedito verificr prtir de l defiició de covergeci e distribució que si X d X y X d Y etoces FX x = F Y x pr todo x puto de cotiuidd de X e Y. E otrs plbrs X = d Y, de los ejemplos teriores vemos que o v ser cierto e geerl que X c.s. = Y. Vemos hor u teorem que permite e lgú setido psr de l covergeci e distribucó l covergeci csi segur. No veremos l demostrció y que requiere de técics de lisis rel, o obstte l mism puede ecotrrse e el libro [] pági 70. Teorem Skorokhod. Dd {X } N u sucesió de vribles letoris defiids e Ω, A, P d y X defiid e Ω 0, A 0, P 0, tl que X X, existe X y X defiids tods e cierto Ω, A, P tl que X d = X pr todo y X d = X y X c.s. X El teorem terior es muy útil pr probr propieddes de l covergeci e distribució. Por ejemplo d d pr probr que X X etoces gx gx siedo g cotiu, bst tomr X y X copis de X y X respectivmete, tl que X c.s. X, por lo tto sbemos que gx c.s gx y por lo tto gx d gx. O, lo que es lo mismo, como gx = d gx y gx = d gx, obteemos que gx d gx. 3

32 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris Lem Lem de Slutsky Si X d X y Y P c siedo c u costte, etoces X + Y d X + c X Y d cx X /Y d X/c siempre que c Métrics etre distribucioes Defiiremos distcis etre fucioes de distribució F y G de dos vribles letoris X e Y vlores reles, de modo que l covergeci e distribució de u sucesió de vribles letoris se equivlete l covergeci e dich distci. Alguos de estos coceptos se puede geerlizr vribles letoris vlores e espcios métricos ms geerles ver, por ejemplo, Cpítulo 2 del libro [3]. Distci de Levy Defiició Se F y G dos distribucioes de probbilidd e R, l distci de Lévy etre F y G se defie como d L F, G = íf { ε > 0 : F x ε ε Gx F x + ε + ε x R }. Vemos que l covergeci e distribució defiid e 2.36 es equivlete l covergeci e l distci de Levy. Teorem Se {F } N fucioes de distribució de vribles letoris vlores reles, y F otr fució de distribució, etoces, so equivletes. F x F x pr todo x de cotiuidd de F 2. d L F, F 0. Demostrció. Que 2 implic se sigue de mer imedit de que si x es u puto de cotiuidd de F, F x ε ε F x y F x + ε F x pr ε 0. Pr ver l otr implicci tomemos x 0 < x <... < x N putos de cotiuidd de F tl que F x 0 < ε/2 y F x N > ε/2, y x i+ x i < ε pr todo i = 0,..., N. Se 0 tl que pr todo > 0 y pr todo i, F x i F x i < ε/2. Etoces si x i < x < x i, F x F x i < F x i + ε F x + ε. 2 De l mism form se prueb que F x F x ε ε. Distci de Wsserstei Vmos defiir l distci de Wsserstei etre dos distribucioes, l cul es el ifimo de l distci e L 2 de dos vribles cuys distribucioes so F y G. Defiició L distci de Wsserstei etre dos distribucioes de probbilidd F y G se defie como { } W2 2 F, G = íf E X Y 2 : X F, Y G Si X F y Y G, de l desiguldd covx, Y covf U, G U siedo U u vrible co distribució uiforme e [0, ] observr que X F e Y G. se puede ver fácilmete que l distci de Wsserstei se reliz tomdo como vribles F U y G U. Se puede probr que W 2 2 F, F 0 si y sólo si F coverge e distribució F y el segudo mometo de vribles co distribució F coverge l segudo mometo de u vrible co distribució F, es decir x 2 df x x 2 df x. 32

33 Cpítulo 2. Covergeci de vribles letoris 2.6. Covergeci e L p Defiició Se X y {X } N vribles letoris defiids e el mismo espcio Ω, A, P, decimos que X coverge e L p siedo p > 0 o e medi de orde p X si y sólo si deotmos X L p X E X X p 0, Omitiremos l prueb de ls propieddes de l covergeci e L p que se resume e el siguiete ejercicio Ejercicio Probr usdo l desiguldd de Chebyshev que si X L p X etoces X P X. U ejemplo de que el recíproco o es cierto es el siguiete: Se Ω = [0, ], A = B[0, ] y P l probbilidd dd por l distribució de u vrible uiforme e [0, ], ls vribles { e, 0 ω / X ω =. 0, ω > / Verificr que X P 0 y X L p +. L El ejemplo 2.8 muestr que X p c.s. X o implic X X. El recíproco tmbié es flso, bst tomr X idepedietes tl que P X = = / y P X = 0 = /, y observr que si fuese c.s. X 0, por el Lem de Borel-Ctelli, tedrí que ser / < lo cul es flso. Proposició Si X es u sucesió de vribles o egtivs tl que X c.s X y EX EX < etoces E X X 0, Demostrció. Observr que pr > 0 EX <, que 0 X X I X X X, cocluir usdo que E X X =E [ [ ] X X I {X X}] + E X XI {X>X} = =2E [ X X I {X X}] + EX X Desigulddes e espcios L p Teorem Desiguldd de Jese: Si g es covex y E X <, gex EgX Desiguldd de Lypuov: Si 0 < s < t E X s /s EX t /t Desiguldd de Hölder: Si < p < y /p + /q =, si E X p < y E Y q < etoces E XY < y E XY E X p /p E Y q /q. Desiguldd de Mikowski: Si E X p < y E Y p <, co p <, etoces E X + Y p < y E X + Y p /p E X p /p + E Y p /p 33

34 Cpítulo 3 Fucioes crcterístics y TCL Vmos itroducir hor u fució que crcteriz l distribució de u vrible, que permiitirá luego probr el Teorem Cetrl del Límite. 3.. Fució crcterístic Defiició 3.. Fució crcterístic. Ddo Ω, A, P u espcio de probbilidd y X : Ω R, defiimos l fució crcterśtic ϕ X : R C de X como ϕ X t = Ee itx. Uo de los objetivos fudmetles de este cpítulo es probr que ϕ X crcteriz l distribució de X, es decir si ϕ X = ϕ Y etoces X d = Y y que si ϕ X t ϕ X t pr todo t etoces X d X. Esto último represet u herrmiet importte l hor de probr covergeci e distribució y e prticulr el Teorem Cetrl del Límite. Observció 3.2. Observemos que ddo que e itx = costx + i setx, se tiee que ϕ X t = e itx df X x = EcostX + iesetx, como e itx =, pr todo t, ϕt existe y es fiito pr todo t. Vemos lgus propieddes que se sigue de mer imedit de l defiició, se dej como ejercicio Proposició ϕ X t pr todo t R 2. ϕ X 0 = 3. ϕ X+b t = e itb ϕ X t. 4. Si X e Y so idepedietes ϕ X+Y t = ϕ X tϕ Y t pr todo t R. 5. ϕ X t = ϕ X t, dode si z = + ib, z = ib. Proposició 3.4. Si X Nµ, σ 2 etoces ϕ X x = e itµ 2 σt2 34

35 Cpítulo 3. Fucioes crcterístics y TCL Demostrció. Observemos que como η = X µ σ N0,, por l prte 3 de l proposició terior, os bst cosiderr el cso X N0,. Como sex es impr y 2π e 2 x2 es pr, ϕ X t = R e itx e 2 x2 dx = 2π R costx e 2 x2 dx, 2π derivdo respecto de t bjo el sigo de itegrl ver Teorem 2.3, e itegrdo por prtes obteemos que ϕ Xt = setx xe x2 2 dx = setxe x2 2 t 2π costx e 2 x2 dx 2π Observemos que como setx es cotd, el primer sumdo es 0, mietrs que el segudo es tϕ X t, es decir ϕ X verific l ecució y + ty = 0 de dode ϕ X t = Ce 2 t2 y C = y que ϕ X 0 = Proposició 3.5. ϕ X t es uiformemete cotiu. Demostrció. Observemos que ϕ X t ϕ X s = Ee isx e it sx, por lo tto ϕ X t ϕ X s E e it sx, como e it sx 2 L, bst observr que cudo t, s 0 etoces e it sx c.s 0, y luego plicr covergeci domid. Proposició 3.6. Si E X < pr lgú etoces existe ls derivds de ϕ X de orde,..., y demás ϕ r X t = R ix r e itx df x = i r EX r e itx y i r EX r = ϕ r X 0 3. ϕ X t = r=0 it r r! dode ε t 3E X y ε t 0 cudo t 0. EX r + it ε t, 3.2! Demostrció. L prueb de 3. se hce por iducció complet, vemos el cso bse r =. Observemos que por l desiguldd de Lypuov E X r <. Escribimos el cociete icremetl: como ϕt + h ϕt h e e itx ihx e ihx = = h h [ e = E e itx ihx ], h x 0 e ihs ds x e ihs ds = x, como X L podemos usr covergeci domid: [ ϕt + h ϕt e lím = E e itx ihx ] lím = E [ e itx ix ]. h 0 h h 0 h Pr demostrr 3.2 observemos que, pr y R, 0 e iy = cosy + i siy = k=0 iy k k! + iy [ cosθ y + i siθ 2 y ],! 35

36 Cpítulo 3. Fucioes crcterístics y TCL co θ y θ 2, etoces tomdo esperz e itx = ϕ X t = Ee itx = k=0 k=0 itx k k! it k k! + itx [ cosθ ωtx + i siθ 2 ωtx ],! [ EX k + it E X [ cosθ ωtx + i siθ 2 ωtx ]],! Si escribimos: [ E X [ cosθ ωtx + i siθ 2 ωtx ]] =E [X [ cosθ ωtx + i siθ 2 ωtx + ]] [ = E X [ cosθ ωtx + i siθ 2 ωtx ]] + EX si defiimos obteemos que ε t = E [X [ cosθ ωtx + i siθ 2 ωtx ]] ϕ X t = Ee itx = k=0 it k k! EX k + it! EX + it ε t,! de dode se sigue 3.2. [ ε t E X cosθ ωtx + i siθ 2 ωtx ] 3E X Pr ver que ε t 0 observemos que como E X < podemos usr covergeci domid y cosθ ωtx + i siθ 2 ωtx = 0. lím t 0 Teorem 3.7. Fórmul de iversió. Se F = F x u fució de distribució y ϕt = eitx df x su fució crcterístic. Pr todo pr < b de putos de cotiuidd de F, F b F = lím c + 2π 2 Si ϕt dt <, F tiee desidd f dd por fx = 2π c Demostrció. Vemos l demostrció de. Pr eso observemos que 2π c c e it e itb it ϕtdt = 2π = 2π c c c c [ c e it e itb ϕtdt 3.3 it e itx ϕtdt 3.4 e it e itb it [ e it e itb it ] e itx df x dt ] e itx df x dt 36

37 Cpítulo 3. Fucioes crcterístics y TCL hor vmos plicr el Teorem de Fubii de itercmbio de itegrles, pr eso teemos que probr que el itegrdo está e L df dt, observemos que e it e itb e itx = e it e itb b it it = e itx dx b, como b df x = b obteemos que c [ e it e itb ] c e itx df x dt c it c Si dmos vuelt ls itegrles obteemos que siedo 2π c c e it e itb ϕtdt = it ψ c x = c 2π c e it e itb e itx dt it b df xdt 2cb ψ c xdf x 3.5 e lo que rest de l prueb veremos que podemos usr covergeci domid, pr eso observemos que Como e it e itb e itx = eitx e itx b it it costx costx b = + it c dode e l últim iguldd usmos que cosu u c costx cx dt = t cx ψ c x = c 2π c setx setx b t cosu du = 0 u es impr de igul mer c costx b = 0, obteemos que c t setx setx b dt t si hor hcemos los cmbios de vrible v = tx y u = tx b obteemos que ψ c x = cx 2π cx sev dv cx b v 2π cx b seu du, u cosideremos gs, t = t sev s v dv, se puede demostrr que gs, t es uifórmemete cotiu y gs, t π cudo s y t + esto último requiere de técics de álisis complejo y o lo veremos quí. Observemos que pr todo x lím c + ψ c x = ψx siedo ψ l fució defiid e el Ejercicio.46: 0, x <, x > b ψx = /2, x =, x = b., < x < b Como g es uiformemete cotiu y gs, t π cudo s y t + existe C costte tl que ψ c x < C <. Esto os permite psr l límite co c detro de l itegrl e 3.5 y obteemos que ψ c xdf x ψxdf x cudo c +, 37