SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE CÁLCULO I. Para Grados en Ingeniería. Capítulo 3: Sucesiones y Series

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1 SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE CÁLCULO I Para Grados e Igeiería Capítulo 3: Sucesioes y Series Domigo Pestaa Galvá José Mauel Rodríguez García Figuras realizadas co Arturo de Pablo Martíez

2 3 Sucesioes y series. 3. Sucesioes y series. 3.. Sucesioes de úmeros reales. Problema 3.. i La sucesió producto puede ser cualquier cosa. Ejemplos x = /, y =, x y = coverge; x = /, y =, x y = diverge. La sucesió suma debe ser divergete porque e otro caso la diferecia (x + y x sería covergete. La sucesió cociete debe ser divergete porque e otro caso el producto (y /x x sería covergete. ii x l x l, por el problema..iii. El recíproco es falso, tomado por ejemplo x = (. iii Tomado ε = /, la úica maera de teer x l < / co x ZZ es que x = l ZZ a partir de algú. iv Si x l < ε para N, etoces x máx{ l + ε, l ε, x, x,..., x N }. Problema 3.. i a = ; a =. ii b = a, co a del apartado aterior; b =. Problema 3..3 i L = exp( log a = ; ii L = exp( 3 log = ; iii si a b, L = a + (b/a = a, por tato L = máx{a, b}; ( a x + b x /x iv L = = ab por el problema 3..iv; v multiplicado por el cojugado x L = /; vi multiplicado dos veces por el cojugado L = ; vii dividiedo por 3, L = 3; ( (3 + viii L = exp[ ( ] = e 3/ ; 3 Problema 3..4 i L = = ; ii L = ese / e/ se / / se / = ; / iii por Stolz L = = ; iv por Stirlig L = = e; log(/( (/e(π / (por Stolz tambié sale pero es más largo; v por comparació L = (o ( utilizado Stirlig; vi por Stolz dos veces L = = ; vii L = = ; viii por Stolz L = +/ ( = /. cos bx + a se bx Problema 3..5 i L = exp( = e ab ; x x (a bx/(a + x ii L = exp( = e (b+/a. x x Problema 3..6 i L = exp( se(π/ log(/( log( =. iii L = ( k= log(k = π. ii L = exp( = se(/ ( =. Problema 3..7 a / L = log(( + = e.

3 3 Sucesioes y series. 3 Problema 3..8 i ( ii log a Problema 3..9 a L ( = a = L. ( L = exp log a ( log a log a a = ( Por tato L = l. a = = + L = ; log a k= log a k = e a ; calculamos a aplicado Stolz, ( log(a /a = = log l. Problema 3.. i a + = f(a, dode f(x = x. Es moótoa pues f es creciete; es moótoa creciete pues a = > = a. Es acotada superiormete a <, por iducció: a < y a < a + < 4 =. Por tato existe l = a, que verifica l = l, que implica l =, pues l a = >. De hecho, por el problema 3..ii, la sucesió es explícita, a =. ii Aquí f(x = + x, que tambié es creciete; además a = + > = a, por lo que la sucesió es moótoa creciete; por otro lado, se tiee a <, por lo que existe l = a, que verifica l = + l, que implica l =, pues l >. iii f(x = 3 + x/ es creciete, u = 3 > = u y u < 6: existe l = u, que verifica l = 3 + l, que implica l = 6. La sucesió tambié es explícita (ua progresió geométrica u = 6( 6. iv f(x = 3 + x es creciete, u = 3 > = u, pero la sucesió es moótoa creciete o acotada, por lo que u =. De uevo es explícita u = 3(. v f(x = x3 + 6 es creciete: la sucesió es moótoa, y será creciete o decreciete depediedo del primer térmio. a u = /, u = > u, creciete; como u < existe l = u, 7 que verifica l = l3 + 6, que implica l =, o 3; se tiee l = pues / l. 7 b u = 3/, u = < u, decreciete; como u > existe l = u =, pues l 3/. c u = 3, u = 33 7 > 3, creciete y o acotada, por lo que u =. Problema 3.. i a + = f(a co f(x = + 3x, f 3 (x = >. Se tiee + 3x a < así como a + > a. Por tato existe l = a, que verifica l = + 3l, que implica l =, pues / l. + 3a + 3x ii = = 3 a x x 4. Tambié se puede calcular el ite multiplicado por el cojugado: 3a 3 (a ( + 3a + = 3 + 3a + = 3 4. Problema 3.. i b + b = (b b (de hecho f(x = x/ es decreciete. ii l = l l = 3.

4 3 Sucesioes y series. 4 iii b + 3 = 3 b = b 3. iv b 3 = b 3 = 4 b 3 = = (b 3. Tambié se trata de ua sucesió explícita, b = 3 [ ( ] 3. Problema 3..3 i l = + l l = + 5, pues trivialmete l. ii x [/, ] + x [/, /3] [/, ]. iii Por iducció a partir de c = y el apartado aterior. iii f (x = ( + x 4 9 < si x. Problema 3..4 i l = + 4 l l = + 5 (pues l > ; x [3, 3 ] + 4 x [6 5, ] [3, 3 3 ]; d 4 = 34 [3, 3 ] d [3, 3 ] 4; f (x = 4 x 4 < si x 3. 9 ii + 4/d l + 4/x l = = 4 d l x l x l l. t( + t Problema 3..5 x = f(x co f(t = + t, que es creciete. Como x = 3 < = x se trata de ua sucesió moótoa decreciete. Además x >, así que existe x =.

5 3 Sucesioes y series. 5 Problema 3..6 Por ejemplo: 3.. i 3 Ý Ô ¾Ü Ô ¾ v Ý ½ ½ Ü Ý ½ Ü ¾ ¾ 4 6 8

6 3 Sucesioes y series Series de úmeros reales Problema 3.. Aquí C = covergete, D = divergete. i ii a / = C. iii 9 v a C. vi viii xi xiv a + = < C. ix a a / = C. iv a = C. vii / a / = D. a = < C. a / = D. a + = e < C. x a 3 a = e < C. xii 3 a = e / D. xiii a a = < C. xv / = D. xvi a = < C. a = < C. a / = D. xvii a si > e C. xviii (log log = log(log si > e e C. Problema 3.. a = mietras que a / = a b (a b + a + b 4. Por tato si a b y diverge. a / = a si a = b y coverge, Problema 3..3 i la serie a = + a e a =. ii Usado la fórmula de Stirlig, < para todo a >, a C; si a = queda a = e, por lo que a > e C, a π a < e D; si a = e, se tiee a π D. iii De uevo por Stirlig, a que C a > 3/. a, por lo Problema 3..4 Aquí CA = covergete absolutamete, CC = covergete codicioalmete. i a a =, pero / = CC; ii a = ( ( + o CC; iii a = ( + o CA; iv a = π 4 D; v a = ( ( + o CC; vi a = ( + ( + o CC; vii a = ( + o CA; viii a = ( ( + o CC. Problema 3..5 arc tg x = x x3 3 + o(x3 para x, así que para se tiee a = + o( CA. 33/ 3/ Problema 3..6 Problema 3..7 i S = 3 ii S = / ( / = ; i ε (N +! < si N > 6; ii ε 3 ( ( N = 3 3/4 8 dx x 4 = 3N 3 < si N > 7. 3 / = 47 4 ;

7 3 Sucesioes y series. 7 /3 iii S = 4 ( /3 + /3 = 9 ; [ ] iv S = = = ; + + v S = [ log + + log + ] = log + log + = log. + Problema 3..8 i b S b + 9 / b + 9 / = b +. Represeta el desarrollo decimal de cualquier úmero real de parte etera b (o b + e casos particulares, como e el ejemplo siguiete. ii a 9, = 9 b, = = ; k + (k+ = k= k= Problema 3..9 i Sea f(x = tg x x. Se tiee f (x = tg x, así como f(x =, [( π/] + f(x = +, [(+π/] para cada IN; por tato tiee ua y sólo ua raíz e ese itervalo. /λ ii Como λ (( π/, ( + π/, se tiee / =, y la serie coverge. π Problema 3.. i Es ua sucesió moótoa decreciete de térmios positivos, por lo que coverge; su ite verifica l = + l, es decir l =. x + + t ii a = =. x t t x x + t( + t b Por Stolz, = = /x x x + t t + t + =. iii a diverge y b coverge, pues por el apartado aterior x = ( + o. (Observemos que o fucioa el criterio del cociete Series de Taylor. Problema 3.3. i ρ = / = ; e los extremos CA; I = [, ]; ii Por Stirlig! ρ = = e ; e los extremos a π D; I = ( e, e; iii ρ = ; e los extremos, x = CC, x = D; I = [, ; iv ρ = ; e los extremos, x = CC, x = D; I = [, ; v a = (3/ x ; ρ = /; e los extremos D; I = (3/ /, 3/ + / = (, ; vi ρ = ; e los extremos x = CC, x = 3 D; I = [, 3.

8 3 Sucesioes y series. 8 Problema 3.3. f (x = x = x, f (x = f 3 (x = Problema ( x = f (x = x = ( x 3 = f (x = i ii ( + x, ( + x = ( + ( + x. x = log( x, x [, ; ( + x 4 =, ( x x (, (utilizado f del problema aterior. Problema i se cos x ( + x = = x, x IR; (! x ii a + bx = x a + bx/a = x ( bx = ( b a x, x ( a/b, a/b; a a + x iii log x = [ ( + x x ] x k+ + =, x (, k + (descompoiedo la suma e par o impar; iv x = ( x = x, x (, ; x v e x =!, x IR. k= ( / Problema i S = = e / ; ii S =! (/ iii S = = log ; iv S = arc tg = π 4. Problema / ( / = ; i U cuadrado de lado r. ii Cada radio es r + = r, por lo que cada área es A + = A ; partiedo de A = πr, se tiee A = πr, y así A = πr. Problema f( =! = e ; f( = f( =! =! = (! = (! =! = e; + (! = = (! + (! = e.

9 3 Sucesioes y series. 9 Problema Derivado la ecuació para f obteemos f (x = f(x + x, f (x = f (x +, f (x = f (x, f (x = f (x,. Calculemos la serie de Taylor de f a partir de sus derivadas e x = : f( =, f ( = f( + =, f ( = f ( + = 3, f ( = 3,. Por tato f (x f(x =! = + x + 3 = x! = + x + 3(ex x = 3e x x.