Primer Parcial de Matemáticas II Grado Ingeniería Biomédica

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1 Primer Parcial de Matemáticas II Grado Igeiería Biomédica ETSII de alècia. Marzo de 08 Apellidos Nombre Istruccioes Comieza poiedo el ombre y apellidos. E la preguta de erdadero o also marca claramete tu respuesta. E otro caso la preguta o será putuada. 3 Excepto e la primera preguta po todos los cálculos ecesarios. 4 No se puede usar igú tipo de material de cosulta i asistetes electróicos. 5 Escribe co bolígrafo azul o egro. 6 El tiempo total es de horas. Nota fial Putuació Ejercicio Ejercicio Ejercicio 3 Ejercicio 4 Ejercicio 5

2 Ejercicio 0 putos: 5 putos cada apartado Idica si las siguietes afirmacioes so erdaderas o alsas (o hay que justificar ada). Preguta correcta: 0.5 putos Preguta icorrecta: -0.5 putos Preguta e blaco: 0 putos La fució f(x) = x es estrictamete creciete. Si P y Q so poliomios o costates etoces Si [log(x)] = etoces x <. La fució f(x) = x 3 es derivable e a = =. = =. La fució f(x) = cos(x x 3 ) + x es ua fució par. Si a = etoces 5 x + 3x x 3 x + 5x = 3 5. a es covergete. log(p ()) log(q()) es divergete. Si f es ua fució cotiua e u puto a etoces f tambié lo es. Para demostrar que toda serie umérica absolutamete covergete es covergete aplicamos el criterio de comparació que afirma que si 0 a b y la serie b es covergete etoces la serie a tambié lo es. eamos etoces que si a es absolutamete covergete etoces a es covergete. Como a es absolutamete covergete etoces, por defiició, la serie a es ua serie covergete. Usado las desigualdades 0 a + a a teemos que la serie ( a + a ) es tambié ua serie covergete. ialmete como ( a = a + a ) a etoces la serie a es covergete. Como queríamos demostrar.

3 Ejercicio Calcula el valor de la suma de la serie umérica Solució. Se trata de ua serie telescópica. Hacemos la descomposició e fraccioes simples: = ( ). a = ( ) = A + B + C + De dode: = A( + ) + B( )( + ) + C( ), y por lo tato A( + ) + B( )( + ) + C( ) = (. ) = : = C = C = / = 0 : = B = B = = : = A = A = /. De esta maera Teemos etoces: a = / + + / +. a = / + 3 a 3 = / / 4 a 4 = / / 5 a 6 = / / 6. a = / 3 + a = / + + / a = / + + / + Sumado todas las igualdades teemos a + a 3 + a a = / / +, co lo que s = ( a + a 3 + a a ) (/ = / ) + = / + = 4. Así la serie es covergete y suma /4.

4 Ejercicio 3 Calcula la derivada de la fució f(x) = x ta(x) log(x) x se(x) 3 x. Solució. Aplicamos la derivació logarítmica. Tomado logaritmos: log(f(x)) = log x ta(x) log(x) x se(x) 3 x derivado e ambas partes: Despejado: = log(x) + log(ta(x)) + log(log(x)) log(x) log(se(x)) x log(3) = 3 log(x) + log(ta(x)) + log(log(x)) log(se(x)) x log(3), f (x) f(x) = 3 x + ta(x) cos (x) + log(x) x cos(x) log(3). se(x) f (x) = x ta(x) log(x) x se(x) 3 x ( 3 x + se(x) cos(x) + x log(x) cos(x) ) se(x) log(3). OTRA ORMA. Derivar como si o hubiera vida...pero o estaba pesado para hacerlo así.

5 Ejercicio 4 0 putos: 5 putos cada apartado Estudia el carácter de la serie 5!. Solució. Aplicamos el criterio del cociete de D Alembert: a + α = a = 5 + ( + ) +! 5 + = 5 ( + )! ( + ). Resolvemos la idetermiació aplicado la órmula de Euler: Como α > etoces la serie diverge. α = 5 e ( + ) = 5 e. Estudia el carácter de la serie ( ) log(). Solució. Se trata de ua serie alterada. Aplicamos el criterio de Leibiz. Como las sucesioes ( ) y (log ) so crecietes etoces: es ua sucesió decreciete. Y como b = log() b = log() = 0, etoces la serie coverge por el criterio de Leibiz. OTRA ORMA: Estudiamos si la serie es absolutamete covergete. Como ( ) log() = log(), el criterio del cociete de D Alembert: a + α = a = log() + log( + ) = log() log( + ) =. Como α < la serie a es covergete. Esto sigifica que la serie origial es absolutamete covergete y por lo tato covergete.

6 Ejercicio 5 0 putos: 8 putos el primer apartado y el segudo Calcula la ecuació de la recta tagete a f(x) = x x + cos(x) e el orige. Solució. La ecuació de la recta tagete a f e el orige será: y f(0) = f (0)(x 0) esto es y = f (0)x. Calculamos etoces f (0). Como la fució y = x o es derivable e el orige o podemos usar la reglas de derivació por lo que aplicamos la defiició: f f(x) f(0) x x + cos(x) (0) = =. x 0 x 0 x 0 x Este último ite es ua idetermiació del tipo 0/0 e el que o podemos usar la regla de l Hôpital porque o podemos derivar el umerador (debido al módulo). Para quitar el valor absoluto hacemos los ites laterales: x x + cos(x) x + cos(x) x se(x) = = = 0, x 0 + x x 0 + x x 0 + x x + cos(x) x + cos(x) x se(x) = = = 0. x 0 x x 0 x x 0 Como los ites laterales coicide el ite existe y vale 0. Así f (0) = 0 y por lo tato la ecuació de la recta tagete es: y =. Ua escalera de 0 metros de altura está apoyada e ua pared vertical al suelo. Si el extremo iferior se resbala y se aleja de la pared a ua velocidad costate de m/s. (a) Da ua formulació matemática que relacioe el desplazamieto horizotal, x = x(t), co el desplazamieto vertical, y = y(t). Cuál será el desplazamieto vertical e el istate t 0 e el que el extremo iferior de la escalera se haya desplazado 6 m? (b) A qué velocidad se deslizará el extremo superior cuado el extremo iferior de la escalera esté a 6 m de la pared? Solució. (a) Aplicado el Teorema de Pitágoras x(t) + y(t) = 0 = 00. E el istate t 0 e el que el extremo iferior está a 6 m de la pared x(t 0 ) = 6, co lo que, y(t 0 ) = = 64 = 8. (b) Para calcular las velocidades derivamos respecto de t: Y como x (t 0 ) = etoces x(t)x (t) + y(t)y (t) = 0, es decir, x(t)x (t) + y(t)y (t) = 0. x(t 0 )x (t 0 ) + y(t 0 )y (t 0 ) = 0, co lo que, 6 + 8y (t 0 ) = 0. Así: y (t 0 ) = 6 8 = 3 4.