UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE M

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1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE---M---7 CURSO: Matemática Básica SEMESTRE: Segudo CÓDIGO DEL CURSO: TIPO DE EXAMEN: Tercer exame parcial FECHA DE EXAMEN: 7 de octubre del 7 RESOLVIÓ EL EXAMEN: Kevi Pito DIGITALIZÓ EL EXAMEN: Kevi Pito REVISÓ EL EXAMEN: Dra. Mayra Castillo COORDINADOR: Ig. José Alfredo Gozález Díaz

2 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Facultad de Igeiería Departameto de Matemática Matemática Básica Tercer exame parcial Tema : ( putos) a. Calcule la itegral idefiida: b. Calcule la itegral defiida x 4x 5 c. Calcule: 4 x x 4 d cos x t 5tdt Tema : ( putos) a. Utilice límites y sumatorias de Riema para calcular la itegral. x ( ) b. Utilice el teorema fudametal del cálculo para calcular la itegral. Tema : ( putos) Ua regió del plao está limitada por la curva y ( x ) y la recta x y 4 a. Ecuetre el área de la regió utilizado difereciales de área perpediculares al eje y. b. Platee ua itegral para calcular el área co difereciales de área perpediculares al eje x. Tema 4: ( putos) Ecuetre el volume que se geera al rotar el área delimitada por y x y y 8x x a. Alrededor de la recta y, utilizado el método de discos o aillos. b. Alrededor de la recta x 8, utilizado el método de capas cilídricas.

3 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Facultad de Igeiería Departameto de Matemática Matemática Básica TEMA ( Pts) a. Calcule la itegral idefiida: x 4x + 5 Explicació Primero realizaremos ua completació de cuadrados e el deomiador. x 4x + 5 x 4x + 5 = x 4x (x ) + Al realizar la completació de cuadrados procedemos a reescribir la itegral idefiida. (x ) + Ahora procederemos a realizar ua sustitució para simplificar la itegral. x = u = du (x ) + = du u + Ua vez realizada la sustitució se observaría que la itegral, puede realizarse de maera directa. du u + = ta (u) + c Fialmete regresamos a la variable origial. ta (u) + c = ta (x ) + c R// ta (x ) + c

4 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Facultad de Igeiería Departameto de Matemática Matemática Básica b. Calcule la itegral defiida 4 x x 4 Explicació Primero procederemos a realizar ua sustitució para simplificar la itegral. Recordado que, al realizar u cambio de variable, o es posible usar los mismos límites de itegració, porque o es la misma variable. Reescribiedo la itegral teemos que: 4 x x 4 x 4 = u x = du x = du (u 4)/ du (u 4)/ du Como siguiete paso, debemos realizar otra sustitució para simplificar aú más la itegral. Reescribiedo la itegral se obtiee: u 4 = w du = dw (w)/ dw Al realizar la reescritura aterior, la itegral se puede calcular de maera directa. (w)/ dw = (w) Ahora regresamos al segudo cambio de variable que realizamos. 9 (u 4) Como siguiete paso regresamos a la variable origial, y valuamos e los límites de itegració idicados. 9 (x 4) 4 = 9 (4 4) 9 ( 4) = 8 5/ /9.577

5 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Facultad de Igeiería Departameto de Matemática Matemática Básica 4 x x 4 = 8 5/ /9.577 c. Calcule: d cos x t 5tdt Explicació Primero determiamos que podemos utilizar el segudo Teorema Fudametal del Cálculo, el cual se basa e la regla de la cadea. h(x) d f(t)dt = g(x) F(h(x)) h (x) F(g(x)) g (x) d cos(x) t + 5tdt = Como siguiete paso, debemos realizar otra sustitució para simplificar aú más la itegral. + 5() d () cos (x) + 5(cos(x)) d (cos(x)) = cos (x) + 5(cos(x)) ( se(x))= se(x) cos (x) + 5(cos(x)) R// se(x) cos (x) + 5(cos(x))

6 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Facultad de Igeiería Departameto de Matemática Matemática Básica TEMA ( Pts) a. Utilice límites y sumatorias de Riema para calcular la itegral. x ( ) Explicació Primero debemos de determiar x. x = a b = ( ) = Como siguiete paso debemos determiar el valor de x k. x k = x o + k x = + k Ahora procedemos a platear la Sumatoria de Riema S. S = 4 S = (9 k k= S = ( k k= + 4k S = ( 4 4k k= + ) + 4k ) + 8k ) S = ( 4 ) + ( 4k ) + ( 8k ) k= k= k= S = 4 () 4 (k) + 8 (k ) k= 4 ( + ) S = 4 k= S = k= + 8 ( + )( + )

7 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Facultad de Igeiería Departameto de Matemática Matemática Básica lim S 44 = lim Ua vez obteido el S, debemos de calcular su límite al ifiito positivo. 44 lim + lim lim = 44 (x + ) = lim + S = 44 b. Utilice el teorema fudametal del cálculo para calcular la itegral. Explicació E primer lugar, debemos resolver la itegral. (x + ) = x + x Ahora procedemos a evaluar e los límites de itegració. ( ) + ( ) ( ( ) + ( )) 44 ( 9 9) = + 8 = (x + ) = 44

8 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Facultad de Igeiería Departameto de Matemática Matemática Básica TEMA ( Pts) Ua regió del plao está limitada por la curva y ( x ) y la recta x y 4 a. Ecuetre el área de la regió utilizado difereciales de área perpediculares al eje y. Explicació Primero llevaremos ambas ecuacioes a su forma estádar, co el fi de que sea más secillo idetificarlas. La primera es ua parábola que abre hacia la derecha y la seguda es ua recta co itersecto e 4 y pediete de meos uo. y = (x ) y = ± x x + y 4 = y = 4 x y = (x ) x = 4 y Seguidamete calculamos dode se itersecta las fucioes, para esto sustituiremos la x de la ecuació lieal e la ecuació cuadrática. y = (4 y ) y = y y + y = (y + )(y ) = y = y = Por lo tato; x = 4 ( ) = x = 4 = Ua vez determiado dichos valores, procedemos a realizar la gráfica de las ecuacioes dadas.

9 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Facultad de Igeiería Departameto de Matemática Matemática Básica Fucioes Fucioes Co los datos obteidos, procedemos a platear el iciso a, para el cual ecesitamos utilizar difereciales de y. 4 5 E la gráfica podemos observar que la fució que está a la derecha es la recta y derecha la parábola, además de ser u dy, el cual se itegrara de - a. ((4 y) (y + ))dy Simplificamos la itegral ates plateada. ( y y )dy Ahora, teiedo simplificada la itegral procedemos a calcularla. ( y y )dy = y y y

10 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Facultad de Igeiería Departameto de Matemática Matemática Básica () () () ( ) (( ) ( ) ) 7 ( ) = 9 R// El área etre las curvas es de 9/ uidades cuadradas. b. Platee ua itegral para calcular el área co difereciales de área perpediculares al eje x. E el caso de platear difereciales de x, se puede apreciar que existe dos casos, uo dode la gráfica de la raíz positiva está sobre la gráfica de la raíz egativa (rectágulo rojo) y el otro dode la gráfica de la recta está sobre la gráfica de la raíz egativa (rectágulo celeste). Por tal razó, es ecesario platear el área como la suma de dos itegrales. Fucioes 4 5 Primero determiamos las ecuacioes e fució de x. Y recordamos los putos de itersecció que hemos hallado e el iciso a. y = (x ) y = ± x x + y 4 = y = 4 x

11 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Facultad de Igeiería Ya co las fucioes procedemos a platear las itegrales. Y fialmete realizaremos ua pequeña simplificas e las itegrales. ( x ( x )) x Departameto de Matemática Matemática Básica + (4 x ( x )) + (4 x + x )) x R// + (4 x + x )) TEMA 4 ( Pts) Ecuetre el volume que se geera al rotar el área delimitada por y x y y 8x x a. Alrededor de la recta y, utilizado el método de discos o aillos. Explicació y = x y = 8x x Primero determiamos los putos de itersecció etre las fucioes x = 8x x x + x 8x = x x = x( x) = x = x = y = () = y = () = Ahora procedemos a realizar la gráfica de las fucioes, icluyedo y=-. Co la gráfica podemos determiar el radio exterior y el radio iterior.

12 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Facultad de Igeiería 5 5 de discos Método Radio exterio Departameto de Matemática Matemática Básica Radio iterior 4 y=- 8 Sabemos que, para calcular el volume por el método de aillos debemos platear la siguiete ecuació: dv = π(r r ) De la ecuació aterior teemos que: R es el radio exterior y r es el radio iterior. Por lo tato la ecuació quedaría plateada de la siguiete maera. r = + y = + x R = + y = + 8x x dv = π(( + 8x x ) ( + x) ) Ahora procedemos a itegrar para calcular el volume. V = π(( + 8x x ) ( + x) ) Primero expadiremos los térmios. V = π(( + 8x x ) ( + x) ) V = π (4 + x + x x + x 4 4 8x 4x ) Ua vez expadido, debemos simplificar la itegral V = π (4x + 5x x + x 4 ) Como siguiete paso calculamos la itegral defiida. ( 4x + 5x x4 4 + x5 5 )π

13 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Facultad de Igeiería Departameto de Matemática Matemática Básica ( 4() + 5() () () + ()5 ) π (4() 5 ()4 4 + ()5 5 )π ( )π 47 5 π R// El volume del solido es igual a 47 π uidades cúbicas. 5 b. Alrededor de la recta x 8, utilizado el método de capas cilídricas. Explicació Ahora procedemos a realizar la gráfica de las fucioes, icluyedo x=8. Co la gráfica podemos determiar el radio exterior y el radio iterior. 5 5 x de discos Método Seguda altura H Primera altura h Radio x=8 4 8

14 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Facultad de Igeiería Departameto de Matemática Matemática Básica De la gráfica aterior es posible obteer los siguietes datos. h = x H = 8x x r = 8 x h t = 8x x x = x x Sabemos que, para calcular el volume por el método de capas cilídricas debemos platear la siguiete ecuació: dv = πrh t De la ecuació aterior poseemos todos los datos, por lo que os es posible platearla. dv = π(8 x)(x x ) Ahora procedemos a itegrar para calcular el volume. V = π(8 x)(x x ) Primero expadiremos los térmios. V = π (48x 8x x + x ) Ua vez expadido, debemos simplificar la itegral V = π (48x 4x + x ) Como siguiete paso calculamos la itegral defiida. ( 48x 4x + x4 4 )π { ( )π (8)π = π R// El volume del solido es igual a π uidades cúbicas.