SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DEL BACHILLERATO CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO 4/2 LIC: JESÚS REYES HEROLES
|
|
- Soledad Santos Toledo
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DEL BACHILLERATO CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO / LIC: JESÚS REYES HEROLES GUÍA PARA EL CURSO INTERSEMESTRAL Y PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE CÁLCULO INTEGRAL JULIO DE 0 PROFESOR: LUCIO SÁNCHEZ CHÁVEZ
2 SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DEL BACHILLERATO CENTRO DE ESTUDIOS DEL BACHILLERATO / LIC. JESUS REYES HEROLES TEMARIO UNIDAD I DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA. LA DIFERENCIAL Defiicioes de f Iterpretació gráfica de dy Reglas de la difereciació La difereciació como aproimació del icremeto Errores pequeños. LA INTEGRAL IDEFINIDA Atiderivadas Costate de Itegració La itegral defiida y las reglas para la itegració imediata de difereciales algebraicas, epoeciales y trigoométricas UNIDAD II INTEGRAL DEFINIDA Y LOS METODOS DE INTEGRACIÓN INTEGRAL DEFINIDA La otació de sumatoria Área limitada por la grafica de ua fució cotiua Cocepto de itegral defiida mediate sumatorias de Riema TECNICAS DE INTEGRACION Cambio de variable. Itegració por partes. UNIDAD III TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CACLCULO Área y área etre dos graficas APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA E situacioes de las ciecias aturales y sociales.-calcula el icremeto de y La fórmula para ecotrar los icremetos y es:
3 y F( ) F( ) Podemos teer dos casos a) Calcula y para cualquier valor de EJEMPLO Calcula F( ) Paso No. y para cualquier valor de Aplicado la fórmula para y ; teemos: y ( ) ( ) [ ] e la siguiete fució: Nota: Recuerda que para aplicar la fórmula úicamete tiees que sustituir; es decir, cambiar las de tú fució por lo idicado e cada parte de la fórmula. Si separamos la fórmula teemos: F( ) : e lugar de las hay que colocar etoces tedremos ( ) ( ) F ( ): E lugar de las hay que colocar etoces tedremos: Paso No. Realiza todas las operacioes algebraicas y/o aritméticas ecesarias. y ( ) Nota: E este paso ( ) se elevo al cuadrado, se multiplico por ( ) y se multiplico el sigo (-) que esta afuera del corchete por los sigos que está detro del corchete. y Nota: E este paso se multiplico el por cada térmio que se ecuetra detro del parétesis. y Nota: Se simplifica y teemos el resultado.
4 b) Calcular y para valores de y Para este caso teemos que sustituir e todas las que se ecuetra e el resultado de y. Calculamos tambié co y sustituimos este valor. EJEMPLO Cuál es el y? cuado:. de la ecuació aterior. y. 0. Sustituimos y ()(0.) (0.) y y 0. (0.) EJERCICIOS.- Sea y = a) Calcula el icremeto y para cualquier icremeto b) Para la misma ecuació calcula y cuado cambia de a..- Sea y = a) Calcula el icremeto y correspodiete a u icremeto b) Para la misma ecuació, calcula y cuado X = y = Sea y = a) Calcula el icremeto y correspodiete a u icremeto.- Sea y = -+ a) Calcula el icremeto y cuado X = y X =..- Sea y =
5 a) Calcula el icremeto y correspodiete a cualquier icremeto b) Para la misma ecuació; calcula el icremeto y cuado X = y =0. Ivestiga que es ua diferecial y cual es su otació Resuelve las siguietes difereciales Ua diferecial esta idicada como dy (diferecial de y ) y d (diferecial de ). Para calcularlas se usa las siguietes formulas: a) dy = f ()d ; dode f () es la derivada de la fució b) d = X X Nota: La derivada es u tema que se estudia e Cálculo diferecial (Matemáticas V), si o recuerdas como calcular ua derivada puedes apoyarte e u formulario para derivar que puedes ecotrar e cualquier libro de Calculo Diferecial. EJEMPLO a) Sea f() = 9 + Ecuetra la diferecial dy para cualquier valor d Para resolver la diferecial tiees que calcular la derivada de la fució F ()=8 De acuerdo a la formula dy = f ()d; la derivada la multiplicas por d y el resultado es dy =8d b) Sea f() = + Ecuetra la diferecial dy para = y =. Ecotramos dy como e el ejemplo aterior dy = f ()d
6 dy = (9 )d Calculamos el valor de d; ya que o esta presete como dato d = X X d =.- = 0. Sustituimos el valor de y el valor de d e dy dy = (9 -)d dy = (9() -()) (0.) dy = (6-) (0.) dy = () (0.) dy =. EJERCICIOS.- Sea f()= a) Ecuetra la diferecial dy para cualquier valor de d.- Sea f() = ( )(+) a) Ecuetra la diferecial dy cuado = y d = 0..- Sea f() = (-) a) Ecuetra la diferecial dy para cualquier valor d.- Sea f ( ) a) Ecuetra la diferecial dy para cualquier valor d b) De la ecuació aterior; calcula dy cuado = y =..- Sea f() = + a) Ecuetra la diferecial dy para cualquier valor d b) De la ecuació aterior; calcula dy cuado = y d = 0.
7 Calcula las itegrales idefiidas. Utiliza el formulario que se ecuetra a cotiuació FORMULARIO ) a d a c 0 ) sec d I(sec ta ) c ) ad a c ) sec d ta c d ) I( ) c ) csc d I(csc ot ) c ) e d e c ) csc d cot c a ) a d c ) Ia sec ta d sec c 6 ) sed cos c ) csc cot d csc c ) 8 ) 9 ) cos d se c ta d I(sec ) c cot d I( se) c Nota: Recuerda que para resolver alguas itegrales debes de coocer y maejar las leyes de los epoetes EJEMPLO a) Ecuetra la itegral ( ) d Aplicamos la formula a d a c e cada térmio y teemos:
8 d ) ( = c Realizamos las operacioes y simplificamos d ) ( = c = c 8 8 = c 8 8 b) Ecuetra la Itegral d Aplicamos las leyes de los epoetes d = d / Aplicamos la formula c a d a e cada térmio y teemos: d / = c c / ) ( / ) ( / / Aplicamos las leyes de los epoetes y teemos el resultado d = c 6 / EJERCICIOS RESUELVE LA SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS.- d ) (.- d
9 .- 8 d.- d.- 9 6d 6.- d 6.- d 8.- d d d.- 8 d 6.- 9d d.- d d d 6.-
10 d 8.- d 9.- d d Ivestiga cual es el procedimieto para itegrar fucioes co el método de sustitució Co ayuda del método de sustitució itegra las siguietes fucioes EJEMPLO ( ) a) d Paso No. Sustituir el termio que preseta la variable co el mayor epoete por la ueva variable llamada u Etoces para este ejemplo el termio co el epoete mas alto es ( +) por lo tato u = ( +) Paso No. Sabiedo que d = ' ; calculamos el valor de d para esta fució f ( u)
11 Si f (u)= etoces d = Paso No. Hacemos la sustitució de u y el valor de d e la fució ( ) d ( u) = u = ( +) d = Como puedes observar e esta sustitució puedes elimiar las y os quedara ( ) u = ( +) d = d ( u) = = ( u) Multiplicamos los deomiadores y se resuelve la itegral co las formulas para ecotrar la itegral idefiida la úica diferecia es que e lugar de teer la variable teemos la variable u ( ) d ( u) = = ( u) ( u) = = u c () = u = ( +) d = u u c c () 0 Paso No.
12 El resultado esta e fució de la variable u, hay que cambiar esta variable por la sustitució que se hizo e el paso u = ( +) Etoces u ( ) c 0 0 EJEMPLO c cos b) d Paso No. Sustituir la variable de la fució trigoometrica por la ueva variable llamada u Etoces para este ejemplo el la variable de la fució trogoometrica es por lo tato u = Paso No. Sabiedo que d = ' ; calculamos el valor de d para esta fució f ( u) Si f (u)= etoces d = Paso No. Hacemos la sustitució de u y el valor de d e la fució cos d cos u = u = ( +) d =
13 Como puedes observar e esta sustitució puedes elimiar las y os quedara cos u = ( +) d = d cos u = = cos u Multiplicamos los deomiadores y se resuelve la itegral co las formulas para ecotrar la itegral idefiida de la fució trigiometrica correspodiete, la úica diferecia es que e lugar de teer la variable teemos la variable u cos u = ( +) d = d cos u = = cos u cos u seu = = c 0 0 Paso No. El resultado esta e fució de la variable u, hay que cambiar esta variable por la sustitució que se hizo e el paso u = Etoces seu c 0 se = c 0 EJERCICIOS
14 .- ( ) d.- se8d ( 8).- d.- e d.- d ( ) ta6 6.- d d.- ( ) d d ( ) cos 0.- d Itegració por partes. Ua técica muy importate de itegració, es la llamada itegració por partes. Esta técica puede aplicarse a ua amplia variedad de itegrales y es particularmete eficaz para itegrados dode aparece proctos de fucioes algebraicas y trascedetes. Por ejemplo, fucioa muy bie para resolver itegrales como: l d, e d, y e sed
15 La itegració por partes se basa e la formula de la derivada de u d d uv vu procto uv dv u d v d dode u y v so fucioes derivables de. Si u y v so cotiuas, podemos itegrar ambos lados para llegar al resultado udv uv uv d vu d v Reescribiedo esta ecuació se obtiee el siguiete teorema. TEOREMA.- INTEGRACION POR PARTES Si u y v so fucioes de co derivadas cotiuas, udv uv v Esta fórmula epresa la itegral origial e térmios de otra itegral. Depediedo de la elecció de u y de dv, puede ocurrir que la seguda itegral sea más fácil que la origial. Como las eleccioes de u y de dv so criticas para la buea marcha del método, damos uas idicacioes sobre como preceder. Estrategia para itegrar por partes. Itete tomar como dv la porció más complicada del itegrado que se ajuste a ua regla básica de itegració y como u el factor restate del itegrado.. Itete tomar como u la porció del itegrado cuya derivada es ua fució mas simple que u y como dv el factor restate del itegrado. Ejemplo Itegració por partes Hallar e d Solució: Para aplicar itegració por partes, ecesitamos escribir la itegral e la forma udv. Hay varias maeras de hacerlo:
16 ,,, e d e d e d e u dv u dv u dv d u dv La estrategia ivita a elegir la primera opció, ya que la derivada de u= es más simple que y además que se adapta a ua regla básica de itegració. Itegrado por partes obteemos e dv e d es la parte más complicada del itegrado dv e d v u d udv uv e Ejemplo Itegració por partes Hallar l d Solució: E este caso, d e e C v e dv d e d e es más fácil de itegrar que l. Además, la derivada de l es más secilla que l. Por tato, tomamos dv d Itegrado por partes se obtiee dv d v d u l d l d l l 9 l d C d Ejemplo. Sucesivas itegracioes por partes Hallar sed
17 Solucio: Los factores de y se so igualmete fácil de itegrar, pero la derivada es más simple que la propia fució, mietras que la derivada de se o lo es. E cosecuecia, optamos por tomar u = dv sed v sed cos u d Ahora, la itegració por partes lleva a que sed cos cos d Primera itegració por partes Co esta primera itegració por partes, hemos simplificado la itegral origial, pero la ueva todavía o se ajusta a igua regla básica de itegració. Volvamos a aplicar itegració por partes, esta vez co u =. dv cos v u d Itegrado por partes obteemos cos d se cos d sed se cos C Combiado los dos resultados queda sed cos se Ejemplo. Sucesivas itegracioes por partes Hallar sec d se cos C Solució: La porció más complicada del itegrado que resulta fácil de itegrar es sec, así que tomamos dv sec u sec dv sec d y u sec. d Itegrado por partes se obtiee v sec d tg sec tgd Seguda Itegració por partes
18 sec sec sec d sec tg sec tg d sec tg d sec tg sec sec tg sec sec d sec d d sec tg l sec tg C d sec d Co la práctica se va adquiriedo habilidad a la hora de elegir u y dv. El resume que sigue recoge varias clases de itegrales comues juto co las eleccioes acosejadas para u y dv. Agrupar itegrales idéticas Itegrales comues resolubles mediate itegració por partes. E itegrales de los tipos e a d, hacer u sead y dv e a ó d, cos ad sead ó cosad. E itegrales de los tipos l d, arcsead hacer u l, arcsea ó ó arctgad arctga y dv d. E itegrales de los tipos e a sebd ó cos bd hacer u seb ó cos b y dv e a e a d
19 EJERCICIOS Calcula el área de las fucioes compredida etre los limites asigados (Itegral defiida) Para resolver este tipo de itegrales utilizas las formulas que usaste para resolver itegrales idefiidas y ua vez que tegas el resultado vas a evaluarlo e los úmeros que se ecuetra e los etremos del símbolo de itegració, que se cooce como limites. Ejemplo Resuelve la itegral defiida ( 8 0) d Paso No. Itegrar co ayuda de las formulas de itegració ( 8 0) d Simplificamos 8 = 0 c ( ) 8 = 0 c 0 c Paso No. Evaluar e los limites. E el resultado se sustituye el valor del limite superior (umero que se ecuetra arriba del símbolo de itegració) y ha este resultado se le resta la sustitució por el limite iferior (Numero que se ecuetra abajo del símbolo de itegració)
20 ( ) () 0() c ( ) ( ) 0( ) c 8 () 0() c - () 0( ) c 6 0 c c 6 c -. c 6+c+.-c = 0. El resultado de la itegral defiida es 0. Ejercicios Resuelve la itegral defiida d d 0.- d.- 6 d.- d 6.- d
21 .- d d d 0.- d Calcula el área compredida etre las dos fucioes y los limites asigados EJEMPLO Calcula el área de compredida etre las siguietes fucioes y = + y = - +0 Compredida etre los limites = - y = Paso No. Graficar e el mismo plao coordeado las dos fucioes, para ubicar el área a calcular y coocer que fució esta arriba del área
22 Paso No. Itegrar la resta de la fució que esta arriba del área meos la fució que esta abajo del área. Debes colocar los límites de itegració e los etremos del símbolo de itegració. ( 0) ( ) d = 0 d ( ) d c Paso No.. Evaluar e los límites. E el resultado se sustituye el valor del limite superior (umero que se ecuetra arriba del símbolo de itegració) y ha este resultado se le resta la sustitució por el limite iferior (Numero que se ecuetra abajo del símbolo de itegració) 0) ( ) ( d = c () ( ) () c ( ) c c c = (-.66++c) (0.66-+c) = (.+c) (-.+c) =.+c+.-c = 8.68 EJERCICIOS.-Ecuetra el área compredida etre las dos fucioes y los limites señalados a) y= + y = + Compredida etre los limites = - =.- Ecuetra el área compredida etre las dos fucioes y los limites señalados b) y= - - y = +
23 Compredida etre los limites = - =.-Ecuetra el área compredida etre las dos fucioes y los limites señalados c) y= + y = -8 Compredida etre los limites = 0 =.-Ecuetra el área compredida etre las dos fucioes y los limites señalados d) y= + y = - + Compredida etre los limites = - = 0
INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Matemáticas II - º Bachillerato INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Método de itegració por cambio de variable Cosiste e sustituir por ua fució adecuada para que la epresió resultate sea más secilla
Más detallesINTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 2 1+ x dx
INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Método de itegració por cambio de variable Cosiste e sustituir por ua fució adecuada para que la epresió resultate sea más secilla de itegrar que la primera.
Más detallesUNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO GUIA 1
UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO GUIA ANTIDERIVADAS OBJETIVO: Apreder el cocepto de atiderivada e itegral idefiida y resolver itegrales usado las formulas básicas. ocepto: Dada ua fució, sabemos como hallar
Más detallesTema 8 Límite de Funciones. Continuidad
Tema 8 Límite de Fucioes. Cotiuidad 1. Operacioes co límites. Los límites de las sucesioes a b, c, d y e so los idicados e la tabla siguiete:, a b c d e - 0 1 Di cual es el límite de: a) lim( a b ) c)
Más detallesMÓDULO 1 INTEGRALES INDEFINIDAS
MÓDULO INTEGRALES INDEFINIDAS Usted está familiarizado co alguas operacioes iversas. La adició y la sustracció so operacioes iversas, la multiplicació y la divisió so tambié operacioes iversas, así como
Más detallesUNIDAD 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
UNIDAD UNIDAD Ecuacioes Difereciales de Primer Orde Defiició lasificació de las Ecuacioes Difereciales Ua ecuació diferecial es aquélla que cotiee las derivadas o difereciales de ua o más variables depedietes
Más detallesDERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( x) c, donde c es una constante, la derivada de esta función es siempre cero, es decir:
DERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( ) c Coceptos clave: 1. Derivada de la fució costate f ( ) c, dode c es ua costate, la derivada de esta fució es siempre cero, es decir: f '( ) 0 c. Derivada de ua fució
Más detallesUnidad 1: Las Ecuaciones Diferenciales y Sus Soluciones
Uidad : Las Ecuacioes Difereciales y Sus Solucioes. Itroducció. Tato e las ciecias como e las igeierías se desarrolla modelos matemáticos para compreder mejor los feómeos físicos. Geeralmete, estos modelos
Más detallesLímite y Continuidad de Funciones.
Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES REALES CON TENDENCIA A REAL
INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: MATEMÁTICAS DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO N FECHA
Más detallesPrueba Integral Lapso / Área de Matemática Fecha: MODELO DE RESPUESTA (Objetivos del 01 al 11)
Prueba Itegral Lapso 016-1 175-176-177 1/7 Uiversidad Nacioal Abierta Matemática I (Cód 175-176-177) Vicerrectorado Académico Cód Carrera: 16 36 80 508 51 54 610 611 61 613 Fecha: 19 11 016 MODELO DE RESPUESTA
Más detallesLIMITES DE FUNCIONES. Ejemplo: Sea la función F(x) = 3X 2, evalúe la función para valores de X cercanos a 2, es decir
PRECONCEPTO. LIMITES DE FUNCIONES. Ejemplo: Sea la fució F() = X, evalúe la fució para valores de X cercaos a, es decir X se acerca hacia el umero por la izquierda ( - ) X,,7,5,47,68,89,9,96,99,99,995,
Más detallesCUADRATURA GAUSSIANA
CUADRATURA GAUSSIANA Este método de basa e muestrear el itegrado de la fució cuya itegral se desea ecotrar, a valores que represeta raíces de poliomios ortogoales Los más populares de éstos so los poliomios
Más detallesMETODO DE ITERACION DE NEWTON
METODO DE ITERACION DE NEWTON Supogamos que queremos resolver la ecuació f( ) y lo que obteemos o es la solució eacta sio sólo ua buea aproimació, para obteer esta aproimació observemos la siguiete figura
Más detallesIntegral de una función
Itegral de ua fució Itegral de ua fució Los coceptos de primitiva e itegral idefiida La itegració de ua fució es el paso iverso a la derivació de ua fució. Para defiir correctamete la itegral de ua fució,
Más detallesMATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS
Defiició de límite de ua fució (segú Heie) Sea f : D R ua fució y a R (D R) Diremos que se cumple que f() L R a f( ) L si para cualquier sucesió { } D { a} tal que a Ejemplos: ) Probar que Demostració:
Más detallesGUIA DE ESTUDIO Nro 1
MATERIA: MATEMÁTICA I CURSO: I AÑO EJE ESTRUCTURAL I: CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA GRUPOS CONCEPTUALES: - Epresioes algebraicas. Poliomios. - Ecuacioes. Iecuacioes. TEMARIO: GUIA DE ESTUDIO Nro
Más detallesPor: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS
Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariaa de Veezuela Tiaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Usted está familiarizado co alguas operacioes iversas. La adició y la sustracció so operacioes
Más detallesEJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES
EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. Determiar el campo de covergecia de la serie 2 se x. Aplicado el criterio de la raíz, la serie es absolutamete covergete cuado:
Más detallesSERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio
Más detalles4.- Aproximación Funcional e Interpolación
4- Aproximació Fucioal e Iterpolació 4 Itroducció Ua de las mayores vetajas de aproximar iformació discreta o fucioes complejas co fucioes aalíticas secillas, radica e su mayor facilidad de evaluació y
Más detallesSucesiones de números reales
Sucesioes de úmeros reales Sucesioes Ejercicio. Prueba que si x
Más detallesDepartamento de Matemáticas
MA5 Clase 5: Series de potecias. Operacioes co series de potecias. Series de potecias Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos Gozález Cuado estudiamos las series geométricas, demostramos la
Más detallesa n = Ejemplo: Representa las gráficas de las funciones f(x) = 1/x, g(x) = x 2 y h(x) =
TEMA 9: LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. 9. Cocepto de límite lateral. Límite. 9. Operacioes co fucioes covergetes. 9.3 Cálculo de límites. 9.4 Cotiuidad de ua fució. 9.5 Asítotas: Verticales, horizotales
Más detallesPolinomio de una sola variable. , llamaremos polinomio de la variable x a toda expresión algebraica entera de la forma:
Semiario Uiversitario de Igreso 07 oliomio de ua sola variable a0; a; a;...; a úmeros reales y N 0, llamaremos poliomio de la variable a toda epresió algebraica etera de la forma: a0 a a... a Los poliomios
Más detallesMó duló 21: Sumatória
INTERNADO MATEMÁTICA 16 Guía del estudiate Mó duló 1: Sumatória Objetivo: Coocer y aplicar propiedades para el cálculo de sumatorias. Para calcular alguas sumatorias es ecesario coocer sus propiedades
Más detallesSumatoria, Progresiones y Teorema del Binomio
Capítulo Sumatoria, Progresioes y Teorema del Biomio.. Símbolo Sumatorio Es u símbolo muy útil y coveiete que permite escribir sumas e forma abreviada. Este símbolo se represeta mediate la letra griega
Más detallesR. Urbán Introducción a los métodos cuantitativos. Notas de clase Sucesiones y series.
R. Urbá Itroducció a los métodos cuatitativos. Notas de clase Sucesioes y series. SUCESIONES. Ua sucesió es u cojuto umerable de elemetos, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de
Más detallesRespuesta: como cociente para multiplicarlo por el primer numerador que.el mismo proceso hacemos para la segunda fracción:
PRE EVALUACION: Resuelve la diferecia El m.c.m. de los deomiadores es el producto de ambos. tiees que dividir por cada deomiador y el factor que te queda como cociete, multiplicar por su umerador: E el
Más detalles4.- Series. Criterios de convergencia. Series de Taylor y Laurent
4.- Series. Criterios de covergecia. Series de Taylor y Lauret a) Itroducció. Series de fucioes reales. b) Covergecia de secuecias y series. c) Series de Taylor. d) Series de Lauret. e) Propiedades adicioales
Más detallesDe esta forma, el problema de encontrar la mejor recta se concentra en calcular los valores de la pendiente (m) y de la ordenada al origen (b)
MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS E muchos de los experimetos que se realiza e Física, se obtiee u cojuto de parejas de úmeros (abscisa, ordeada) por los cuales ecesitamos, para obteer u modelo matemático que
Más detallesM arcelo, de vez en vez, usa una reata de 10 m de largo y 2 cm de grueso para
GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Tema 4 Series uméricas M arcelo, de vez e vez, usa ua reata de 10 m de largo y cm de grueso para medir el cotoro de los terreos que fumiga. Para que la reata que usa o
Más detallesSucesiones de números reales Sucesiones convergentes: límite de una sucesión
Sucesioes de úmeros reales Sucesioes covergetes: límite de ua sucesió Tato e la educació secudaria obligatoria como e el bachillerato se habla poco de las sucesioes de úmeros reales. Si acaso se dedica
Más detallesSesión No. 6. Contextualización. Nombre: Funciones exponenciales y logarítmicas y el uso de las MATEMÁTICAS. progresiones aritméticas y geométricas.
Matemáticas Sesió No. 6 Nombre: Fucioes expoeciales y logarítmicas y el uso de las progresioes aritméticas y geométricas. Cotextualizació Las fucioes expoeciales y logarítmicas se les cooce como trascedetes,
Más detallesTALLER DE MATEMÁTICAS DESIGUALDADES
TALLER DE MATEMÁTICAS DESIGUALDADES NOTAS Es bie sabido que e el cojuto de los úmeros reales existe ua relació de orde atural : se dice que x < y cuado y x es u úmero positivo Co esta relació, el cojuto
Más detallesRESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES
RESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES MATE 3032 - DR. UROYOÁN R. WALKER. Sucesioes Teorema.. Sucesioes mootóicas acotadas coverge. Ejemplo.2. Sea {a } la sucesió deida recursivamete
Más detallesCAPÍTULO I. Conceptos Básicos de Estadística
CAPÍTULO I Coceptos Básicos de Estadística Capítulo I. Coceptos Básicos de Estadística. CAPÍTULO I CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA Para realizar estudios estadísticos es ecesario registrar la ocurrecia
Más detallesPropiedades generales de los radicales
Propiedades geerales de los radicales Cosiderarque,mykso úmeros aturales, además e y soúmerosrealespositivos. ( ) Propiedad : y y y y Propiedad : Matemáticas I Propiedades geerales de los radicales Propiedad
Más detallesuna sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente:
Tema 8 Series de fucioes Defiició 81 Sea {f } ua sucesió de fucioes de A Formemos ua ueva sucesió de fucioes {S } de A de la forma siguiete: S (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + + f (x) = f k (x) Al par de sucesioes
Más detallesINSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA. GUIA Nº 3: Sucesiones, Límite de Sucesiones y Límite de Funciones en R
P á g i a INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA GUIA Nº 3: Sucesioes, Límite de Sucesioes y Límite de Fucioes e R GRADO: º AREA: MATEMÁTICAS PROFESORA: Ebli Martíez M. ESTUDIANTE: PERIODO: III
Más detallesImportancia de las medidas de tendencia central.
UNIDAD 5: UTILICEMOS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Importacia de las medidas de tedecia cetral. Cuado recopilamos ua serie de datos podemos resumirlos utilizado ua tabla de clases y frecuecias. La iformació
Más detallesMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. _ xi
EDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. EDIA ARITÉTICA. Es la medida más coocida y tambié es llamada promedio se obtiee sumado todos los valores de la muestra o població, dividida etre el total de elemetos que cotiee
Más detallesUn sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m igualdades del tipo:......
1. Sistemas de m ecuacioes lieales co icógitas U sistema de m ecuacioes lieales co icógitas es u cojuto de m igualdades del tipo: a11x 1 a1 x... a1 x b1 a1x1 ax... ax b (1)... am1x1 amx... amx bm Los úmeros
Más detallesSUCESIONES Y SERIES Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica. 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25,...
SUCESIONES Y SERIES. Ua sucesió es u cojuto de úmeros ordeados bajo cierta regla específica. E muchos problemas cotidiaos se preseta sucesioes, como por ejemplo los días del mes, ya que se trata del cojuto
Más detallesMatemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de una variable. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Matemáticas EJERCICIOS RESUELTOS: Fucioes de ua variable Elea Álvarez Sáiz Dpto. Matemática Aplicada y C. Computació Uiversidad de Catabria Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios:
Más detallesTRABAJO DE GRUPO Series de potencias
DPTO. MATEMÁTICA APLICADA FACULTAD DE INFORMÁTICA (UPM) TRABAJO DE GRUPO Series de potecias CÁLCULO II (Curso 20-202) MIEMBROS DEL GRUPO (por orde alfabético) Nota: Apellidos Nombre Este trabajo sobre
Más detalles5.6 Serie de Fourier de funciones pares e impares (desarrollo cosenoidal o senoidal)
5.6 Serie de Fourier de fucioes pares e impares (desarrollo coseoidal o seoidal) 46 5.6 Serie de Fourier de fucioes pares e impares (desarrollo coseoidal o seoidal) Fucioes Pares e Impares E el maejo de
Más detallesSESIÓN 8 DESCRIPCIONES DE UNA RELACIÓN
SESIÓN 8 DESCRIPCIONES DE UNA RELACIÓN I. CONTENIDOS: 1. Regresió lieal simple.. Iterpretació de gráficas de regresió. 3. Cálculo de coeficiete de correlació. 4. Iterpretació del coeficiete de correlació.
Más detallesTema 4: Números Complejos
Tema : Números Complejos 1.- Itroducció.- Forma biómica del úmero Complejo.- Operacioes e forma biómica.- Forma Polar y trigoométrica del úmero Complejo 5.- Operacioes e forma Polar 6.- Radicació de úmeros
Más detallesCálculo Diferencial e Integral II 7 de agosto de Ejemplos que conducen al concepto de integral definida (Área bajo una curva, trabajo, etc.
Cálculo Diferecial e Itegral II 7 de agosto de 03 Tema Ejemplos que coduce al cocepto de itegral defiida Área bajo ua curva, trabajo, etc. Área parte Usado lo aterior trataremos de probar que el área de
Más detallesMOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL. Resumen: En este artículo se muestra como las transformaciones de funciones resultan
MOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL Viceç Fot Departamet de Didàctica de les CCEE i de la Matemàtica de la Uiversitat de Barceloa Resume: E este artículo se muestra como las trasformacioes
Más detallesUnidad 1: Números Complejos
Uidad : Números Complejos. Itroducció Además de los cojutos de úmeros aturales, eteros, racioales y reales existe el cojuto de úmeros complejos que juega u rol importate o solo e matemáticas sio e las
Más detallesSucesiones. Límite de una
Capítulo 3 Sucesioes. Límite de ua sucesió 3.. Itroducció La oció de sucesió es u istrumeto importate para el estudio de u gra úmero de problemas relativos a las fucioes. Ua sucesió es, simplemete, ua
Más detallesSeries Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir:
Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó.
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas
Sistemas de Ecuacioes Lieales M. e I. Gerardo Avilés Rosas Octubre de 206 Tema 5 Sistemas de Ecuacioes Lieales Objetivo: El alumo formulará, como modelo matemático de problemas, sistemas de ecuacioes lieales
Más detallesIES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11
IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como
Más detallesSeries Infinitas. Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con
ISFD Nº 3 "Dr. Julio C. Avaza" Profesor. Norerto Molia Alumas. Gutiérrez Graciela - Gutiérrez Jimea Series Ifiitas Ua serie es la suma de los térmios de ua sucesió. Se represeta ua serie co térmios a como
Más detallesvalor absoluto de sus términos, se tiene la serie: que si es convergente, entonces también es convergente la serie alternada.
(Aputes e revisió para orietar el apredizaje) CONVERGENCIA ABSOLUTA TEOREMA. Si e la serie alterada ( ) valor absoluto de sus térmios, se tiee la serie: a + a + + a + a se toma el = que si es covergete,
Más detallesTEMA 1 NÚMEROS REALES
. Objetivos / Criterios de evaluació TEMA 1 NÚMEROS REALES O.1.1 Coocer e idetificar los cojutos uméricos N, Z, Q, I,R, Im O.1.2 Saber covertir úmeros racioales e fraccioes. O.1.3 Redodeo y aproximació
Más detallesUNEFA C.I.N.U. Matemáticas
RADICACIÓN: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Ates de etrar e el tema Radicació, vamos a comezar por recordar u poco sore Poteciació: Saemos que e lugar de escriir, utilizamos la otació: de Poteciació, dode el
Más detallesα β la cual puede presentar
5.4 Covergecia de ua serie de Fourier 8 5.4 Covergecia de ua serie de Fourier Teorema de covergecia de las series de fourier Ua serie de Fourier es ua fució ( ) f x cotiua e [, ] α β la cual puede presetar
Más detalles6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES
6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas 6... DEFINICIONES Sucesioes de úmeros reales Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier lista ordeada de úmeros reales: a, a 2, a 3,..., a,...,
Más detallesPreguntas más Frecuentes: Tema 2
Pregutas más Frecuetes: Tema 2 Pulse sobre la preguta para acceder directamete a la respuesta 1. Se puede calcular la media a partir de las frecuecias absolutas acumuladas? 2. Para calcular la media aritmética,
Más detallesAN ALISIS MATEM ATICO B ASICO.
AN ALISIS MATEM ATICO B ASICO. CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE SERIES. E geeral, repetimos, o vamos a poder ecotrar la suma de ua serie covergete. Pero si su caracter, es decir si es covergete o o lo es.
Más detalles2 Conceptos básicos y planteamiento
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: DOS VARIABLES Juliá de la Horra Departameto de Matemáticas U.A.M. 1 Itroducció E muchos casos estaremos iteresados e hacer u estudio cojuto de varias características de ua població.
Más detallesUNIDAD 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
UNIDAD Ecuacioes Difereciales Lieales de Orde Superior. Defiició Ua ecuació diferecial lieal de orde tiee la forma: d y a a a a y= g d d d Si las fucioes a a so todas costates (o cero) etoces se dice que
Más detallesTema 2: Potencias, radicales y logaritmos
Tema 2: Potecias, radicales y logaritmos Potecias Propiedades veces a = aa aa a 0 = 1 a = 1 a 5 = 8 = 1 8 ( 20 89,98 )0 = 1 a m = m a 5 2 = 5 2 Operacioes Producto y divisió de potecias de la misma base:
Más detallesUniversidad Diego Portales Facultad de Ingeniería. Laboratorio Nº 11. Números Complejos
Uiversidad Diego Portales Facultad de Igeiería Istituto de Ciecias Básicas Asigatura: Álgebra Laboratorio Nº Números Complejos Coteidos Álgebra de úmeros complejos Resolució de ecuacioes complejas Forma
Más detallesTema 4: Números Complejos
Tema : Números Complejos 1.- Itroducció.- Forma biómica del úmero Complejo.- Operacioes e forma biómica.- Propiedades algebraicas de los úmeros Complejos 5.- Forma Polar y trigoométrica del úmero Complejo
Más detallesL lim. lim. a n. 5n 1. 2n lim. lim. lim. 1 Calcula: Solución: a) 2
Calcula: L L a Dada ua sucesió que tiede a idica a partir de qué térmio se cumple la codició que se idica: a a Si a a Si 7 Si a partir del térmio 9 Si Hallar: d) 7 a partir del térmio 97 d) Deduce los
Más detallesDefinición 13.1 Llamamos serie trigonométrica a una serie de funciones reales, de la forma. + n +ib n
ema 3 Series de Fourier. Hemos visto, e el tema 8, que alguas fucioes reales puede represetarse mediate su desarrollo e serie de potecias, lo que sigifica que puede aproximarse mediate poliomios. Si embargo,
Más detallesPolinomio Mínimo en Campos Cuadráticos
Poliomio Míimo e Campos cuadráticos Poliomio Míimo e Campos Cuadráticos 1. Método de solució Partiedo de que u cuerpo cuadrático es K = Q ( a + b), vamos a propoer u método o estructura para ecotrar el
Más detallesSucesiones y series de números reales
38 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Capítulo Sucesioes y series de úmeros reales Sucesioes Defiició 37- Llamaremos sucesió de úmeros reales a cualquier aplicació f: N R y la represetaremos por { a,
Más detallesComo una breve introducción presentamos un pequeño problema de células ideales, resuelto afortunadamente. El cual dice lo siguiente:
Límite de ua sucesió umérica. Como ua breve itroducció presetamos u pequeño problema de células ideales, resuelto afortuadamete. El cual dice lo siguiete: Demostrar que al año habrá () células, sabiedo
Más detallesMedidas de tendencia central
Medidas de tedecia cetral Por: Sadra Elvia Pérez Las medidas de tedecia cetral tiee este ombre porque so valores cetrales represetativos de los datos. Las medidas de tedecia cetral que se estudia e esta
Más detallesSeries de números reales
Tema 6 Series de úmeros reales 6. Series de úmeros reales. Defiició 6. Sea {a } ua sucesió de úmeros reales y cosideremos la sucesió {S }, defiida por S = a + a + + a, para cada IN, que llamaremos sucesió
Más detallesSERIES POTENCIALES. 1.- Hallar el campo de convergencia de la serie potencial: 3 2 n. n n. 2 n = = ( ) ( 1)
Escuela de Igeieros de Bilbao Departameto Matemática Aplicada SERIES POTENCIALES.- Hallar el campo de covergecia de la serie potecial: ( + ) 3 y Realizado el cambio de variable, + 3 = y, teemos la serie:
Más detallesRELACIONES DE RECURRENCIA
Uidad 3 RELACIONES DE RECURRENCIA 60 Capítulo 5 RECURSIÓN Objetivo geeral Coocer e forma itroductoria los coceptos propios de la recurrecia e relació co matemática discreta. Objetivos específicos Coocer
Más detalles( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7
LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Límites de ua fució costate f k, k El límite de ua fució costate es la misma costate f k f k k k a a Límites de la fució idetidad I I a a a I I Límites e u puto fiito.
Más detallesExpresiones Algebraicas
Semiario Uiversitario Matemática Módulo Epresioes Algebraicas Difícilmete se pueda estudiar cualquier rama de la matemática actual si u maejo algebraico razoable. Usamos la palabra maejo y o la de estudio,
Más detallesAMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como ua fució que asiga
Más detallesEjemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi
u_miii.doc EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS: No eiste u úmero real que satisfaga la ecuació +0 Para resolver este tipo de ecuacioes es ecesario itroducir el cocepto de úmero complejo. U úmero complejo
Más detallesTécnicas para problemas de desigualdades
Técicas para problemas de desigualdades Notas extraídas del libro de Arthur Egel [] 5 de marzo de 00 Medias Comezamos co dos de las desigualdades más básicas pero al mismo tiempo más importates Sea x,
Más detallesEJERCICIOS DE RECURRENCIA
EJERCICIOS DE RECURRENCIA (co alguas solucioes) Resolver la recurrecia = 5 6 =, = y tambié ésta: = =, = Resolvamos la primera E primer lugar otamos que es ua recurrecia lieal, pues pasado todos los térmios
Más detallesTEMAS 1 y 3.- NÚMEROS REALES Y ÁLGEBRA- 1
1º Bachillerato - Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Motes Orietales (Izalloz)-Curso 2011/2012 TEMS 1 y 3.- NÚMEROS RELES Y ÁLGEBR- 1 1.- TIOS DE NÚMEROS. ROXIMCIONES DECIMLES 1.1.- Tipos de úmeros
Más detalles4 - DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV- LEY DE LOS GRANDES NUMEROS
arte Desigualdad de Chebyshev rof. María B. itarelli 4 - DESIGULDD DE CHEBYSHE- LEY DE LOS GRNDES NUMEROS La desigualdad de Chebyshev es ua importate herramieta teórica. Etre otras aplicacioes costituirá
Más detallesAPROXIMACIÓN DE FILTROS CAPÍTULO 2
APROXIMACIÓN DE FILTROS CAPÍTULO . Aproximacioes de Filtros E el capítulo se mecioaro los filtros ideales, e la realidad o se puede lograr ua aproximació ideal, por lo que los filtros reales sólo puede
Más detallesFunción Logaritmo. 1 t dt, x > 0. ln x =
Uidad 3 Fució Logaritmo Epoecial 3. Logaritmo a través de la itegral propiedades Fució Logaritmo Deició. Deimos la fució Logaritmo Natural l : (0, + R l = t dt, > 0 Observacioes: (a l = 0 Demostració.
Más detallesNúmeros reales. Operaciones
Números reales. Operacioes Matemáticas I 1 Números reales. Operacioes Números racioales. Caracterizació. Recuerda que u úmero r es racioal si se puede poer e forma de fracció de úmeros eteros de la forma
Más detallesMétodos Numéricos (SC 854) Ajuste a curvas. 2. Ajuste a un polinomio mediante mínimos cuadrados
Métodos Numéricos SC 854 Auste a curvas c M Valezuela 007 008 7 de marzo de 008 1 Defiició del problema E el problema de auste a curvas se desea que dada ua tabla de valores i,f i ecotrar ua curva que
Más detalles2x 8 x 2 1 = 4. = 2x 8 + 4x 2 4 x 2 1. Estamos calculando un límite cuando x está cerca de 3. Esto quiere decir que. x
ALGUNOS PROBLEMAS PROCEDENTES DE EXÁMENES PRECEDENTES.. problemas de ites y series. Pruebe, usado la defiició, que: x 3/ x 8 x = 4. Solució. Dado ɛ > 0 queremos que x 8 ( 4 x, sea meor que ɛ cuado x esté
Más detallesUniversidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales
Uiversidad Atoio Nariño Matemáticas Especiales Guía N 1: Números Complejos Grupo de Matemáticas Especiales Resume Se preseta el cojuto de los úmeros complejos juto co sus operacioes y estructuras relacioadas.
Más detallesMINITAB y MODELOS DE REGRESIÓN
Prácticas de Fudametos Matemáticos para el estudio del Medio Ambiete www.um.es/docecia/jpastor jpastor@um.es MINITAB y MODELOS DE REGRESIÓN 1. Itroducció Ua de las cuestioes de mayor iterés e las Ciecias
Más detallesMATEMÁTICAS 3º ESO - SUCESIONES. Una sucesión es un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero
ucesioes Ua sucesió es u cojuto de úmeros dados ordeadamete de modo que se pueda umerar: primero, segudo, tercero Ejemplos: a), 3, 5, 7, 9, b), 4, 9, 6, 25, 36 c) 2, 4, 8, 6, 32, 64 e llama térmios a los
Más detallesEvaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 9. Límite y continuidad
Evaluació NOMBRE APELLIDOS CURSO GRUPO FECHA CALIFICACIÓN Calcula el térmio geeral de ua progresió geométrica que tiee de térmio a y por razó /. a) b) c) El 6 es: a) b) 0 c) / 6 7 El es: a) b) c) 0 El
Más detallesCriterios de Convergencia
Semaa - Clase 3 7/09/08 Tema : Series. Itroducció Criterios de Covergecia Sólo podremos calcular la suma de alguas series, e la mayoría os será imposible y os tedremos que coformar co saber si coverge
Más detallesSUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES
CAPÍTULO XV. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES SECCIONES A. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. B. Series de potecias. Itervalos de covergecia. C. Desarrollo de fucioes e series de potecias. D. Aplicacioes
Más detallesEcuaciones en Diferencias Recíprocas y Semirrecíprocas
Ecuacioes e Diferecias Recíprocas y Gustavo Adolfo Juárez; Silvia Iés Navarro Facultad de Ciecias Exactas y Naturales, Uiversidad Nacioal de Catamarca. E-mail: juarez.catamarca@gmail.com Recepció: 20/05/2014
Más detallesCLAVES DE CORRECCIÓN GUÍA DE EJERCITACIÓN FACTORES Y PRODUCTOS PREGUNTA ALTERNATIVA Nivel
x Estimado alumo: Aquí ecotrarás las claves de correcció, las habilidades y los procedimietos de resolució asociados a cada preguta, o obstate, para reforzar tu apredizaje es fudametal que asistas a la
Más detallesEXAMEN FINAL 15 de enero de Titulación: Duración del examen: 2 horas 30 Fecha publicación notas: Fecha revisión examen:
CÁLCULO I EXAMEN FINAL 15 de eero de 16 Apellidos: Titulació: Duració del exame: horas 3 Fecha publicació otas: -1-16 Fecha revisió exame: -1-16 Todas las respuestas debe de estar justificadas acompañádolas
Más detalles