CURSO DE INGRESO DE MATEMÁTICA

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES DEPARTAMENTO: MATEMÁTICA Y ESTADISTICA CURSO DE INGRESO DE MATEMÁTICA CARRERAS: PROFESORADO EN BIOLOGÍA LICENCIATURA EN Cs BIOLOGICAS INGRESANTES 01 DOCENTES: PERALTA, JAVIER MAIZA, MELIZA BIZOTTO, ANDRES LEGUIZAMON, CLAUDIA CICLO ACADÉMICO: 01

2 FUNDAMENTOS: Partimos de la base de que los comiezos e la Uiversidad o so fáciles y los estudiates ecesita u periodo de adaptació hasta que cosigue itegrarse pleamete e el etoro Uiversitario. Si a esta situació además le añadimos que, e particular, las asigaturas de matemáticas depede e su gra medida de lo que ateriormete haya apredido el alumo, eseguida os damos cueta de que es ecesario homogeeizar los diferetes coocimietos matemáticos que posee los alumos ates de que empiece el curso oficial. E esto cosiste la fialidad de este curso de Igreso de Matemática, puesto que dicho curso está cetrado e aportar a los alumos de primer año de estudios uiversitarios alguos complemetos e formació matemática, mayor agilidad, destreza y etreamieto e la resolució de problemas básicos de matemáticas. Se pretede además que los alumos adquiera u hábito de estudio adecuado a esta disciplia. El efoque será fudametalmete práctico, cetrado e la resolució de problemas y e la participació activa del alumo para que tega u bue redimieto a lo largo de la cursada OBJETIVOS: Adquirir hábitos de estudio acordes al ivel uiversitario. Adquirir agilidad e el maejo de las operacioes básicas y sus propiedades. Iterpretar y resolver problemas básicos referetes a proporcioalidad y porcetaje. Recoocer las diversas expresioes algebraicas y operar co ellas. METODOLOGIA: Debido al carácter práctico de este curso, se expodrá brevemete e el pizarró las herramietas teóricas. Los esfuerzos cetrara e presetarles a los alumos distitas técicas y formas de trabajo para la resolució de la guía práctica. CONTENIDOS MINIMOS: Operacioes básicas. Propiedades de las operacioes. Expresioes algebraicas. Poliomios. Operacioes co poliomios. Factorizació de expresioes algebraicas. Proporcioalidad y Porcetaje.

3 EVALUACION: Se tomara ua evaluació de los coteidos propuestos, co el fi de aalizar los resultados del curso, y e total de acuerdo co la Resolució prevista para el Igreso 01. Esta evaluació o es viculate co igua de las asigaturas del diseño curricular. TEMAS A DESARROLLAR POR SEMANA Semaa 1: Propiedades de las operacioes básicas co úmeros eteros y racioales. Semaa : Expresioes algebraicas. Poliomios. Operacioes co poliomios Semaa : Factoreo. Simplificació de expresioes algebraicas. Semaa 4: Proporcioalidad y Porcetaje. Resolució de problemas

4 Números Eteros El cojuto de úmeros eteros se desiga co la letra, este cojuto esta formado por: Eteros positivos (Z + ): +1, +, +,... (que tambié se aota: 1,, ) El cero: 0 Eteros Negativos (Z - ): -1, -, -, -4, VALOR ABSOLUTO: Se llama valor absoluto de u úmero etero a y se lo idica a (se lee: valor absoluto de a), a la distacia desde el úmero a hasta el cero. Ejemplo: Suma de Números eteros: Regla practica para sumar dos úmeros eteros: Si los sumados tiee el mismo sigo, sumamos los valores absolutos y le asigamos al resultado el sigo de los sumados. Ejemplo: (-5) + (-1) = -6, 9 + 4= 1 Si los sumados tiee distitos sigos, restamos sus valores absolutos y le asigamos al resultado el sigo del úmero de mayor valor absoluto. Ejemplo: 8 + (-) = 6, (-10) + 7 = - Resta de Números eteros: Restar u úmero etero es lo mismo que sumar su opuesto, es decir: a b = a + (-b) y a (-b) = a + b Ejemplos: 1 0 = 1 + (-0) = -6 ; 0 (-10) = = 40 Resuelva las siguietes operacioes a) 150 (14 6) = e) = b) (11-5) (9 ) = f) (-8) = c) (4 ) + (5 ) = g) (-10) + (-8) + (-1) = d) (9-4) (9 + 4) = h) -1 + (-6) (-4) = Multiplicació y divisió de Números eteros: Para multiplicar y para dividir dos úmeros eteros debemos teer e cueta esta regla: Si los dos tiee el mismo sigo, el resultado es positivo. (+). (+) = + (+) : (+) = + ( -). ( -) = + ( -) : ( -) = + Ejemplos: (+).(+7) = 1 (+8) : (+7) = +4 (-6). (-8) = 48 (-45) : (-9) = +5 4

5 Si los dos tiee distitos sigos, el resultado es egativo. (+). ( -) = - (+) : ( -) = - ( -). (+) = - ( -) : (+) = - Ejemplos: (+5).(-9) = -45 (+4) : (-6) = -4 (-6). (+4) = -4 (-0) : (+5) = -6 Nota: la divisió e cero o está defiida, por lo tato es imposible dividir cualquier úmero etero e cero. Es decir el divisor tiee que ser u úmero distito de cero. ( ) Regla práctica: El producto o cociete de varios úmeros eteros distitos de cero es otro etero tal que: Es positivo si la catidad de factores egativos es par Es egativo si la catidad de factores egativos es impar. Ejemplos: (-1) (-) (+5) (+1) (+) = +0 factores egativos (-1) (-) (+5) (+1) (-) = -0 factores egativos Resuelva los siguietes productos: a) (-8) (+9) (-4) = b) (-4) (-5) (-6) (-8) = c) (-0) (+4) (-5) = d) (-8) (-10) (+) (-) = Resuelva los siguietes cocietes: a) (-4) : (-8) = b) (-56) : (-7) = c) () : (-11) = d) (-6) : (+1) = Poteciació de Números eteros: La poteciació es ua operació etre dos úmeros a y, llamados base y expoete, respectivamete. Notació: a = p, a se llama base, se llama expoete (co umero atural) y p se llama potecia Podemos decir que la poteciació es ua forma abreviada de escribir ua multiplicació de factores iguales, es decir: ( veces multiplicamos a por sí mismo) Si la base de ua potecia es u úmero etero, este puede ser positivo o egativo, y por lo tato se preseta dos situacioes: 5

6 1) si el expoete es u úmero par el resultado de la potecia es siempre u úmero positivo: Ejemplos: 7 = 49 (-) = 9 6 = 6 (-5) = 15 ) si el expoete es u úmero impar el resultado de la potecia lleva el sigo de la base. Ejemplos: (-) = +4 (-) 4 = +16 = +4 (-) = -8 (-) 5 = - 5 = + Calcule cada ua de las siguietes potecias: a) (-8) = c) (-) 5 = e) (-1) 0 = b) (-10) = d) (+) = f) 4 1 = Casos particulares: Todo úmero a distito de cero elevado al expoete 0 es igual a uo: a 0 = 1 Todo umero etero b elevado al expoete 1 es igual a b. Propiedades de la poteciació: - Producto de potecias de igual base: Ejemplo: - Cociete de potecias de igual base: Ejemplo: - Potecia de otra potecia: ( ) Ejemplo: ( ) - La poteciació o es distributiva respecto de la adició y sustracció de úmeros eteros. ( ) Radicació de Números eteros: La radicació es ua operació etre dos úmeros a y, a b Dode a se llama radicado, es el ídice y b es la raíz, y se defie como a b b a Ejemplos: 8 pues = 8 8 pues (-) = -8 6

7 4 16 No es posible e Z pues igú úmero etero elevado a u expoete par da por resultado e úmero egativo 4 16 pues (+) 4 = 16 (-) 4 = 16 Regla de los sigos: Si el ídice es impar la raíz tiee el mismo sigo del radicado. Si el ídice es par y el radicado es positivo, las raíces so dos úmeros opuestos. Si el ídice es par y el radicado es egativo, la raíz es imposible e. Ejemplos:,,, Calcular las siguietes raíces: a) 1000 b) c) d) 6 64 e) 15 Propiedades de la radicació: - Raíz de u producto: Ejemplo: - Raíz de u cociete: Ejemplo: - Raíz de otra raíz: Ejemplo: - La radicació o es distributiva respecto de la adició y sustracció de úmeros eteros. Números Racioales Se llama úmero racioal al cociete etre dos úmeros eteros a y b (co b distito de cero). Para simbolizarlos se lo escribe del siguiete modo: a Numerador de la fracció b Deomiador de la fracció El cojuto de los úmeros racioales está formado por el cojuto de los úmeros eteros y los úmeros fraccioarios y se represeta co la letra. Los úmeros racioales puede expresarse mediate ua fracció o ua expresió decimal. Ejemplos: = 4 0,5 = 1-5 = -15 1,4 = 7 0 =

8 Simplificació de Fraccioes: Para simplificar fraccioes dividimos al umerador y al deomiador por el mismo úmero. Ejemplo: 10 puede simplificarse por 5; etoces 10 : 5 = : 5 4 Podemos seguir simplificado esta fracció hasta obteer ua fracció irreducible. Operacioes co Números Racioales: Suma: Defiició: a b c d ad bc b.d Ejemplos: A) B) Cuado aplicamos la defiició debemos simplificar el resultado, siempre que sea posible. Calcula las siguietes sumas: 7 5 a) b) c) d) e) Resta de úmeros Racioales: Regla: Para restar dos úmeros racioales, se suma al miuedo el opuesto del sustraedo. a c a c b d b d Ejemplo: Realiza las siguietes operacioes: 1 1 a) c) b) 4 d) d) 6 8

9 Multiplicació de úmeros racioales Defiició: Ejemplo: Cuado sea posible, coviee simplificar (umerador co deomiador) ates de realizar la operació 1 5 Ejemplo: La regla de los sigos es la misma que euciamos para la multiplicació de úmeros eteros. Calcula los siguietes productos: a). d) b). e) c) Divisió de úmeros racioales Regla: Para dividir dos úmeros racioales, se multiplica el primero por el iverso del segudo y se simplifica el resultado siempre que sea posible E símbolo: a c : b d a d. b c Calcula los siguietes cocietes: 7 a) : b) : c) : d) : e) : 8 0 9

10 Poteciació de úmeros racioales 1) Potecia de expoete atural Para la potecia de expoete atural sigue siedo válida la defiició geeral de potecia eésima, que se dio para úmeros eteros. a a E símbolo: b b Tambié so validas las defiicioes para la potecia de expoete cero y de expoete uo. a 0 1 co b a 1 b La regla de los sigos es la misma que euciamos para la poteciació de úmeros eteros. a b Ejemplos: ( ) ( ) ) Potecia de expoete egativo: Toda potecia de expoete egativo se puede trasformar e ua potecia positiva cuya base es la iversa de la base dada de la potecia E símbolos: ( ) ( ) co a 1 a Ejemplos: a) 4 - = , b) ( ) ( ), c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( ) 10

11 Radicació de úmeros racioales La defiició geeral de raíz eésima de úmeros eteros sigue siedo válida para los racioales. a b x y x y a b Regla practica: a b a b Nota: la regla de los sigos es la misma que hemos euciado para la radicació de úmeros eteros Ejemplos: 4 4 pues pues Calcula las siguietes potecias y raíces: 5 a) 7 b) c) 1 9 d) e) 4 8 f) g) h) 64 4 i) 6 16 j) 4 81 Potecias co expoete fraccioario Se llama así a aquellas potecias cuyo expoete es u úmero racioal. Ejemplos:,, Calcular las siguietes potecias: ) ) ) 11

12 Resolver los siguietes ejercicios combiados (aplicado las propiedades correspodietes) a) ( ) ( ) [ ( ) ( )] b) ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) ( ) e) ( ) ( ) ( ) f) ( ) ( ) ( ) ( ) g) ( ) ( ) ( ) h) ( ) i) ( ) ( ) ( ) ( ) j) ( ) ( ) k) ( ) ( ) [ ( ) ] l) ( ) ( ) ( ) ( ) Expresioes Algebraicas. Poliomios Ua expresió algebraica es ua combiació cualquiera y fiita de úmeros, de letras, o de úmeros y letras etre sí co las operacioes adició, sustracció, multiplicació, divisió, poteciació y radicació. a) x + 4 b) 5y + 6y - 1 c) m 5 x m d) e) t t x 5 La parte umérica de ua expresió algebraica se la deomia Coeficiete y a la parte literal se la llama Idetermiada. E el caso que u térmio de la expresió este costituido solamete por la parte umérica se lo llama a este Térmio Idepediete 1

13 Si la idetermiada o está afectada por ua raíz o como divisor, las expresioes algebraicas so eteras y se deomia poliomios. Los ejemplos c), d) y e) o so poliomios. Segú la catidad de térmios, u poliomio se deomia: 1 Moomio si tiee u solo térmio: m Biomio si tiee dos térmios: 4x + 5 Triomio si tiee tres térmios: m 8 + m y Cuatriomio si tiee cuatro térmios: y 5 y + 7 y. Geeralizado ua expresió que posea más de dos térmios se los llama Poliomios Los térmios que tiee la misma idetermiada elevada al mismo expoete so semejates Ejemplos: 4m 1, m y m so semejates x y x so semejates Se deomia grado de u poliomio al mayor expoete que tiee la idetermiada de los térmios co coeficietes o ulos de u poliomio. Ejemplos: a) P(x) = 7x + 6x x 5 ; grado 5. b) Q(m) = 4 m + m ; grado. c) T(s) = 5; grado 0 Se llama coeficiete pricipal al coeficiete que multiplica a la idetermiada de mayor expoete. Ejemplos: S(p) = p + 5p p 4 ; coeficiete pricipal: - T(y) = y 5 8y 4 + y; coeficiete pricipal: 1 U poliomio esta ordeado si sus térmios está ordeados e forma creciete o decreciete respecto al grado de cada térmio que forma la expresió. Ejemplos: a) H(x) = x x - x + x b) J(m) = 4 + m + m m c) Z(p) = p 5 p + 7 U poliomio esta completo si tiee todas las potecias respecto a la idetermiada de grado mayor hasta el grado cero, estos puede estar ordeados e forma decreciete o creciete. a) R(x) = 6x 4 5x + x x -1; esta completo. b) Q(s) = s s - ; esta icompleto Para completar u poliomio se agrega los térmios que falta co coeficietes cero. a) M(x) = x 5 + x 1 = x 5 + 0x 4 + x + 0x + 0x 1 b) N(m) = 4m 4 + m = 4m 4 + 0m + m + 0m + 0 c) K(s) = s 6 = s 6 + 0s 5 + 0s 4 + 0s + 0s + 0s 1

14 Adició y Sustracció de poliomios. La suma de varios moomios semejates es otro moomio semejate cuyo coeficiete es la suma de los coeficietes de los moomios dados. Ejemplos: a) x + x + 6x = 9x b) 6m m + m = m c) y + y +5y = 8y * Para restar dos moomios se suma al miuedo el opuesto del sustraedo P(m) = 6m 4 y Q(m) = -m 4 P(m) Q(m) = 6m 4 + m 4 = 9m 4 Para sumar varios poliomios etre sí, se completa y ordea, luego se ecoluma sus térmios semejates y se suma los coeficietes de los mismos. Ejemplo: Dados: P(x) = - + x 5x + x 4 ; y Q(x) = -9x + x + x 1. P(x) + Q(x) x 4 5x + x + 0x + 0x 4 9x + x + x 1 x 4 14x + x + x 4 Para restar dos poliomios, se suma al miuedo el opuesto del sustraedo. Ejemplo: Dados: M(p) = -p + p 1 - p - 7; y N(p) = p 5p p 4 +. M(p) - N(p) 0p p + p p 7 + p 4-0p + 5p p p p + 8p 5p 9 Ejercicio: dados los siguietes poliomios hallar las siguietes sumas y restas que se idica: P(x) = x + x 5 ; q(x) = -4x + x - 7; r(x) = 5x x + x + 6; s(x) = 6x 8x + 1; 4 1 U(x) = x x 5 a) p(x) + q(x) + r(x) = d) s(x) - r(x) + p(x) = b) r(x) + s(x) + u(x) = e) u(x) [s(x) + q(x)] = c) q(x) - p(x) + U(x) = Multiplicació de Poliomios Para multiplicar dos moomios se debe multiplicar los coeficietes y las idetermiadas etre sí, aplicado la regla de los sigos y las propiedades de la poteciació ates mecioadas: Ejemplos: a) x.x = 6x b) 10x 4. (-5x 4 ) = -50x 8 c) (-6x 5 ).(-x ) = 18x 7 14

15 Para multiplicar u poliomio por u úmero real, se aplica la propiedad distributiva de la multiplicació respecto de la suma y resta: a(b c) ab ac 1 1 Ejemplo: - x x x 4 x ( )x ( ) x x 6x x 1 Para multiplicar dos poliomios se aplica la propiedad distributiva, efectuado luego la multiplicació de moomios: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Ejemplo: P(m) = m 5m + ; y Q(m) = m m P(m).Q(m) = (m 5m + )( m m) = m.m + m (-m) + (-5m).m + (-5m)(-m) +.m + (-m) = 6m 4 m 15m + 5m + 6m m P(m).Q(m) = 6m 4 17m + 11m m Resuelva los siguietes productos de poliomios a) 1 16 x x 48x 64 d) y y y y 1 b) (5s s + 4s)(-s +7) = c) (p 4 p + p)(5p + p - ) = Productos otables: Cuadrado de u biomio: el cuadrado de u biomio se desprede del siguiete producto de u biomio por sí mismo dos veces. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E sítesis: ( ) Ejemplos: a) (x + ) = x +.x + = x + 6x +9 x x x xx 4 b) x 9 x 4 x Cubo de u biomio: el cubo de u biomio se desprede del siguiete producto de u biomio por sí mismo tres veces. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E sítesis: ( ) Ejemplos: x a) (x + 4) = x +.4.x +.4 x + 4 = x + 1x + 48x + 64 b) (x ) = (x) + (-)(x) +.x.(-) + (-) = 8x 6x + 54x -7 15

16 Desarrolle los siguietes cuadrados y cubos de u biomio: a) (x + 1) = b) 1 x = c) (x + ) = d) (-4x ) = 5 e) (-5 + x) = f) (-x ) = g) x = h) x x Divisió de Poliomios. Regla de Ruffii La Regla de Ruffii es u método practico que se utiliza para dividir u poliomio P(x) por otro cuya forma sea x - a, siedo a u úmero real. Dados P(x) = 5x - 4x 4 y Q(x) = x Opuesto de a Coeficietes del dividedo completo y ordeado sumar sumar sumar Multiplicar Resto de la divisió Cociete: 5x + 15x + 41 el cociete siempre resulta de u grado meor que el dividedo Ejemplos: a) (m m + ) : (m ) b) (p 4 + 5p p -5) : (x + ) 1m + 0m 1m + Dividedo p 4 + 0p + 5p 1p -5 Dividedo Cociete: m + m + Cociete: p 4p + 1p -7 Resto: 8 Resto: 49 Aplicar la Regla de Ruffii para resolver cada ua de las siguietes divisioes: a) (x 4 5x + x 9) : ( x + ) = c) (1 + x 7 ) : (1 + x) = b) (a + a - 56) : (a - 7) = d) (x 4) : (- + x) = 16

17 Utilizado las operacioes co poliomios, las propiedades de la poteciació y radicació reduzca las siguietes expresioes algebraicas: 1) x.x 5 ) x x 6 x.x 7 ) y 4) 9 y 5) x x x 6) y 6 4 7) 5 z 8) x 6. 5x 5x x 9) x 10) x.x ) y. y. y 7y y 1) 5 y 1) x x 14) z z 15) y y y 16) 0) x x 17) y.y 4 1) y.y 11 18) x z ) 4. z 5 x z 5z 19) 4x x ) x 4 5x 4) 5 y. y y 4) x. x x 6) x. x 4 7) ( x 1) x 1 5 Factorizació de Poliomios Factorizar u poliomio, de térmios es expresarlo como u producto de poliomios primos. Para ello utilizamos lo que se cooce co el ombre de Casos de Factoreo 1 caso: Factor comú El factor comú de ua expresió algebraica puede ser la idetermiada de dicha expresió elevada a la meor potecia, el Máximo Comú Divisor de todos los coeficietes del mismo o ambos. Primero se debe recoocer cual es el factor que se repite e cada térmio y luego, para ecotrar el factor que va etre parétesis, se divide cada térmio por el factor comú. 17

18 Ejemplos: a) P(x) = x 4x E primer lugar buscamos el factor comú tato de la parte umérica como de la literal. El divisor de y 4 es. La idetermiada de meor grado es x. Por lo tato el factor comú de la expresió es x Detro del parétesis va lo que resulta de dividir cada térmio por x que es el factor Comú de los dos Térmios. P(x) = x. (x ) Expresió factorizada de P(x) a través del factor comú b) P(x) = -1x 6 + 6x 5 15x = x. (-4x + x 5) Factorizar los siguietes poliomios utilizado el 1 caso: a) 16ax 5 y 6ax y 5 b) x x 4 caso: Factor Comú por grupos Se aplica factor comú por grupos a poliomios que o tiee u factor comú e todos sus térmios. Para aplicar este caso se debe teer e cueta las siguietes codicioes: Catidad par de térmios. Formar grupos de igual catidad de térmios. Extraer el factor comú de cada grupo. Luego extraer el factor comú de cada grupo. Ejemplos: P(x) = x 5 x 4 x + 6 P(x) = (x 5 x 4 ) + (-x + 6) Se forma grupos de igual catidad de térmios, de forma tal que e cada uo de ellos haya u factor x 4 - comú P(x) = x 4 (x ) (x ) E cada térmio debe aparecer el mismo factor para poder extraerlo uevamete como factor comú. P(x) = (x )(x 4 ) Al sacar uevamete factor comú, la expresió queda factorizada a través del factor comú por grupo b) Q(x) = x + x + x + = (x + x ) + (x + ) = x (x + 1) + (x + 1) Q(x) = (x + 1)(x + ) Factorice los siguietes poliomios utilizado el caso: a) x 5 x 4 + x x d) x 5 x 4 + 6x x + 8x

19 caso: Triomio Cuadrado Perfecto Llamamos triomio cuadrado perfecto a u poliomio de tres térmios que tega esta forma: a +. a. b + b y lo factorizamos expresádolo como el cuadrado del biomio: a +. a. b + b = (a + b) Para aplicar este caso se debe teer e cueta las siguietes codicioes: Debe ser u triomio Teer dos térmios cuadráticos perfectos El térmio restate debe ser el doble producto de las bases de los otros dos térmios. Ejemplos: a) P(x) = x + 6x + 9 = x +. x + = (x + ) x b) Q(x) = x 6 6x + 9 = (x ) +. (-)x + (-) = (x ) Factorice los siguietes poliomios aplicado el caso: a) P(x) = m 6m + 9 d) G(x) = x - 4 caso: Cuatriomio Cubo Perfecto 4 4 x 9 Llamamos cuatriomio cubo perfecto a u poliomio de cuatro térmios que tega esta forma: y lo factorizamos expresádolo como el cubo del biomio: ( ) Para aplicar este caso se debe teer e cueta las siguietes codicioes: Debe ser u cuatriomio Teer dos térmios cúbicos perfectos Los otros dos térmios debe ser el triple producto de la base de uo de los otros dos térmios por el cuadrado de la base del otro térmio. Ejemplo: ( ) Los térmios cúbicos so y 8, por lo tato las bases so z y. Luego hacemos los siguietes cálculos auxiliares: que es el segudo térmio de uestro poliomio que es el tercer térmio de uestro poliomio Por lo tato como cumple las codicioes se puede realizar la factorizació y queda expresada de la siguiete forma: ( ) Factorizar los siguietes poliomios aplicado el 4 caso: a) ( ) b) ( ) c) ( ) 19

20 5 caso: Diferecia de Cuadrados Llamamos diferecia de cuadrados a u poliomio que tiee la forma: a b Estos poliomios puede expresarse como producto etre la suma y la diferecia de las bases a y b. a b = (a + b)(a b) Ejemplos: a) x 5 = (x + 5)(x 5) b) x 6 6 = (x 6)(x + 6) Resuelva aplicado la diferecia de cuadrados: a) 1 x = b) x 6 a 6 = c) z = Factorizar las siguietes expresioes algebraicas utilizado los distitos casos de factoreo: a) x 4-9 b) 1xy + y + 48x + 64x c) x + xy + y d) x 15 0 x x 9 70x x - 0 e) -4m 7 x + 1m 5 x 8m 4 x f) xy + x + ay + a g) x + xy + 5x 4xy 6y 10y h) 9x 16 = i) H(x) = 9a 4 + 0a x + 5x 6 j) S(x) = a 4 x + a bxy + b y 4 k) 64x 6 5 = l) 6x 4 x 4x + 1x m) a x a bx a cx ) 6y 7 8y 54 Simplificar las siguietes expresioes algebraicas racioales empleado los casos de factoreo. ) ) ) ) ) ( ) ) ) ( ) ) ) ) ) ) 0

21 RAZON Y PROPORCION Razó: se deomia razó, al cociete etre dos magitudes, distitas de cero, expresadas e la misma uidad. Ejemplo: Las edades de dos hermaos so 9 y 1 años, etoces la razó etre la edad del meor y del mayor es: Proporció: Ua proporció está formada por ua igualdad etre dos razoes: Dode a, b, c y d so distitos de cero y se lee " es a como es a ". Por ejemplo, so dos razoes iguales, etoces podemos costruir la proporció: Que se lee " es a 4 como 6 es a 8 ". Es decir, para teer ua relació proporcioal, ecesitamos teer dos razoes que sea equivaletes. Existe dos tipos de proporcioalidad: directa e iversa. Ambas sirve para resolver problemas dode se cooce ua razó y u dato de la seguda. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES: E cada proporció se cumple lo siguiete: si y solo si E esta relació a y d recibe el ombre de extremos, b y c se los llama medios Ejemplo: pues 8 = 4 6 Ejemplo de aplicació: las alturas de dos edificios está e la razó 4 / 5. Si el primero mide 0 (m), cuáto mide el segudo? Solució: Respuesta: el segudo edificio mide 5 (m) 1

22 PROPORCIONALIDAD DIRECTA: Si e ua razó al aumetar ua catidad, la otra tambié aumeta, se dice que la proporcioalidad es directa. Por ejemplo, si el valor de ua se duplica, etoces el valor de la otra tambié se duplica. Ejemplo: Si 5 computadoras cuesta $ 5000, etoces 10 de esas mismas computadoras cuesta $ Ejemplo de aplicacio: u poste de 4 m de altura, e cierto istate, da ua sombra de 6 m. Cuáto mide de alto otro poste, si e ese mismo istate, da ua sombra de 15 m? Solució: Respuesta: el poste mide 10 m de altura. PROPORCIONALIDAD INVERSA: Cuado e ua razó ua catidad aumeta y la otra dismiuye se habla de proporcioalidad iversa. Por ejemplo, si el valor de ua se duplica, etoces el valor de la otra se reduce a la mitad. Ejemplo: si co ua catidad fija de diero se puede comprar bebidas que cuesta $ 8 c / u, etoces co esa misma catidad de diero se puede comprar 6 bebidas que cuesta $ 4 c / u. $ 8 = 6 $ 4 Ejemplo de aplicació: u móvil, co ua velocidad media de 80 ( km / hr ), recorre ua distacia e 6 (hr). Si se quiere realizar el mismo recorrido e 5 ( hr ), cuáto debería ser el valor de la velocidad media? Solució: 80 ( km / hr ) 6 ( hr ) = v 5 ( hr ) etoces v = 96 ( km / hr ) Respuesta: la velocidad tiee que ser de 96 ( km / hr ). Resuelve los siguietes problemas de proporcioalidad: a) Por cuatro horas de trabajo, Alberto ha cobrado $0. Cuáto cobrará por 5 horas? b) Tres obreros descarga u camió e dos horas. Cuáto tardará 6 obreros? c) Trescietos gramos de queso cuesta $ 1. Cuáto cuesta el kilo? d) U camió, a 60 km/h, tarda 40 miutos e cubrir cierto recorrido. Cuáto tardará u coche a 10 km/h?

23 e) Tres cajas de cereales pesa dos kilos y cuarto. Cuáto pesará cico cajas iguales a las ateriores? f) Dos palas excavadoras hace la zaja de ua coducció de cable telefóico e 10 días. Cuáto tardaría e hacer la zaja cico palas? g) U camió que carga toeladas ecesita 15 viajes para trasportar cierta catidad de area. Cuátos viajes ecesita para hacer el mismo porte otro camió que carga 5 toeladas? (1 t_1 000 kg). h) U taxi que va a 100 km/h ecesita 0 miutos para cubrir la distacia etre dos pueblos. Cuáto tardaría si fuera a 80 km/h? i) Ua máquia embotelladora llea 40 botellas e 0 miutos. Cuátas botellas lleará e hora y media? PORCENTAJE: para resolver problemas co porcetaje se debe platear ua proporció co los datos coocidos y luego se resuelve aplicado el Teorema fudametal de las proporcioes. Ejemplo: calcular el 5% de 170. Solució: e esta situació 170 represeta el 100%, por lo tato la proporció queda de la siguiete forma: etoces por lo tato x = 59,5 Nota: tambié se puede utilizar la Regla de Tres Simple para calcular porcetaje. E uestro ejemplo se platea la siguiete relació: % x 5% Para calcular x hacemos el producto de los medios dividido e el extremo restate, es decir por lo tato x = 59,5. Resolver los problemas co Porcetaje: a) Calcula el 46% de 764. b) Cuáto es el 10% de 5? c) El moto a pagar e ua boleta de servicio es $0. Si al pagarla fuera de termio me recargaro u 5%. Cuato pague la factura co recargo? d) E ua clase de 0 alumos, el 60% so chicos y el 40% chicas. Cuátos chicos y cuátas chicas hay e la clase? e) E ua ciudad de dos milloes de habitates, el 8% so europeos; el 9%, africaos; el 6%, asiáticos, y el resto, americaos. Cuál es el porcetaje de americaos? Cuátos hay e cada grupo? f) Ua CD de música cuesta $,50. Cuáto pagaré si me hace ua rebaja del 40%? g) U DVD costaba $50 y he pagado $40. Qué porcetaje me ha rebajado?