RECOMENDACIONES A LOS ALUMNOS

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1 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº RECOMENDACIONES A LOS ALUMNOS La Asigatura Matemáticas de las carreras Profesorado y Liceciatura e Biología, correspode a primer año; su régime es aual, co tres horas de clases semaales. Requiere desde sus iicios coceptos básicos de aritmética, algebra y geometría, coteidos que so propios de la eseñaza pre uiversitaria. Tal vez la primera preguta será por que debemos apreder Matemáticas e Biología. Para respoder a esto coviee ates recurrir a ua seguda preguta: hemos apredido a estudiar Matemáticas?. Ocurre geeralmete que apredemos a hacer cuetas, coseguir resultados y cuado mucho cotrolar estos valores y revisar si el resultado coicide o o co otro supuestamete bueo. Pero, que es estudiar Matemáticas?. Cuatas veces hemos leído ua defiició?, distiguimos acaso ua defiició de ua propiedad?, iterpretamos u resultado?, resolvemos problemas de aplicació?. Todo esto icluye el apredizaje de las Matemáticas. Ahora itetemos respoder para que apreder la matemáticas e biología. Desde el comiezo la Biología se ha caracterizado por ser ua disciplia cotemplativa y descriptiva, hecho particularmete otorio e aatomía, que poco ha cambiado a lo largo de los años. La Biología como ciecia comezó realmete al surgir la Geética, la Evolució y la Fisiología; y los avaces más otables e Biología se lograro posteriormete co los progresos aportados por la Física e cuato a los métodos de medició. La Matemática e Biología o Biomatemática o Ecología Matemática, ació como Ciecia e los años 96 y 97. Si bie hubo ua prehistoria que forma ua costelació de famosos como Malthus o Verhulst, fuero los trabajos de Volterra (96), Lotka (97) y Kostitzi (97) los que iiciaro el feliz matrimoio etre la Ecología y la Matemática. Volterra, motivado por u problema que le sugirió su yero, el zoólogo Humberto D Acoa, demostró, usado u modelo matemático, que las fluctuacioes de la pesca e el Mar Adriático podía deberse a la iteracció etre depredadores y presas. A partir de allí, la mayoría de los coceptos de la Ecología ha teido expresió e forma de modelos matemáticos que explica o predice lo que pasa e la aturaleza, co mayor o meor grado de realismo y precisió. U ecólogo matemático hoy e día puede dedicarse a varios aspectos: predecir la probabilidad de iudacioes, modelar el clima, diseñar estrategias de vacuació o preveció para efermedades ifecciosas, maejar parques acioales o, simplemete, itetar hacer crecer el cuerpo teórico de la Ecología. INTRODUCCION La Matemática e Biología resulta imprescidible hoy e día e la eseñaza; así pues, co ese propósito la presete asigatura persigue la iserció del Alumo igresate, e la actividad iterdiscipliaria, tal cuál se viee haciedo e la Asigatura Matemática desde 99. E efecto, la Biología es posiblemete la Ciecia que más ha evolucioado e el siglo que acaba de termiar, dado e sus ivestigacioes espacio a otras ciecias que iteractuado e forma aplicada fortaleciero la iterdiscipliariedad. Así, la Geética, Fisiología, Aatomía, Ecología etre otras ramas de la Biología se viero apoyadas por la Matemática a través de la Estadística y el Cálculo, por la Física a través de la Estática, Diámica y Electricidad y por la Química co la Estructura Molecular,

2 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº explicado uevas teorías y dado a luz coocimietos que por si sola, la Biología o hubiera podido obteer respuesta imediata. Es por ello que resulta importate impartir ua eseñaza aplicada de la Matemática, base de las Asigaturas Física, Estadística y Ecología de la Carrera, como así tambié para la Ivestigació de cualquier rama especifica de la Biología, aportado a temas de ivestigació y formació co vistas a la Tesis y a la vida profesioal. Los úmeros y la matemática parece estar e todas partes. E uestros cuerpos las redes de uestro sistema cardiovascular, los impulsos eléctricos que uestros cuerpos usa para producir movimietos, las maeras e que se comuica las células, el diseño de uestros huesos, la misma estructura molecular de los gees. todos ellos posee elemetos matemáticos. E cosecuecia, e u esfuerzo destiado a cuatificar las fucioes del cuerpo humao, la ciecia y la medicia ha recurrido a los úmeros y a otros coceptos de la matemática. Por ejemplo, se ha diseñado istrumetos para traducir los impulsos eléctricos del cuerpo a curvas siusoides, haciedo de este modo factible la comparació de resultados. Los resultados de u electrocardiograma, u electromiograma, u ultrasoido, muestra la forma, amplitud y cambio de fase de ua curva. Todo esto proporcioa iformació a técico etreado. Números, porcetajes y gráficos so aspectos de la matemática adaptados a uestros cuerpos.... Los aspectos físicos y fisiológicos del cuerpo tambié os coduce a otras ideas matemáticas. El cuerpo es simétrico, lo que le da equilibrio y u cetro de gravedad. Además de permitir el equilibrio, las tres curvas de la columa vertebral so muy importates para el bue estado físico y para coferir al cuerpo la capacidad física de sosteer su propio peso y otras cargas. Artistas como Leoardo da Vici y Alberto Durero trataro de ilustrar la cocordacia del cuerpo co diversas proporcioes y medidas, tales como la secció áurea. (Theoi Pappas e El Ecato de la Matemática. Zugarto Edicioes). Fialmete, puede mecioarse que e la coferecia iaugural de la Primera Escuela Argetia de Biología Matemática realizada el pasado mes de diciembre de 005 e La Cumbre, Córdoba, quedó recoocida la Matemática, como el uevo microscopio co el que cueta la Biología, debido al gra aporte que tal istrumeto bridó para obteer uevos descubrimietos detro de la Biología, e comparació co lo que hoy es la Matemática a través de las diferetes modelizacioes.

3 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº OBJETIVOS: Lograr que el Alumo: GUIA DE ACTIVIDADES Y TRABAJOS PRACTICOS N Actualice el maejo algebraico de las operacioes e los distitos cojutos uméricos. Desarrolle la habilidad de operar co úmeros fraccioarios. Adquiera la destreza de resolver operacioes de potecias y radicacioes e los distitos sistemas uméricos. Resuelva ecuacioes lieales y cuadráticas. Adquiera la destreza de resolver problemas mediate ecuacioes lieales. Idetifique la otació cietífica como u istrumeto de represetació de medidas de magitudes. Adquiera la habilidad de maejar y expresarse e el plao umérico. Iterprete gráficamete ua ecuació. Recoozca las distitas ecuacioes de ua recta. Adquiera la habilidad del maejo bibliográfico, como recurso para el estudio. CONTENIDOS: A) Sistemas de Números. B) Poteciació C) Fraccioes. D) Radicació. E) Ecuacioes lieales. Solucioes. F) Ecuacioes Lieales co dos icógitas G) Ecuacioes de segudo grado e ua variable H) Notació Cietífica I) Gráficas de ua ecuació J) Ecuació de la recta NOTA: o o o Los ejercicios idicados co (EO) so ejercicios obligatorios y formara la carpeta de trabajos prácticos. Es requisito para los alumos aspirates al Régime de Promoció de la Asigatura presetar esta guía de trabajos prácticos co todos los ejercicios (EO) desarrollados hasta el día siguiete al primer parcial. Los ejercicios de aplicació Biológica se idica co (AB). ACTIVIDAD: A) Sistemas de Números. Los úmeros que utilizamos para cotar:,,,,. se deomia úmeros aturales, y al cojuto se lo idica co N :,,,,... N { } Ejemplo : La catidad de huesos e el cuerpo humao es u úmero atural. El orde atural de tales úmeros permite efectuar las operacioes de suma y resta, o siedo esta ultima posible cuado el miuedo es meor que el sustraedo, así

4 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº tambié para miuedo y sustraedo iguales la resta es cero, al cual se lo suele icluir etre los úmeros aturales usado a veces N 0 como la otació para el cojuto cuyo primer elemeto es el cero. N 0 { 0,,,,,... } Para efectuar la resta cuado el miuedo es meor que el sustraedo, se defie los úmeros opuestos a los aturales, llamádolos eteros egativos. Por ello a los aturales se los deomia tambié eteros positivos, mietras que el cero carece de sigo. Todos forma e cojuto los úmeros eteros, deotado co Z: Z {...,,,,,0, +, +, +, +,... } Ejemplo : Si la temperatura de ua sustacia química se la baja e 0ºC respecto de la temperatura ambiete de ºC, estará a -8ºC. La suma, resta y multiplicació etre úmeros eteros da siempre otro úmero etero, mietras que la divisió etre eteros o siempre da eteros, así pues idicamos a los úmeros racioales como ua razó o cociete etre dos úmeros eteros e dode el divisor uca es ulo, y al cojuto se lo idica co Q, es decir: Q a / a Z b Z b 0 b Ejemplo : Ua idicació dada dice que debe colocarse tierra e la maceta hasta ua ¾ parte. Esto sigifica que tomado la altura de la maceta se la divide e cuatro y de esas cuartas partes se toma tres. Ua alterativa de escribir u umero racioal e forma aparete etera es usado los llamados decimales, que cosiste e ua parte etera y ua matisa, meor que la uidad. E efecto, si deseamos dividir e 5, el resultado es el racioal, que 5 equivale al decimal, siedo la parte etera y la matisa o parte decimal. No siempre esto es posible, por lo que recoocemos a estos úmeros que tiee matisa ifiita periódica, por ejemplo, ; e efecto, o se covierte e decimal sio e ua expresió ifiita periódica, tatos 6 como se desee escribir o se ecesite para su otació. E tal caso la otació es 6 ), Si la forma aparete etera tiee ua matisa ifiita o periódica, tal como 5, el úmero perteece a los llamados úmeros irracioales, estos o puede escribirse como ua razó etre dos eteros. Los úmeros racioales e irracioales forma los úmeros reales, que se deota co R. E cada cojuto umérico mecioado se defie u orde creciete y otro decreciete, e cuyo caso podemos represetar gráficamete a los úmeros reales e

5 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº 5 la recta real bajo ese orde, la cual tiee u puto orige al que se le asiga el cero, co ua uidad de medida a la derecha se ubica el uo, y los restates se deota a cotiuació siguiedo esa uidad de medida. Recordado que para úmeros racioales la comparació es: a b > c d cuado a. d > b. c Así la recta real se grafica de la siguiete maera EJERCICIOS:.- (EO) E la recta real grafique los siguietes úmeros: - ; 5,65 ;, ;, ; ; 0 ; 7 ; π ; ; 8 5 B) Poteciació Recuerde que la poteciació tiee varias defiicioes, segú el cojuto umérico al que perteece la base y el expoete. La defiició de poteciació fue variado a medida que se os presetaba los distitos cojutos uméricos, si que esto sigifique ua operació distita, pues si os dice que calculemos dos elevado a la quita, sabemos que debemos resolver ua multiplicació co cico térmios iguales a dos. Pero si el expoete es egativo o fraccioario cómo cotamos la catidad de factores que tiee esa multiplicació?. Defiició : Se llama potecia de u úmero real a co expoete atural a la expresió a a. a... a. veces Ejemplo : Resolver las potecias a) 5 b) Solució: a) b) c) 8 5 c) 9 6 Defiició : Se llama potecia de u úmero real a co expoete etero egativo - a la expresió

6 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº 6 a a. Ejemplo 5: Resolver las potecias a) 5 b) Solució: a) b) 7 c) c) Defiició : Se llama potecia de u úmero real a co expoete racioal expresió p q q a p a. p a la q Ejemplo 6: Resolver las potecias a) 5 b) 7 c) Solució: a) 5 5 b) c) B.) Propiedades de la Poteciació Para el cálculo de la poteciació es coveiete teer e cueta la validez de las siguietes expresioes, coocidas como propiedades de la poteciació: i) Producto de potecias de igual base: ii) Cociete de potecias de igual base: a a m m. a : a a a m+ m m. iii) Potecia de otra potecia: ( ) a a m iv) Potecia de u producto: ( ) a. b a. b v) Potecia de u cociete: ( ) a : b a : b EJERCICIOS:.- (EO) Resolver los siguietes ejercicios co potecias:

7 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº 7 5 a) ( ) b) ( ) 5 e) 5 0 c) 5 5 f) d) 0 g) 5.- A partir de las propiedades de la poteciació dadas, expréselas coloquialmete. C) Fraccioes Recuerde que para sumar y restar fraccioes debemos hallar previamete u comú deomiador, el cual o puede ser el producto de ambos o mejor aú, el míimo comú múltiplo (m.c.m.). Ejemplo 7: Realizar la siguiete suma algebraica de úmeros fraccioarios: Solució: Para realizar la suma algebraica, debemos hallar u comú deomiador etre las fraccioes dadas, más aú, podríamos hallar el meor de los comues deomiadores, el cuál es el míimo comú múltiplo de los deomiadores dados. E efecto este valor es, es decir. m.c.m. (,,6) E cuato al producto de fraccioes, se multiplica umeradores etre si y deomiadores etre sí. Ejemplo 8: Realizar la siguiete multiplicació de úmeros fraccioarios: Solució: Para realizar la multiplicació, debemos expresar la multiplicació de los umeradores etre sí y de los deomiadores etre sí, y realizar todas las simplificacioes posibles: / 5 ( 0) 5 9 / / 9/ 6 EJERCICIOS:.- (EO) Resolver las siguietes operacioes co fraccioes:

8 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº 8 5 a) e) 0 x 7 5 h) b) + c) 8 x x 0 9 f) 5 x x i) x 5x x 5x x d) + x x ab c g) c a b abc x x j) x x D) Radicació Vimos ya e la defiició de potecia como u expoete fraccioario equivale a ua raíz. E cosecuecia defiimos Defiició : Si La otació es a b etoces a se deomia la raíz eésima de b. a b, y se lee: a es la raíz eésima de b. La expresió bajo es sigo radical se deomia radicado. La radicació es ua operació iversa de la potecia y por ello sus propiedades so aálogas. Propiedades de la Radicació Para el cálculo de la radicació es coveiete teer e cueta la validez de las siguietes expresioes, coocidas como propiedades: a ii) ( a + b) x a x + b x i) ( ) a iii) ab a b a b iv) a b EJERCICIOS: 5.- (EO) Resolver. a) a.a 5 0 b) x. x. x c) 6 a d) x a e) 6 a f) 5 5 x x g) x x x 5 5

9 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº 9 E) Ecuacioes Lieales. Solucioes El térmio ecuació es, a ésta altura de sus coocimietos, por demás coocido. Resulta imediato pesar que ua ecuació es toda igualdad etre dos expresioes algebraicas que cotiee al meos ua icógita. Las catidades que acompaña a esas icógitas so valores o úmeros específicos, deomiado costates o escalares. E todo uestro estudio, salvo que se diga lo cotrario, trabajaremos co costates reales; co lo cuál geeralizamos u sistema umérico. Por ua ecuació lieal co icógitas x, x,..., x etedemos a toda ecuació que puede escribirse e la forma covecioal: a x + a x a x b dode a, a,..., a, b so costates. La costate a i se deomia el coeficiete de la icógita y b se deomia la costate de la ecuació, o térmio idepediete. Ejemplo 9: E las siguietes ecuacioes idicar cuales so lieales y cuales o: a) x + y + z 6 b) x + 7 yz + y c) x + y + z 6 Solució: La primera ecuació es lieal por ser ua expresió de primer grado cada sumado; es decir, lieal cada icógita. La seguda ecuació o es lieal, pues el segudo sumado es cuadrático, al teer el producto de dos icógitas y y z. La tercera ecuació tampoco es lieal pues el segudo sumado es cúbico e la icógita y. Ua solució o raíz de la ecuació lieal es u cojuto de valores de las icógitas, digamos x k; x k ;...; x k, o simplemete ua lista ordeada de valores u k k,...,, deomiada -upla ó -ada, que tiee la k reales costates ( ), propiedad tal que es cierta la siguiete expresió: que resulta de reemplazar cada x i por k i. a k + a k a k Luego, decimos que este cojuto de valores satisface la igualdad. La solució puede o ser úica, e cuyo caso todas las solucioes forma u cojuto deomiado cojuto solució, y ua expresió que las represete a ellas se dice solució geeral. b Ejemplo 0: Verificar que la tera u (,,) es solució de la ecuació lieal co tres icógitas: x y + 5z 6 y además que la tera v (,-,) o es solució. Solució: E efecto, se verifica que u es solució, pues, al sustituir, queda: Mietras que sustituyedo por v, se tiee:. - (-) por lo tato v o es solució.

10 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº 0 Ejemplo : Resolver la siguiete ecuació: x + y 6 Solució: La primera variable es x, mietras que y es variable libre; parametrizado a y de forma que: ya, queda: x + a 6 Despejado x, resulta: x 6 a. Así: x a Luego, todo par de la forma ( a, a) co a real arbitraria es solució de la ecuació. EJERCICIOS 6.- (EO) Determiar si cada ua de las siguietes ecuacioes es lieal: a) 5x + 7y - 8yz 6 b) x + π y + e z log 5 c) x + k y - 8z (EO) Cosidérese la ecuació lieal x - y +z 5. Determiar si u(,,-) es solució. 8.-Determiar si: u(,,,-) y v(0,-,/,6), so solucioes de la ecuació: x + x x + x E.) Ecuacioes Lieales co ua Icógita Cuado la ecuació lieal tiee ua sola icógita su forma es: euciado os determia su solució. ax b. El siguiete Propiedad : Sea la ecuació lieal co ua icógita ax b b a) si a 0, la úica solució es x a b) si a 0 co b 0 la solució o existe. c) si a b 0, etoces cualquier escalar k es solució. Ejemplo : Resolver las siguietes ecuacioes: a) x b) 6 x x x 6 + 7x c) x + 5 x + x Solució: a) Realizado pasajes de térmios a efectos de obteer la forma covecioal, teemos: x 5-8 x - multiplicado por e ambos miembros, resulta x -; la cuál es la úica solució. b) Co los pasajes de térmios obteemos: 6 x x + x 7x 6 + es decir: 0x resultado ua ecuació que o tiee solució, pues o existe valor para x que satisfaga la igualdad.

11 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº c) Reescribiedo se obtiee: x x + x + 5 o sea: 0 x 0 Esta ecuació tiee ifiitas solucioes, pues cualquier real k, satisface la igualdad. E.) Ecuacioes Lieales Degeeradas Toda ecuació lieal que tiee ulos a los coeficietes de las icógitas se deomia degeerada. Es decir, tiee la forma: x + 0 x x b 0 La siguiete propiedad os idica lo que sucede co la solució de tal tipo de ecuació: Propiedad : Dada ua ecuació lieal degeerada co icógitas, se tiee: a) si b 0 la ecuació o tiee solució. b) si 0 u k k,..., b, la solució es cualquier -upla ( ), Ejemplo : Describir la solució de x y 5 x x + y 5y Solució: Al tomar la forma covecioal teemos: x y 5 x x + y 5y o sea 0 x + 0y 0 Por lo que cualquier par (a,b) de úmeros reales, es solució de la ecuació dada. k E.) Ecuacioes Lieales o Degeeradas Para el caso de ecuacioes lieales co icógitas dode o todos los coeficietes de las icógitas so ulos, la ecuació se dice o degeerada. E cuyo caso etedemos por primera icógita e tal ecuació a la primera que posee coeficiete o ulo. Las otras icógitas distita de la primera icógita se cooce como variables libres. Este ombre se desprede de los valores que puede adoptar e la solució de la ecuació. Esto se idica e la siguiete propiedad. Propiedad : Dada ua ecuació lieal o degeerada co icógitas, cuya primera icógita es x p, resulta: a) cualquier cojuto de valores de las icógitas distita de x p es ua solució de la ecuació. b) toda solució de la ecuació se obtiee del cojuto solució obteido e a). De ésta propiedad, resulta que ua vez recoocidas las variables libres, la solució de la ecuació se expresa e térmios de las primeras variables, esto sigifica que las variables libres adopta u valor llamado parámetro. Ejemplo : Resolver las siguietes ecuacioes: a) x + y 6 b) x + y z Solució:

12 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº a) La primera variable es x, mietras que y es variable libre; parametrizado a y de forma que: ya, queda: x + a 6 Despejado x, resulta: x 6 a x a Luego, todo par de la forma ecuació. a; a co a real arbitraria es solució de la b) Las variables libres so y y z. Hacemos y a y z b, la ecuació queda: x + a b Luego x a + b Así toda tera ecuació. a + b; a; b co a y b reales arbitrarios es solució de la EJERCICIOS 9.- (EO) Resolver cada ua de las siguietes ecuacioes: a) -x + 6 x b) + cx 0 c) x x x + d) 5x -x - x + - x 0.-Resolver las siguietes ecuacioes, distiguiedo primero que úmeros o perteece al domiio del cojuto solució: a) (EO) x + x b) x + x + 5 x x + 8x 5 c) (EO) x x d) [ y ( 5 y) ] + y e) (EO) + f) (EO) 8 x x 5 x 6x 7.- (EO) (AB) Resolver los siguietes problemas: a) U catero de u jardí tiee forma rectagular. El largo es metros meor que cuatro veces su acho; además el perímetro es de 9m. Ecuetre las medidas del catero. b) A u corredor le toma miutos co 5 segudos termiar ua carrera, mietras que otro ecesita mi para la misma carrera. La velocidad del corredor más rápido es de 0, m/s más que la del corredor leto. Calcular esas velocidades.

13 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº F) Ecuacioes Lieales co dos Icógitas Cosideremos ahora ecuacioes lieales co dos icógitas, sea éstas x e y. La forma de las ecuacioes es: ax + by c, dode a, b y c so úmeros reales. Etedemos por solució de ésta ecuació a todo par de úmeros reales k, k, que reemplazados e la ecuació por x e y respectivamete, satisface la igualdad. Cosideramos aquí a las costates ambas o ulas, es decir, a ecuacioes o degeeradas. Gráficamete podemos iterpretar a la ecuació como el cojuto de todos los putos del plao cuyas coordeadas e el sistema de coordeadas XY, sea k, k. Dichos putos se halla situados a lo largo de ua recta que se toma como gráfico de la ecuació. De aquí resulta imediato ver que toda ecuació lieal co dos icógitas tiee ifiitas solucioes. Ejemplo 5: Vimos ya e el Ejemplo, que las solucioes estaba dadas por todos los pares de la forma a; a co a real arbitrario. Esta forma geeral, permite obteer alguos pares a medida que a toma distitos valores. Así co a 0, se tiee (,0); otros pares so (0,); (-,). Graficado estos pares como putos e el plao y cualquier otro que se obtega al dar valor a a, se observa que está alieados. Dichos putos se grafica e la figura. (-,) º (0,) º (,0) º x + y Figura.-Solucioes de la ecuació 6 EJERCICIOS.-Complete: a.-ua ecuació es ua... que posee al meos u termio o variable... llamado... b.-la forma geeral de ua ecuació lieal co ua icógita es... c.-la forma geeral de ua ecuació lieal co dos icógitas es....- (EO) E las siguietes ecuacioes lieales co dos icógitas idetifique la variable libre y halle la solució de tal ecuació e térmios de la primera variable y la variable libre: a) x + 5y 6 b) 6 x y c) 7 x + y

14 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº G) Ecuacioes de segudo grado e ua variable Se dice ecuació de segudo grado e ua variable x a la forma ax + bx + c 0, dode a, b y c so costates reales, co a o ulo. Tambié se la suele llamar ecuació cuadrática e x. El térmio a se llama cuadrático y o debe ser cero, pues deja de ser cuadrática la ecuació. El térmio b se llama lieal, y puede ser ulo. El restate térmio, c se llama idepediete, y tambié puede se ulo. Por eso la forma dada se llama geeral, y es u poliomio completo de segudo grado e x. Ejemplo 6: so ecuacioes de segudo grado e x, las siguietes: a) 5 x + 6x + 0 b) x 7 x c) x x 0 x d) x 6 e) x x + E efecto, las cuatro primeras se las recooce imediatamete, e a) los térmios cuadráticos, lieal e idepediete so 5, 6 y. E b) debemos pasar al primer miembro restado x, co los cual los térmios so, - y -7 respectivamete. E c) falta el térmio idepediete, o sea es ulo. E d) el térmio que falta es el lieal. La ecuació e) tambié es cuadrática, solo que debe pasarse los deomiadores multiplicado, y buscar la forma geeral, que es x x + 0 Ua vez que distiguimos los térmios de la ecuació vamos a proceder a resolver, para ello teemos la siguiete fórmula que expresa las raíces de la ecuació, b ± x b ac a Ejemplo 7: Resolver la ecuació 5x + 6x + 0 Solució: E el ejemplo aterior distiguimos a los térmios a5, b6 y c. Apliquemos ahora la ecuació aterior: 6 + x 6 ± ± ± 6 x x 0 0 Las raíces so etoces x y x 5 La expresió que se halla debajo del sigo radical e la fórmula de la solució de la ecuació cuadrática b ac,se llama discrimiate. E efecto, a partir de ella se puede saber la forma que tiee la solució, pues:. si es positivo el discrimiate se tiee dos raíces reales y distitas: x b + b ac y a b x b ac a

15 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº 5. si el discrimiate es ulo, las raíces coicide y se tiee: b x x x a. si el discrimiate es egativo, la raíz cuadrada o puede resolverse detro de los úmeros reales, y e tal caso su solució e imagiaria, por lo que las raíces de la ecuació so complejas. Ejemplo 8: U parque tiee u jardí de 50m de largo y 0 m de acho; y ua vereda de acho uiforme a su alrededor. Si el área de la vereda es de 600 m, hallar su acho. Solució: Realicemos ua figura de aálisis, e dode llamamos x al acho de la vereda. Así el área de la vereda es igual al área del parque meos el área del jardí, esto es: 50 + x 0 + x ( )( ) x + 60x + x x + 60x x m 50 m x m 60 ± 60 ( 600) x Esto da dos raíces, ua egativa que se la descarta del problema, pues la medida debe ser positiva, e cuyo caso tomamos como solució a,5; co lo cuál el acho de la vereda debe ser,5 m. 0 m 0+x m EJERCICIOS.- Complete los siguietes euciados: a) La forma geeral de ua ecuació cuadrática co ua icógita es:... b) Ua ecuació cuadrática tiee... raíces. Las mismas queda determiadas por las siguietes expresioes: c) Las raíces de ua ecuació cuadráticas puede ser: ambas..., o bie ambas reales e..., o bie...cojugadas. 5.- (EO) Resolver las siguietes ecuacioes cuadráticas: a) x x + 0 b) x 8x + 0 c) x 7x 0 d) x e) 0 x f) x + x 6.- (EO)(AB) Hallar el largo y el acho de ua zoa experimetal de u sembradío si su área es de 60m, y su largo es dos metros más que el acho. 7.- Ua págia de impresió co cm de área impresa tiee u marge de,5 cm e las partes superior e iferior y márgees laterales de cm. Cuáles so las dimesioes de la págia si el acho de la misma equivale a /9 de su logitud?

16 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº (EO)(AB) U parque e forma de rectágulo tiee dimesioes de 60 m por 00 m. Si el parque cotiee u jardí rectagular rodeado por ua vereda de cocreto, qué acho tiee dicha vereda si el área del jardí es la mitad del área del parque? 9.- (EO)(AB) Cuál es el acho de ua fraja de tierra que debe ararse alrededor de u campo rectagular, de modo que se are dos tercios de la superficie del campo, sabiedo que todo el campo tiee 00 m de largo por 60 m de acho? H) Notació Cietífica Ua importate aplicació de la poteciació se halla presete e la escritura de ciertos úmeros que expresa catidades que al ser comparadas co otras, por ejemplo su uidad de medida, parece muy distates. E efecto, si se os pregutara cuátos gramos hay e ua toelada, debemos recordar que e u kilogramo hay mil gramos y e ua toelada existe mil kilogramos, por lo tato e la toelada existe u milló de gramos. Usado símbolos la catidad de dígitos que ecesitamos para expresar el úmero u milló so siete: Si alguie se propusiera escribir la catidad de cetímetros que cabe e el radio terrestre tedría u poco más de complejidad, salvo que escriba e forma resumida el úmero de varios dígitos. La forma abreviada de escribir u úmero de varias cifras es a través de potecias de diez, así el úmero: puede deotarse de la siguiete maera:,x 0. Esta forma abreviada se llama Notació Cietífica, y permite escribir e forma exacta o aproximada, a u úmero de varias cifras. Para ello se tiee u úmero decimal cuya parte etera tiee ua sola cifra, y a partir de allí la coma decimal corre tato lugares segú lo idica el expoete de diez, siedo a la derecha el desplazamieto si dicho expoete es positivo. Veamos alguos ejemplos: ,x ,0x 0 8 0, ,0x 0 0, ,x 0 5 EJERCICIOS 0.- (EO)(AB) E u libro de Ciecias Biológicas, ecotramos el siguiete texto: " Si pusiéramos diez milloes de átomos e fila idia, su logitud sería de u solo milímetro". Cuátos átomos podríamos colocar e ua fila de u metro? Expréselo e otació cietífica..-el espesor de todas las hojas de u libro de 500 págias es de,788 cm. Exprese e otació cietífica el espesor aproximado de ua hoja..- (EO)(AB) El diámetro de u glóbulo rojo es de 0, mm y el diámetro de u glóbulo blaco es de,7x 0 mm. Cuál de los dos glóbulos es mayor?

17 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº 7 I) Grafica de ua ecuació Cosideremos la ecuació y x. Para ciertos lectores, la relació algebraica dada por la ecuació será más reveladora para u aálisis, mietras que otros pueda preferir ua tabla co todas las solucioes posibles, o al meos alguas de ellas si estas so ifiitas, para dar ua idea más clara de la realidad. Si embargo, o siempre es posible coocer o deducir de la ecuació algebraica sus solucioes, y a meudo es preciso coformarse co ua tabla de los valores correspodietes. E estos casos es coveiete y más útil ua represetació gráfica de los pares de valores ( x, y) que satisface la ecuació. E la figura se muestra los datos de la tabla, presetados e forma gráfica. El eje horizotal tiee divisioes adecuadas para represetar la primera variable x y a lo largo del eje vertical se ha costruido ua escala correspodiete a la seguda variable y. El puto de itersecció de ambos ejes es el orige. Cada observació de la tabla se idica sobre la gráfica señalado los putos cuya distacia horizotal al orige, llamado abscisa, correspode a la variable x y cuya distacia vertical al orige, llamada ordeada, correspode a la variable y. Posteriormete trazamos ua líea cotiua etre estos putos siguiedo la secuecia de los valores crecietes de la primera variable. x y x Tabla : solucioes de la ecuació y x La gráfica de ua ecuació e el plao real R es el cojuto de todos los putos e R cuyas coordeadas so úmeros que satisface la ecuació. E forma idética podemos decir que la ecuació de ua gráfica es aquella que se verifica para todo par de coordeadas de los putos de la gráfica. Para la ecuació y x, la gráfica de la ecuació esta dada por la figura. Esta se deomia parábola; el puto más bajo de la misma, e este caso (0,-) se llama vértice. Por ello se dice que la parábola se abre hacia arriba, y por la simetría que preseta respecto del eje Y, este es el eje de simetría Figura : grafica de la ecuació y x Debe quedar e claro que si ua parábola se abriera hacia abajo, el vértice será el puto más alto de la parábola. -

18 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº 8 Ejemplo 9: Trazar la gráfica de la ecuació y x Solució: Primero buscamos despejar y de la ecuació. Esto es y ± x Costruimos ua tabla co pares de valores ( x, y), auque debemos tomar para cada x dos valores de y segú el sigo. Ates de dar valores a x debe teerse e cueta que éste debe ser mayor o igual a para poder obteer y real. x y + x y x 0 0-5, -, E éste caso se tiee tambié ua parábola, pero co eje de simetría e el eje X, y el vértice es el puto que se halla mas a la izquierda, es decir, la parábola se abre hacia la derecha. Grafica de la ecuació y x Ua grafica muy coocida es la circuferecia, sea esta de radio r y co cetro e el puto de coordeadas (h, k ), etoces la ecuació esta dada por x h + y k r ( ) ( ) Para el caso de ua circuferecia de cetro e el orige del sistema de coordeadas, la ecuació es: x + y r Al igual que ates, para hallar pares de valores se debe despejar y. Ejemplo 0: Trazar la gráfica de la ecuació ( x ) + ( y + ) 9 Solució: Podríamos primero buscar despejar y de la ecuació para hallar los pares de valores de las coordeadas de alguos putos de la circuferecia, pero esto queda como u ejercicio. Haremos u pequeño aálisis, usemos la ecuació dada y comparemos co la ecuació de la circuferecia de cetro e el puto de coordeadas (h, k ). Esto es, h es mietras que k es -, así el cetro de la circuferecia es el puto (,-). E cuato al radio es, pues r 9. EJERCICIOS.- Hallar los pares de valores de las coordeadas de putos de la grafica de la ecuació x + y +, de maera que se halle e la grafica del ejemplo aterior. ( ) ( ) 9

19 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº 9.-Completar: Se etiede por grafica de ua ecuació Realizar la grafica de las siguietes ecuacioes, recuerde que u proceso valido es despejar y y luego hallar pares de valores completado ua tabla, y fialmete graficar: a.- (EO) x + y b.- (EO) y x c.- (EO) y x d.- y x + 5 e.- y x + 0 f.- (EO) g.- x y h.- ( x ) + y 9 y x J) Ecuació de la recta Daremos a cotiuació ua presetació formal de la ecuació de la recta, para lo cuál usaremos la otació matemática adecuada. Sea r ua recta o paralela al eje de las y, o sea o es vertical. Sea dos putos e esa recta r, que los llamaremos R y Q. Dichos putos segú la ubicació e el plao se determia e forma úica a través de sus coordeadas. Sea etoces: R x, y ); Q( x, ) los putos sobre r. ( y Se defie como pediete de ua recta a la diferecia etre las ordeadas de dos putos cualesquiera de la misma, dividida por la diferecia etre sus correspodietes abscisas, midiédose cada diferecia e las uidades adecuadas, elegidas para las escalas tomadas a lo largo de cada eje. Formalmete: y y Defiició 5: Se defie como pediete de la recta r, al cociete m x x Si la recta es paralela al eje y, o sea si es vertical, la pediete o esta defiida. Es decir la pediete es u úmero real, siedo positivo cuado el águlo que forma la parte de la recta que esta por arriba del eje X, co respecto al semieje positivo, es agudo, o sea, meor que u águlo recto. La pediete es egativa si el águlo mecioado es mayor que u águlo recto pero meor que u o llao. R(x,y ) Q(x,y ) Ejemplo : Hallar la pediete de la recta que pasa por los putos R (, 6) y Q ( 5, ). y y + 6 Solució: Reemplazado queda m x x 5 Así la pediete es m

20 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº 0 Ejemplo : Hallar la pediete de la recta que pasa por los putos R (, ) y Q (, ). y y 6 Solució: Reemplazado queda m x x Así la pediete es m Realice las graficas correspodiete a los ejemplos y para iterpretar la relació etre el sigo de la pediete y el águlo citado. La pediete de la recta será ula si el umerador de la defiició es ulo, esto ocurre cuado la recta es paralela al eje X. La pediete de ua recta es idepediete de los putos que se elije, así este valor se obtiee a partir de dos putos cualesquiera de la recta. La ecuació de la recta o vertical es aquella igualdad que satisface todo puto de esa recta, para ello tedremos e cueta que ua recta está bie defiida: i) cuado se cooce dos putos de la misma, y ii) cuado se cooce la pediete y u puto. Sea P(x,y) u puto cualquiera de la recta, por lo tato la pediete etre los putos P y R es la misma que la pediete etre los puto R y Q, por lo tato: y y y y x x x x y y Ahora despejemos y: y ( x x ) + y x x Esta es la ecuació de la recta que pasa por dos putos. Ejemplo : Hallar la ecuació de la recta que pasa por los putos R (, ) y Q (, ). Solució: Reemplazado los valores de las coordeadas e la expresió aterior os queda: 6 y ( x ) + ( x ) + x + + x + 7 La ecuació de la recta es y x + 7. Por otro lado si sustituimos la expresió correspodiete a la pediete os queda: y m( x x) + y La cuál se llama ecuació de la recta de puto y pediete. Ejemplo : Hallar la ecuació de la recta que pasa por el puto R (, ) y tiee pediete m Solució: Reemplazado los valores de las coordeadas e la expresió aterior os queda: 0 y ( x ) + x + x + 0 La ecuació es y x +

21 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº U puto importate de la recta, es el que corta al eje vertical Y, supogamos que este puto corta al eje e el valor b, así las coordeadas del puto es ( 0,b). Siedo etoces la pediete m, la ecuació resulta ser: y mx + b Esta se llama ecuació de pediete y ordeada al orige. Podemos expresar e térmios de la pediete a las rectas paralelas diciedo que dos rectas so paralelas si tiee igual pediete. Ejemplo 5: Hallar la ecuació de la recta que pasa por el puto de coordeadas (, ), y es paralela a la recta co ecuació y x 5. Solució: Al ser paralela a la recta dada tiee igual pediete, o sea es m, además coociedo u puto reemplazamos e la ecuació de puto y pediete: y ( x ) + ( ) x 6 x 7 Así la ecuació es y x 7 Cuado se trata de ecuacioes perpediculares se tiee la propiedad trigoométrica que dice si dos rectas so perpediculares el producto de sus pedietes es igual a meos uo. Ejemplo 6: Hallar la ecuació de la recta que pasa por el puto de coordeadas (,5), y es perpedicular a la recta co ecuació y x. Solució: Sea m la pediete de la recta que buscamos, el producto por la pediete de la recta dada es meos uo, o sea: m De dode m Co esta pediete y el puto dado resulta: y [ x ( ) ] + 5 x + 5 x + Luego la ecuació es y x + Fialmete cosideremos la recta vertical. Sea r ua recta vertical que corta al eje X e el puto ( c,0), etoces todo puto de la recta tiee todos los valores reales posibles como seguda compoete, y la primera compoete siempre es c, por ello o se defie la pediete, y e tal caso la ecuació de la recta vertical es x c. Todo lo dicho hasta aquí, puede resumirse diciedo que la ecuació geeral de la recta e el plao es ax + by c, co a, b y c úmeros reales. A partir de la ecuació geeral se deduce todas las ateriores.

22 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº EJERCICIOS 6.- (EO) Complete a.-la represetació gráfica e el plao de ua ecuació lieal co dos icógitas es ua... b.-la ecuació geeral de la recta es... c.-se etiede por pediete de ua recta que pasa por dos putos de coordeadas (...,...) y (...,...) a la expresió... d.-siedo P u puto de coordeadas (..,...) sobre ua recta y... la pediete de tal recta, la ecuació de tal recta es... e.-la ecuació de la recta que pasa por dos putos coocidos de coordeadas (...,...) y (...,...) es (EO) Determie la pediete de la recta que pasa por los pares de putos dados: a) p(,-) q(-,) b) a(5,0) b(-,-) 8.- (EO) Obtega para cada apartado, la ecuació de la recta que cumpla las codicioes que se idica: a)la pediete es y pasa por el puto (,-). b)pasa por los putos (5,) y (-,6). c)pasa por los putos (-,0) y (,0). d)pasa por el puto (-,-6) y es paralelo a la recta cuya ecuació es x-5y+0. e)pasa por el puto (-,) y es perpedicular a la recta co ecuació x-y (EO) Se ecotró que la coductividad de ua cierta disolució biológica varía co la cocetració del siguiete modo. Represétese los datos e forma gráfica, y determíese la pediete de la recta obteida. Escríbase ua ecuació que dé la relació fucioal etre la coductividad k y la cocetració c. 0.- (EO)(AB) La gráfica de ua ecuació que relacioa las lecturas de Cocetració (mol/m ) Coductividad 0,0 6, 0,5 8,9 0,0,5 0,5,9 0,0 7,8 0,5 0,0 0,0, 0,5 5,5 0,50 9,0 0,55,6 0,60, la temperatura e grados Celsius y e grados Fahreheit es ua recta. El agua se cogela a 0 Celsius y Fahreheit; y ebulle a 00 Celsius y Fahreheit. a.-si y grados Fahreheit correspode a x grados Celsius, escriba ua ecuació que icluya a x y a y. b.-trace la gráfica de la ecuació obteida. c.- Cuál es la temperatura e Fahreheit equivalete a 5 Celsius? d.- Cuál es la temperatura e Celsius equivalete a 7 Fahreheit?.- (EO)(AB) La altura media de la malva real e u cojuto de tablas experimetales variaba co el úmero de aplicacioes de u líquido fertilizate, los resultados aparece e la siguiete tabla: Represete los resultados e ua gráfica y trate de establecer ua ecuació que exprese la relació fucioal etre las variables. Altura (cm) Número de veces 0, 0 0,9,8,7,, 5 5, 6 5,8 7

23 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº SOLUCIONES DE ALGUNOS EJERCICIOS.- a) 9 b) 6 c) 5 d) e) 5 f) 00 9 g) 8.- a) 0 f) g) b) 8 a b x c) x 7 h) 5 7x + x d) x i) x 0x e) x j) x ( x +) a) a b) x c) a d) 7x e) 5 5 a f) x g) x 6.- a) No es lieal porque el ultimo termio tiee el producto de dos variables. b) Es lieal c) Es lieal 7.- Si es solució. 8.- a) No es solució ; b) Si es solució a) x b) x ; c 0 c) x d) x 5 c 0.-a) x b) No tiee solució c) x d) y e) x f) x.-a) Largo 7 metros y acho,5 metros. b) Las velocidades so 6, y 6 metros por segudo. 5 + a.-a) a; a b) + a; a c) ;a a) x ; x b) x 6; x c) x 7; x 0 d) x ; x e) x ; x f) x ; x El largo es de 0 m y el acho 8m. 7.- La págia tiee 7 cm de largo y de acho. 8.- El acho de la vereda es de 0,85m. 9.- El acho de la fraja es de 5,50 m Hay 0 átomos e ua fila idia de u metro..- Cada hoja tiee u espesor de 7,5 0 cm..- El glóbulo blaco es mayor. 7.- a) m b) m a) y x 6 b) y x + c) y 0 d) y x e) y x a) y x + c) F d), C 5