FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

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1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN Grado 6-7 Taller #7 Nivel II RESEÑA HISTÓRICA SOPHIE GERMAIN ( ) Fue ua matemática autodidacta. Nació e París e las últimas décadas del Siglo de las Luces. Los cambios políticos y sociales que se producía e Fracia durate su iñez determiaro que, desde muy pequeña, cosiderara la Ciecia y especialmete las Matemáticas, como el estímulo itelectual que daba setido y traquilidad a su existecia. Sus primeros trabajos los coocemos a través de su correspodecia co Gauss, co el que mateía oculta su idetidad bajo el pseudóimo de Mosieur Le Blac. La historia de Sophie es la de ua matemática brillate que o pudo lograr su pleo desarrollo porque e sus años de formació o pudo acceder a ua educació matemática formal y e su madurez tuvo que trabajar e solitario porque ua jerarquía cietífica, totalmete masculia, la excluía. Teer ua formació autodidacta, aárquica y co laguas le perjudicará toda su vida. Su aislamieto o fue ta evidete cuado trabajaba e teoría de úmeros, pero cuado comezó a trabajar e física matemática o tuvo, e u primer mometo, los últimos coocimietos matemáticos que etoces se estaba utilizado y que requería u trabajo cada vez meos solitario y ligado a la comuidad cietífica. Auque su obra merecía el recoocimieto académico, uca recibió título alguo. Ua calle de París y u Liceo lleva su ombre, y ua placa, e la casa dode murió, (el úmero 13 de la rue de Savoie) la recuerda como matemática y filósofa. Actualmete, el Istituto de Fracia, a propuesta de la Academia de Ciecias, cocede aualmete Le prix Sophie Germai al ivestigador que haya realizado el trabajo más importate e Matemáticas, pero todo este recoocimieto es póstumo, ya que icluso e su certificado de defució lo que figura como profesió es retista y o OBJETIVO GENERAL Aplicar adecuadamete las propiedades de y radicació. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Compreder ua potecia de expoete atural como u producto repetido. Iterpretar y aplicar las propiedades de poteciació Compreder la raíz cuadrada como operació iversa de la operació Iterpretar y aplicar las propiedades de radicació

2 PALABRAS CLAVES Potecia: Producto de u úmero, llamado base, por sí mismo, veces. Radicació: Operació iversa a la poteciació que cosiste e ecotrar la base de ua potecia, dados el resultado de ella y su expoete. Radical: Símbolo que idica la operació de extraer raíz. Expoete: Idica el úmero de veces que multiplicamos la base. Base de ua Potecia: Es el úmero que multiplicamos por sí mismo. ELEMENTOS TEÓRICOS Poteciació La poteciació es ua multiplicació de varios factores iguales: a a a... a = a Ejemplo: 4 3 = = 64 Propiedades de la potecias 1. a 0 =1. Ejemplo: 3 0 = 1 2. a 1 = a. Ejemplo: 4 1 = 4 3. Producto de potecias co la misma base: es otra potecia co la misma base y cuyo expoete es la suma de los expoetes. a m a a m Ejemplo: = (4 4 4) ( ) = 4 8 = Divisió de potecias co la misma base: Es otra potecia co la misma base y cuyo expoete es la diferecia de los expoetes. a m / a a m Ejemplo: 4 5 / 4 3 = ( ) /(4 4 4) = 4 2 = Potecia de ua potecia: Es otra potecia co la misma base y cuyo expoete es el producto de los expoetes. m m a a 6. Producto de potecias co el mismo expoete: Es otra potecia co el mismo expoete y cuya base es el producto de las bases.

3 a b a b 7. Potecia de u cociete: Es el cociete de las potecias de cada parte. (a/b) m = a m / b m 8. Potecia de ua potecia: Es otra potecia de la misma base y cuyo expoete es igual al producto del expoete de la potecia por el úmero al que se eleva. (a m ) = a m 9. Para todo úmero etero a diferete de cero y todo úmero atural. a - = 1/ a, Ejemplo: (-2) -3 = 1/(-2) 3 = -1/8 Radicació Es la operació iversa a la poteciació, cosiste e que a partir de dos úmeros, llamados radicado e ídice se debe hallar u tercero, llamado raíz, tal que, elevado al ídice, sea igual al radicado. ídiceradicado raíz Ejemplo: Cuál úmero elevado a la quita potecia da 32? x 5 = 32 Solució: 5 32 =x, se lee: raíz quita de 32 es igual a x x=2 Propiedades de la radicació 1. Forma expoecial de ua raíz: La raíz -ésima de u úmero puede poerse e forma de potecia: a a 1 2. La raíz eésima de u producto de úmeros eteros es igual al producto de las raíces eésimas de cada factor. a* b a b 3. La raíz eésima del cociete de dos úmeros eteros es igual al cociete de la raíz a a eésima del dividedo y el divisor b b Ejemplo:

4 TALLER 1. Completar el diagrama y agregar otras propiedades POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN Poteciació es: Radicació es: La base es: El expoete idica: Propiedades El ídice es: El radicado es: Divisió de potecias de igual base: Se coloca la misma base y se resta los expoetes Multiplicació de raíces de igual ídice: Multiplicació de potecias de igual base: Divisió de raíces de igual ídice: 2. Calcular las siguietes potecias: a. 3 5 = b. 5 3 = c. 7 2 = d. 2 7 = e = f = 3. Todo úmero diferete de cero, elevado a expoete cero es igual a: a. Cero c. Uo b. El mismo úmero d. Nigua de las ateriores 4. Para elevar ua potecia a otra potecia:

5 a. se resta los expoetes b. Se suma los expoetes c. Se divide los expoetes d. Se multiplica los expoetes 5. Correspode a la raíz cuadrada de 100 a. 100 b. -10 c. -10 y 10 d. Nigua de las ateriores 6. Expresar e potecia a = b. (-3) 3 (-2) 2 = c. (-1) 5 (-1) 4 = d. (x 6 ) 2 = e. (2x 2 ) 6 = f = g. (-4) 8 /(-4) 5 = h. (-2) 2 /(-2) 4 = 7. Escribir expresioes equivaletes si expoetes egativos a. 7-2 = b. (-3) -2 = c. 8-3 = d. (-4) -4 = 8. Escribir expresioes equivaletes co expoetes egativos: a. 1/3 2 b. 1/(-3) 4 c. 1/x 3 d. 1/2 9. Establecer si las siguietes afirmacioes so verdaderas o falsas. ayúdate co ejemplos uméricos a. Todo úmero elevado a u expoete impar es egativo. b. Todo úmero elevado a u expoete par es positivo c. Cualquier potecia de u úmero positivo es positiva. d. Si la base es egativa y el expoete es impar, la potecia es positiva. 10. De (-81) se puede afirmar que. a. La raíz cuadrada es 9 b. La raíz cuadrada es -9

6 c. a. y b. so ciertas d. No existe 11. E las siguietes expresioes se ha remplazado u úmero por ua letra. Determiar el valor de la letra. Puede haber más de u valor que la remplace? a. 3 a = 81 b. (-2) c = -32 c. m 2 =36 d. (-1) p = -1 e. (-4) d = Aplicar el producto de potecias y expresa el resultado como ua sola potecia: a. (-3) 4 (-3) 2 b c. x 6 x 7 x 9 d. (-2) 2 (-2) 3 (-2) 4 (-2) Aplica la potecia de ua potecia y expresa el resultado como ua sola potecia: a. (3 2 ) 4 b. (-10) 2 c. (-9 0 ) 2 d. (7 4 ) 0 e. ((-2) 9 ) Aplicar el cociete de potecias de igual base y expresar el resultado como ua sola potecia: a. 5 5 /5 b. 8 4 /8 4 c. (-3) 10 / (-3) 11 d. m 6 /m Calcular la base de las siguietes potecias: a. (a 2 ) 3 = 64 b. a 4 = 81 c. a 5 = 32

7 d. a 3 =27 e. a 6 = Calcular: a. 3 6 x 3 5 b. 3 2 x 2 2 c. ((3 6 ) 4 ) 0 d. (3 4 ) 5 e. 2 8 x 4 4 f. 3 8 x 9 4 g. 4-3 /4-3 h. 2 5 /2 10 i. ( 5) 2 / 25 j. ( / (5 99 ( 5) 98 ) k. ( 15 18) / ( 5 6) 17. Aplica las propiedades de las potecias para demostrar las igualdades: a. ((2 5) 3 (-2) 4 (-5) 6 ) / (10 2 (-2) 3 (-5) 6 ) = -20 b. ( ) / ( ) = Sumas de radicales a = b = c = d = e = f = g /3 ( 45) = h. 1/4( 80) 1/6( 63) 1/9( 180) = i /14( 98) 1/3( 162) = j /4( 125) 1/2( 180) = k. 1/2( 3) /3( 108) 3/5( 300) = 19. Justificar si el euciado es verdadero o falso y calcular el resultado a. (2 +3) 2 = (2 +3) (2 +3) b. (3-3) 2 = (3 + 3) (3 + 3) c. (x + y) 2 = (x + y) (x + y) d. (2-3) 3 = (2 +3) (2 +3) (2 +3) e. (3 + 3) 3 = (3 + 3) (3 + 3) (3 + 3) f. (x + y) 3 = (x + y) (x + y)(x + y) 20. Teiedo e cueta el puto aterior, es posible afirmar lo siguiete para dos úmeros x e y:

8 a. (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 b. (x - y) 2 = x 2-2xy + y 2 c. (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 d. (x - y) 3 = x 3-3x 2 y + 3xy 2 - y Comprueba lo aterior co diferetes valores paar x e y. 22. U terreo cuadrado tiee ua superficie de 324 m 2 Cuáto costará cercarlo si el metro de valla cuesta 3800 pesos? a. $ b. $ c. $ d. Nigua de las ateriores 23. U propietario tiee u terreo cuyas dimesioes so 32 metros de largo por 8 metros de acho, y quiere cambiarlo por u terreo cuadrado de la misma superficie. Cuál debe de ser la logitud de cada lado del terreo cuadrado? a. 6 m. b. 16 m. c. 4 m. d. Nigua de las ateriores 24. Ua mesa cuadrada tiee ua superficie de 841 dm 2 Cuáto mide su lado? a. 9 dm. b. 29 dm c. 14 dm. d. Nigua de las ateriores 25. U terreo cuadrado tiee ua superficie de m 2 Cuál es la logitud que tiee la valla que lo rodea? a. 106 m. b. 160 m. c. 108 m. d. Nigua de las ateriores 26. U terreo tiee 500 metros de largo y 45 de acho. Si se le diera forma cuadrada, cuáles sería las dimesioes de este cuadrado? a. 50 m. b. 150 m. c. 50 m. d. Nigua de las ateriores 27. Ecuetra varias parejas de úmeros tales que la seguda potecia del primer úmero sea igual a la cuarta potecia del segudo úmero.