MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4ºESO Ejercicios de verano

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1 Colegio Amor de Dios C/Real de Burgos,. Valladolid - 70 Tfo.: amordiosva@plaalfa.es MATEMÁTICAS ACADÉMICAS ºES Ejercicios de verao Ates de realizar estos ejercicios el alumo debería estudiar e primer lugar todos los coceptos matemáticos impartidos e clase co los ejemplos y las actividades desarrolladas e el cuadero. Los mejores ejercicios co los que puede practicar so los que se ha realizado y corregido durate el curso. Debe llegar a etederlos y saber hacerlos. E estas hojas falta algú tipo de ejercicio que hemos visto e clase, es imposible abarcar todos, pero e este setido ya se ha isistido e que se cosidera suficiete co los ejercitados durate el curso. La etrega de estas actividades correctamete realizadas o supoe superar la asigatura e la covocatoria de septiembre. Para ello es obligatorio aprobar el eame que se realizará e dicho mes. U cordial saludo. Departameto de Matemáticas TEMA NÚMERS REALES ) Realiza las siguietes operacioes co radicales y potecias: ) Racioaliza las siguietes epresioes: + ( ) 8 ( ) ( ) + ( ) e) 6 ) Resuelve los siguietes logaritmos aplicado la defiició y propiedades: log 6 log log log e) log () 7 e f) log 7 g) log 0, 0 h) l e ) Sabiedo que log a 0, 6 y log b,, calcular: log a log b log ab log ) Calcula: log log 6 6 log ( ) i) log 6 j) log ab a b e) log b : a

2 6) Sabiedo que log 0,. Calcula log 0, 7) Sabiedo que log a u 0,, log a v. Calcula log a u v TEMA PLINMIS 8) Realiza la siguiete divisió de poliomios: ( + ) : ( + ) 07 tega resto. 9) Determia el valor de k para que la divisió ( + + ( k + ) ) : ( + ) 0) Determia el valor de k para que ( + ) sea u factor de k. ) Costruye u poliomio cuyo térmio pricipal sea y que tega por raíces simples, - y raíz doble 0 ) Factoriza los siguietes poliomios (emplea factor comú, idetidades otables o Ruffii): g) e) h) a b + ay by f) + 9 ) Descompoer e fraccioes simples las siguietes fraccioes algebraicas: i) y y TEMA ECUACINES SISTEMAS ) Resuelve las siguietes ecuacioes: + f) 0 k) 6 0 o) ( 6)( + 6) (6 ) 6 6 g) + + l) p) h) + 0 m) q) ( 8)(6 + ) i) ( + )( + ) 0 ) 6 + r) ) Resuelve: y y 7 Despejar sabiedo: log ( log a + log ( log c + log (Resolver tomado atilogaritmos) log( + ) log log( + ) 6) Resuelve las siguietes ecuacioes y sistemas epoeciales y logarítmicas: 8 + y 8 e) log + log(y + ) log + log y log log y f) +

3 7) Resuelve las siguietes ecuacioes epoeciales y logarítmicas: log0,0 log 6 log e) log( + ) + log( + ) + log f) log + log g) log log log 0 h) i) j) ) Resuelve las siguietes iecuacioes: 0 + > ) Resuelve las siguietes iecuacioes: 6 ( ) ( ) ( ) TEMA INECUACINES ( ) + ( ) 0 < ( )( + ) 9 0 0) Resuelve los siguietes sistemas de iecuacioes: + y < y < + y ) Cierto fabricate produce dos artículos, A y B, para lo que requiere la utilizació de dos seccioes de producció: secció de motaje y secció de pitura. El artículo A requiere ua hora de trabajo e la secció de motaje y dos e la de pitura; y el artículo B, tres horas e la secció de motaje y ua hora e la de pitura. La secció de motaje solo puede estar e fucioamieto ueve horas diarias, mietras que la de pitura solo ocho horas cada día. El beeficio que se obtiee produciedo el artículo B es de 0 euros y el de A es de 0 euros. Calcula la producció diaria de los artículos A y B que maimiza el beeficio. ) U orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisa g de oro y, g de plata, vediédolas a 0 euros cada ua. Para la fabricació de las de tipo B emplea, g de oro y g de plata, y las vede a 0 euros. El orfebre tiee solo e el taller 70 g de cada uo de los metales. Calcula cuátas joyas ha de fabricar de cada clase para obteer u beeficio máimo. ) Uos grades almacees desea liquidar 00 camisas y 00 pataloes de la temporada aterior. Para ello, laza dos ofertas, A y B: La oferta A cosiste e u lote de ua camisa y u pataló, que se vede a 0 euros; la oferta B cosiste e u lote de tres camisas y u pataló, que se vede a 0 euros. No se desea ofrecer meos de 0 lotes de la oferta A i meos de 0 de la B. Cuátos lotes ha de veder de cada tipo para maimizar la gaacia? TEMA SEMEJANZA TRIGNMETRÍA ) E ua parcela hay ua piscia de m. Qué superficie ocupará si duplicamos sus dimesioes? ) Determia los siguietes triágulos rectágulos: α a m cm ccm b h β α a m c cm h b 6cm β a m α c h b cm β 6) Sabiedo que cos a y que 90º < a <80º. Calcula todas las demás razoes trigoométricas.

4 7) Sabiedo que se α y que 70º< α <60º. Calcula todas las demás razoes trigoométricas. 8) Sabiedo que tg α y que 80º< a <70º. Calcula todas las demás razoes trigoométricas. 9) Se quiere calcular la altura de u edificio. Nos situamos a 60m del mismo y observamos la parte más alta co u águlo de elevació de º. Si realizamos la medició a,0m del suelo Cuál es la altura del edificio? 0) Desde ua avioeta vemos u pueblo bajo u águlo de º. Si e ese mometo volamos a 00m A qué distacia os ecotramos del pueblo? ) Calcula el perímetro y la apotema de u petágoo regular iscrito e ua circuferecia de radio cm. ) E u determiado mometo del día ua farola de m proyecta ua sobra de m. Cuál es la altura de u árbol si su sombra mide m? ) Qué icliació y logitud debe teer ua rampa si queremos subir,m y dispoemos de m para colocarla? ) Sabiedo que se 7º 0,6. Calcula: tg º cos º ) Sabiedo que tg / y que perteece al primer cuadrate. Calcula: tg (90º + ) tg (70º - ) se (80+) cos (90-) 6) Escribe la deducció de la formula se α + cos α π 7π π π 7) Calcula: se cos + tg + tg, los águlos está e radiaes 6 6 8) E u triágulo rectágulo ABC coocemos la hipoteusa a 0 m y el águlo B0º. Resuelve el triágulo. 9) Sabiedo que cos α y que α perteece al primer cuadrate. Calcular las demás razoes trigoométricas y además: 0 se (90º -α) cos (70º - α) tg (80-α) tg (70+α) 0) Siedo α u águlo del primer cuadrate estudia si es cierto que se cumple: se ( π + α) seα tg ( 80º+ α) tgα ) U poste de electricidad está sujeto al suelo co dos cables, que forma co el poste águlos de º y 60º. Los putos de sujeció de los cables está alieados co el pie del poste y dista etre sí 98m. calcula la altura del poste. ) Desde u cierto puto del terreo se mira a lo alto de ua motaña y la visual forma u águlo de 0º co el suelo. Al alejarse 00 m de la motaña, la visual forma º co el suelo. Halla la altura, h, de la motaña. ) Calcula el área de u trapecio isósceles cuyas bases mide y 8cm y uo de sus águlos iteriores es de 0º. ) El águlo de elevació de u globo cautivo, observado desde u puto del suelo situado a 0 m de su aclaje es de 60º. Calcula la altura a la que se ecuetra el globo supoiedo que la observació se efectúa e día si vieto. ) La afirmació, u águlo α del segudo cuadrate tiee de seo / y de coseo /, es icorrecta porque: Los valores de este seo y coseo o verifica la ecuació fudametal de la trigoometría. La tagete de dicho águlo α seria />, y la tagete uca puede ser mayor que la uidad. E el segudo cuadrate el coseo debe ser egativo. 6) Si u águlo α cumple que se α -,09, podemos deducir que: α es u águlo del tercer o cuarto cuadrate. e) α es u águlo egativo f) El águlo α o eiste. 7) Si se 0º 0,, etoces cos 0º será: 0, 0,9-0, 8) Resuelve las siguietes ecuacioes: cos ( 90) se ( + 0) 9tg ( 0 )

5 9) Desde la base de ua motaña vemos su parte más alta co u águlo de 6º. Nos alejamos 800m y ahora vemos la cima co u águlo de º Cuál es la altura de la motaña? 0) Determiar los lados y águlos que falta e los siguietes triágulos (o rectágulos): a cm, B ˆ 0º y C ˆ 60º a cm, b 7 cm y C ˆ 0º a 0 cm, b cm y A ˆ º a cm, b cm y c 0 cm TEMA 6 GEMETRÍA ANALÍTICA ) Dados los putos A(, ) y B(,-) calcular: Represetació y coordeadas del vector A B Icliació y módulo del vector A B Puto medio del segmeto AB Distacia de A hasta B ) Dados los vectores u (,) v (, ) w (, ), calcula: u v + w u + v & w& u + w u + v w e) u v w f) u v + w g) Águlo que forma u y w h) Águlo que forma u y v i) Águlo que forma v y w ) Dados los putos (-, 0) y (, ), determia la ecuació de la recta e todas sus formas (eplícita, geeral, vectorial, paramétrica y cotiu a la que perteece. ) Determia la ecuació de la recta e todas sus formas que pasa por el puto A(0, ) y tiee vector director v (, ) ) Calcula la ecuació de la recta e todas sus formas que pasa por el puto (,0) y es paralela a la recta y 0. 6) Calcula la ecuació de la recta e todas sus formas que pasa por el puto (-,) y es perpedicular a la recta y 7. 7) Determia la posició relativa de los siguietes pares de rectas calculado el puto de corte si so secates y el águlo que forma etre ellas. r y 0 s + y 0 y + r s y + 6 λ r s (, y) (,) + (,) λ y + λ y r s + y 0 8) Calcular el puto simétrico de (, 0) co respecto de la recta y + 0 TEMA 7 CÁLCUL DE LÍMITES. CNTINUIDAD. 9) Calcula los siguietes ites: lim lim lim 7 lim 60) Calcula los siguietes ites: + + e) 0 + f) + g) + + h) + + i) + lim + j) lim + k) + lim + l) lim +

6 6) Calcula los ites que se idica e la siguiete gráfica de la fució: lim f () lim f () lim f () lim f () e) lim f () 0 f) lim f () g) lim f () h) lim f () + 6) Represetar y estudiar la cotiuidad de la siguiete fució: f () < > 6) Represetar y estudiar la cotiuidad de: + f ( ) + < < > 6) Probar que esta fució es discotiua e : + f ( ) TEMA 6 FUNCINES 6) Dadas las siguietes fucioes, determia su domiio, recorrido e idica e qué putos so cotiuas y e cuáles o. 66) Dadas las siguietes gráficas, estudia su domiio, recorrido, cotiuidad, crecimieto, máimos y míimos.

7 67) Averigua si las siguietes fucioes tiee simetría par o impar: f ( ) g( ) h ( ) + + i ( ) ) Represeta gráficamete y estudia la cotiuidad de las siguietes fucioes: ( ) f f ( ) + + f ( ) < f ( ) + > 0 0 < < 69) Calcula el domiio de las siguietes fucioes: + f ( ) f ( ) 8 + e) f ( ) + g) 9 ( ) ( )( + ) f i) f ( ) log j) 7 f ( ) f) f ( ) 7 + h) + ( + ) log f ( ) k) + f ( ) f ( ) + f ( ) + 6 TEMA 7 DERIVADAS 70) Calcula las siguietes derivadas por defiició e los putos que se idica: f () + e f () e 7) Calcular las siguietes derivadas: h) y ( ) g) y + ( 7 6 ) + 6 y + y ( ) j) y 7 ( + ) k) f () ( ) y y i) 6 ( ) 6 e) 7 + f) f () ( + 8) + y π 6 8 f () ) Calcular la recta tagete a la recta y 0 e el puto (, ).