Problemas de Matemáticas (2017/2018). 1. Preliminares.

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1 Problemas de Matemáticas (7/8 Prelimiares Comprobar visualmete co diagramas de Ve las siguietes igualdades etre cojutos: a A B = (A B (B A (A B b A (B C = (A B (A C Sea f : L L la fució defiida e el alfabeto latio L por f = {(a,b,(b,c,,(y,z,(z,a} y sea g : P L la que asiga a cada miembro de u grupo de persoas la iicial de su primer apellido Es f iyectiva o suprayectiva?, lo es g si P = {habitates de Madrid}?, y si es P mi grupo de Matemáticas? Es g iyectiva para algú P? Hallar f ( f (z y f ( g(lector 3 Sea p q la implicació: Si u cuadrilátero tiee las diagoales iguales etoces el cuadrilátero es u rectágulo Decidir si so ciertas p q, q p, (o p (o q y (o q (o p 4 Demostrar por iducció sobre la fórmula: 5 Hallar el mcd y el mcm de 995 y 99 k 3 = 4 (+ k= 6 Escribir e la forma más simplificada posible: a , b ( 3, c ( 3, d ( 3, e ( 4 9 3/, f ( 9 4 3/, g 8 / /6 9 3/5 4 7/5, h ( 3!, i ( 3, j ( (3 8 3, k (!!, l! ( 3!( 7 Calcular: a , b , c / + /4 + /8 + /4, d / + /4 + /8 + 8 Si 3, probar la igualdad de úmeros combiatorios ( ( + ( 3 = Calcular ( ( + ( + + ( + para =,3,4,5 y 6, y deducir de la fórmula del biomio el valor de la suma para cualquier Cuáto vale ( ( ( + + ( (? Hallar todos los úmeros reales que cumple cada igualdad: a ++ =, b 4 =, c =, d =, e =, f =, g =, h = Ecotrar todos los reales para los que: a + b 3 < 5 c 5π 4π d 4 7 = 4 e f 3 + > g < h i 3 3 > 9 j k < l < Determiar si cada afirmació es cierta o falsa (probarlas o dar u cotraejemplo: a <y >y,,y ; b <y 3 <y 3,,y ; c <<y 3 < +y+y <3y ; d 5 < < < 8 ; e < 5 < 5 ; f < 5 < 5 ; g que cumple + < ; h que cumple = ; i que cumple = ; j + 3 Precisar si los siguietes subcojutos de R tiee supremo, ífimo, máimo, míimo y si so abiertos o cerrados : a { : >} {7} ; b { Q : 4} ; c {( + : N} ; d { 7 : N} ; e φ I

2 4 Determiar el domiio de las siguietes fucioes: a f (= arcta 3 b g( = arc se(log c h( = + 5 d k(= Sea f ( = +, g( = Hallar el domiio de f g, g f y f f Hallar im f e im g Comprobar que f es iyectiva e todo su domiio y calcular f idicado su domiio 6 Si f (= +, hallar todos los úmeros reales que cumple f ( 3 Es f iyectiva? 7 Si f y g so crecietes, lo es f + g? Y f g? Y f g? 8 Determiar si f + g y f g so ecesariamete pares o impares e los cuatro casos obteidos al tomar f par o impar y g par o impar 9 Epresar los siguietes águlos e radiaes: 5 o, 8 o, o, 5 o, 7 o Y estos águlos, que está e radiaes, e grados: π 9, 7π, 7π 6, 3π Usado Pitágoras deducir el valor de cos π 6, cos π 4 y cos π 3 Si desde cierta distacia u edificio se ve bajo u águlo π 3, y alejádose m se vé bajo u águlo π 6, cuáles so la altura del edificio y la distacia que a la que estaba e la primera posició? a Epresar se y cos e fució de cos b Epresar se y cos e fució de ta c Probar que ta = se +cos d Calcular ta π 8, se π y cos π Hallar (si calculadora los siguietes valores (e el caso de que eista: a 5 /3 b e 3log4 log5 c log 64 d ch(log3 e log(log(log f [sh( ] π g cos( 3π 3 h se π 8 i se 7π j [cos 3π 4 ]/4 k ta 5π 4 l arcta(ta 5π 4 m arcse(arccos cos(arcta7 3 Hallar todos los úmeros reales tales que: a 8 = b log(+ = log c log(4 3 3 d cos 5cos = e ta =cos f ta < g cos 4 se 4 = h cos = se i sh a Epresar mediate idetidades trigoométricas se 3 y cos 3 e fució de se y cos b Si seα = 5 3 y α es del tercer cuadrate, hallar cos3α y precisar e qué cuadrate está 3α 5 Escribir cos 5 e fució de cos y se 5 e fució de se Ecotrar a partir de estas epresioes algú poliomio que deba aular el cos π 5, hallar sus raíces y probar que: cos π 5 = Escribir el complejo z= i 5 3+i e la forma re iθ y hallar z 5 y escribirlo e la forma a+bi 7 Calcular: a i + +i 3, b ( 3 + i (, c i +i 5 (, d 3i i+4, e e 3 i +i 3, f 8i 8 Hallar los úmeros complejos z tales que z 4 = 64 y escribir el poliomio P( = como producto de poliomios de segudo grado co coeficietes reales 9 Escribir las raíces cuartas del complejo z= 8 i ( 3 + i e la forma a+b i y dibujarlas 3 Resolver las ecuacioes: z =, z 4 6z + =, z + iz + =, e z = II

3 Problemas de Matemáticas (7/8 Sucesioes, límites y cotiuidad e R Sea a a = ( + +, b b = 7, c c = 3cos y d d = +se + 3 (+ Hallar u N a partir del cual sus térmios difiera del límite e meos de ε =, ε = y ε = Hallar el límite L de la sucesió a = Probar que a es creciete Hallar razoadamete u N tal que a L < si N 3 Probar a partir de la defiició de límite que {a } covergete {a } covergete Es cierta? 4 Calcular el límite de las sucesioes que sea covergetes: m a 3 3 b c e ( f ( ( g ( ( i +5se ( 4 se(9/ p + j 5+( + 3 cos π + se ( + +( + q ( +4 d [ +4 ] h ( 4 k cos th l log(e ñ ecosπ log o e cos se +log r ( + s Precisar para qué valores de a,b > coverge las sucesioes: a +a b b a +log b c a +3 +b d ( a +b / e ( a + b 6 Utilizado úicamete las defiicioes probar que: a f (=cos π y g(=+ se 4+ so cotiuas e =, b lím + + =, c lím + 3 = 7 Sea f ( ua fució tal que f ( 4 para todo R Es ecesariamete cotiua e =? Y e =? Probarlo o dar u cotraejemplo 8 a Hallar ua f que o sea cotiua e igú puto, pero tal que f ( sea cotiua b Eiste algua fució que sea cotiua e todo R meos e u úico puto? c Eiste algua que sea cotiua e u úico puto de R y discotiua e todos los demás? d Escribir, si eiste, ua f defiida e todo R tal que la sucesió { f ( } o tieda a f ( 9 Hallar (si eiste los siguietes límites: a lím (+5 (+ f lím + k lím se o lím ( se 5+e b lím +6 g lím arcse l lím p lím log( c lím + +5 h lím d lím i lím arcta(log e lím j lím arcta(log m lím 3+ / lím 3+ / ñ lím se q lím se r lím 3 3+ / se s lím Sea f : [,] R cotiua y tal que im f [,] Probar que etoces eiste algú [,] tal que f ( = [a se le llama puto fijo de f ] III

4 Problemas de Matemáticas (7/8 3 Derivadas e R 3 Hallar el domiio de las siguietes fucioes y el valor de su derivada e el puto que se idica: a f (= log [ π 4arcta( ], =3 /4 ; b g(=arcta [ log( ], = 3 Sea f (= arcta ( 3cos a Precisar los R que cumple i f (= π 3 ii f (= 7π 3 b Hallar f ( 5π 3 33 Hallar la primera y seguda derivadas de las fucioes siguietes idicado su domiio: a f (= 3 se, f (= ; b g(=log, g(= ; c h(= 7/3 ; d k(= Determiar el domiio de la fució y hallar los que aula su derivada seguda: a f ( = , b g( = secos, c h( =, d k( = cos + 4 cos { 35 Sea f ( = si < a + b si > Hallar a y b para que eista f ( 36 Sea g( = se ( log, g( = Precisar si es cotiua y derivable e = Hallar todos los tales que g (= 37 Sea f ( = arcta ( log si, f (= a Estudiar si es cotiua y derivable e = b Hallar la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f e = 38 Sea f ( = log a Determiar su domiio b Hallar su recta tagete e = 39 Hallar la ecuació de la recta tagete a las siguietes curvas e el puto que se idica: a +4y = e (, 3 b y + y + y 3 = 6 e (, 3 Hallar, si eiste, u c (, e el que la recta tagete a f ( = arcta que ue (, y (, π 4 sea paralela a la recta 3 Estudiar la derivabilidad y hallar (si eiste los valores etremos e los itervalos idicados: a f ( = 9 /3 e [ 8,64] b g( = se+ e [ π, π ] 6 c h(= 3 3 e [,] d k( = ( +9 + ( 8 +6 e R 3 Sea g( = e +e /, g(= a Precisar si es cotiua y derivable e = b Es g iyectiva e [,? Lo es e todo su domiio? 33 Sea f (= e a Determiar para qué putos de su gráfica la recta tagete pasa por el orige b Probar que eiste f, fució iversa de f para [,, y hallar la derivada ( f ( e 34 Sea g(=3e e a Calcular lím g( y lím g( b Hallar los que aula g y g c Precisar cuátas veces se aula g e su domiio 35 Determiar cuátas veces se aula estas fucioes e los itervalos que se idica: a f (= e se 3se e [ π,π] b g(=log + + e [,] 36 Hallar la image de g(= 4arcta y precisar cuátas veces se aula e el itervalo [,4] 37 Discutir, segú los valores de la costate a, cuátas solucioes reales tiee la ecuació e = a 38 Sea f ( = e a] Esquematizar su gráfica a partir de la de e b] Hallar todos los úmeros reales que satisface f (> c] Hallar su recta tagete e = IV

5 39 Sea g(= ( log, g(= Precisar si es cotiua y derivable e = Estudiar su crecimieto y hallar sus putos de ifleió Dibujar su gráfica 3 Sea g(= e 3 a Hallar su domiio y los límites cuado y b Ecotrar sus +4 valores etremos e [,3] c Se aula g e el itervalo [,]? d Esbozar su gráfica 3 Sea g(=log +3 + a Estudiar e qué itervalos crece y decrece b Precisar cuátas veces se aula g e [,] y cuátas solucioes tiee g( = e todo su domiio 3 Sea h(=4arcta+ a Hallar sus asítotas b Ecotrar el valor míimo de h e [ 3 /,3 /] c Probar que h se aula ua úica vez y que h se aula e (, d] Dibujar la gráfica de h 33 a Probar que P(= 3 + tiee sólo raíz real y dar u itervalo [,+] al que perteezca b Sea g( = 3+ Hallar su domiio, asítotas, estudiar 3 g y dibujar aproimadamete la gráfica + Hallar (si eiste el valor míimo de g e el itervalo [,] 34 Sea f ( = 4 3 a Probar que el deomiador se aula ua úica vez e el itervalo [,] + 4 b Estudiar el crecimieto de f c Hallar sus valores etremos e [,] d Dibujar su gráfica 35 Sea f (= log a Precisar su domiio D y asítotas verticales b Calcular f ( c Probar que f sólo tiee u cero y esbozar la gráfica de f d Es f iyectiva e [,? Lo e todo D? 36 Sea h( = ( 3 4 e a Hallar su límite cuado tiede a y y sus asítotas verticales b Precisar e qué itervalos h crece y decrece c Probar que h ( = sólo para u del itervalo (, y para otro del (,3 d Dibujar su gráfica 37 Dibujar las gráficas de las fucioes: a 4+5 b c cos ( + π 4 d arcta(3 3 e ( e f e cos g 3 4+ log h log ( + 38 Dibujar las curvas: a + y + 4y = b 4 y 8 = c y + y = 3 d y = 39 Determiar el área míima de todos los triágulos del primer cuadrate cuyos catetos so los ejes y cuya hipoteusa pasa por el puto (, Eiste el triágulo de área máima? 33 Sea las rectas que pasa por el puto (,4 y que corta los ejes coordeados e putos (a, y (,b co a,b> Para cuál de ellas la suma a+b es la meor? 33 Hallar el puto de la recta tagete a +y =4 e el puto (, 3 más cercao al puto (, 33 a Escribir la ecuació de la recta tagete a la curva +4y +4= e el puto ( /3, 5/3 b Determiar, si eiste, los putos de la curva más cercaos y más lejaos al puto (, 333 Ecotrar el puto de la gráfica de f ( = arcta( para el que es míima la suma de sus distacias a ambos ejes 334 Hallar el área máima que puede teer u rectágulo que tega dos lados sobre los semiejes, y positvos y el vértice opuesto sobre la gráfica de P(= U adador está e el puto A del borde de u estaque circular de 5 m de radio y desea ir al puto opuesto B, adado hasta algú puto P del borde y adado luego por el arco PB del borde Si ada 5 m por miuto y camia m por miuto, a qué puto P se debe dirigir para miimizar el tiempo de recorrido? [Ayuda: si O es el cetro del círculo, qué relació hay etre los águlos PAB y POB?] V

6 Problemas de Matemáticas (7/8 4 Series, Taylor y límites idetermiados 4 Sea la sucesió {a } defiida por a + = + 3+ a, co a = Probar que tiee límite y calcularlo Determiar la covergecia de a 4 Determiar si las siguietes series so covergetes o divergetes: a e e f (! b 3+cos c ( ( π e d [ e e ] g +( +3 i (+ j k (l m ( ( ñ se 3 +cos 3 43 Determiar para que úmeros reales c coverge las siguietes series: a ( c b c +c +7 c (!c (3! 44 Precisar todos los a para los que coverge h ( +4 5 l (l ( 4 ( o [ ] + d (c e c + e + f [ ccos ] a ( a y hallar su suma para a= = 45 Determiar para qué a R coverge a Precisar para qué valores de a su suma es 3 = 46 Probar que 844 ( (+! 847 (sumar 3 y 4 térmios de la serie Cuátos térmios = habría que sumar para estimar la suma co error meor que 5? 47 Razoar si so ciertas las afirmacioes: a] ( 4 + > 9 5 ; b] arcta = = 3 < Estudiar si coverge putual y uiformemete e el itervalo que se idica: f ( = + e [,] ; g ( = + e [,] ; h ( = e e i (,], ii [, 49 Estudiar para qué coverge, y si lo hace uiformemete e el itervalo que se idica: a arcta( 5 e R b cos 3 e R c e [ 7,7] d (5 ( +6 e [5,6] 4 i Calcular los valores máimo y míimo de f ( = e e [, ii Determiar si coverge uiformemete e [, la sucesió f ( y la serie f ( 4 Determiar todos los valores de para los que coverge las series: a 7 + b ( c f (+!3 (! g + h ( 3+ 4 Precisar si coverge la serie ( arcta 43 Sea f (= = d ( e ( 4 + ( i j 9 log(+ para: a =, b =, c =e Determiar para qué R coverge la serie aterior Coverge para los mismos la serie de f? Qué fució es f? 44 Determiar para qué valores de coverge 3 y hallar su suma para esos valores = 45 Determiar para qué coverge la serie + +3 y precisar si coverge para =sh VI

7 46 Precisar el valor de la suma de las siguietes series: a + + ( b = 3 = ( 4 ( +! c + d =! = + [ + + ] 47 Utilizado poliomios de Taylor determiar co u error meor que 3 el valor de: a cos b e c log 3 d log 4 3 e log 48 Calcular los 3 primeros térmios o ulos del desarrollo de Taylor de f (=(+ 3 /5 e = Aproimar por u racioal f ( co error meor que 49 Hallar los 3 primeros térmios o ulos del desarrollo e serie de Taylor e = de: 4 Sea f (= cos(π/ a cos 3 5 b 3 e shch f cos c log(+ + d ( + g arcse h cos(se a] Hallar los 3 primeros térmios o ulos de su desarrollo de Taylor e = y deducir el valor de f ( ( y f (7 ( b] Hallar lím f ( { arcta, < 4 Sea f (= +arcta, >, f (= a] Calcular lím f ( y lím f ( b] Estudiar si es cotiua y derivable e = 4 Sea g(= e, g(= Hallar, si eiste, g ( 43 Calcular los siguietes límites idetermiados cuado tiede al a idicado: a = : a cos 4 b ta arcta 3 c log(+se 4 d (cos 3/ e talog a = : f log g +log h / a = : i e +se e +cos j ta k [ ] Discutir segú los valores de a el valor del límite cuado de la fucioes: a f (= secos+arctaa 3 b g(= e+ a log(+ 45 Hallar los límites cuado y cuado de: a + arcta se b arcta (e log(+ 3 c + e 3 +se 3 d ( +cos arcta 46 Determiar (si eiste los límites cuado: i ; ii ; iii de: a f (= se 3 arcta b g(= (+ /3 arcta sh 4 c h(= arcta(se log(+ 3 d k(= e3 se 47 Hallar el real b tal que f ( = [ e b4 cosb ] tiede hacia si y hacia si ] 48 Hallar el límite de las sucesioes: a a = [+, b b = arcta arcta 49 Sea f ( = log +3, f (= Hallar f ( y f ( Dibujar su gráfica Hallar lím { f ( f (} 43 Sea f ( = e, f (= Hallar f ( Determiar los límites lím el crecimieto y decrecimieto de f Hallar la derivada f ( ( ± f ( y la im f Estudiar VII

8 Problemas de Matemáticas (7/8 5 Itegració e R 5 Sea f ( =, [, ; f (=, [, ; f (=, [,3], y sea F(= f Determiar los [, 3] para los que F es cotiua y derivable Hallar F(3 Hallar F( 5 Sea F( = se arctat +t 4 dt Hallar F( 3π y F ( 3π 53 Si H(= +3t 3 dt, calcular H ( 54 Posee fució iversa la fució f defiida para todo por f ( = 3 dt logt? 55 Sea f ( = e 4arctat dt Hallar la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f e = Probar que f posee iversa e todo R y calcular ( f ( 56 Sea H(= logt dt +4t, > Estudiar su crecimieto Probar que H ( > y que <H(< Sea H( = e 3s ds Probar que < H( < 8 Hallar la ecuació de la tagete a su gráfica e = Precisar los e los que H alcaza sus valores etremos e el itervalo [,] 58 Determiar e qué del itervalo que se idica alcaza su máimo y su míimo las fucioes: a F(= t [ e t ] 4 e t4 dt e [,] b H( = t dt + t e [,] ta t c G(= 3 dt e [ π +t 4, π ] 3 d K(= dt e [,6] 36+t3 59 Precisar cuátas veces se aula cada fució e el itervalo idicado: a H(= set t 5 Hallar las siguietes primitivas: dt e [ π 3,π ] b K( = 3 e s +s ds e [,] a + +9 d b + +9 d c ( +3 d d log d e (log 3 d f 4 + d g d 4 3 h d i d j arcta d k 3 e d l 3 e d m d +e +e ta d ñ secosd o d cos p sed 5+4cos q d 3se +cos t arcsed u +5 d v 3 d w + 5 Calcular, si eiste, las itegrales: a d + 3 b 3 e log log3 e e d d 4 c / r 4cos d s 4cos d ( 3 d d d d 4 ( +4 3 d f e logd g 4 log ( + d h arcta( d i π/ cos cosd j π/ se 5 d k π/4 (ta 3 +d π/ (3+ta cos m 3 4 / + d +4 d ñ 3 d l π/6 / o cos d 3se cos d 5 Calcular la itegral 3 se d Decidir si esta itegral es mayor o meor que VIII

9 53 a] Hallar I = π/3 se e cos d b] Probar, si utilizar el resultado de a], que I 3 54 Calcular la itegral log3 9 e e + 3 d Probar que esta itegral es mayor que 55 Hallar los valores máimo y míimo de g( = 5 9 e [,4] Probar que 8 5 < 4 g(d < Hallar la itegral y, usado desarrollos de Taylor, comprobar las desigualdades ateriores 56 Sea f ( = + +3 Hallar los tales que f (= y tales que f (= Dibujar su gráfica Hallar el área de la regió acotada por los ejes y la gráfica 57 Sea g( = Hallar la primitiva G( que cumple G( = Probar que g( > si 3 + [,] y que eiste u úico c (, tal que G(c= 58 a] Hallar ua primitiva de f ( = 3 +3 b] Si G(= f (tdt, hallar G ( y G( c] Estudiar si coverge f e f 59 Sea g(=arcta, g(= a] Determiar si es cotiua y derivable e = b] Calcular ua primitiva de g c] Estudiar la covergecia de la itegral impropia g 5 Sea f (= a] Calcular 9 4 f b] Precisar si coverge f 5 Sea f (= +4 5 a] Hallar 4 f (d b] Precisar si coverge 5 f (d 5 Calcular log3 d e + Estudiar si coverge d e + 53 Probar que 3 3 e 6/ d es covergete y que su valor es meor que 8 54 a] Hallar los primeros térmios o ulos de la serie de Taylor de f (= e log(+ e = b] Precisar si coverge la itegral impropia e log(+ d 55 Sea g(= e y G(= + g(tdt a] Hallar G ( y estudiar dóde crece y decrece G b] Probar que para todo se cumple G( e /4 c] Estudiar si coverge g 56 Sea f ( = ( e a] Dibujar aproimadamete su gráfica b] Hallar el área de la regió limitada por los ejes y la gráfica de f c] Decidir si coverge la itegral f 57 Sea F(= s 3 e s ds a] Hallar los e los que F alcaza sus valores etremos e [,] y probar que su valor máimo es meor que 7 b] Estudiar si F tiee cota superior e [, c] Precisar cuátas veces se aula F e [, ] 58 a] Precisar, si eiste, los para los que F(= b] Probar que <F( < s s 3 + ds toma sus valores etremos e [, 4 59 Sea h(= (+4( + y H(= / h a] Calcular H H( ( b] Determiar lím c] Precisar cuátos ceros tiee H e el itervalo [,4 ] H( y lím 53 Sea h(= 4 4, H(= 4+ 4 h a] Hallar 3 térmios o ulos del desarrollo de Taylor de h e = Probar que 3 4 <H(< b] Precisar los e los que H toma sus valores etremos e el itervalo [,] Eiste el valor máimo o míimo de H e [,? IX

10 53 Estudiar la covergecia de las siguietes itegrales impropias Hallar su valor si se puede: a d ( + e ( i + d b d f log d d c π/ cos 3 + se d j log se d g ( cos d d h log( + 3/ d +/ k arcta arcta d l cos d e 53 Discutir segú los valores de a R la covergecia de las itegrales: a 533 Calcular lím arcta a d b [ 3 + se] a d c set dt 3, utilizado L Hôpital y desarrollos de Taylor log(+e a + d 534 Probar que cos d 6 : a] acotado el itegrado, b] utilizado desarrollos de Taylor 535 Sea f ( = cos Estudiar si es derivable e = Hallar, si eiste, los valores máimo y míimo de f e el itervalo [ 4,] Calcular 4 4 f Probar que 7 f Sea F( = t et3 dt, co [, i Hallar los del itervalo e los que F alcaza sus valores máimo y míimo ii Probar que F( > 537 Sea f ( = arcta Calcular ua primitiva de f y hallar el área de la regió ecerrada etre su gráfica y las rectas y= y =3 538 Calcular el área ecerrada etre las gráficas de g(= y f (= e [,] 539 Calcular el área de la regió acotada etre las curvas y =, y = e y = 54 Hallar el área de la regió ecerrada etre la gráfica de f (= 49 y su recta tagete e = 54 Hallar el área de la regió ecerrada etre la curva y = 3 y la recta tagete a la curva e el puto de abscisa = a > 54 Hallar el área de la regió acotada ecerrada por la gráfica de f ( = log(+ y la recta y= 543 Calcular el área de la meor de las dos regioes acotadas por las curvas + y = y = y 544 Calcular el área de ua de las regioes compredidas etre la gráfica de f ( = se y esta misma gráfica trasladada horizotalmete ua distacia π 3 hacia la derecha 545 Sea la regió del cuarto cuadrate limitada por la gráfica de f ( = e a ( a > y el eje Probar que la recta tagete a f ( e = divide dicha regió e dos partes de igual área d X