Prácticas 0 a 11. Análisis Matemático. Exactas Ingeniería

Transcripción

1 Prácticas a Aálisis Matemático Eactas Igeiería

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3 CONTENIDO PRÁCTICA. PRELIMINARES PRÁCTICA. FUNCIONES REALES LAS FUNCIONES DESCRIBEN FENÓMENOS. GRÁFICO DE FUNCIONES. LAS FUNCIONES MÁS USUALES. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. FUNCIÓN INVERSA. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. OTRAS FUNCIONES. PROBLEMAS VARIOS. PRÁCTICA. NÚMEROS REALES LA RECTA REAL. NÚMEROS IRRACIONALES. SUPREMO E ÍNFIMO. PRÁCTICA. SUCESIONES TÉRMINO GENERAL. LA NOCIÓN DE LÍMITE. CÁLCULO DE LÍMITES. PROPIEDADES. SUCESIONES MONÓTONAS. MÁS PROPIEDADES. SUBSUCESIONES. SUCESIONES DADAS POR RECURRENCIA. PROBLEMAS VARIOS. PRÁCTICA. LÍMITES Y CONTINUIDAD LÍMITES EN EL INFINITO. LÍMITE EN UN PUNTO. LÍMITES ESPECIALES. CONTINUIDAD. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES. TEOREMA DE LOS VALORES INTERMEDIOS. PROBLEMAS VARIOS. PRÁCTICA 5. DERIVADAS RECTA TANGENTE REGLAS DE DERIVACIÓN. FUNCIÓN DERIVADA. FUNCIONES DERIVABLES Y NO DERIVABLES. DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA. ALGUNAS APLICACIONES. DERIVADAS SUCESIVAS. PROBLEMAS VARIOS. PRÁCTICA 6. TEOREMA DEL VALOR MEDIO TEOREMAS DE FERMAT, ROLLE, Y LAGRANGE. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO. REGLA DE L HOSPITAL. PROBLEMAS VARIOS.

4 PRÁCTICA 7. ESTUDIO DE FUNCIONES CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. EXTREMOS LOCALES. ASÍNTOTAS. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD. CONSTRUCCIÓN DE CURVAS. CANTIDAD DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN. CONTINUIDAD EN INTERVALOS CERRADOS. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN. PROBLEMAS VARIOS. PRÁCTICA 8. TEOREMA DE TAYLOR POLINOMIO DE TAYLOR. EXPRESIÓN DEL RESTO. PROBLEMAS DE APROXIMACIÓN. PROBLEMAS VARIOS. PRÁCTICA 9. INTEGRALES LA FUNCIÓN ÁREA. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. REGLA DE BARROW. INTEGRACIÓN NUMÉRICA. PRIMITIVAS. CÁLCULO DE PRIMITIVAS. MÉTODOS DE SUSTITUCIÓN Y DE INTEGRACIÓN POR PARTES. FRACCIONES SIMPLES. PROBLEMAS VARIOS. PRÁCTICA. APLICACIONES DE LA INTEGRAL ÁREA ENTRE CURVAS. ECUACIONES DIFERENCIALES. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN. LONGITUD DE CURVA. PROBLEMAS VARIOS. PRÁCTICA. SERIES TÉRMINO GENERAL Y SUMAS PARCIALES. SERIES GEOMÉTRICAS Y SERIES TELESCÓPICAS. CRITERIOS DE CONVERGENCIA. SERIES DE POTENCIA. PROBLEMAS VARIOS. PROGRAMA BIBLIOGRAFÍA

5 PRÁCTICA PRELIMINARES EJERCICIO : Calcule (b) 5 ( ) ( 5 ( 5 ) ) ( 6 ) EJERCICIO : Calcule (b) ( ) EJERCICIO : Calcule 7 6 (5 )( ) (b) ( ) 9 7 (d) ( ) ( 9) 8 EJERCICIO : Si ; y ; z calcule ( y z) (b) y z yz (d) ( y) z

6 EJERCICIO 5: Pruebe las siguietes idetidades (b), N EJERCICIO 6: Resuelva (b) 5 7 ( ) 7 9 (d) (e) (f) 6 ( ) EJERCICIO 7: Muestre que el úmero es solució de la ecuació. EJERCICIO 8: Escriba como itervalo o uió de itervalos las solucioes de las siguietes desigualdades (b) 6 (d) (e) (f) EJERCICIO 9: Escriba de meor a mayor los siguietes úmeros 5 ; 8 ; 6 ; ; 6 ; 7 ; ; 5 EJERCICIO : Demuestre que si a y b so úmeros o egativos vale la desigualdad.

7 a b a b Ehiba u ejemplo dode la desigualdad es estricta y otro dode valga la igualdad. EJERCICIO : Algua de las siguietes relacioes o vale e geeral. Aalice e qué casos so válidas. y) (b) y y ( y y y (d) y y (e) (f) (g) (h) (i) (j) log( ) log (k) (l) log( ) log EJERCICIO : Resuelva (b) 5 8 log( 7) (d) log( ) EJERCICIO : Represete e el plao los siguietes putos: ( ; ), ( ; ), (- ; ), (- ; -5), ( ; ), ( ; ), ( ; ), (- ; -) Para cada uo de estos putos represete los putos simétricos respecto de: el eje. (b) el eje y. el orige de coordeadas. EJERCICIO : Represete e el plao los siguietes cojutos de ( (, y) R / (b) (, y) R /, y) R /, y (d) (, y) R /, y R

8 PRÁCTICA FUNCIONES REALES LAS FUNCIONES DESCRIBEN FENÓMENOS EJERCICIO : Haga u gráfico que refleje la evolució de la temperatura del agua a lo largo del tiempo atediedo a la siguiete descripció: Saqué del fuego ua cacerola co agua hirviedo. Al pricipio, la temperatura bajó co rapidez, de modo que a los 5 miutos estaba e 6. Luego fue efriádose co más letitud. A los miutos de haberla sacado estaba a y miutos después seguía teiedo algo más de, temperatura de la cual o bajó, pues era la temperatura que había e la cocia. Es el gráfico que hizo, el úico que respeta las cosigas ateriores? EJERCICIO : Co ua lámia rectagular de por queremos hacer ua caja como muestra la figura:.... Busque la epresió del volume de la caja e fució de. (b) Cuál es el domiio? Haga u gráfico aproimado a partir de ua tabla de valores.

9 EJERCICIO : Etre todos los rectágulos de perímetro, halle la fució que relacioa la base co la altura y. Haga u gráfico que la represete. Cuál es el domiio? EJERCICIO : Halle el área de u triágulo rectágulo isósceles e fució del cateto. Dibuje el gráfico de la fució hallada a partir de ua tabla de valores. Idique cuál es el domiio. GRÁFICO DE FUNCIONES EJERCICIO 5: Dados los siguietes cojutos del plao, determie, e cada caso, si eiste ua fució cuyo gráfico sea el dado EJERCICIO 6: Dados los siguietes gráficos de fucioes, determie, e cada caso, e qué itervalos es creciete, e qué itervalos es decreciete, e qué puto alcaza su máimo, cuál es dicho valor máimo, e qué puto alcaza su míimo y cuál es el valor míimo. 5

10 a) b) ½ ½ c) d) EJERCICIO 7: Dibuje ua fució que sea creciete e los itervalos, y,. Además que el valor máimo sea y se alcace e = - y que el valor míimo sea y se alcace e =. EJERCICIO 8: LAS FUNCIONES MÁS USUALES Ecuetre e cada caso, ua fució lieal que satisfaga:. f() = 5 ; f(-) =. f(-) = ; f(8) =. f() = ; f() =. f() = b ; f = a y b fijos. (b) Calcule e. y e. f(). Calcule e. f(-) Ecuetre la pediete de las rectas que so gráficas de las fucioes lieales dadas e. Haga u gráfico de tales rectas. 6

11 EJERCICIO 9: Halle la ecuació de la recta de pediete m que pasa por el puto P, siedo: P = (, ) m = (b) P = (, 5) m = P = (, -) m = - (d) P = (, b) m = Haga el gráfico de cada ua de ellas. Decida cuáles so crecietes y cuáles so decrecietes. EJERCICIO : Ecuetre la fució lieal g que da la temperatura e grados Fareheit, coocida la misma e grados Celsius, sabiedo que C = F y C = F. Recíprocamete, ecuetre la fució h que da la temperatura e grados Celsius, coocida la misma e grados Fareheit. Compruebe que g(h()) = h(g()) =. EJERCICIO : Trace el gráfico de las siguietes fucioes cuadráticas: f ( ) (b) f ( ) ( ) f (d) f ( ) 5 Determie e cada caso, el cojuto image. EJERCICIO : Para las siguietes fucioes cuadráticas determie e qué itervalo crece, e qué itervalo decrece, dóde es positiva, dóde es egativa, e qué putos se aula y e qué puto alcaza su etremo: f ( ) f ( ) ( (b) ) f ( ) (d) f ( ) (e) f ( ) 5 EJERCICIO : Se arroja ua pelota desde el suelo y la altura, e metros, viee dada por la fució h( t) 5t t, siedo t el tiempo medido e segudos. Cuádo alcaza la altura máima? Cuál es dicha altura? 7

12 EJERCICIO : Represete gráficamete las siguietes fucioes f ( ) (b) f ( ) f ( ) (d) f ( ) Aalice e cada caso, la mootoía. EJERCICIO 5: Represete gráficamete las siguietes fucioes f ( ) (b) f ( ) f ( ) (d) f ( ) (e) 5 f ( ) (f) f ( ) Idique e cada caso, el domiio de la fució. Idique tambié e qué itervalos es creciete y e qué itervalos es decreciete. EJERCICIO 6: Represete gráficamete las siguietes fucioes f ( ) (b) f ( ) f ( ) (d) f ( ) ( ) Idique e cada caso, el domiio de la fució. Aalice la mootoía. EJERCICIO 7: Halle el domiio de las siguietes fucioes f ( ) (b) f ( ) 8 f ( ) 9 (d) f ( ) ( ) 8

13 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. FUNCIÓN INVERSA EJERCICIO 8: Cosidere las fucioes reales defiidas por las fórmulas f ( ) 5 g ( ) h ( ) 6 Calcule, si es posible: f f () f h () g f () h g () (b) Halle fórmulas para las composicioes que se idica a cotiuació. f g g f f g h f h f f f g y g f so la misma fució? EJERCICIO 9: Halle la fució iversa de: f ( ) 5 (b) f ( ), f ( ) 5 (d) f ( ) (e) f ( ) 6, (f) f ( ) 6, EJERCICIO : Pruebe que la fució para todo positivo. f ( ) satisface f ( ) f ( ) FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS EJERCICIO : Dada las fucioes epoeciales f ( ) r (r =,,, ), Haga el gráfico de cada ua de ellas. (b) Determie el domiio y la image. Aalice la mootoía. 9

14 EJERCICIO : Si otamos log ( ) r a la fució iversa de r ( r, r ) Haga el gráfico de y log ( ) para r =, (b) Determie el domiio y la image. Aalice la mootoía. r,,. EJERICICIO : Ecuetre el domiio de las siguietes fucioes f ( ) l() (b) f ( ) l( ) E cada caso determie los valores de para los cuales f ( ) EJERCICIO : Halle la fució iversa de: f ( ) l() (b) f ( ) l( ) f ( ) l( ) (d) f ( ) 5 (e) f ( ) e (f) f ( ) e, FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 5: A partir de los gráficos de gráfico de g( ) se y h( ) cos haga el f ( ) se( ) (b) f ( ) cos( ) f ( ) cos( ) (d) f ( ) se( ) EJERICICIO 6: Determie todos los valores de R tales que se (b) cos cos se (d) se cos (e) se( ) se cos (f) cos( ) (cos se )

15 EJERCICIO 7: Haga el gráfico de las fucioes iversas de h( ) cos. Determie los valores de tales que R g( ) se y arcse (b) arccos cos(arcse ) OTRAS FUNCIONES EJERCICIO 8: Represete las siguietes fucioes f ( ) 5 (b) f ( ) 5 f ( ) se (d) f ( ) e EJERCICIO 9: si Dada la fució f ( ) si, calcule f (), si f () f (). Determie para qué valores de y la ecuació f ( ) y tiee solució. Cuádo es úica? y (b) Idem para la fució f ( ) si si EJERCICIO : El impuesto a la riqueza es igual al,5 pesos por cada mil pesos por ecima de mil pesos y de peso por cada mil pesos por ecima de mil pesos. Escriba el moto del impuesto e fució de la riqueza. Cuál es la riqueza de alguie que paga 5 pesos de impuesto? PROBLEMAS VARIOS PROBLEMA: La fució f es lieal y la fució g es cuadrática. Los gráficos de ambas fucioes se corta e los putos P = (-,) y Q = (,). Además g se aula e = -. Halle las fórmulas de f y g y ecuetre el cojuto de los tales que f() es mayor que g(). Haga u gráfico.

16 PROBLEMA : Se defie e e cosh( ) y e seh( ) e. Pruebe que cosh ( ) seh ( ) (b) Los gráficos de ambas fucioes o se corta. PROBLEMA : U cátaro vacío co capacidad para litros pesa 55 gramos. Represete la fució que da el peso total del cátaro e fució de la catidad de agua, e litros, que cotiee. Halle su fórmula. Cuál es el domiio? (b) Si dispoemos de litros de mercurio, cuyo peso total es,8 kg, repita el ítem aterior sustituyedo el agua por el mercurio. Si se represeta las fucioes de y (b) e los mismos ejes, qué sigifica el puto de itersecció? (d) Es cierto que a doble catidad de líquido correspode doble peso total? PROBLEMA : Si f ( ) para =,,, y 5., calcule f ( ) f ( ) y obtega su valor umérico

17 PRÁCTICA NÚMEROS REALES LA RECTA REAL EJERCICIO : Represete e la recta umérica: 5; ;;6; ; ; ; ; ; ; ; (b) ; ; ;;;;; ; ; ; ; ;,;, EJERCICIO : Represete e la recta umérica los siguietes cojutos. Escríbalos como itervalos o como uió de itervalos. Todos los úmeros reales mayores que. (b) Todos los úmeros reales meores o iguales que. Todos los úmeros reales que dista del meos que. (d) (f) (h) R / 5 (e) R / R / 5 (g) R / ( ) R / 6 (i) R / (j) R / (k) R / (l) () R/ (m) R/ R/ (ñ) R/

18 EJERCICIO : Represete e la recta los siguietes cojutos,,6 (b),,6, (, ) (d), [, ) (e), [, ) (f), (,5) EJERCICIO : Represete e la recta los siguietes cojutos N / 6 (b) N / / N 6 (d) / N NÚMEROS IRRACIONALES EJERCICIO 5: Demuestre que o es racioal. EJERCICIO 6: Dados los úmeros, y Halle u úmero racioal compredido etre ambos. (b) Halle u úmero irracioal compredido etre ambos (Ayuda: escriba su desarrollo decimal). SUPREMO E INFIMO EJERCICIO 7: Cosidere los siguietes cojutos A : N B : N C,7 D N E : N G 5;5,9;5,99 ;5,999 ; R/ F,,, H I R/

19 E cada caso: Determie si 7 es ua cota superior. (b) Determie si es ua cota iferior. Decida si está acotado superiormete. (d) Decida si está acotado iferiormete. (e) E caso afirmativo, ecuetre el supremo y/o el ífimo del cojuto. Decida si alguo de ellos es el máimo y/o el míimo del cojuto correspodiete. EJERCICIO 8: Cosidere el cojuto B del ejercicio aterior. Muestre que es cota superior de B. (b) Ehiba u elemeto b de B que satisfaga,9 < b <. Ehiba u elemeto b de B que satisfaga,99 < b <. EJERCICIO 9: Cosidere el cojuto P : N Muestre que es ua cota superior de P. (b) Ehiba u elemeto p de P que satisfaga,99 < p <. Muestre que si t < eiste u elemeto p de P que satisface t<p<. Deduzca etoces que sup P =. EJERCICIO : Muestre que eiste u úmero atural que satisface,. E geeral, muestre que, cualquiera sea positivo, eiste u úmero atural que satisface. Deduzca de aquí que if : N 5

20 EJERCICIO : Sea A y B dos cojutos de úmeros reales o vacíos y acotados de modo que. Ordee de meor a mayor los siguietes úmeros: A B sup A, sup B, if A, if B Ehiba u ejemplo dode sup A = sup B y otro dode la desigualdad es estricta. EJERCICIO : Determie, e caso de que eista, el supremo, el ífimo, el máimo y el míimo de los siguietes cojutos: A R : (b) B y, (,) C y, R 6

21 PRÁCTICA SUCESIONES TÉRMINO GENERAL EJERCICIO : Escriba los primeros cico térmios de las siguietes sucesioes a (b) b ( ) c ( ) (d)! cos( ) d EJERCICIO : Para cada ua da las siguietes sucesioes Ecuetre el térmio y el térmio de cada ua de ellas. (b) Halle, si es posible, el térmio geeral Clasifique las sucesioes e covergetes o o covergetes. (i) (iii) (v) (vii) (i),,,, (ii),,,,,,,, (iv),,,, 8 6,,,, (vi),,,,,, 5,,,, (viii),,,,,,,,,,, () a, a a a EJERCICIO : Halle u valor de LA NOCIÓN DE LÍMITE N a partir del cual haya certeza de que 5 8 sea mayor que (i) (ii) (b) ( ) (d) se sea mayor que (i) (ii) esté etre (i),9 y, (ii),999 y, esté etre (i), y, (ii), y, 7

22 EJERCICIO : Cosidere la sucesió a. A partir de que el, lím a respoda cuáles de las siguietes afirmacioes so verdaderas, eplicado e cada caso, e qué se basa para respoder: Eiste u (b) Eiste u Eiste u (d) Eiste u N N a partir del cual a partir del cual N a partir del cual N para el cual (e) La sucesió a está acotado. a a a Escriba las afirmacioes que correspoda, co la omeclatura pct. a.... CÁLCULO DE LÍMITES PROPIEDADES EJERCICIO 5: Calcule, si eiste, el límite de las siguietes sucesioes. E cada caso, eplique las propiedades que usa para obteer su respuesta: a (b) 5 a 7 5 a (d) a (e) (g) a (f) a ,,,,,,,,,, (h),,, EJERCICIO 6: Cotiúe co las siguietes sucesioes (b) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) 8

23 EJERCICIO 7: Muestre que cada ua de las siguietes situacioes costituye ua idetermiació. Para ello, ehiba por lo meos dos ejemplos dode los límites sea distitos (fiitos o ifiitos). Supoga cuado haga falta, codicioes suficietes para que las sucesioes esté bie defiidas para todo. lím a y lím b (i) lím( a b ) (b) lím a y lím b (i) a lím b (ii) a lím b b (ii) lím(a ) lím a y lím b (i) lím( a b ) (ii) lím(b ) a EJERCICIO 8: Marque e cada caso, la úica respuesta correcta: Si lím a y b oscila fiitamete etoces lím( a b ) oscila tiede a más ifiito es ua idetermiació (b) Si lím L y a a etoces hay certeza de que L L L igua de las ateriores Si lím a y lím b etoces a lím b es igual a tiede a más ifiito es ua idetermiació o eiste (d) Si lím a y b lím etoces lím a es igual a tiede a más ifiito es ua idetermiació o eiste b SUCESIONES MONÓTONAS MÁS PROPIEDADES EJERCICIO 9: Calcule, si eiste, el límite de las siguietes sucesioes. Como siempre, eplique las propiedades que usa para llegar al resultado: se ( ) (b) ( ) (d) ( ) (e) 5 (f) 5 ( ) (g) (,5) (h) (,95) 9

24 (i) (j) (k) (l) 5 (m) 5 (o) () 5 (p) ( ) (q) 8 5 (r) 5 8 (s) 8 5 (t) 9 cos se EJERCICIO : Calcule el límite de las siguietes sucesioes 5 (b) 5 (d) (e) 7 (f) 5 (g) 5 (h) se (i) cos (j) se 5 EJERCICIO : Calcule, si eiste, el límite de las siguietes sucesioes (b) (e) (d)!!! (f) ()!

25 (g) (h)! (i)! (j)! EJERCICIO : E cada caso, la sucesió se ecuetra sujeta a las codicioes idicadas. Aalice la eistecia de límite y, e caso afirmativo, calcúlelo.! 5 a (b) a a (d) a 6 a SUBSUCESIONES EJERCICIO : Dada la sucesió,, 5, 7, 7, 5,,,,, 5, 7,..., escriba el térmio geeral de y. Ecuetre dos subsucesioes covergetes a, a a 8 EJERCICIO : Usado subsucesioes, pruebe que cada ua de la siguietes sucesioes carece de límite:,,,,,,... (b) se cos( ) se (d) ( ) ( ) (e) cos( ) (f) 5 si es múltiplo de 5 e otro caso EJERCICIO 5: Se sabe que lím L.Calcule lím a (b) lím ( a a ) a lím a a

26 SUCESIONES DADAS POR RECURRENCIA EJERCICIO 6: Cosidere la sucesió defiida recurretemete como a, a a, N Calcule el cociete de D Alambert. Cocluya que la sucesió es creciete. (b) Muestre que a,. EJERCICIO 7: Cosidere la sucesió defiida recurretemete como Observe que, a, a a( a), a (b) Calcule el cociete de D Alambert. Cocluya que la sucesió es decreciete y acotada y, por lo tato, covergete. Calcule el lím a EJERCICIO 8: Calcule, si eiste, el límite de las siguietes sucesioes. Previamete, mediate el cociete de D Alambert, determie si es posible, la mootoía de ellas. a, a a, (b) a, a, a a, a a, a b (d) a, a, a.(sug.: use la desigualdad ab ) a

27 PROBLEMA : Sea ( a ) a a 5, para todo a 5 PROBLEMAS VARIOS ua sucesió defiida e forma recurrete como Pruebe que a a para todo. (b) Por qué se puede asegurar que eiste lím a? Calcule lím a. (d) Si se defie b a, calcule lím b PROBLEMA : Se ivierte u capital de pesos e accioes. El primer mes sube el % respecto al precio de compra; el segudo mes, baja el % respecto del mes aterior; el tercer mes sube el % respecto del mes aterior; y así alteradamete, u mes sube el % y al siguiete baja el %. Halle c el capital que se tiee después de meses. (b) Calcule lím c. Estudie como cambia la situació si las bajas so del 9% e lugar del %. PROBLEMA : Sea a (,95) Pruebe que a es decreciete pct. Halle u a partir del cual haya certeza de que a a. (b) Calcule lím a. E qué se basa para calcularlo?

28 PROBLEMA : Muestre que el valor del costate b. 5 b lim o depede de la PROBLEMA 5: Halle e cada caso, el térmio geeral de y calcule, si eiste, su límite. E caso de que o eista, muéstrelo por medio de subsucesioes. a, 5, 7 9, (b),,,,,,,,,,,, PROBLEMA 6: Sea ( a ) ua sucesió creciete de úmeros positivos. Pruebe que la sucesió a b es siempre covergete. a (b) Cuál es el valor más grade que puede tomar lím b. E qué caso? 5 cos PROBLEMA 7: Calcule lim ( ). Eplique las propiedades 6 y/o resultados que usa para obteer su respuesta. PROBLEMA 8: Sea f : R R defiida por el f a lím siedo a. f ( ) si si. Calcule

29 PROBLEMA 9: Sea ( a ) ua sucesió de úmeros reales o ulos tales que 7 a 9 5 Calcule, si eiste, el lima para obteer su coclusió.. Eplique las propiedades y/o resultados que usa PROBLEMA : Calcule lím a sabiedo que 5 a 7 Eplique las propiedades y/o resultados que usa para obteer su respuesta. PROBLEMA : Sea ( ) ua sucesió moótoa creciete de la cual se sabe que. Halle los posibles valores del lim. E qué propiedades basa su respuesta? 6 a b PROBLEMA : Halle los valores de a y b para que el lim 5 PROBLEMA : Se defie a ( ) y 7 b ( a ). Pruebe por medio de subsucesioes que a o tiee límite. (b) Calcule el lím b. 5

30 PROBLEMA : Se defie la sucesió a, a a,. Pruebe que eiste el lím a. Cuál es su valor? (b) La sucesió b satisface a b a. Calcule lím b. PROBLEMA 5: Se defie la sucesió de úmeros reales e la forma a, dode a>. Pruebe que ( ) es ua sucesió moótoa creciete. (b) Determie los valores de a> para los cuales ( ) es covergete. PROBLEMA 6: Halle todos los valores de para los cuales la sucesió a 5 es covergete. Para los hallados calcule el lím a. PROBLEMA 7: Cosidere la sucesió a,95 Pruebe que es decreciete para casi todo. A partir de que? (b) Calcule el lím a. 6

31 PRÁCTICA LÍMITES Y CONTINUIDAD LÍMITES EN EL INFINITO EJERCICIO : Calcule los siguietes límites 7 5 lím ( ) 5 6 (b) lím ( ) (e) lím 6 lím 6 5 (d) lím 5 se (f) lím cos (g) lím (i) lím (h) 5 lím (j) lím ( )( ) (k) (m) (o) 5 lím (l) 5 lím l e () se lím lím e lím (p) lím l EJERCICIO : Calcule, si es posible, los límites cuado de las siguietes fucioes y cuado f ( ) (b) f ( ) 9 (e) (g) (i) f ( ) (d) f ( ) 5 f ( ) (f) f ( ) f f ( ) (h) se f ( ) ( ) e (j) f ( ) l( ) E cada caso, haga u gráfico de la fució que represete los límites hallados. 7

32 LÍMITE EN UN PUNTO EJERCICIO : Calcule, segú correspoda, los límites ifiitos y los límites laterales que permita detectar asítotas horizotales y/o verticales. Haga, e cada caso, u dibujo que refleje la iformació obteida. f ( ) (b) f ( ) 5 f ( ) (d) f ( ) (e) f ( ) e (f) f ( ) e (g) (i) f f ( ) l ( ) e (h) 5 f ( ) (j) f ( ) ( )( ) (k) f ( ) (l) 5 f ( ). EJERCICIO : Cosidere la curva y. Halle la pediete de la recta que pasa por el (,) y el (, y ()). (b) que pasa por el (,) y el (, y ( )). que pasa por el (,) y el (., y (.)). (d) que pasa por el (,) y el ( h, y( h)) e térmios de h. (e) E (d), si m(h) es el valor de la pediete obteida, calcule el lím m( h). Iterprete geométricamete. h EJERCICIO 5: E cada ua de las siguietes fucioes calcule, además del límite que se idica, los límites cuado y cuado. Represete gráficamete los límites obteidos lím (b) lím lím (d) lím (e) lím (f) lím 8

33 (g) lím 7 ( h) (i) lím h h (h) ( h) lím h h h (j) lím h h 6 (k) lím (l) lím (m) lím e () e lím EJERCICIO 6: Sea f ( ) Calcule lím. f : R R ua fució tal que f ( ), R EJERCICIO 7: Calcule los siguietes límites lím se cos (b) lím lím se f ( ) dode f ( ), R LÍMITES ESPECIALES EJERCICIO 8: Calcule los siguietes límites se lím se5 lím se se( 6) (e) lím 6 se( h a) se( a) (g) lím h h cos( a h) cosa (i) lím h h (b) (d) lím se tg lím cos (f) lím cos (h) lím se (j) lím cos 9

34 se (k) lím 5se se( ) (m) lím se( ) cos( ) (o) lím tg ( ) se se (l) lím se () (p) lím cos se( ) lím EJERCICIO 9: Calcule los siguietes límites lím (b) 5 lím lím t (e) t t lím 5 (g) lím cos (i) l( y) lím y y lím se (d) (f) lím 5 l( h) l (h) lím h h (j) e h lím h h EJERCICIO : Marque la úica respuesta correcta: se El lím se o eiste es igual a es igual a es ifiito (b) El lím se o eiste es igual a es igual a es ifiito El lím cos o eiste es igual a es igual a es ifiito a (d) Para qué valores de a el lím? igú valor de a para a= para a= para todo a

35 CONTINUIDAD DEFINICIÓN Y PROPIEDADES EJERCICIO : Determie los putos de discotiuidad de las fucioes dadas a cotiuació. Vea si e esos putos la discotiuidad es evitable. f ( ) si si (b) f ( ) 7 si, 7 e otro caso (d) (e) f ( ) se f ( ) ( ) f ( ) cos EJERCICIO : E cada caso, determie el o los valores de la costate a para los cuales las fucioes resulte cotiuas. a f ( ) a si si (b) e f ( ) a si si f ( ) e a si si (d) f ( ) si si a a (e) se f ( ) a si si (f) f ( ) a si si

36 EJERCICIO : Muestre, co la ayuda de sucesioes, que la fució f ( ) se tiee ua discotiuidad ievitable e =. EJERCICIO : Marque la úica respuesta correcta Si f es cotiua e el puto =a y f>. Etoces hay certeza de que f ( ) f ( a) para todo e u etoro de a. f ( ) f ( a) para todo e u etoro de a. f ( ) f ( a) para todo e u etoro de a. f ( ) f ( a) para todo e u etoro de a. TEOREMA DE LOS VALORES INTERMEDIOS EJERCICIO 5: Cosidere la fució cotiua f ( ) Muestre que la ecuació f ( ) tiee al meos ua solució e el itervalo (-,). (b) Ecuetre u itervalo de logitud meor que, que cotega a tal solució. EJERCICIO 6: Cosidere las fucioes hiperbólicas e e e cosh y seh e Pruebe que eiste algú valor de tal que cosh seh. EJERCICIO 7: Pruebe que las siguietes ecuacioes tiee algua solució real. cos (b), N l (d), (e) e l 6 (f)

37 EJERCICIO 8: Adapte coveietemete el Teorema de Bolzao para probar que la ecuació tiee algua solució e el itervalo (-,). EJERCICIO 9: Para cada ua de las siguietes fucioes determie ceros y putos de discotiuidad. A partir de ellos, use el Teorema de Bolzao para hallar el cojuto dode la fució es positiva. f ( ) ( )( ) (b) f ( ) l f ( ) (d) se f ( ) cos PROBLEMAS VARIOS PROBLEMA : Sea f ( ). Halle los valores de a y b para los cuales lím f ( ) ( a b) PROBLEMA : Determie el valor de la costate a para la cual a lím 5 a a (b) lím lím PROBLEMA : Calcule el 5 PROBLEMA : Para qué valores de la costate a la siguiete fució es cotiua? e f ( ) a si si 6 ) tiee ua raíz real e el i- PROBLEMA 5: Pruebe que la fució tervalo ( e, ). l(l PROBLEMA 6: Ecuetre cuatro itervalos disjutos e cada uo de los cuales la ecuació tega ua raíz real.

38 PROBLEMA 7: Pruebe que las siguietes ecuacioes tiee algua solució real. 5 7 se (b) cos 5 se 5 PROBLEMA 8: Para recorrer kilómetros e u automóvil tardamos horas, cotado las evetuales paradas técicas y si llevar ua velocidad costate. Pruebe que hubo u lapso de ua hora dode se recorriero eactamete kilómetros. (Ayuda: cosidere la fució g( t) f ( t ) f ( t) siedo f (t) los kilómetros recorridos e t horas y use argumetos de cotiuidad) PROBLEMA 9: Dado u cuadrilátero coveo, pruebe que se puede trazar u segmeto a partir de uo de los vértices, que divida al mismo e dos figuras de igual área. (Ayuda: use el Teorema de los Valores itermedios) PROBLEMA : Sea f ua fució cotiua sobre [,] y tal que f ( ) para todo del itervalo. Pruebe que debe eistir u úmero c(, ) tal que f ( c) c (Ayuda: Cosidere la fució D( ) f ( ) y use el Teorema de Bolzao) PROBLEMA : Sea a ua sucesió de úmeros positivos tal que Halle el lím a se(5a ) (b) Calcule el lím. a lím( a ) Eplique las propiedades y/o resultados que usa para obteer su respuesta. PROBLEMA : Halle algú valor del parámetro b de modo que la ecuació 5 b 5 tega algua solució e el itervalo [,/].

39 PRÁCTICA 5 DERIVADA EJERCICIO : Cosidere la curva recta que pasa por los putos RECTA TANGENTE y (,) (b) que pasa por los putos (,) y que pasa por los putos (,) (d) tagete a la curva por el puto y. Halle la pediete y la ecuació de la (, y()) (, y( )) y (., y (.)) (,) Represete e u mismo gráfico las cuatro rectas y la curva.. EJERCICIO : Justifique, por medio de los cocietes icremetales, las siguietes igualdades y cost y (b) y a b y a y y (d) y y (e) y y (f) y y (g) y e y e (h) y l y (i) y se y cos (j) y cos y se EJERCICIO : Halle, usado el cociete icremetal, el valor de la derivada de las fucioes siguietes e los putos que se idica. Escriba la ecuació de la recta tagete e esos mismos putos. y 7 e (b) y e 5 y e (d) y l e (e) y 5 e (f) y e 5

40 si (g) y e si se (h) y si e si EJERCICIO : Cosidere la curva y t. Describa el haz de rectas (ecluida la vertical) que pasa por el puto de coordeadas. Haga u dibujo alusivo. (, y()) (b) Calcule y () y escriba la ecuació de la recta tagete e el puto. Marque sobre el dibujo esta recta. (, y()) EJERCICIO 5: E qué puto de la gráfica de la fució f ( ) 6 8, la recta tagete es paralela al eje de las? REGLAS DE DERIVACIÓN FUNCIÓN DERIVADA EJERCICIO 6: Usado las reglas de derivació, halle las derivadas de las siguietes fucioes e su domiio de defiició. (e) (g) (i) (k) (m) f ( ) se (b) f ( ) cos f ( ) se (d) f ( ) l f ( ) 5 (f) f ( ) e l f ( ) se e cos (h) se f ( ) f ( ) tg (j) f ( ) ( )( ) l l f ( ) (l) f ( ) log a f ( ) () se cos f ( ) se cos (ñ) f ( ) l (o) f ( ) (l )(log ) (l a)(log ) a a (p) e e f ( ) cosh (q) e f ( ) seh e 6

41 EJERCICIO 7: Calcule por medio de la regla de la cadea, la fució derivada de siedo f f () ( ) (b) ( ) (e) ( ) (d) ( e ) (f) cos( ) (g) (i) tg( l( ) 5 ) (h) se (j) l( se ) (k) e se (l) l ( ) (m) cos cos () a a (ñ) se se (o) tg (p) a b (q) l( 5) l() (r) ( ) l( ) (s) se cos (t) cosh (u) seh cos (v) cos l( ) (w) l EJERCICIO 8: Calcule la derivada de la fució siedo f () f e su domiio de defiició, (b) a, a (se ) l (d) (e) ( se ) cos (f) EJERCICIO 9: Sea f, g y h uas fucioes tales que f ( ) ; g( ) se (se( )) ; g() Calcule ( f g) () (b) ( h f ) () ; h( ) g( ) 7

42 es solució de la ecuació difere- EJERCICIO : Pruebe que la fució cial y ( ) ky( ) dode k y C so costates. y Ce k FUNCIONES DERIVABLES Y NO DERIVABLES EJERCICIO : Para cada ua de las siguietes fucioes haga u gráfico de ellas. (b) estudie la cotiuidad y, mediate el estudio del cociete icremetal, la derivabilidad e el puto idicado. (i) f ( ) e (ii) g( ) e (iii) (iv) (v) (vi) si h ( ) e si si r ( ) e si se si s ( ) si e se si t ( ) si e E las fucioes que resulte derivables e los putos idicados, escriba la ecuació de la recta tagete. : R R la fució de- EJERCICIO : Marque la úica respuesta correcta. Sea, se si fiida como f ( ). Etoces e = si f es cotiua pero o derivable. f es cotiua y derivable. f o es cotiua pero si es derivable. f o es i cotiua i derivable. f 8

43 EJERCICIO : Sea Muestre que DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA f : R R f ( ), f ( ) 5e para todo. Además ote que f ( ) 5 (b) Use el Teorema de la fució iversa para justificar la eistecia de y calcular su valor. ( f ) (5) EJERCICIO : Pruebe, usado el Teorema de la fució iversa, las siguietes fórmulas de las derivadas de las fucioes iversas de las fucioes trigoométricas. E cada caso, aalice la regió dode es válida la fórmula (b) y arcse y arccos y y y arctg y (d) y arc cot y EJERCICIO 5: Sea f :[, ) R, f ( ) Muestre que f ( ) para todo >-. Además ote que f ( ) 5 (b) Use el Teorema de la fució iversa para justificar la eistecia de ( f ) ( 5) y calcular su valor EJERCICIO 6: Sea f : R R, e f ( ) seh Muestre que f ( ) para todo. (b) Use el Teorema de la fució iversa para justificar la eistecia de ( f ) ( ). Calcule ( f ) () (seh ) (). e 9

44 ALGUNAS APLICACIONES (VELOCIDAD, RAZÓN DE CAMBIO, DIFERENCIAL) EJERCICIO 7: La ley de movimieto de u puto a lo largo de ua recta es s( t) t t (e el istate t= el puto se ecuetra e el orige). Halle la velocidad del movimieto del puto para los istates t=, t= y t=. EJERCICIO 8: U objeto circular va aumetado de tamaño co el tiempo, de modo que su radio r, e cetímetros, viee dado por siedo t el tiempo e miutos. Cuál es la velocidad de crecimieto del radio r? (b) Cuál es la velocidad de variació del área? r t EJERCICIO 9: La temperatura C de u cuerpo, que iicialmete estaba a 9C,t se efría de acuerdo a la ley C( t) 7e (se está supoiedo que la temperatura ambiete es de C) dode t es el tiempo e miutos. Calcule co qué velocidad se está efriado el cuerpo a los 5 miutos. (b) Muestre que la velocidad de efriamieto es proporcioal a la diferecia etre la temperatura C y la temperatura ambiete. Más precisamete: C ( t), C( t). Muestre que la velocidad de efriamieto va tediedo a coforme avaza el tiempo. EJERCICIO : Cada arista de u cubo se dilata a razó de cm por segudo. Cuál es la razó de variació del volume cuado la logitud de cada arista es de cm? Si la razó de variació del volume es igual 8 cm / seg, cuál es la logitud de la arista? EJERCICIO : U barco avega paralelamete a ua costa recta, a ua velocidad de millas por hora y a ua distacia de millas. Cuál es la velocidad de aproimació a u faro de la costa e el istate e que diste precisamete 5 millas del faro?

45 EJERCICIO : Para y y, halle ( y y( h) y( ) ) (b) dy ( dy y( ) d, d h) (d) (e) y dy y dy dy d EJERCICIO : Mediate difereciales calcule aproimadamete 5 (b) l(,) cos(,5) DERIVADAS SUCESIVAS EJERCICIO : Calcule las siguietes derivadas f ( ) se, ( v) (7) f ( ), f () (b) f ( ) e, (9) () f ( ), f () k f ( ) e, () f ( ) (d) f ( ) l( ), () f ( ) (e) f ( ) 5 8, ( iv) (8) f ( ), f ( ), f () se y cos so solucioes de la si- EJERCICIO 5: Muestre que las fucioes guiete ecuació Pruebe que y ( ) y( ) y( ) Acos Bse tambié es solució de la ecuació. EJERCICIO 6: Cosidere la fució (k ) f () para todo valor de k. f ( ) ( ), co atural. Calcule

46 PROBLEMAS VARIOS PROBLEMA : Para cada ua de las fucioes dadas a cotiuació Determie si es cotiua y/o derivable e los putos idicados. (b) E los casos que resulte derivable estudie la cotiuidad de la fució derivada. E los casos e que resulte derivable, escriba la ecuació de la recta tagete. (i) (ii) (iii) si f ( ) e = e si si g ( ) e = si ( ) cos si h ( ) e = si (iv) (v) 5 l( ) si r ( ) e = se si si s ( ) e = si PROBLEMA : Dadas las siguietes fucioes, escriba e cada caso, la ecuació de la recta tagete e los putos que se idica: f ( ) se e (b) f ( ) e f ( ) se y e e y e PROBLEMA : Pruebe que la fució f ( ) es derivable para todo, que f () es cotiua pero que o eiste f (). PROBLEMA : Pruebe que la curva que pase por el orige. y t l t o tiee igua recta tagete

47 PROBLEMA 5: Halle, si eiste, la o las ecuacioes de las rectas tagetes a la curva y t t que pase por el puto (,) (b) (,) (,) PROBLEMA 6: Halle, si eiste, la o las ecuacioes de las rectas tagetes a la curva y t t que tega pediete igual a. PROBLEMA 7: La recta tagete de la fució f e el puto de abscisa =- tiee ecuació y 5. Calcule la ecuació de la recta tagete a la fució g( ) f ( se( )) e el puto de abscisa =. PROBLEMA 8: Cosidere la fució f ( ) a b si si 5. Halle los valores 5 de a y b para los cuales eiste f '(5). PROBLEMA 9: Cosidere la fució de a y b para que f resulte derivable. e f ( ) a b si si. Halle los valores PROBLEMA : Sea g : R R ua fució cotiua e = pero o ecesariamete derivable. Pruebe que la fució f ( ) g( )se es derivable e =. PROBLEMA : Supoga que se itroduce u gas e u globo esférico a la razó costate de 5 cm por segudo. Supoga que la presió del gas permaece costate y que el globo tiee siempre forma esférica. Cuál es la rapidez co que aumeta el radio del globo cuado su logitud es de 5 cm? (Vol. globo = rr ).,t PROBLEMA : Cierta població crece de acuerdo a la ecuació y,e, dode t es el tiempo medido e meses e y es el úmero de idividuos e miles. Calcule la velocidad de crecimieto de la població después de u año.

48 PRÁCTICA 6 TEOREMA DEL VALOR MEDIO TEOREMAS DE FERMAT, ROLLE Y LAGRANGE EJERCICIO : La fució f ( ) tiee e = u míimo. Qué puede decir sobre la aplicabilidad del Teorema de Fermat? EJERCICIO : Cosidere la fució f del ejercicio aterior defiida e el itervalo [-,]. Esta fució es cotiua sobre este itervalo y f(-)=f(). Si embargo, su derivada o se aula uca. Por qué esto o cotradice el Teorema de Rolle? EJERCICIO : Cosidere la parábola y y cualquier itervalo cerrado, por ejemplo el [-,]. Compruebe que el valor al que hace referecia el Teorema del Valor Medio es calculable e este caso. Haga u gráfico que ilustre la situació. Compruebe que si el itervalo es el [a,b] el valor itermedio c es calculable e térmios de a y de b. c(,) EJERCICIO : Desde el piso se arroja u proyectil hacia arriba y, después de uos miutos, cae al piso. Pruebe que e algú mometo la velocidad del proyectil fue ula. EJERCICIO 5: U automóvil pasa por dos cotroles camieros separados etre sí km. Por el primero pasa a las : y por el segudo a las :. La velocidad máima permitida e esa regió es de km/h. Hubo ifracció al tope de velocidad? EJERCICIO 6: Pruebe que para cada > eiste etre y que satisface se cos CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO EJERCICIO 7: Pruebe que si dos fucioes f y g tiee la misma fució derivada etoces f() = g() + c dode c es ua costate.

49 EJERCICIO 8: Pruebe las siguietes idetidades cos se (b) arcse arccos arctg arctg (Ayuda: use el ejercicio aterior) EJERCICIO 9: Pruebe que las úicas solucioes de la ecuació y ( ) y( ) so de la forma y u( ) estudie la derivada de h( ) ) e ( ) ke.(ayuda: Si u() es ua solució de la ecuació EJERCICIO : Para las siguietes fucioes Pruebe que so estrictamete moótoas e el cojuto idicado. (b) Idique e cada caso, si es creciete o decreciete. Determie, si es posible, cuátas veces corta el gráfico el eje. (i) f ( ) se, R (ii) ( ) f e l, (iii) f ( ) l, (iv) f ( ), R, atural. (v) f ( ) l, (vi) f ( ), (vii) f ( ), se (viii) f ( ), EJERCICIO : Pruebe las siguietes desigualdades. Para ello estudie el sigo de la derivada de ua fució coveiete. se, (b) e 5

50 l( ), (d) l, (e) se, (f) arctg (g) ( ) a a,, a EJERCICIO : Cosidere la fució f ( ) se si f () Muestre que f ( ) (estudie el cociete icremetal) (b) Muestre que e cualquier itervalo que cotega al, hay valores egativos y valores positivos de la fució. Determie la validez de las siguietes afirmacioes:. si ua fució g tiee derivada e = y etoces g es creciete e u itervalo abierto que cotiee al cero. g( ). si ua fució g tiee derivada cotiua e = y g ( ) etoces g es creciete e u itervalo abierto que cotiee al cero. REGLA DE L HOSPITAL EJERCICIO : Cosidere las fucioes f ( ) y g ( ) defiidas e cualquier itervalo [a,b]. Muestre que el valor de dode se cumple el Teorema de Cauchy es calculable e térmios de a y de b. EJERCICIO : Sea R() ua fució co derivadas cotiuas e = y tal R( ) R( c) que R() R() R"(). Pruebe que para algú c etre y.! (Use el Teorema de Cauchy tres veces) EJERCICIO 5: Calcule los siguietes límites l( ) lím (b) l lím (d) lím e e lím se l tg( (e) lím e (f) lím (l )( e ) ) 6

51 (g) lím se (h) lím l EJERCICIO 6: Cotiúe co estos límites lim l lim(l )(l( )) (b) lim l (d) lim e (e) k l lim, k atural (f) lim( ) se (g) lim l, atural (h) lim e, atural EJERCICIO 7: Sea R() ua fució co derivadas cotiuas e = y tal ( k ) () R ( ) que R (), k 9, R (). Calcule el lim EJERCICIO 8: Eplique por qué o es correcta la siguiete aplicació de la Regla de L Hospital: 6 lim lim lim EJERCICIO 9: Muestre por qué o se puede utilizar la Regla de L Hospital para calcular el límite idicado e cada caso y ecuetre el límite por otros medios. lim se (b) lim e e e lim e EJERCICIO : Justifique las siguietes afirmacioes si(/ ) cos(/ ) No eiste el lim. cos si(/ ) (b) lim. si si lim. cos 7

52 EJERCICIO : Cosidere la fució afirmació correcta. f o es cotiua i derivable e =. f es cotiua pero o derivable e =. f es derivable pero o es cotiua e =. f es cotiua y derivable e =. EJERCICIO : Cosidere la fució l si f( ). Marque la úica si a cos si f( ) 6 si Determie el valor de a para que f resulte cotiua. Para el valor de a hallado calcule, si eiste f (). PROBLEMAS VARIOS b a( cos ) si PROBLEMA: Cosidere la fució f( ) e. Ecuetre los valores de a y de b para que f resulte derivable e = y además sea si f () PROBLEMA : Sea f : R R ua fució co dos derivadas cotiuas tal que 5 f (), f (), f () 5. Se defie g : R R como 6 f(6 ) si g ( ) 5 si Calcule, eplicado las propiedades que usa e cada caso: lim g ( ) (b) g () PROBLEMA : Cosidere la fució f :[, ) R defiida por Pruebe que f ( ). f ( ) 8 l ( ) 5 cos( ) 8

53 PROBLEMA : Cosidere f ( ) l. Pruebe que f es moótoa. (b) Justifique la eistecia de la fució iversa f () (Observe que f () ) f ( ). Calcule p p p PROBLEMA 5: Para qué valores reales de p es el lim? ( ) PROBLEMA 6: Sea f ua fució cotiua y derivable tal que f( ) f(5). Pruebe que eiste u c (, 5) tal que f ( c) f ( c) (Ayuda: cosidere g( ) e f ( ) ) PROBLEMA 7: Sea h:[, ) R ua fució estrictamete creciete. Pruebe que h( ) 5 si. PROBLEMA 8: Cosidere la fució f : R R defiida como f e 5 ( ) Pruebe que es biyectiva y que f (). (b) Calcule f ( y) lim y y 6 PROBLEMA 9: Pruebe la siguiete desigualdad 6 6, PROBLEMA : Cosidere la fució f ( ) e. Pruebe que eiste c [.,.5] tal que f ( c). Decida si e c la fució alcaza u máimo o u míimo relativo. 9

54 PRÁCTICA 7 ESTUDIO DE FUNCIONES CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EJERCICIO : Pruebe que las siguietes fucioes so moótoas e el cojuto idicado. Idique e cada caso, si so crecietes o decrecietes. 7 5 f ( ) 7, e R (b) (d) (e) f ( ), e R f ( ) e, e f ( ), e R f ( ), e R EJERCICIO : Ecuetre los itervalos de crecimieto y de decrecimieto de las siguietes fucioes f ( ) l (b) f () ( ) e f ( ) e (d) f e ( ) (e) f ( ) si, [,6 ] (f) f ( ) l (g) f( ) (i) f( ) (h) f( ) (j) f ( ) l EJERCICIO : Aíbal realiza u régime de comidas para adelgazar. Ha podido establecer que la catidad de kilos que adelgaza está e fució del tiempo durate el cual hace régime segú la siguiete fórmula: t e k( t) 6, t t e Pruebe que cuáto más tiempo persista, más adelgazará. (b) Pruebe que co este régime o podrá adelgazar más de kilos. 5

55 EXTREMOS LOCALES EJERCICIO : Decida si las siguietes fucioes alcaza u etremo local e =. f ( ) si (b) f ( ) si f ( ) cos (d) f 8 ( ) EJERCICIO 5: Estudie, utilizado úicamete la primera derivada, la eistecia de etremos de las siguietes fucioes. f ( ) (b) f ( ) f ( ) e (d) f ( ) (e) f ( ) l (f) (g) f ( ) e f ( ) l (h) f( ) (i) f ( ) l (j) f( ) (k) f ( ), e [, ] (l) si (m) f ( ) () f( ) 5 f ( ) l (o) f ( ) ( ) (p) f ( ) ( ) (q), si f( ), si (r) f( ), si ( ), si k EJERCICIO 6: Determie el valor de k R tal que la fució f( ) alcace u etremo local e =. Es u máimo o u míimo local? Es absoluto? EJERCICIO 7: De la fució f : R R derivable e todo su domiio, se sabe que su derivada se aula e,, y. Además se tiee que (i) { R / f ( ) } (, ) (, ) (ii) { R / f ( ) } (, ) (, ) (, ) Ecuetre los máimos y los míimos locales. 5

56 ASÍNTOTAS como para ) de las siguie- EJERCICIO 8: Ecuetre, si las hay, las ecuacioes de las asítotas verticales, horizotales y oblicuas (tato para tes fucioes. Localice e u dibujo, la posició del gráfico de la fució co respecto a las asítotas halladas. f( ) f( ) ( )( ) (b) f ( ) e si (d) f ( ) e (e) f ( ) l e (f) f ( ) (g) si f( ) (h) f( ) EJERCICIO 9: Pruebe que la recta y es la úica asítota de la fució f ( ) EJERCICIO : Ecuetre los valores de a y b tales que la recta y 7 resulte ua asítota oblicua de f( ) para a b 5 CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD EJERCICIO : Determie los itervalos de cocavidad y coveidad y localice los putos de ifleió de las siguietes fucioes f ( ) (b) f( ) f () e (d) f ( ) e f ( ) a, a fijo (f) (e) f ( ) l EJERCICIO : Cosidere la fució f ( ), a. Pruebe que f alcaza a dos etremos locales y tiee tres putos de ifleió. Muestre que las abscisas de estos cico putos sobre el eje de las so equidistates. Dóde es cócava? 5

57 CONSTRUCCIÓN DE CURVAS EJERCICIO : Para cada ua de las siguietes fucioes: Halle el domiio de f y de su fució derivada f. (b) Determie los itervalos de crecimieto y de decrecimieto. Halle los etremos locales. Determie cuáles de ellos so absolutos. (d) Escriba la ecuació de las asítotas. (e) Determie, si la cueta lo permite, los itervalos de cocavidad. (f) Halle los putos de ifleió. (g) Co la iformació obteida, costruya u gráfico aproimado..... f ( ) ( ) f ( ) si f 5 ( ) 5 f e ( ) ( ) 5. f( ) ( ) 6. f ( ) 5l( ) f ( ) ( 5) f ( ) l f ( ) l 8 si f( ) si f( ) ( )( ) f () e f ( ) l( ) f ( ) 5 f( ) ( ) f ( ) e 5 5

58 EJERCICIO : Sea f :[, ] Rcotiua y derivable, tal que el gráfico de la fució derivada es el que se ve e la figura y f ( ) Determie los itervalos de crecimieto y de decrecimieto de f. (b) Determie etremos locales y putos de ifleió. Si f (), haga u gráfico aproimado de y f ( ). y = f () EJERCICIO 5: Dibuje, si es posible, el gráfico de ua fució f : R R que satisfaga las siguietes codicioes.. Es cotiua e R.. No es derivable e =.. f(), f( ) 5. lim f ( ), lim f ( ) 5. f ( ) si, f es decreciete e (,) CANTIDAD DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN EJERCICIO 6: Determie la catidad de solucioes que tiee las siguietes ecuacioes 7 5 (b) e 5

59 (d) (e) (f) (g) e ( ) e 7 8 si f ( ) siedo f ( ) si CONTINUIDAD EN INTERVALOS CERRADOS EJERCICIO 7: Para cada ua de las siguietes fucioes idique si está acotada superiormete y/o iferiormete. Decida si alcaza su máimo y/o su míimo. a ( ), [, ] (b) f ( ), [, ] g ( ), [,5] (d) h ( ), [,], (e) i ( ), [,) l (f) j( ), (,] (g) k ( ), (, ) (h) t( ) se( ), [, ] EJERCICIO 8: Cosidere las siguietes afirmacioes. I. Ua fució cotiua e [a,b] siempre está acotada. II. Ua fució cotiua e (a,b] siempre alcaza su máimo. III. Ua fució cotiua e [a,b] siempre alcaza su miimo. IV. Ua fució cotiua e (a,b) uca está acotada. Marque la úica respuesta correcta Todas las afirmacioes so verdaderas. I. y III. so verdaderas, II. y IV. so falsas. 55

60 Sólo I. es verdadera. Todas las afirmacioes so falsas. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN PROBLEMA : Se quiere ahorrar el máimo de material al hacer u taque recto de base cuadrada y si tapa, de maera tal que el volume sea de. Halle las dimesioes del taque. Haga lo mismo pero ahora co tapa. m PROBLEMA : Co ua lámia cuadrada de u metro se quiere costruir ua caja si tapa. Para ello se recorta uos cuadrados de los vértices. Calcule el lado del cuadrado recortado para que el volume de la caja sea máimo. Si la altura de la caja o puede pasar de cm, cuál es la medida del lado del cuadrado que debemos recortar? PROBLEMA : E la fabricació de latas de coserva, se quiere miimizar el uso de hojalata. Supuesto que se ha prefijado el volume V, halle la relació etre el diámetro D de la base y la altura H de la lata que produce el meor gasto de hojalata. PROBLEMA : Determie las dimesioes de u rectágulo de área 69 que tega la diagoal de meor logitud. cm PROBLEMA 5: Por el puto (,) pasa rectas que determia triágulos al cortarse co los semiejes positivos. Etre estas rectas, halle la que geera u triágulo de área míima. PROBLEMA 6: Etre todos los triágulos iscriptos e ua semicircuferecia de cm de diámetro, halle el de área máima. PROBLEMA 7: Etre todos los triágulos isósceles de perímetro, halle el de área míima. PROBLEMA 8: Pruebe que etre todos los úmeros positivos e y que satisface y r, la suma es máima cuado = y. PROBLEMA 9: Si de u disco metálico de radio R quitamos u sector circular podemos costruir e vaso cóico. Determie el sector circular que debemos quitar para que el volume del vaso sea máimo. 56

61 PROBLEMA : Cuál de los putos de la recta de ecuació a by está más cerca del orige? PROBLEMA : Ua carretera que corre de Norte a Sur y otra que lo hace de Este a Oeste se corta e el puto P. U ciclista que se dirige al Este co ua velocidad de km/h pasa por P a las de la mañaa. E el mismo mometo otro ciclista que viaja hacia el Sur co ua velocidad de km/h se ecuetra a km al orte de P. Calcule cuádo se ecuetra los dos ciclistas más cerca el uo del otro. PROBLEMA : U triágulo isósceles pero o equilátero tiee su lado desigual de logitud cm y la altura sobre dicho lado es de 5 cm. Determie los putos sobre esa altura tales que la suma de sus distacias a los tres vértices sea máima y míima respectivamete. PROBLEMA : Cosidere el recito determiado por la gráfica de, el eje de las y las rectas de ecuació =, = a (a fijo). Iscriba allí u rectágulo de área máima. Hay alguo de área míima? y PROBLEMA : Ua compañía de biees raíces es dueña de 8 departametos que se alquila e su totalidad cuado el alquiler es de pesos mesuales. La compañía calcula que por cada pesos de aumeto e el alquiler se desocupa 5 departametos. El gasto que le ocasioa a la compañía cada departameto desocupado es de pesos mesuales, mietras que por cada departameto ocupado el gasto es de pesos mesuales. Cuál es el precio del alquiler por departameto co el que la compañía obtedría la mayor gaacia? PROBLEMA 5: Cosidere la curva y e,. De etre todos los triágulos de vértices (,), (,) y (, y) ecuetre el de área máima. PROBLEMA 6: Cosidere la ecuació Cuátas solucioes tiee si PROBLEMAS VARIOS l k co k real. k? 6 (b) Para qué valores de k hay ua sola solució? PROBLEMA 7: Determie el mayor valor de k para que la desigualdad l k sea verdadera para todo >. 57

62 PROBLEMA 8: Cosidere las fucioes y g( ) l. Pruebe que eiste u úico c > dode los gráficos de ambas fucioes tiee rectas tagetes paralelas e el puto de abscisa =c. Determie u itervalo de logitud meor que que cotega a c. f ( ) e PROBLEMA 9: Halle todos los valores reales de b para los cuales la ecuació b tiee ua sola solució. PROBLEMA : Pruebe la siguiete desigualdad 8 9 e, PROBLEMA : Cosidere el arco de parábola defiido por (, y) R / y ( ), 5. y el puto. Se traza desde P ua recta que iterseca a la curva e el puto Q. Halle las coordeadas de Q para que el triágulo rectágulo limitado por dicha recta, el eje de las y la recta vertical que pasa por Q tega área máima. P (5,) PROBLEMA : Ua fució f satisface la siguiete ecuació diferecial f ( ) f ( ) e, R Pruebe que si f tiee u etremo e etoces es u míimo. (b) Qué pasa si es u puto crítico? PROBLEMA : Cosidere la fució f ( ) e ( 7 ). Ecuetre todos los putos para los cuales la pediete de la recta tagete a la curva y f () resulte míima. PROBLEMA : Para cada N cosidere la fució f ( ). Sea [,] el puto dode f alcaza su máimo absoluto e el itervalo [,]. Calcule, si eiste, lim y lim f ). ( PROBLEMA 5: Cosidere la fució f ( ) e. Haga u gráfico aproimado señalado su domiio, itervalos de crecimieto y de decrecimieto, máimos y míimos locales y asítotas. Determie los valores de c para los cuales la ecuació f ( ) c tiee ua úica solució. 58

63 PROBLEMA 6: De la fució f se sabe que su derivada Ecuetre los etremos locales de f. f ( ) ( ) e (b) Cuál es la catidad máima de ceros que puede teer f? Si se defie h ( ) f ( ), ecuetre los etremos locales de h. se tales que a l tega eacta- PROBLEMA 7: Halle todos los mete dos solucioes. a R PROBLEMA 8: Pruebe que l cualquiera sea el N. PROBLEMA 9: Se dispoe de u alambre de u metro de largo para costruir u cuadrado y u aro. Dóde se debe cortar el alambre para que la suma de las áreas de las dos figuras sea máima? (b) míima? PROBLEMA : Para cada [, ), la recta tagete a la curva y forma co los ejes coordeados u triágulo. Halle el de meor área. Eiste u triágulo de área máima? PROBLEMA : U bañista que se ecuetra adado a 6 metros de ua costa recta pide auilio al guardavidas que se ecuetra e la orilla a metros del bañista. El guardavidas e tierra corre a ua velocidad de, metros por segudo y e el agua ada a, metros por segudo. E qué puto de la playa le coviee arrojarse al agua para llegar al bañista e el meor tiempo posible? Cuáto más tarda si se arroja directamete al agua? Y si corre por la costa hasta quedar efrete del bañista? PROBLEMA : Pruebe que l (), si PROBLEMA : Cosidere la fució poliómica f ( ). Ecuetre dos itervalos cerrados si putos e comú tales que f tega ua úica raíz e cada uo de ellos. PROBLEMA : La lata de ua gaseosa tiee ua capacidad de 5 cm. Si el costo del material de la tapa es el doble que el del resto de la lata, cómo debe ser las dimesioes de la lata para que el costo del material sea míimo? (Supoga que la lata es u cilidro). 59

64 PRÁCTICA 8 TEOREMA DE TAYLOR POLINOMIO DE TAYLOR EJERCICIO : Cosidere la fució f ( ) l( ). Ecuetre u poliomio P() de grado tal que P( ) f (), P() f (), P () f (), P () f (). EJERCICIO : Calcule el poliomio de Taylor de las siguietes fucioes, hasta el orde idicado alrededor de (b) f ( ) orde 5 f ( ) se orde (d) (e) (f) (g) (h) f ( ) se orde 5 f ( ) cos orde 5 f ( ) l orde f ( ) orde f ( ) e orde f ( ) 6 ( ) orde 6 EJERCICIO : Compruebe que el poliomio de Taylor de orde de la fució f ( ) e es P( )...!!!! EJERCICIO : Obtega el poliomio de Taylor de orde de las siguietes fucioes alrededor de =. (b) f ( ) (e) f ( ) f ( ) cos (f) f ( ) cosh f ( ) se (g) f ( ) arctg (d) f ( ) e (h) f ( ) l( ) 6

65 EJERCICIO 5: Cosidere el poliomio q ( ) 8 Halle los poliomios de Taylor de q e = de órdees a 6. 9 (b) Haga lo mismo, si hacer cálculos, para q ( ). EJERCICIO 6: Cosidere el poliomio p ( ) ) (, co atural. Obtega el poliomio de orde e =. (b) A partir de, deduzca la fórmula del biomio de Newto k k k k a b a b a b a b... a b a b! dode k ( k)! k!. (Ayuda: a b b ). a a EJERCICIO 7: Si el poliomio de Taylor de f de orde 5 e = es P ( ) ( ) 5 ( ) ( ) 8 calcule () () f () y f (). (6) (b) Puede coocer el valor de f ()? (6) Cuáto vale f () si el poliomio es de orde 7? EJERCICIO 8: Si el poliomio de Taylor de f de orde e =5 es P ( ) ( 5) 9( 5) Halle el poliomio de Taylor de orde e = de g( ) f (5) (b) Halle el poliomio de Taylor de orde e =5 de h( ) ( ) f ( ) EJERCICIO 9: Los poliomios de Taylor de orde e = de las fucioes f y g so, respectivamete P ( ) ( ) ( ) ( ) y Q( ) 5 ( ) ( ) 7( f ( ) Halle el poliomio de Taylor de orde de t( ) f ( ) g( ) y s( ) e =. g( ) ) 6