Universidad Nacional Autónoma de Honduras Facultad de Ciencias Económicas Guía de Ejercicios No. 2 DET 385, Métodos Cuantitativos III

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1 .: Derivadas de orde superior: La seguda derivada: Uiversidad Nacioal Autóoma de Hoduras Facultad de Ciecias Ecoómicas Guía de Ejercicios No. DET 85, Métodos Cuatitativos III La derivada f '( ) es ua fució que proviee de la fució f( ) mediate difereciació. Difereciado la primera derivada f '( ) se obtiee otra fució, llamada seguda derivada, la d cual se simboliza por f ''( ). E térmios del símbolo de difereciació, se defie la seguda derivada co respecto a como la fució obteida difereciado y f ( ) dos veces d cosecutivas, es decir, d dy f ''( ) d d La seguda derivada se simboliza comúmete por d y f ''( ), y '',, o bie D y d Normalmete, se utiliza las tres primeras otacioes. Ejemplo ilustrativo : Obtega la seguda derivada de 4 y ' y '' y 6 4. Ejemplo ilustrativo : Obtega la seguda derivada de yl( ) e. y ' e ( ) e y '' ( ) e ( ) 4e Derivadas de orde mayor que : Bajo la suposició de que todas las derivadas eiste, puede difereciarse ua fució y f ( ) tatas veces como se desee. La tercera derivada es la derivada de la seguda derivada. La cuarta derivada es la derivada de la tercera derivada, y así sucesivamete. Simbolizamos la tercera y cuarta derivada por: d d y (4) d d y d d d d f '''( ), f ( ) E geeral, si es u etero positivo, etoces la ésima derivada se defie por:

2 f (4) d d y d d ( ) Ejemplo ilustrativo : Obtega las primeras seis derivadas de (4) (5) (6) 4 y ' y '' y''' 80 6 y y y y 6 4. d Ejemplo ilustrativo 4: Ecuetre ua fórmula para e y e dy d e d y 4e d d y 8e d e e d d y d d e e e d Ejercicios.. E los ejercicios del al 6, ecuetre la seguda derivada de la fució dada. ) 4) y ( ) ) t 5 gt () t y 5 0 ) y ( ) 5) f ( ) l e 6) 4 f( ) E los ejercicios del 7 al, ecuetre la derivada idicada. 7) d y 4 5, 4 d d y e, f ( ) ( ), f '''( ) 8) y 9) 5 d y 0) y l( ), 5 ) y d d 5 d y y l( ), 5 d ) (5) g( ), g ( )

3 E los ejercicios del al 8, ecuetre ua fórmula para la derivada idicada. d ) d d d 6) l( ) 4) d d d 5) e d d d d 7) 4 8) e.: Aplicació de la derivada e el trazado de curvas: d Crecimieto y decrecimieto de la fució y putos máimos y míimos locales: U valor crítico c de ua fució f es u úmero real tal que f '( c) 0, o bie f '( c ) o eiste. Ua fució f es creciete e su domiio (o e u itervalo I) si f '( ) 0 para cualquier e el domiio de f (o e el itervalo I). Ua fució f es decreciete e su domiio (o e u itervalo I) si f '( ) 0para cualquier e el domiio de f (o e el itervalo I). Cuado f es creciete, la fució va e asceso, mietras que cuado f es decreciete, la fució va e desceso. Parece razoable que, al haber cambio de crecimieto e u valor crítico c de f e ]a, b[, se produce o bie u puto máimo relativo de f (puto más alto de la gráfica de f e ]a, b[), o bie u puto míimo relativo de f (puto más bajo de la gráfica de f e ]a, b[). Esto puede ilustrarse e u gráfico como el siguiete: Por supuesto, este gráfico úicamete ilustra u caso especial de la propiedad o teorema siguiete: Criterio de la primera derivada: Sea f cotiua y difereciable e ]a, b[, ecepto posiblemete e el valor crítico c. () Si f '( ) 0 (f es creciete) para a < < c y f '( ) 0 (f es decreciete) para c < < b, etoces f tiee u puto máimo relativo e = c. () Si f '( ) 0 (f es decreciete) para a < < c y f '( ) 0 (f es creciete) para c < < b, etoces f tiee u puto míimo relativo e = c.

4 () Si f '( ) tiee el mismo sigo algebraico e a < < c y c < < b, etoces f o tiee etremos relativos o locales e el itervalo ]a, b[. Ejemplo Ilustrativo : Trace la gráfica de la fució f ( ) 9 7. Primero determiamos los valores críticos, ecotrado la primera deriva e igualádola a cero: f '( ) 6 9 ( ) ( )( ) 0 ó. Putos críticos de f:,. Seguidamete, completamos la tabla ayudádoos de los cálculos uméricos, los cuales aparece debajo de la misma. Itervalos Sigo de f '( ) + + Coclusió f es creciete f es decreciete f es creciete Cálculos uméricos: f '( ) ( ) 6( ) f '( 0) ( 0) 6( 0) 9 9 f '( 4) ( 4) 6( 4) Los valores escogidos para realizar los cálculos uméricos so tomados a criterio persoal y el úico requisito que debe cumplir es que caiga e los itervalos especificados, por ejemplo está e el itervalo, 0 e y 4 e. Evaluado la fució e los valores críticos y, se obtiee: f ( ) ( ) ( ) 9( ) f ( ) ( ) ( ) 9( ) Aplicado el criterio de la primera derivada se cocluye que (, ) es u puto máimo relativo de la fució, mietras que (, 0) es u puto míimo relativo de la misma. Co esta iformació ya puede trazarse la gráfica de la fució, pero e este ejemplo particular puede verse que tambié es solució de la fució: f ( ) ( ) ( ) 9( ) Por tato, la fució tiee iterceptos co el eje e los putos (, 0) y (, 0) e itercepto co el eje y e (0, 7). 4

5 Observe que la gráfica de la fució, de acuerdo al criterio de la primera derivada, crece e el itervalo hasta alcazar el máimo relativo o local (, ), para luego decrecer e el siguiete itervalo hasta llegar al valor míimo relativo (, 0), para fialmete crecer uevamete e el itervalo. Ejemplo Ilustrativo : Trace la gráfica de la fució f ( ) ( 4) / / / 4 / / f ( ) ( 4) ( ) 4( ) 4 4 / 4 / 4 / 4( ) f '( ) ( ) / Luego, los valores críticos de f so =, = 0 porque f '( ) 0 y f '( 0) o eiste. Seguidamete completamos la tabla ayudádoos de los cálculos uméricos, los cuales aparece debajo de la misma. Itervalos 0 0 Sigo de f '( ) + Coclusió f es decreciete f es decreciete f es creciete Cálculos uméricos: 4( ) 8 f '( ).67 / ( ) / 4( 0.5 ) 4( 0.5) 4( 0.5) 4( 0.5) / / / f '( ) ( ) ( ) ( ) 4( 8 ) 8 7 f '( 8). / 8 () Alguos valores de f: f ( 0) 0, f ( ), f ( 4) 0. 5

6 Observe que la gráfica de la fució f decrece e el itervalo 0, pero tambié decrece e el itervalo 0, es decir, o hay cambio de crecimieto al pasar por 0 y de acuerdo al criterio de la primera derivada o hay u puto etremo relativo (i máimo i míimo) e ese valor crítico 0. La fució f sigue decreciedo hasta llevar al puto míimo relativo o local (, ), para fialmete crecer e el itervalo. Además, la gráfica corta al eje e el puto (4, 0). Observe que cerca de 0la gráfica de f es casi vertical, debido a que e ese valor la derivada de f o eiste. E geeral, cuado la derivada de ua fució o eiste e u puto, la gráfica es casi vertical (tagete co pediete ifiita) o bie preseta u puto e forma de puta de aguja. Cocavidad y putos de ifleió. Hasta ahora sólo hemos dibujado la gráfica de la fució si precisar e su curvatura, imagiádoos, e forma atural, la orietació y curvatura de la misma. E los dos ejemplos ateriores, miramos que hay tramos de la curva que se asemeja a ua atea parabólica, uas veces orietada hacia el cielo (cócava hacia arriba) y otras veces hacia la tierra (cócava hacia abajo). 6

7 Criterio de la seguda Derivada: Sea f ua fució tal que f eiste e u itervalo ]a, b[, que cotiee al úmero crítico c. a) Si f (c) > 0, etoces ( c, f ( c)) es u puto míimo relativo de f. b) Si f (c) < 0, etoces ( c, f ( c)) es u puto máimo relativo de f. Tato el criterio de la primera derivada como el criterio de la seguda derivada so útiles para determiar etremos relativos, cada uo de ellos tiee vetajas y desvetajas. Para fies gráficos utilizaremos el criterio de la primera derivada y para fies de resolver problemas aplicados utilizaremos el criterio de la seguda derivada, dado que e el primer caso además de hallar los valores etremos de paso ecotramos los itervalos de crecimieto y decrecimieto, mietras que e el segudo caso úicamete os iteresa los valores que maimiza o miimiza determiada fució resultado de ua aplicació. 4 Ejemplo ilustrativo : grafique la fució f ( ) f '( ) 4 4 4( ) ( )( ) 0 Valores críticos de f :, 0, f ''( ) ó Posibles putos de ifleió : , Seguidamete, completamos las siguietes tablas co la ayuda de los cálculos uméricos, los que aparece debajo de las mismas. Itervalos 0 0 Sigo de f '( ) + + Coclusió f es decreciete f es creciete f es decreciete f es creciete Itervalos Sigo de ''( ) Coclusió f + + f es cócava f es cócava hacia arriba hacia abajo f es cócava hacia arriba 7

8 f f f f Cálculos uméricos: '( ) 4( ) 4( ) ' 4 4 ' '( ) 4( ) 4( ) 8 4 f ''( ) ( ) f ''( 0) ( 0) f "( ) ( ) f ( ) 0, f ( 0), f ( ) 0 f, f De la primera tabla y del criterio de la primera derivada podemos cocluir que (, 0) y (, 0) so míimos relativos de la gráfica de f. 4 4 De la seguda tabla podemos cocluir que, y, so putos de ifleió de la 9 9 gráfica de f. Co toda esta iformació ya podemos trazar la gráfica de f. La fució va decreciedo y permaece cócava hacia arriba hasta llegar al puto míimo local (, 0), de aquí sigue siedo cócava hacia arriba pero empieza a crecer y, e el puto 4 de ifleió,, sigue siedo creciete pero cambia a cócava hacia abajo. Después 9 8

9 sigue creciedo y es cócava hacia abajo hasta llegar al puto máimo local (0,) e dode se vuelve decreciete y cotiúa siedo cócava hacia abajo hasta llegar al puto de ifleió,, cambiado a cócava hacia arriba. La fució cotiua decreciedo si 4 9 cambiar cocavidad hasta llegar al míimo local (, 0), de ahí e adelate cotiúa creciedo y es cócava hacia arriba. 8 Ejemplo ilustrativo 4: grafique la fució f( ) ( )8 8( ) ( ) ) ) ) ) f '( ) ( ( ( ( Valores críticos de f :, ) ( ) ) ( ( ) ( )[ ( )] f ''( ) [( ] ) 6 ( ) 6 4 ) ( ( ) ( ) ( ) f ''( ) ( 6( ) [( ) ( )] 6( ) f ''( ) 4 ( ) ( ) 6( ) 6( )( ) f ''( ) f ''( ) ( ) ( ) Posibles putos de ifleió de f e :, 0 Seguidamete, completamos las siguietes tablas co la ayuda de los cálculos uméricos, los que aparece debajo de las mismas. Itervalos ], [ ], [ ], [ Sigo de f '( ) + Coclusió f es decreciete f es creciete f es decreciete Itervalos ], [ ], 0 [ ], 0 [ ], [ Sigo de f ''( ) + + Coclusió f es cócava hacia abajo f es cócava hacia arriba f es cócava hacia abajo f es cócava hacia arriba 9

10 f f f 8[ ( ) ] 4 '( ) [( ) ] 5 Cálculos uméricos: 8[ (0) ] ' 0 8 [(0) ] ' 8[ () ] 4 [() ] 5 6( )[( ) ] f ''( ) [( ) ] 5 6( )[( ) ] f ''( ) 4 [( ) ] 8 6( )[() ] f ''( ) 4 [() ] 8 f "( ) 6( )[() ] [() ] 5 0 8( ) 8 f ( ) 4, puto míimo local : (, 4) ( ) 8() 8 f ( ) 4, puto máimo local : (, 4) 8( ) 8 f ( ) 4 ) Putos de ifleió : f () 8( ) 8 f ( ) 4 8( ,, (, ),, 8 8 / l í m f ( ) l í m f ( ) l í m l í m 0 / Por tato, y 0 es ua asítota horizotal. Debido a que e este ejercicio hay muchos valores críticos y putos de ifleió presetamos previamete, ates de hacer la gráfica, ua tabla resume dada a cotiuació: Itervalo Tabla resume: Coclusió

11 ], [ f es decreciete y cócava hacia abajo Puto de ifleió:, ], [ ], 0 [ 0 f es decreciete y cócava hacia arriba Puto míimo local: (, 4) f es creciete y cócava hacia arriba Puto de ifleió: (0, 0) ] 0, [ f es creciete y cócava hacia abajo Puto máimo local: (, 4) ], [ f es decreciete y cócava hacia abajo Puto de ifleió:, ], [ f es decreciete y cócava hacia arriba E los ejercicios siguietes utilice criterio de la primera derivada para determiar los Itervalos dode la fució es creciete o decreciete y ecotrar los putos máimos y míimos relativos, si eiste. Determie asimismo, de acuerdo a los sigos de la seguda derivada, los itervalos dode la fució es cócava hacia arriba y dode es cócava hacia abajo, así como los putos de ifleió, si eiste. Si es posible, ecuetre las iterseccioes co los ejes coordeados. Fialmete, co toda esta iformació trace la gráfica de la fució. ) 4 f ( ) 4 ) 5 4) 5 8 g() t 5) 7) 6 5 0) ) f () t 8) f ( ) ) f ( ) ( ) / f ( ) 6) f ( ) ( 5 ) f( ) 9) f ( ) f ( ) ) / f ( ) ) f ( ) ( 7) / 7( 6) 4( 4 6) f ( ) ( 7), Ayuda : f '( ), f ''( ) / 5 / 7( 7) 9( 7)

12 4) f ( ) e 5) f ( ) l( ) 6).: Aplicació de máimos y míimos a la ecoomía: f( ) Para resolver problemas aplicados a la ecoomía como fucioes de igreso, costo, costo promedio y utilidad se utiliza los coceptos matemáticos ateriormete tratados, co la fialidad de obteer el costo míimo a determiado ivel de producció de uidades. O bie se puede estar iteresado e el igreso o utilidad óptimos y a que ivel de producció se obtiee. Ua vez que se ecuetra los valores críticos, utilizaremos el criterio de la seguda derivada para determiar si este valor obteido correspode a u valor máimo o míimo relativo de la fució. Ejemplo ilustrativo : Ua compañía estima que puede veder su producto a u precio uitario de p = lempiras y al producir uidades auales teer u costo total de C() = lempiras. Ecuetre el ivel de producció que maimiza la utilidad total al año, si: a) No eiste restriccioes de producció. b) Co sus máquias actuales tiee ua producció aual máima de 500 uidades. Ecotraremos primeramete la fució igreso, sabiedo que el igreso es el producto del precio p por la catidad. Es decir, R() = p = (00 0.5) = lempiras. Tambié sabemos que la utilidad U se defie como la diferecia etre el igreso y el costo: U() = R() C() = ( ) ( ) U() = = Por lo tato, U () = y la ecuació = 0 tiee la solució = uidades. Toca ahora averiguar si se trata realmete de u valor máimo relativo. a) Como o hay restriccioes de producció y > 0 aplicamos el criterio de la seguda derivada. U () = 0.98 y U (65) = 0.98 < 0, que segú el criterio de la seguda derivada, la utilidad U tiee u máimo relativo e = 65 y la utilidad máima es de 59,47.65 lempiras. b) Como se tiee ua producció aual máima de 500 uidades, se tiee que y 65 o está e este itervalo, así que los úicos putos que puede califica para maimizar la utilidad so = 0 y = 500. Si = 0, la compañía debe abadoar su egocio pues debe dejar de producir su producto y además U(0) = 4000 sigifica ua pérdida. Luego, el máimo ocurre e = 500 y la utilidad máima es U(500) = 55,750 lempiras

13 Ejemplo ilustrativo : Si la fució de costo para cierto producto es C() = +,500, ecuetre el costo promedio míimo., 500, 500 C( ), 500 C '( ) 0, ó 50 El valor = 50 lo descartamos porque las uidades de debe ser positivas. Luego, si ocurre u míimo e el costo promedio, este debe ser e =50. Aplicado el criterio de la seguda derivada teemos: C ''( ) C ''( ) Como la seguda derivada, evaluada e el valor crítico, resulta positiva, se trata de u valor míimo del costo promedio. Por lo tato,, 500 C( 50) lempiras es el costo promedio míimo. 50 Sabemos que el igreso se defie por: R() = p, dode p es tambié fució de la catidad. Al derivar el igreso co respecto del precio p se obtiee el resultado siguiete: dr d p d p d p ( ) dp dp dp dp Dode el térmio p d se represeta por la letra griega y recibe el ombre de elasticidad de la demada. Además se satisface la relació dp siguiete: Cambio porcetual e demada 00( / ) p p d Cambio porcetual e precio 00( p / p) p dp Depediedo del valor que toma se tiee las defiicioes siguietes: ) Si <, se dice que la demada es elástica. ) Si < < 0, se dice que la demada es ielástica. ) Si =, se dice que la demada es uitaria. Cosideremos ahora la derivada del igreso respecto a : dp dp dp p d R'( ) p p p p p p d p d p d dp d dp Coviee hacer otar que. dp d Si la demada es elástica, etoces <,, por lo que 0. Si la demada es ielástica, etoces < < 0, 00, por lo que 0. Si la demada es

14 uitaria, 0. Supogamos que p > 0. De la ecuació R'( ) p cocluimos que R'( ) 0 e el itervalo dode la demada es elástica; por tato, el igreso total R() ahí es creciete. Por otra parte, el igreso margial R'( ) 0 e el itervalo dode la demada es ielástica; por tato, el igreso total R() ahí es decreciete. Para ua demada uitaria R'( ) 0, por tato, el igreso total R() ahí es costate, o depede del precio i de la catidad porque ambos aumeta e la misma proporció. Del aálisis aterior obteemos los siguietes resultados: () Si la demada es elástica, etre más uidades se veda, el igreso total del comerciate aumeta. Además, si el precio dismiuye, el igreso total aumeta y si el precio aumeta, etoces, el igreso total dismiuye. () Si la demada es ielástica, etre más uidades se veda, el igreso total del comerciate dismiuye. Además, si el precio dismiuye, el igreso total dismiuye y si el precio aumeta, etoces, el igreso total aumeta. () Para ua demada uitaria, u aumeto o ua dismiució tato del precio como de la catidad o modifica el igreso total. Ejemplo ilustrativo : Para la ecuació de demada p = 500, verifique que la demada es elástica y el igreso total es creciete para 0 < < 5. Verifique tambié que la demada es ielástica y el igreso total es decreciete para 5 < < 50. dp d p 500 d dp p d p p dp a) Por ejemplo, para = 00, 5.. Es (00) (00) 00 decir, 0 < < 5 <. Por tato, la demada es elástica y de acuerdo al resultado (), el igreso es creciete. b) Por ejemplo, para = 00, (00) (00) Por tato, 5 < < 50 < < 0. Es decir, la demada es ielástica y segú el resultado (), el igreso es decreciete. E cada uo de los ejercicios siguietes, p es el precio uitario y es la catidad producida por uidad de tiempo, a meos que se especifique otra cosa. Los costos fijos se refiere a costos que permaece costates bajo cualquier ivel de producció e u período determiado (u ejemplo de ello es el alquiler). ) Ua empresa dispoe de L.,000 para cercar ua porció de terreo adyacete a u río utilizado a este como u lado del área cercada. El costo de la cerca paralela al río es de

15 5 lempiras por pie lieal istalado y el costo de la cerca para los otros dos lados restates es de 5 lempiras por pie lieal istalado. Halle las dimesioes del área máima cercada. ) (Costo promedio) U fabricate ecuetra que el costo total C de producir determiado artículo está dado por la fució: C() = Para que ivel de producció será míimo el Costo promedio por uidad? ) (Gastos de u automóvil) El costo por hora C de operar u automóvil está dado por C(v) = 0.v 0.0v , 0 v 60, dode v es la velocidad e millas por hora. A qué velocidad es el costo por hora u míimo? 4) (Igreso) La ecuació de demada para u moopolista es p = 0 5. A qué precio se maimiza el igreso? 5) (Igreso) La ecuació de demada para u moopolista es: 0.0 p 0, 000e Ecuetre el valor de p para el cual se obtiee el igreso máimo. 6) (Utilidad) El costo fijo mesual de operar ua plata maufacturera de muebles se 8,000 lempiras y hay u costo variable de 0 lempiras por uidad producida. El fabricate estima que la fució de demada mesual de muebles está dada por la ecuació: p 00. a) Escriba epresioes para las fucioes de costo C(), igreso R() y utilidad U(). b) Ecuetre el valor de que maimiza la utilidad. c) Ecuetre el valor (e lempiras) de la utilidad máima y grafique la fució de utilidad. 7) (Costo margial) El costo total de producir y veder uidades de ua mercacía e particular está dada por: C() = 9 + +,000 5

16 Ecuetre: a) El ivel de producció para el cual el costo margial es míimo. b) El costo margial míimo. 8) (Costo promedio) El costo total de producir y comercializar uidades de cierta mercacía está dada por: 80, C ( ) 40, 000 Para que valor de es míimo el costo promedio? 9) (Utilidad) La fució de demada para u producto es: y la fució de costo es: p = C() = A qué ivel de producció se maimiza la utilidad? A qué precio ocurre esto y cuál es la utilidad? 0) (Utilidad) Para u moopolista, el costo uitario es de lempiras y la ecuació de demada es: 0 p Cuál es la catidad que dará la utilidad máima? A qué precio ocurre esto y cuál es la utilidad? ) (Utilidad) Para u moopolista, la demada de u producto es: y la fució de costo promedio es: p = 4 4 C ( ) Ecuetre el precio que maimiza la utilidad. ) (Utilidad) Para u moopolista, la demada de u producto es: y la fució de costo promedio es: p 50 C ( ) , 000 Ecuetre el precio y el ivel de producció que maimiza la utilidad. A este ivel, demuestre que el igreso margial es igual al costo margial. 6

17 ) (Utilidad) U fabricate puede producir cuado mucho 0 uidades de cierto artículo cada año. La ecuació de demada para este producto es: y la fució de costo promedio es: p = 00 +,00 0, 000 C( ) 40 Determie de producció dode se alcaza la utilidad máima y el valor de la misma. 4) (Costo) U comerciate ha determiado que, para cierto producto, el costo promedio C por uidad está dado por: 00 C( ) 6 0, dode 0. a) A qué ivel detro del itervalo [, 0] debe fijarse la producció para miimizar el costo total? Cuál es el costo total míimo? b) Si la producció tuviese que ecotrarse detro del itervalo [5, 0], Qué valor de miimizará el costo total? 5) (Igreso) Ua empresa de cable de televisió tiee 5,000 suscriptores que paga cada uo 50 lempiras mesuales, puede coseguir,000 suscriptores más por cada 0 lempiras meos e la reta mesual. Cuál será la reta que maimiza el igreso y cuál será ese igreso? 0( 5, 000) Ayuda: El uevo precio (reta) está dado por: p ( ) 50, 000 6) (Utilidad) La ecuació de demada para el producto de u moopolista es: y la fució de costo total es: p = C( ). a) Ecuetre la producció y el precio que maimizará la utilidad y determie la utilidad correspodiete. b) Si el gobiero impoe u impuesto de lempiras por uidad al fabricate (que se agregaría al costo total), Cuáles será etoces la producció y el precio que maimizará la utilidad? Cuál es ahora la utilidad? c) Supoga que el gobiero, además del impuesto de lempiras por uidad le impoe al fabricate ua cuota de 00 lempiras por licecia de operació. Esta es ua catidad global idepediete de la producció. Demuestre que el precio y la catidad permaece iguales. Si embargo, idique por qué se tedrá ua meor utilidad. 7) (Elasticidad de la demada) Para la ecuació de demada lieal p = Determie si la demada es ielástica, elástica o de elasticidad uitaria, a los siguietes iveles de precios: a) p = 0, b) p = c) p =

18 8) (Elasticidad de la demada) Para qué valor (o valores) de tiee elasticidad uitaria las siguietes ecuacioes de demada? a) p = b) p =,00. 9) (Elasticidad de la demada) La ecuació de demada para u producto es: = p + p dode p es el precio (e lempiras) y es la catidad demadada (e miles). Ecuetre la elasticidad de la demada cuado p = 5. Si el precio de p = 5 se icremeta 0.5%, Cuál es el cambio aproimado e la demada? 0) (Elasticidad de la demada) La ecuació de demada para cierto producto es: p, 500, dode p es el precio. Ecuetre la elasticidad de la demada cuado p = L.0 y use este valor para calcular el cambio porcetual aproimado de la demada si el precio de L.0 se baja a L ) (Elasticidad de la demada) La ecuació de demada para el producto de u fabricate es: p a) Verifique que = 0 cuado p =. 00 6, b) Determie la elasticidad de la demada cuado p =. Es la demada elástica, ielástica o tiee elasticidad uitaria e ese puto? c) Si el precio (cuado p = ) dismiuye e u %, Cuál es el úmero aproimado de uidades e que la demada cambia? d) Si el precio (cuado p = ) dismiuye e u %, el igresos total crecerá, dismiuirá o permaecerá costate? ) (Elasticidad de la demada) Dada la ecuació de demada: ( + p ) = p, determie de la demada cuado p = 9. ) (Elasticidad de la demada) La ecuació de demada de u producto es: 60 l( 65 p ). p a) Determie la elasticidad de la demada cuado p = 4 y clasifíquela como demada elástica, ielástica o de elasticidad uitaria a este ivel de precio. b) Si el precio dismiuye el % (de L. 4 a L..9), utilice la respuesta de la parte a) para estimar el cambio porcetual correspodiete e la catidad vedida. c) Resultará los cambios e la parte b) e u icremeto o e ua dismiució e el igreso? Eplique su respuesta. 4) (Elasticidad de la demada) U fabricate de puertas de alumiio puede veder actualmete 500 puertas por semaa al precio de L. 800 cada ua. Si el precio se baja a L

19 cada ua podría vederse 50 puertas adicioales por semaa. Estime la elasticidad actual de la demada para las puertas y tambié el valor actual de la fució de igreso margial del fabricate. 5) Dada la ecuació de demada: p =,000 -, dode 5 0, Para que valor de es u máimo? Para qué valor es u míimo? 6) Dada la ecuació de demada: p 00 5, dode 5 95, Para que valor de es u máimo? Para qué valor es u míimo?.4: Difereciació implícita. La difereciació implícita es ua técica para difereciar fucioes que o está e la forma usual y = f(). Cuado teemos ua ecuació e las variables e y, e dode, posiblemete, o se pueda despejar y e térmios de, coviee supoer que y es al meos, ua fució de (podría suceder que eistiera más de ua fució o igua). Por ejemplo e la ecuació + y = 9 eiste dos fucioes eplícitas de que so: 9 9 y, y. E cambio, e la ecuació + y + 9 = 0 o eiste igua fució eplícita de porque la suma de tres úmeros reales o egativos uca es cero (ecluiremos este caso e uestro aálisis). Si calculamos la derivada de / 9 9 y ( ) / 9 9 y 9 y de y 9, obteemos: / / y ' ( 9 ) ( ) ( 9 ) 9. ( ) / 9 y y ( ) / / y ' ( 9 ) ( ) ( 9 ) ( ) 9. ( ) / 9 y Por tato, partiedo de cualquiera de las fucioes eplícitas llegamos al resultado: 9

20 y ' y Podemos llegar al mismo resultado, si supoemos, como dijimos ateriormete que y es al meos ua fució de y recordar esto cada vez que derivamos ua epresió e la variable y tambié debe derivarse y, es decir, se debe de aplicar la regla de la cadea. Por ejemplo, Dode Ejemplo ilustrativo : Ecuetre D ( ) '. y yd y y y D represeta la derivada co respecto a. y ' por difereciació implícita si + y = 9. Procedemos de la forma siguiete: D ( y ) D ( 9) D ( ) D ( y ) 0 Derivado ambos miembros Derivada de ua suma, la derivada de ua costate es 0 y y ' 0 Derivado y aplicado la regla de la cadea al derivar y y ' y y Por tato, y ' y Despejado y simplificado Observe que obtuvimos el mismo resultado que ecotramos ateriormete. Este trabajo para hallar la derivada lo podemos sistematizar de la maera siguiete: Procedimieto para difereciació implícita: E ua ecuació que defie implícitamete a y como ua fució difereciable de, la dy derivada y ' D y puede ecotrarse como sigue: d () Difereciar ambos miembros de la ecuació co respecto a. (Aplicar D e ambos lados). () Agrupe todos los térmios que cotega y ' e u miembro de la ecuació y agrupe los demás térmios e el otro miembro. () Tome y ' como factor comú e el miembro que cotiee los térmios (4) Despeje y '. y '. 0

21 Ejemplo ilustrativo : Ecuetre dy d si 4 y + 7= y 4. 4 ( 4 7) ( ) D y D y Derivado ambos miembros D ( ) D ( y ) D ( ) D ( y ) Derivada de ua suma D ( y ) y D ( ) y y ' Deriv. de potecia, prod. y cadea ( y ' y ( y y ' Deriv. de potecia y regla cadea 4 y) ) y y ' y y y ' Efectuado productos idicados y y y y ' y ' Agrup. térm. co y ' e u miembro y) Tomado y y '( y y ' como factor comú y ' y dy y d y Despejado para y '. Ejemplo ilustrativo : Ecuetre la ecuació de la recta tagete a la curva = (y ) e el puto (, ). Observe que (, ) es u puto de la curva dada. Necesitamos ecotrar la pediete de la recta tagete, es decir, la derivada y ' evaluada e el puto (, ). D ( ) D ( y ) Derivado ambos miembros ( y ) D ( y ) Derivada de potecia y regla cadea ( y ) D y D ( ) Derivada de ua resta ( y ) y ' Regla cadea y Derivada de potecia

22 4 y 4 4 y 4 4 ( y ) y ' ( y ) Efectuado productos idicados y ' y ' y Efectuado productos idicados dy y ' y ' y Agrup. térm. co e u miembro d dy y ' y como factor comú d y 4 4 Tomado 4 4 y dy y y ' d dy d (, ) ( ) ( )( ) ( ) y y m( ) 7 ( ) ( ) y 7 ( ) ( ) y y ) E los ejercicios siguietes del (a) al (w), ecuetre dy d a) ) Si 9 4 y b) d) y c) Despejado para y ' por difereciació implícita. 5 4 / / y e) 4 9 y 6 f) y / / g) y 4 h) j) y 4 0 y 8 i) y y k) y y 0 l) y y 4 m) y y 0 ) y 5y 0 ñ) 4 y o) y y p) y y 9 4 q) y y l( ) 5 y r) y l( ) e s) y l( y) 5 t ) e y u) y y, a y b costates v) y l( y ) w) ( e ) l( y) a b y y 4, ecuetre dy ) Si y y, ecuetre dy d d e el puto (, ). e el puto (, ). 4) Ecuetre la pediete de la recta tagete a la gráfica de la hipérbola 9y 6 44 e el puto (0, 4) y tambié e el puto (a, b). 5) Ecuetre la pediete de la tagete a la gráfica ( 64 y ) y e el puto (, 0).

23 6) Ecuetre la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la curva (, ). 8 y e el puto 7) Ecuetre la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la curva puto (, ). y y e el 8) (Propesió margial al cosumo) Los Ahorros S de u país se defie implícitamete e térmios de su igreso acioal I por medio de la ecuació: 4 S, S I I I dode S e I está dados e miles de milloes de lempiras. Ecuetre la propesió margial al cosumo cuado I = 6 y S =. dc ds Ayuda: C + S = I o bie, dode S es el ahorro y C es el cosumo. di di.5: Difereciació logarítmica. Eiste ua técica deomiada difereciació logarítmica, que a meudo simplifica la difereciació de y = f() cuado f() cotiee productos, cocietes o potecias. El procedimieto es como sigue: Procedimieto para difereciació logarítmica: Para difereciar y = f(). () Tome el logaritmo atural de ambos miembros de la ecuació. Esto resulta e l(y) = l[f()] () Simplifique L[f()] por medio de las propiedades de los logaritmos: (a) l(ab) = l(a) + l(b) (d) l() = 0 (b) l A = l(a) l(b) B (e) l(e) = B (c) l A = B l(a) (f) l(e ) = y ' () Diferecie ambos miembros co respecto a. No olvidar que D [l( y)] por la regla y U'( ) de la cadea y recordar que D l[ U( )] para toda fució U difereciable e U( ) la variable. (4) Despeje y '. (5) Eprese su respuesta úicamete e térmios de. Es decir, debe sustituir la variable y por la fució f().

24 Ejemplo ilustrativo : Ecuetre l( y) l ( ) 5 y ' si 4 y 4 ( ) l( y) l ( ) l logaritmo de u cociete, regla ( b) 4 / 5 5 l( y) l ( ) l ( ) escribiedo como potecia 4 / 5 l( y) l ( ) l ( ) l ( ) logaritmo de u producto, regla ( a) 5. tomado logaritmos e ambos miembros l( y) 4l ( ) l ( ) l ( ) logaritmo de ua potecia, regla ( c) 5 l( y) 4l ( ) l ( ) l ( ) elimiado sigos de agrupació Ahora que teemos todas las epresioes simplificadas, procedemos a difereciar ambos miembros de la última ecuació. D l( y) D 4l ( ) l ( ) l ( ) 5 5 D l( y) 4 D [l ( )] D [l ( )] D [l ( )] y ' 4 y 5 y ' 8 y 5( ) Fialmete, despejamos y ', sustituyedo la variable y por su epresió origial e térmios de la variable. 8 y' y 5( ) 4 ( ) 8 y ' 5 5( ) Ejemplo ilustrativo : Ecuetre y ' si y. Tomado logaritmos e ambos miembros y simplificado: 4

25 l( y) l l( y) l l( y) [l( ) l( )] l( y) [ 0 l( )] l( y) l( ) Derivado ambos lados y tomado e cueta la derivada de u producto se obtiee: Despejado para y ' ( )l( ) y y ' l( ) y y ', resulta: 5 y ' y l( ) y' l( ) Ejemplo ilustrativo : Ecuetre la ecuació de la recta tagete a la curva e el puto e que =. y e Ecotramos primero la derivada de y utilizado difereciació logarítmica: l( y) l e l( y) l e l l( y) ( )l( e) l( ) l( y) ( )( ) l( ) l( y) l( ) y ' ( ) l( ) y y ' l( ) y y ' l( ) y y ' y l( ) y ' e l( )

26 Si =, etoces y = y y '. Luego la ecuació de la recta tagete a la curva estará dada por: y y m( ) y y ( ) y ( ). E los ejercicios del (a) al (l) ecuetre y ' por difereciació logarítmica. a) c) e) g) i) y ( ) ( )( ) b) y ( ) ( )( ) y ( ) ( ) d) y ( 4 ) f) y ( ) y y y 5 ( ) ( ) ( ) h) j) y y 9 5 ( ) k) y ( )( ) l) y 0( ) e. E los ejercicios del (a) al (h) ecuetre y '. a) e) y b) ( ) y f) y c) y ( ) d) y y g) y e h) y[ l( )] e. ( ) Si y( ), ecuetre dy cuado =. d 4. l( ) Si y[ l( )], ecuetre dy cuado = e. d 5. Ecuetre la ecuació de la recta tagete a la curva e que = 0. y ( )( ) ( ) e el puto 6. Ecuetre la ecuació de la recta tagete a la curva y e ( ) e el puto para el cual =. 7. Ecuetre la ecuació de la recta tagete a la curva y e ( ) e el puto para el cual =. 6

27 8. Si y, ecuetre dy cuado =. d 9. (Elasticidad de la demada) La ecuació de demada de u producto es: p50( 0 ) dp a) Demuestre que d cuado se demada 00 uidades. Utilice difereciació logarítmica. b) Co el resultado de la parte a), determie la elasticidad de la demada cuado se demada 00 uidades. A este ivel, es la demada elástica, ielástica o es de elasticidad uitaria? c) Utilice el resultado de la parte b) para estimar el precio por uidad si la demada dismiuye de 00 a 88 uidades. d) Si la demada actual es de 00 uidades, deberá el fabricate aumetar o dismiuir el precio para icremetar el igreso? Justifique su respuesta..5: Difereciales. Sea y ua fució difereciable de y sea d u cambio e, dode puede ser cualquier úmero real. Etoces, la diferecial de y, simbolizada dy o d[f()], está defiida por: dy f '( ) d f '( ) Observe que dy es ua fució de dos variables, es decir, depede de y tambié de d. Esto puede iterpretarse geométricamete. E la figura siguiete, el puto P(, f()) está sobre la ecuació y = f(). Supogamos que se icremeta e u úmero real, esto es, cambia al uevo valor. Etoces, el uevo valor de la fució es f ( ) y se obtiee u uevo puto sobre la curva, el puto Q(, f ( ) ). 7

28 Por P pasa ua recta horizotal y por Q ua recta vertical, ambas se iterseca e el puto S. La recta tagete a la curva y = f() e el puto P, iterseca al segmeto QS e el puto R., formado el triágulo rectágulo PRS. Observe que dy = RS, es la logitud del cateto vertical; mietras que y QS, es la logitud del segmeto vertical más largo que correspode al cateto vertical del triágulo rectágulo PQS. Observe además que la pediete de la recta tagete a la curva y = f() e el puto P está dada por RS PS y que PS. Por lo tato, RS dy RS PS f '( ) f '( ) d PS Auque y y dy tiee diferete logitud, cuado es pequeño, dy es ua buea aproimació de y y podemos establecer las siguietes fórmulas: () d () dy y () dy f ( ) f ( ) (4) f ( ) f ( ) dy El símbolo sigifica que so valores que está muy cercaos. Para fies prácticos, las fórmulas () y (4), para valores pequeños de d, sirve para dar ua buea estimació tato de y como de f ( ). Ejemplo ilustrativo : Si y = ( + ) 5, ecuetre dy e térmios de y d. Luego evalúela cuado = y dy f '( ) d ( ) ( ) d ( ) d dy(,. ) ( )[( ) ] (. ) ( )(. ). Ejemplo ilustrativo : Dada la fució de igreso R() = 4, , utilice difereciales para ecotrar el cambio aproimado e el igreso si el úmero de uidades se icremeta de = 50 a = 5. Ecuetre además el cambio eacto. El cambio aproimado e el igreso es: dr R'( ) d ( 4, ) d dr(, ) [, ( ) ( ) ]( ), lempiras El cambio eacto e el igreso es: R 0, 99 00, 000, 99 lempiras. 8 R [ 4, 000( 5) 50( 5) ( 5) ] [ 4, 000( 50) 50( 50) ( 50) ]

29 Ejemplo ilustrativo : Utilice difereciales para estimar el valor aproimado de l(.0). =, d =.0 y f() = l(). dy f '( ) d d f ( ) l( ) 0 l(. 0) f ( ) dy(, 0. 0) dy(, 0. 0) ( 0. 0) 0. 0 l(. 0) El valor obteido e ua calculadora es l(. 0) ) E los ejercicios siguietes del (a) al (l), ecuetre la diferecial de la fució dada e térmios de y d. a) y b) y 5 c) y d) f ( ) e) g) j) f ( ) e h) f( ) k) f ( ) ( ) f) f ( ) ( ) e i) f( ) l) f ( ) l( ) f( ) l ) E los ejercicios siguietes del (a) al (f), ecuetre dy y y para los valores de y d dados. a) y 4 7;, d 0. 0 b) 4 5 ; 0 5 f( ) 6 ; 0 0 y, d. c) y, d. d) y ( ) ;, d 0. 0 e) 5 f) y l( ); 5, d 0. y ; 4, d 0. ) Sea 5 f( ), a) Evalúe f(). b) Utilice difereciales para estimar el valor de f '(. ). 4) Sea f ( ), a) Evalúe f(). b) Utilice difereciales para estimar el valor de f '( 0. 98). 5) E los ejercicios del (a) al (h) aproime cada epresió por medio de difereciales: a) 99 b) c) 4 80 d) 5 05 e) l( 0. 98) f) l(. 0) g) e h) 0.0 e