Universidad Nacional Autónoma de Honduras Facultad de Ciencias Económicas Guía de Ejercicios No. 2 DET 385, Métodos Cuantitativos III

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1 : Derivadas de orde superior: Elaborada por: Wilfredo Saravia M Uiversidad Nacioal Autóoma de Hoduras Facultad de Ciecias Ecoómicas Guía de Ejercicios No DET 85, Métodos Cuatitativos III E los ejercicios del al 6, ecuetre la seguda derivada de la fució dada ) y ( + ) ) t + 5 ) gt () t y ) y ( ) f( ) l e + 6) f( ) + 5) ( ) E los ejercicios del 7 al, ecuetre la derivada idicada 7) 6 5 d y 5, d y e, f ( ) ( + ), f '''( ) 8) y + 9) d y 0) y l( ), 5 ) y 5 y l( ), 5 d y 5 ) (5) g( ), g ( ) E los ejercicios del al 8, ecuetre ua fórmula para la derivada idicada d ) ( ) d 6) [ l( )] ) d d d 5) ( e ) d 7) ( + ) 8) ( e ) : Aplicació de la derivada e el trazado de curvas: E los ejercicios siguietes utilice criterio de la primera derivada para determiar los Itervalos dode la fució es creciete o decreciete y ecotrar los putos máimos y míimos relativos, si eiste Determie asimismo, de acuerdo a los sigos de la seguda derivada, los itervalos dode la fució es cócava hacia arriba y dode es cócava hacia abajo, así como los putos de ifleió, si eiste Si es posible, ecuetre las iterseccioes co los ejes coordeados Fialmete, co toda esta iformació trace la gráfica de la fució ) f ( ) ) 5 ) 5 8 g() t 5) 7) 6 5 0) ) f() t + 8) 6 8 f ( ) ) f( ) ( ) 5 8 / f ( ) 6) f ( ) ( 5 ) f( ) + + 9) f( ) + f( ) ) / f( ) ) f( ) ( 7) / 7 ( 6) ( + 6) f( ) ( 7), Ayuda: f '( ), f ''( ) / 5/ 7( 7) 9( 7)

2 ) f( ) e 5) f ( ) l( + ) 6) : Aplicació de máimos y míimos a la ecoomía: f( ) + E cada uo de los ejercicios siguietes, p es el precio uitario y es la catidad producida por uidad de tiempo, a meos que se especifique otra cosa Los costos fijos se refiere a costos que permaece costates bajo cualquier ivel de producció e u período determiado (u ejemplo de ello es el alquiler) ) Ua empresa dispoe de L,000 para cercar ua porció de terreo aacete a u río utilizado a este como u lado del área cercada El costo de la cerca paralela al río es de 5 lempiras por pie lieal istalado y el costo de la cerca para los otros dos lados restates es de 5 lempiras por pie lieal istalado Halle las dimesioes del área máima cercada ) (Costo promedio) U fabricate ecuetra que el costo total C de producir determiado artículo está dado por la fució: C() Para que ivel de producció será míimo el Costo promedio por uidad? ) (Gastos de u automóvil) El costo por hora C de operar u automóvil está dado por C(v) 0v 000v + 008, 0 v 60, dode v es la velocidad e millas por hora A qué velocidad es el costo por hora u míimo? ) (Igreso) La ecuació de demada para u moopolista es p 0 5 A qué precio se maimiza el igreso? 5) (Igreso) La ecuació de demada para u moopolista es: 00 p 0, 000e Ecuetre el valor de p para el cual se obtiee el igreso máimo 6) (Utilidad) El costo fijo mesual de operar ua plata maufacturera de muebles se 8,000 lempiras y hay u costo variable de 0 lempiras por uidad producida El fabri-

3 cate estima que la fució de demada mesual de muebles está dada por la ecuació: p 00 a) Escriba epresioes para las fucioes de costo C(), igreso R() y utilidad U() b) Ecuetre el valor de que maimiza la utilidad c) Ecuetre el valor (e lempiras) de la utilidad máima y grafique la fució de utilidad 7) (Costo margial) El costo total de producir y veder uidades de ua mercacía e particular está dada por: C() 9 + +,000 Ecuetre: a) El ivel de producció para el cual el costo margial es míimo b) El costo margial míimo 8) (Costo promedio) El costo total de producir y comercializar uidades de cierta mercacía está dada por: 80, C ( ) 0, 000 Para que valor de es míimo el costo promedio? 9) (Utilidad) La fució de demada para u producto es: y la fució de costo es: p 7 00 C() A qué ivel de producció se maimiza la utilidad? A qué precio ocurre esto y cuál es la utilidad? 0) (Utilidad) Para u moopolista, el costo uitario es de lempiras y la ecuació de demada es: p 0 Cuál es la catidad que dará la utilidad máima? A qué precio ocurre esto y cuál es la utilidad? ) Utilidad) Para u moopolista, la demada de u producto es: p y la fució de costo promedio es: C ( ) + Ecuetre el precio que maimiza la utilidad ) (Utilidad) Para u moopolista, la demada de u producto es: 80

4 y la fució de costo promedio es: Elaborada por: Wilfredo Saravia M p 50 C ( ) , Ecuetre el precio y el ivel de producció que maimiza la utilidad A este ivel, demuestre que el igreso margial es igual al costo margial ) (Utilidad) U fabricate puede producir cuado mucho 0 uidades de cierto artículo cada año La ecuació de demada para este producto es: p 00 +,00 y la fució de costo promedio es: 0, 000 C ( ) 0+ Determie el valor dode ocurre la utilidad máima y cuál es su valor ) (Costo) U comerciate ha determiado que, para cierto producto, el costo promedio C por uidad está dado por: dode 0 00 ( ) , C a) A qué ivel detro del itervalo [, 0] debe fijarse la producció para miimizar el costo total? Cuál es el costo total míimo? b) Si la producció tuviese que ecotrarse detro del itervalo [5, 0], Qué valor de miimizará el costo total? 5) (Igreso) Ua empresa de cable de televisió tiee 5,000 suscriptores que paga cada uo 50 lempiras mesuales, puede coseguir,000 suscriptores más por cada 0 lempiras meos e la reta mesual Cuál será la reta que maimiza el igreso y cuál será ese igreso? 0( 5, 000 Ayuda: El uevo precio (reta) está dado por: p ( ) 50, 000 6) (Utilidad) La ecuació de demada para el producto de u moopolista es: y la fució de costo total es: p C ( ) + + a) Ecuetre la producció y el precio que maimizará la utilidad y determie la utilidad correspodiete b) Si el gobiero impoe u impuesto de lempiras por uidad al fabricate (que se agregaría al costo total), Cuáles será etoces la producció y el precio que maimizará la utilidad? Cuál es ahora la utilidad?

5 c) Supoga que el gobiero, además del impuesto de lempiras por uidad le impoe al fabricate ua cuota de 00 lempiras por licecia de operació Esta es ua catidad global idepediete de la producció Demuestre que el precio y la catidad permaece iguales Si embargo, idique por qué se tedrá ua meor utilidad 7) (Elasticidad de la demada) Para la ecuació de demada lieal p 005 Determie si la demada es ielástica, elástica o de elasticidad uitaria, a los siguietes iveles de precios: a) p 0, b) p c) p 65 8) (Elasticidad de la demada) Para qué valor (o valores) de tiee elasticidad uitaria las siguietes ecuacioes de demada? a) p 6 0 b) p,00 9) (Elasticidad de la demada) La ecuació de demada para u producto es: 500 0p + p dode p es el precio (e lempiras) y es la catidad demadada (e miles) Ecuetre la elasticidad de la demada cuado p 5 Si el precio de p 5 se icremeta 05%, Cuál es el cambio aproimado e la demada? 0) (Elasticidad de la demada) La ecuació de demada para cierto producto es: p 500,, dode p es el precio Ecuetre la elasticidad de la demada cuado p L0 y use este valor para calcular el cambio porcetual aproimado de la demada si el precio de L0 se baja a L850 ) (Elasticidad de la demada) La ecuació de demada para el producto de u fabricate es: p a) Verifique que 0 cuado p 00 6, b) Determie la elasticidad de la demada cuado p Es la demada elástica, ielástica o tiee elasticidad uitaria e ese puto? c) Si el precio (cuado p ) dismiuye e u %, Cuál es el úmero aproimado de uidades e que la demada cambia? d) Si el precio (cuado p ) dismiuye e u %, el igresos total crecerá, dismiuirá o permaecerá costate? ) (Elasticidad de la demada) Dada la ecuació de demada: ( + p ) p, determie de la demada cuado p 9 ) (Elasticidad de la demada) La ecuació de demada de u producto es: 5

6 60 + l( 65 p ) p a) Determie la elasticidad de la demada cuado p y clasifíquela como demada elástica, ielástica o de elasticidad uitaria a este ivel de precio b) Si el precio dismiuye el % (de L a L 9), utilice la respuesta de la parte a) para estimar el cambio porcetual correspodiete e la catidad vedida c) Resultará los cambios e la parte b) e u icremeto o e ua dismiució e el igreso? Eplique su respuesta ) (Elasticidad de la demada) U fabricate de puertas de alumiio puede veder actualmete 500 puertas por semaa al precio de L 800 cada ua Si el precio se baja a L 750 cada ua podría vederse 50 puertas adicioales por semaa Estime la elasticidad actual de la demada para las puertas y tambié el valor actual de la fució de igreso margial del fabricate 5) Dada la ecuació de demada: p,000 -, dode 5 0, Para que valor de es η u máimo? Para qué valor es u míimo? 6) Dada la ecuació de demada: p , dode 5 95, Para que valor de es η u máimo? Para qué valor es u míimo? : Difereciació implícita ) E los ejercicios siguietes del (a) al (w), ecuetre a) 9 + y b) d) y c) 6 por difereciació implícita 5 y / / y e) + 9 y 6 f) + y / / g) + y h) y 8 i) y j) + y 0 k) y + y 0 l) + y y m) y + y 0 ) y + 5y 0 ñ) + y

7 o) y + y p) + y y 9 q) y + 5y l( ) y r) yl( ) e s) l( y) 5 y t ) e + y u) y + a b, a y b costates v) y l( y ) + w) ( + e ) + l( + y) ) Si y + y + y, ecuetre e el puto (, ) ) Si y + y +, ecuetre e el puto (, ) ) Ecuetre la pediete de la recta tagete a la gráfica de la hipérbola 9y 6 e el puto (0, ) y tambié e el puto (a, b) 5) Ecuetre la pediete de la tagete a la gráfica ( 6 + y ) y + e el puto (, 0) 6) Ecuetre la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la curva puto (, ) 8 + y e el 7) Ecuetre la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la curva el puto (, ) + y y e 8) (Propesió margial al cosumo) Los Ahorros S de u país se defie implícitamete e térmios de su igreso acioal I por medio de la ecuació: + S +, S I I I dode S e I está dados e miles de milloes de lempiras Ecuetre la propesió margial al cosumo cuado I 6 y S dc ds Ayuda: C + S I o bie +, dode S es el ahorro y C es el cosumo di di 5: Difereciació logarítmica E los ejercicios del (a) al (l) ecuetre y ' por difereciació logarítmica a) c) e) g) y ( + ) ( )( + ) b) 5 5 y ( + ) ( )( + ) y ( ) ( + ) d) y ( ) f) y ( ) + + y + y h) y

8 i) k) y y Elaborada por: Wilfredo Saravia M ( + 5) ( + 5) j) y ( ) ( + ) + ( + )( ) + E los ejercicios del (a) al (h) ecuetre y ' l) y 0( ) e + a) e) y b) ( ) y f) y c) y ( ) d) y y g) y e h) y [ + l( )] e ( + ) ( ), ecuetre Si y cuado l( ) Si y [ + l( )], ecuetre cuado e 5 Ecuetre la ecuació de la recta tagete a la curva puto e que 0 y ( + )( ) ( + ) e el 6 Ecuetre la ecuació de la recta tagete a la curva y e ( + ) e el puto para el cual 7 Ecuetre la ecuació de la recta tagete a la curva y e ( + ) e el puto para el cual 8 Si y, ecuetre cuado 9 (Elasticidad de la demada) La ecuació de demada de u producto es: p 50( 0 ) dp a) Demuestre que 075 cuado se demada 00 uidades Utilice difereciació logarítmica b) Co el resultado de la parte a), determie la elasticidad de la demada cuado se demada 00 uidades A este ivel, es la demada elástica, ielástica o es de elasticidad uitaria? c) Utilice el resultado de la parte b) para estimar el precio por uidad si la demada dismiuye de 00 a 88 uidades d) Si la demada actual es de 00 uidades, deberá el fabricate aumetar o dismiuir el precio para icremetar el igreso? Justifique su respuesta 5: Difereciales 8

9 ) E los ejercicios siguietes del (a) al (l), ecuetre la diferecial de la fució dada e térmios de y a) y b) y 5 c) y d) f( ) + e) f ( ) ( 5 + f) f( ) l( + ) g) f( ) e + h) + f( ) ( + ) e i) f( ) l + j) f( ) k) f( ) + l) f( ) ) E los ejercicios siguietes del (a) al (f), ecuetre y Δy para los valores de y dados a) y 7;, 0 0 b) c) y + 5;, 0 d) 6 ; 0 0 y, ; 0 0 y ( + ), e) y 5 ;, 0 f) y l( ); 5, 0 ) Sea + 5 f( ), + a) Evalúe f() b) Utilice difereciales para estimar el valor de f '( ) ) Sea f ( ), a) Evalúe f() b) Utilice difereciales para estimar el valor de f '( 098 ) 5) E los ejercicios del (a) al (h) aproime cada epresió por medio de difereciales: a) 99 b) c) 80 d) 5 05 e) l( 098 ) f) l( 0 ) g) 00 e h) 00 e 9

10 Elaborado por: Wilfredo Saravia Maradiaga Uiversidad Nacioal Autóoma de Hoduras Facultad de Ciecias Ecoómicas Respuestas de la Guía de Ejercicios de la Uidad II DET-85, Métodos Cuatitativos III Derivadas de orde superior: E los ejercicios del al 6, ecuetre la seguda derivada de la fució dada ) y ( + ), y 8, y 8 ) y + 5 0, y 6 + 5, y 6 ) f() ( ), y 0 6 +, y ) gt () t + 5 7, g'( t), g''( t) t ( t ) ( t ) 5) f( ) l( e + ), f '( ) e e +, e f ''( ) ( e + ) 6) ( ) 8 ( ) f( ), f '( ), f ''( ) + ( + ) ( + ) 7) f( ) ( + ), f '( ) ( + ) ( ), 8) 6 5 y 5, f ''( ) ( + ) ( + ), f '''( ) ( ) ( + ) , d y , d y d y + 5, 6 9) y l( ),,,, d y d y 5 6 d y, 5 5 d y d y 0) y l( ), + l( ), + l( ), 5 5 d y d y d y,, 0

11 ) ) ) ) 5) Elaborada por: Wilfredo Saravia M d y y e, e ( + ), e ( + + ), d y e ( ) g ( ), g'( ), g''( ), ( ) ( ) 6 () 5 g'''( ), g ( ), ( ) ( ) (5) 0 g ( ) 6 ( ) d d d ( ), ( ) ( ), d d d ( ) ( ) ( 6) 6 d ( ), d ( )! d!,( Ver resultados del ejercicio No ) + ( ) d e, d y d y e ( + ), e ( + ), e ( + ) d y d y e ( + ), e ( + ), ( ), d 6) [ ] ( )! l( ) ( ), ( Ver resultados ejercicio No 9) 7) 8) d d d y d y d y +, 8, 6 8, 6, 0, d y ( ) 0, + ( ) d y d y ( ) e, e ( ), e ( ), e ( ) d y d y e ( ), ( ) e ( ),

12 : Aplicació de la derivada e el trazado de curvas: ) 0 f ''( ) f( ), f '( ) ( ) ( )( + + ) Valor crítico :, Posible puto de ifleió :, Iterceptos :(, ),(, ) 8 8 Alguos Cálculos : f '( ) ( ), f '() () f ''( ) > 0, para todo 0 f() 0 () 0 () 0 0, f() () () Cuadro Resume: Itervalo f f f Coclusió ], 0[ + f es decreciete y cócava hacia arriba (0, 0) No es puto de ifleió ] 0, [ + f es decreciete y cócava hacia arriba 0 + Puto míimo relativo: (, ) ], + [ + + f es creciete y cócava hacia arriba ) , f( ), f '( ) ( ) f ''( ) 7 8 ( ) 0, Valores críticos : 0,, Posibles ptos de ifle : 0,, Iterceptos :( 0, 0),, 0 Alguos Cálculos : f '( ) ( ) ( ), f '( ) ( ) ( ) 96, f '( ) ( ) ( ) f ''( ) ( ) ( ) , 7 8 f ''() () () f ''() () () f() 0 0, f, f() 7

13 Cuadro Resume: Itervalo f f f Coclusió ], 0[ + f es decreciete y cócava hacia arriba Puto de ifleió: (0, 0) 0,, f es decreciete y cócava hacia abajo 0 Puto de ifleió:, ( 07, ) f es decreciete y cócava hacia arriba 0 + Puto míimo relativo: (, ) ], + [ + + f es creciete y cócava hacia arriba ) f ( ) ( ), f '( ) ( ), f ''( ) ( ) ( ) Valor crítico :, Posible puto de ifleió :, Iterceptos :(, 0), 0, Alguos Cálculos : f '( ) > 0, para todo 0 f ''( ) 6( ), f ''( ) 6( ) 6 Cuadro Resume: Itervalo f f f Coclusió ], [ + - f es creciete y cócava hacia abajo Puto de ifleió: (, 0) ], + [ + + f es creciete y cócava hacia arriba

14 ) Elaborada por: Wilfredo Saravia M , 0, 0 7 f ''( ) ( ) 0 5, 0, , 0, , 0, 0 5 f( ), f '( ) ( ) Valores críticos :, Posibles putos de ifleió :, 0 0 Iterceptos :, 0 ( 090) 00 0 ( 090) 6,, (, ),, 6, Alguos Cálculos : f '( ) 5, f '( 05) 5 65, f '( 05) 5 65, f '( ) 5, f ''( ) 70, f ''( 0) 8 6, f ''( 0) 8 6, f ''( ) 70 f( 07 ), f 05 5, f 0 5 5, f( 0 7) Cuadro Resume: Itervalo f f f Coclusió ], 07 [ + f es decreciete y cócava hacia arriba Puto míimo relativo: ( 07, ) ] 07, 05 [ + + f es creciete y cócava hacia arriba 05 5 ] 05, 0[ + 0 Puto de ifleió : ( 0 5, 5) + f es creciete y cócava hacia abajo Puto míimo relativo: (0, 0), + + f es creciete y cócava hacia arriba ] 0 0 5[ ( ) Puto de ifleió : ( 055, ) ] 05, 07 [ + f es creciete y cócava hacia abajo 07 0 Puto míimo relativo: ( 07, ) ] 07, + [ f es decreciete y cócava hacia abajo ( ) 5) 5 8 f( ) 8, f '( ) 0 ( 8 5) 0 0, 5 6 f ''( ) ( 6 5) 0 0, 5 Valores críticos : 0, 6/5, Posibles putos de ifleió : 0, 8/5, Iterceptos ( 0, 0), (, 0) Alguos Cálculos : f '( ) 5, f '( ), f '( ) 6, f ''( ) 76, ( ) ( ) f ''( ) 6, f ''( ) 56, f( 0) 0, f 6 / 5 6 6, f 8/ 5 0 9

15 Cuadro Resume: Itervalo f f f Coclusió ], 0[ + f es decreciete y cócava hacia arriba Puto míimo relativo: (0, 0) ] 0, 6/ 5[ + + f es creciete y cócava hacia arriba 6/ Puto de ifleió : (, 66 ) ] 6/ 5, 8/ 5[ + f es creciete y cócava hacia abajo 8/ Puto máimo relativo: (, 6 0 9) ] 8/ 5, + [ f es decreciete y cócava hacia abajo / 5( ) 0( + ) 6) f( ) ( 5 ), f '( ), f ''( ) / / 9 Valores críticos : 0,, Posibles putos de ifleió :, 0, Iterceptos ( 0, 0), ( 5, 0) Alguos Cálculos : f '( ) 5, f '( ) 7, f '( 8) 5, f ''( 8) 0 5, f ''( /8) 5 6 f ''( 8) 0 65, f( ) 6, f 0 0, f 8 Cuadro Resume: Itervalo f f f Coclusió ], [ + f es decreciete y cócava hacia arriba Puto de ifleió: (, 6) ], 0[ f es decreciete y cócava hacia abajo Puto míimo relativo: (0, 0) ] 0, [ + f es creciete y cócava hacia abajo 8 0 Puto máimo relativo: (, 8) ], + [ f es decreciete y cócava hacia abajo 5 ( ) ( )

16 7) f( ) 6 + 5, f '( ), f ''( ) 6 Valores críticos : 0,, Posibles ptos de ifle :, Iterceptos ( 0, 5 ), ( a, 0) (, 0) Alguos Cálculos : f '( ) 5, f '( ) 9, f '( 5) 5, f ''( 0), f ''( ), f ''( 8) 0 65, f 0 5, f() 9, f Cuadro Resume: Itervalo f f f Coclusió ], 0[ + f es creciete y cócava hacia abajo Puto máimo relativo: (0, 5), f es decreciete y cócava hacia abajo ] 0 [ ( ) ( ) 9 0 Puto de ifleió: (, 9) ], [ + f es decreciete y cócava hacia arriba 0 + Puto míimo relativo: (, ) ], + [ + + f es creciete y cócava hacia arriba 8) ( ) + 0, + f ( ), f '( ), f ''( ), Valor crítico : ( + ) ( + ) Posibles putos ifleió : 06, 06, Itercepto :( 0,), Lím f ( ) + Alguos Cálculos : f '( ), f '( ), f ''( ) 6 f ''( ), f f 5

17 Cuadro Resume: Itervalo f f f Coclusió ], 06 [ + f es creciete y cócava hacia arriba Puto de ifleió: ( 06, 5) ] 06, 0[ f es creciete y cócava hacia abajo 0 0 Puto máimo relativo: (0, ) ] 0, 0 6[ + f es decreciete y cócava hacia abajo Puto de ifleió: (06, 5) ] 06, + [ + + f es decreciete y cócava hacia arriba 9) f ( ) +, Lim f ( ) + y Lim f ( ) 0 es ua asítota vertical 0+ 0 f '( ), f ''( ), Valores críticos :, Alguos Cálculos : f '( ) f '( ) 0 75, f '( 0 5) f '( 0 5), Cuadro Resume: Itervalo f f f Coclusió ], [ + f es creciete y cócava hacia abajo 0 Puto máimo: (, ) ], 0[ f es decreciete y cócava hacia abajo 0 ND ND ND Asítota vertical: 0 ] 0, [ + f es decreciete y cócava hacia arriba 0 + Puto míimo: (, ) ], + [ + + f es creciete y cócava hacia arriba 7 () f ''( ), f ''( ), f( ), f

18 0) f ( ), Lim f ( ) y Lim f ( ) + 0 es ua asítota vertical f '( ) +, f ''( ) Alguos Cálculos : f ''( ), f ''( ), f '( ) > 0 para todo 0 f es creciete Cuadro Resume: Itervalo f f f Coclusió ], 0[ + + f es creciete y cócava hacia arriba 0 ND ND ND Asítota vertical: 0 ] 0, + [ + f es creciete y cócava hacia abajo NOTA: E ambos ejercicios No 9 y No 0, o se pedía la asítota oblicua 8

19 ) ( ) ( ) f( ), f '( ), f ''( ) ( ) Posible puto de ifleió e Alguos Cálculos : f ''( 5) 5, f ''( 7) 9/ 0 85, f( ) 0, f ''( ) f '( ) > 0 paratodo f es creciete Cuadro Resume: Itervalo f f f Coclusió ], [ + f es creciete y cócava hacia abajo + 0 Asítota vertical: 0 ], + [ + + f es creciete y cócava hacia arriba / ( ) ) f( ) ( 7), f '( ), f ''( ) / 5/ ( 7) 9( 7) Putos Críticos : 55, 7, Posibles putos de ifleió : 05, 7, Iterceptos : ( 0, 0),( 7, 0) 5 0 Alguos Cálculos : f '( ), f '( 6), f '( 8), f ''( ), f ''( 8), f( 5) 9 6 f( 55) 6, f( 05 ) 59 Cuadro Resume: Itervalo f f f Coclusió ], 55[ + f es decreciete y cócava hacia arriba Puto míimo relativo: (55, 6) ] 55, 7[ + + f es creciete y cócava hacia arriba 7 0 ND ND Puto de ifleió: (7, 0) ] 7,05[ + f es creciete y cócava hacia abajo Puto de ifleió: (05, 59) ] 05, + [ + + f es creciete y cócava hacia arriba 9

20 / 7 ( 6) ( + 6) ) f( ) ( 7), f '( ), f ''( ) / 5/ ( 7) 9( 7) Putos Críticos : 0, 6, 7, Iterceptos :( 0, 0),( 7, 0) Posibles putos de ifleió :, , Alguos Cálculos : f '( ), f '( 65 ), f '( 6875 ), f '(8), f ''( ), f ''( 6 875), f ''( 8), f ''( 5), 9 9 f() 6 6, f( 6 5 ) 986, f( 6+ 5 ) Cuadro Resume: Itervalo f f f Coclusió ], 0[ + f es creciete y cócava hacia abajo Puto máimo relativo: (0, 0) ] 0, 9[ f es decreciete y cócava hacia abajo 9 0 Puto de ifleió: (9, ) ] 9, 6[ + f es decreciete y cócava hacia arriba Puto míimo relativo: (6, 6) ] 6, 7[ + + f es creciete y cócava hacia arriba 7 0 ND ND Puto de ifleió: (7, 0) ] 7, 8[ + f es creciete y cócava hacia abajo Puto de ifleió: (8, 69) ] 8, + [ + + f es creciete y cócava hacia arriba 0

21 0,, ) f ( ) e, f '( ) e ( ), f ''( ) e ( + ), Putos Críticos : Posibles putos de ifleió : 0 59, +, Itercepto :( 0, 0) lim f ( ) 0 y 0 es ua asítota horizotal + Alguos Cálculos : f '( ) 8, f '() 0, f '() 05, f ''(0), f ''( ) 0, f ''( ) 0 0 f( 0) 0, f( ) 05, f( ) 0, f( + ) 0 Cuadro Resume: Itervalo f f f Coclusió ], 0[ + f es decreciete y cócava hacia arriba Puto míimo relativo: (0, 0) ] 0, 059[ + + f es creciete y cócava hacia arriba Puto de ifleió: (059, 0) ] 059, [ + f es creciete y cócava hacia abajo 05 0 Puto máimo relativo: (, 05) ], [ f es decreciete y cócava hacia abajo ], + [ + f es decreciete y cócava hacia arriba 5) ( ), + ( + ) :,, :( 0, 0) f f 0 f f 0 f f ( ) l ( + ) f '( ), f ''( ), Puto Crítico : Posibles putos de ifleió Itercepto Alguos Cálculos : '(0), '( ), ''( ) ''( ), ''( ) f( ), f() Cuadro Resume: Itervalo f f f Coclusió ], [ f es decreciete y cócava hacia abajo 7 0 Puto de ifleió: (, 7) ], [ + f es decreciete y cócava hacia arriba Puto de ifleió: (, 0) ], + [ f es decreciete y cócava hacia abajo

22 ) f( ), f '( ), f ''( ), ( ) + ( ) + Lim f ( ), Lim f ( ), Lim f ( ) +, Lim f ( ) Luego, f tiee + + asítotas horizotales : y, y, asítota vertical : Valor Crítico :, Por tateo, posible puto de ifleió : Itercepto :( 0, ) Alguos Cálculos : f '( ) 5 5, f '(0), f ''( ), f ''( 0) f( ) , f( ) Cuadro Resume: Itervalo f f f Coclusió ], 9 [ + + f es creciete y cócava hacia arriba Puto de ifleió: ( 9, 07) ] 9, [ + + f es creciete y cócava hacia abajo Puto máimo relativo: (, 07) ], [ f es decreciete y cócava hacia abajo 05 0 Asítota vertical: ], + [ + f es decreciete y cócava hacia arriba

23 Aplicació de máimos y míimos ) C + 5y +,000 5y + 6,000,000 6 y A y ( 600 ) A 600 Solució : 50 pies, y 00 pies, Área 55, 000 pies ) 00 C''( ) 000 ) Cv () 0 v 000 v C'() v v 0 v 50 Valorcrítico: v 50 Co todos estos valores costruimos la tabla siguiete v 0 millas / hora 50 millas / hora 60 millas / hora C(v) L 0 08 L 08 L 96 Tato e la tabla como e la gráfica vemos que, cuado v 50, se obtiee u valor máimo e vez de u valor míimo Además, tambié se observa que C(60) L 96

24 mietras que C(0) L 008 Por tato el costo míimo ocurre cuado v 0, es decir, cuado el carro está parado ) R( ) 0 5, R''( ) 0 p 0 5( ) 5 lempiras 5) 6) 00 p R( p) 0,000 pe, p L 50 R''( 50) 00 pe C ( ),, R ( ), U ( ), U''( ), U''( ) U( ) L, 7) CM ( ) 8 +,, CM ''( ) 6 CM ( ) 6 Lempiras por uidad 80, ) C ( ) , 00 CM''( 00) 5 0 0, 000 9) u ( ) , 55, p L 5 U'( 55) L 0, ) U() 0, p 6 lempiras, U 8 Lempiras U '' ) U() , p lempiras U (5) 8

25 ) U() 50 05,000,500, costo margial igreso margial 050 lempiras U (,500) 0000 ) U() / ,000, 0 0 E 0 hay u máimo relativo, e 80 hay u míimo relativo, e 0 ocurre el máimo absoluto (el mayor valor de la fució e el itervalo) Utilidad máima 86,000 lempiras Ver gráfica: ) a) C() , 0 E ocurre el míimo absoluto, e 5 hay u máimo relativo, e 7 hay u míimo relativo y e 0 ocurre el máimo absoluto Por tato, la producció debe fijarse e uidades para obteer el costo míimo de 9 lempiras b) C() , 5 0 E 5 hay u máimo relativo, e 7 ocurre el míimo absoluto y e 0 ocurre el máimo absoluto Por tato, la producció debe fijarse e 7 uidades para obteer el costo míimo de 9 lempiras Ver gráfica: 5

26 5) 8750, p 75 lempiras (reta que maimiza el igreso) Igreso,5,500 lempiras R (8750) 00 6) a) U() , p 0 lempiras, Utilidad 6,980 lempiras b) U() , p 50 lempiras, Utilidad,75 lempiras c) U() , p 50 lempiras, Utilidad,075 lempiras La utilidad es meor que e el iciso aterior porque se icremetaro los costos fijos 7) p 0 60, η demada elástica p 00, η 0 demada ielástica p 65 0, η demada uitaria 8) a) 0 b) 0 9) η, cambio e la demada 06% (como el precio aumeta, la demada dismiuye por ser elástica) 0) η 5, cambio e la demada 0565% (como el precio dismiuye, la demada aumeta por ser elástica, específicamete, se icremeta de 600 uidades a 690 uidades) ) a) Al sustituir 0 e la ecuació, se obtiee p Lempiras p 6, ,000, ,000 ( ) b) 5 η 000 / La demada es elástica e ese puto c) Porcetaje cambio demada η(porcetaje cambio e precio) 5(%) 5% Luego, la demada aumeta e u 5%, es decir, 0(05) uidad d) Como la demada es elástica, al dismiuir el precio, el igreso aumeta p ( p) ( 8) ) ( + p) p p 9 0 η 0 ( + p) (0)(0 ) 60 ( p 0 p +,00) (76) ()() ) p 5 η 8 p( p 65) (5)( ) (5) este ivel de precios es elástica La demada a ) Porcetaje cambio e precio ( ) / % Porcetaje cambio demada ( ) / % η 65% / 0% 6 Igreso margial p( + (/η)) 800( 6) 500( 06) 00 6

27 Elaborada por: Wilfredo Saravia M p,000,000 5) η si 5 0 η es máimo cuado 5 y η es míimo cuado 0, tomado, respectivamete, los valores de 9/ 95 y / p ( + 5) p ( + 5) + 5 6) η si 5 95 η es máimo cuado 5 y η es míimo cuado 95, tomado, respectivamete, los valores de y 00/95 05 Estos resultados los puede verificar gráficamete Ver el gráfico siguiete que correspode a las gráficas de los problemas (5) y (6) Difereciació implícita ) a) b) 9y 9 c) d) e) y 0y 6y 9 y / / y f) / g) y 8 y / h) i) j) y y + k) + y y l) m) y y + 6 5y ) y 5 + 9y ñ) y y / / + o) y y + p) y + q) y (y + 5) r) y y s) y [ l()] e e e e y( ) t) y + y u) b a y v) y y + w) e ( + e )( + y) 7

28 ) (, ) y + y + Elaborada por: Wilfredo Saravia M (, ) + () + ) (,) y + [ + [ y + y + + y] + ] (,) (5) ()() 5 6 ) (,) 6 m 9y 0, (0, ) ( a, b) 6 m 9y 6a ( a, b) 9b [ + y + y ] 5) Tagete vertical porque e la epresió, al evaluarla e el y[ + y + y y] e el puto (, 0), el umerador vale 6 pero el deomiador es 0 (, ) 6) m y y (, ) 7) (, ) y + m 8 y 8 y (, ) 8) ds(6, ) I S 6 () 0 5 Luego, di I S (6, ) (6) () 6 8 dc(6, ) di Difereciació Logarítmica ) a) y ' ( + ) ( )( + ) b) 6 5 y ' ( + ) (5 )( + ) c) 8 y ' ( ) ( + 5) + d) y ' ( ) e) y ' ( ) + + f) y ' ( ) g) y ' ( + ) ( + 5) 6 h) y ' i) y ' + ( + 9) + ( ) ( + )

29 ( + 5) j) y ' ( + )( ) 0( + ) k) y ' + + l) y' + ( + ) ( ) + e + ) a) y' + l( ), > 0 c) y' () [ + l() ], > 0 b) y' [ + l( ) ], > 0 d) y' l, > 0 e) 6 y' ( ) + l( ), > e g) y' [ l( ) ], > 0 e + + l ) [ + l( ) ] h) y' e [ l( ) ] ) 0 ) e [l() + ] 7) y (8e) 6e 8) l(6) + [ + l( ] + f) y' [ + l( )], > 0 5) y 8 6) y e (recta horizotal) 9) a) (0 ) ( + 5,000) /, [( 0) l(0 ) ] b) 00 p 50 lempiras p p Por lo tato, η dp dp ivel la demada es ielástica / c) Cambio porcetual e demada (88 00)/ % Por lo tato: A este Cambio porcetual e precio Cambio porcetual e demada / η 006( ) 08 Luego, el precio aumeta e u 8% Es decir, p 8(50) 59 uidades d) Como la demada es ielástica, el comerciate deberá aumetar el precio para icremetar su igreso 6 Difereciales

30 ) a) b) 0 c) + e) 8(5 ) (5 + ) f) df ( ) + g) df + e d) h) df + e (6 + + ) i) df ( + ) j) df k) df l) df / / ( + ) ) a) 0, Δy 0 b) 06, Δy 066 c) 5, Δy 6875 d) 08, Δy 088 e) 0, Δy 089 f) 00, Δy ) a) f() b) f() 9667 ) a) f() b) f(098) 096 5) a) 095 b) 055 c) 9907 d) e) 00 f) 00 g) 098 h) 0 0

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