DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA 1. INTRODUCCIÓN

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1 INDUCCIÓN MATEMÁTICA EDUARDO SÁEZ, IVÁN SZÁNTÓ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA. INTRODUCCIÓN El método deductivo, muy usado e matemática, obedece a la siguiete idea: A partir de u cierto cojutos de axiomas aceptados si demostració y de reglas lógicas o cotradictorias, se deduce otros euciados llamados teoremas combiado los axiomas y respetado e cada etapa las reglas lógicas. Otro método para demostrar resultados geerales que depede e algú setido de los úmeros aturales es coocido co el ombre de Iducció Matématica. Esta depedecia de los úmeros aturales sigifica: se sabe que ua determiada afirmació es verdadera para alguos casos particulares y surge la preguta. Dicha afirmació sigue siedo verdadera para los ifiitos úmeros aturales restate?. Existe muchas afirmacioes que sólo so válidas para u úmero fiito de casos y e cosecuecia so falsas para u úmero ifiitos de situacioes. Si embargo, podemos ecotrar proposicioes afirmacioes que so verdaderas sólo a partir de u cierto úmero atural 0, de ser asi, la técica que se desarrollaremos se llama Iducció Icompleta. Para demostrar que ua proposició p, M N, es verdadera es ecesario comprobar la validez de ella para todos los elemetos del cojuto M. E el caso e que M= N, diremos que es ua Iducció Completa. Si se requiere demostrar la falsedad de ua cierta proposició p, M N, es suficiete idicar u elemeto particular m M de maera que pm sea falsa. Costrucció de u cotra ejemplo. Ejemplo. N, < 0 Es fácil probar que esta desigualdad es verdadera para =,,. Si embargo, para = 4 o se cumple ya que 4 4 = > 0. Nótese que este ejemplo secillo muestra que ua proposició puede ser verdadera para los primeros úmeros aturales, si embargo, es falsa, para úmeros aturales más grades. Copyright 004, Derechos reservados, o ésta permitido la reproducció parcial o total de este material si el permiso de sus autores.

2 INDUCCIÓN MATEMÁTICA Otros ejemplos: Ejemplo. N, + +, es divisible por 5. Es fácil probar que esta proposició es verdadera para =,,. Si embargo, para = 4 o se cumple dado que = 69. o es divisible por 5 Ejemplo. Ejemplo dado por Leohard Euler Cosideremos el poliomio cuadrático p = y determiemos su valor para ciertos N : : Nótese que todos los úmeros que se obtiee so primos. Se podría esperar que este poliomio cuadrático cotiua geerado úmeros primos. Desafortuadamete o es asi, para = 40, se tiee 68 = 4, que o es u úmero primo, luego la proposició que N, es u úmero primo resulta falsa.. Pricipio de iducció Matemática Ua proposició p es verdadera para todos los valores de la variable si se cumple las siguietes codicioes : Paso.- La proposició p es verdadera para =, o bie, p es verdadera. Paso.- Hipótesis de Iducció. Se supoe que p es verdadera, dode es u úmero atural cualesquiera. Paso.- Tésis de Iducció. Se demuestra que p + es verdadera, o bie, p verdadera p + verdadera. La técica de Iducció Matemática cosiste e los tres pasos ateriores. Si se ecesita demostrar la validez de ua proposició p para todos los valores aturales, etoces es suficiete que se cumpla: Paso, Paso y Paso. Cometario: Ituitivamete la idea aterior se cooce co el ombre de Efecto Domió. Si imagiamos ua fila ifiita de fichas de domió: dispuestas verticalmete y suficietemete próximas ua cualquiera de la siguiete, etoces si el volteamieto de la primera ficha provoca el volteamieto de la seguda ficha, por el Pricipio de Iducció Matemática la fila completa es volteada. Existe dos variates útiles sobre el Pricipio de Iducció Matemática que debe ser cosiderados. E la primera variate, la proposició por demostrar ivolucra los aturales o meores a u atural fijo 0, e este caso el Pricipio de Iducció quedaria como sigue: Si p es verdadera para 0 y si pm + es verdadera para todo atural m 0 para la cual pm es verdadera, etoces p es verdadera para todo atural 0.

3 INDUCCIÓN MATEMÁTICA La seguda variate se aplica de preferecia e el caso cuado pm + o puede ser fácilmete deducible de pm, pero su validez depede de p para cualquier < m. Si p es verdadera y si pm + es verdadera para todo m para la cual todas las proposicioes p, p, p,..., pm so verdaderas, etoces p es verdadera para. Para ilustrar el uso de estas variates, cosideremos los siguietes ejemplos. Ejemplo 4. Determie para que valores de N es verdadera la desigualdad > Al examiar los valores de =,,, 4, 5, 6 os damos cueta que la desigualdad es icorrecta, pero si es verdadera para = 7, por lo que podemos itetar demostrar por el método de Iduccio Icompleta que para todos los valores de 7, la desigualdad es verdadera. Paso.- Si = 7, obteemos 7 = 8 > = 8 o sea, cuado = 7 la desigualdad es correcta. Paso.- Hipótesis Iductiva Se supoe que la desigualdad es verdadera para u cierto valor de =, o sea, > Paso.- Fialmete a partir de la hipótesis iductiva, se desea probar la Tesis dada por + > Al multiplicar la desigualdad dada e la hipótesis iductica por, obteemos + > Trasformado el segudo miembro de esta desigualdad obteemos + > Teiedo e cueta que + > 0 para todo 7, podemos deducir que + > , obteiedo lo que se requeria demostrar Tesis. Ejemplo 5. Demostrar que la suma de los primeros úmeros aturales es igual a + /. Demostració: Queremos probar que N : = + / Sea p : = + /, debemos probar que p satisface las propiedades, y.

4 4 INDUCCIÓN MATEMÁTICA p : = + /, lo cual es verdadero. Se supoe que la igualdad es verdadera para u cierto valor de, es decir, = + / Sea N, debemos probar que p = p + es verdadero. Notese que si p es falsa la implicació es verdadera, de modo que hay que hacer la demostració supoiedo que p es verdadera. Como p + : = /, p + debe formarse de p sumado + a ambos miebros de la igualdad de la Hipótesis iductiva: = +/+ + = +/+ = + +/. Hemos cofirmado uestras sospechas, lo que es, hemos deducido que p + es verdadera, supoiedo que p lo es. Así, hemos demostrado que N : = + / es verdadera. Ejemplo 6. Probar que N : = ++7/6 Solució: Sea p : = + + 7/6 Etoces p: es verdadera. Hipótesis iductiva: = + + 7/6 = 9/6 =, lo que prueba que p = + + 7/6. Supoemos que p es verdadera Tesis: = /6. Queremos probar que p+ es verdadera. Teemos: = + + 7/ = = /6 = /6 6 lo que prueba que p + es verdadera. Luego, la formula = + + 7/6 es verdadera para todo N Ejemplo 7. Determiar si el producto de úmeros impares cosecutivos es siempre divisible por 6. Solució: Sea p : + + = 6q dode q es algú úmero atural. Queremos determiar si p se cumple para todo N. p : 5 = 5 = 6q = q = 5 / N. Luego p es falso. Se puede cotiuar aalizado p, p, p4,... y vemos que todos o cumple la codició que sea divisible por 6. Es facil ver que + + = 8 + = luego este úmero es de la forma j que es u úmero impar y por lo tato o es divisible por 6.

5 INDUCCIÓN MATEMÁTICA 5 Ejemplo 8. Determie si la suma de tres úmeros eteros cosecutivos es siempre divisible por 6. Demostració: Sea p: = 6q, q N. Etoces p : + + = 6 es verdadera q =. Hipótesis iductiva : p = = 6q, q N es verdadera. Por demostrar p + : = q, q N es verdadera. Como = = 6q + = 6q + / N. Luego p verdadero o implica p + verdadero. Por lo tato, p : ++++ = 6q, q N, es falso. La suma de eteros cosecutivos o es ecesariamete divisible por 6. Observació: Es facil ver que = +, de dode para que sea divisible por 6, ecesariamete el factor + debe ser u úmero impar para cualquier atural, lo que es falso. Ejemplo 9. Cosideremos u ejemplo co desigualdades. Determie todos los úmeros aturales para los cuales: 4 > Solució: La fórmula o es válida para =,, Pra = 4, se tiee que 4 = 4 > 4 = 6 es verdadera. Supogamos que la desigualdad es válida para N, co 4; esto es 4 >, 4. Por demostrar que la desigualdad es válida para +, es decir que E efecto: 4 + > +, = 4 + > + > = +. Luego 4 >, y por lo tato N, 4 4 > Ejemplo 0. Cosideremos el siguiete ejemplo de divisibilidad: Demostrar por iducció, que si es u úmero impar, 7 + es divisible por 8. Ates de aplicar iducció coviee hacer u cambio de ídices. Sea = i. Etoces si i =,,,... se tiee que =,, 5,... y uestro euciado se trasforma e: 7 i es divisible por 8, i N. Para i =, 7 + = 8 es divisible por 8, lo que es ua proposició verdadera. Hipótesis iductiva: 7 i + es divisible por 8. Tesis: 7 i+ es divisible por 8.

6 6 INDUCCIÓN MATEMÁTICA Dado que uestra úica iformació es la hipótesis, debemos hacer que la expresió 7 i + aparezca e el desarrollo 7 i+ + = 7 7 i + = 7 7 i = 7 7 i + 48 y aquí ambos sumados so divisibles por 8, luego 8 divide a 7 i+ +. Luego resulta que 7 + es divisible por 8 para todo impar. Pruebe que la fórmula. Ejercicios resueltos = es válida para todo atural. Demostració. Sea p, = ++ Etoces p, = = es verdadera. Hipótesis Iductiva: p verdadera, es decir = Tesis: Por demostrar p +, es decir = Sumado + + a ambos lados a la igualdad de la hipótesis iductiva se obtiee: = luego sólo resta probar que = Factorizado por + +, se tiee + ++ = +++, que es justamete la tesis deseada y lo que prueba que p es verdadera para todo atural Pruebe que para todo úmero atural >, el último dígito del úmero + es 7. Demostració. Deotado por p la proposició a demostrar, podemos observar que para =, + = 7 y la proposició es verdadera. Nuestra hipótesis iductiva es para =, es decir aceptamos que el último dígito de + es 7. Tesis: Por demostrar que el último dígito de + + es 7 Notado que + + = podemos cocluir co la ayuda de la hipótesis iductiva que el último dígito de + es 9, el último

7 INDUCCIÓN MATEMÁTICA 7 dígito de + es 4 que luego al restarlos y sumarle, se demuestra la proposició. Demuestre que para todo atural > Demostració Sea p la proposició dada, luego para =, se tiee que + >. La proposició verdadera. Hipótesis de iducció: = > Tesis: = +, Por demostrar que > + + Sumado + a la igualdad de la hipótesis iductiva se tiee > + + Como = = > + = se cocluye la demostració. 4 Demuestre que para todo atural, 5 es divisible por 5. Demostració. Sea p la proposició dada, luego para = se tiee que 0 = 5 0 lo cual es verdadero. Hipótesis de iducció: =, 5 es divisible por 5 Tesis: = +, Por demostrar que es divisible por 5 Dado que uestra úica iformació es la hipótesis debemos hacer que la expresió 5, aparezca e uestro desarrollo E efecto, y es igual a = de dode ambos sumados so divisibles por 5, luego para todo atural, 5 es divisible por 5.

8 8 INDUCCIÓN MATEMÁTICA 5 La sucesió de Lucas Aatole Lucas, 84-89, es ua sucesió de la forma,,, 4, 7,, 8, 9, 47,... y es defiida por la regla iductiva: L 0 =, L =, L = L + L 0, L = L + L,..., L + = L + + L,... Sea a, b, c, r, s, y t úmeros eteros fijos. Sea L 0, L,... la sucesió de Lucas. Demostremos que rl +a = sl +b +tl +c es verdadera para = 0,,,,... asumiedo que es verdadera para = 0 y =. Dado que la tesis es verdadera para = 0 y =, podemos asumir Hipótesis iductiva que es verdadera para = 0,,,..., co para luego demostrar que es verdadera para = +. Por hipótesis teemos rl a = sl b + tl c rl +a = sl +b + tl +c rl +a = sl +b + tl +c rl +a = sl +b + tl +c rl +a = sl +b + tl +c Sumado estas las dos últimas ecuacioes se obtiee rl +a + L +a = sl +b + L +b + tl +c + L +c Utilizado la relació de los úmeros de Lucas L + = L + + L, se tiee rl ++a y esto completa la demostració. = sl ++b + tl ++c 4. Ejercicios propuestos Demuestre por iducció las siguietes igualdades: a = ++ 6 b = 5 c = + d = + + e = f! +! +! ! = +! Para todo atural, demuestre que a es divisible por b i a =, b = ii a = 4, b = 60 iii a = + 5, b = 6

9 INDUCCIÓN MATEMÁTICA 9 Cosidere la sucesió, 5, 85, 845,..., defiida por c =, c = c c +,..., c + = c c +,... Pruebe que para todo etero positivo, c = 4 4 Demuestre que la desigualdad de Beroulli Jacques Beroulli a + a es válida para a y para todo etero o egativo. 5 Pruebe la desigualdad 4 + <!! 6 Demuestre que para todo atural se cumple b a = b ab + b a + b a ba + a 7 La sucesió {a } se defie por la relació de recurrecia a + = a a, a = 0, a =. Demuestre que para todo atural, a =. 8 Pruebe que para atural, el úmero es divisible por 9 9 Demuestre que para todo N N 0 Para todo atural, demuestre la siguiete desigualdad Demuestre que < veces } {{ }... = Pruebe que el úmero de diagoales de u -polígoo covexo es igual a. Ver Figura N A B C Demuestre que para todo atural, se cumple que = Demuestre que cualquier suma de diero, múltiplo etero de mil pesos, mayor o igual que Cico mil pesos, puede ser descompuesta e billetes múltiplo de cico mil pesos y de dos mil pesos.

10 0 INDUCCIÓN MATEMÁTICA 5 Pruebe que si si α 0, etoces la idetidad cos α cos α cos 4α... cos α = si + α + si α es cierta para todo N Sumas y Productos El símbolo Σ se llama Sigma e el alfabeto griego y e Español correspode a la letra S. Es atural usar este símbolo para referirse a la idea de Suma, o bie, Sumatoria. Co el símbolo Σi, se desea idicar la suma de los térmios de la forma i para varios valores eteros de i. El rago para estos valores eteros se idica e la parte iferior y superior respectivamete de Σ. Por ejemplo e la forma i = i= o bie, e la forma i= i = El úmero de térmios que tiee ua suma j= hj, siempre es igual a +. Por otro lado las sumas o ecesariamete debe comezar desde y cualquier letra como u cotador puede ser usada. Fialmete cualquier fució fi puede ser utilizada e lugar de i, es decir + f + f + f f + f + = fj j= 6. Ejemplos. 4 i= i = = 00 5 j= jj + = = 74 θ= gθ = g + g + g g 4 m a = = a + a + a + a am m 5 = = 6 = = + 7 = = + 8 = si π = cot π

11 INDUCCIÓN MATEMÁTICA 7. Propiedades. A cotiuació se da las pricipales propiedades de la sumatoria: m =j = m j, m j + =0 a = a + + =0 a = a + b = = a + = b 4 = ca = c = a, c costate 5 = c = c, c costate 6 = a = j = a + =j+ a 7 = a a = a a 0 Propiedad Telescopica 8 m = a a = a m a m Propiedad Telescopica 9 m = a j a j = a m j a j m Propiedad Telescopica 0 = a b = a = b Desigualdad de Cauchy-Schwarz 8. Ejercicios resueltos. Determie la suma de los primeros úmeros aturales impares. La suma de los primeros úmeros aturales impares está dada por S = = = = Como = = = =, se tiee S = + Demuestre que =+ = + = Para todo j, + = j j. De = = = =+ + =+ = = y es fácil ver que j/ =, obteemos = = = + = = + Utilizado la propiedad telescópica, determie la suma de = 5 Es fácil ver que = [ ] = [ ] = 9 Luego = 5 = [ 7 ]

12 INDUCCIÓN MATEMÁTICA 4 Demostrar, utilizado iducció sobre, que + = = = ++7 Sea p : + = 6 p : = + +7 =, verdadero 6 pj : j jj+j+7 = + = Hipótesis Iductiva 6 Por demostrar tesis pj + :; j+ = Sumado a la hipótesis j + j + se tiee j + j + + Etoces: j+ = j + = j + j + + = lo que demuestra la proposició. + = j+j+j = j + j + + jj+j+7 6 = j+j +j+8 6 = j+j+j+9 6 jj + j Demuestre que: 9. Ejercicios propuestos. a j=0 x j+ y j = = x y + b =0 a = =0 a c = f = + = f Demuestre, usado el pricipio de iducció, la validez de las siguietes fórmulas: a j= 5j = 5 4 b c = d = e = = 5 = = = +4 = f = = + + g Demuestre si la suma = + es igual a si es par y es igual a + si es impar.

13 INDUCCIÓN MATEMÁTICA 0. Productos. Π es la letra pi mayúscula e el alfabeto griego y correspode a la letra P del español. Es costumbre usar esta letra griega para desigar productos. dode f es ua cierta fució del ídice i. Π =fi = f f f f. Propiedades. Π = = 4 =! Π = = Π =0 =! Π i=a i = Π i=a i Π i=+ a i 4 Π i=a i + Π + i= a i = a a + Π i=a i 5 Π i=+ a i = Π i= a i Π i= a i 6 Π i=c, c, costate 7 Π a = Propiedad Telescópica a = a a 0. Ejercicios propuestos. Examie alguos valores de los productos i Π = + ; ii Π = + para valores pequeños de y cojeture fórmulas geerales. cojetura por iducció. Pruebe que xπ = + = x x Determie el producto Π i= y demuestre su resultado por iducció. Demuestre su Defiició.. Progresioes. Se dice que los úmeros reales a, a, a,..., a,... está e progresió Aritmética P.A si existe u úmero real d, llamado diferecia, tal que N : a + a = d De la defiició de P.A teemos dos importates resultados, a saber: N : a = a + d

14 4 INDUCCIÓN MATEMÁTICA N : = a = a +a Si e ua progresió aritmética el primer térmio es y la diferecia es, se tiee que el segudo térmio es +, el tercer térmio es +, fialmete el -ésimo térmio es +. Si deseamos sumar los primeros térmios, podemos utilizar la siguiete técica: Escribiedo la suma de los térmios e orde creciete y luego decreciete e u arreglo por filas y luego sumado teemos S = S = S = = Luego, S =. El promedio o bie promedio aritmético de úmeros es igual a su suma dividido por, por ejemplo el promedio de, y 7 es, y si cada térmio es remplazado por su promedio, la suma de los tres térmios permaece ialterable. Cuado teemos ua secuecia de úmeros dados e P.A, el promedio de todos sus térmios es igual al promedio del primer térmio y el último térmio, que es igual al térmio cetral cuado el úmero de térmios es impar. Por ejemplo, cosideremos ua progresió aritmética co ua diferecia egativa d = 5 7,, 8,, 6, 8, Su promedio es que correspode al térmio cetral y la suma de los ueve térmios es igual a ueve veces su promedio, es decir 9 = 9. Si a es el promedio de r y s, es fácil ver que r, a, s so los térmios cosecutivos de ua progresió aritmética. Esta es la razó que el promedio de tres úmeros es llamado el medio aritmético. Defiició. Se dice que los úmeros reales a, a, a,..., a,... o ulos está e progresió Geométrica P.G si existe u úmero real q, llamado razó, tal que N : a + a = q De la defiició de P.G teemos dos importates resultados, a saber: N : a = a q N : = a = a q q, q. E particular si q =, N : a = a. Luego = a = a.

15 INDUCCIÓN MATEMÁTICA 5 Si q <, es fácil ver que las potecias aturales de q so decrecietes y para suficietemete grade q tiede a cero, luego a + a + a +... = a q. Cosideremos ua progresió geométrica de la forma 5, 5, 5 4, 5 6, 5 8,...5 Podemos idetificar que su primer térmio es a 0 = 5, de térmios es +. Ilustremos ua forma simple de ecotrar la suma de ua P.G.. Desigemos por S su suma y cosideremos el siguiete arreglo la razó es q = y el úmero S = multiplicado por la aterior igualdad S = Restado, otamos que se cacela los térmios meos dos de ellos obteiedo S = 5 + 5, de dode, S = 5 + = 5 + El medio geométrico de dos úmeros reales positivos a y b se defie por ab, el medio geométrico de tres úmeros reales positivos a, b, c se defie por abc y e geeral para úmeros reales positivos a, a, a, a 4,..., a el medio geométrico se defie por Π i= a i Para que ua suseció de úmeros a, a, a, a 4,..., a este e P.G, es ecesario y suficiete que cada uo de sus térmios excepto el primero, sea igual e valor absoluto al medio geométrico de sus térmios adyacetes, es decir a + = a a + E efecto, si a, a, a, a 4,..., a está e P.G, etoces a + = a q,. Luego a + = a + q, de dode a a + = a+ q a + q = a + = a +. Para probar la suficiecia, cosideremos a + = a a +, de dode, a + = a a +. Luego a + a = a + a +. Obteiedo a = a = a 4 = a 5 =... = q a a a a 4 lo que demuestra que la sequecia de úmeros a, a, a, a 4,..., a está e ua P.G. Se deja como ejercicio al lector, ua importate desigualdad que o es fácil de demostrar, ella es:

16 6 INDUCCIÓN MATEMÁTICA Para a, a, a, a 4,..., a úmeros positivos, se cumple a + a + a + a a 4. Ejerccios resueltos. a a a a 4... a. Determie x de maera que 7, x, 5 sea tres térmios cosecutivos de ua P.G. Como x = 7 5, las solucioes so para x = 4 y x = 4. Otra alterativa para resolver este problema es cosiderado x = 7q, y 7q = 5, de dode q = ±6 y x = ±4. Determie x de maera que 5, x, 8 sea tres térmios cosecutivos de ua P.A. La respuesta imediata es x = 5+8 =. Otra forma para resolver este problema x = 5+d, y 8 = x+d de dode d =, luego x = 5 + =. Dada la suma S de los primeros térmios de ua P.A a, a, a, a 4,..., a, ecuetre los cuatro primeros térmios si S =. 4 Respuesta: Para = 4, S 4 = 0, de dode a + a + a + a 4 = a + a + d + a + d + a + d = 0. Luego d = a. Como S = a +a, reemplazado d obteemos = a + d = 4 a 4 = 4. Luego 4+4a Los cuatro térmios pedidos so 4, 4, 4, 5. Ejercicios propuestos. = 0 lo que determia que a = 4. Determie e cada fila las catidades descoocidas utilizado la iformació dada. a d a S a d a S a 0 0 a b b c 0 c d 5 0 d b q b S a 0 b 8 c d e 8 8 f 656 g 4 0

17 INDUCCIÓN MATEMÁTICA 7 Si a, b, c, d úmeros que esta e P.G, demuestre que b c + c a + d b = a d Ua bomba de vacío extrae la cuarta parte del aire coteido e u recipiete, e cada bombeada. Qué tato por cieto del aire, que origialmete coteía el recipiete, queda después de cico bombeadas?. 4 Calcule la suma de los primeros térmios de la progresió a + b, a, 5 E la figura que se adjuta se tiee que OA = mt, AOB = 0 0. Calcule AB + BC + CD +... a b,... 0 H F D B G E C A 6 E u círculo de radio R se iscribe u cuadrado, e éste cuadrado u círculo, e éste otro círculo u cuadrado y así sucesivamete. Cuál es el límite de las sumas de las áreas de los cuadrados y de los círculos? 7 E u cierto cultivo, las bacterias se duplica cada 0 miutos. cuátas veces el úmero origial de bacterias hay e el cultivo al cabo de horas, supoiedo que igua muere? 8 De ters úmeros que forma ua P.G decreciete, el tercero es. Si es reemplazado por 9, los tres úmeros forma ua P.A. Ecuetre los dos úmeros restates. 9 Determie ua progresió geometrica decreciete e ifiita, de maera que su suma sea, y la suma de los cubos de sus temios sea igual a Utilizado las progresioes, demuestre x + x y + x y xy + y = x+ y + x y 6. Teorema del Biomio Del álgebra elemetal, sabemos que a + b = a + ba + b = a + ab + b, etoces a + b = a + ba + b =a + a b + ab + b Podemos observar que los

18 8 INDUCCIÓN MATEMÁTICA coeficietes del biomio cúbico se puede obteer de la siguiete maera: De aqui podemos tabular los coeficietes de a + b, para = 0,,,..., para el caso = 0, se requiere que a ó b, o sea ulos simultaeamete. a + b 0 a + b a + b a + b a + b 4 El arreglo aterior es coocido como triagulo de Pascal, e hoor al matematico Blaise Pascal 6-66 Defiamos el coeficiete de a b Deomiado coeficiete biomial por =!, dode = 0,,,... co 0! =,! = 4... lease!! factorial Podemos otar que! = 4... lo podemos escribir como! =...4 E geeral +!! + m! por ejemplo, si = y m = 5, + 5! = 400, y! + 5! = 6 Similarmete debemos observar que e geeral!! y m! m!! Utilizado los coeficietes biomiales, el triagulo de Pascal quedaria: a + b 0 a + b a + b a + b a + b 4 7. Ejercicios propuestos Si >, demuestre que! =!

19 INDUCCIÓN MATEMÁTICA 9 Si >, demuestre que! =! Si, demuestre que +! +! = +! 4 Si >, demuestre que!! =! 5 Determie todos los N para los cuales! =! 6 Determie todos los pares de eteros positivos m y de maera que m +! =! m! 7 Resuelva la ecuació para etero positivo +! = 90! 8 Si 0, etoces + + = De la defiicio de los coeficietes biomiales para, m úmeros aturales, m teemos las siguietes propiedades i = 0 m m ii = + m + + iii + = m + m iv = + m+ + Teorema del Biomio. Si a, b R y N, etoces 0 a + a + b = a b + =0 a b = a b ab + b E particular a b, lo puede cosiderar como a + b y Es ecesario otar por la simetria de los coeficietes que a + b = a b = a b =0 Defiamos por T j el térmio j-ésimo e el desarrollo de biomio a + b, etoces T j = a j j b j =0

20 0 INDUCCIÓN MATEMÁTICA luego por razoes practicas y o equivocarse e recordar tatos idices, podemos cosiderar el coeficiete j-ésimo más uo que tiee la forma T j+ = a j j b j E particular a b, lo puede cosiderar como a + b y es dado por a b = a b =0 Ua geeralizació atural del Teorema del Biomio, es el Teorema del Multiomio, sólo daremos su defiició y o etraremos e mas detalles, dejamos al lector más avezado profudizar e esta materia. Para cualquier etero y para r x + x + x x r = r= x,,..., x x r r r dode la suma es sobre toda secuecia de úmeros eteros positivos,,..., r que r = y! =,,..., r!! r! E particular para r = =,, =!!! = 8. Ejercicios resueltos Calcule el térmio idepediete de x y el térmio cetral e caso de que exista e el desarrollo del biomio x x 9. 9 T j+ = j x 9 j 9 x j = j 9 x 9 j j x j = j j x 9 j Luego para j =, se tiee que el cuarto térmio es idepediete de x. Como = 9, o u existe térmio cetral. Obtega el coeficiete de x 8 e el desarrollo de + x x 9 Como x + x + x 9 = =9 x,, x x y el coeficiete que se pide es para x 8, teemos la ecuació + = 8, y las posibilidades so = 5, = 4, = 0 = 6, =, = tal

21 INDUCCIÓN MATEMÁTICA luego, calculado los coeficietes teemos = 9! 5, 4, 0 6,, 5!4!0! + 9! = = 78 6!!! Otra alterativa para resolver este problema es: Desarrollado por el teorema del biomio x x 9 = 9 x x = =0 =0 x x Aalicemos las potecias e el desarrollo de x x co 0 9, es decir e x x = i x i x i = i x +i i=0 Como +i = 8 y 0 i se tiee 0 4 de dode las posibilidades so: =, i = ; = 4, i = 0 y la suma de los coeficietes de x 8 es = Demuestre que =0 E el desarrollo del biomio i=0 + = a + b = =0 a b basta tomar los casos a =, b = y a =, b = para obteer + = = = + = =0 =0 = =0 =0 = 0 4 Determie la suma de todos los coeficietes del poliomio respecto de x que resulta de la expasió biomial de x 4 7 El desarrollo de x 4 7 es dado por 7 =0 7 7 x 7 4 = x x x x

22 INDUCCIÓN MATEMÁTICA Dado que esta igualdad es válida para todo x, e particular lo es para x =. Haciedo x = obteemos la suma de los coeficietes pedida, es decir = 4 7 = 9. Ejercicios propuestos E caso de existir, obtega el coeficiete de x 7 e el desarrollo de x +x+x 8 Determie el coeficiete del térmio idepediete de x e el desarrollo de Si e la expasió biomial de x + x 6 y + 4 y 4 los primeros tres coeficietes forma ua progresió aritmética. Ecuetre los térmios de la expasió e los cuales los expoetes de y sea úmeros aturales. 4 Si + x + x + x 5 = a 0 + a x + a x a 5 x5 determie el valor exacto de a 0. 5 Determie ua relació etre a y de modo que e el desarrollo de + a aparezca dos térmios cosecutivos iguales. 6 Escriba [ ] como u poliomio e, y utilice el hecho que siempre es u etero r para dar ua ueva demostració que + 5 es múltiplo de 6 para todo etero. 7 Determie los úmeros a y b, de maera que para todo atural = 6 + a + b 8 Demuestre por iducció matemática que s + i s + + = s s + i=0

23 INDUCCIÓN MATEMÁTICA Determie u cotra ejemplo para la siguiete proposició Cojetura errada de Isaac Newto N, = a 0 a a...a dode los dígitos está dados por: a j = = j!, j = 0,,,... co 0! =,! = 4... j!j! es fácil demostrar que la proposició es verdadera para = 0,,,, 4. Si embargo, para = 5 la proposició o se cumple dado que Observacio. Los coeficietes a j ates calculados so llamados coeficietes biomiales y su tabulacio e u arreglo triagular se cooce co el ombre de Triágulo de Pascal ver Figura