ESTÁTICA Jacqueline Rodríguez Aguilera

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1 ESTÁTIC

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3 ESTÁTIC Jacquelie Rodríguez guilera Tecológico de Estudios Superiores Jilotepec PRIMER EDICIÓN EBOOK MÉXICO, 2014 GRUPO EDITORIL PTRI

4 ifo editorialpatria.com.m Direcció editorial: Javier Erique Callejas Coordiació editorial: Estela Delfí Ramírez Producció: Gerardo Brioes Gozález Diseño de iteriores portada: Jua Berardo Rosado Solís Ilustracioes: Gustavo Vargas M. Jorge Martíez J. Fotografías: Thikstockphoto Diagramació: Gustavo Vargas M. Jorge Martíez J. Revisió técica: M. e C. Sergio Saldaña Sáchez Istituto Politécico Nacioal M. e C. Hugo Gustavo Gozález Herádez Istituto Tecológico de Estudios Superiores de Moterre Estática Derechos reservados: 2014, Jacquelie Rodríguez guilera 2014, GRUPO EDITORIL PTRI, S.. DE C.V. Reacimieto 180, Coloia Sa Jua Tlihuaca Delegació zcapotzalco, Código Postal 02400, Méico, D.F. Miembro de la Cámara Nacioal de la Idustria Editorial Meicaa Registro Núm. 43 ISBN ebook: Queda prohibida la reproducció o trasmisió total o parcial del coteido de la presete obra e cualesquiera formas, sea electróicas o mecáicas, si el cosetimieto previo por escrito del editor. Impreso e Méico Prited i Meico Primera edició ebook: 2014

5 Dedicatoria mis padres Idalecio Rosaura por todo su amor.

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7 gradecimietos gradezco a mi esposo Roberto a mis hijos Jacquelie Roberto por toda la paciecia, toleracia amor que me diero durate la realizació de esta obra. gradezco a la igeiera Estela Delfí Ramírez por darme la oportuidad de hacer realidad u sueño, así como todo su apoo paciecia. VII

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9 Presetació Esta obra está formada por cuatro uidades pretede ser de gra utilidad para los estudiates de igeiería, pues cotiee ua gra catidad de problemas resueltos que muestra paso a paso los cálculos realizados para llegar a la solució, haciedo uso de coocimietos básicos ecesarios como aritmética, geometría, álgebra trigoometría, así como tambié ua gra catidad de problemas propuestos para que se aplique los coceptos de la estática, los cuales se aborda co gra simplicidad para su fácil compresió. La primera uidad aborda temas fudametales como las lees de Newto, los sistemas de uidades, vectores equilibrio de la partícula, puesto que estos temas se aplicará e la maoría de los problemas de los siguietes capítulos. La seguda aborda temas como equilibrio de cuerpo rígido, mometo de ua fuerza sistemas equivaletes de equilibrio. Se hace ua clara diferecia etre el equilibrio de ua partícula el de u cuerpo rígido, aplicado coceptos como el pricipio de la trasmisibilidad fuerzas cocurretes coplaares. E la tercera uidad se aplica las lees de Newto, para eteder los coceptos de accioes reaccioes, aplicádolas e estructuras tales como vigas, armaduras, marcos cables e forma de cargas apoos. E la cuarta última uidad se calcula las propiedades de seccioes plaas, tales como cetroides, mometos de iercia, radios de giro módulos de secció, etre otros, como coceptos abstractos que tedrá su aplicació fial e temas como cálculo de esfuerzos. Tambié se aborda el tema de la fricció, de ua forma secilla, co problemas efocados al aálisis de diversas situacioes para que su compresió sea simple. Cabe mecioar que todos los temas que comprede esta obra so la base para eteder poder resolver problemas de resistecia de materiales, que es tambié ua parte fudametal e la formació de u igeiero. La autora IX

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11 Coteido Uidad 1 Itroducció Qué es la Estática? Coceptos fudametales Lees de Newto Sistemas de uidades Coversió de uidades Vectores Suma de vectores Compoetes rectagulares de u vector e el plao Compoetes rectagulares de u vector e el espacio Vectores uitarios Equilibrio de la partícula 15 Problemas para resolver 18 Problema reto 25 Referecias bibliográficas 26 Referecias electróicas 26 Uidad 2 Equilibrio de cuerpos rígidos Estática del cuerpo rígido Pricipio de trasmisibilidad Producto vectorial Producto escalar Mometo de ua fuerza co respecto a u puto Mometo de u par Sistema equivalete de fuerzas Equilibrio de u cuerpo rígido e el plao Equilibrio de u cuerpo rígido e el espacio 41 Problemas para resolver 44 Problema reto 51 Referecias bibliográficas 52 Referecias electróicas 52 XI

12 Coteido Uidad 3 Vigas, armaduras, marcos cables Grados de libertad Tipos de apoos cargas Clasificació de estructuras Elemetos mecáicos Coveció de sigos Vigas: reaccioes, diagramas de cortate mometo Vigas Gerber Tipos características de las armaduras Marcos simples Cables co carga cocetrada 85 Problemas para resolver 89 Problema reto 101 Referecias bibliográficas 101 Referecias electróicas 102 Uidad 4 Cetroides, mometos de iercia fricció Cetros de gravedad Cetroides de áreas Mometo de iercia de u área Mometo polar de iercia Radio de giro de u área Teorema de Steier o de ejes paralelos Producto de iercia Módulo de secció Lees de la fricció Coeficietes de fricció Águlos de fricció 126 Problemas para resolver 129 Problemas reto 135 Referecias bibliográficas 136 Referecias electróicas 136 XII

13 UNIDD 1 Itroducció Objetivos Eteder los coceptos de estática, espacio, tiempo, masa fuerza. Coocer las Lees de Newto. Recoocer las uidades de los diferetes sistemas de uidades. Eteder el cocepto de vector como ua fuerza. Eteder los coceptos de cocurretes, coplaares, resultate compoetes, así como equilibrio de ua partícula Coocer la aplicació de las operacioes etre vectores, como suma resta. Coocer la aplicació de vectores uitarios. Coocer las compoetes rectagulares de u vector. Costruir diagramas de cuerpo libre. Qué sabes? Cuál es la diferecia etre masa fuerza? Qué sigifica 1 N? Cómo se covierte uidades de u sistema a otro sistema? Cuál es la diferecia etre ua catidad vectorial ua escalar? Cuáles so los elemetos de u vector? Cómo idealizar u problema co vectores a partir de este costruir u diagrama de cuerpo libre? Cuáles so los tipos de compoetes que puede teer u vector cómo se obtiee? Qué es el cocepto de resultate de fuerzas?

14 UNIDD 1 Itroducció 1.1 Qué es la Estática? Hasta la fecha, ha diversas defiicioes de Estática, pero todas estas se basa e la Mecáica. La Mecáica es ua ciecia que estudia el comportamieto de los cuerpos sometidos a fuerzas, a sea que estos se ecuetre e reposo o e movimieto. La Mecáica se divide e tres ramas pricipales: 1) Mecáica de los cuerpos rígidos; 2) Mecáica de los cuerpos deformables; 3) Mecáica de fluidos. Para su estudio, la Mecáica de los cuerpos rígidos, a su vez, se divide e Estática (estudio de los cuerpos e reposo o que se mueve co ua velocidad costate) Diámica (estudio de los cuerpos e movimieto acelerado). Cuado varias fuerzas actúa sobre u cuerpo, cada ua de dichas fuerzas lo desplaza e ua direcció co ua itesidad que depede de la fuerza aplicada. Si, a pesar de la aplicació de las fuerzas, el cuerpo permaece e reposo o se mueve, se dice que está e estado de equilibrio. l estudio de las fuerzas aplicadas a cuerpos e estado de equilibrio se le llama Estática. 1.2 Coceptos fudametales Los coceptos fudametales que se emplea e la Mecáica so: espacio, tiempo, masa fuerza. El espacio se refiere a la posició de ua partícula e tres dimesioes; el tiempo sirve para medir los itervalos etre evetos; la masa es ua forma cuatitativa de medir la resistecia de u cuerpo a ser acelerado, la fuerza es la acció sobre u cuerpo, que se caracteriza por teer puto de aplicació, magitud, direcció setido; por lo geeral, esta última (fuerza) se represeta mediate u vector. 1.3 Lees de Newto Las lees de Newto se refiere al movimieto de las partículas so: 1 a Le. Ua partícula permaecerá e reposo o se moverá a velocidad costate si la resultate de las fuerzas que actúa sobre ella es cero. 2 a Le. Si la resultate de las fuerzas que actúa sobre ua partícula es diferete de cero, la partícula tedrá ua aceleració proporcioal a la magitud de la resultate e el setido de esta. Se represeta mediate la epresió: F = m a 3 a Le. toda acció correspode ua reacció de igual magitud, pero de setido cotrario. 1.4 Sistemas de uidades Eiste uidades para medir la logitud, la masa, el tiempo la fuerza, para eso se utiliza el Sistema Iteracioal de Uidades (SI) o el Sistema Iglés de Uidades. Sistema Iteracioal de Uidades El Sistema Iteracioal de Uidades (SI) se usa de maera uiversal, e este la logitud se mide e metros (m), la masa e kilogramos (kg), el tiempo e segudos (s) la fuerza e Newtos (N). Las uidades fudametales del SI so kg, m s; la uidad de fuerza es derivada se obtiee por medio de la 2 a le dode para acelerar 1 kg 1 m/s 2 se ecesita aplicar ua fuerza de 1 N. F = 1 kg (9.807 m/s²) = 9.81 N

15 Grupo Editorial Patria Cuado las catidades uméricas so demasiado grades o pequeñas, se puede usar prefijos como los que se lista e la siguiete tabla: tabla 1.1 Múltiplos Forma epoecial Prefijo Símbolo Kilo k Mega M Giga G Submúltiplos Mili M Micro µ Nao N 1.5 Coversió de uidades E ocasioes, para solucioar u problema, es ecesario covertir alguas uidades de u sistema a otro, a fi de que eista cogruecia; asimismo, tambié es ecesario covertir alguas uidades a su forma básica, para obteer uidades derivadas, como el Newto (N). tabla 1.2 Sistema Logitud Masa Tiempo Fuerza Iteracioal Iglés Metros m Pies f t Kilogramos kg Slug lb s 2 /f t Segudos s Segudos s Newto N Libras lb La coversió de uidades e el mismo sistema solo cosiste e recorrer el puto decimal tres lugares, a sea a la izquierda o a la derecha. Para las uidades de masa: 1 to = kg 1 g = kg 1 kg = to = to 1 kg = g Para las uidades de logitud: 1 km = m = m mm = m = m Para las uidades de tiempo: 1 h = 60 mi = s Para las uidades de fuerza: 1 kn = N N = kn Cuado la coversió de uidades es de u sistema a otro, es ecesario utilizar los factores de coversió o equivalecias: 1 f t = 12 i 1 i = 25.4 mm = 2.54 cm

16 UNIDD 1 Itroducció 1 f t = 12 i 25.4 mm 1 i = mm = cm = m 1 lb = kg = g 1 slug = 1 lb s2 f t = 1 lbs2 f t 1 lb = ( kg)(9.807 m/s²) = N 1.6 Vectores U vector es ua represetació gráfica que describe ua catidad física, como el peso de u objeto, la tesió e u cable, el empuje sobre u cuerpo, el desplazamieto, la velocidad, la aceleració, la posició, la fuerza el mometo. Los elemetos que coforma u vector so los siguietes: Magitud. Determia la logitud de la flecha (vector) correspodiete se represeta co ua líea. Muestra u valor umérico asociado co ua uidad de medida e kg, N, kg/m, m/s, m/s 2 o N/m, m, f t, lb, kip. Orige del vector. Puto de iicio. Direcció. Orietació defiida por el águlo que forma el vector co u eje de referecia del sistema cartesiao. Setido. Se represeta co ua flecha situada e u etremo de la líea, la cual idica hacia dóde se dirige el vector. 1.7 Suma de vectores Eiste dos formas de sumar vectores: Gráfica (mediate el método del paralelogramo, por la regla del triágulo el método del polígoo). alítica (mediate las compoetes rectagulares). Método del paralelogramo Este método cosiste e sumar dos vectores B, los cuales se coloca e el mismo orige, al tiempo que se traza líeas paralelas a los vectores B, para que coicida co los etremos de los mismos, formado así u paralelogramo. Luego, si se traza ua líea diagoal que ua al puto orige co la itersecció de esas líeas, se ecuetra la resultate R de los vectores + B, como se muestra e la figura 1.1. R = + B B + B = R O Figura 1.1 Resultate de dos vectores por el método del paralelogramo.

17 Regla del triágulo Grupo Editorial Patria La regla del triágulo cosiste e utilizar, de maera idistita, solo la mitad del paralelogramo, a sea el superior o el iferior. El vector B se coloca dode termia el vector luego se ue mediate ua diagoal, que va desde el orige de hasta la puta de flecha de B, co lo que se obtiee la resultate R de los vectores + B, como se muestra e la figura 1.2. B R = + B R = + B O Figura 1.2 Resultate de dos vectores por la regla del triágulo. O B Método del polígoo El método del polígoo se utiliza cuado se tiee más de tres vectores. El procedimieto cosiste e colocar el orige del vector B e el etremo de la flecha del vector, el orige del vector C e el etremo de la flecha del vector B así sucesivamete; para obteer la resultate R, se ue el orige del primer vector co el etremo de la flecha del último vector, como se muestra e la figura 1.3. B C R = + B + C O Figura 1.3 Suma vectorial de tres vectores por el método del polígoo. Compoetes rectagulares Este método es ua forma aalítica de sumar vectores, e la cual es ecesario descompoer cada vector e sus compoetes rectagulares, mediate la trigoometría o las proporcioes. lerta Recuerda que las fuerzas coplaares se ecuetra coteidas e el mismo plao (véase figura 1.4). lerta Recuerda que las fuerzas cocurretes pasa por el mismo puto (véase figura 1.5). B B O C O C Figura 1.4 Represetació de fuerzas coteidas e el mismo plao (fuerzas coplaares). Figura 1.5 Fuerzas cocurretes.

18 UNIDD 1 Itroducció 1.8 Compoetes rectagulares de u vector e el plao sí como la suma de dos o más vectores origia u vector llamado resultate, mediate el proceso iverso se obtiee las compoetes rectagulares de u vector o del vector resultate. Las compoetes rectagulares se llama así porque so perpediculares etre sí forma u águlo recto. Si se utiliza u marco de referecia, como el plao cartesiao, las compoetes rectagulares se puede represetar por medio el uso de la trigoometría como la proecció del vector sobre los ejes (véase figura 1.6). F F O θ F Figura 1.6 Proecció de ua fuerza (compoetes rectagulares de u vector). Las compoetes rectagulares de F so F F, se obtiee de la siguiete forma: F = F cos θ F = F se θ las catidades escalares F F se les llama compoetes escalares de F, de modo que los vectores tiee compoetes vectoriales compoetes escalares. lerta Recuerda que la Le de los seos es: se a = B se b = C se c Y se represeta de la siguiete forma: lerta Recuerda que la Le de los coseos es: 2 = B 2 + C 2-2BC cos a B 2 = 2 + C 2-2C cos b = B 2 + C 2-2 BC cos a B = 2 + C 2-2 C cos b c C 2 = 2 + B 2-2B cos c C = 2 + B 2-2 B cos c B a Figura 1.7 Le de seos coseos. C b

19 Grupo Editorial Patria Problema resuelto Dos fuerzas B actúa sobre u torillo, como se muestra e la figura 1.8. Calcular la magitud de la resultate R su direcció, por la regla del triágulo. B = 75 N 35 = 45 N 25 Figura 1.8 Fuerzas sobre u torillo. Solució Primero, se dibuja el vector e su etremo fial el vector B ; a cotiuació, el orige del vector se ue co el fial del vector B mediate ua diagoal (que represeta la resultate R ), como se muestra e la figura 1.9. Luego, se calcula los águlos iteriores del triágulo, dode: C = = 145 E seguida, mediate la Le de los coseos la Le de los seos se calcula el valor de la resultate los águlos faltates, así: R 2 = 2 + B 2-2B cos c = (2)(45)(75) cos 145 = R = = N Figura 1.9 Resultate de dos vectores. R C φ B La comprobació de la solució se puede realizar por medio de la Le de los seos: a se a = B se b = C se c 45 se a = 75 se b = se se 145 = se a a = se = R B se 145 = se b b = se = Para determiar la direcció de la resultate, se debe sumar el águlo al cual se ecuetra el vector (que es de 25 ) más el águlo iterior b. De la figura 1.10, se tiee que: φ = 25 + b = = 47 b φ Figura 1.10 Suma vectorial del problema resuelto. c 7

20 UNIDD 1 Itroducció Problema resuelto hora, se pide que se resuelva el mismo problema por el método de las compoetes rectagulares. Para ello, primero se debe descompoer cada vector, obteiedo su compoete e direcció (véase figura 1.11). B = 75 N Tabla 1.3 Vector Magitud (N) Compoete Compoete cos 25 = se 25 = B cos 60 = se 60 = = 45 N F = N F = N Figura 1.11 Fuerzas e el torillo. Solució Para obteer el valor de la resultate, primero se aplica el teorema de Pitágoras, co el que se obtiee: R 2 = F 2 + F 2 = ( ) 2 + ( ) 2 = R = = N Para obteer la direcció de la resultate, se utiliza la siguiete fució trigoométrica: ta φ = F F = φ = ta = 47 Problema resuelto Varias fuerzas actúa de maera simultáea sobre ua armella, como se muestra e la figura Calcular la magitud de la resultate la direcció e la que actúa. F 1 = 175 N F 2 = 65 N 18 F 3 = 125 N F 4 = 95 N Figura 1.12 Fuerzas e la armella. 8

21 Grupo Editorial Patria Solució El método más recomedable para resolver este problema es mediate compoetes rectagulares, a que se trata de cuatro fuerzas que actúa simultáeamete. La figura 1.13 muestra las compoetes rectagulares de cada vector. F 1 F 2 se 18 F 2 cos 18 F 3 cos 36 F 4 se 25 F 3 se 36 Figura 1.13 Descomposició de las fuerzas e la armella. F 4 cos 25 Primero, se procede a calcular las compoetes de cada vector fuerza: Tabla 1.4 Vector Magitud Compoete Compoete Compoete Compoete (N) (+) ( ) (+) ( ) F F cos 18 = se 18 = F cos 36 = se 36 = F se 25 = cos 25 = = N = N = N = N F (+) F (-) F (+) F (-) F = = N F = = N R 2 = F 2 + F 2 = ( ) 2 + ( ) 2 = R = = N La direcció de la resultate está dada por: ta φ = F F = φ = ta = R = N φ = Figura

22 UNIDD 1 Itroducció lerta Recuerda que u diagrama de cuerpo libre es u dibujo simplificado que represeta a la partícula a las fuerzas que actúa e esta (véase figura 1.15). F 2 Problema resuelto Dos cables de acero sostiee u equipo que será colocado sobre ua lacha o balsa; el peso del equipo es de 875 kg. Determiar la fuerza de tesió que se preseta e cada cable, si el equipo se ecuetra e la posició que se muestra e la figura B F 1 F 3 F 4 65 O 40 Figura 1.15 Diagrama de cuerpo libre. Figura 1.16 Solució Primero, ha que covertir el peso del equipo a ua fuerza atraída por la gravedad, co la cual se obtiee: F = m g Dode g es la aceleració debida a la gravedad: g = 9.81 m s 2 F = 875 kg 9.81 m s 2 = N Luego, se dibuja u diagrama de cuerpo libre (véase figura 1.17), dode se represete las fuerzas que actúa simultáeamete e el puto O. B O 40 F B F B N 40 Figura 1.17 E seguida, se calcula los águlos iteriores del triágulo mediate geometría, sumas restas. 10

23 Grupo Editorial Patria Por último, a través de la Le de los seos se obtiee fialmete la fuerza de tesió que se preseta e los cables B: se a = B se b = F se c se 50 = B se 25 = se se 50 se se 25 se 105 = = N = B B = N Problema resuelto U perfil de acero es levatado por ua grúa, mediate dos cables B, como se muestra e la figura Determiar la magitud direcció de la fuerza resultate R. = 25 N B = 30 N Figura 1.18 Solució Para resolver este problema, primero se calcula las compoetes de cada vector de la siguiete forma: = 25 4 = N 8.1 e direcció - = 25 7 = N 8.1 e direcció + B = 30 3 = N 5 e direcció + Tabla 1.5 Vector B = 30 4 = N e direcció + 5 Magitud (N) Compoete (+) Compoete ( ) Compoete (+) Compoete ( ) B = N = N = N F (+) F (-) F (+) F (-) 11

24 UNIDD 1 Itroducció La direcció de la resultate está dada por: F = = N F = = N R 2 = F 2 + F 2 = (5.6543) 2 + ( ) 2 = R = = N ta φ = F F = φ = ta = R = N N ˆj φ = Figura N ˆi 1.9 Compoetes rectagulares de u vector e el espacio Para el espacio, se tiee que las compoetes de u vector so: F = F i + F j + F zk Dichas compoetes se obtiee proectado el vector F sobre los ejes, z, mediate los águlos φ, φ φ z, que el vector forma co cada uo de los ejes. La compoete e cada direcció se obtiee como sigue: F i = F cos φ F j = F cos φ F zk = F cos φ z los coseos de φ, φ φ z se les cooce como coseos directores: cos φ, cos φ, cos φ z La figura 1.20 represeta las compoetes rectagulares de u vector F e el espacio, dode F muestra la proecció vertical sobre el eje, F h muestra la proecció sobre u plao horizotal z. El vector F h se proecta uevamete sobre los ejes z, obteiedo las compoetes F F z. F F θ F F O O O φ θ F h F z φ F h F z z z Figura

25 Grupo Editorial Patria Por su parte, la figura 1.21 muestra la obteció de los vectores F, F F, a partir de sus coseos z directores. F O F θ θ O F O F F z θ z F z Figura 1.21 z z 1.10 Vectores uitarios U vector uitario es aquel que posee las mismas propiedades que su vector origial, pero su magitud es la uidad, por lo que su direcció setido permaece iguales. E la figura 1.22 se muestra el vector F, co ua magitud de 5 N, su vector uitario fˆ, co ua magitud de 1 N. La forma de obteer dicho vector es dividiedo cada ua de sus compoetes rectagulares F, i F j F, etre el zk módulo o la magitud del vector, que se ecuetra dado por: F = F i + F j + F zk compoetes del vector F. F = F 2 + F 2 + F z 2 módulo del vector F para el espacio. fˆ = F i F + F j F = fˆi + fˆj compoetes del vector uitario f e el plao. fˆ = F i F + F j + F zk = + + compoetes del vector uitario f e el espacio. fˆi fˆj fˆzk F F f = 1 N F = 5 N z Figura

26 UNIDD 1 Itroducció Problema resuelto Ua grúa sostiee ua estructura metálica, como se muestra e la figura 1.23, hasta que el cable P se tesa co ua fuerza de 3.45 kn. P 40 m P 20 m z O 15 m Figura 1.23 Determiar: a) Las compoetes F, F F del vector z P. b) Los águlos θ, θ θ z, que forma el vector P co los ejes z. Solució a) Primero, se calcula el vector distacia del puto al puto P: P = d î + d ĵ + d z kˆ = -20 m î + 40 m ĵ + 15 m kˆ Luego, se calcula el módulo de P como: P = d 2 i + d 2 j + dz 2 k = (-20) 2 + (40) 2 + (15) 2 = = Después, se obtiee el vector uitario de P de la siguiete maera: d d d z U = î + ĵ + P P P P kˆ = -20 m î + 40 m ĵ + 15 m kˆ U = î ĵ kˆ P Por último, la fuerza de 3.45 kn se covierte e u vector fuerza, utilizado las propiedades del vector uitario (direcció setido), las cuales so las mismas que el vector distacia. F P = F (U P î + U P ĵ + U P z kˆ ) = (3.45 kn)( î ĵ kˆ ) F P = F P î + F P ĵ + F P z kˆ = kn î kn ĵ kn kˆ F P î = N î F P ĵ = N ĵ F P z kˆ = N kˆ 14

27 Grupo Editorial Patria b) Para calcular los águlos directores, se utiliza la siguiete epresió: q = cos -1 F P i q = cos -1 F P j q z = cos -1 F P z k F P = cos F P = cos F P = cos = cos-1 (-0.424) = = cos-1 (0.848) = = cos-1 (0.318) = Equilibrio de la partícula Se dice que ua partícula se ecuetra e equilibrio si la resultate de las fuerzas que actúa sobre esta es cero; es decir, se cotrarresta, como se muestra e la figura Las ecuacioes que defie el equilibrio de la partícula so: F a R = F i = 0 F = 0 F = 0 F a + F b = 0 F b Figura 1.24 Problema resuelto Determiar si la partícula P de la figura 1.25 se ecuetra e equilibrio. F 1 = 40 N 30 F 4 = 30 N F 2 = 20 N 30 F 3 = N Figura 1.25 Solució Primero, se calcula las compoetes de cada vector e direcció, a fi de formular las ecuacioes de equilibrio de la siguiete maera: F = 0 -F 1 - F 2 + F 4 = 0-40 se se = 0 F = = = 0 0 = 0 F = 0 F 1 - F 2 - F 3 = 0 40 cos cos = 0 F = = = 0 0 = 0 De lo aterior, se puede cocluir que la partícula P se ecuetra e equilibrio. 15

28 UNIDD 1 Itroducció Problema resuelto Determiar la fuerza de tesió P co la cual ua grúa jala a la torre e el puto P, si dicha torre está aclada por tres cables:, B C, la tesió e el cable P es de F a = kips, como se aprecia e la figura P 70 ft 10 ft 10 ft O C 20 ft z 45 ft B 10 ft 15 ft Figura 1.26 Solució Primero, se calcula los vectores distacia del puto P a los putos, B C: P = d î + d ĵ + d z kˆ = 20 f t î + 70 f t ĵ - 10 f t kˆ BP = d î + d ĵ + d z kˆ = -45 f t î + 70 f t ĵ - 10 f t kˆ CP = d î + d ĵ + d z kˆ = -10 f t î + 70 f t ĵ - 15 f t kˆ Luego, se calcula los módulos de P, BP CP como: P = d 2 + d 2 + dz 2 = (20) 2 + (70) 2 + (-10) 2 = = BP = d 2 + d 2 + dz 2 = (-45) 2 + (70) 2 + (-10) 2 = = CP = d 2 + d 2 + dz 2 = (-10) 2 + (70) 2 + (15) 2 = = ú falta las uidades (f t ). Después, calculamos los vectores uitarios de P, BP CP de la siguiete maera: U = d î d ĵ d z kˆ 20 f t 70 f t -10 f t P P + P + P = î + ĵ + kˆ U = î ĵ kˆ P U = d î d ĵ d z kˆ -45 f t 70 f t -10 f t BP BP + BP + BP = î + ĵ + kˆ U = î ĵ kˆ BP 16

29 Grupo Editorial Patria U = d î d ĵ d z kˆ -10 f t 70 f t 15 f t CP CP + CP + CP = î + ĵ + kˆ U = î ĵ kˆ CP Por último, los vectores uitarios (distacia) se covierte e vectores fuerza se platea las ecuacioes de equilibrio, cosiderado que la fuerza de tesió que ejerce la grúa hacia arriba se deomia P ĵ : F P = Fa (U P î + U P ĵ + U P z kˆ ) = (Fa)( î ĵ kˆ ) F P = (1.350 kips)( î ĵ kˆ ) F P = ( î ĵ kˆ ) F BP = Fb (U BP î + U BP ĵ + U BP z kˆ ) = (Fb)( î ĵ kˆ ) F BP = ( Fb î Fb ĵ Fb kˆ ) F CP = Fc (U CP î + U CP ĵ + U CP z kˆ ) = (Fc)( î ĵ kˆ ) F CP = ( Fc î Fc ĵ Fb kˆ ) F i = î Fb î Fc î = 0 (1) F j = ĵ Fb ĵ Fc ĵ + P ĵ = 0 (2) F z k = kˆ Fb kˆ Fc kˆ = 0 (3) El sistema de tres ecuacioes se resuelve co tres icógitas: Luego, se despeja Fc de la ecuació 1: Fb = Fc Fc = Fb - = Fb Fb + (0.2075)( Fb) = 0 Después, se sustitue el valor de Fc e la ecuació 3, para obteer Fb: Fb Fb = Fb = = Fb Fb = = kips Fc = (0.3974) = kips (0.3974) (1.1146) = P Fialmete, co el valor de Fc Fb, se obtiee el valor de P de la ecuació = P P ĵ = kips 17

30 UNIDD 1 Problemas para resolver 1.1 Para que u barco atraque se utiliza tres cables, como se muestra e la figura Calcular: a) Las compoetes de cada uo de cables. b) La magitud de la resultate. c) La direcció de la resultate. 1.4 E la pared de ua casa se coloca ua argolla que sujeta tres cables, como se aprecia e la figura Calcular: a) Las compoetes de cada uo de cables. b) La magitud de la resultate. c) La direcció de la resultate. 180 lb lb 125 lb lb lb Figura Para que u barco atraque e u puerto se utiliza tres cables, como se muestra e la figura Calcular: a) Las compoetes de cada uo de cables. b) La magitud de la resultate. c) La direcció de la resultate kn 1.36 kn N Figura lb 1.5 Ua armella está sujeta a ua losa, como muestra la figura 1.31, mietras tres cables está amarrados a esta. Calcular: 15 a) Las compoetes de cada uo de cables. b) La magitud de la resultate. c) La direcció de la resultate. 60 N Figura E el techo de u taller se coloca ua argolla de la cual cuelga tres cables, como se muestra e la figura Calcular: a) Las compoetes de cada uo de cables. b) La magitud de la resultate. c) La direcció de la resultate. Figura N N 1.6 La armella que se represeta e la figura 1.32 está sujeta a la acció de tres fuerzas. Calcular: a) Las compoetes de cada uo de los cables. b) La magitud de la resultate. c) La direcció de la resultate lb Figura N N N Figura lb lb 18 Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver co tecología