Principios fundamentales de fuerza y stress

Transcripción

1 Pricipios fudametales de fuera y stress uera y stress Los movimietos detro del mato y la cortea, activados termal y gravitacioalmete, so las causas pricipales de las fueras y campos de stress que resulta e el desarrollo de pliegues, fallas y estructuras meores de diferetes tipos. Para eteder los procesos mecáicos que origia estas estructuras, se debe itroducir los coceptos de fuera y stress. uera La fuera es usualmete defiida como cualquier acció que altera o tiede a alterar el estado de reposo de u cuerpo o su movimieto a velocidad costate. Cuado ua fuera actúa e u cuerpo, ésta puede ser especificada completamete si uo cooce: su direcció de acció e el espacio su magitud La fuera es, por cosiguiete, u vector. La magitud de ua fuera es medida por su efecto. Así, uo puede medir ua fuera por e peso que soportará. E diámica, que es la rama de la mecáica que estudia el movimieto, la magitud de ua fuera es medida por el movimieto que iducirá e u tiempo dado. Esto queda muy bie epresado por la eguda Ley de Newto que sostiee: ma. i se cosidera la aceleració de gravedad ( g 9, 8 m/s ), la fuera ejercida por ua masa de kg que reposa e superficie de la tierra es de 9, 8Newto. Alguas uidades de fuera so: Newto kg s * m Dya gr s i dos fueras actúa e u puto, etoces al ser vectores, ellas puede ser combiadas gráficamete por el paralelógramo de fueras: * m

2 R De maera aáloga, ua fuera puede ser descompuesta e dos o más compoetes. Esto último puede ser realiado de ifiitas formas, pero e la mayoría de los aálisis es ecesario (o coveiete) resolver las fueras e dos direccioes perpediculares etre sí. Por ejemplo, la figura siguiete muestra ua partícula rectagular, de masa M, descasado sobre u plao icliado φ grados co respecto a la horiotal. α t t α La fuera geerada por esta masa M e el campo gravitacioal actúa verticalmete. La magitud de la compoete de fuera que actúa tagecialmete a la superficie icliada y que tiede a desestabiliar el cuerpo (t ), está dada por: t siα (6.) La magitud de la compoete ormal al plao icliado es: cosα (6.) i el águlo α es pequeño, la compoete desestabiliadora es tambié pequeña y la partícula de masa M o desliará debido a la resistecia al movimieto geerada por ua fuera friccioal.

3 i el águloα es gradualmete aumetado, t tambié aumeta y dismiuye. Cuado el águlo α alcaa u valor crítico φ la resistecia al movimieto es sobrepasada y la partícula comiea a desliarse. Este águlo crítico es característico de los materiales que costituye el plao icliado y la partícula. Eperimetalmete se ha demostrado que cuado dos cuerpos está e cotacto a lo largo de ua superficie plaa, la fuera friccioal que tiede a impedir el movimieto es proporcioal a la reacció ormal, o fuera ormal, que actúa e la superficie. Esta raó costate es deomiada coeficiete de fricció itera µ : t siφ µ taφ cosφ (6.) Como veremos más adelate, el cocepto de fricció juega u importate papel e la mecáica de movimietos e fallas y fracturas. tress i u cubo de graito de lado 5 cm se sometiera a ua fuera compresiva de 0000 kg (0 toeladas), igualmete distribuida e toda la cara, sólo se observaría ua deformació ifiitesimal (strai). i embargo, si se aplicara la misma carga a u cubo del mismo material, pero de lado /0 del largo aterior, es decir de lado.5 cm, el cubo meor sería pulveriado por la acció de esta fuera. La magitud de la fuera aplicada es la misma e ambos casos y la diferecia de comportamieto e los dos cubos es el resultado de la diferecia de stress iducido por la fuera e cada caso. tress se defie como fuera por uidad de área: (6.4) A Uidades de stress N Pa( pascal) m KN ( Pa) 0. cm ( bar) 0.( MPa) kgf ( MPa) 0 cm Prefijos

4 E el ejemplo aterior el stress e el cubo grade fue: (/A; m*a) M0.000 kg 5 cm E el cubo pequeño: M0.000 kg.5 cm e puede ver etoces que el stress e el cubo pequeño ecede la resistecia a la compresió del graito, e cambio e el cubo grade, el stress aplicado o es suficiete para romper el cubo. La resistecia a la compresió uiaial teórica del graito es de 00 a 00 MPa. E el ejemplo mecioado, se asumió que la direcció de acció de la fuera era perpedicular a la superficie del cubo y por lo tato, o había compoete de fuera actuado tagecialmete a las superficies del cubo. El stress que actúa perpedicular a ua superficie se defie como stress pricipal cuado el stress de cialle total actuado e esa superficie es cero. i hay sólo u stress pricipal actuado e u cuerpo y éste es compresivo, se deomia compresió uiaial. i hay dos o más stresses actuado e u cuerpo, la codició se deomia compresió biaial o triaial, respectivamete. Las direccioes e las que actúa los stresses pricipales so siempre ortogoales etre sí.

5 Tesor de stress tress e u plao U stress cualquiera aplicado a u plao puede ser resuelto e tres compoetes: El stress puede ser epresada e térmios de u stress ormal (stress perpedicular al plao), y dos stresses de cialle (paralelos al plao e las dos direccioes ortogoales del sistema de ejes elegido). Para resolver el problema, se requiere simplificar y se realia mediate el aálisis de stress e u puto. (El stress a través de u volume puede variar). tress e u puto e cosidera u puto como u cubo ifiitamete pequeño, es obvio que u cubo tiee seis caras, o tres pares de plaos como caras, de las cuales se cosiderará tres porque las otras tres caras paralelas so idéticas.

6 E el diagrama se muestra el stress e cada cara, e térmios de tres vectores del stress. Resulta 9 stresses, los cuales se puede epresar e ua matri geeral de stress. Tesor de stress. i el cubo está e el equilibrio (o rota), etoces, y. Así, hay solamete seis compoetes idepedietes del tesor de stress (tesor simétrico). i el cubo se orieta de maera tal que el stress pricipal que actúa e la cara es ormal a uo de los plaos, los stresses de cialle se hace 0 y el Tesor se reduce a:

7 i cosideramos e u cuerpo u plao tal que se ecuetra icliado co respecto a la direcció de la fuera aplicada o stress pricipal, es claro que la fuera puede descompoerse e ua compoete actuado ormal y otra paralela al plao itero. Estas se correspode co u stress ormal ( ) y otro de cialle ( ). a a A meudo es coveiete represetar los stresses e u sistema de tres coordeadas que posea ua coordeada vertical y las otras dos e u plao horiotal. Por coveció, el subídice se usa para idicar es stress que actúa e la vertical ( ). Los otros dos stresses, que actúa paralelos a las direccioes X e Y so ( ) y ( y ). Cuado se usa esta termiología, los stresses, y y o so ecesariamete stresses pricipales. Los stresses de cialle tambié puede ser represetados e el mismo sistema de coordeadas. La omeclatura usada se muestra e la figura. El primer subídice idica la direcció del esfuero ormal asociado y el segudo la direcció de acció del stress de cialle. y y (+) y X y y y (+) Y Por coveció, los stresses ormales compresivos so cosiderados positivos y los de tracció egativos. Los stresses de cialle que actúa e setido de los puteros del reloj so egativos (produce rotació horaria) y los que actúa e setido atihorario so cosiderados positivos (rotació atihoraria). Cuado se aalia procesos mecáicos pertietes al desarrollo de estructuras geológicas, es usual asumir e trabajos co stress que el elemeto rota ta letamete que puede ser cosiderado irrotacioal.

8 i u stress de cialle ( ) actúa sobre todos los lados de largo a de u elemeto, la fuera de cialle e los lados AB y CD tiee magitud a. Como estas fueras actúa a ua distacia a, forma u par de fueras capaces de hacer rotar el cuerpo. e asume que el cuerpo o rota y que está e equilibrio: y * y y Así, e problemas bidimesioales sólo tres stresses so requeridos (, y y ) para defiir completamete u sistema de stress que actúa e u elemeto. Lo aterior demuestra que e problemas bidimesioales, si se cooce, y y actuado e dos superficies, es posible calcular la orietació y magitud de los dos stresses pricipales. i se cooce la magitud y orietació de los stresses pricipales, se puede determiar fácilmete los valores de los stresses ormales y de cialle actuado e u plao que forma u águlo co el eje de stress pricipal. Cosideremos u prisma rectagular sometido a compresió uiaial. Ua fuera actúa ormal a las superficies superior e iferior del prisma, que tiee u área A (cada ua). tress pricipal A Z A A Y X

9 i cosideramos la superficie itera, orietada de maera que forma u águlo co el eje de stress pricipal, se puede ver que la fuera tiee ua compoete ormal a la superficie itera tal que si si t cos De maera aáloga, la fuera tiee ua compoete de cialle t paralela a la superficie, tal que: t cos E la figura se puede ver que el área A' del plao itero es mayor que el área A de las caras eteras del prisma: A A si Usado estas relacioes, se puede determiar el stress ormal ( ) actuado e el plao itero. si si A A A si si si (6.7) El stress de cialle e el plao itero será: t A cos A siϑ si cos si cos (6.8) Las ecuacioes (6.7) y (6.8) so las ecuacioes de stress uiaial y da el stress ormal y de cialle e cualquier plao icliado u águlo co respecto al stress pricipal.

10 Compresió biaial Cosideremos ahora la codició de compresió biaial. El stress ormal que actúa sobre la superficie itera ( ) tiee dos compoetes de stress ormal, ua debido a y la otra a +. E el caso uiaial si. De maera aáloga y a partir de la figura: + si + cos (6.9)

11 i los stresses pricipales so compresivos y >, etoces las compoetes de cialle y tiee distito setido (e el plao). El stress de cialle total será:. Aplicado la ecuació del caso uiaial queda: )si cos (6.0) ( Las ecuacioes (6.9) y (6.0) so las ecuacioes de stress biaial. iempre es coveiete epresar las ecuacioes e térmios del águlo doble. si si cos si cos si La ecuació (6.0) queda si (6.) abemos tambié que umado estas ecuacioes: cos + cos + cos cos Y restádolas: si cos cos si ustituyedo estas epresioes e la ecuació (6.9): + si + cos

12 + + cos cos cos cos + + ( ) cos cos X + + cos + (6.) Las ecuacioes (6.) y (6.) so particularmete importates, porque permitiero ua solució gráfica para problemas de stress mediate ua técica desarrollada por Otto Mohr. si (6.) cos + (6.)

13 Mohr graficó v/s. tress de cialle Radio + Cetro tress Normal Del gráfico es posible determiar que el cetro del círculo se ubica e las coordeadas +,0 y que el radio es. Como o eiste e los plaos perpediculares al stress pricipal (defiició de stress pricipal), etoces los stresses pricipales se ubica e el eje horiotal: 0. El círculo de Mohr represeta etoces el estado de stress de cualquier plao detro de u cuerpo sometido a dos stresses pricipales. Deomiaremos al stress pricipal máimo y al stress pricipal míimo. Coociedo las magitudes de los stresses pricipales, se puede determiar y e cualquier plao detro del cuerpo. U puto e el círculo represeta y actuado e u plao icliado co respecto a pricipal máimo.

14 (+) ( ) si radio a si A a a cetro a a cos radio a cos La magitud a está dada por el trao A a : si radio a si

15 La magitud de a cetro a y a a cos radio a radio * cos cos + a cos De este modo, si coocemos y de u sistema, podemos costruir el círculo de Mohr que represeta el estado de stress (, ) de cualquier plao. El círculo es útil tambié para determiar los valores de y, coociedo y que actúa e dos superficies de orietació coocida. i, y so causados por u mismo estado de stress (, ) ambos putos perteece al círculo. i además y actúa e superficies de orietació coocida, que forma u águlo de 90 0 etre ellas, los putos será diametralmete opuestos (e el círculo se represeta los águlos dobles). Por lo tato, si se ue se ecuetra el cetro C y el radio del círculo; e la itersecció de éste co el eje se obtiee y. e puede obteer tambié el águlo, osea el águlo etre co y/o co. Plao dode actúa y (, ) Plao dode actúa y (, + ) Por coveció el águlo es positivo hacia la derecha de y egativo hacia la iquierda de.

16 Veamos u ejemplo: determiar, y el águlo que forma E co (orietació). 0 E olució Gráfica: (0,+0) Cetro cetro radio 5 (0,-0) 5.5º + α siα radio 5 α º 5.5º hacia la iquierda de E Es decir, el plao dode actúa 0 MPa y 0 MPa, se ubica a de.

17 Círculos de Mohr Los círculos de Mohr represeta el estado de stress tridimesioal co > > El círculo mayor represeta los stresses e plaos perpediculares al plao. El círculo meor represeta los stresses determiados por el sistema, y e plaos perpediculares al plao. De lo aterior se puede cocluir que el estado de stresses mayor ocurre e plaos perpediculares al plao y por eso se usa el aálisis el -D, cosiderado los stresses máimo y míimo del sistema. Ejemplo: upogamos que el stress e u puto está caracteriado por e pide ecotrar y e u plao de falla de ρ N y µ 80 0 E. Plao EW Corte EW N

18 80º, 60º radio 0 MPa cetro c 0 MPa si 0 radio, 4 MPa 0 MPa + 0 cos 0 9, 4 MPa. 0 60º 0 igos e el círculo de Mohr:. tress ormal compresivo es positivo y plotea a la derecha del orige.. tress ormal etesivo (tracció) el egativo y plotea a la iquierda del orige.. tress de cialle e setido horario es egativo y plotea bajo el eje. 4. tress de cialle que actúa e setido atihorario es positivo y plotea sobre el eje. Para cualquier estado de stress es evidete que la magitud absoluta de los stresses de cialle es máima e dos plaos que so perpediculares etre sí y que se ubica a de y a de. La magitud absoluta correspode al radio del círculo y es.

19 Clases de stress El estado de stress e dos dimesioes (-D) puede ser clasificado como: Tesió hidrostática: tresses e todos los plaos so de tracció y de igual magitud (eistecia poco probable). Tesió geeral: Los stresses pricipales so ambos de tracció. Tesió uiaial: ólo u stress es distito de 0 y éste es de tracció. Tesió y compresió: Uo de los stresses el compresivo, el otro es de tracció. Cialle simple: Caso especial de tesió/compresió, e que -, por lo cual los plaos de cialle máimo tiee 0 (recordar defiició de cialle simple). Compresió uiaial: Uo de los stresses es distito de 0 (e particular, mayor que 0). Compresió geeral: > > 0 > > > 0. Compresió hidrostática: tress compresivo igual e todos los plaos > 0.

20 Elipse de stress (elipsoide e tres dimesioes) E u puto p de u cuerpo rocoso hay plaos P e u úmero ifiito de orietacioes diferetes. Para cada uo de estos plaos, hay dos valores de stress ormal dirigidos e distito setido. i dibujamos esta familia de vectores de stress alrededor de p obtedremos ua elipse de ejes y que coicide co las direccioes de stress pricipal. Trayectorias de esfuero Las variacioes tridimesioales e el estado de esfueros que eiste e u cuerpo se aprecia más fácilmete si se cosidera que el sistema de los ejes pricipales del esfuero varía e orietació y e valor. Las líeas ortogoales que represeta las direccioes de los esfueros pricipales se cooce como trayectorias del esfuero. E los problemas e dos dimesioes, los dos cojutos de líeas ortogoales que represeta las direccioes de los esfueros máimo y míimo, puede represetarse de ua maera muy secilla. i la curvatura de estas líeas varía de modo que las trayectorias adyacetes se aproime uas a otras, etoces esto idica ua cocetració del esfuero e esta regió. Todos los putos e los que los esfueros pricipales tiee valores iguales, se cooce como putos isótropos.