Ecuaciones en derivadas parciales. Jose Salvador Cánovas Peña. Departamento de Matemática Aplicada y Estadística.

Transcripción

1 Ecuacioes e derivadas parciales. Jose Salvador Cáovas Peña. Departameto de Matemática Aplicada y Estadística.

2 Ídice geeral. Ecuacioes e derivadas parciales 2.. Itroducció a las EDP Ecuacioes lieales de orde Ecuació del calor. Método de separació de variables Series de Fourier Fucioes pares e impares Aplicació a ecuacioes difereciales Aplicació a la ecuació del calor Ecuació de odas Ecuació de aplace Ejercicios

3 Capítulo Ecuacioes e derivadas parciales.. Itroducció a las EDP Por ua ecuació e derivadas parciales etederemos ua expresió de la forma F (y ; :::y ; u; u y ; :::u y ; :::u yi :::y ik ) = ; dode y ; :::; y so variables idepedietes, u = u(y ; :::; y ) es ua variable depediete (icógita de la ecuació) y u yi :::y ij so las derivadas parciales de u de orde j, j k, respecto de las variables y i :::y ij. a derivada de mayor orde idica el orde de la ecuació. Por ejemplo u + u x + u y = es ua ecuació de orde uo, mietras que y u x + u u xy = xu es ua ecuació de orde dos, que será el orde máximo que estdiaremos e este curso. as ecuacioes e derivadas parciales (EDP) se utiliza para modelar procesos que además de teer ua variació temporal, tiee ua variació de tipo espacial. Ejemplos coocidos so la variació de calor co el tiempo e u sólido, la distribució de poblacioes e u cierto habitat o la propagació del soido de las cuerdas de ua guitarra. E geeral, las EDP va a ser bastate difíciles de resolver. De hecho, o existe u teorema de existecia y uicidad "secilloçomo el que se estudiaba para problemas de codicioes iiciales de sistemas de ecuacioes difereciales ordiarias. Por todo ello, las EDP so fuete de estudio e la actualidad para muchos matemáticos siedo ua de las áreas de la matemáticas co mayor ivestigació e la actualidad. Como ocurre co las ecuacioes difereciales, ormalmete se suele asociar varios tipos de codicioes a ua EDP. Segú se trate, hablaremos de ellas como codicioes iiciales o codicioes de cotoro. Cosideremos por ejemplo el problema siguiete < : u t = u yy ; t > ; y 2 (; ); u t (; y) = f(y); y 2 [; ]; u(t; ) = u(t; ) = ; t ; 2

4 que, como veremos posteriormete modela la varició temperatura u de ua varilla uidimesioal de logitud a lo largo del tiempo. a ecuació de segudo orde u t = u 2 yy se cooce como ecuació del calor, que e este problema tiee asociados dos tipos de codicioes. a codició u t (; y) = f(y) establece la temperatura iicial de la varilla para todo puto de ésta y 2 [; ], por lo que hablamos de ella como ua codició iicial. Si embargo, la codició u(t; ) = u(t; ) = os idica que los valores de la temperatura e los extremos de la varilla so jos para cada istate de tiempo. Estas codicioes se llama de frotera o cotoro..2. Ecuacioes lieales de orde 2 Ua ecuació lieal de segudo orde es de la forma a(t; y)u tt + b(t; y)u ty + c(t; y)u yy + d(t; y)u t + e(t; y)u y + f(t; y)u = g(t; y); (.) dode a; b; c; d; e; f; g : R 2! R so fucioes de regularidad su ciete para cada problema que vayamos a estudiar. Es fácil comprobar que si u (t; y) y u 2 (t; y) so solucioes de (.), etoces ua combiació lieal de ellas u (t; y) + u 2 (t; y); ; 2 R es tambié solució de la ecuació, por lo que ésta recibe el cali cativo de lieal. Dicha ecuació se dirá de coe cietes costates si las fucioes a; b; c; d; e; f so costates. E este caso, se puede itroducir uevas variables idepedietes s y x, y ua ueva variable depediete v de maera que la ecuació (.) se escribe de ua de las siguietes formas: v ss + v xx + v = '(s; x); (.2) v ss v xx + v = '(s; x); (.3) v xx v s = '(s; x); (.4) v ss + v = '(s; x); (.5) dode es ua costate que toma los valores, y. Si la ecuació origial veri ca que b 2 ac < esta se dirá elíptica y se reducirá a ua ecuació del tipo (.2). Si veri ca que b 2 ac > se dirá hiperbólica y puede reducirse a ua ecuació de la forma (.3). Fialmete, si b 2 ac = la ecuació puede reducirse a la forma (.3) y se dirá parabólica o a la forma (.5) que se cooce co el ombre de degeerada. Veamos por ejemplo cómo trasformar la ecuació 3u tt 2u ty + 6u yy 2u t 9u y 5u = e ua de las formas ateriores. E primer lugar, démoos cueta que b 2 ac = 4 < por lo que se trata de ua ecuació elíptica. a trasformació se hace e tres etapas. 3

5 Cambio e las variables idepedietes para elimiar el térmio u ty. Para ello cosideramos ua rotació e el plao de águlo que tedrá la forma s = t cos + y si ; x = t si + y cos ; y cuya trasformació iversa es t = s cos x si ; y = s si + x cos : Por la regla de la cadea, teemos que De este si @x si2 cos @x 2 @x @s 2 2 cos2 + cos si cos cos si + (cos2 y sustituyedo e la ecuació origial teemos = 3u tt 2u ty + 6u yy 2u t 9u y 5u = 3 u ss cos 2 + u xx si 2 2u tx cos si si 2 ); 2 u ss cos si u xx cos si + 2u ts (cos 2 si 2 ) +6 u ss si 2 + u xx cos 2 + 2u ts cos si 2 (u s cos u x si ) 9 (u s si + u x cos ) 5u = 3 cos 2 2 cos si + 6 si 2 u ss + 3 si cos si + 6 cos 2 u xx + 6 cos si 4(cos 2 si 2 ) u sx (2 cos + 9 si ) u s + (2 si 9 cos ) u x 5u: 4

6 Si buscamos que el coe ciete que multiplica a u sx sea, debe veri carse que 6 cos si 4(cos 2 si 2 ) = ; o equivaletemete 4 ta ta 4 = ; de dode obteemos que, cosiderado e el primer cuadrate, ta = 2 ; co lo que cos = 2p 5 5 ; si = quedado la ecuació origial como p 5 5 ; 4 5 u ss u xx 33 p 5 6 p 5 u s 5 5 u x 5u = ; o equivaletemete 4u ss + 3u xx 33 p 5u s 6 p 5u x 25u = : (.6) a siguiete etapa cosiste e la elimiació de los térmios de u s y u x, e dos pasos. E primer lugar elimiaremos el térmio de u s itroduciedo la variable depediete w = e s u; y calculamos para que el térmio que acompaña a w s sea cero. Para ello teemos e cueta que u = e s w y derivamos u s = e s w + e s w s ; u x = e s w x ; u ss = 2 e s w 2e s w s + e s w ss ; u xx = e s w xx ; y sustituimos e la ecuació (.6) teiédose = 4u ss + 3u xx 33 p 5u s 6 p 5u x 25u = = 4( 2 e s w 2e s w s + e s w ss ) + 3e s w xx 33 p 5( e s w + e s w s ) 6 p 5e s w x 25e s w = e 4w s ss + 3w xx [ p 5]w s 6 p 5w x + [ p 5 25]w ; de dode obteemos la codició p 5 = ; 5

7 de dode = 33p 5 2 ; y teiedo e cueta que e s 6=, la ecuació se simpli ca a 4w ss + 3w xx 6 p 654 5w x w = : (.7) 56 Procediedo del mismo modo co la variable x, itroduciedo la variable depediete la ecuació (.7) se reduce a q = e x w; q ss + 3q xx q = : (.) 6 Fialmete, itroducimos la variables depediete e idepedietes para reescalar la ecuació (.) de la siguiete forma. E primer lugar itroducimos la variable depediete v = q; y como la ecuació (.) se reduce a q ss = v ss; q xx = v xx; v ss v xx v = : Fialemete, los cambios de variables idepedietes q < 252 = s= q ; : = x= hace que teiedo e cueta que 269 ; os quede la ecuació reducida v ss = v ; v xx = v ; v + v v = : 6

8 .3. Ecuació del calor. Método de separació de variables. Partamos del problema < : u t = 2 u yy ; t > ; y 2 (; ); u(; y) = f(y); < y < ; u(t; ) = u(t; ) = ; t > ; que es la ecuació del calor e ua varilla uidimesioal de logitud co temperatura iicial f(y). a icógita u(t; y) mide la temperatura e cada istate de tiempo y e cada puto de la barra. Ua maera de resolver el problema aterior es itetar reducirlo a u problema de ecuacioes difereciales ordiarias. Para ello supoemos que la solució puede expresarse de la forma u(t; y) = T (t)y (y); es decir, como el producto de dos fucioes reales de variable real T (t) e Y (y). Derivado obteemos Sustituyedo e la ecuació origial teemos u t (t; y) = T (t)y (y); u yy (t; y) = T (t)y (y): T (t)y (y) = 2 T (t)y (y); y supoiedo que las fucioes o se aula rescribimos la ecuació como T (t) T (t) = Y (y) 2 Y (y) : U lado de la igualdad solo depede de t, mietras que el cotrario lo hace solo respecto de y, por lo que ecesariamete ambos debe ser costates, es decir T (t) T (t) 2 = Y (y) Y (y) = ; de dode obteemos las ecuacioes difereciales T + 2 T = ; Y + Y = : Por otra parte, las codicioes de cotoro se escribe como T (t)y () = u(; y) = ; T (t)y () = u(; y) = ; 7

9 por lo que debe veri carse que Y () = Y () =. Si escribimos el problema para la fució Y teemos lo que se cooce como u problema de cotoro Y + Y = ; Y () = Y () = : Como sabemos, las solució geeral de la ecuació Y + Y = es de ua de las siguietes formas Si =, etoces Y (y) = c + c 2 y, dode c y c 2 so dos costates arbitrarias. Si <, la solució es Y (y) = c e p y + c 2 e p y, dode c y c 2 so dos costates arbitrarias. Si >, la solució es Y (y) = c cos( p y)+c 2 si( p y), dode c y c 2 so dos costates arbitrarias. El problema se preseta a lo hora de calcular las costates ateriores. E el primer caso tedríamos que Y () = c = ; e Y () = c + c 2 = ; de dode c = c 2 = y la solució sería ula. E el segudo caso, las codicioes de cotoro se escribe como Y () = c + c 2 = ; e Y () = c e p + c 2 e p = ; que da lugar al sistema lieal c + c 2 = ; c e p + c 2 e p = ; y dado que el determiate de la matriz asociada e p e p = e p e p 6= ; teemos que la úica solució posible es c = c 2 = y la solució sería uevamete ula. Fialmete, e el tercer caso Y () = c = ; e de dode Y () = c cos( p ) + c 2 si( p ) = ; c 2 si( p ) = :

10 Como las solucioes de la ecuació si( p ) = so Si de imos = 2 2, 2 N: (.9) 2 = 2 2 ; 2 teemos que el problema de codicioes de cotoro tiee solucioes o ulas de la forma Y (y) = c si( p y) = c si y para los valores de dados e (.9). Para estos valores, la ecuació para la fució T queda de la forma T T = ; que para cada valor de proporcioa la solució lo que da lugar a la solució T (t) = Ce t ; u (t; y) = c si y e t : a liealidad de la ecuació os lleva a platear como posible solució y utilizado la codició iicial u(t; y) = u(; y) = X = X = c si y e t ; c si y = f(y); (.) lo que os lleva a platearos si cualquier fució f(y) puede desarrollarse como e (.). a solució a esta cuestió será el desarrollo e serie de Fourier..4. Series de Fourier Cosideremos ua fució real de variable real f(y) que sea 2 periódica, es decir, para todo y se veri ca la expresió f(y) = f(y + 2): 9

11 Por ejemplo, las fucioes seo y coseo so 2 periódicas. De imos los coe cietes de Fourier y a serie a = b = f(y) cos y dy; = ; ; 2; ::: f(y) si y dy; = ; 2; ::: a 2 + X a cos y + b si y = se cooce como serie de Fourier asociado a f(y). Por ejemplo, cosideremos la fució f(y) tal que si x 2 [ ; ); f(y) = si x 2 [; ); y es 2 periódica. Para dicha fució teemos que los coe cietes de Fourier so y para a = Z f(y)dy = Z dy = ; Z Z a = f(y) cos (y) dy = cos (y) dy = si (y) = (si () si ()) = ; Z Z b = f(y) si (y) dy = si (y) dy = cos (y) = (cos () cos ()) si es par; = si es impar; 2 por lo que la serie de Fourier asociada a f(y) será 2 + X 2 si ((2 )y) : (2 ) = a cuestió radica e saber si la igualdad f(y) = 2 + X = 2 si ((2 )y) (.) (2 )

12 se veri ca, es decir, si f(y) puede aproximarse e forma de la serie ateriormete calculada. a respuesta a esta preguta es a rmativa para ua familia otable de fucioes, que precisa de uas de icioes previas para su compresió. Recordemos que ua fució es cotiua e y si lm y!y f(y) = f(y ) y f(y) es cotiua si es cotiua e todos sus putos. Si f(y) o es cotiua e y puede existir sus límites laterales f(y ) = y!y lm f(y) y<y y y la discotiuidad se tipo salto ito si f(y + ) = lm y!y y>y f(y) f(y ) f(y + ) es ito. Fialmete, f(y) se dice cotiua a trozos e [ ; ] si es cotiua salvo e ua catidad ita de putos y las discotiuidades so de tipo salto ito. Se veri ca etoces el siguiete resultado. Theorem Sea f : R! R ua fució 2 periódica de maera que f y su derivada f so de cotiuas a trozos. Etoces la serie de Fourier de f dada por a 2 + X a cos y + b si y = f(y + )] e los putos de disco- coverge a f(y) e los putos de cotiuidad de f, a [f(y 2 ) tiuidad y a [f( ) f( 2 + )] cuado y =. El teorema aterior garatiza que la igualdad a la que hacíamos alusió e (.) se veri ca para y 2 ( ; ) fg es igual a =2 para y..4.. Fucioes pares e impares a series de Fourier tiee expresioes particulares cuado las fucioes so pares o impares. Recordemos que f es par si se cumple que f(y) = f( y) para todo y 2 R. Se dice que la fució es impar si por el cotrario la relació que se cumple es f(y) = f( y): Veamos cómo se obtiee la serie de Fourier para cada ua de estas fucioes.

13 Si f es par, se veri ca que mietras que a = = a = Z = fx= yg = 2 b = = Z = fx= yg = ; = fx= yg = 2 f(y)dy f(y)dy; f(y) cos y dy f(x)dx + f(y) cos y dy + f(y) cos f(x) cos x dx + y dy; f(y) si y dy f(y) si y dy + f(x) si por lo que para ua fució par tedremos que Si f es impar a = x dx + = f(y)dy f(y) cos y dy f(y) cos y dy f(y) si y dy f(y) = a 2 + X a cos y : f(y)dy = fx= yg = ; f(x)dx + f(y) si y dy f(y)dy 2

14 mietras que a = = Z = fx= yg = ; b = = Z = fx= yg = 2 f(y) cos y dy f(y) cos y dy + f(x) cos f(y) si y dy f(y) si y dy + f(y) si f(x) si y dy; x dx + x dx + por lo que para ua fució par tedremos que X f(y) = b si y : =.4.2. Aplicació a ecuacioes difereciales f(y) cos y dy f(y) si y dy f(y) cos y dy f(y) si y dy Supogamos ua ecuació diferecial lieal co coe cietes costates co fució de trasferecia T (z). Supogamos que el sistema es asitóticamete estable, de tal maera que si f(t) = A si(!t + ) es la etrada del sistema, se veri ca que su salida para tiempos su cietemete grades viee dada por x(t) = AjT (i!)j si(!t + + arg T (i!)): Supogamos ahora que la señal es periódica de periodo 2. Dicha fució puede expresarse e su serie de Fourier f(t) = a 2 + X a cos t + b si t = = a 2 + X (a cos (!t) + b si (!t)) ; = dode! = =. Por otra parte, si escribimos (b ; a ) e coordeadas polares mediate la expresió b = A cos ; a = A si ; 3

15 podemos reescribir la expresió aterior como f(t) = a 2 + X (a cos (!t) + b si (!t)) = = a 2 + X (A si cos (!t) + A cos si (!t)) = = a 2 + X A si(!t + ): = Si ahora f(t) es la etrada al sistema aterior, etoces su salida para tiempos su cietemete grades vedrá dada por x(t) = a 2 T () + X A jt (i!)j si(!t + + arg T (i!)): = Dado que para casos prácticos lm x! jt (ix)j =, por lo que lm! jt (i!)j =, como cosecuecia la series de Fourier de x(t) coverge a cero más rápidamete que la serie de Fourier de la señal iicial f(t) Aplicació a la ecuació del calor Si retomamos la ecuació del calor < u t = 2 u yy ; t > ; y 2 (; ); u(; y) = f(y); < y < ; : u(t; ) = u(t; ) = ; t > ; la teoría de Fourier os dice que su solució formal es dode u(t; y) = u(; y) = X = X = c si y e t ; c si y = f(y): Ahora bie, si pesamos e f(y) como ua fució impar 2 periódica tedremos que c = 2 y por tato dicha solució formal será u(t; y) = X = 2 f(y) si y dy; f(x) si x dx si y e t : (.2) 4

16 Hablamos de solució formal ya que o podemos asegurar que la expresió dada e (.2) sea ua solució. Por ua parte, auque la liealidad garatiza que ua combiació lieal ita de solucioes sea solució, uestra combiació lieal es i ita, por lo que tedríamos que comprobar que efectivamete es solució, es decir que es dos veces derivable y cumple la ecuació del calor. E geeral comprobar que las solucioes formales so solucioes es u problema bastate dí cil, que e el caso de la ecuació del calor se garatiza por el térmio t. Cualitativamete hablamos de u proceso de difusió, e el que la barra va disipado calor covergiedo muy rápidamete a y suavizado cualquier irregularidad que la fució f(y) pudiera presetar. Por ejemplo, si uestra barra es de alumiio (co u coe ciete 2 = ;6) y mide cm., y la tempreartura iicial e la barra es de o C, la evolució de la tempreatura co el tiempo vedrá determiada por la expresió X Z 2 u(t; y) = si x dx si y e ;62 2 t ; e y como teemos Z = u(t; y) = h i si x dx = cos x = (cos() cos ) si es par; = 2 si es impar; X = (2 ) 4(2 ) si y e ;6(2 )2 2 t : Hemos de destacar que e el desarrollo aterior tiee ua gra importacia que las codicioes de cotoro sea ulas. E geeral esto o tiee porqué ser así, es decir la ecuació del calor sería < u t = 2 u yy ; t > ; y 2 (; ); u(; y) = f(y); < y < ; : u(t; ) = g (t); u(t; ) = g 2 (t); t > ; dode g (t) y g 2 (t) so las fucioes que mide la temperatura de la varilla. U cambio de variable e la variable depediete permite llevar codicioes de cotoro o ulas a u problema que sí las tega mediate la ueva fució y v(t; y) = u(t; y) g (t) (g 2(t) g (t)): Es fácil ver que ahora mietras que v(t; ) = u(t; ) g (t) = g (t) g (t) = ; v(t; ) = u(t; ) g (t) (g 2 (t) g (t)) = g 2 (t) g (t) (g 2 (t) g (t)) = ; 5

17 por lo que tedremos codicioes de cotoro ulas. a ecuació origial se reescribe = u t 2 u yy = v t + g (t) + y (g 2(t) g (t)) 2 v yy ; por lo que tedríamos el problema < v t 2 v yy = g y (t) (g 2(t) g(t)); t > ; y 2 (; ); y v(; y) = f(y) g () : (g 2() g ()); < y < ; v(t; ) = v(t; ) = ; t > : Si la temperatura e los extremos de la varilla permaece costate, esto es, g (t) = T y g 2 (t) = T 2, el problema aterior se reduce a < :.5. Ecuació de odas v t = 2 v yy ; t > ; y 2 (; ); y v(; y) = f(y) T (T 2 T ); < y < ; v(t; ) = v(t; ) = ; t > : Cosideremos el problema hiperbólico u tt = c >< 2 u yy ; t > ; y 2 (; ); u(; y) = f(y); < y < ; u t (; y) = g(y); < y < ; u(t; ) = u(t; ) = ; t > ; que modela la vibració mecáica de ua cuerda, dode u(t; y) mide el desplazamieto respecto de la horizotal e cada istate de tiempo y e cada posició de la cuerda. Co el método de separació de variable plateamos solucioes de la forma u(t; y) = T (t)y (y), que os da lugar a los problemas de ecuacioes diferecales T + c 2 T = ; y el problema de cotoro Y + Y = ; Y () = Y () = ; que como sabemos tiee ua familia de solucioes o ulas para los valores = dadas por Y (y) = si y : 2, 2 N, Para dichos valores teemos las ecuacioes que tedrá por solució geeral T (t) = a cos T + c 2 T = ; c c t + b si t ; 6

18 pudiedo etoces platear la solució formal u(t; y) = = X T (t)y (y) = X = h c c i a cos t + b si t si y : De la codició iicial u(; y) = f(y) = X = Derivado formalmete u(t; y) respecto a t obteemos u t (t; y) = X h = que aplicada a la otra codició iicial a si y : c c a si t c c i + b cos t si y ; u t (; y) = g(y) = X = b c si y : Cosiderado de uevo f y g como fucioes impares 2 periódicas, cocluimos que y para todo. a = 2 b = 2 c.6. Ecuació de aplace f(x) si x dx g(x) si x dx Al cotrario que las ecuacioes del calor y odas, la ecuació de aplace es estática y represeta ua codició de equilibrio e, por ejemplo, la temperatura de ua secció plaa. a ecuació del calor e dos dimesioes espaciales tiee la forma u t = 2 (u xx + u yy ) y si supoemos u equilibrio de esta fució ivariate respecto al tiempo, obtedríamos u xx + u yy = ; (.3) que es la ecuació de aplace. Estas ecuacioes se platea sólo co codicioes de cotoro sobre la frotera del recito, que para los calculos prácticos tiee que teer algua regularidad. 7

19 Estas codicioes de cotoro so e geeral de dos tipos. Si R es el recito dode se veri ca la ecuació (.3), podemos supoer coocido u(x; y) para todo (x; y) e la frotera de R e cuyo caso estaríamos hablado de ua codició tipo Dirichlet. Si por el cotrario supoemos que el vector ormal a R e la es coocido, se trata de ua codició de E cualquiera de los casos, la geometría del cojuto R es muy importate y sólo podemos calcular solucioes cuado ésta cumple adecuadas codicioes de regularidad. Supogamos por ejemplo que R es el rectágulo [; a] [; b] y teemos el problema >< u xx + u yy = ; (x; y) 2 (; a) (; b); u(x; ) = u(x; b) = ; x a; u(; y) = ; y b; u(a; y) = f(y); y b; que es de tipo Dirichlet. Si plateamos ua solució de la forma u(x; y) = X(x)Y (y), costruimos las ecuacioes difereciales X X = ; Y + Y = : a seguda ecuaició da lugar al problema de cotoro Y + Y = ; Y () = Y (b) = ; que como sabemos tiee por solucioes o ulas las fucioes Y (y) = si b y para los valores = b 2, 2 N. a primera ecuació se reescribe etoces X X = ; que tiee por solució geeral X (x) = C e b x + C 2 e b x : De la codició u(; y) = obteemos que X() =, por lo que X() = = C + C 2 ; por lo que C 2 = C = c =2, por lo que para todo atural obteemos la solució u (x; y) = c e b x = c sih e b x 2 b x si si b y b y :

20 Plateamos etoces la solució formal u(x; y) = X = Utilizado la codició de cotoro que os queda teemos que f(y) = = c sih b x si b y : u(a; y) = f(y) X a c sih si b b y y cosiderado f como 2b periódica e impar, teemos que.7. Ejercicios a c sih = 2 b b Z b f(y) si b y dy:. Ecotrar las solucioes de los siguietes problemas de cotoro: a) y + y = ; y() = ; y () = : b) y + y = ; y () = ; y () = : c) y + y = ; y () = ; y() = : d) y + y = ; y() = ; y() y () = : e) y + y = ; y() y () = ; y() = : f ) y + y = ; y() y () = ; y() y () = : 2. Para qué valores de tiee solucioes o triviales los siguietes problemas de cotoro: a) y 2y + ( + )y = ; y() = ; y() = : b) y + y = ; y() = y(2); y () = y (2): 3. Clasi car las siguietes EDP y ecotrar su forma caóica: a) 3u xx + 4u yy u = : b) 4u xx + u xy + 4u yy + u = : c) u xx + u yy + 3u x 4u y + 25u = : d) u xx 3u yy + 2u x u y + u = : e) u xx 2u xy + u yy + 3u = : 9

21 4. Ecotrar los desarrollos e serie de Fourier de las siguietes fucioes periódicas (se da su valor e el itervalo [ l; l] co 2l el periodo). x 2 [ ; ); a) f(x) = x 2 [; ]: x x 2 [ 2; ); b) f(x) = x 2 [; 2]: c) f(x) = x; x 2 [ ; ]: x x 2 [ ; ); d) f(x) = x x 2 [; ]: < x 2 [ 2; ); e) f(x) = x 2 [; ); : x 2 [; 2]: x 2 [ 2; ); f ) f(x) = x 2 [; 2]: x 2 [ ; ); g) f(x) = e x x 2 [; ]: e x x 2 [ ; ); h) f(x) = e x x 2 [; ]: 5. os extremos de ua barra de alumiio ( 2 = ;6) de logitud metros se matiee a temperatura de o C. Ecotrar la expresió de la temperatura de la barra para las siguietes codicioes iiciales a) u(; y) = 7, y. b) u(; y) = 7 cos y, y. y y 2 [; 5); c) u(; y) = ( y) y 2 [5; ]: y 2 [; 3); d) u(; y) = 65 y 2 [3; ]: 6. os extremos de ua barra de cobre ( 2 = ;4) de logitud 2 metros se matiee a temperatura de o C. Ecotrar la expresió de la temperatura de la barra para las siguietes codicioes iiciales a) u(; y) = 65 cos 2 (y), y 2. b) u(; y) = 7 si y, y 2. 6x x 2 [; ); c) u(; y) = 6(2 x) x 2 [; 2]: x 2 [; ); d) u(; y) = 75 x 2 [; 2]: 2

22 7. U estado de equilibrio para la ecuació del calor u t = 2 u xx es aquella que o varía co el tiempo. Demostrar a) Todos los equilibrios de la ecuació del calor so de la forma u(y) = A + By: b) Ecotrar los estados de equilibrio de la ecuació del calor que cumple u(t; ) = T y u(t; ) = T 2. c) Resolver el problema < : u t = 2 u yy ; t > ; y 2 (; ); u(; y) = 75; < y < ; u(t; ) = 2; u(t; ) = 6; t > : Ayuda: Calcularla como u(t; y) = v(y)+w(t; y) dode v(y) es el estado de equilibrio asociado a las codicioes de cotoro u(t; ) = 2; u(t; ) = 6, y w(t; y) es la solució del problema co codicioes de cotoro ulas.. os extremos de ua barra de cobre ( 2 = ;4) de logitud cetímetros se matiee a temperatura de o C mietras que el cetro de la barra es mateido a o C mediate ua fuete de calor extera. Ecotrar la temperatura de la barra co el tiempo para la codició iicial 5 x 2 [; 5); u(; y) = x 2 [5; ]: Ayuda: Descompoer el problema e dos problemas de cotoro co uo de los estremos e la mitad de la barra. 9. Resolver el problema < a) :. Resolver los siguietes problemas >< b) c) >< >< u tt = c 2 u yy ; t > ; y 2 (; 2); u(; y) = cos y ; < y < 2; u t (; y) = ; < y < 2; u(t; ) = ; u(t; 2) = ; t > : u tt = c 2 u yy ; t > ; y 2 (; ); u(; y) = ; < y < ; u t (; y) = ; < y < ; u(t; ) = ; u(t; ) = ; t > : u tt = c 2 u yy ; t > ; y 2 (; 3); u(; y) = f(y); < y < 3; u t (; y) = ; < y < 3; u(t; ) = ; u(t; 3) = ; t > : u t = u yy + u; t > ; y 2 (; ); u(; y) = cos y; < y < ; u(t; ) = ; u(t; ) = ; t > : < x x 2 [; ); dode f(y) = x 2 [; 2); : 2 x x 2 [2; 3]: 2

23 . Ua cuerda de metros jada e sus extremos se levata por el medio hasta la distacia de u metro y se suelta. Describe su movimieto supoiedo que c 2 =. 2. Demuestra que el cambio de coordeadas = y + ct; = y ct; trasforma la ecuació de odas u tt = c 2 u yy e la ecuació u =. Cocluir que la solució geeral de la ecuació será de la forma u(t; y) = F (y ct) + G(y + ct) para fucioes apropiadas F y G. 3. Demostrar que la solució del problema u tt = c >< 2 u yy ; t > ; y 2 (; ); u(; y) = f(y); < y < ; u t (; y) = g(y); < y < ; u(t; ) = ; u(t; 3) = ; t > ; es de la forma u(t; y) = (F (y 2 ct) + F (y + ct)) + 2c Z y+ct y ct g(x)dx; dode F es la extesió 2l periódica e impar de f. 4. Resolver el problema >< u tt = c 2 u yy + u; t > ; y 2 (; ); u(; y) = f(y); < y < ; u t (; y) = ; < y < ; u(t; ) = ; u(t; 3) = ; t > ; 5. Resolver los problemas >< a) b) >< u x + u yy = ; (x; y) 2 (; a) (; b); u(x; ) = ; < x < a; u(x; b) = g(x); < x < a; u(; y) = u(a; y) = ; < y < b: u x + u yy = ; (x; y) 2 (; a) (; b); u(x; ) = u(x; b) = ; < x < a; u(; y) = g(y); < y < b; u(a; y) = ; < y < b: 22

24 c) a) >< u x + u yy = ; (x; y) 2 (; a) (; b); u(x; ) = f(x); < x < a; u(x; b) = ; < x < a; u(; y) = g(y); < y < b; u(a; y) = ; < y < b: 6. Resolver los problemas de Neuma >< b) c) >< >< u x + u yy = ; (x; y) 2 (; a) (; b); u y (x; ) = u y (x; b) = ; < x < a; u x (; y) = f(y); < y < b; u x (a; y) = ; < y < b: u x + u yy = ; (x; y) 2 (; a) (; b); u x (; y) = u x (b; y) = ; < y < b; u x (x; ) = f(x); < x < a; u x (x; b) = ; < x < a: u x + u yy = ; (x; y) 2 (; a) (; b); u x (; y) = ; < y < b; u x (b; y) = ; < y < b; u x (x; ) = ; < x < a; u x (x; b) = ; < x < a: 7. Resolver el problema > < u x + u yy = u; (x; y) 2 (; ) 2 ; u(x; ) = u(x; ) = ; < x < ; u(; y) = f(y); < y < ; u(; y) = ; < y < : 23