1 e. F (x; y) = no es la función de distribución acumulada de ningún vector aleatorio. b) Mostrar que F (x; y) =

Transcripción

1 Probabilidades y Estadística (M) Práctica 5 2 o cuatrimestre 2013 Vectores aleatorios 1. a) Demostrar que la fució F (x; y) = 1 e x y si x 0 ; y 0 0 e caso cotrario o es la fució de distribució acumulada de igú vector aleatorio. b) Mostrar que F (x; y) = (1 e x )(1 e y ) si x 0 ; y 0 0 e caso cotrario sí lo es. 2. Ua ura cotiee 4 bolitas blacas y 6 egras. Se extrae 3 bolitas si reposició y se de e las siguietes variables aleatorias: 1 si el úmero de bolitas blacas extraídas es par X = 0 si el úmero de bolitas blacas extraídas es impar a) Hallar p XY y F XY : Y = Número de bolillas egras extraídas: b) Hallar p X y p Y. Determiar si X e Y so idepedietes. 3. Se arroja u dado equilibrado 2 veces. Sea X i el úmero obteido e la tirada i-ésima. a) Sea Y = X 1 + X 2. Hallar p Y. b) Sea la variable aleatoria 1 si Y es par Z = 0 si Y es impar. Determiar si X 1 y Z so idepedietes. 4. Sea X e Y variables aleatorias idepedietes. Probar las siguietes a rmacioes: a) X Bi(; p), Y Bi(m; p) ) X + Y Bi( + m; p): b) X P(), Y P() ) X + Y P( + ): c) X G(p), Y G(p) ) X + Y BN (2; p): 5. Se sabe que e la provicia de Salta la proporció de hombres de ojos azules es 20 %, de ojos verdes es 5 %, de ojos egros es 10 % y otro color de ojos es 65 %. Jose a decide viajar de la capital salteña a ua ciudad a 200 km. dode se realizará u cogreso médico sobre alcoholismo. Para ello debe tomar dos colectivos e los que viaja sólo salteños. Para llevar a cabo ua prueba decide tomar ua copa de jerez co cada hombre de ojos verdes o azules que ecuetre e su viaje. Como su belleza es irresistible, todos los hombres acepta su ivitació. E el primer colectivo viaja 10 hombres de los cuales iguo trasborda al siguiete. E el segudo hay 8 hombres. a) Calcular la probabilidad de que e la primera parte del trayecto haya tomado meos de 4 copas. b) Calcular la probabilidad de que tome más de 3 copas e total. 1

2 6. Mau llega a la al de u toreo de básquet co su equipo. La probabilidad de que su equipo gae u partido cotra el otro equipo alista es p. Los orgaizadores propoe jugar u úmero impar de partidos y declarar gaador del toreo a aquel equipo que gae la mitad más uo de los partidos jugados. Siedo capitá de su equipo, los orgaizadores le preguta a Mau cuátos partidos quiere jugar: debe decir si pre ere jugar 2k 1 ó 2k + 1 partidos, dode k u úmero atural jado de atemao por los orgaizadores. Para qué valores de p le coviee a Mau jugar 2k + 1 partidos? 1 7. El 10 % de la població fuma cigarrillos egros, el 35 % fuma cigarrillos rubios, el 3 % fuma pipa y el resto o fuma. Se realiza ua ecuesta a 35 persoas y co los resultados obteidos se de e las variables aleatorias Y 1 = úmero de persoas que o fuma Y 2 = úmero de persoas que fuma cigarrillos rubios Y 3 = úmero de persoas que fuma cigarrillos egros Y 4 = úmero de persoas que fuma pipa: a) Hallar la probabilidad putual del vector aleatorio (Y 1 ; Y 2 ; Y 3 ; Y 4 ): b) Hallar la probabilidad putual del vector aleatorio (Y 1 ; Y 2 + Y 3 ; Y 4 ): c) Hallar la probabilidad putual de la variable aleatoria Y 2 + Y 3 : Se obtiee iformació adicioal a la coteida e la distribució de Y 2 + Y 3 si se calcula además la distribució del vector aleatorio (Y 2 + Y 3 ; Y 1 + Y 4 )? Por qué? 8. a) El úmero de persoas que igresa por día a u cierto baco es ua variable aleatoria de Poisso de parámetro. Cada persoa que etra tiee probabilidad p de ser hombre y 1 p de ser mujer. Mostrar que el úmero hombres y de mujeres que igresa por día a dicho baco so variables aleatorias idepedietes co distribució Poisso de parámetros p y (1 p) respectivamete. b) Recíprocamete, supogamos que el úmero de hombres y de mujeres que igresa a dicho baco baco por día so variables aleatorias de Poisso idepedietes. Cuál es la distribució del úmero total de persoas que igresa al baco por día? c) El úmero de hombres y mujeres que igresa por día a u cierto baco so variables aleatorias idepedietes co distribució Poisso de parámetros 2 y 2;5 respectivamete. Sabiedo que e u determiado día igresaro úicamete dos persoas al baco, calcular la probabilidad de que haya sido u hombre y ua mujer. 9. Sea (X; Y ) u vector aleatorio absolutamete cotiuo co fució de desidad cojuta ( k(3y + x) 0 x y 1 f XY (x; y) = 0 e caso cotrario. Hallar k, f X, f Y, F X, F Y, P X < Y 3 y P (X 2 Y 2 = 3): 10. Dada ua probabilidad P de ida sobre (R d ; B d ) de imos su soporte como el cojuto sop(p ) = x 2 R d : P Q " (x) o > 0 para todo " > 0 dode Q " (x) = y 2 R d : max jx k y k j < " : 1kd 1 Notar que este ejercicio respode a la preguta de si la estrategia que emplea la NBA para decidir el campeó de u toreo mediate ua serie de playo s (es decir, se declara campeó al mejor de 7 partidos) favorece al mejor de los equipos o, por el cotrario, tiede a bee ciar al meos capacitado, co respecto a la estrategia de jugar ua úica al. Esto es dejado la facturació de lado, claro está. 2

3 a) Sea X = (X 1 ; X 2 ) es u vector aleatorio e R 2. Mostrar que si sop(p X ) 6= sop(p X1 ) sop(p X2 ) etoces X e Y o so idepedietes. b) Mostrar co u ejemplo que o vale ecesariamete la recíproca. c) Probar que si X es u vector aleatorio e R 2 co distribució uiforme e u rectágulo etoces sus coordeadas so variables aleatorias idepedietes. Qué sucede si X tiee distribució uiforme sobre u petágoo? 11. Tres itegrates A, B y C de u equipo de salto juega u campeoato. Se asiga al equipo la mejor de las tres distacias obteidas. El atleta A salta co distribució uiforme e el itervalo [7; 9] mietras que el atleta B lo hace co ua distribució absolutamete cotiua co fució de desidad 9 x f(x) = 11 2 [7;9] (x) y el atleta C lo hace co otra distribució absolutamete cotiua cuya desidad es x 7 f(x) = 11 2 [7;9] (x): a) Hallar la distribució de la distacia asigada al equipo. b) Ecotrar la probabilidad de que la distacia sea mayor que 8;2: 12. a) Dadas X 1 ; : : : ; X variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas co fució de distribució acumulada F, se de e sus estadísticos de orde X (1) ; : : : ; X () como aquellas variables aleatorias que se obtiee ordeado las X i de maera creciete. E particular, se tiee que X (1) = m 1i X i X () = max 1i X i: Hallar para cada k = 1; : : : ; la fució de distribució acumulada de X (k) e térmios de F. b) Obteer la distribució de X (1) cuado F viee dada por la desidad c) Obteer la distribució de X () cuado F es f(x) = e (x ) 11 (;+1) (x) para 2 R: F (x) = x 11 (0;)(x) + 11 (;+1) (x) para 2 R >0 : d) Probar que si las X i tiee distribució uiforme e el itervalo [0; 1] etoces para cada k = 1; : : : ; la variable aleatoria X (k) tiee distribució (k; k + 1). 13. Sea X 1 ; : : : ; X variables aleatorias idepedietes co distribució expoecial de parámetros 1 ; : : : ; respectivamete. a) Mostrar que la distribució de X (1) es expoecial. De qué parámetro? b) Probar que P X k = m X i = 1i k : c) Calcular P (m 1i Y i 2) ; dode para cada i = 1; : : : ; se de e Y i = [X i ]

4 14. Dos servidores A y B procesa trabajos a medida que va llegado. El tiempo que tarda el servidor A e procesar u trabajo es ua variable aleatoria X E( 1 ) mietras que el tiempo que tarda el servidor B es ua variable aleatoria Y E( 2 ). Ambos servidores actúa e forma idepediete. a) Dos trabajos llega simultáeamete y es atedido uo por A y otro por B. Cuál es la probabilidad de que el servidor A termie co su trabajo ates que B? b) Supogamos que tres trabajos llega simultáeamete. Uo es atedido por A, otro por B y el tercero queda esperado a que uo de los servidores se libere. Hallar la probabilidad de que el último trabajo e ser atedido sea el último e ser completado si 1 = 2. Sugerecia: Hallar la distribució de X (2) X (1) : Perteece a ua familia coocida? 15. a) Sea X ua variable aleatoria co distribució (; ). Probar que cx (; c ) para todo c > 0. b) Sea X e Y variables aleatorias idepedietes tales que X ( 1 ; ) e Y ( 2 ; ). Probar que X + Y y X X+Y so idepedietes co distribució ( ; ) y ( 1 ; 2 ), respectivamete 2. c) Teiedo e cueta el ejercicio 7 de la Práctica 4, deducir que si Z 1 ; : : : ; Z so variables aleatorias idepedietes co distribució ormal estádar etoces Z Z2 tiee distribució ( 2 ; 1 2 ) Sea X e Y variables aleatorias idepedietes co distribució N(0; 2 ): Sea (; ) la expresió de (X; Y ) e coordeadas polares, es decir (X; Y ) = ( cos () ; se()); co 0 y 0 < 2: a) Probar que y so variables aleatorias idepedietes y hallar su distribució. Es algua de ellas ua distribució coocida? Cuál? b) Hallar la distribució de 2. Es algua distribució coocida? Cuál? c) Hallar la probabilidad de que el par (X; Y ) caiga e el círculo de cetro e el orige y radio : Observar que esta probabilidad o depede de : 17. Sea X 1, X 2 y X 3 variables aleatorias idepedietes co distribució U[ 1; 1]: a) Sea U = X 1+X 2 2. Veri car que f U (u) = (u + 1) 11 ( 1;0) (u) + (1 u) 11 (0;1) (u): b) Sea Z = X 1+X 2 +X 3 3. Usado el ítem aterior veri car que 8 >< f Z (z) = c) Veri car que f U es cotiua y que f Z es derivable. 4 >: (1 jzj)2 si 1 3 < jzj < z2 si jzj si jzj 1: 2 E particular, esto muestra que suma de variables aleatorias Gamma idepedietes tiee distribució Gamma. 3 Esta distribució particular se cooce como la distribució 2 co grados de libertad y se la ota 2 (). 4 Esto es ua muestra de que la covolució mejora la desidad. 4

5 Figura 1: Grá co de f X1 ; f U y f Z, las desidades de X 1 ; U y Z. 18. a) Probar que si X N(; 2 ) etoces ax + b N(b + a; a 2 2 ) para todo a; b 2 R. b) Sea X e Y variables aleatorias idepedietes co distribució ormal estádar y v; w 2 R 2 dos vectores ortogoales de orma uo. Probar que V = v (X; Y ) y W = w (X; Y ) so variables aleatorias idepedietes co distribució ormal. De qué parámetros? c) Deducir que si X e Y so variables aleatorias idepedietes co distribució N(; 2 ) etoces X + Y y X Y so idepedietes. 5 d) Deducir que si X N( 1 ; 1 2) e Y N( 2; 2 2 ) so variables aleatorias idepedietes etoces ax + by + c N(a 1 + b 2 + c; a b2 2 2 ) para todo a; b; c 2 R Sea Z, X 1 y X 2 variables aleatorias idepedietes tales que Z N(0; 1), X 1 2 () y X 2 2 (m). a) Probar que U = p Z tiee distribució t de Studet co grados de libertad cuya desidad viee X1 = dada por f U (u) = (( + 1)=2) (=2) p (+1)=2 1 + u2 : b) i. Deducir e particular que si Z 1 y Z 2 so variables aleatorias idepedietes co distribució ormal estádar etoces el cociete Z 1 jz 2 j tiee distribució C(0; 1). ii. Probar que Z 1 Z 2 tambié tiee distribució C(0; 1). Sugerecia: Mostrar que si Z y W so variables aleatorias idepedietes tales que Z tiee distribució simétrica respecto del cero etoces los vectores aleatorios (Z; W ) y ( Z; W ) tiee la misma distribució. iii. Cocluir que si X es ua variable aleatoria co distribució C(0; 1) etoces 1 X tambié lo es. 5 De hecho, mostraremos más adelate que vale la equivalecia: si X e Y so variables aleatorias idepedietes co ua misma distribució F etoces X + Y y X Y so idepedietes si y sólo si F es ua distribució ormal. 6 E particular, esto muestra que suma de variables aleatorias idepedietes co distribució ormal tiee distribució ormal. 5

6 c) Probar que V = X 1= X 2 =m tiee distribució F de Sedecor co y m grados de libertad cuya desidad viee dada por f V (v) = ((m + )=2) =2 v (=2) (=2) (m=2) m m v (+m)=2 1(0;1) (v): 20. Sea X 1 ; : : : ; X variables aleatorias absolutamete cotiuas idepedietes e idéticamete distribuidas co fució de desidad f y cosideremos el vector aleatorio X = (X (1) ; : : : ; X () ) coformado por sus estadísticos de orde. Mostrar que X es absolutamete cotiuo y que su fució de desidad es f X (x) =! Y f(x i )11 fx:x1 <:::<x g(x): i=1 21. Sea N u proceso de Poisso. Dados T > 0 y 2 N, mostrar que para cada 0 a < b T la variable aleatoria N (a;b] codicioada al eveto fn (0;T ] = g tiee distribució Bi(; p b a;t ), dode p b a;t := b a T. Es decir, para todo 0 k se tiee P (N (a;b] = kjn (0;T ] = ) = p k b a;t k (1 p b a;t ) k Se aima a cojeturar, basádose e este resultado, cuál debería ser la distribució cojuta codicioada al eveto fn (0;T ] = g de los putos del proceso de Poisso sobre el itervalo [0; T ]? 6