TEMA IV ARMÓNICOS Introducción Forma trigonométrica de la Serie de Fourier.

Transcripción

1 TEMA IV ARMÓNICOS 4..-Itroducció. 4..-Forma trigoométrica de la Serie de Fourier Desarrollo e Serie de Fourier de ua fució Codicioes de covergecia Determiació de los coeficietes Simetría de las Formas de Oda Espectro de ua Oda Valor Eficaz y Potecia Factor de Armóicos y Factor de Oda Fudametal Armóicos e las Redes Eléctricas Orige de los Armóicos Efectos producidos por los Armóicos Filtrado de Armóicos. -95-

2 IV..-INTRODUCCIÓN Alguas formas de oda periódicas, como por ejemplo el diete de sierra de la Fig., solamete puede describirse mediate fucioes secillas localmete. Tales expresioes describe la forma de oda satisfactoriamete, pero o permite determiar la respuesta del circuito. Ahora bie, si ua fució periódica puede expresarse como la suma de u úmero fiito o ifiito de fucioes seoidales, las respuestas de los circuitos lieales a excitacioes o seoidales puede obteerse aplicado el teorema de superposició. Co el método de Fourier puede resolverse este tipo de problemas. E este capítulo se aaliza diferetes herramietas y codicioes para la aplicació del método de Fourier. Las odas periódicas se expresa como series de Fourier, mietras que las o periódicas se expresa por sus correspodietes trasformadas de Fourier. Si embargo, ua parte de ua oda o periódica especificada e u periodo de tiempo fiito puede expresarse mediate ua serie de Fourier válida para dicho periodo de tiempo. Este cojuto de posibilidades hace que el aálisis de las series de Fourier sea el pricipal objetivo de este capítulo. IV..-FORMA TRIGONOMÉTRICA DE LA SERIE DE FOURIER La serie de fucioes de la forma a0 + a cos x + b sex + a cos x + b sex +... () o, de forma más compacta, la serie de la forma a0 ( a ( x) b se( x) ) + cos + () = se llama serie trigoométrica. Los úmeros costates a 0, a y b (co =,,...) Se llama coeficietes de la serie trigoométrica. Puede demostrarse que si dicha serie coverge, etoces su suma es ua fució periódica, de periodo B, puesto que se(x) y cos(x) so fucioes periódicas de periodo B. Tambié puede probarse que podemos poer esa misma serie de cualquiera de las dos formas siguietes, combiado e u térmio simple de seo o coseo co u defasaje: () i a0 + c ( x ) ; ( ii) a0 + cse( x ) = cos q f (3) = dode -96-

3 b a c = a + b ; q = tg ; f = tg (4) a b E ambas ecuacioes, c es la amplitud del armóico, mietras que y N so los águlos de fase del armóico. Tambié existe otra forma equivalete a estas series que so las llamadas series expoeciales de Fourier (recuérdese que las fucioes seo y coseo puede poerse como expoeciales imagiarias, segú las fórmulas de Moivre), o obstate, o os ocuparemos aquí de este otro tipo de serie. IV.3.-DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN IV.3..-CONDICIONES DE CONVERGENCIA El problema respecto de estas series es su covergecia. No existe igú teorema que os de codicioes ecesarias y suficietes para garatizar la covergecia de esta serie. Afortuadamete sí que dispoemos de codicioes suficietes que debe cumplir ua determiada fució f(t) para que exista ua serie trigoométrica que coverja a ella: las codicioes de Dirichlet, que se expresa de la siguiete forma. Cualquier oda periódica, es decir, que cumpla f(t) = f(t+t), podrá expresarse e ua serie de Fourier siempre que: ) siedo discotiua, tega u úmero fiito de discotiuidades e el periodo T; )tega u valor medio fiito e el periodo T; 3)icluya u úmero fiito de máximos positivos y egativos e el periodo T. Cuado se cumpla esas codicioes de Dirichlet diremos que la serie de Fourier que coverge a dicha fució existe: 0 () ( ) ( ) ft a = + ( a cos wt + bse w t ) (5) = IV.3..-DETERMINACIÓN DE LOS COEFICIENTES Es obvio que, ya de por sí, las codicioes ateriores so iteresates, pero sería imprescidible, o solamete saber que la serie coverge, sio tambié saber cual es exactamete esta serie, es decir, como calcular los coeficietes de la misma. Afortuadamete, tambié esto puede hacerse de forma fácil, auque o etraremos aquí e su demostració. Puede verse que los coeficietes de la serie de Fourier puede obteerse de la siguiete forma: -97-

4 p w T pt w a f() t ( t) dt ft () = cos w = dt p T cos 0 0 w (6) b p w T pt w = f() t se( wt) dt = ftse () dt p 0 T 0 w (7) U método alterativo para realizar las itegrales cosiste e utilizar la variable R=Tt, siedo el correspodiete periodo B: p a = F( y) ( y) dy p 0 cos (8) p b = F( y) se( y) dy p 0 (9) dode F(R) = f(r/t). Las itegrales puede realizarse desde -T/ a T/, -B a +B o sobre cualquier otro periodo completo que pueda simplificar los cálculos. La costate a 0 se obtiee de las ecuacioes ateriores, co =0; si embargo, como a 0 / es el valor medio de la fució, es frecuete que dicha costate pueda determiarse mediate u aálisis de la forma de oda. La serie de Fourier co los coeficietes obteidos de las itegrales ateriores coverge de modo uiforme al valor de la fució e todos los putos dode la fució es cotiua, y coverge al valor medio e los putos e los que la fució es discotiua. EJEMPLO. Determiar la serie de Fourier de la oda de la Fig. Figura La oda es periódica, co periodo B/T para t ó B para Tt. Es cotiua para 0<Tt<B y de la forma f(t) = (0/B)Tt, co discotiuidades para Tt=B, dode =0,,,... Se verifica las codicioes de Dirichlet. El valor medio de la fució, aalizado la forma de la oda, es 5, por lo que a 0 / = 5. Para >0 tedremos: -98-

5 a = p 0 t ( t) d( t) = p 0 p w cos w w 0 wt = w + p se t ( ) ( ) cos wt 0 = ( ( ) ( ) cos p cos 0 ) = 0 p p = 0 Por tato, la serie o cotiee térmios e coseo. Para los otros coeficietes: b = p 0 t se( t) d( t) = p 0 p w w w 0 wt = cos wt + p 0 w = se t p ( ) ( ) p 0 Utilizado estos coeficietes de los térmios e seo y el térmio del valor medio, la serie es: 0 0 ft () = 5 se( wt) se( wt) = 5 0 p p p = ( ) se wt IV.3.3.-SIMETRÍA DE LAS FORMAS DE ONDA La serie obteida e el ejemplo aterior solamete cotiee u térmio costate, además de los térmios e seo. Otras formas de oda sólo cotedrá los térmios e coseo y, e ocasioes, solamete aparece e la serie armóicos atisimétricos, auque las series cotega térmios e seo, coseo o ambos cojutamete. Todo esto es el resultado de alguos tipos de simetría mostrados por las odas. El coocimieto de tales simetrías se traduce e ua reducció de los cálculos a la hora de determiar la serie de Fourier. Por este motivo so importates las siguietes defiicioes: º)Ua fució f(x) se dice que es par si f(x) = f(-x). La fució f(x) = + x + x 4 es u ejemplo de ua fució par, ya que los valores que toma la fució para x y para -x so iguales. E geeral, todas las fucioes poliómicas que o cotega potecias impares costituirá ua fució par. La fució coseo es ua fució par, ya que puede expresarse mediete ua -99-

6 suma de térmios de potecias pares (desarrollo de Taylor): x x x x cos( x) = + +! 4! 6! 8! (6) La suma o el producto de dos o más fucioes pares es ua fució par. La suma de ua costate a ua fució par o altera su aturaleza par (recuérdese que el úmero cero se cosidera par). E la siguiete figura se muestra alguos ejemplos de fucioes pares de x, las cuales so (obligatoriamete) simétricas respecto al eje vertical. Figura º)Se dice que ua fució f(x) es impar si f(x) = -f(-x). La fució f(x) = x + x 3 + x 5 es u ejemplo de ua fució impar, ya que los valores de la fució para x y para -x so de sigos cotrarios. La fució seo es ua fució impar, ya que puede expresarse mediate ua suma de térmios co potecias impares (obligatorio para ua fució impar): se( x) x x x x = x + + 3! 5! 7! 9! (7) La suma de dos o más fucioes impares es ua fució impar, pero la suma de ua costate elimia la aturaleza impar de la fució. El producto (o cociete) de dos fucioes impares es ua fució simétrica par. El producto (o cociete) de ua fució par, por ua fució impar es otra fució impar. Las formas de oda de la siguiete figura represeta fucioes impares de x. So simétricas respecto al orige de coordeadas. -00-

7 Figura 3 3º)Se dice que ua fució periódica f(x) es iversa de medio ciclo si f(x) = -f(x+t/), dode T es el período. E la siguiete figura se muestra dos odas iversas de medio ciclo. Figura 4 Al establecer el tipo de simetría de ua oda puede obteerse alguas coclusioes. Si la forma de oda es par, los térmios de sus series de Fourier so térmios e coseo, icluyedo ua costate si el valor medio de la forma de oda es distito de cero. Por tato, o es ecesario realizar las itegrales para obteer b por o estar presete igú térmio e seo. La oda puede ser impar úicamete después de restarle su valor medio, e cuyo caso, su serie de Fourier cotedrá esa costate y ua serie de térmios e seo. Si la oda es iversa de medio ciclo, e la serie solamete aparece los armóicos impares. Esta serie cotedrá térmios e seo y e coseo, a meos que la fució sea (a la vez) par o impar. E cualquier caso, a y b so cero para =, 4, 6,..., para cualquier forma de oda iversa de medio ciclo. Esta última sólo puede darse tras restar el valor medio. Alguas formas de oda, segú la ubicació del eje vertical, puede ser pares o impares. La oda cuadrada de la Fig. 5(a) reúe las codicioes de ua fució par, es decir, f(x) = f(-x). U desplazamieto del eje vertical a la posició mostrada e la Fig. 5(b) produce ua fució impar, es decir, f(-x) = -f(x). Si el eje vertical se coloca e u puto distito a los mostrados, la oda cuadrada o será i par i impar, por lo que si serie cotedrá térmios e seo y e coseo. Así, e el aálisis de ua fució periódica el eje vertical deberá elegirse cuidadosamete para obteer ua fució par -0-

8 o impar, siempre que la forma de oda lo permita. Figura 5 Figura 6 La variació de la posició del eje horizotal puede simplificar la represetació de la serie de la fució. Como ejemplo, la oda de la Fig. 6(a) o reúe los requisitos de ua fució impar a meos que se le reste el valor medio, tal y como se muestra e la Fig. 6(b). Por ello su serie cotedrá úicamete u térmio costate y los térmios e seo. IV.4.-ESPECTRO DE UNA ONDA El diagrama dode se represeta las amplitudes de cada uo de los armóicos que costituye ua oda se deomia espectro de la oda. La amplitud de los armóicos decrece (o ecesariamete de forma moótoa) rápidamete para odas co series que coverge rápidamete. Las odas co discotiuidades, como el diete de sierra o la oda cuadrada, tiee u espectro cuyas amplitudes decrece letamete, ya que sus desarrollos e serie tiee armóicos de elevada amplitud. Los armóicos décimos tedrá, a meudo, amplitudes de valor sigificativo comparados co el fudametal. E cotraste, los desarrollos e serie para odas si discotiuidades, y co ua apariecia geeralmete suave, coverge rápidamete, por lo que para geerar la oda se requiere muy pocos térmios del desarrollo e serie. Tal covergecia rápida se hace evidete e el espectro de la oda, dode las amplitudes de los armóicos decrece rápidamete, de forma que por ecima del quito o del sexto so isigificates. El coteido e armóicos y el espectro de la oda so parte propia de la aturaleza de dicha oda y uca cambia, sea cual sea el método de aálisis. -0-

9 Modificar el orige da a los armóicos desarrollos trigoométricos ua apariecia completamete distita, lo que tambié es aplicable a los desarrollos e serie. Si embargo, los mismos armóicos siempre aparece e los desarrollos, y sus amplitudes permaece fijas. c0 = a0 y c = a + b ( ) (8) Figura 7 Por último, cometar que cuado la fució o es periódica, co lo que o se puede obteer ua serie trigoométrica a la que coverja, ya cometamos que, e ese caso, deberíamos (si se puede) utilizar o u desarrollo e serie sio la trasformada de Fourier. Esto colleva que, e este caso, el espectro o está formado por ua serie de armóicos, esto es, u espectro discreto, sio que se tiee ahora u espectro cotiuo, coteiedo todas las frecuecias reales (o solo las múltiplos etero de T). IV.5.-VALOR EFICAZ Y POTENCIA es El valor eficaz (rms) de la fució ft () = a0 + acoswt + acoswt+ + bse wt + bse wt+ (9) Frms = a0 + a + a + + b + b + = (0) = c0 + c + c + c3 + () -03-

10 Partiedo de u circuito lieal co ua tesió aplicada periódica, debería esperarse que la itesidad resultate cotuviera los mismos térmios armóicos que la tesió, auque co amplitudes de diferete magitud relativa, ya que la impedacia varía co T. Es posible que alguos armóicos o aparezca e la itesidad; por ejemplo, e u circuito paralelo LC puro, ua de las frecuecias de los armóicos puede coicidir co la frecuecia de resoacia, haciedo que la impedacia para esa frecuecia sea ifiita. E geeral puede escribirse: ( w f ) ( w y ) v = V + V se t + e i = I + I se t + () 0 0 co los correspodietes valores eficaces: Vrms = V0 + V + V + Irms = I0 + I + I + e (3) La potecia media P se obtiee de la itegració de la potecia istatáea, la cual se obtiee del producto de v e i: [ 0 ( ) ] 0 ( ) [ ] p = vi = V + V se w t + f I + I se w t + y (4) Como v e i tiee u período T, su producto debe teer u úmero etero de períodos e T (recuérdese que para ua oda seo simple de tesió aplicada, el producto vi tiee u período mitad que el correspodiete a la oda de tesió). El valor medio puede calcularse sobre u período de la oda de tesió: [ 0 ( ) ] 0 ( ) [ ] P T = V + V se w t + f I + I se w t + y dt (5) T 0 El aálisis de los posibles térmios resultates del producto de dos series ifiitas uestra que dichos térmios puede ser de los siguietes tipos: el producto de dos costates, el producto de ua costate y ua fució seo, el producto de dos fucioes seo de diferetes frecuecias, y fucioes seo al cuadrado. Después de la itegració, el producto de dos costates sigue siedo V 0A I 0 y las fucioes seo al cuadrado co los límites aplicados so (V I /)cos(n - R ); la itegració e el período T de todos los demás productos es cero. Por tato, la potecia media es P = V00 I + VI cosq+ V I cosq + V33 I cosq3+ (6) dode = N - R es el águlo de la impedacia equivalete del circuito para la frecuecia T, y V e I so los valores máximos de sus fucioes seoidales respectivas (si esos valores idividuales fuera eficaces, o aparecerías los térmios /). E el caso especial de ua tesió seoidal de ua úica frecuecia, V 0 = V = V 3 =... =0, y la aterior expresió se reduce a la ya coocida -04-

11 P = VI cosq = V I cosq (7) Tambié, para ua tesió DC, V = V = V 3 =... = 0, y la potecia pasa a ser P = V00 I = vi (8) Por lo tato, la expresió aterior ecotrada es bastate geeral. Nótese que e el segudo miembro o hay térmio que implique u producto de tesió e itesidad de diferetes frecuecias. Por tato, e lo que a potecia se refiere, cada armóico actúa de forma idepediete y ef ef P = P0 + P+ P + P3+ (9) EJEMPLO. A u circuito RL serie, co R= 5S y L = 0mH se aplica la tesió v(t) = se(Tt) + 5se(3Tt) (v), co T = 500 rad/s. Determiar la itesidad cedida por el geerador, así como la potecia media sumiistrada. Em primer lugar habrá que calcular la impedacia equivalete del circuito para las distitas frecuecias de tesió, para luego obteer la itesidad correspodiete. Para T = 0, Z 0 = R = 5S, de dode: I 0 V0 00 = = = R 5 0A Para T = 500rad/s, Z = 5 + j(500)(0a0-3 ) = 5 + j0 =,5 63,4º S y, así, V,max i = se( wt q) = 448, se( wt 634, º )( A) Z i 3 Para 3 T = 500rad/s, Z 3 = j = 30,4 80,45º S, e V3,max = se( 3wt q3) = 083, se( 3wt 8054, º )( A) Z 3 La suma de los armóicos de itesidad es la respuesta total requerida; es ua serie de Fourier del tipo visto: ( w ) ( w ) i = , se t 634, º se 3 t 8054, º Esta itesidad tiee u valor eficaz de 448, 083, Ief = = 406, = 05, A la cual da ua potecia e la resistecia de 5S de -05-

12 P = I R = 406, 5= 053 W ef Como verificació se suma la potecia media total calculado primero la potecia que sumiistra cada armóico y sumado los resultados: Para T=0; P 0 = V 0 I 0 = 00A0 = 000 W Para T=500rad/s; P = (/)V I Acos = (/)A50A4,48Acos(63,4º) = 50, W Para 3 T=500rad/s; P 3 = (/)V 3 I 3 Acos 3 = (/)A5A0,83Acos(80,54º) =,69 W Etoces: P = , +,69 = 05 W Otro método sería ecotrar el desarrollo e serie de Fourier para la tesió etre los extremos de la resistecia: v R = RAi = 00 +,4se(Tt-63,4º) + 4,se(3 Tt-80,54º) (V) de dode V Ref = = = 4, 4, , V Etoces, la potecia sumiistrada por la fuete es P V Re f 059 = = = 05 W R 5 El llamado Factor de Forma, que se defie como se idica a cotiuació FF Yef = = Y med T T T 0 [ yt ()] T 0 () ytdt dt (38) se utiliza para coocer el valor eficaz de ua magitud seoidal a partir del valor medio de la misma e u semiperíodo. Hay istrumetos de medida que se basa e que el desplazamieto de la aguja es proporcioal al valor medido y, si más que cambiar la graduació de la escala (multiplicado por., que es el valor de FF para la oda seoidal), se puede teer la lectura directa del valor eficaz de la magitud. Esto puede dar lugar a lecturas falsas, cuado la señal tiee alto coteido armóico, ya que e este caso, la expresió del valor eficaz es c c c Yef = a (39) Cuado u istrumeto de medida está preparado para medir el valor eficaz de ua oda utilizado esta última expresió, se dice que mide el verdadero valor eficaz -06-

13 IV.6.-FACTOR DE ARMÓNICOS. FACTOR DE ONDA FUNDAMENTAL Cuado ua oda o siusoidal tiee muchos armóicos co valores eficaces del orde del pricipal, se dice que está muy distorsioada, o que tiee gra coteido de armóicos, y su forma estará muy alejada de la forma siusoidal. Para defiir el grado de distorsió se utiliza el coeficiete de distorsió armóica (D), defiido por la expresió: D = c + c + c 3 = = = Y Y (40) Para ua oda siusoidal pura, D es igual a cero, ya que c = c 3 =... = 0. Para ua oda co muchos armóicos el umerador represeta el valor eficaz de todos los armóicos excepto el del fudametal y, por tato, el coeficiete de distorsió armóica de ua oda idica la proporció de armóicos de orde superior a uo respecto al fudametal. Para valores de D < 0.05 (5%) la distorsió se puede cosiderar despreciable y el primer armóico es suficiete como aproximació de la oda o siusoidal. La aterior defiició de coeficiete de distorsió armóica es la recomedada por el CIGRE (Coferecia Iteracioal de Grades Redes Eléctricas). Existe otra defiició dada por la CEI (Comisió Electrotécica Iteracioal), e la que e el deomiador, e lugar de tomar el valor eficaz del primer armóico se toma el valor eficaz de toda la oda: D = = = = = Y Y (4) (Nótese que e este caso 0 # D <, mietras que para la defiició aterior, solamete se tiee D $ 0) Salvo idicacioes e cotra, osotros utilizaremos la defiició segú la CIGRE que correspode a la relació etre la carga armóica y la corriete o deformada a frecuecia idustrial. El factor o tasa idividual da ua medida de la importacia de cada armóico e relació a la fudametal. La tasa idividual es la relació etre el valor eficaz de la amplitud del armóico de rago y el de la fudametal. Suele darse e %, y el espectro suele darse e relació a estos valores relativos. -07-

14 Se defie el orde o rago del armóico como la relació que hay etre su frecuecia f y la frecuecia de la fudametal (geeralmete la idustrial, 50 ó 60Hz): Por pricipio, la fudametal f tiee rago. = f f (4) IV.7.-ARMÓNICOS EN LAS REDES ELÉCTRICAS La eergía eléctrica se distribuye geeralmete e forma de tres tesioes que costituye u sistema trifásico siusoidal. Uo de los parámetros del sistema es la forma de oda, que debe ser lo más parecida posible a ua siusoide. Es ecesario corregir esta forma de oda, si ésta sobrepasa ciertos límites, que a meudo podemos ecotrar e las redes que cotiee fuetes de corrietes y de tesioes armóicas tales como horos de arco, covertidores estáticos de potecia, alumbrado,... IV.7..-ORIGEN DE LOS ARMÓNICOS Diremos que ua carga es lieal cuado si es excitada por ua tesió seoidal, la corriete que circula por ella tambié es seoidal de la misma frecuecia (auque puede variar su amplitud o fase). Así, las cargas típicas (R, L y C) se comporta de forma lieal. Obviamete, ua carga es o lieal si o cumple lo aterior. De acuerdo co eso, las cargas o lieales so las resposables de la aparició de armóicos. Los geeradores de magitudes eléctricas armóicas o fuetes perturbadoras, e el ámbito idustrial so los covertidores estáticos, los horos de arco, el alumbrado, las iductacias saturables y otras tales como las rauras de las máquias rotativas (armóicos a meudo despreciables). Los puetes rectificadores y e geeral los covertidores estáticos (diodos y tiristores) so geeradores de corrietes armóicas. Las compoetes armóicas características de las crestas de la corriete de alimetació de los rectificadores tiee rago (so de orde ), co = (kap)±, dode k =,, 3, 4, 5,... y p = º de ramas del rectificador (por ejemplo, p=6 para el puete de Graetz o puete hexafásico), de este modo, para los rectificadores citados, los armóicos presetes será de orde 5, 7, 3, 7, 9, 3, 5 co p=6, y de orde, 3, 3, 5 co p=. Es fácil costatar que los armóicos I 5 e I 7 tiee amplitudes bastate grades, y que puede suprimirse utilizado u puete dodecafásico (p=). -08-

15 E la práctica los espectros de corriete so sesiblemete diferetes. Se produce uevas compoetes armóicas pares e impares deomiadas o características, de débil amplitud, y las amplitudes de los armóicos característicos se ve modificadas por múltiples factores tales como: disimetría de costrucció, imprecisió de costate de apertura de los tiristores, tiempo de comutació, filtraje imperfecto,... Se puede observar, e el caso de puetes de tiristores, u desfase de los armóicos e fució del águlo de retardo del cebado. Los puetes mixtos diodos-tiristores so geeradores de armóicos de orde par. Su empleo se limita a pequeñas potecias ya que el armóico de orde es muy molesto y difícil de elimiar. Los otros covertidores de potecia (reguladores, ciclocovertidores,...) Tiee espectros variables y más ricos e armóicos que los rectificadores. Notar que (cada vez más) poco a poco so reemplazados por los covertidores de técica PWM (Power Wave Modulatio) que trabaja co ua frecuecia de corte de 0 a 50KHz., so ormalmete cocebidos para geerar u débil ivel de armóicos. El horo de arco utilizado e siderurgia puede ser de corriete altera o de corriete cotiua. El de altera es o lieal, asimétrico e iestable. Iduce espectros que cotiee badas impares, pares y ua compoete cotiua (ruidos de fodo a frecuecias cualesquiera). El ivel espectral es fució del tipo de horo, de su potecia, del período de fucioamieto cosiderado: fusió, afiado,... Solamete las medidas puede determiar el espectro de maera precisa. E cuato al de corriete cotiua, el arco se alimeta e este caso por medio de u rectificador y es más estable que el de altera. La corriete absorbida se descompoe e u espectro parecido al de u rectificador más u espectro cotiuo de ivel iferior al de u horo de corriete altera. El alumbrado por lámparas de descarga y tubos fluorescetes es geerador de corrietes armóicas. U factor idividual del 5% del tercer armóico puede ser elevado e algú caso, por lo que se ha de prestar ua ateció particular a la determiació de la secció y de la protecció del coductor eutro que trasporta la suma de las corrietes armóicas de las tres fases, co riesgo de caletamieto elevado. Las iductacias saturables tiee su impedacia e fució de la amplitud de la corriete que por ellas circula, y de hecho, ellas provoca deformacioes otables de esta corriete. Este es el caso, e cierta medida, de los trasformadores, e vacío, sometidos a ua sobretesió permaete. Las máquias rotativas da armóicos de raura de rago elevado y de amplitudes a meudo despreciables.. Las pequeñas máquias sícroas so, si embargo, geeradoras de tesioes armóicas de 3er orde que puede teer ua icidecia sobre: -el caletamieto permaete (bajo defecto) de las resistecias de puesta a tierra del eutro de los alteradores; -09-

16 -el fucioamieto de los relés amperimétricos de protecció cotra los defectos de aislamieto. IV.7..-EFECTOS PRODUCIDOS POR LOS ARMÓNICOS Podemos clasificar los armóicos de la siguiete forma: Nombre Fudametal º 3º 4º 5º 6º 7º Frecuecia (Hz) Secuecia Normalmete, las odas que circula por la red tiee las mismas compoetes positivas que egativas, co lo cual o suele aparecer armóicos de orde par (icluyedo el de orde 0 o compoete DC), así, lo habitual es ecotrarse co Nombre F 3º 5º 7º 9º º 3º Frecuecia Secuecia La secuecia idica el setido de rotació de su vector corriete (fasor). Idica el setido e que giraría el rotor de u motor, al ser excitado por esa seña. Secuecia directa (+) idica que el setido de giro es el horario. Secuecia iversa (-) idica u setido de giro atihorario). Secuecia homopolar (0) idica que o gira. Esos armóicos (llamados ormalmete triples) se suma al eutro de la red (si ésta es de 4 hilos) y so los causates de sobrecaletamietos que puede llegar a producir seros problemas e la red. Los armóicos de secuecia egativa so peligrosos porque puede quemar los motores de iducció trifásicos (ya que uas compoetes tiede a que el motor gire e setido horario y éstos tiede a hacerlo girar e el otro setido). Dado que la amplitud de los armóicos suele decrecer bastate co el orde, está claro que (salvo el problema de los motores que acabamos de cometar) el más importate es el tercero (triples). Las tesioes y corrietes armóicas superpuestas a la oda fudametal cojuga sus efectos sobre los aparatos y equipos utilizados. Las magitudes armóicas provoca diferetes efectos segú los receptores ecotrados: -bie sea efectos istatáeos, -bie sea efectos a largo plazo debido a los caletamietos. EFECTOS INSTANTÁNEOS: Para los sistemas electróicos, las tesioes armóicas puede perturbar los dispositivos de regulació. Ellas puede iflueciar las codicioes de comutació de los tiristores cuado desplaza el paso de cero de la tesió. -0-

17 Los cotadores de eergía a iducció preseta alguos errores suplemetarios e presecia de armóicos. Los receptores de telemado cetralizados a ua frecuecia musical utilizada por los distribuidores de eergía puede ser perturbados por las tesioes armóicas de frecuecia próxima a la utilizada por el sistema. Segú los esfuerzos electrodiámicos, proporcioales a las corrietes istatáeas e presecia, las corrietes armóicas geerará vibracioes y ruidos acústicos, sobretodo e aparatos electromagéticos (trasformadores, iductacias,...). Los pares mecáicos pulsatorios, debidos a los campos giratorios armóicos, dará lugar a las vibracioes e las máquias rotativas. Tambié se produce perturbacioes sobre las líeas de corrietes débiles (teléfoo, telemado) cuado éstas trascurre a lo largo de ua caalizació de distribució eléctrica co corrietes y tesioes deformadas. EFECTOS RETARDADOS: Excepto la fatiga mecáica de los materiales debida a las vibracioes, el efecto a largo plazo es el caletamieto, que puede darse e diversas situacioes: a)caletamieto de los codesadores. Las pérdidas, causas de los caletamietos, so debidas a dos feómeos: coducció e histéresis e el dieléctrico. Ellas so, e ua primera aproximació, proporcioales al cuadrado de la tesió aplicada, y a la frecuecia para la histéresis. Los codesadores so pues sesibles a las sobrecargas, bie sea debidas a ua tesió fudametal demasiado elevada o a la presecia de las tesioes armóicas. Estos caletamietos puede coducir a la perforació del dieléctrico. b)caletamieto debido a las pérdidas suplemetarias de las máquias y los trasformadores. Se tiee pérdidas suplemetarias e las máquias, e su estátor y pricipalmete e sus circuitos rotóricos (jaulas, amortiguadores, circuitos magéticos). Tambié se tiee pérdidas suplemetarias e los trasformadores, debido al efecto coroa (aumeto de la resistecia del cobre co la frecuecia), a la histéresis y a las corrietes de Foucault (e el circuito magético). c)caletamieto de los cables y de los equipos. Las pérdidas de los cables atravesados por las corrietes armóicas so superiores, por lo que se produce u aumeto de la temperatura. Etre las causas de pérdidas suplemetarias se puede citar: -El aumeto de la resistecia aparete del alma del cable co la frecuecia, feómeo debido al efecto coroa. -El aumeto de las pérdidas dieléctricas e el aislate co la frecuecia. -Los feómeos de proximidad, patallas metálicas puestas a tierra por ambos extremos. De ua forma geeral, todos los equipos (cuadros eléctricos) sometidos a tesioes o atravesador por corrietes armóicas, tiee pérdidas acetuadas y deberá ser objeto de ua evetual desclasificació. --

18 Hay que teer especial precaució co el eutro (para ua istalació típica de 4 hilos). Como sabemos, e u sistema trifásico equilibrado, la suma de corrietes se aula, por lo que por el eutro o debería circular corriete algua. Si por la red trifásica, au estado equilibrada, circula armóicos debidos a cargas o lieales (por ejemplo, u edificio de oficias co muchos ordeadores o máquias electróicas - icluyedo aquí reguladores de lumiosidad -), la frecuecia fudametal o circulará por el eutro, pero la frecuecia correspodiete al tercer armóico (50Hz) correspodiete al llamado triples pricipal, al ser de secuecia cero, o se cacela co las cotribucioes de las tres fases, sio que se suma, llegado, e ocasioes, a alcazarse corrietes de hasta el 30% de la que circula por cualquiera de las fases. Esto hace que el eutro (que ormalmete suele estar subdimesioado, debido a que, teóricamete o debería circular por él corriete algua) pueda sobrecaletarse gravemete. Esto se ve agravado porque el eutro o suele teer limitador de itesidad (por diversas causas, que o viee al caso), por lo que este aumeto de corriete puede pasar fácilmete iadvertido y llegar a producir graves problemas. Ua forma simple de observar si este efecto se produce (ua vez observado, co u medidor de verdadero valor eficaz, que por el eutro circula ua corriete eficaz elevada) es medir la frecuecia de la señal que por él circula. Si este valor es de 50Hz, queda claro que so los triples los causates de este defecto. Este hecho tambié puede provocar caídas de tesió etre el eutro y tierra superiores a las habituales (por ecima de voltios). Otro problema que se preseta co la aterior causa es que, ormalmete, suele teerse u trasformador triágulo/estrella que alimeta a la istalació. Cuado estos triples llega a través del eutro al secudario del trasformador, éstos se refleja sobre el devaado triágulo del primario, pudiedo provocar u sobrecaletamieto que puede llevar a la destrucció del trasformador. Otra cosideració a teer e cueta ocurre cuado la istalació tiee (cosa bastate habitual) algua batería de codesadores, para la correcció del factor de potecia. E este caso, y dado el carácter iductivo que suele teer toda red, si existe armóicos e ella, éstos puede ser poteciados si se alcaza la situació de resoacia paralela, que cosiste e que la frecuecia de resoacia del circuito LC equivalete de la red resuee a algua frecuecia próxima a la de algú armóico existete, lo cual puede ser muy peligroso (se puede producir picos de sobreitesidad para esos armóicos, ya que la situació de resoacia hace que la red presete ua impedacia muy baja para esa frecuecia determiada). IV.7.3.-FILTRADO DE ARMÓNICOS Habrá que realizar algua actuació sobre la red cuado el ivel de armóicos e la misma supere uos determiados ragos. VALORES INDICATIVOS: -Máquia sícroa: distorsió de corriete estatórica admisible:,3 a,4% -Máquia asícroa: distorsió e corriete estatórica admisible:,5 a 3,5% --

19 -Cables: distorsió e tesió coductor-patalla: 0% -Codesadores de potecia: distorsió e corriete: 83%, que provoca ua sobrecarga del 30% (,3AI omial ). Etoces la sobrecarga e tesió puede alcazar el 0%. -Electróica sesible: distorsió de tesió 5%, factor idividual 3%, segú el material. Límites utilizados para las redes de distribució. Rago del armóico Valor base (%) Valor alto (%),5 3,5,5 4 0, , 0, <0, 9 0,8,5 0 <0,,5 3,5 <0, <0, 5 <0,3 6 <0, 7 8 <0, 9 0,8,5 0 <0, <0, Se estima que la distorsió de tesió o sobrepasará u 5% el ivel e bores del cosumo si, cada cliete cosiderado él solo, o produce: -ua distorsió e tesió superior a,6% -u factor idividual superior a *0,6% para las tesioes armóicas de orde par *% para las tesioes armóicas de orde impar. Los valores idividuales de tesió habitualmete medidos e redes de distribució de alta tesió se preseta e la tabla adjuta. Límites utilizados para las redes idustriales. Se admite que ua red idustrial que o cotega material electróico sesible, tal como reguladores, autómatas, etc. admite ua distorsió e tesió del 5%. Los valores admisibles de distorsió y el factor idividual de tesioes armóicas puede ser limitados por las exigecias de los materiales sesibles. <0, 3 0,5-3-

20 Cuado la situació lo requiera (dada la complejidad de la correcció de armóicos, este estudio debe realizarlo siempre persoal cualificado ya que, como hemos cometado ateriormete, la resoacia paralelo que puede aparecer, puede teer cosecuecias efastas sobre la red) deberá actuarse para evitar problemas debidos a los armóicos. Estas actuacioes puede ser de dos tipos: a)pasiva, e la cual o se procede a elimiar las causas (esto es, los armóicos) sio a adecuar los coductores, cuadros y trasformadores, de forma que la presecia de los armóicos o produzca igua alteració e el correcto fucioamieto de éstos. E este setido va la llamada desclasificació de los trasformadores. A título de ejemplo, vamos a ver ua de las actuacioes que etrar detro de este caso, aplicada solamete a ua istalació que solamete posee cargas moofásicas (ejemplo de u edificio de oficias). Se trata de obteer el llamada factor de desclasificació del trasformador (THDF) (Trasformer Harmoic Deratig Factor); catidad que está etre 0 y (u valor THDF= idica o presecia de armóicos) y que se defie de la forma: THDF = I I cresta eficaz (43) Esas itesidades se obtiee de medidas realizadas co aparatos de verdadero valor eficaz, a plea carga (valor medio de las tres fases). La potecia efectiva del trasformador deberá ser la obteida de multiplicar la que viee e su placa de características por este factor de desclasificació (que siempre será iferior). Co ello se impedirá el que dicho trasformador pueda teer problemas de sobrecaletamieto (obviamete, respetado, e el diseño, este uevo valor de su potecia e KVA). E cuato a los coductores, deberá repetirse el cálculo de su secció adecuada, teiedo e cueta estos valores eficaces verdaderos y, sobretodo, teiedo e cueta este efecto sobre el coductor eutro. Tambié habrá que sobredimesioar los cuadros o utilizar los expresamete costruidos para redes co armóicos. b)activa. E este caso sí que se actuará sobre la red (pricipalmete sobre los dispositivos) para dismiuir la presecia de armóicos e la misma, lo que se realizará itroduciedo e la red dos tipos de motajes: -Iductacia atiarmóica (resoacia serie fuera de las rayas del espectro). -Filtro (resoacia serie sobre ua raya del espectro). Vamos a cometar brevemete cada ua de estas posibilidades. La iductacia atiarmóica permite proteger ua batería de codesadores cotra sobrecargas armóicas. No elimia los armóicos de la red, pero sí que circule por la batería de codesadores. No vamos a etrar e su descripció, solamete idicaremos que: -suprime el riesgo de fuertes corrietes armóicas e los codesadores, -suprime correlativamete las fuertes distorsioes de tesió e la red, si -4-

21 llevar, de todas maeras, los iveles a u valor bajo especificado. Si embargo hay que tomar precaucioes: -o puede haber otras baterías de codesadores que pueda dar por atiresoacia, u carácter capacitivo a la red, iicial e la gama de frecuecias del espectro armóico, -se ha de vigilar o colocar la atiresoacia a ua frecuecia próxima a la de telemado del distribuidor (compañía eléctrica). -a causa del espectro cotiuo, la iductacia atiarmóica o se puede utilizar e el caso de horos de arco más que e casos particulares y co ciertas precaucioes. La limitació de las tesioes armóicas de la red a valores bajos específicos se cosigue co el empleo de filtros. Existe dos clases de filtros que permite reducir las tesioes armóicas: -el shut resoate, -los filtros amortiguadores. El shut resoate está costituido por ua rama L-C (figura 8a) cuya frecuecia de resoacia debe ser: f r = p -5- LC y cuyo valor debe ser superior al de la frecuecia de la tesió armóica que se desea elimiar. Esta fialidad difiere fudametalmete de la de la iductacia atiarmóica. El shut resoate preseta a la frecuecia f r ua impedacia míima que se reduce al valor de la resistecia r de la iductacia. Deriva hacia él casi la totalidad de las corrietes armóicas de frecuecia f r iyectadas, co u ivel de tesió armóica de frecuecia f r débil y proporcioal al producto de la resistecia r por la corriete que circula por el shut. E pricipio, hay tatos shuts resoates como armóicos a tratar, coectados e el juego de barras dode se especifica la tesió armóica admisible. El cojuto costituye ua batería. Los filtros amortiguadores típicos so de segudo orde, y se suele usar co horos de arco y cuado o se desea ua batería de shuts resoates (por cuestió meramete ecoómica) sio mejor la utilizació de u filtro de amplio espectro que posea las siguietes propiedades: -amortiguar las atirresoacias, -reducir las tesioes armóicas de frecuecias iguales o superiores a la de sitoía cuya fució geera el ombre de filtro amortiguador pasa salto, -amortiguar rápidamete el régime trasitorio debido a la puesta e tesió del filtro. El filtro amortiguador de segudo orde está costituido por u shut resoate sobre el que se coecta, e bores de la iductacia, ua resistecia de amortiguació (44)

22 que llamaremos R (figura 8b). f = Figura 8 El filtro amortiguador de segudo orde preseta ua reactacia ula ate la frecuecia f r, mayor que la frecuecia f co p LC (45) y f r = + Q q ( ) p q Q L C (46) siedo la impedacia característica: X L C 0 = (47) el factor de calidad de la iductacia: q = X r 0 (48) y el factor de calidad del filtro: Q = X R 0 (49) (r es la resistecia de la iducció L). -6-

23 Existe otros filtros amortiguadores más raramete utilizados y derivados del filtro de segudo orde, como so el filtro amortiguador de tercer orde (se utiliza e casos de potecias de compesació elevadas), el filtro amortiguador tipo C que tiee uas pérdidas semejates a las del de tercer orde, el filtro db amortiguador (formado por dos shuts resoates coectados por ua resistecia R) y el shut resoate de baja q (que se comporta como u filtro amortiguador de bada alta). Todos estos filtros y shuts debe protegerse cotra los defectos de aislamieto (mediate relé amperimétrico diferecial residual) y cotra cortocircuitos (por relé amperimétrico de máxima corriete). -7-