Diferencias Finitas Para la Ecuacion de Calor en 1D

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Diferencias Finitas Para la Ecuacion de Calor en 1D"

María Mercedes Peralta Barbero
hace 5 años
Vistas:

1 La ecuació a resolver es la ecuació de calor: Dode la icógita es la fució u(x,t). Diferecias Fiitas Para la Ecuacio de Calor e D u t γ(x,t) u x =f (x,t) x [ a,b] t [t t ] 0, f u(a, t)=α(t ) Codició de frotera e a u(b,t)=β(t) Codició de frotera e b u(x,t 0 )=u 0 ( x) Codició iicial Primero discretizamos el itervalo espacial [a,b] e + itervalos de igual logitud h : h= b a + lo que geera + odos dados por: x i =a+ih i=0,..., + Ahora discretizamos el itervalo temporal [t 0, t ] e T + itervalos de igual logitud Δ t : Δ t= t f t 0 T + lo que geera T + odos dados por: t =t 0 +Δ t =0,...,T+

2 E el siguiete desarrollo se utiliza la otació: u i =u(x i,t ) Usado diferecias fiitas cetrales para discretizar la derivada e el espacio e el odo x i y diferecias fiitas hacia atras para discretizar la derivada temporal e el tiempo t se obtiee la ecuació: u i u i Δt u γ i+ i u i +u i h =f i para el odo (x i, t ) esta ecuació es válida para todos los odos de la discretizació i=,..., y =,... T + Ordeado alguos térmios se tiee: u i +Δt γ i h ( u i+ +u i u i )=Δt f i +u i Si os fijamos e los odos i= e i= u +Δt γ i h ( u +u u 0 )=Δt f +u u +Δt γ h ( u + +u u )=Δt f +u E estas ecuacioes se puede utilizar las codicioes de frotera: u 0 =u (x 0, t )=u(a,t )=α(t ) u + =u( x +,t )=u(b,t )=β(t ) Etoces para los casos i= e i= se tiee las ecuacioes u +Δt γ h ( u +u )=Δt f +u +Δt γ h α(t ) u +Δt γ h (u u )=Δt f +u +Δt γ h β(t )

3 Si fijamos el idice temporal y recorremos todos los odos espaciales (excepto las froteras), se tiee el siguiete sistema lieal de ecuacioes de tamaño dode las icógitas so los valores u i para i=,..., u +Δt γ h ( u +u )=Δt f +u +Δt γ h α(t ) u i +Δt γ i h ( u i+ +u i u i )=Δt f i +u i para i=,..., Sistema lieal al tiempo u +Δt γ h (u u )=Δt f +u +Δt γ h β(t ) E forma matricial este sistema de ecuacioes puede escribirse como: Δt h [( )+ ( γ γ γ γ 0 γ γ γ γ γ )]( u u u 3 u )=(Δ t f +u + Δt γ α(t ) h Δ t f +u )) Δ t f 3 +u 3 Δ t f +u + Δ t γ β(t h Realizado la suma de matrices Δ t γ (+ Δt γ 0 0 h h Δ t γ + Δ t γ Δt γ 0 h h h 0 Δt γ 3 + Δ t γ 3 0 h h 0 0 Δt γ + Δt γ h h )=( )( u u u 3 u Δ t f +u + Δ t γ α(t ) h Δ t f +u )) Δ t f 3 +u 3 Δ t f +u + Δ t γ β(t h E ua otació mas compacta: [I+Δt A]u =Δt f +u +d dode

4 I=( ) =( Δt γ α(t )) ) h 0 d 0 Δ t γ β(t h A= h ( γ γ γ γ 0 0 γ 0 ) 0 γ 3 γ γ γ u u =(u Si abreviamos u poco mas, el sistema lieal se puede escribir (para fija): u 3 u ) =( f f f ) f 3 f B u =b dode B=I+Δ t A y b =Δt f +u +d. La solucó de este sistema represeta la solucó al tiempo t. Para coocer la solució e todos los tiempos de la discretizació temporal se debe resolver T + sistemas lieales de forma secuecial, es decir: Resolver primero el sistema para = : B u =b Despúes, el sistema para = : B u =b Asi sucesivamete... : hasta resolver el sistema : B u T+ =b T+ Resolviedo todos estos sistemas lieales se obtiee la solució para todos los tiempos y para todos los odos del espacio. Si los valores de la discretizació y T o so muy grades se puede guardar la solucó e u arreglo de la siguiete forma: 0 [x0 u0 0 x u u 0 u 0 T+ u T+ u 0 x + u + u + u + ota importate: Si la fucio γ ( x, t ) es costate γ =cte estoces solo hay que armar ua matriz B y factorizarla ua vez. De maegara geeral si γ( x,t ) o es costate etoces hay que costruir la matriz B cada paso de tiempo y factorizarla cada paso de tiempo. T+ ]

5 Ejemplo (Codicioes de frotera homogeeas) U ejemplo puede ser, que osotros les proporcioemos los datos: [a,b]=[0,] [t0,t]=[0,0.] γ(x,t)= 6 f (x,t)=0 α(t)=0 β(t)=0 Es decir, la ecuació a resolver es: u 0 (x)=si( π x ) u t u =0 x [0,] t [0,0.] 6 x u(0,t)=0 Codició de frotera e 0 u(,0)=0 Codició de frotera e u(x,0)=si ( π x) Codició iicial Para esta ecuació existe solució aalítica que se puede usar para comparar co los resultados de diferecias fiitas. La solució aalítica es: u(x,t)=e (π /4)t si( π x ) Si decimos que se utilice =0 y T=5 para discretizar, etoces: h= b a + = Δ t= t t0 T + = 0. 6 Los odos de la discretizació del espacio so [0, 0.09, 0.8, 0.7, 0.36, 0.45, 0.54, 0.63, 0.7, 0.8, 0.90, ] Los odos de la discretizació del tiempo so: [0, 0.03, 0.06, 0., 0.3, 0.6, 0.]

6 Las siguiete gráfica resulta al resolver la ecuació usado la discretizacio aterior para los diferetes tiempos. t=0.03 t=0. t=0.6 t=0 t=0.06 t=0.3 t=0.

7 Ejemplo (Codicioes de frotera que varia e tiempo) [a,b]=[0,] [t0, t]=[0,3] γ(x,t)= f (x,t)=e t cos(π x)(4 π ) α(t)=e t β(t)=e t u 0 (x)=cos(π x ) La solució aalítica es: u(x,t)=e t cos(πx ) Si =0 y T=0. Las siguiete gráfica muestra la solució e el itervalo [0,3] para diferetes tiempos.

8 Si se gráfica e forma de superficie la solució se ve de la siguiete forma:

9 Ejemplo 3 (Codicioes de frotera que varia e tiempo) [a,b]=[0,] [t0,t]=[0,π] γ(x,t)= f (x, t)=cos(π x)(4 π si(t)+cos(t)) α(t)=si (t) β(t)=si (t) u 0 (x)=0 La solució aalítica es: u(x,t)=si (t)cos(π x) Si =0 y T=0. Las siguiete gráfica muestra la solució e el itervalo [0,] para diferetes tiempos.

10 Si se grafica e forma de superficie la solucio se ve de la siguiete forma:

11 Ejemplo 4. ( γ ( x,t ) o es costate) [a, b]=[π, 3 π] [t0, t]=[0,0.5 ] γ(x,t)=x(t+) f (x,t)= x [ (t+) cos x ( 3 (t+) ) +si x ( )] (t+) α(t)=cos ( π (t+) ) β(t)=cos ( 3π (t+) ) u 0 (x)=cos(x) La solució aalítica es: u(x,t)=cos ( x (t+) ) Si =0 y T=0. Las siguiete grafica muestra la solucio e el itervalo [π,3 π ] para diferetes tiempos

12 Si se gráfica e forma de superficie la solució se ve de la siguiete forma:

Documentos relacionados

ECUACIONES DIFERENCIALES Problemas de Valor Frontera

DIVISIÓN DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DPTO. TERMODINÁMICA Y FENÓMENOS DE TRANSFERENCIA MÉTODOS APROXIMADOS EN ING. QUÍMICA TF-33 ECUACIONES DIFERENCIALES Problemas de Valor Frotera Esta guía fue elaborada