ALGORITMOS 3 DIGITALES II. Ing. Hugo Fdo. Velasco Peña Universidad Nacional 2006

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Gerardo Ortíz Hernández
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1 ALGORITMOS 3 DIGITALES II Ig. Hugo Fdo. Velasco Peña Uiversidad Nacioal 006

2 OBJETIVOS Coocer las metodologías para la evaluació de estabilidad e algoritmos de ordeamieto.

3 Algoritmos Recursivos Ua técica bastate poderosa a la hora de realizar algoritmos cosiste e programar e forma recursiva. U algoritmo recursivo es aquel que e algú mometo durate su ejecució se ivoca a si mismo

4 EJEMPLO Fact( Calcula el factorial de e forma recursiva if < the retur 1 else retur *Fact(-1 ed if

5 COSTO DE ESPACIO E primer lugar hay que señalar que los programas recursivos cosume espacio e memoria para la pila ya que cada ua de las llamadas recursivas al algoritmo so apiladas ua sobre otras para preservar el valor de las variables locales y los parámetros utilizados e cada ivocació

6 COSTO DE TIEMPO Para calcular el tiempo de ejecució u orde del algoritmo se utiliza la siguiete recurrecia para platear el tiempo que cosume u programa recursivo

7 RECURRENCIA Ua recurrecia es u sistema de ecuacioes e dode ua o más de las ecuacioes del sistema está defiidas e fució de si mismas. Para calcular el orde de u algoritmo recursivo es ecesario resolver la recurrecia que defie el algoritmo.

8 El método de sustitució Se utiliza cuado estamos e codicioes de supoer que el resultado de la recurrecia es coocido. E estos casos lo que hacemos es sustituir la solució e la recurrecia y luego demostrar que el resultado es valido por iducció

9 Si supoemos que el algoritmo esta sujeto a la siguiete formula supoemos que la solució es Demostració: si 1 T(11, por la defiició

10 Hipótesis iductiva si > 1 T( ( + log + si < Como / <, por iducció T T + ( log ( T

11 T + log ( T + log ( T + log ( T log( log ( + ( T log ( Θ

12 El método iterativo Este método o requiere coocer previamete el resultado. E este método se itera sobre la recurrecia hasta que se deduce u cierto patró que permite escribir la recurrecia usado sumatorias. Luego realizado ua sustitució apropiada y resolviedo las sumatorias se llega al resultado de la recurrecia.

13 1 1 T ( T T + ( T T T ( + T T T ( + T T T ( +

14 T ( k T k k como T(11 k 1 log k log log log T ( T log log k T ( 1 + log log ( Θ( log T ( T + k

15 El teorema maestro de las recurrecias Sea Si a >1 y b > 1 Etoces Caso 1: Si a > b k Caso : Si a b k Caso 3: Si a < b k T ( at b T( k Θ( log a b k T ( Θ( log T( Θ( k

16 EJEMPLO Etoces a > 1 b > 1 k 1 T ( T 1 ab k : caso T ( Θ ( 1 log

17 ESTABILIDAD DE ALGORITMOS DE ORDENAMIENTO U algoritmo de ordeació es estable si el algoritmo preserva el orde relativo de los elemetos co igual valor. Ejemplo: Etrada {(Maria, 6, (Adrea, 15, (Carlos, 6, (Pedro, 0, (Jua, 18} Salida (Ordeado por edad Iestable {(Adrea,15, (Jua, 18, (Pedro, 0, (Carlos, 6, (Maria, 6} Estable {(Adrea, 15, (Jua, 18, (Pedro, 0, (Maria, 6, (Carlos, 6}

18 TABLA COMPARATIVA DE ALGORITMOS SORT Nombre Complejidad Estabilidad Memoria adicioal Stupid O( 3 O( Isertio O( No Estable Bubble O( No Bucket O( O( Comb O (* log No Selectio O( No No Estable Shell O( 1.5 No Quick O (* log No

19 TIEMPO DE EJECUCIÓN DE UN ALGORITMO SEGÚN SU ORDEN O(f( 100 th 00 log 1 h h 1 h 00 h log 1 h h 1 h h 3 1 h 16 8 h 1 h h

20 ESTABILIDAD NUMÉRICA La estabilidad umérica es ua propiedad de los algoritmos uméricos, que procesa datos uméricos. Esta describe cómo los errores e los datos de etrada se propaga a través del algoritmo.

21 ESTABILIDAD NUMÉRICA E u método estable, los errores debidos a las aproximacioes se ateúa a medida que la computació procede. E u método iestable, cualquier error e el procesamieto se magifica coforme el cálculo procede. Métodos iestables geera rápidamete basura y so iútiles para el procesamieto umérico.

22 DEFINICIÓN DE LA ESTABILIDAD NUMÉRICA Dado u algoritmo f(x, co x los datos de etrada y ε el error e los datos de etrada, decimos que el algoritmo es uméricamete estable para el error relativo si y uméricamete estable para el error absoluto si Decimos que u algoritmo es uméricamete iestable para el error relativo si y uméricamete iestable para el error absoluto si

23 ERRORES COMUNES DE ESTABILIDAD NUMÉRICA Errores de desbordamieto aritmético: Se tiee restriccioes para represetar los úmeros. Ejemplo: E C las variables it tiee el rago de a Errores de trucamieto: Sólo se puede hacer u úmero fiito de cálculos. Ejemplo: Itegrar usado ua suma fiita de rectágulos. Errores de redodeo: Ciertos úmeros ecesita u ifiito úmero de dígitos para ser represetados (pi, cuado se redodea estos úmeros los errores de redodeo se propagará a través del cálculo.

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