Tema 1. Números reales

Transcripción

1 Tea. Núeros reales Coceptos previos Errores absoluto y relativo La recta real, seirrectas, itervalos y etoros Notació cietífica Ejercicios CONCEPTOS PREVIOS Resuelve los siguietes tres ejercicios iiciales si hacer uso de la calculadora. U carpitero tiee ua tabla de 6 etros. Tiee que dividirlo e partes, cuáto ide cada trozo? Y si so 9 partes? Y si so 7 partes?. Cuáto ide el lado de u cuadrado de 5 d de área?. Averigua las diesioes de u rectágulo de de área y tal que si lo dividios por la itad resulta otro rectágulo seejate al priero. Cojutos uéricos. Los cojutos uéricos que debes coocer so: Naturales (N), Eteros (Z), Racioales (Q) y Reales (R). Los úeros racioales so aquellos que puede expresarse ediate ua fracció de úeros eteros co deoiador distito de cero. Tabié puede expresarse por edio de u úero decial que será exacto o periódico. x Q existe, Z tales que x ( 0) Los úeros irracioales o puede expresarse ediate ua fracció de úeros eteros. Su expresió decial tiee ifiitas cifras o periódicas. Propiedades de las potecias El cojuto forado por los úeros racioales y por los irracioales Producto de potecias de la isa se deoia cojuto de los úeros reales (R). base: a a a Ejercicios:,, y Potecias de úeros reales de expoete atural: a = a a... a ( veces) a = a de expoete etero: añadios: a = de expoete racioal: Defiios a a a a 0 = Si el expoete es u úero irracioal calculaos la potecia por aproxiacioes sucesivas del úero. Ejercicio: 5 a, d, g) Cociete de potecias de la isa a base: a a Potecia de ua potecia: ( a ) a Potecia de u producto: ( a b) a b Potecia de u cociete: a a b b º Bach - CC.SS. Págia º

2 Aritética y Álgebra Tea. Núeros reales Ejeplos: La raíz eésia de u úero real a ( a ) es u úero real b tal que b =a ( ) Sacar factores de u radical: Itroducir factores e u radical: Sua y diferecia de radicales seejates: = 5 5 = 5 Ejercicios: 5, 6 y 7 ERRORES ABSOLUTO Y RELATIVO Valor absoluto de u úero real: Dado u úero real x su valor absoluto x coicide co él si es positivo y co su opuesto si es egativo. x si x 0 x Por ejeplo: -5 = -(-5) = 5 x si x 0 Aproxiacioes de u úero real: La ayoría de los úeros racioales y todos los irracioales tiee ifiitas cifras deciales, lo que platea dificultades a la hora de operar co ellos. E el caso de los úeros racioales siepre queda la solució de operar co su expresió exacta e fora de fracció, o así e los irracioales. E la práctica para operar co úeros reales se utiliza aproxiacioes (que puede ser por defecto o por exceso) co u úero deteriado de cifras deciales. Redodear u úero es toar la ejor aproxiació, por defecto o exceso. Ejeplo: Dado el úero racioal, si toaos dos cifras deciales, ua aproxiació por defecto será 0 66, ua por exceso será 0 67 y ua por redodeo Siepre que aproxiaos coeteos cierto error. Errores El error absoluto que se coete al utilizar ua aproxiació de u úero real es el valor absoluto de la diferecia etre el verdadero valor y la aproxiació. E a = Valor verdadero aproxiació El error relativo es el cociete etre el error absoluto y el verdadero valor del úero. E r = Propiedades de los radicales Producto de radicales de igual ídice: A B A B Cociete de radicales de igual ídice: A A B B Potecia de u radical: p p ( A ) A Raíz de u radical: p p A A Radicales equivaletes: E a Valor verdadero El error absoluto puede teer uidades, si el úero las tiee. No así el error relativo, que al ser u cociete de las isas agitudes, queda si uidades. A veces el error relativo se expresa e fora de porcetaje. Por otra parte, cuado aproxiaos u úero irracioal, coo por ejeplo el úero pi, es iposible calcular el error absoluto y el relativo de fora exacta, pues o podeos operar co el valor exacto. Por ello lo que se hace es utilizar acotacioes del error. p A = p A Ejeplos: Si toaos para el valor 0 67 el error absoluto es 0 67 = 0 00 y el error relativo será 00 : = 00 o o tabié el 0 5% 67 = = o Si toaos 6 coo valor de, el error absoluto o puede calcularse pero será eor que la diferecia etre la aproxiació por defecto y la aproxiació por exceso. º de Bachillerato - CC.SS. Págia º

3 Aritética y Álgebra Tea. Núeros reales E a = 6 < 5 6 = etoces decios que el error es eor que ua diezilésia. El error relativo se acota de la isa fora dividiedo por la aproxiació por defecto. E r = Ejercicios: 8 y 9. ' 6 0' 000 < ' 5 Visita la siguiete págia de wikipedia: Las estiacioes que se realiza e la vida corriete, si áio de que sea uy precisas, tiee coo ucho dos cifras sigificativas. Co tres o cuatro cifras se afia ucho. Solaete edicioes altaete cietíficas supera las cuatro cifras sigificativas. Ejeplos: CONCEPTO MEDIDA EXACTA APROXIMACIÓN Capacidad de u patao litros.500 ill. de litros o,5 h Altura de u árbol etros Asistetes a ua aifestació persoas persoas (/ de illó) Presupuestos de u estado 0.5,6 illoes de euros 0, billoes de euros o ill Ejercicios: 0 LA RECTA REAL, SEMIRRECTAS, INTERVALOS Y ENTORNOS La recta real. Toaos ua recta e la que arcaos u puto coo orige, que represeta al úero 0. A su derecha toaos otro puto cualquiera que represeta al úero. La distacia etre abos putos se toa coa uidad. Podeos represetar cada úero real por u puto a la izquierda del cero si es egativo y a la derecha si es positivo y cuya distacia al cero sea el valor absoluto del úero. A cada puto de la recta le correspode u úico úero real y a cada úero real u úico puto de la recta, que recibe el obre de recta real. No todos los úeros reales se puede represetar de fora exacta e la recta real utilizado sólo regla y copás, si ebargo si es posible hacerlo co los úeros eteros, co los racioales y co alguos irracioales que sea raíces cuadradas de úeros aturales. E este últio caso recurrios al teorea de Pitágoras. Ejeplo: Para represetar el úero 5 teeos e cueta que 5 = +, es decir que si costruíos u triágulo rectágulo de catetos y, su hipoteusa edirá arge. 5. Esto os perite hacer la costrucció del Itervalo abierto de extreos a y b (a < b) es el cojuto de úeros reales que so ayores que a y eores que b. Se represeta por (a, b). Observa que a y b o está icluidos e el itervalo. (, 5) = {úeros reales x tales que < x < 5} = {x R / < x < 5} º de Bachillerato - CC.SS. Págia º

4 Aritética y Álgebra Tea. Núeros reales Itervalo cerrado de extreos a y b (a < b) es el cojuto de úeros reales que so ayores o iguales que a y eores o iguales que b. Se represeta por [a, b]. Observa que a y b está icluidos e el itervalo. [-, ] = {úeros reales x tales que - x } = {x R / - x } Los itervalos que icluye solo a uo de los extreos, recibe el obre de seiabiertos (o seicerrados) [-, 0) = {úeros reales x tales que - x < 0} = {x R / - x < 0} seiabierto por la derecha (-5, -] = {úeros reales x tales que -5 < x -} = {x R / -5 < x } seiabierto por la izquierda Los cojutos de úeros reales que sólo tiee u extreo se deoia seirrectas y puede ser de tipos, segú que vaya a la izquierda o a la derecha y que sea abiertas o cerradas. Ejeplos: {x R / x 5} se represeta por (-, 5] {x R / x < } se represeta por (-, ) {x R / - x} se represeta por [-, ) {x R / < x} se represeta por (, ) Llaaos etoro abierto de cetro el úero real a y radio r>0 y se deota por E(a, r) al cojuto de todos los úeros reales que dista de a eos que r. Equivale al itervalo abierto (a-r, a+r). E(, ) = { x R / dista de eos de uidad} = (-, +) = (, ) = x R / < x < } Observació: hay ua clara relació etre los etoros y el valor absoluto. El etoro E(, ) descrito ateriorete se podría haber idicado coo {x R / x < } Igualete llaaos etoro cerrado de cetro el úero real a y radio r>0 y se deota por E[a, r] al cojuto de los úeros reales cuya distacia al cetro a es eor o igual que r. Equivale al itervalo cerrado [a-r, a+r] E[-, ] = [--, -+] = [-, ] Todo etoro abierto (o cerrado) equivale a u itervalo abierto y viceversa. Ejercicios:,, y. NOTACIÓN CIENTÍFICA La otació cietífica se utiliza para expresar catidades uy grades, coo las diesioes astroóicas, o uy pequeñas, coo las atóicas. U úero escrito e otació cietífica se copoe de dos factores: U úero decial co u úero fiito de cifras deciales y cuya parte etera tiee ua úica cifra o ula. Ua potecia de 0 cuyo expoete es u úero etero que se deoia orde de agitud (que será positivo para úeros grades o egativo para úeros pequeños). Ejeplos: Velocidad de la luz: 0 8 /s Diáetro de ua olécula de agua: 0-0. Ejercicios: 5, 6 y 7 Ejercicios del tea: 8, 9, 0,,,,, 5, 6, 7 y 8. º de Bachillerato - CC.SS. Págia º

5 Aritética y Álgebra EJERCICIOS Coceptos previos. Idica a qué cojutos uéricos perteece los úeros siguietes: -5, 5,,,,, 7 9, 5..., Calcula las expresioes deciales de las siguietes fraccioes: 5 b) 7 d). Ecuetra la fracció irreducible de cada uo de los siguietes deciales: ' 5 b) - 7 '7 d) Calcula de fora exacta: ' 0' b) 0'7: 0'96 5. Opera y siplifica (si hacer uso de la calculador d) 6 ( ) b) e) 8 8 f) 9 g) h) i) Calcula: ( 5 )( ) b) ( )(5 ) 7. Etra e Youtube y sigue co ateció el siguiete video: Cóo se costruye la sucesió de úeros que aparece? Divide cada úero por el aterior, qué observas? a qué úero se acerca el cociete? b) E la escea del caracol se costruye u rectágulo, partiedo de u cuadrado. Si el lado del cuadrado es, cuáto ide la base del rectágulo?, Tea. Núeros reales. (No se idica la solució) Es periódico? b) 8 d) b) 9 7 d) 0 b) 6 o 5 d) -6 e) 8 7 f) 0 g) h) i) b) 6 7. (E clase) 8. Calculadora E r < 0,00578 y E r < 0,008 Qué se ha hecho para llegar al águlo de 7,5º? Errores absoluto y relativo 8. Da las aproxiacioes por defecto, por exceso y redodea los siguietes úeros co dos, tres y cuatro cifras deciales: 5 b) 7 9. Acota el error relativo coetido al toar 7 coo valor de y el coetido º de Bachillerato - CC.SS. Págia º 5

6 Aritética y Álgebra al toar coo valor de Trasite a u aigo la siguiete iforació co u º de cifras razoable: Visitates auales a u useo: persoas. b) Asistetes a ua aifestació ecológica: 5. persoas. Bacterias e d de cierto preparado: bacterias. d) Núero de gotas de agua que hay e ua piscia: gotas. e) Núero de graos e u saco de area: de 50 Kg: graos. f) Distacia edia de Saturo al Sol: etros. g) Calcula los errores absoluto y relativo que has coetido al aproxiar e los apartados ateriores. La recta real, seirrectas, itervalos y etoros. Represeta y 8 e la isa recta real.. Calcula A B y A B e los siguiete casos: A=(-, ) y B=[0, 5] b) A=(, ) y B=(-, ]. Expresa ediate u etoro los siguietes cojutos: (-, 0) [, ] b) x < 5 d) (-a,. Expresa e fora de itervalo y de etoro los siguietes cojutos reales: x b) x < x + < Notació cietífica 5. Realiza las siguietes operacioes y da el resultado e otació cietífica: e) b) d) f) La logitud edia de u paraecio es de 0 -. U cultivo de 50 c cotiee 6000 paraecios por c. Qué logitud e k se alcazaría si se pudiera poer todos los paraecios e líea recta? 7. Expresa las siguietes catidades e otació cietífica: Masa de la Lua: toeladas. b) Taaño de u virus: 0, etros. Masa de u protó: 0, kg. Tea. Núeros reales 0. Depede de la aproxiació de cada aluo A B = (-, 5] y A B = [0, ) b) A B = R y A B = (, ] E(, 6) E[7/, 5/] b) E(, 5) d) E(0, [- 5, - 75] = E[-, 0 5] b) (-/, 5/) = E(/, /) (-8/, -/) = E(-, /) b) d) e) 0 f) k 7. 7, 0 9 T o bie 7, 0 kg b),5 0-8 etros, kg. 8. No se da la solució. 9. Cotestaro 58 jóvees. 0. d = 5 8 d. S i = d y S c = Ejercicios del tea 8. Halla u úero fraccioario copredido etre y 7 8 b) Halla tres úeros fraccioarios copredidos etre y Escribe el úero siguiete de ' y de 5 9. El ayutaieto de u pueblo e el que vive 600 jóvees de edades copredidas etre 6 y 0 años ha realizado ua ecueta a alguos de ellos sobre las actividades culturales que les iteresaba. Sabiedo que el % cotestó que le iteresaba el cie y que el 58 % cotestó que o le iteresaba el fútbol, calcula el úero de jóvees que cotestaro a la ecuesta. 0. El área de u cuadrado ide 0 5. Calcula, aproxiado a los decíetros, la diagoal del cuadrado y las áreas de los círculos iscrito y circuscrito. º de Bachillerato - CC.SS. Págia º 6

7 Aritética y Álgebra Tea. Núeros reales. Al edir la altura de ua persoa de 80 c se ha obteido 77 c. Al edir la altura de u edificio de 9 5 se ha obteido 0. Calcula los errores absoluto y relativo de cada edida e idica razoadaete cuál de las dos es ás precisa.. U deteriado tipo de protozoo tiee u diáetro de 0-5. Cuátos habría que poer e fila y uo al lado de otro para alcazar ua logitud de k?. Sabiedo que la velocidad de la luz es de k/s, cuáto tiepo tardaría e llegar a la Tierra la luz eitida por ua estrella que se ecotrara a il illoes de k de distacia?. Se llaa Uidad Astroóica (UA) a la distacia edia que separa la Tierra del Sol, que equivale a 96 0 etros. Sabiedo que la distacia edia etre Júpiter y el Sol es de 778 illoes de kilóetros, exprésala e Uidades Astroóicas (UA). b) La distacia a la Tierra del sistea estelar ás cercao (Alfa Cetauri) es de 6 años luz, exprésala e UA 5. Los atiguos babiloios teía grades coociietos de astrooía. Utilizaba e su ueració el sistea de base 60 que todavía coservaos e uestros días e la edició del tiepo ( hora so 60 iutos) y de los águlos (º so 60 ). Coocía tabié que la relació etre la diagoal y el lado de u cuadrado es, al cual daba u valor que traducido a uestra otació (ellos lo escribía coo ;5;0) es 5 0. Acota el error absoluto y el error relativo coetido por los babiloios al aproxiar dicho valor.. El error absoluto es de c e el caso de la persoa y de 0 5 e la casa.para poder coparar estos dos errores, e térios de precisió, usaos el error relativo. E la priera edició es de u 7% y e la seguda de u % por lo que es ás precisa la seguda edició, auque o ucho ás.. 50 illoes de protozoos.. horas, 6 iutos y 0 segudos.. 5 UA b) UA 5. E a < = (Error absoluto eor que ua cieilési. E r < (Error relativo eor que 7 illoésias) 6. Lee la siguiete etrada de wikipedia, y haz tu los cálculos para llegar a las diesioes de ua hoja de papel A. Mide co ua regla ua hoja de taaño A. 7. Observa la fotografía que se adjuta, hay algo que te llae la ateció? 8. E los periódicos, revistas y otros edios de couicació se suele producir iportates errores co las grades catidades. Busca, a lo largo de ua seaa, e edios ipresos o e iteret, icluso e la calle, algú error co catidades e algua oticia. º de Bachillerato - CC.SS. Págia º 7