Funciones, límites y continuidad.

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1 Fucioes, límites y cotiuidad. Guillermo Sáchez () Departameto de Ecoomia e Hª Ecoómica. Uiversidad de Salamaca. Actualizado : -- Sobre el estilo utilizado Mathematica las salidas (Ouput) por defecto las muestra utilizado el estilo: StadardForm. E su lugar preferiamos utilizar el estilo TraditioalForm que da ua apariecia a las salidas (Output) coicidete co el habitualmete utilizado e la otació clásica utilizada e las matemáticas. Para aplicar este estilo (TraditioalForm) a todas las salidas del cuadero (o otebook) añadimos la siguiete setecia (e este caso hemos defiido la celda para que se ejecute automaticamete al iicio): CommoDefaultFormatTypes -> "Output" -> TraditioalForm<D Fucioes Ua fucio de A e B es ua regla que asiga a cada elemeto del cojuto A u elemeto e B y sólo uo del cojuto B f : A B Si desigamos por f a la fució, el cojuto A se llama domiio (o coj. orige o campo de veriabilidad) y B se llama el cojuto fial. Formalmete: DomH f L = 9 Î R $ y Î R, f HL = y= = A Ì R Se llama image del elemeto a f HL ImH f L = f HAL = 9y Î R $ Î R, f HL = y= Obsérvese que u elemeto de B puede ser asigado a más de u elemeto de A. E el caso particular que correspoda a cada elemeto de A correspoda u sólo elemeto de B dedimos que la fució es iyectiva (ej.: A cada cotribuyete debe correspoder u sólo NIF) Las fucioes reales de variable real puede represetarse gráficamete e el plao XY, e X (eje horizotal o de abcisas) se represeta y e Y (eje vertical o de ordeadas) f HL. Domiio. Calcular el domiio para las fucioes que se idica Las fucioes poliomicas tiee como domiio R. Ejemplo y = Su domiio es R por que se puede calcular el cuadrado de cualquier úmero real. Su image es R+ = { Î R, ³ }, ya que los cuadrados so siempre positivos. Su represetació gráfica es

2 DomiioCotiuidadLimiteUaVarible.b Guillermo Sáchez PlotA,, -, <E - - Las fucioes racioales f() = P()/Q() eiste e R ecepto para Q()=, - Ejemplo : y = - Su domiio es R-{}, porque su cociete está defiido para cualquier valor de R - (porque para = se hace cero el deomiador y por tato toma u valor ifiito) Para determiar su image poemos e fució de y (es decir: buscamos los úmeros que tiee atiimage). -y = - y Vemos que eiste para yîr ecepto para y =, es decir: Im[f] = R-{} - PlotB -,, -, <F Las fucioes logaritmicas f()= l() solo eiste e R+, es decir: o debe ser i egativo y = l Su domiio es Î R+ H > ) y su image es R. Nota : E Matematica para calcular el logaritmo atural (L o l) se utiliza Log. Para calcular el logaritmo e otra base se utiliza zd siedo b la base. Por ejemplo: el logaritmo e base de z se escribe: zd.

3 DomiioCotiuidadLimiteUaVarible.b Guillermo Sáchez Nota : E Matematica para calcular el logaritmo atural (L o l) se utiliza Log. Para calcular el logaritmo e otra base se utiliza zd siedo b la base. Por ejemplo: el logaritmo e base de z se escribe: zd. <D - Las fucioes irracioales f() = impar. y = ey = - PHL eiste e R+ si par y e R si Su image es R+ = { Î R, ³ }, e image R+ (para + ) o R- (para PlotB:, - ) >,,, <F f HL = ; Por ser ua raiz la fució o eiste para valores egativos de LAE, es decir eiste para valores de > y < -, por tato la fució eiste para todo Î (-, -] Ü [,) ReduceB LogA E, F - Þ

4 DomiioCotiuidadLimiteUaVarible.b Guillermo Sáchez LogA E,, -, <F PlotB Ejercicio propuesto. Idicar el domiio de las fucioes : f HL = ; f HL = H - L H - 9L - Límites Defiició f HL = L se lee límite de f HL cuado tiede a es L. I - M - PlotA -,, -, <E - - Que valor toma la siguiete fució e =? - == H - L H + L - + Defiició de límite (o rigurosa) es la siguiete: f HL = A quiere decir f HL se puede hacer ta próimo a L como queramos, para todo próimo (pero o igual) a.

5 DomiioCotiuidadLimiteUaVarible.b Guillermo Sáchez f HL = A quiere decir f HL se puede hacer ta próimo a L como queramos, para todo próimo (pero o igual) a. La próimidad, o mas geeralmete la distacia, e R, es el valor absoluto de la diferecia etre ellos. Que úmeros dista de meos de.? Resp.: -., que es equivalete a o.9.. Es decir, los úmeros que dista de meos de. so los compredidos etre. y.9. Que úmeros dista de meos de? Resp.: -, que es equivalete a - - o - +, que tambie se puede escribir: Î ( -, + ) Podemos ahora reformular la defiició de límite como sigue: f HL = L quiere decir que podemos hacer f HL - L ta pequeño como queramos " ¹ co - suficietemete pequeño. (Observese que ¹ es equivalete a - ) La defiició de límite puese aú precisarse más epresádola e térmios de y (que es defiició más utilizada). f HL tiede al límite L cuado tiede a, y escribimos f HL = L, si " Ε > $ > tal que f HL - f HL < Ε siempre que < - < Ejemplo: el H - L = 7 utilizado la defiició de límite se calcula como sigue. Sol.: f HL = H - L, a =, A = 7 f HL - A = H - L - 7 = - 9 = - < Ε que verifica siempre < - < Ε. Por tato: f HL - A < Ε si - <, que se verifica para cualquier valor b Ε/ = Ejemplo: Comprobar que a Sol. : fhl - A = - a a utilizado la defiició de límite. < Ε cuado < -a <. E este caso hacemos: 9pues a + = a ³ I - am + a + a a = y de aquí < = -a -a + a < = Ε -a <Ε a a E la práctica raramete se calcula los ites a partir de la defiicio Alguas propiedades de las operacioes co límites H f HL ± ghll = f HL ± ghl

6 DomiioCotiuidadLimiteUaVarible.b Guillermo Sáchez Hk f HLL = k f HL, dode k Î R H f HL ghll = f HL ghl f HL ghl = f HL ghl, para ghl ¹ y ghl¹ LÍMITES. Cálculo Sea f HL defiida para todo e u etoro próimo a pero o ecesariamete etoces: f HL = L Para calcular f HL e f() se reemplaza por E Mathematica el límite se calcula utilizado Limit[ep, ->a]. + +, - F Si queremos verlo e otació tradicioal: ua vez escrita la epresió covertimos la celda a otació tradicioal (Cell->Covert To->TraditioalForm). I + + M - Calcula el siguiete límite? ã- Idetermiacioes E alguos casos tras la sustitució directa e f HL de por se obtiee ua de las siguietes valores: {-,.,,,,, }. Esto se cooce como idetermiació pues o se puede asegurar ada sobre el límite de la fucio e ese puto. E ese caso hay que proceder a resolver la idetermiació. Por ejemplo: = Para ua descripció detallada de como se resuelve los distitos tipos de idermiacioes puede cosultar: El límite siguiete es ua idetermiació de la forma / E estos casos (umerador y deomiador poliomios) se resuelve factorizado y simplificado, como se muestra H - L I + + 9M H - L H + L 9 = E ejemplos como el siguiete:

7 DomiioCotiuidadLimiteUaVarible.b 7 Guillermo Sáchez El deomiador icluye ua raiz. Se puede resolver multiplicado el deomiador por el cojugado H - L H + L J + J - N J + N N = H - L H + L J + -H - L N = J- H + L J + NN = - E los casos siguietes, correspode al cociete de poliomios que da idetermiacioes del tipo. Se divide el umerador y el deomi- ador por el térmio de mayor grado de toda la epresió ah h + ah- h a bk k + bk- k b + - ah si h = k, si h < k, ± si h > k> bk - + = : + = = = 9

8 DomiioCotiuidadLimiteUaVarible.b Guillermo Sáchez + - = == = sih L sih L Por ifiitesimosequivaletessih L», por tato = = Límites laterales. Observe la siguiete fució Que ocurre cuado se aproima a? Se dará cuete que eso depede de como se aproime. Es distito si lo hace por la derecha o por la izquierda. PlotB,, -, <F E el cálculo de f HL podemos aproimaros a : a) por la derecha + f HL b) por la izquierda - f HL Ejemplo : Calcule el límite de la fució f HL = + - e. Observe que si se aproima a por la izquierda (por ej. =.99999) f() va tomado cada vez valores mas egativos mietras que si lo hace por la derecha (por ej. =.) ocurre lo cotrario. Esto sugiere que alguas epresioes el límite depede de e la direcció por al que os aproimamos a dicho límite.

9 DomiioCotiuidadLimiteUaVarible.b 9 Guillermo Sáchez Observe que si se aproima a por la izquierda (por ej. =.99999) f() va tomado cada vez valores mas egativos mietras que si lo hace por la derecha (por ej. =.) ocurre lo cotrario. Esto sugiere que alguas epresioes el límite depede de e la direcció por al que os aproimamos a dicho límite. + PlotB -,, -, <F E Mathematica el límite lateral se cálcula utilizado Limit[ep, a, Directio ] para el límite por la izquierda y Limit[ep, a, Directio -] por la derecha +,, Directio F - - Si queremos verlo e otació tradicioal: ua vez escrita la epresió covertimos la celda a otació tradicioal (Cell->Covert To->TraditioalForm) y queda como sigue: El ite por la derecha se calcula como sigue: +,, Directio - F PlotB. H - L,, -, <F....

10 DomiioCotiuidadLimiteUaVarible.b Guillermo Sáchez Es H - L cotiua e el itervalo H-, L? El puto de duda es =. Comprobamossi ambos ites coicide - H - L + H - L Ejercicios : Calcular los siguietes límites -, F H + L loghl - cosh L - tahl sihl

11 DomiioCotiuidadLimiteUaVarible.b Guillermo Sáchez z ã + z H + L - H - L H + L z ã -z z loghl loghloghll loghl - loghl - loghl + sihl ã Cotiuidad Defiició Ua fució f es cotiua e el puto = si el valor de la fució e el puto coicide co el valor del límite de la fució e ese puto; f HL = f HL = A

12 DomiioCotiuidadLimiteUaVarible.b Guillermo Sáchez Debe verificarse que eiste f HL y los límites laterales eiste y cumple, es decir: + f HL = - f HL = f HL Ua maera bastate ituitiva para comprobar la cotiuidad de ua fució es represetarla graficamete, si podemos dibujarla co u lapiz de u solo trazo la fució será cotiua al meos e ese trazo < < + 9D ³ := t, -, <, PlotRage AllD - - Defiició de cotiuidad e térmios de y : f HL es cotiua e = a si " Ε > $ > -a < f HL - f HL < Ε siempre que Comparese esta defiició co la de límite: La diferecia está e que para que ua fució sea cotiua o es ecesario eigir < -, pues si - =, etoces = y f HL - f HL = Teiedo e cueta la relació etre límite y cotiuidad para que ua fució sea cotiua se debe verificar: a) $ f H L b) $ + f HL y f HL c) Se verifica que f H L = + f HL = f HL Si o se cumple algua de las codicioes ateriores la fució es discotiua e. Se distigue los siguietes tipos de discotiuidades: a) Ua fució f tiee u discotiuidad evitable e Î R si eiste el f HL = A pero f HL ¹ A o o eiste f HL. b) Ua fució f tiee u discotiuidad de ª especie e Î R si $ + f HL y $ f HL pero + f HL¹ f HL c) Ua tiee u discotiuidad de ª especie e Î R si o eiste algú límite lateral Propiedades Si f y g so cotiuas e, etoces se verifica que: ( f + gl HL = f() + g() es cotiua e. ( f - gl HL = f() - g() es cotiua e.

13 DomiioCotiuidadLimiteUaVarible.b Guillermo Sáchez H f.gl HL = f HL ghl es cotiua e J g N HL = f HL ghl es cotiua e si gh L ¹ f H f HLL p g es cotiua e si H f H LL p g está defiida Cotiuidad de fucioes elemetales è La fucioes poliomica es cotiua e todo puto de R. è La fució racioal f() = P()/Q() co P() y Q() poliomios es cotiua e todo R ecepto para Q()=, è Las fucioes logaritmicas f()= l() es cotiua e R+, es decir: o debe ser i egativo è Las fucioes irracioales f() = PHL es cotiua e todo R+ si par y e R si impar. Ejemplos.- Estudiar la cotiuidad de f() defiida por: f HL = - para - f HL = - para - < < f HL = lh + 9L para ³ Este fució es la que se ha utilizado al iicio de la secció para ilustrar graficamete el cocepto de cotiuidad. f HL = - es cotiua " f HL = - es cotiua " f HL = lh + 9L es cotiua " ³ Estudiamos los putos e los que la fució cambia de epresió formal, es decir e los putos = - y =, para ello calculamos los límites por la dcha. y por la izda. Para = -, vemos que ambos límites laterales so iguales, por tato es cotiua. - f HL = - H-L = -H-L = f HL = + I - M = - = Para = vemos que ambos límites laterales so diferetes. Tiee ua discotiuidad de primera especie. - f HL = - I - M = - = 7 + f HL = + l H + 9L = l HL Resume la fució es cotiua e R - <..- Demostrar que la fució f HL = es cotiua e R. Nota: Para probar que ua fució es cotiua se puede utilizar tambie el siguiete criterio: E f HL = f H Lse hace la sustitució: = + D Df HL H + DL - f HLD = D D E este este ejemplo se tiee e cueta que + D - D

14 DomiioCotiuidadLimiteUaVarible.b Guillermo Sáchez.-Estudiar la cotiuidad de f HL = a) $ f H L H - L b) $ + - H - L f HL y H-L f HL + H - L c) Se verifica que f H L = + f HL = f HL Teoremas relacioados co cotiuidad. Teorema del valor itermedio Sea f ua fució cotiua e el itervalo cerrado [a, b] tal que f HaL ¹ f HbL. Etoces f() toma valores itermedios etre f(a) y f(b) cuado recorre [a, b] Teorema de Bolzao Sea f ua fució cotiua e [a, b] tal que f(a) y f(b) tiee sigos distitos, etoces eiste al meos u cî(a, b) tal que f(c) = Teorema de los valores etremos Ua de las aplicacioes mas importates del aálisis, e particular e el aálisis ecoómico, es el cálculo de máimos y míimos coocidos como putos óptimos. Así si D es el domiio de f() etoces c Î D es u máimo de f f() f(c) " Î D d Î D es u míimo de f f() ³ f(d) " Î D Teorema: Si f ua fució cotiua e el itervalo cerrado [a, b] cerrado y acotado, tiee e él u máimo y u míimo. Obsérvese que se trata de ua codició suficiete pero o ecesaria Teorema: Supogamos que f está defiida e el itervalo I y sea c u puto iterior de I (esto es distito del puto iicial y fial. Si c es u máimo o u míimo de f, y si eiste f'() etoces: f'(c) = Teorema del valor medio Si f ua fució cotiua e el itervalo cerrado [a, b] cerrado y acotado, y derivable e el itervalo abierto (a, b) eiste al meos u puto iterior Ξ Ε (a, b) tal que f'(a) = f HbL - f HaL b-a

15 DomiioCotiuidadLimiteUaVarible.b Guillermo Sáchez f'(a) = f HbL - f HaL b-a Ejemplo Comprobar el teorema del valor medio para f() = - e [, ] = - ; ReduceA- +, E - Como ë Î (, ) queda demostrado el teorema del valor medio Defiicioes: creciete, decreciete. Si f() f() ", Ε I, etoces f es creciete Si f() < f() ", Ε I, etoces f es estrictamete creciete Si f() ³ f() ", Ε I, etoces f es decreciete Si f() > f() ", Ε I, etoces f es estrictamete decreciete Ejemplos Demostrar que tiee = al meos ua solució etre y Sol: f es cotiua para todo pues es u poliomio, e particular lo es e el itervalo [, ], además f() = - y f() =. Por el teorema aterior deducimos que eiste al meos u cî(, ) tal que f(c) =, por tato hay al meos ua solució e le itervalo (, ) PlotA + - -,,,.`<E.. Demostrar que +se =..... tiee al meos ua solució y hallarla co aproimació a las decimas. Podemos ver graficamete que tiee ua solució (correspode al puto de corte de ambas fucioes).

16 DomiioCotiuidadLimiteUaVarible.b Guillermo Sáchez >,,, Pi<F PlotB: + Ua forma equivalete de verlo es + - epresara la ecuació aterior e la forma + -, la solució es el puto de corte co OX, es decir el valor de para cual y = f HL =. =. Si represetamos >,,, Pi<F PlotB: Graficamete vemos que es u valor compredido etre =.. y =.. Calculamos los valores de f(.) y f(.) Obteemos que uo es positivo (f(.)) y otro egativo ((.)). Segu el teorema de Bolzao habra u valor itermedio =c para el que f(c)= (auque tambie es evidete graficamete), que será la solucio. Podemos proseguir hasta ecotrar ua difecia etre suficietemete pequeña La solucio es u valor compredido etre. y.. Podemos calcularlo directamete co FidRoot que se aplica cuado se desea resolver la ecuació utilizado métodos de aproimació umérica FidRootB +

17 DomiioCotiuidadLimiteUaVarible.b 7 Guillermo Sáchez Ejercicios avazados Sea f defiida por: f HL = SeHL para c y f HL = a + b para > c siedo a, b, c costates. Si b y c está dados, hallar todos los valores de a (si eiste alguo) para los que f es cotiua e el puto c. Ejemplo: para c=, a= y b= c_d := ; c c_d := a + b ; > c == +,, <D -.7< -.77D. a, b <,, -, <D - - Ejercicios de ítes de sucesioes (Co Mathematica se obtiee directamete la solució si embargo añadiremos como tedriamos que calcularlo si teemos que hacerlo a mao.) Calcular que la sucesió de úmeros reales de la fució que sigue el siguiete tiedo a cuado tiede a ifiíto. sih!l + como Si[!] + Dada la siguiete sucesió de úmeros reales, pruébese que es moótoa creciete y que su límite es /e ã , F

18 DomiioCotiuidadLimiteUaVarible.b Guillermo Sáchez â Hi - L Simplify i= H - L â Hi - L, F i= , F â i i= H + L H + L H + L H + L EpadAll + + i i! i. i N.99 i TableB < - i!, i,, <F N Úi= i H - L + Úi= H i - L - H + L + - +, F Pruébese que el límite de ua sucesió acotada por ua sucesió que tiede a es igual a. Calcular I - M I - M

19 DomiioCotiuidadLimiteUaVarible.b 9 Guillermo Sáchez!, F El límite aterior tiede a cero (puede resolverse aplicado ordees de ifiitud)! TableB:, >,,,, <F N Criterio de Stölz-Cesaro: Dada ua sucesió {y } creciete y divergete o decreciete y ula, si eiste - y- = L etoces y = L -y - Aplicado el criterio de Stolz, calcular los siguietes límites: ã + log , F o , F o i= Α + Α â i i, F Α Α+, F o Α+, F +i i= â iα, F â i= Aplicado el critero del cociete calcular el límite de la sucesió: LimitA H + L H + L... H L, E o Tambie se puede aplicar el criterio de la media geométrica TableB ä H + il i= ä H + il, F i=,,,, <F N.,.7,.777,.79,.7,.7,.7,.79,.7,.77< f HL = L

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