Inferencia. (Teoría y problemas) I. Espejo Miranda. M. A. López Sánchez. A. Sánchez Navas C. Valero Franco

Transcripción

1 Iferecia Estadística (Teoría y problemas) I. Espejo Mirada F. Ferádez Palací M. A. López Sáchez M. Muñoz Márquez A. M. Rodríguez Chía A. Sáchez Navas C. Valero Fraco

2 c Servicio de Publicacioes. Uiversidad de Cádiz I. Espejo Mirada, F. Ferádez Palací, M. A. López Sáchez, M. Muñoz Márquez, A. M. Rodríguez Chía, A. Sáchez Navas, C. Valero Fraco Edita: Servicio de Publicacioes de la Uiversidad de Cádiz c/ Doctor Marañó, Cádiz (España) ISBN: Se cocede permiso para copiar, distribuir y/o modificar este documeto bajo los térmios de la Licecia de Documetació Libre de GNU, Versió 1.2 o cualquier otra versió posterior publicada por la Free Software Foudatio. Ua traducció de la licecia está icluida e la secció titulada Licecia de Documetació Libre de GNU. Permissio is grated to copy, distribute ad/or modify this documet uder the terms of the GNU Free Documetatio Licese, Versio 1.2 or ay later versio published by the Free Software Foudatio. A copy of the licese is icluded i the sectio etitled GNU Free Documetatio Licese.

3 Iferecia Estadística (Revisió: Marzo 2007) I. Espejo Mirada, F. Ferádez Palací, M. A. López Sáchez, M. Muñoz Márquez, A. M. Rodríguez Chía, A. Sáchez Navas, C. Valero Fraco c 2007 Servicio de Publicacioes de la Uiversidad de Cádiz Capítulo 2 Estimació putual 1. Itroducció E umerosas ocasioes, al realizar u estudio estadístico se cooce la estructura de la població que se pretede estudiar, co la salvedad de los parámetros que la caracteriza. Por ejemplo, la utilizació de u aparato de medida objetivo garatiza, e geeral, que las medicioes obteidas tedrá ua distribució Normal, de la que se descoocerá sus parámetros: media y desviació típica. El objetivo que se persigue co las técicas de estimació es el determiar de la forma más precisa dichos parámetros, de modo que la distribució quede completamete especificada. E este capítulo y e los dos siguietes se abordará la Iferecia Estadística desde u puto de vista paramétrico, es decir, se parte del coocimieto (salvo parámetros) de la distribució de probabilidad que rige la població bajo estudio. De esta forma, se cosidera ua població cuya fució de distribució es F θ (x), dode θ R k es u vector de parámetros descoocidos. E esta situació, el problema es cuatificar lo más exactamete posible el valor de θ a partir de ua muestra de tamaño. La rama de la Estadística que se dedica a estudiar este tipo de problemas se llama Teoría de la Estimació, existiedo dos efoques diferetes para llevar a cabo dicho estudio: la estimació putual

4 12 Capítulo 2. Estimació putual y la estimació por itervalos. E la primera, se estima los parámetros a través de valores uméricos, mietras que e la seguda, queda garatizada su perteecia a ua regió co u marge de seguridad prefijado. Este capítulo se cetra e la estimació putual, si bie, la mayoría de los coceptos so geerales y se utiliza tambié e la estimació por itervalos y e el cotraste de hipótesis. A efectos de otació se hará referecia a las características de la muestra co letras latias, mietras que las de la població se desigará, e geeral, co la correspodiete letra griega. Así, por ejemplo, la variaza muestral será S 2, mietras que la poblacioal se idetificará por σ 2 ; co la media muestral seguirá utilizádose la otació usual, X, mietras que la poblacioal se deotará por µ. El objetivo que se perseguirá a lo largo del capítulo es el de obteer valores lo más precisos posibles de los parámetros descoocidos del modelo probabilístico. 2. Estadístico, Estimador y Estimació U estadístico T (X), es ua fució de las variables muestrales que o depede de parámetros descoocidos. Se trata pues de ua variable aleatoria, la cual tiee ua distribució que se deomia distribució e el muestreo. El estadístico puede cosiderarse como u resume o ua compresió de la iformació sumiistrada por la muestra y, obviamete, va a ser más maejable que ésta. Nótese que puede ocurrir que e ese resume se pierda algua posible iformació que pudiera coteer X acerca de los parámetros descoocidos. Por ello, el objetivo perseguido es que el estadístico T (X) sea tal que el resume que lleve a cabo se produzca si pérdida de iformació relevate sobre los parámetros. Detro del cojuto de estadísticos destaca los estimadores, que so aquellos estadísticos que se costruye co la iteció de estimar u parámetro de la població y que, cosecuetemete, debe reuir codicioes que lo haga deseable e algú setido. Más adelate se dará criterios de bodad de u estimador.

5 2.3 La fució de verosimilitud 13 Ua estimació es el valor umérico que toma el estimador para ua muestra cocreta. Ejemplo 2.1 Sea X ua variable aleatoria que sigue ua distribució Normal de media descoocida, µ, y variaza σ 2. La fució T (X) = X, es decir, la media muestral, es u estadístico y estimador de la media µ de la població. Si se toma la muestra x 1 = 2 5, x 2 = 2, x 3 = 3 4, x 4 = 1 5, x 5 = 4, el valor umérico x = 2 68 es ua estimació de µ. La ecesidad de defiir los estadísticos se debe a que, auque co la muestra se ha reducido bastate la dimesió del problema, el excesivo tamaño de ésta obliga a comprimir aú más la iformació para obteer respuestas a las pregutas que pueda hacerse y, de esa forma, completar el proceso iferecial. El objetivo que se persigue al defiir los estimadores es el de resumir la iformació muestral, e aras, de obteer valores próximos a los verdaderos valores de los parámetros descoocidos de la distribució de la població. 3. La fució de verosimilitud Sea X ua variable aleatoria cotiua cuya distribució viee dada por ua fució de desidad f θ, dode θ R k es u vector de parámetros descoocidos. Para ua muestra x extraída de dicha població, se defie la fució de verosimilitud como: L(x, θ) = f θ (x), que e el caso de ua muestra aleatoria simple toma la forma L(x, θ) = f θ (x) = f θ (x i ). Si la variable aleatoria es discreta la fució de verosimilitud se defie de forma aáloga, cambiado la fució de desidad por la de probabilidad. Se ha de hacer otar que la verosimilitud varía e los parámetros mietras que la muestra permaece costate. La importacia de dicha

6 14 Capítulo 2. Estimació putual fució queda perfectamete ilustrada e el caso de que la població bajo estudio sea discreta, ya que e tal caso la fució de verosimilitud expresa la probabilidad de obteer ua muestra e fució del vector de parámetros θ. 4. Suficiecia Ateriormete se ha cometado que los estadísticos realmete supoe ua compresió o resume de la iformació sumiistrada por la muestra, por ello, sería ideal que el estadístico cotuviera toda la iformació relevate que posee la muestra respecto al parámetro que se está estimado. Si ocurre esto, se dice que el estadístico es suficiete para dicho parámetro. Formalmete, ello supoe que la distribució cojuta de la muestra codicioada al estadístico, es idepediete del parámetro. La caracterizació de la suficiecia de u estadístico se hace a partir del criterio de factorizació de Fisher Neyma, que dice que dada ua m.a.s., X, se tiee que u estadístico, T (X), es suficiete para θ si la fució de verosimilitud admite la siguiete descomposició: L(x, θ) = g(t (x), θ)h(x), dode g es ua fució o egativa, tato del estadístico como del vector de parámetros, y h es ua fució o egativa exclusiva de los valores muestrales. Ejemplo 2.2 De ua població distribuida segú ua Berouilli de parámetro p se extrae ua m.a.s. de tamaño. Se trata de ecotrar u estimador suficiete para el parámetro p. Para ello se cosidera la fució de verosimilitud L(x, p) = P p [(X 1,..., X ) = (x 1,..., x )] = P p [X 1 = x 1 ] P p [X = x ] = p x 1 (1 p) 1 x1 p x (1 p) 1 x = p P x i (1 p) P x i. Por el criterio de factorizació, tomado t = T (x) = x i, h(x) = 1

7 2.5 Propiedades de los estimadores 15 y g(t, p) = p t (1 p) t, se obtiee que X i es u estimador suficiete para p. 5. Propiedades de los estimadores Puesto que para u mismo parámetro puede existir varios estimadores, a cotiuació se aaliza ua serie de propiedades que sería deseables para u estimador y que permite elegir, etre dos de ellos, el mejor Estimador isesgado Ua propiedad deseable para u estimador es que su valor medio sea igual al parámetro que se quiere estimar. Dicha propiedad se llama isesgadez. Formalmete, u estimador T (X) es isesgado o cetrado para u parámetro θ, cuado E[T (X)] = θ. Ejemplo 2.3 La media muestral es u estimador isesgado para la media poblacioal µ, cualquiera que sea la distribució de la població, ya que E[X] = µ. Si se verifica que E[T (X)] = θ + b(θ) el estimador será sesgado o descetrado, siedo b(θ) su sesgo, excetricidad o error sistemático. Es iteresate que u estimador sea isesgado porque tomará valores que estará alrededor del valor del parámetro θ. Ejemplo 2.4 Si se cosidera la variaza muestral como estimador de la variaza poblacioal, puede comprobarse que se trata de u estimador sesgado, ya que E[S 2 ] = 1 σ2, siedo su sesgo 1 σ2. Para demostrarlo, hay que teer e cueta que la variaza muestral puede escribirse de la forma:

8 16 Capítulo 2. Estimació putual S 2 = = 1 (X i X + µ µ) 2 ( (Xi µ) (X µ) ) 2. Desarrollado el cuadrado se obtiee ( ) S 2 = 1 (X i µ) 2 (X µ) 2. Calculado la esperaza de la variaza muestral a partir de la expresió aterior se tiee que ( ) E[S 2 ] = 1 E[(X i µ) 2 ] E[(X µ) 2 ]. Teiedo e cueta que la muestra es aleatoria simple y que la media muestral verifica que E[X] = µ y que V[X] = σ2, se tiee que la primera de las esperazas que aparece e el segudo miembro es, para todo i, E[(X i µ) 2 ] = σ 2 y la seguda, E[(X µ) 2 ] = σ2, co lo que se llega a E[S 2 ] = 1 ) (σ 2 σ2 = 1 σ2. Ahora bie, si se cosidera la cuasivariaza muestral como estimador de la variaza poblacioal e vez de cosiderar la variaza muestral, se llega a que éste último es isesgado. Para ello, basta teer e cueta que la cuasivariaza se puede expresar e fució de la variaza como Sc 2 = 1 S2, etoces su esperaza viee dada por: [ ] E[Sc 2 ] = E 1 S2 1 = 1 σ2 = σ 2.

9 Cuado el sesgo b(θ) es tal que lím b(θ) = 0, se dice que el estimador es asitóticamete isesgado. Ejemplo Estimador eficiete 2.5 Propiedades de los estimadores 17 Ateriormete se estudió que la variaza muestral era u estimador sesgado de la variaza poblacioal, siedo su sesgo b(σ) = 1 σ2. Se observa que cuado el sesgo b(σ) 0. Co lo cual, se tiee que la variaza muestral es u estimador asitóticamete isesgado del parámetro σ. Puesto que lo que se iteta es obteer el valor del parámetro a través de u estimador, que es a su vez ua variable aleatoria, ua propiedad que tambié sería deseable es que la variaza de dicho estimador fuese lo más pequeña posible, dicha propiedad se deomia eficiecia. Se dice que u estimador T 1 es más eficiete que otro T 2, cuado ocurre que Var(T 1 )<Var(T 2 ). U estimador es eficiete, e térmios absolutos, cuado alcaza la llamada Cota de Frechet Cramer Rao, que para muestras aleatorias simples viee dada a través de la expresió V(T ) E [ ] 2 E[T (X)] θ [ ( log fθ (X) θ ) 2 ], dode el deomiador de la expresió aterior se cooce como catidad de iformació de Fisher, I(θ). Observació 2.1 Para poder aplicar esta cota es ecesario que se cumpla ciertas codicioes de regularidad de f θ (x). So las coocidas codicioes de regularidad de Fisher Wolfowitz: 1. El campo de variació de la població de la cual se extrajo la muestra es idepediete del parámetro θ, y por tato, la muestra tambié lo es. 2. Existe, al meos, las dos primeras derivadas respecto al parámetro θ de la fució L(X, θ).

10 18 Capítulo 2. Estimació putual 3. La derivació e itegració, así como la suma e el caso discreto, so operacioes itercambiables. Cuado u estimador es más eficiete que otro pero a su vez tiee más sesgo, e geeral, se decide por aquel que tega meor error cuadrático medio (ECM). El error cuadrático medio de u estimador se defie como: ECM(T ) = E [ (T θ) 2] = V[T ] + (θ E[T ]) 2 = V[T ] + b(θ) 2, es decir, la variaza del estimador más el cuadrado del sesgo. Ejemplo 2.6 Se quiere estimar el parámetro λ de ua Poisso mediate la media de ua muestra de tamaño. Es la media u estimador eficiete? La variaza de la media muestral es V[X] = λ y la esperaza E[X] = λ. Calculado la Cota de Frechet Cramer Rao: ( ) 2 E[X] CF CR = E λ [ ( ) log Pλ (X) 2 ]. λ Se tiee que log P λ (X) = λ + x log λ log(x!) y su derivada respecto a λ log P λ (X) λ = 1 + x λ = x λ λ, luego el deomiador queda [ ( ) ] log Pλ (X) 2 E = E [ (X λ) 2] λ λ 2 = V [X] λ 2 = λ λ 2 = λ, y la Cota de Frechet Cramer Rao

11 2.6 Métodos de obteció de estimadores 19 CF CR = E 1 [ ( ) ] log Pλ (X) 2 = λ. λ Como la variaza del estimador es igual a λ, se tiee que éste es eficiete Estimador cosistete Cuado u estimador o es isesgado se le exige que al meos sea cosistete. Existe diversas defiicioes de cosistecia, e fució de la covergecia que se utilice. Aquí se etederá que u estimador es cosistete cuado: 1. lím E(T ) = θ 2. lím V(T ) = 0 coociédose dicha cosistecia como cosistecia e probabilidad. Ejemplo 2.7 La media muestral es u ejemplo de estimador cosistete de la media poblacioal µ: E[X] = µ y por tato lím E [X] = µ y V[X] = σ2, co lo que se tiee que lím V [X] = Métodos de obteció de estimadores A cotiuació, se estudia dos métodos que va a permitir obteer estimadores co uas cotas de bodad razoablemete bueas e relació co las propiedades que se acaba de describir. El primero de ellos, llamado método de los mometos, se basa e la correspodecia etre las características de la població y las de la muestra. El segudo, deomiado de máxima verosimilitud, se apoya e la fució de verosimilitud defiida ateriormete.

12 20 Capítulo 2. Estimació putual 6.1. Método de los mometos Sea X ua variable aleatoria tal que existe los r primeros mometos poblacioales co respecto al orige y cuya distribució depede de ua serie de parámetros θ 1,..., θ k descoocidos. E el caso de que el parámetro i-ésimo se pueda expresar e fució de los r primeros mometos poblacioales co respecto al orige, es decir, θ i = g i (α 1,..., α r ), para ua muestra (X 1,..., X ) el estimador obteido a través del método de los mometos para dicho parámetro viee dado por ˆθ i (X) = g i (a 1,..., a r ), dode α s = E[X s i ] a s = Propiedad 2.1 Los estimadores obteidos por el método de los mometos so cosistetes, auque, e geeral, o so isesgados i tiee variaza míima. X s i. Ejemplo 2.8 Se quiere estimar la media y la variaza de ua N(µ, σ) por el método de los mometos. Se sabe que µ = E[X] = α 1, luego u estimador para µ por el método de los mometos resulta de sustituir α 1 por a 1, así X i ˆµ = a 1 = = X. E cuato a la variaza, se sabe que α 2 = E[X 2 ] = σ 2 + µ 2 σ 2 = α 2 µ 2, luego sustituyedo α 2 por a 2 y µ por su estimador, se tiee que u estimador de σ 2 por el método de los mometos viee dado por: ˆσ 2 = X 2 i X 2 = S 2.

13 6.2. Método de máxima verosimilitud 2.6 Métodos de obteció de estimadores 21 Este método ofrece geeralmete mejores resultados que el aterior. E la misma situació se costruye la fució de verosimilitud, L(x, θ), viiedo dados los estimadores máximos verosímiles por aquellas expresioes del vector de parámetros, θ, co θ R k, que hace máxima dicha fució. Por ser positiva y coicidir sus máximos co los de su logaritmo, el método se reduce a buscar la expresió del vector de parámetros, θ, que haga máxima la fució log L(x, θ). Propiedad 2.2 Los estimadores máximo verosímiles (M.V.) so asitóticamete isesgados, asitóticamete Normales y de existir u estimador eficiete éste es el máximo verosímil. Ejemplo 2.9 Sea X ua variable aleatoria que sigue ua B(p). Para ecotrar el estimador máximo verosímil para p, se costruye e primer lugar la fució de verosimilitud: L(x, p) = p P x i (1 p) P x i. Si T (x) es tal que máx p L(x, p) = L(x, T (x)), etoces tambié se verifica que máx p log L(x, p) = log L(x, T (x)). De esta forma, se tiee que log L(x, p)= x i log p + ( x i ) log (1 p), luego log L(x, p) p = p x i 1 p x i = 0.

14 22 Capítulo 2. Estimació putual De dode se obtiee que ˆp = 1 x i. A cotiuació, habría que comprobar que para ese valor de p la fució log L(x, p) alcaza u máximo. Se puede probar que 2 log L(x,p) 0 y por p 2 tato, T (X) = 1 X i es el estimador máximo verosímil de p. 7. Estimació de parámetros e poblacioes Normales Puesto que la mayoría de problemas que se aborda e la Iferecia Estadística asume la hipótesis de ormalidad de la població bajo estudio, a partir de ahora, se le va a dar u trato difereciado, particularizado cualquier estudio para esta distribució. Sea pues X ua variable aleatoria co distribució N(µ,σ). Los estimadores máximo verosímiles de los parámetros µ y σ so, respectivamete, la media y la desviació típica muestral, co las propiedades que les cofiere el método utilizado. Se trata ahora de estudiar las distribucioes de ambos estimadores. No obstate, ates de cotiuar co esta cuestió, se hará u iciso para estudiar ua serie de distribucioes que se deriva de la Normal Distribucioes derivadas de la Normal Las distribucioes derivadas de la Normal tiee gra importacia e la Iferecia Estadística, ya que será las distribucioes de ua amplia familia de estimadores. Todas ellas se obtiee como combiació y/o promedios de variables Normales, está tabuladas y se caracteriza sólo por el úmero de Normales tipificadas que etra e su composició; a dicho úmero se le llama grado(s) de libertad, justificádose este ombre por los motivos que se desarrollará e los próximos temas Distribució Chi cuadrado Sea Z 1, Z 2,..., Z, variables N(0, 1) idepedietes, la variable

15 χ 2 defiida como 2.7 Estimació de parámetros e poblacioes Normales 23 χ 2 = Z Z Z 2 sigue ua distribució Chi cuadrado co grados de libertad. Dicha variable puede iterpretarse como el cuadrado de la distacia euclídea desde el orige de coordeadas al puto (Z 1, Z 2,..., Z ). La variable se caracteriza úicamete por el úmero de Normales tipificadas que etra e su composició y la idepedecia de éstas hace fácil el cálculo de los mometos. Así E[χ 2 ] = y V[χ 2 ] = 2. Figura 2.1: Distribució Chi cuadrado La fució de desidad de la distribució Chi cuadrado es asimétrica, siedo sólo distita de cero para valores positivos de la variable. Tiee ua asítota cuado los valores tiede a ifiito y para > 2 tiee forma campaiforme. Propiedades La distribució Chi cuadrado es u caso particular de ua distribució Gamma, e cocreto, es ua Γ( 1 2, 2 ). Recuérdese que X Γ(a; p) si tiee como fució de desidad a p f(x) = Γ(p) e ax x p 1 si x > 0 0 si x 0

16 24 Capítulo 2. Estimació putual 2. La fució característica de u χ 2 es ϕ(t) = (1 2it) La suma de dos Chi cuadrado idepedietes co 1 y 2 grados de libertad es ua ueva variable Chi cuadrado co grados de libertad. 4. Cuado es mayor que 100 se verifica la siguiete aproximació: 2χ 2 = N( 2 1, 1). Ejemplo 2.10 La velocidad (cm/seg) de u objeto de masa 1 Kg., viee dada por ua variable aleatoria V que sigue ua N(0, 25). Si K = mv 2 2, dode m es la masa del objeto, es la variable aleatoria que represeta la eergía ciética de dicho objeto, se pide calcular la probabilidad de que la eergía ciética sea meor que 200. Puesto que m = 1, se tiee que ( ) P (K < 200) = P mv 2 2 < 200 ( ) = P V < ( 625 ) = P V < 1 28 = P (χ 2 1 < 1 28) = Distribució t de Studet Sea Z y χ 2 dos variables aleatorias idepedietes que sigue ua distribució N(0, 1) y ua Chi cuadrado co grados de libertad, respectivamete. La variable aleatoria t = Z, χ 2 sigue ua distribució t de Studet co grados de libertad. La distribució es simétrica respecto a cero, co ua variaza mayor que la N(0, 1) y tiede a ésta a medida que lo hace hacia ifiito (se puede cosiderar que sus probabilidades coicide a partir de u superior a 120).

17 2.7 Estimació de parámetros e poblacioes Normales 25 La distribució t de Studet compara a ua N(0, 1) co u promedio de variables N(0, 1). Sus mometos pricipales so: E[t ] = 0 V[t ] = 2 ( > 2). Ejemplo 2.11 Figura 2.2: Distribució t de Studet Sea V ua variable aleatoria que sigue ua t 20. Se quiere hallar a tal que P ( V > a) = Para ello basta teer e cueta que la distribució t de Studet es simétrica, co lo cual P ( V > a) = P (V > a) + P (V < a) = 2P (V > a) = Así pues, el a requerido es el que verifica P (V > a) = 0 005, de dode se obtiee, buscado e las tablas, que a = Distribució F de Sedecor Fisher La distribució F se defie como el cociete etre dos variables idepedietes Chi cuadrado divididas por sus grados de libertad, es decir F,m = χ 2 χ 2 m m.

18 26 Capítulo 2. Estimació putual La distribució está caracterizada por los grados de libertad y m, siedo su forma esecialmete la misma de la Chi cuadrado. Sus características más importates so: E[F,m ] = m m 2 V[F,m ] = 2m2 (m + 2) (m 2) 2 (m 4). Propiedades De la defiició se deduce que si X F,m 1 X F m,. 2. La distribució t de Studet al cuadrado es u caso particular de la F. Esto es, si siedo t 2 F 1, t = Z χ 2 t 2 = Z 2 χ 2 Figura 2.3: Distribució F de Fisher Sedecor Ejemplo 2.12 Hallar el valor b tal que P (F < b) = 0 01, sabiedo que la variable aleatoria F sigue ua distribució F 7,20. Como F 7,20 = 1 F 20,7, se tiee etoces que ) P (F 7,20 < b) = 0 01 P = 0 01, luego ( 1 F 7,20 > 1 b

19 2.7 Estimació de parámetros e poblacioes Normales 27 P (F 20,7 > 1 b ) = b = De dode b = Distribució de la media muestral Como ya se ha visto e ejemplos ateriores, la media muestral tiee esperaza µ y variaza σ 2 /; además por ser combiació lieal de variables Normales es a su vez Normal, es decir: X N ( µ, ) σ. Lo aterior tambié sería, aproximadamete, cierto para ua variable X o Normal siempre que sea suficietemete grade, como garatiza el Teorema Cetral del Límite Distribució de la variaza muestral La relació que existe etre la media y la variaza muestral viee dada por el teorema de Fisher Cochra: Teorema 2.1 Las variables aleatorias X y S 2 so idepedietes y el estadístico S2 tiee distribució Chi cuadrado co -1 grados de libertad. σ 2 Se obviará la demostració de lo aterior, que de forma equivalete y e fució de la cuasivariaza muestral, puede expresarse como: ( 1)S 2 c σ 2 χ 2 1. (2.1) De los mometos de ua Chi cuadrado se puede deducir: E[S 2 ] = 1 σ2 V[S 2 2( 1) ] = 2 σ 4. Esto idica, como ya se estudió, que S 2 o es u estimador isesgado de σ 2, por lo que e la mayoría de los casos se toma como estimador

20 28 Capítulo 2. Estimació putual de la variaza poblacioal la cuasivariaza muestral, S 2 c, tambié deomiada variaza muestral corregida. La razó de o elegir siempre la cuasivariaza es que su ECM es mayor que el de la variaza. Por otro lado, puesto que X µ σ N(0, 1) y ( 1) Sc 2 χ 2 σ 2 1 y como además estos estadísticos so idepedietes, se tiee que X µ σ X µ = ( 1)S 2 t 1. c S c ( 1)σ Distribució de la diferecia de medias muestrales Se cosidera dos poblacioes idepedietes represetadas por las variables X e Y, co distribucioes respectivas N(µ 1, σ 1 ) y N(µ 2, σ 2 ), de las cuales se dispoe de sedas muestras, X y Y, de tamaños 1 y 2 respectivamete. Es fácil ver que su diferecia de medias muestrales se distribuye como: σ1 X Y N µ 2 1 µ 2, + σ Distribució del cociete de variazas muestrales Dadas las dos variables ateriores X e Y idepedietes y segú la ecuació (2.1), se tiee que: Ejemplo 2.13 Sc 2 1 σ1 2 S 2 c 2 σ 2 F 1 1, 2 1. E ua clase de ciecias, se toma ua m.a.s. de 51 alumos que se presetaro al exame de matemáticas y otra, idepediete de la aterior, de 19 alumos presetados al exame de física. Se sabe que las otas de los alumos tato e matemáticas como e física sigue ua Normal co la misma

21 2.7 Estimació de parámetros e poblacioes Normales 29 dispersió. Se pretede averiguar cuál es la probabilidad de que la variaza observada e la primera muestra sea al meos el doble de la seguda. Sea SM 2 la variaza muestral de las otas correspodietes a matemáticas y SF 2 la variaza muestral de las otas de física. Puesto que se trata de muestras idepedietes y teiedo e cueta que 51 S2 M σ 2 χ2 50 y 19 S2 F σ 2 χ2 18 se tiee que Así pues, P ( S 2 M S 2 F S 2 M S 2 F ) 2 F 50,18. ( S 2 ) = P M SF = P (F 50, ) = Distribució de la proporció muestral Utilizado ua particularizació del Teorema Cetral del Límite, se sabe que de forma asitótica, para ua població Berouilli, B(p), se tiee que la distribució de la proporció muestral p= X puede aproximar por ua Normal, tal que ( p pq = N p, ). Si se tiee dos poblacioes Berouilli, etoces: ( p1 p 2 p1 q 1 = N p 1 p 2, + p ) 2q

22 30 Capítulo 2. Estimació putual 8. Ejercicios 8.1. Ejercicios resueltos 2.1 Sea X ua m.a.s. de tamaño extraída de ua població Normal de media µ y variaza σ 2. a) Halle los estimadores de máxima verosimilitud para los parámetros µ y σ 2. b) Es X u estimador eficiete de µ? Y suficiete? c) Ecuetre u estimador isesgado de µ 2 + σ 2. d) Si µ = 0, ecuetre u estimador suficiete de σ 2. Solució: a) A partir de la m.a.s. de tamaño, se costruye la fució de verosimilitud: L = L(x; µ, σ 2 ) = (2πσ 2 ) 2 exp { (x i µ) 2 2σ 2 Para ecotrar los estimadores de máxima verosimilitud de µ y σ 2, hay que ecotrar los máximos de la fució de verosimilitud, L, o equivaletemete, los máximos de la fució log L: (x i µ) 2 log L = 2 log (σ2 ) log 2π 2 2σ 2. Para ello, habrá que resolver el siguiete sistema: (x i µ) log L = µ σ 2 = 0 (x i µ) 2 log L σ 2 = 2σ 2 + 2σ 4 = 0 cuya solució proporcioa los estimadores máximo verosímiles de µ y σ 2 : ˆµ = X }.

23 ˆσ 2 = (X i X) 2 = S Ejercicios 31 b) Supuesta coocida σ 2 y teiedo e cueta que T (X) = X es isesgado para µ, la cota de Frechet Cramer Rao viee dada por: CF CR = 1 [ ( ) log fµ(x) 2 ]. E µ Haciedo cálculos, log f µ (x) = log σ 1 2 log 2π (x µ)2 2σ 2, log f µ (x) µ = x µ ( ) log fµ (x) 2 σ 2 = µ [ ( ) ] log fµ (X) 2 E = 1 µ σ 2. (x µ)2 σ 4, Por tato, la cota de Frechet Cramer Rao vale CF CR = 1 1 σ 2 = σ2, y puesto que V[T (X)] = V[X] = σ2, se deduce que T (X) = X es eficiete para µ. Estos cálculos o hubiese sido ecesarios si se hubiera recurrido a las propiedades de los estimadores máximo verosímiles. Como X es máximo-verosímil para µ, de existir u estimador eficiete sería él. E cuato a la suficiecia de T (X) = X, a partir de la fució de máxima verosimilitud L = L(x; µ, σ 2 ) = (2πσ 2 ) 2 exp { (x i µ) 2 } 2σ 2,

24 32 Capítulo 2. Estimació putual desarrollado la expresió de la expoecial, (x i µ) 2 2σ 2 = x2 i + µ(µ 2x) 2σ 2 se llega a que, si se defie { g(t (x), µ) = exp } µ(µ 2x) 2σ 2 h(x) = (2πσ 2 ) 2 exp { P } x2 i, 2σ 2 por el criterio de factorizació, el estimador T (X) = X es suficiete para µ. c) Puesto que se tiee que Como, además, E[X] = µ; V[X] = σ2, E[X 2 ] = V[X] + E[X] 2 = σ2 + µ2. E[S 2 ] = 1 σ2, el estimador que se busca es T (X) = X 2 + S 2, ya que E[T (X)] = E[X 2 ] + E[S 2 ] = σ 2 + µ 2. d) E este caso, { f σ 2(x) = (2πσ 2 ) 1 2 exp 1 } 2σ 2 x2 y la fució de verosimilitud es L = L(x, σ 2 ) = (2πσ 2 ) 2 exp { 1 2σ 2 Por el criterio de factorizació, tomado { g(t (x), σ 2 ) = (2πσ 2 ) 2 exp 1 } 2σ 2 T (x), co T (x) = k x2 i, y h(x) = 1, se tiee que T (X) = k estimador suficiete para σ 2. k x 2 i }. X2 i es

25 2.8 Ejercicios Ejercicios propuestos 2.1. Dadas W, X, Y y Z cuatro variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas segú ua N(0, 5). a) Si S = 2W + 3X Y + Z + 30, obtega P (S 42). b) Si T = W 2 + X 2 + Y 2 + Z 2, obtega a verificado que P (T a) = W c) Si U = 2 +X 2 +Y 2 +Z 2 4, obtega P (U 6 973) Sea X e Y dos variables aleatorias que sigue ua t 36 y ua χ 2 62 respectivamete. a) Halle x tal que P ( X > x) = b) Obtega y tal que P ( Y > y) = Se sabe que la achura de las piezas fabricadas por ua cierta máquia, medida e cetímetros, se distribuye segú ua Normal de media 10 y desviació típica Si se toma ua m.a.s. de 25 piezas, calcule: a) P (9 68 X 10 1). b) P (S ) Se quiere estudiar la altura de los alumos de tercero de ESO y se estimó, e experiecias ateriores, que dicha característica se distribuye segú ua Normal de media 167 cm. y variaza cm 2. Si se toma ua m.a.s. de 10 alumos, a) Calcule la probabilidad de que la media muestral de las alturas de los 10 alumos o sea iferior a 165 cm. b) Halle la probabilidad de que la cuasivariaza muestral de las alturas de los 10 alumos sea superior a cm Se extrae (X 1, X 2, X 3, X 4 ) m.a.s. de ua població X distribuida segú ua Exp( 1 θ ). Dados los estadísticos Y 1 (X) = 1 6 (X 1 + X 2 ) (X 3 + X 4 )

26 34 Capítulo 2. Estimació putual Y 2 (X) = X 1 + 2X 2 + 3X 3 + 4X 4 5 Y 3 (X) = X 1 + X 2 + X 3 + X 4, 4 estudie cuáles so isesgados para θ Dada ua població distribuida ormalmete co media descoocida y variaza igual a 25, se extrae ua m.a.s. de tamaño 3 y se cosidera los estimadores de la media Y (X) = 0 65X X X 3 Z(X) = 2X 3 X 1 T (X) = X 1 + X 2 + X 3. 3 Estudie cuál de los tres estimadores es el mejor desde el puto de vista del sesgo y la eficiecia Sea (X 1, X 2, X 3 ) ua m.a.s. procedete de ua població que se distribuye ormalmete. Sea T 1 (X) = X 1 + 2X 2 + 3X 3 6 y T 2 (X) = X 1 4X 2 3 dos estimadores de µ. a) Demuestre que ambos so isesgados. b) Pruebe que T 1 (X) es más eficiete que T 2 (X) Sea X ua variable aleatoria distribuida segú ua N(µ, σ). Calcule u estimador isesgado de µ 2 + 6µ De ua població N(µ, 2) se extrae ua m.a.s. Y de tamaño = 4. Para el siguiete estimador de la media T (Y ) = 0 2Y Y 2 + cy 3 + dy 4, calcule c y d para que T (Y ) sea isesgado y eficiete.

27 2.8 Ejercicios Sea (X 1,..., X ) ua m.a.s. extraída de ua població que sigue ua B(p). Cosidérese los estimadores: T 1 (X) = X y T 2 (X) = X2 i. a) Demuestre que ambos so isesgados. b) Estudie cuál es más eficiete. c) So cosistetes? Sea (X 1,..., X ) ua m.a.s. extraída de ua població que sigue ua P (λ). a) Pruebe que T (X) = X i es suficiete para λ. b) Estudie la cosistecia del estadístico U = T 2 T para el 2 parámetro λ Sea (X 1,..., X ) ua m.a.s de ua U(0, θ), θ > 0. a) Sea M (X) = máx{x 1,..., X }. Pruebe que M (X) es cosistete para θ. Es isesgado? b) Si Y (X) = 2X, estudie la cosistecia para θ. c) Demuestre que el estadístico Z (X) = +1 M (X) es isesgado y más eficiete que Y (X) De ua població distribuida segú ua B(m, p), se extrae ua m.a.s. de tamaño. Estudie la isesgadez del estadístico T (X) = X m respecto al parámetro p y demuestre su eficiecia Cosidérese ua m.a.s. de tamaño extraída de ua població Normal de media µ y variaza σ 2. a) Ecuetre u estimador suficiete de σ 2 cuado µ = 0. b) Busque u estimador suficiete de µ. Es ese estimador eficiete? c) Demuestre que T (X) = S 2 o es u estimador eficiete de σ 2.

28 36 Capítulo 2. Estimació putual De ua població co fució de desidad f θ (x) = 1 θ e x θ, x 0 se extrae ua m.a.s. de tamaño. Si se estima el parámetro θ a través de la media muestral: a) Demuestre que es cosistete. b) Estudie su eficiecia Estudie la eficiecia del estimador T (X) = X del parámetro b de la fució de desidad Γ(b; a), para ua m.a.s. de tamaño Dada ua m.a.s. de tamaño extraída de ua població N(µ, σ), se quiere estimar la media µ mediate T (X) = k jx j. j=1 a) Obtega k para que T (X) sea isesgado. b) Estudie si T (X) es eficiete. c) Es cosistete? Para estimar la media de ua població ormalmete distribuida, se extrae ua m.a.s. de tamaño y se cosidera los estadísticos T 1 (X) = X y T 2 (X) = ix i i. Determie cual es el mejor estimador desde el puto de vista de la isesgadez y la eficiecia Sea X ua m.a.s. extraída de ua població Exp ( 1 θ ). Pruebe que el estadístico Y (X) = mí{x i }, i = 1,..., es isesgado, pero o cosistete para θ.

29 2.8 Ejercicios De ua població distribuida segú ua Expoecial de fució de desidad f α (x) = αe xα x > 0, se extrae ua m.a.s. de tamaño. a) Demuestre que T (X) = X i es suficiete para α. b) Pruebe que el estimador U = 1 T es cosistete para α Ecuetre u estimador por el método de máxima verosimilitud para el parámetro λ de ua Poisso Dada ua m.a.s. extraída de ua població que sigue ua Exp( 1 θ ), ecuetre u estimador máximo-verosímil para el parámetro θ Determie u estimador, por el método de los mometos, de los parámetros e los siguietes casos: a) P (λ). b) Exp(θ). c) Γ(a; b) Sea la variable aleatoria X que sigue la distribució de Pascal: f(x) = p(1 p) x, dode x = 0, 1, 2,... y 0 < p < 1. Busque u estimador de p por el método de los mometos Obtega u estimador, por el método de los mometos, para el parámetro a de la distribució que tiee por fució de desidad f a (x) = 2(a x) a 2 0 < x < a.

30 38 Capítulo 2. Estimació putual Ua fábrica produce botoes cuyo diámetro varía aleatoriamete etre dos valores a y b. Supuesto que el diámetro se ajusta a ua variable aleatoria distribuida uiformemete, estime, a partir de la muestra , los parámetros a y b por el método de los mometos La fució de desidad de ua variable aleatoria es: f θ (x) = (θ + 1)x θ 0 < x < 1. Halle el estimador de θ utilizado: a) El método de los mometos. b) El método de máxima verosimilitud Ua determiada empresa quiere plaificar su producció. Ellos calcula que el producto que ofrece puede gustar etre el 40 % y el 50 % de los habitates de su ciudad, pero tras tomar ua muestra aleatoria de 10 idividuos observa que sólo tres muestra iterés por el producto. Teiedo ésto e cueta, cuál de las dos proporcioes cotempladas deberá tomar e cosideració co base e el criterio de máxima verosimilitud? Sea X ua variable aleatoria co fució de probabilidad P θ (X = x) = θ(1 θ) x 1 x = 1, 2,... 0 θ 1. Ecuetre u estimador del parámetro θ por el método de máxima verosimilitud Obtega u estimador por el método de los mometos para el parámetro a e ua distribució Pareto, cuya fució de desidad viee dada por f a (x) = axa 0 x a+1 x > x 0.

31 2.8 Ejercicios Sea X ua variable ua variable aleatoria que tiee por fució de desidad f θ (x) = 2θ 2 (1 x) 0 < x < 1. Obtega u estimador de máxima verosimilitud para el parámetro θ Sea (X 1,..., X ) ua m.a.s. extraída de ua població co distribució U(a; b). Obtega estimadores de a y b por el método de máxima verosimilitud Para ua distribució que tiee fució de desidad f θ (x) = e (x θ), x θ, calcule el estimador de máxima verosimilitud para el parámetro θ.

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