Tema 10. Muestreo. Intervalos de confianza Problemas Resueltos

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1 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema Muestreo Tema 10 Muestreo Itervalos de cofiaza Problemas Resueltos 1 E ua ciudad se quiere hacer ua ecuesta para coocer el porcetaje de ciudadaos que aprueba la gestió del ayutamieto e cuestioes medioambietales (limpieza de calles, cotamiació, cuidado de parques ) Se pretede que la muestra sea represetativa por sexo y edad; para la edad se establece tres estratos: 10 a 5 años (jóvees), 5 a 60 años (adultos) y mayores de 60 El úmero de persoas de cada grupo es: jóvees, 3000; adultos, 8500; mayores de 60, 500 Por sexo, la distribució es: 6800 hombres y 700 mujeres, que se supoe proporcioales a cada grupo de edad Si el tamaño de la muestra es de 500 persoas, determia, redodeado si es ecesario, el tamaño muestral correspodiete a cada estrato El total de ciudadaos que puede ser ecuestados es de De ellos, el ,571% so hombres Por tato, e cada estrato se tiee: Jóvees Adultos Mayores Hombres Mujeres Se pretede ecuestar a 500 persoas de las existetes; esto supoe 1 por cada 8 (14000/500 8), luego dividiedo etre 8 el úmero de compoetes de cada estrato, se obtiee los tamaños muestrales respectivos, que so los dados e la siguiete tabla Jóvees Adultos Mayores Total Hombres Mujeres E hombres adultos se ha añadido 1 co el fi de completar la muestra, pues e los redodeos se pierde u idividuo Se hace e ese estrato por ser el que deja más resto Supogamos que e u cetro escolar los alumos y docetes se distribuye de acuerdo co la tabla: Alumos 1 y º ESO 3º y 4º ESO BACH PROFS Hombres Mujeres Si se quiere realizar ua ecuesta etre ellos de tamaño 50, por el método de muestreo estratificado por sexo y ivel de trabajo, a cuátas persoa de cada clase hay que pregutar? El total de persoas que puede ser ecuestados es de , que es la suma de los cuatro iveles Como se pretede ecuestar a 50 persoas de las 745 posibles, y 745 : 50 14,9, hay que pregutar a 1 de cada 14,9 persoas de cada grupo Los valores que se obtiee so: Muestra 1 y º ESO 3º y 4º ESO BACH PROFS Hombres 7,38 6,38 7,93 1,34 Mujeres 8,7 8,05 8,7 1,68 Hay que redodear atediedo a los restos Puede optarse por la siguiete elecció: José María Martíez Mediao

2 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema Muestra 1 y º ESO 3º y 4º ESO BACH PROFS Hombres Mujeres Supogamos que e tu ciudad (o e tu comarca) hay 4 istitutos o colegios (IES), cuyo alumado se distribuye como sigue: IES 1 IES IES 3 IES 4 Alumos Alumas Si se quiere realizar u muestreo de tamaño 100, estratificado por sexo y cetro escolar, cuáles sería los tamaños muestrales correspodietes a cada IES y a cada estrato? El total de alumos/as por IES se idica e la siguiete tabla: IES 1 IES IES 3 IES 4 Total Alumos Alumas Total Como hay que elegir ua muestra de tamaño 100 habrá que tomar 1 de cada 40 estudiates Los valores que se obtiee so: IES 1 IES IES 3 IES 4 Total Alumos 9,5 11,5 15, ,5 Alumas 8,5 1,5 16,5 13,5 50,75 Total 17, ,75 6,5 100 Hay que redodear atediedo a los restos E este caso puede optarse por subir los represetates del IES 1 y 3 y bajar los el IES 4; eligiedo a 49 alumos y 51 alumas Por tato, el tamaño muestral correspodiete a cada estrato es el siguiete: IES 1 IES IES 3 IES 4 Total Alumos Alumas Total (Selectividad, Galicia 016) a) Se desea tomar ua muestra estratificada de las persoas mayores de edad de u muicipio, cuyos estratos so los siguietes itervalos de edades, e años: de 18 a 30, de 31 a 45, de 45 a 60 y mayores de 60 E el primer itervalo hay 7500 persoas, e el segudo 8400, e el tercero 5700 y e el cuarto 3000 Calcula el tamaño de la muestra total y su composició, sabiedo que el muestreo se hace co afijació proporcioal y se ha elegido 375 persoas del primer estrato b) Dada la població {, 4, 6}, costruye todas las muestras posibles de tamaño, que pueda formar mediate muestreo aleatorio simple, y halla la variaza de las medias muestrales de todas las muestras a) Como la afijació es proporcioal, el peso de cada estrato e la muestra es directamete proporcioal a los idividuos de la població correspodiete Si e el primer estrato, formado por 7500 persoal se ha elegido m 1 375; del segudo estrato: 8400 se elegirá m m 40 ; 7500 José María Martíez Mediao

3 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema del tercer estrato: 5700 se elegirá m 3 m 3 85; del cuarto estrato: 3000 se elegirá m 4 m ; 7500 El tamaño total de la muestra es Se elige 1 de cada 0 persoas e cada estrato b) E el muestreo aleatorio simple se matiee la probabilidad de extracció e cada caso Por tato, las extraccioes debe hacerse co reemplazamieto El úmero de muestras de tamaño que puede obteerse de la població {, 4, 6} so 9: {, }; {, 4}; {, 6}; {4, }; {4, 4}; {4, 6}; {6, }; {6, 4} y {6, 6} (So las variacioes co repetició de 3 elemetos tomados a ) Muestra Elemetos Media de la muestras: i Distribució Biomial (Repaso) Recuerda que la media y la variaza vale: 5 U dado, cuyas caras está umeradas del 1 al 6, se laza cico veces Halla la probabilidad de que el úmero 3 salga: a) Exactamete dos veces b) Ua vez a lo sumo c) Más de ua vez 1 El úmero de treses puede medirse a partir de la biomial 5, a) P( X ) 10 0, b) P( X ) P( X ) P( X ) x ( x ) i x M1 {, } 4 xi ( x ) i µ M {, 4} 3 1 i 1 i 1 µ ; M3 {, 6} 4 0 N N M4 {4, } 3 1 M5 {4, 4} 4 0 La media y la variaza de la població M6 {4, 6} 5 1 so: M7 {6, } µ 4 ; M8 {6, 4} M9 {6, 6} 6 4 ( 4) + (4 4) + (6 4) 8 Sumas Media de las muestras: x 4; Variaza de las muestras: x Desviació típica: x /3 Puede comprobarse que: µ x 4 ; y que x 3 José María Martíez Mediao

4 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema , > , , c) P( X ) P( X ) 6 E u Cetro Escolar el 5% de los alumos so de orige extrajero Si se elige 6 estudiates al azar, cuál es la probabilidad de 4 o más sea de orige extrajero? El úmero de alumos de orige extrajero puede estudiarse como ua biomial B(6, 0,5) P( X 4) P( X 4) + P( X 5) + P( X 6) , 5 0,75 + 0, 5 0,75 + 0, ,5 0, ,5 0,75 + 0, , , ,0004 0, Se laza ua moeda correcta 10 veces y se mide el úmero de caras y cruces obteidas a) Cuátos resultados forma el espacio muestral? Cuál es la probabilidad de cada uo de los resultados posibles? b) Cuál es la probabilidad de que salga 4 caras? a) Si para cada moeda se desiga por 0 el suceso cara y por 1 el suceso cruz, el espacio muestral será: E { , , , , } So las variacioes co repetició de elemetos (el 0 y el 1) tomados 10 a 10 Su úmero es 0 VR, P(cada suceso elemetal) b) Es u experimeto biomial: B 10, 1 p q Si X cueta el úmero de caras, P(4 caras) P( X 4) E ua moeda trucada la probabilidad de obteer cara es 0,4 Si se laza 5 veces, calcula la probabilidad de obteer al meos 3 caras Se trata de ua distribució de probabilidad biomial: B(5, 0,4) p 0,4; q 0, P( X 3) P( X 3) + P( X 4) + P( X 5) 0,4 0,6 + 0,4 0,6 + 0, ,4 0, ,4 0,6 + 0,4 0, , ,0104 0, U exame costa de 8 pregutas co 3 posibles respuestas cada ua, de las que sólo ua de ellas es correcta Si u estudiate respode al azar marcado las respuestas aleatoriamete, calcula la probabilidad de que: a) No acierte igua respuesta correcta b) Acierte 6 o más pregutas José María Martíez Mediao

5 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema Si se cotesta al azar, la probabilidad de acertar p ; la de fallar, q Se trata de ua distribució de probabilidad biomial, B 8, 3 a) P( X ) , b) P( X 6) P( X 6) P( X 7) P( X 8) , Distribució Normal (Repaso) 10 Utilizado la tabla ormal N(0, 1) calcula: a) P( Z < 1, ) b) ( 1, 7 ) E la tabla puede leerse directamete: P Z < 1, 0,8849 a) ( ) b) P( Z < 1, 7 ) 0,8980 c) P( Z 1, ) 1 P( Z 1, ) P Z < c) P( Z < 1, ) d) P( Z < 1, 7 ) < < 1 0,8849 0,1151 d) P( Z 1, 7 ) 1 P( Z 1, 7 ) < < 1 0,8980 0, Utilizado la tabla ormal N(0, 1) calcula iterpolado: a) P( Z < 1,35) b) P( Z < 1,645) c) P( Z < 0,666) d) P( Z < 1,863) a) P( Z < 1,35) está etre P( Z < 1, 3 ) y P( Z < 1, 33 ) Como es el puto medio, puede asigársele la media de ambos resultados: P( Z < 1, 3 ) + P( Z < 1, 33 ) 0, ,908 P( Z < 1,35) 0,9074 b) Aálogamete: P( Z < 1, 64 ) + P( Z < 1, 65 ) 0, ,9505 P( Z < 1, 645) 0,95 P Z < debe dividirse la diferecia de los valores P( Z < 0,66) y P( Z < 0,67) y sumar 6/10 de ella (lo que correspode a las 6 milésimas de diferecia etre 0,66 c) Para calcular ( 0,666) y 0,666) al valor P( Z < 0,66) José María Martíez Mediao

6 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema Como P( Z ) P( Z ) < 0, 67 < 0, 66 0, , , ,003 0,0019, se 10 asigará a P( Z < 0,666) el valor: P( Z ) P( Z ) < 0, 666 < 0, , , , , 7473 d) Aálogamete, para calcular P( Z < 1,863), se halla los 3/10 de la diferecia P( Z < 1,87) P( Z < 1,86) 0,9693 0,9686 0, 0007, y se le suma a ( 1,86 ) P Z < Se obtiee: 3 P( Z < 1,863) P( Z < 1,86 ) + 0, , , , Observació: E la práctica, salvo e casos secillos, y dada la escasa diferecia de los valores de probabilidad, o hay icoveiete e aproximar cada valor de Z a las cetésimas Así: P Z 0,666 P Z 0,67 0,7486 P Z < 1,863 P Z < 1,86 0,9686 ( < ) ( < ) ; ( ) ( ) 1 Utilizado la tabla ormal N(0, 1), determia el valor de k que cumple: a) P( Z < k) 0,9115 b) P( Z < k) 0,945 c) P( Z < k) 0,1587 d) P( Z < k) 0,95 a) El valor 0,9115 de la tabla se correspode co Z 1,9 Por tato, k 1,9 b) El valor 0,945 de la tabla se correspode co Z 1,6 Por tato, k 1,6 c) Como 0,1587 es meor que 0,5 hay que buscar el valor de Z que deja por debajo 1 0,1587 0,8413 Ese valor es Z 1 Por tato, k 1 d) El valor 0,95 o aparece e la tabla Como está etre 0,9495, correspodiete a Z 1,64, y 0,9505, correspodiete a Z 1,65, el valor de k buscado es k 1, Para ua distribució ormal N(50, 5), halla: a) P( X < 56) b) ( 58) X 50 E todos los casos hay que tipificar la variable: Z Co esto: 5 a) ( ) P X < PZ < P( Z < 1, ) 0, P X > c) P( X < 48) d) P( 48 < X < 56) > > > 1, 6 1 < 1, 6 1 0,945 0, b) P( X ) P Z P( Z ) P( Z ) < > < 0, 4 1 < 0, 4 1 0, , c) P( X ) P Z P( Z ) P( Z ) José María Martíez Mediao

7 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema P Z < 1, P Z < 0, 4 0,8849 0,3446 0,5403 d) P( 48 < X < 56) P < Z < P( 0,4 < Z < 1, ) ( ) ( ) 14 Supogamos que la estatura media de las alumas de bachillerato se distribuye ormalmete co media µ 166 cm y desviació típica 9 cm Si se elige ua aluma al azar halla la probabilidad de que su estatura sea: a) Superior a 175 cm b) Iferior a 155 cm c) Esté etre 155 cm y 175 cm La ormal de media µ y desviació típica, N(µ, ), se tipifica mediate el cambio X µ Z, (e este caso, para µ 166 y 9 X 166 Z ), se tedrá: a) P(X > 175) PZ> P( Z> 1) 1 PZ ( < 1) 1 0,8413 0, PZ< P Z< 1, 1 PZ ( < 1, ) 1 0,8888 0,111 9 b) P(X < 155) ( ) c) P(155 < X < 175) P(X < 175) P(X < 155) 0,8413 0,111 0, Para ua distribució ormal N(60, 5), determia el valor de k que cumple: a) P( X < k) 0,90 b) P( X > k) 0,95 c) P( 60 k < X < 60 + k) 0,9544 X 60 E todos los casos hay que tipificar la variable: Z Co esto: 5 k 60 k 60 a) P( X < k) 0,90 PZ < 0,90 1, 8 k 66, k 60 k 60 P X < k 0,95 PZ < 0,95 1, 645 k 68, b) ( ) c) P( k X k) 60 < < ,9544 la probabilidad que cae fuera de ese itervalo es 1 0,9544 0,0456; la mitad (0,08) e la cola de la izquierda de la campaa, la otra mitad e la cola derecha Por tato, P( X < 60 + k) 0, , 088 0,977 Luego: 60 + k 60 k P( X < 60 + k) 0,977 PZ < 0,977 k Esto es, e el itervalo (50, 70) (60, 60 + ) cae el 95,44% de los valores de X, N(60, 5) 16 Supogamos que los chicos de 15 años de u determiado país tiee ua estatura que se distribuye segú ua ormal de media 168 cm y desviació típica 1 cm Si se quiere seleccioar al 5% de los chicos más altos, a partir de qué altura debe hacerse? José María Martíez Mediao

8 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema 10 0 Si X es la variable que describe la altura de los chicos, seleccioar uo etre el 5% de los más altos tiee ua probabilidad de 0,05, es decir, P( X > k) 0, 05 ; o, lo que es lo mismo, ( k) 0,95 P X < k 168 k 168 Como P( X < k) 0,95 PZ < 0,95 1, 645 k 187, Luego, el 5% de los chicos más altos mide más de 187,74 cm 17 El diámetro de las ciruelas de ua determia variedad se distribuye ormalmete co media 4,5 cm y desviació típica 0,3 cm Si se desea seleccioar, para su exportació, el 10% de las más grades, a partir de qué tamaño hay que cogerlas? La medida X de su diámetro se distribuye segú la ormal: N(4,5, 0,3) Esta ormal se X 4,5 tipifica haciedo el cambio Z 0,3 Se desea ecotrar el valor d (de diámetro) tal que P( X > d) 0,10 d 4,5 PZ > 0,10 0,3 d 4,5 1, 8 d 0,3 1, 8 + 4,5 4,884 cm 0,3 18 La edad de los habitates de cierta ciudad se distribuye ormalmete, co ua media de 40 años Se sabe además que el,8 % de los habitates tiee más de 60 años a) Cuál es la desviació típica? b) Cuál es el porcetaje de habitates co meos de 35 años? La distribució de edad de la població es como se idica e la figura adjuta a) Se sabe que P( X > 60) 0, 08 Como la ormal de media µ y desviació típica, N(µ, ), se X µ tipifica mediate el cambio Z, (e uestro caso, para µ 40 y descoocida), se tedrá: P( X > 60) PZ > 0, 08 P Z > 0, 08 0 P Z < 1 0, 08 0,977 Esto es, la desviació típica vale b) P( X< 35) PZ< P( Z< 0,5) 1 PZ ( < 0,5) 1 0, , Esta probabilidad equivale al 30,85 % 19 La duració de ua determiada marca de lavadoras se ajusta a ua ormal de media 8,4 años y desviació típica 6 meses El fabricate asegura que sus lavadoras dura más de 7 años, comprometiédose a: si ua lavadora se estropea ates de 7 años le damos otra ueva Cuátas lavadoras uevas tedrá que repoer por cada vedidas? José María Martíez Mediao

9 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema Para la ormal N(8,4, 0,5), la probabilidad de que X sea meor que 7 es: 7 8, 4 P( X< 7) PZ< P( Z<,8) 1 PZ ( <,8) 1 0,9974 0, 006 0,5 Tedrá que repoer ,006 6 lavadoras 0 Los evases de cartó de ua determiada marca de leche cotiee 1 litro de media, siedo la desviació típica de 5 ml a) Qué porcetaje de evases sobrepasa los 1005 ml? b) Si el cotrol de calidad rechaza los evases que cotega meos de 990 ml y más de 1010 ml, qué porcetaje de evases habrá que rechazar? X 1000 El coteido de los evases se ajusta la ormal N(1000, 5) Se tipifica haciedo Z a) P( X> 1005) PZ> P( Z> 1) 1 PZ ( < 1) 1 0,8413 0, El 15,87% de los evases cotiee más de 1005 ml b) Los evases que se acepta so los que cotiee etre 990 y 1010 ml P 990 < X < 1010 P Z < P < Z < 5 5 P Z < P Z < 0, ,977 0, ,44% ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Hay que rechazar el 4,56% de los evases 1 Los igresos auales de los ejecutivos de ua multiacioal se distribuye ormalmete co media y desviació típica de 3000 Si se elige u ejecutivo al azar se pide calcular las siguietes probabilidades: a) De que sus igresos auales sea superiores a euros b) De que sus igresos auales esté compredidas etre 4000 y c) De que sus igresos auales sea iferiores a euros d) Sabiedo que la probabilidad de que sus igresos auales sea superiores a ua determiada catidad es del 1%, cuál es esa catidad? Se trata de ua distribució ormal de media µ y 3000: N(45000, 3000) Se tipifica haciedo el cambio Z X µ X ,955 0,0475 El 4,75% de los ejecutivos gaa más de auales a) P( X > 50000) P Z > P( Z > 1, 67) 1 P( Z < 1, 67) b) ( ) P < X < P < Z < P( 1 < Z < 0,33) PZ ( < 0,33) PZ ( < 1) PZ ( < 0,33) ( 1 PZ ( < 1) ) 0, 693 ( ) 0, 4706 El 47,06% de los ejecutivos gaa etre 4000 y auales José María Martíez Mediao

10 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema ,977 0,08 El,8% de los ejecutivos gaa meos de auales c) P( X < 39000) P Z < P( Z < ) 1 P( Z < ) d) Si P( Z c) 0,01 > c,33 X 45000,33 X , Aproximació de la biomial mediate ua ormal (Repaso) Mediate la aproximació ormal de la biomial B(50, 0,1) calcula: a) P( X 6) b) P( X 1) c) P( 6 < X 1) La biomial B(50, 0,1) se puede aproximar por la ormal de media y desviació típica: µ 50 0,1 6 y 50 0,1 0,88,3 X N ( 6,,3) Co esto: a) ( ) ( ) 6 6,5 6 5,5 6,5 6 P X P < X < P < Z < P( 0, < Z < 0, ),3,3 P Z < 0, P Z < 0, 0, ,5871 0,174 ( ) ( ) ( ) 11,5 6 1,5 6,3,3 P Z <,83 P Z <,39 0,9977 0,9916 0, 0061 b) P( X 1) P( 11,5 < X < 1,5) P < Z < P(,39 < Z <,83) ( ) ( ) 5,5 6 1,5 6,3,3 c) P( 6 < X 1) P( 5,5 < X < 1,5) P < Z < P( 0, 8 < Z <,83) 0,9916 (1 0,5871) 0, El 4% de los habitates de u pueblo pasa cada día por la calle mayor Elegidos 60 habitates al azar, qué probabilidad hay de que más de 30 de ellos pase ese día por la calle mayor? La variable X que computa el úmero de habitates que pasa por la calle mayor es ua variable B(60, 0,4), que se aproxima por la ormal X : N(60 0,4, 60 0,4 0,58 ) N(5,, 3,8) Haciedo la correcció de cotiuidad y tipificado, se tiee: 30,5 5, P( X > 30 ) P( X > 30,5) PZ > P( Z > 1,39) 1 P( Z < 1,39) 3,8 1 0,9177 0,083 Nota: Tambié puede estudiarse mediate la distribució muestral de la proporció Las muestras de tamaño 60 extraídas de ua població co probabilidad p 0,4, se 0, 4 0,58 comporta como ua N 0,4, N( 0,4, 0,064) 60 Que de ua muestra de 60, más de 30 sigifica que ˆp > 0,5 Luego: José María Martíez Mediao

11 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema ,5 0, 4 P( pˆ > 0,5) PZ > P( Z > 1, 5 ) 1 P( Z < 1, 5 ) 0, ,8944 0,1056 Puede observarse que los resultados varía: se diferecia e 0,033 Hay dos motivos: el primero, que el resultado iicial es ua aproximació de la biomial mediate ua ormal; el segudo es debido a los redodeos 4 U exame de respuesta múltiple costa de 80 pregutas, cada ua co 4 opcioes, ua de ellas correcta y erróeas las otras tres Si u estudiate cotesta al azar, cuál es la probabilidad de que acierte 5 o más pregutas? Y meos de 10? El experimeto es de tipo biomial, co P(éxito) p 0,5 y q 0,75 Para 80, será B(80, 0,5) La biomial B(80, 0,5) puede aproximare mediate la ormal de media µ 80 0,5 0 y 80 0, 5 0, ,87 N(0, 3,87) Co esto, haciedo la correcció de cotiuidad y tipificado: 4,5 0 P( X 5 ) P( X > 4,5) PZ > P( Z > 1,16) 1 P( Z < 1,16) 3,87 1 0,8770 0,130 9,5 0 P X P X PZ P Z P Z 3,87 1 0,9966 0,0034 ( < 10 ) ( < 9,5) < ( <, 71) 1 ( <, 71) Distribució de las medias muestrales: Itervalo de cofiaza; Error; Tamaño muestral 5 (Selectividad, Baleares 014) El cociete itelectual de uos uiversitarios se distribuye ormalmete co ua media de 100 y ua desviació típica de 10 a) Se elige ua persoa al azar Busca la probabilidad de que su cociete itelectual se ecuetre etre 98 y 103 b) Se elige ua muestra de veiticico persoas al azar Busca la probabilidad de que la media de sus cocietes itelectuales se ecuetre etre 98 y 103 x 100 a) La població es N(100, 10) Se tipifica haciedo el cambio Z 10 Luego: P( 98 < x< 103) P < Z < P( 0, < Z < 0,3) P Z < 0,3 P Z < 0, 0,6179 (1 0,5793) 0,197 ( ) ( ) b) Las medias muestrales de tamaño, obteidas e ua població N(µ ), se distribuye segú ua ormal N µ, 10 X 100 E este caso: N100, N( 100, ) Se tipifica haciedo el cambio Z 5 José María Martíez Mediao

12 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema Por tato, P X P Z P Z P Z < 1, 5 P Z < 1 0,933 (1 0,8413) 0,7745 ( 98 < < 103) < ( 1 < < 1,5 ) ( ) ( ) 6 (Selectividad, Caarias 016) E u iveradero que se dedica a la producció de tomates, se ha comprobado que el peso de los tomates sigue ua distribució ormal co media 100 g y desviació típica 10 g A la hora de comercializarlos se toma para la clase A los compredidos etre 80 y 10 g Hallar la probabilidad de que: a) Elegido u tomate al azar, correspoda a la clase A b) Elegidos ua docea de tomates al azar, su peso medio sea superior a 105 g Solució x 100 a) La població es N(100, 10) Se tipifica haciedo el cambio Z 10 Luego: P( 80 < x< 10) P < Z < P( < Z < ) P Z < P Z < 0,977 (1 0,977) 0,9544 ( ) ( ) b) Las medias muestrales de tamaño 1, obteidas e ua població N(100, 10), se 10 distribuye segú ua ormal N100, N( 100,,89) Se tipifica haciedo el 1 X 100 cambio Z,89 Por tato, P( X > 105) PZ > P( Z > 1, 73),89 1 P( Z < 1, 73 ) 1 0,958 0, Supogamos que la estatura media de las alumas de º de bachillerato es de 165 cm, co desviació típica 8 cm a) Halla los parámetros de las medias muestrales de tamaño 36 y 64 b) Cuál es la probabilidad de que ua muestra de 36 alumas tega ua media de 167 o más cm? Y de que ua muestra de 64 alumas supere esa misma medida? c) Tiee algo de extraño que ua muestra de tamaño 36 dé ua media de 170 cm? Los parámetros de la població vale μ165 y 8: N(165, 8) Los parámetros de la distribució de medias muestrales vale: media: X μ; desviació típica: X a) Para 36, las medias muestrales se distribuye co media X 165 y desviació típica Esto es: 165, X 36 3 N 3 8 Para 64: X 165 y 1 Esto es: N X ( 165, 1) 64 José María Martíez Mediao

13 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema b) Para 36: la N 165, 3 se tipifica mediate el cambio x 165 Z Por tato, 4/ P( x 167 ) PZ P( Z 1, 5) 1 P( Z < 1, 5) 1 0,933 0,0668 4/3 Esto sigifica que u 6,68% de las muestras de tamaño 36 tedrá ua media de estatura de 167 cm o más Para 64: la N ( 165, 1) se tipifica mediate el cambio x 165 Z x 165 Por tato, 1 P x 167 P Z ( ) ( ) P( Z ) 1 P( Z ) < 1 0,977 0,08 Las distribucioes ateriores se muestra e la adjuta /3 c) Para 36, P( x 170) P Z P( Z 3, 75) 1 P( Z < 3, 75) (Muchas tablas N(0, 1) solo alcaza hasta Z 3,49; idicado que ( ) < 0,000 P Z < 3, 49 0,9998 ) Esto idica que meos de de cada muestras superaría los 170 cm de media U resultado ta extraño o puede asumirse, auque sea probable, pues o bie la muestra está mal elegida o o procede de la població femeia estudiada 8 A pesar de acudir co cita previa, el tiempo de espera de los pacietes de ua clíica detal sigue ua distribució ormal de media descoocida y desviació típica 10 miutos A partir de ua muestra aleatoria de 144 pacietes, se obtuvo ua media de espera es de 0 miutos a) Calcula los itervalos de cofiaza del 90%, 95% y 99% para la media del tiempo de espera de la població b) Explica la relació etre la amplitud de los itervalos y el ivel de cofiaza a) El itervalo de cofiaza para la media poblacioal es IC x Zα/, x + Zα/, siedo: el tamaño muestral, x la media muestral, la desviació típica y Z α / el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1 α E este caso, se sabe que: 144, x 0 y 10 Para u ivel de cofiaza del 90%, Z α / 1,645; luego el itervalo de cofiaza será: , 645, 0 + 1,645 (0 1,37, 0 + 1,37) (18,63, 1,37) Para u ivel de cofiaza del 95%, Z α / 1,96 El itervalo de cofiaza será: ,96, 0 + 1,96 (0 1,63, 0 + 1,63) (18,37, 1,63) Para u ivel de cofiaza del 99%, Z α /,575 José María Martíez Mediao

14 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema Por tato, el itervalo de cofiaza será: ,575, 0 +,575 (0,15, 0 +,15) (17,85,,15) b) La amplitud del itervalo es Z α/, que está e relació directa co la desviació típica y co el ivel de cofiaza; y e relació iversa co la raíz cuadrada del tamaño muestral Si se matiee fijos y, solo depede del ivel de cofiaza, de Z α / Puede observarse que cuado hay meos exigecias e la cofiaza el itervalo se estrecha; e cambio, si se quiere teer más seguridad e el resultado basta co ampliar el itervalo Hay meos riesgo e afirmar que la media está etre 17,85 y,15, que e decir que está etre 18,63 y 1,37 E el primer caso la cofiaza es del 99%; e el segudo, del 90% 9 El úmero de tweet diarios geerados por jóvees de etre 16 y 4 años sigue ua distribució ormal de media descoocida y desviació típica 6 tweet Tomada ua muestra de 81 usuarios de Twitter, su media diaria ha resultado ser de 1 tweet Calcula los itervalos de cofiaza del 80% y 85% para la media de la població Para u ivel de cofiaza del 80%, Z α/ 1,8; además: 81, x 1, 6 El itervalo de cofiaza será: IC , 8, 1 + 1,8 (1 0,85, 1 + 0,85) (11,15, 1,85) Para u ivel de cofiaza del 85%, Z α/ 1,44 Por tato, el itervalo de cofiaza será: IC , 44, 1 + 1, 44 (1 0,96, 1 + 0,96) (11,04, 1,96) A lo largo de las diferetes pruebas de Selectividad se ha observado que la distribució de las calificacioes e el exame de Matemáticas sigue ua ley ormal de media 5,7 putos y desviació típica 1,8 a) Cuál es la probabilidad de que la ota de u estudiate elegido al azar sea superior a 6,3? b) Cuál es la probabilidad de que ua muestra de 49 alumos tega ua media superior a 6,5 putos? x 5,7 a) La població es N(5,7, 1,8) Se tipifica haciedo el cambio Z Por tato, 1,8 6,3 5, 7 P( x> 6,3) PZ > P( Z > 0,33) 1 P( Z < 0,33) 1, 8 1 0,693 0,3707 b) Las medias muestrales de tamaño 49 se distribuye como ua ormal N ( 5,7, 0,57) Se tipifica haciedo el cambio x 5,7 Z Por tato, 0, 57 N 5,7, 1, 8 49 José María Martíez Mediao

15 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema ,5 5, 7 P x PZ P Z P Z 0,57 ( > 6,5) > ( > 3,11) 1 ( < 3,11) 1 0,9991 0, E el último año de Selectividad (016), e ua uiversidad se tomó ua muestra aleatoria de tamaño 49, obteiédose ua ota media e el exame de Matemáticas de 5,5 putos Admitiedo que la desviació típica sigue siedo de 1,8 putos, se pide: a) U itervalo de cofiaza al 90% para la ota media de la població b) Si para esa misma cofiaza se quiere u error máximo de 0,5 putos, cuál debe ser el tamaño de la muestra? a) Para el 90% de cofiaza (1 α/ 0,9500), Z α / 1,645 Luego: IC 1, 8 1, 8 5,5 1, 645, 5,5 + 1, 645 (5,5 0,43, 5,5 + 0,43) (5,077, 5,93) b) Como el error viee dado por E Zα/, si se desea que E < 0,5, se tedrá: 1,8 1, 645 1,8 E 1, 645 < 0,5 > 35, 07 0,5 Debe tomarse ua muestra de, al meos, 36 persoas 3 Se sabe que el úmero de horas que duerme los habitates de ua ciudad se puede aproximar mediate ua distribució ormal co desviació típica de 0,64 horas Si se toma ua muestra aleatoria de tamaño 16 y se preguta por el úmero de horas que dedica a dormir se obtiee los siguietes datos: 6,5 8,5 6,5 8,5 7,5 7,0 5,5 7,5 7,5 6,5 7,0 7,0 6,5 8,0 7,5 6,0 a) Calcula la media muestral del úmero de horas que se duerme b) Halla el itervalo de cofiaza para la media de la població co ua cofiaza del 95% c) Si el que el itervalo de cofiaza para la media es (6,7, 7,48) horas, co qué ivel de cofiaza se da? a) La media se halla sumado los 16 valores dados y dividiedo por 16 6,5+ 8,5+ 6, ,5+ 6 x 7,09 16 b) Como 16, 0,64 y Z α / 1,96, el itervalo de cofiaza de la media poblacioal es: 0,64 0,64 7, 09 1,96, 7, ,96 ( 7, 09 0,31, 7, ,31) ( 6, 78, 7, 4) ,64 c) La achura del itervalo (6,7, 7,48) es 7,48 6,7 0,78 h Este valor es igual Z α / 16 Por tato, Zα/ 0,16 0, 78 Zα/, 4375 E la tabla ormal, para Z α /,4375,44 se obtiee el valor 0,997 Esto implica que α/ 1 0,997 0,0073 α 0,0146 La cofiaza es 1 0,0146 0,9854; esto es, del 98,54% José María Martíez Mediao

16 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema (Selectividad Castilla la Macha, 016) Se estudió el cociete itelectual de 10 estudiates de ª de Bachillerato elegidos aleatoriamete de u determiado cetro escolar, siedo estos valores: 80, 96, 87, 104, 105, 99, 11, 89, 90, 100 Sabiedo que el cociete itelectual se distribuye segú ua ormal co desviació típica 15, se pide: a) Halla el itervalo de cofiaza al ivel del 95% para la media del cociete itelectual de los estudiates de º de Bachillerato de dicho cetro escolar b) Razoa y explica qué se podría hacer para que el itervalo de cofiaza tuviera meor amplitud co el mismo ivel de cofiaza a) La media de la muestra es: x 96, 10 Luego, el itervalo de cofiaza de la media poblacioal será: , 1,96, 96, + 1,96 ( 96, 9,3, 96,+9,3) ( 86,9, 105,5) b) La amplitud del itervalo es Z α/, que depede de la desviació típica, de la cofiaza y del tamaño muestral E este caso, como 15 o puede cambiarse, la amplitud puede dismiuirse aumetado el tamaño muestral,, o dismiuyedo la cofiaza (el valor de Z α /) Por tato, si se quiere mateer la cofiaza, la úica maera sería aumetar 34 El peso de los paquetes de espagueti de ua determiada marca, sigue ua distribució ormal co desviació típica 0 gramos Se seleccioa al azar 50 paquetes de esos espaguetis y se observa que tiee u peso medio de 745 gramos Halla el itervalo de cofiaza para el peso medio de los paquetes de espaguetis de esa marca co u ivel de cofiaza del 97% Para x 745 g, 0 g, 50 y, para el 97% de cofiaza (1 α/ 0,9850), Z α /,17, el itervalo de cofiaza de la media poblacioal es: x Zα/, x + Zα/ ,17, , (745 6,14, ,14) (738,86, 751,14) Es u itervalo de amplitud 1,8 gramos 35 Se realiza ua ecuesta a 100 trabajadores, meores de 5 años, sobre su sueldo mesual, obteiédose ua media de 900 co ua desviació típica de 10 a) Cuál es el itervalo de cofiaza para la media de igresos de los trabajadores de ese sector, co u ivel de cofiaza del 9%? b) Cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra ecesario para estimar la media de igresos mesuales co u error meor de 0 y co ua cofiaza del 94%? a) Para x 900, 10, 100 y, para el 9 % de cofiaza, Z α / 1,75, el itervalo será: x Zα/, x + Zα/ , 75, 900+1, José María Martíez Mediao

17 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema ( 900 1, ) ( 879, 91) La media de igresos de los trabajadores meores de 5 años estará etre 879 y 91, co ua cofiaza del 9% b) La expresió que permite determiar es E Z α /, dode E es el error admitido Para ua cofiaza del 94%, Z α / 1,88, 10 y E < 0, se tedrá: 10 1,88 0 < 1, , 0 El tamaño muestral míimo debe ser El gasto familiar medio e material escolar (por hijo) sigue ua distribució ormal co desviació típica 50 A partir de ua muestra de 100 persoas se ha obteido u gasto medio de 35 euros a) Halla u itervalo de cofiaza al 95% para el gasto medio por hijo b) Qué tamaño deberá teer la muestra para obteer u itervalo de cofiaza al 99% co ua amplitud igual a la aterior? a) E este caso: x 35, 50, 100 y Z α / 1,96 Por tato, el itervalo de cofiaza pedido es, ,96, ,96 (35 9,8, ,8) (315,, 334,8) b) E el itervalo hallado el error admitido es 9,8 Si se desea mateer el mismo error aumetado la cofiaza al 99%, el tamaño muestral debe aumetar tambié Para ua cofiaza del 99%, Z α /,575, 50 y E 9,8, se tedrá: 50, E Z α /,575 9, 8 17, 6 9,8 El tamaño muestral debe ser 173 o superior 37 (Selectividad, La Rioja 01) La valoració de las istitucioes por parte de los ciudadaos se mide e uas uidades ficticias que deomiaremos u Se sabe que, e el caso de los españoles, dicha valoració sigue ua ormal co desviació típica 5 u a) Se elige ua muestra de 100 españoles, dado ua media de 180 u Calcula u itervalo de cofiaza para la media poblacioal de la valoració de las istitucioes, co ua probabilidad del 90% b) Si se cooce que la media poblacioal es 18 u, calcula la probabilidad de que ua muestra de tamaño 100 tega media iferior a 180 u a) Para el 90% de cofiaza, Z α / 1,645; como 5, x 180 y 100, el itervalo pedido será: , 645, , 645 (180 4,1, ,1) (175,9, 184,1) José María Martíez Mediao

18 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema 10 1 b) Las medias muestrales de tamaño 100, obteidas e ua població N(18, 5), se 5 distribuye segú la ormal N18, N( 18,,5) 100 X 18 Esta ormal se tipifica haciedo el cambio Z,5 Por tato, P( X < 180) PZ < P( Z < 0,8) 1 P( Z < 0,8),5 1 0,7881 0, E la lotería avideña, ua muestra aleatoria de 10 persoas mayores de edad, jugaro las siguietes catidades (e euros): 74, 7, 65, 75, 80, 81, 8, 84, 87, 90 Sabiedo que el gasto por persoa, e la lotería avideña, sigue ua distribució ormal co desviació típica 0, halla u itervalo de cofiaza para el gasto medio de la població co u ivel de cofiaza del 95,44% La media muestral es: x Como 0 euros, 10 y, para el 95,44% de cofiaza (1 α/ 0,977), Z α /, se tiee: IC , 79 + (79 1,65, ,65) (66,35, 91,65) La edad de los atletas participates e la última olimpiada seguía ua distribució ormal co desviació típica de 5 años Ua muestra aleatoria de 150 atletas dio como resultado ua media de edad de 5,4 años a) Halla el itervalo de cofiaza del 94% para la media de edad de todos los atletas olímpicos b) Cuál fue el tamaño míimo de ua la muestra si se exigió estimar la media co u ivel de cofiaza del 9% y co u error máximo de 0,5 años? a) Los datos so: x 5,4, 5, 150 y, para el 94% de cofiaza (1 α/ 0,9700), Z α / 1,88 Por tato: IC 5 5 5, 4 1,88, 5,4 + 1,88 (5,4 0,77, 5,4 + 0,77) (4,63, 6,17) b) El error admitido E, viee dado por E Zα/ Para ua cofiaza del 9%, Z α / 1,75, 5 y E < 0,5, se tedrá: 5 1, 75 0,5 < 1, 75 5 > 17,5 > 306,5 0,5 El tamaño míimo de la muestra fue de 307 atletas José María Martíez Mediao

19 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema (Selectividad, Adalucía 013) El tiempo que los españoles dedica a ver la televisió los domigos es ua variable aleatoria que sigue ua distribució Normal de media descoocida y desviació típica 75 miutos Elegida ua muestra aleatoria de españoles se ha obteido, para la media de esa distribució, el itervalo de cofiaza (188,18, 08,8), co u ivel del 99% a) Calcula la media muestral y el tamaño de la muestra b) Calcula el error máximo permitido si se hubiese utilizado ua muestra de tamaño 500 y u ivel de cofiaza del 96% a) La media es el puto medio del itervalo de cofiaza (188,18, 08,8): 188, ,8 x 198,5 La amplitud del itervalo es Z α/ 08,8 188,18 0,64 Como 75 y Z α /,575 75,575 0, 64 El tamaño de la muestra fue de 350 persoas b) El error máximo es E Z α / Para 75, 500 y 1 α 0,96, Z α /,05, se tedrá: Esto es, la media de la població será: µ 198,5 ± 6,88 386, ,64 75 E, 05 6, (Selectividad, Catabria 014) a) El tiempo diario que los estudiates de bachillerato de Catabria dedica al estudio e las dos semaas previas al iicio de los exámees de Selectividad de la covocatoria de juio, sigue ua distribució ormal de media descoocida y desviació típica 15 miutos Para estimar el tiempo medio se elije ua muestra de 300 alumos Co qué ivel de cofiaza debe realizarse la estimació si el error cometido es de 1,88 miutos? b) Co vistas a la covocatoria de septiembre del mismo año se realiza u aálisis similar El tiempo diario que los estudiates destia al estudio las dos semaas ateriores al iicio de los exámees, sigue ua distribució ormal co desviació típica 11 miutos Co ua muestra aleatoria de 150 alumos se ha obteido u tiempo medio de 173 miutos Obteer el itervalo de cofiaza del 93% para el tiempo medio de estudio a) El error admitido es E Zα/ 1, , Como se sabe que 15 y 300 Zα/ 1,88 Zα/, Para Z α /,17 1 α/ 0,9850 α 0,03 La estimació se ha hecho co u ivel de cofiaza del 97% b) Para ua cofiaza del 93%, 1 α/ 0,9650 α / Z 1,81 Tambié se sabe que 11, x 173 y 150 Por tato, el itervalo pedido es, José María Martíez Mediao

20 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema IC ,81, , (173 1,63, ,63) (171,37, 174,63) Distribució de la proporció: Itervalo de cofiaza; Error, Tamaño muestral 4 E uas eleccioes a alcalde, el 56% de los votates optó por el cadidato A mietras que el 44% lo hizo por el cadidato B a) Halla la distribució de probabilidad de las muestras de tamaño 50 extraídas de da població Haz lo mismo para 100 b) Calcula la probabilidad de que e ua muestra de 50 votates haya, al meos, 30 favorables al cadidato A c) Si la muestra es de tamaño 100, cuáto es la probabilidad de que ua mayoría apoye al cadidato B? a) La proporció de la població, para el cadidato A, es p 0,56; q 0,44 La proporció de las muestras de tamaño 50 se distribuye segú la ormal: pq 0,56 0, 44 N p, N 0,56, N( 0,56, 0,07) 50 0,56 0, 44 La proporció de las muestras de tamaño 100 será N 0,56, N( 0,56, 0,05) b) 30 votates a favor de A, etre 50, supoe p ˆ 0,6 ; luego 50 hay que calcular, 0, 6 0,56 P( pˆ 0,6) PZ 0,07 P Z 0,57 1 P Z < 0,57 1 0,7157 0,843 ( ) ( ) c) La mayoría para el cadidato B equivale a que la proporció a favor de A sea iferior a 0,5; esto es p ˆ < 0,5, para la N(0,56, 0,05) Esta probabilidad vale, 0,5 0,56 P( pˆ < 0,5) PZ < P Z < 1, 1 P Z < 1, 0,05 ( ) ( ) 1 0,8849 0, De ua muestra aleatoria de 10 graduados uiversitarios, 15 de ellos o ha coseguido trabajo después de u año de su graduació a) Halla el itervalo de cofiaza, al 99%, para estimar la proporció de graduados que sí ha ecotrado trabajo trascurrido u año de su graduació b) Para la misma cofiaza, cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra para estimar la proporció de graduados co trabajo, admitiedo u error máximo del 5%? José María Martíez Mediao

21 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema La proporció muestral de graduados si trabajo es: q ˆ 0, 15 La proporció de 10 graduados co trabajo es: p ˆ 1 0,15 0, 875 a) El itervalo de cofiaza para la proporció de la població es: pq pq ˆ(1 ˆ) ˆ(1 ˆ) p Zα/, p+ Zα/ ˆ p p ˆ /, p IC p Z p Z p α + α/ E este caso: Z α /,575; pˆ 0,875, q 0,15, y 10 Luego, el itervalo de cofiaza para estimar la proporció de graduados co trabajo será: 0,875 0,15 0,875 0,15 0,875,575, 0,875 +, (0,875 0,078, 0, ,078) (0,797, 0,953) pq b) El error admitido máximo es E Zα/ Si se desea que E < 0,05 0,875 0,15 0,875 0,15 0,05 <,575 >,575 > 90,1 0,05 El tamaño míimo debe ser 91 posgraduados 44 Se quiere estimar la proporció de persoas que espera que su situació ecoómica mejore el año próximo Para ello se ha pregutado a 500 persoas de esa població, de las 175 espera que su situació ecoómica mejore: so optimistas a) Calcula u itervalo de cofiaza para la proporció de persoas optimistas e esta població, co u ivel de cofiaza del 94% b) Si ates de coocer el resultado se quiere determiar u itervalo de cofiaza co el mismo ivel (94%) y u error máximo de 0,0, cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra? a) La proporció de optimistas e la muestra es 175 p ˆ 0,35 Por tato, debe estudiarse 500 como ua biomial B(500, 0,35) E este caso, para el 94% de cofiaza, Z α / 1,88; pˆ 0,35, ˆq 0,65 y 500, el itervalo de cofiaza para estimar la proporció de optimistas será: 0,35 0, 65 0,35 0, 65 0,35 1,88, 0,35 + 1, (0,35 0,04, 0,35 + 0,04) (0,31, 0,39) b) Si o se cooce la proporció de optimistas puede supoerse p q 0,50 pq El error admitido E, viee dado por E Zα/ 0,5 0,5 0,5 0,5 Si se desea que E < 0,0 0, 0 > 1,88 > 1, 88 > 009 0,0 El tamaño míimo debe ser 010 persoas José María Martíez Mediao

22 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema Para estimar el grado de satisfacció de sus clietes, ua compañía de reparto realiza ua ecuesta aleatoria etre 1 de sus clietes De ellos, 103 declararo estar satisfechos a) Cuál es la estimació de la proporció de clietes satisfechos? b) Halla el itervalo de cofiaza al 99% para la estimació de la proporció de clietes satisfechos 103 a) La proporció de clietes satisfechos es: p ˆ 0,844 1 b) Para el 99% de cofiaza, Z α /,575; pˆ 0,844 y 1, se obtiee el itervalo: 0,844 0,156 0,844 0,156 IC 0,844,575, 0,844, ,844 0, 085, 0, , 085 0, 759, 0,99 ( ) ( ) 46 (Selectividad, Caarias 014) E ua zoa escolar, para ua muestra de 00 alumos, 30 so repetidores a) Costruir u itervalo de cofiaza co u ivel del 95%, para estimar la proporció de alumos repetidores b) Si se igora los datos iiciales y co u ivel de cofiaza del 90%, cuál es el tamaño míimo muestral para estimar la proporció de alumos repetidores co u error máximo del %? 30 a) La proporció de repetidores es: p ˆ 0,15 00 Para el 95% de cofiaza, Z α / 1,96; pˆ 0,15, ˆq 0,85; y 1, el itervalo de cofiaza para la proporció p de la població es: 0,15 0,85 0,15 0,85 IC 0,15 1,96, 0,15 1, (0,15 0,05, 0,15 + 0,05) (0,15, 0,175) b) Si se igora los datos ateriores, la mayor garatía se obtiee partiedo que de p q 0,50 pq Como el error viee dado por E Zα/ Si se desea que E < 0,0, como para el 90%, 0,5 0,5 1, 645 0,5 Z α / 1,645 E 1, 645 < 0, 0 > 60 0,0 Debe tomarse ua muestra de, al meos, 60 alumos 47 E ua ecuesta realizada a 70 jóvees, 14 se declararo cotrarios a la Uió Europea Halla u itervalo de cofiaza del 9% para determiar el porcetaje de la proporció de jóvees que es cotrario a la UE José María Martíez Mediao

23 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema La proporció muestral de jóvees cotrarios a la UE es: p ˆ 0, q ˆ 0,8 Para ua 70 cofiaza del 9%, Z α / 1,75 Por tato, el itervalo de cofiaza para la proporció de la població es: 0, 0,8 0, 0,8 0, 1, 75, 0, + 1, (0, 0,048, 0, + 0,048) (0,15, 0,48) El porcetaje de jóvees cotrarios a la UE está etre el 15,% y el 4,48% 48 E ua ecuesta telefóica realizada a 15 persoas, 35 de ellas declara que el problema del paro juveil es el más preocupate a) Halla u itervalo de cofiaza, co ua sigificació α 0,06, para obteer el porcetaje de la població que sitúa el problema del paro juveil como el más preocupate b) Si la ecuesta se hubiese realizado a 900 persoas y se hubiese obteido u valor de p ˆ 0, 8, para la misma cofiaza, qué marge de error se estaría asumiedo? 35 a) La proporció muestral de persoas preocupadas por el paro juveil es p ˆ 0, 8 15 q ˆ 0,7 Para α 0,06, 1 α/ 0,97, luego Z α / 1,88 Por tato, el itervalo de cofiaza para la proporció de la població es: pq pq 0, 8 0,7 0, 8 0,7 p Zα/, p+ Zα/ 0, 8 1,88, 0, 8 + 1, (0,8 0,076, 0,8 + 0,076) (0,04, 0,356) El porcetaje oscila etre el 0,4% y el 35,6% pq b) El error es E Zα/ El error máximo es del,8% 0, 8 0,7 1,88 0, (Selectividad, Murcia 016) Para estimar la proporció de idividuos de ua població que utiliza el comercio electróico se ha realizado ua ecuesta a ua muestra aleatoria de 00 idividuos, de los cuales 90 ha respodido que utiliza el comercio electróico Co estos datos, hallar u itervalo de cofiaza del 95% para la proporció de idividuos de la població que utiliza el comercio electróico 90 La proporció muestral es p ˆ 0, 45 q ˆ 0,55 00 Para el 95% de cofiaza, Z α / 1,96 Por tato, el itervalo de cofiaza para la proporció de la població es: 0, 45 0,55 0, 45 0,55 0, 45 1,96, 0, , (0,45 0,069, 0,45 + 0,069) (0,381, 0,519) José María Martíez Mediao

24 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema Otros problemas 50 Ua variable aleatoria se distribuye ormalmete co desviació típica coocida Halla el valor de sabiedo que a partir de ua muestra aleatoria simple de tamaño 100, se ha obteido ua media de 5 y se dice que (4,0, 5,98) es el itervalo de cofiaza para la media poblacioal, co u ivel de sigificació 0,05 El itervalo de cofiaza de la media poblacioal, para las muestras de tamaño muestral, de media x y desviació típica es x Zα/, x + Zα/ Para x 5, 100 y, para el 95 % de cofiaza, Z α / 1,96, el itervalo será: 5 1,96, 5 + 1,96 (4,0, 5,98) 1,96 0, La desviació típica 5 51 (Selectividad, Madrid 01) Se supoe que el gasto que hace los idividuos de ua determiada població e regalos de Navidad se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de media µ y desviació típica igual a 45 euros a) Se toma ua muestra aleatoria simple y se obtiee el itervalo de cofiaza (51,6, 71,) para µ, co u ivel de cofiaza del 95% Calcula la media muestral y el tamaño de la muestra elegida b) Se toma ua muestra aleatoria simple de tamaño 64 para estimar μ Calcula el error máximo cometido por esa estimació co u ivel de cofiaza del 90% 51,6 + 71, a) La media es el puto medio del itervalo: x 61,6 La amplitud del itervalo es Z α/ 71, 51,6 19,6 Como 50 y Z α / 1,96 b) El error máximo es E Z α 50 1,96 19, 6 / Para 50, 64 y 1 α 0,90, Z α / 1,645, se tedrá: ,6 50 E 1, , (Selectividad, Castilla La Macha 014) E u aeropuerto, el tiempo de espera de u viajero frete a la cita trasportadora hasta que sale su maleta sigue ua distribució ormal de media descoocida y desviació típica 3 miutos Se tomó ua muestra aleatoria de 50 viajeros, y se observó que el tiempo medio de espera era de 17 miutos a) Halla u itervalo de cofiaza para la media poblacioal del tiempo de espera de la maleta e ese aeropuerto co u ivel de cofiaza del 95% b) Se puede admitir que la media poblacioal sea µ 16 co u ivel de cofiaza del 95%? Cómo podríamos dismiuir la amplitud del itervalo de cofiaza si variar el ivel de cofiaza? Razoa tus respuestas José María Martíez Mediao

25 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema a) El itervalo de cofiaza de la media poblacioal es: IC x Zα/, x + Zα/ Se cooce: x 17, 3, 50 y, para el 95% de cofiaza, Z α / 1,96 Por tato, el itervalo pedido es, IC ,96, ,96 (17 0,83, ,83) (16,17, 17,83) b) Es muy improbable que la media poblacioal sea µ 16, pues queda fuera del itervalo de cofiaza La probabilidad de que µ 16 es iferior a 0,05 La amplitud es Z α/ Si o se varia la cofiaza, se dismiuye aumetado Observació Podría recordarse que las medias muestrales, de tamaño, obteidas e ua població N(µ ), se distribuye segú ua ormal N µ, 3 X 17 E este caso: N17, N( 17, 0,44) Se tipifica haciedo el cambio Z 50 0, 44 Por tato, P( X 16) PZ < P( Z <,35) 1 P( Z <,35) 0,44 1 0,9906 0, El ivel medio de colesterol (e mg/dl) e idividuos saos depede de la edad y el sexo; para los hombres co meos de 1 años su distribució es ormal co media μ 160 y desviació típica 10 U ivel fuera de μ ± resulta extra ño: idica que puede haber algua aomalía Lo mismo cabe decir de las muestras: u ivel muestral fuera de µ± X resulta extraño a) Cuál es el itervalo de probabilidad admisible (o extraño) para las muestras de tamaño: 1; 9 y 100 b) Qué porcetaje de idividuos o muestras cae e los itervalos hallados? a) Para 1, las muestras so de idividuos, y su ivel de colesterol es N(160, 10), de dode el itervalo pedido será: (160 10, ) (140, 180) 10 Las muestras de tamaño 9 se distribuye segú la ormal N160, N(160, 3,3) 9 El itervalo será: 160 3,3, ,3 153, 4, 166, 6 ( ) ( ) Las muestras de tamaño 100 se ajusta a la ormal Siedo el itervalo: 160 1, , 16 ( ) ( ) 10 N160, N(160, 1) 100 b) El valor de probabilidad correspodiete a Z α/ es 0,9544, luego el 95,44% de las muestras de tamaño 1, 9 o 100 de idividuos saos debe teer uos iveles de colesterol etre 150 y 170, etre 153,4 y 166,6 o etre 158 y 16, respectivamete José María Martíez Mediao

26 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Solucioes de los problemas propuestos Tema (De u exame MIR) Se desea coocer la media de la colesterolemia basal de ua població, co ua seguridad del 95% y ua precisió de ± 4 mg/dl (error), y se tiee iformació por u estudio piloto o revisió bibliográfica de que la variaza es de 300 mg/dl Cuál debe ser el tamaño muestral? Para u ivel de cofiaza del 95%, Z α / 1,96; el error E < 4 Se parte de que 300 Como el error viee dado por E Zα/ Si se desea que E < 4, se tedrá: 300 1, E 1,96 < 4 > 7, 03 4 Debe tomarse ua muestra de, al meos, 73 persoas 55 El perímetro torácico de los idividuos adultos (hombres) e ua població se distribuye ormalmete co desviació típica 6 cm Si a partir de ua muestra de tamaño se afirma que el itervalo de cofiaza al 88% es (87, 91), cuál fue el tamaño de la muestra estudiada? La amplitud el itervalo, que es 4 cm, viee dada por Z α/ Como para el 88% de cofiaza, Z α / 1,555 (1 α/ 0,94), se tiee 6 1, , , 76 4 El tamaño muestral debe ser de hombres 56 La ficha técica de ua ecuesta idica: Uiverso: Mayores de 18 años Ámbito: Nacioal Muestra: 1000 etrevistas co u marge de error ±3,16 para datos globales, co u ivel de cofiaza del 95,5% (dos sigma) y u p/q 50/50 Selecció: Estratificada, aleatoria Etrevista; Telefóica Fecha de trabajo de campo: del 16 al 18 de febrero de 016 Realizació: SIGMA DOS Direcció: José Miguel de Elías Comprueba si el marge de error es el idicado pq El error viee dado por E Zα/ Sustituyedo los valores idica dos: 0,5 0,5 E 0,0316 3,16% 1000 Efectivamete, el error está dado correctamete Observacioes: 1 La idicació dos sigma, Z α /, se correspode co u ivel de cofiaza del 95,44% La idicació p/q 50/50 expresa que iicialmete o se tiee datos de los valores de p y q; por eso, para teer dar más amplitud al itervalo se toma p q 0,5 3 Tambié se podría objetar sobre el método de las etrevistas telefóica: da ua mayor agilidad a la recogida de datos, y es más barato; pero puede geerar dudas sobre su fiabilidad 57 Si a la empresa ecuestadora le exige u marge de error de ±3, cuál debe ser el tamaño muestra? (Los demás parámetros permaece iguales) José María Martíez Mediao