UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD OPCIÓN A

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1 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Istruccioes: a) Duració: 1 hora y 30 miutos. b) Elija ua de las dos opcioes propuestas y coteste los ejercicios de la opció elegida. c) E cada ejercicio, parte o apartado se idica la putuació máxima que le correspode. d) Se permitirá el uso de calculadoras que o sea programables, gráficas i co capacidad para almacear o trasmitir datos. e) Si obtiee resultados directamete co la calculadora, explique co detalle los pasos ecesarios para su obteció si su ayuda. Justifique las respuestas.. OPCIÓN A EJERCICIO Sea las matrices A = y B = a b 3 0 a) (1.5 putos) Obtega a y b sabiedo que A 5 =. Es A simétrica? 1 b) (1.5 putos) Para los valores a = 3 y b = 1 calcule la matriz X tal que A B = (X 3I ). EJERCICIO Los beeficios de ua empresa e sus primeros 8 años viee dados, e milloes de euros, por la fució 3 t B(t) = 3t 9t, 0 t 8 4 dode la variable t idica el tiempo trascurrido, e años, desde su fudació. a) (1.5 putos) Estudie la mootoía y los extremos de B(t). b) (1 puto) Dibuje la gráfica de B(t) e el itervalo [0, 8] y explique, a partir de ella, la evolució de los beeficios de esta empresa e sus 8 años de existecia. EJERCICIO 3 El 55% de los alumos de u cetro docete utiliza e su desplazamieto trasporte público, el 30% usa vehículo propio y el resto va adado. El 65% de los que utiliza trasporte público so mujeres, el 70% de los que usa vehículo propio so hombres y el 5% de los que va adado so mujeres. a) (1.5 putos) Elegido al azar u alumo de ese cetro, calcule la probabilidad de que sea hombre. b) (1 puto) Elegido al azar u hombre, alumo de ese cetro, cuál es la probabilidad de que vaya adado?. EJERCICIO 4 Se quiere estimar la proporció de hembras etre los peces de ua piscifactoría; para ello se ha tomado ua muestra aleatoria de 500 peces, y e ella hay 175 hembras. a) (1.5 putos) Calcule u itervalo de cofiaza para la proporció de hembras e esta població de peces, co u ivel de cofiaza del 94%. b) (1 puto) A la vista del resultado del muestreo se quiere repetir la experiecia para coseguir u itervalo de cofiaza co el mismo ivel y u error máximo de 0.0, cuál es el tamaño míimo que debe teer la ueva muestra?

2 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Istruccioes: a) Duració: 1 hora y 30 miutos. b) Elija ua de las dos opcioes propuestas y coteste los ejercicios de la opció elegida. c) E cada ejercicio, parte o apartado se idica la putuació máxima que le correspode. d) Se permitirá el uso de calculadoras que o sea programables, gráficas i co capacidad para almacear o trasmitir datos. e) Si obtiee resultados directamete co la calculadora, explique co detalle los pasos ecesarios para su obteció si su ayuda. Justifique las respuestas.. OPCIÓN B EJERCICIO 1 U fabricate de tapices dispoe de 500 kg de hilo de seda, 400 kg de hilo de plata y 5 kg de hilo de oro. Desea fabricar dos tipos de tapices: A y B. Para los del tipo A se ecesita 1 kg de hilo de seda y kg de hilo de plata, y para los del tipo B, kg de hilo de seda, 1 kg de hilo de plata y 1 kg de hilo de oro. Cada tapiz del tipo A se vede a 000 euros y cada tapiz del tipo B a 3000 euros. Si se vede todo lo que se fabrica, a) ( putos) cuátos tapices de cada tipo ha de fabricar para que el beeficio sea máximo y cuál es ese beeficio?. b) (0.5 putos) Qué catidad de hilo de cada clase quedará cuado se fabrique el úmero de tapices que proporcioa el máximo beeficio?. EJERCICIO Sea f(x) ua fució cuya fució derivada, f '(x), tiee por gráfica ua parábola que corta al eje OX e los putos ( 1, 0) y (5, 0) y co vértice (, 4). a) (1 puto) Estudie razoadamete la mootoía de f (x). b) (0.5 putos) Determie las abscisas de los extremos relativos de la fució f (x). c) (1 puto) Halle la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f (x) e el puto de abscisa x =, sabiedo que f () = 5. EJERCICIO 3 De los sucesos aleatorios idepedietes A y B se sabe que A) = 0.3 y que B C ) = 0.5. Calcule las siguietes probabilidades: a) (0.75 putos) A B). b) (0.75 putos) A C B C ). c) (1 puto) A / B C ). EJERCICIO 4 El tiempo que los españoles dedica a ver la televisió los domigos es ua variable aleatoria que sigue ua distribució Normal de media descoocida y desviació típica 75 miutos. Elegida ua muestra aleatoria de españoles se ha obteido, para la media de esa distribució, el itervalo de cofiaza (188.18, 08.8), co u ivel del 99%. a) (1.5 putos) Calcule la media muestral y el tamaño de la muestra. b) (1 puto) Calcule el error máximo permitido si se hubiese utilizado ua muestra de tamaño 500 y u ivel de cofiaza del 96%.

3 PAU Matemáticas aplicadas a las CC.SS. II Juio de 013 OPCIÓN A SOLUCIONES EJERCICIO Sea las matrices A = y B = a b 3 0 a) (1.5 putos) Obtega a y b sabiedo que A 5 =. Es A simétrica? 1 Efectuamos el producto matricial A e igualamos al resultado que os da: A a b 5 = = = a b a b a ab a b 1 Para que dos matrices coicida, todas sus posicioes debe ser iguales: 4 a 5 b a ab a b 1 Estamos ate u sistema superdetermiado, puesto que teemos más ecuacioes que icógitas. Las solucioes que ecotremos debe valer para las 4 ecuacioes. De las dos primeras, obteemos a y b: 4 a = 5 a = 1; + b = b = 0 Las otras dos ecuacioes parece teer más de ua solució, puesto que o so lieales. Pero las que hemos resuelto sólo tiee ésta. Si las otras dos tuviese algua más, o os valdría para éstas. Si embargo, la solució obteida sí que resuelve las ecuacioes 3ª y 4ª. Por cosiguiete, so la solució úica del sistema: a = 1 co b = 0 Por tato: 1 A =, que es simétrica, puesto que A = A t. 1 0 b) (1.5 putos) Para los valores a = 3 y b = 1 calcule la matriz X tal que A B = (X 3I ) Despejado: A B = (X 3I ) A B = (X 3I ) A B = X 3I 1 1 A B + 3I = X 3I + 3I A B + 3I = X Por tato: X = = IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia 1 de / 1 + = / EJERCICIO Los beeficios de ua empresa e sus primeros 8 años viee dados, e milloes de euros, por la fució 3 t B(t) = 3t 9t, 0 t 8 4 dode la variable t idica el tiempo trascurrido, e años, desde su fudació.

4 PAU Matemáticas aplicadas a las CC.SS. II Juio de 013 a) (1.5 putos) Estudie la mootoía y los extremos de B(t). Para estudiar la mootoía, derivamos: B'(t) = 3 t 6t 9 4 Discotiuidades de B ó B': No tiee, puesto que ambas so poliómicas. B'(t) = 0: 3t 4t + 36 = 0 (hemos multiplicado por 4 ambos miembros) t 8t + 1 = 0 t = ó t = 6. Dividimos el domiio e itervalos mediate los putos obteidos. E cada uo de esos itervalos está garatizado que el sigo de B' es el mismo e cualquier puto. Elegimos u puto cualquiera de cada itervalo y lo llevamos a B'. Así averiguamos su sigo e el itervalo e cuestió y, por tato, sabremos la mootoía de B e el mismo: (0, ) (, 6) 6 (6, 8) B ' B Máx Mí Así, llevado las abscisas de los extremos relativos a B, sabemos que tiee: Máximo relativo e (, 8) míimo relativo e (6, 0) b) (1 puto) Dibuje la gráfica de B(t) e el itervalo [0, 8] y explique, a partir de ella, la evolució de los beeficios de esta empresa e sus 8 años de existecia. Hallamos los cortes co los ejes de coordeadas y los putos e los extremos del itervalo dode está defiida: 3 t B(t) = 0 3t 9t = 0 t 3 1t 36t 0 4 t 0 ó t ( t 1t 36) 0 t 1t 36 0 t 6 Luego corta e (0, 0) y (6, 0) al eje OX. Y tambié teemos el corte co OY: el orige de coordeadas. El mismo valor es el comiezo de la curva, pues es el extremo iferior del itervalo que costituye el domiio: [0, 8]. El otro valor es (8, 8), como se obtiee calculado B(8) = 8. Por último, calculamos la curvatura. 3t B"(t) = 6 o Discotiuidades de B, B', B": No tiee (so poliómicas). o B"(t) = 0: 3t 1 = 0 t = 4. Dividimos el domiio e itervalos: (0, 4) 4 (4, 8) B " 0 + B P.I. Tiee u puto de iflexió e (4, 4). Co ello, teemos la gráfica completa. A la vista de la misma, deducimos: Los beeficios comieza e 0 al pricipio, crece cotiuamete hasta u máximo (absoluto y relativo) e el año, siedo de 8 milloes. Desde ahí, decrece hasta ser uevamete 0 e el año 6. Desde etoces, o para de aumetar hasta valer uevamete 8 milloes (otro máximo absoluto) e el año 8. IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia de 4

5 PAU Matemáticas aplicadas a las CC.SS. II Juio de 013 EJERCICIO 3 El 55% de los alumos de u cetro docete utiliza e su desplazamieto trasporte público, el 30% usa vehículo propio y el resto va adado. El 65% de los que utiliza trasporte público so mujeres, el 70% de los que usa vehículo propio so hombres y el 5% de los que va adado so mujeres. a) (1.5 putos) Elegido al azar u alumo de ese cetro, calcule la probabilidad de que sea hombre. Este problema, al tratar dos experimetos aleatorios relacioados, dode el primero puede teer los resultados: P = va e trasporte público; V = e vehículo propio; A = adado P 0.65 y el segudo: H = es hombre; M = es mujer es susceptible de tratarse co u diagrama de árbol. Al costruirlo teemos e cueta que las probabilidades de todas las ramas que parte del mismo orige debe sumar 1. V De este modo, por el Teorema de la Probabilidad Total, la probabilidad de u suceso termial del árbol, si codicioar a 0.7 ada, es la suma de los productos de las probabilidades de las 0.15 ramas que se recorre desde el iicio del árbol a la izquierda 0.5 hasta cada vez que aparece e la derecha. Etoces: A H) = = b) (1 puto) Elegido al azar u hombre, alumo de ese cetro, cuál es la probabilidad de que vaya adado?. Por la Fórmula de Bayes, que o es más que aplicar el Axioma de la Probabilidad Codicioada, se tiee: A H ) A/H) = = = H ) EJERCICIO 4 Se quiere estimar la proporció de hembras etre los peces de ua piscifactoría; para ello se ha tomado ua muestra aleatoria de 500 peces, y e ella hay 175 hembras. a) (1.5 putos) Calcule u itervalo de cofiaza para la proporció de hembras e esta població de peces, co u ivel de cofiaza del 94%. Teemos: 175 = 500; p ˆ 0. 35; q ˆ Como 1 = 0.94 = = 0.97 Z/ = 1.88 (buscádolo e el iterior de las tablas de la N(0;1)). Por tato, como la fórmula del itervalo de cofiaza es: pˆ(1 pˆ) pˆ(1 pˆ) pˆ z pˆ, z Teemos que, al 94%: 0.48 H M H M H M IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia 3 de 4

6 PAU Matemáticas aplicadas a las CC.SS. II Juio de 013 p , = (0.3099, ) b) (1 puto) A la vista del resultado del muestreo se quiere repetir la experiecia para coseguir u itervalo de cofiaza co el mismo ivel y u error máximo de 0.0, cuál es el tamaño míimo que debe teer la ueva muestra? pˆ(1 pˆ) pq ˆ ˆ E = z < 0.0 z 0. 0 z pˆq ˆ > = = El primer valor válido (o podemos teer ua muestra de tamaño que o sea u úmero atural) es, pues: = 011. IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia 4 de 4

7 PAU Matemáticas aplicadas a las CC.SS. II Juio de 013 OPCIÓN B SOLUCIONES EJERCICIO 1 U fabricate de tapices dispoe de 500 kg de hilo de seda, 400 kg de hilo de plata y 5 kg de hilo de oro. Desea fabricar dos tipos de tapices: A y B. Para los del tipo A se ecesita 1 kg de hilo de seda y kg de hilo de plata, y para los del tipo B, kg de hilo de seda, 1 kg de hilo de plata y 1 kg de hilo de oro. Cada tapiz del tipo A se vede a 000 euros y cada tapiz del tipo B a 3000 euros. Si se vede todo lo que se fabrica, a) ( putos) cuátos tapices de cada tipo ha de fabricar para que el beeficio sea máximo y cuál es ese beeficio?. Llevamos los datos del euciado a ua tabla: Nº a fabricar Seda (kg) Plata (kg) Oro (kg) Igresos Tapices tipo A x Tapices tipo B y Restriccioes: x 0; y 0 x + y 500 x + y 400 y 5 F(x, y) = 000x y Maximizar Dode aparece ya todas las restriccioes y la fució objetivo. Es preciso cometar que e el euciado se cofude Igresos co Beeficios, y os vemos obligados a resolver el problema cosiderado que so lo mismo. Para cada ua de las iecuacioes que costituye el cojuto de solucioes, sustituimos el sigo de desigualdad por u igual, dibujamos la recta resultate y decidimos si, de los dos semiplaos e que la recta divide al plao, os iteresa uo u otro. Eso podemos decidirlo bie eligiedo u puto cualquiera que o esté e la recta y viedo si verifica la iecuació, e cuyo caso el semiplao que os iteresa es aquél dode está el puto elegido; o bie, despejado y y viedo si debe ser meor o igual que la recta, y elegiríamos el semiplao que queda bajo la misma, o mayor o igual, dode haríamos lo opuesto. Hemos señalado co flechas el semiplao que verifica cada iecuació. Así, el recito es el del gráfico. A cotiuació, hay que calcular los vértices del recito (ya hemos colocado los resultados e el gráfico). Dicha obteció hay que hacerla siempre calculádolos, y uca a partir del gráfico. Los más complicados so los que detallamos (los otros, puede deducirse de la tabla de valores que hayamos usado para dibujar las rectas, dode coviee siempre obligar a que x = 0 y, después, a que y = 0): x y 500 x y 500 ( ) : 4x y 800 x y 400 (100, 00) 3x 300 x 100 y 00 x y 500 x = = 50 (50, 5) y 5 Por último, calculamos el valor de la fució objetivo e cada vértice. La mayor image será el máximo de dicha fució sujeto a las restriccioes, y la meor, el míimo. Buscamos, recordemos, el máximo: F(0, 0) = = 0 IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia 1 de 4

8 PAU Matemáticas aplicadas a las CC.SS. II Juio de 013 F(0, 5) = = F(50, 5) = = F(100, 00) = = F(00, 0) = = Así que el máximo "beeficio" es , para 100 tapices tipo A y 00 tipo B. b) (0.5 putos) Qué catidad de hilo de cada clase quedará cuado se fabrique el úmero de tapices que proporcioa el máximo beeficio?. Se cosume, segú las codicioes del euciado: Seda: x + y = = 500 kg Se cosume todo el dispoible. Plata: x + y = = 400 kg Se cosume todo el dispoible. Oro: y= 00 kg Sobra 5 kg. EJERCICIO Sea f(x) ua fució cuya fució derivada, f '(x), tiee por gráfica ua parábola que corta al eje OX e los putos ( 1, 0) y (5, 0) y co vértice (, 4). a) (1 puto) Estudie razoadamete la mootoía de f (x). Discotiuidades de f ó f ': No tiee, pues ambas so poliómicas. Si f ' es u poliomio, su primitiva f tambié lo es. f '(x) = 0: x = 1, x = 5 (os los da: so los valores que hace que y = 0). Dividimos R e itervalos mediate los putos obteidos, y evaluamos el sigo de f ' e cada uo de ellos, para lo que basta tomar u valor de x cualquiera, puesto que está garatizado que el sigo de f ' es el mismo e todo el itervalo. (, 1) 1 ( 1, 5) 5 (5, +) f ' f Máx Mí Para calcular estos sigos hemos teido e cueta que f ' es ua parábola covexa, puesto que el vértice, que debe ser máximo o míimo relativo, es e este caso míimo, ya que el valor de y e él es iferior al de los putos de corte co OX. Por tato, la parábola debe ser decreciete y descediedo desde + hasta el eje OX, tomado, pues, valores positivos de y, lo que ocurre e x = 1 por vez primera. Al atravesar OX toma, ya, valores egativos de y hasta llegar al vértice y volver al eje OX e x = 5. Tras atravesarlo, vuelve a ser positiva. b) (0.5 putos) Determie las abscisas de los extremos relativos de la fució f (x). Como cosecuecia del cuadro de mootoía, tiee u máximo relativo e x = 1, y u míimo relativo e x = 5. c) (1 puto) Halle la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f (x) e el puto de abscisa x =, sabiedo que f () = 5. Puto de tagecia: Curva y tagete se toca e (, 5), pues la curva pasa por dicho puto, que es dode calculamos la tagete. Pediete de la tagete: m = f '() = 4, que es el vértice de la parábola que costituye la gráfica de f '. Por tato, la tagete pedida es (ecuació puto-pediete de la recta): y 5 = 4(x ) y 5 = 4x + 8 y = 4x + 13 EJERCICIO 3 De los sucesos aleatorios idepedietes A y B se sabe que A) = 0.3 y que B C ) = 0.5. Calcule las siguietes probabilidades: IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia de 4

9 PAU Matemáticas aplicadas a las CC.SS. II Juio de 013 a) (0.75 putos) A B). Como A y B so idepedietes A B) = A) B) = A) [1 B)] = 0.3(1 0.5) = = 0.5. Por tato: A B) = A) + B) A B) = = 0.85 b) (0.75 putos) A C B C ). Segú ua Ley de Morga: A C B C ) = P[(A B) C ] = 1 A B) = = c) (1 puto) A / B C ). Si A y B so idepedietes A y B C tambié lo so. E efecto: A / B C C A B ) A B) A) A B) ) = = = = C B ) 1 B) 1 B) Como so idepedietes: A) A) B) A)[1 B)] = = = A) 1 B) 1 B) que es lo que se quería demostrar. Por tato: A / B C ) = A) = 0.3 EJERCICIO 4 El tiempo que los españoles dedica a ver la televisió los domigos es ua variable aleatoria que sigue ua distribució Normal de media descoocida y desviació típica 75 miutos. Elegida ua muestra aleatoria de españoles se ha obteido, para la media de esa distribució, el itervalo de cofiaza (188.18, 08.8), co u ivel del 99%. a) (1.5 putos) Calcule la media muestral y el tamaño de la muestra. El cetro del itervalo de cofiaza de la media poblacioal es la media muestral. Así: x = = El tamaño de la muestra aparece e la fórmula del error máximo cometido, que es la diferecia etre u extremo y el cetro del itervalo de cofiaza: E = = 10.3 Dicha fórmula es: E = z. Coocemos E y = 75. Además el ivel de cofiaza es del 99%, es decir: 1 = 0.99 = = z/ =.575 z / Así: E = z z / = = Por E E 10.3 tato, = 350, ya que o es posible ua catidad fraccioaria de uidades costituyetes de ua muestra, y la diferecia 0.0 es debida a errores de redodeo. Si recostruyésemos el itervalo de cofiaza co la fórmula del mismo: x z, x z obtedríamos el que teemos: (188.18, 08.8). b) (1 puto) Calcule el error máximo permitido si se hubiese utilizado ua muestra de tamaño 500 y u ivel de cofiaza del 96%. IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia 3 de 4

10 PAU Matemáticas aplicadas a las CC.SS. II Juio de = 0.96 = = 0.98 z/ =.055 Por tato: E = z = = IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia 4 de 4